Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 2
|
|
- Elisabet Lahtinen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 2 K. Tuominen 9. marraskuuta 2017 Palauta ratkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina kello 10:15 mennessä. Merkitse vastauspaperiin laskuharjoitusryhmäsi assarin nimi. Tehtävät S1 ja S2 ovat ylimääräisiä, ja niistä saa normaalit laskaripisteet, mutta maksimipisteet on mahdollista saada ilmankin. 1. Etsi yleinen ratkaisu separoituville differentiaaliyhtälöille a y = e x y, b y = xy 2. Ratkaisu: a = ex e y, e y = e x, e y = e x + C, y = lne x + C. b = xy 2 y 2 = x, 1 3 y3 = 1 2 x2 + C, y = 3 2 x2 + D 1/3. 2. Ratkaise seuraavat epähomogeeniset lineaariset vakiokertoimiset 1. kertaluvun differentiaaliyhtälöt a y + 3y = x, b y y = e x. Ratkaisu: Vastaus a: y = Ce 3x + x Vastaus b: y = Ce x + xe x. a Lähdetäään ratkaisussa liikkeelle homogeenisen yhtälön ratkaisusta: Eli + pxy = 0 y + 3y = 0
2 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 2 2 Ratkaistaan separoimalla = 3y y = 3 lny = 3x + A y = Ce 3x Seuraavaksi ratkaistaan täydellinen yhtälö vakion varioinnilla: y = Ce 3x y = C e 3x 3Ce 3x sijoitetaan y ja y alkuperäiseen lausekeeseen: C e 3x 3Ce 3x + 3Ce 3x = x C = x e 3x Integroidaan C Osittaisintegrointi: f x = x, g x = 1 e 3x Huom: Ratkaisussa voi tietenkin soveltaa suoraan myös yleistä ratkaisukaavaa, yx = e Px e Px qx, missä Px = px, px = 3 ja qx = x. C = 1 9 e3x 3x 1 TY:n yleinen ratkaisu on näiden kahden ratkaisun summa: y = Ce 3x e3x 3x 1e 3x y = Ce 3x + x b Homogeeninen yhtälö: y y = e x y y = 0 y = lny = x + A Vakion variointi: y = Ce x y = Ce x TY: y = C e x + Ce x y y = C e x + Ce x Ce x = e x C e x = e x C = 1 C = x TY:n yleinen ratkaisu y = xe x
3 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 2 3 y = Ce x + xe x Tapa 2: Integroiva tekijä a Huomataan, että yhtälö on integroivan tekijän vaatimassa muodossa y + pxy = qx. Nyt on px = 3, joten integroivaksi tekijäksi saadaan Ix = e px = e 3 = e 3x. Kerrotaan yhtälön kaikki termit integroivalla tekijällä Ixy + Ix3y = Ixx e 3x y + 3e 3x y = xe 3x Huomataan, että yhtälön vasen puoli näyttää tulon derivaatalta, jossa f x = y ja gx = e 3x. Nyt, yhtälö saadaan muotoon d ye 3x = xe 3x Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen. Vasemmasta puolesta saadaan d ye 3x = ye 3x, ja oikeasta puolesta osittaisintegroimalla xe 3x = x 3 e3x e 3x = x 3 e3x 1 9 e3x + C. Sijoittamalla nämä takaisin aiempaan yhtälöön: b Nyt on px = 1, ja integroiva tekijä ye 3x = x 3 e3x 1 9 e3x + C y = x Ce 3x. Ix = e 1 = e x. Kerrotaan yhtälö integroivalla tekijällä, ja huomataan tulon derivaatta: Ixy Ixy = Ixe x e x y e x y = 1 d ye x = 1 d ye x = 1 ye x = x + C y = xe x + Ce x. Huom: Voidaan käyttää myös suoraan yleisen ratkaisun muotoa yx = 1 qxix Ix = e 3x xe 3x x = e 3x 3 e3x 1 9 e3x + C = x Ce 3x. Huom: Myös tämä saadaan suoraan yleisen ratkaisun muodosta: yx = 1 qxix Ix = e x e x e x = e x x + C = xe x + Ce x.
4 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus Radium hajoaa radoniksi, joka puolestaan hajoaa poloniumiksi. Jos hetkellä t = 0 näyte on puhdasta radiumia, niin paljonko radonia näyte sisältää hetkellä t? Ratkaisu: Tehtävässä piti ratkaista radonin määrä ajanhetkellä t kun ajan hetkellä t = 0 vain radiumia sisältävä näyte hajoaa ensin radoniksi joka hajoaa vielä poloniumiksi. Määritellään ensin tarvittavat muuttujat: N 0, radiumin määrä alussa N 1, radiumin määrä ajan funktiona N 2, radonin määrä ajan funktiona λ 1, radiumin aktiivisuus λ 2, radonin aktiivisuus Ratkaistaan ensin radiumin määrän aikariippuvuus. Radiumin hajoamisnopeus riippuu sen aktiivisuudesta ja määrästä. Tämä voidaan kirjoittaa differentiaaliyhtälöksi: dn 1 dn1 N 1 = = λ 1 N 1 λ 1 ln N 1 = λ 1 t + C N 1 =Ce λ 1t Alkuehdosta N 1 0 = N 0 saadaan: C =N 0 N 1 =N 0 e λ 1t Nyt pitää kirjoittaa samanlainen yhtälö radonille. Radonin tapauksessa systeemiin tulee uutta radonia radiumin hajoamisesta ja radonia poistuu hajoamisen myötä. Tämä voidaan kirjoittaa vastaavalla tavalla yhtälöksi: dn 2 = λ 1 N 1 λ 2 N 2 dn 2 + λ 2 N 2 =λ 1 N 1 Yhtälö on lineaarinen 1. kertaluokan epähomogeeninen differentiaaliyhtälö joka on muotoa y + pxy = qx. Yhtälön voi ratkaista esimerkiksi integroivan tekijän avulla ja vakion varioinnilla. Integroiva tekijä Ratkaistaan differentiaaliyhtälö integroivan tekijän avulla. dn 2 + λ 2 N 2 =λ 1 N 1 Nyt integroiva tekijä on: I = exp λ 2 I =e λ 2t
5 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 2 5 ja yleinen ratkaisu: Ityt = qtit e λ2t N 2 t = λ 1 N 1 e λ 2t N 2 =e λ 2t λ 1 N 0 e λ1t e λ 2t N 2 =e λ 2t λ 1 N 0 e λ 2 λ 1 t N 2 =e λ λ 2t 1 N 0 e λ 2 λ 1 t + C Alkuehdosta N 2 0 = 0 saadaan C = λ 1N 0 λ 2 λ 1. Nyt sijoittamalla C ja sieventämällä saadaan: N 2 =e λ λ 2t 1 N 0 e λ 2 λ 1 t + λ 1N 0 N 2 = λ 1N 0 e λ1t λ 1N 0 e λ 2t N 2 = λ 1N 0 e λ 1t e λ 2t Vakion variointi Tehtävän voi myös ratkaista vakion varioinnilla. Ratkaistaan ensin homogeeninen yhtälö. Täydellinen yhtälö: Homogeeninen yhtälö: HY:n ratkaisu separoimalla: dn 2 + λ 2 N 2 = λ 1 N 1 dn 2 + λ 2 N 2 = 0 N 2 = Ce λ 2t Nyt asetetaan C = Cx ja käytetään vakion variointia täydellisen yhtälön ratkaisun löytämiseen ratkaisemalla C: N 2 = C e λ 2t Cλ 2 e λ 2t Sijoitetaan nyt ratkaistut N 2 ja N 2 täydelliseen yhtälöön. C e λ2t Cλ 2 e λ2t + Cλ 2 e λ2t = λ 1 N 1 C e λ2t = λ 1 N 1 C = e λ2t λ 1 N 1 C = e λ2t λ 1 N 0 e λ 1t C = λ 1 N 0 e λ2t e λ1t C = λ 1 N 0 e λ 2 λ 1 t 1 C = λ 1 N 0 e λ 2 λ 1 t + C
6 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 2 6 Sijoitetaan C homogeenisen yhtälön ratkaisuun. N 2 =λ 1 N 0 e λ 1 2t e λ 2 λ 1 t + C N 2 = Cλ 1 N 0 e λ 2t + 1 λ 1 N 0 e λ 1t Alkuehdosta N 2 0 = 0 saadaan C = N 2 = λ 1N 0 1 λ 2 λ 1. Sievennetään ja saadaan: e λ 1t e λ 2t y = y x + x 2y. Ratkaisu: Ratkaistavana on differentiaaliyhtälö: y = y x + x 2y Jos nyt kirjoittamme sen uuden muuttujan u = y/x kts. vinkki funktiona saadaan se separoituvaksi. Lasketaan ensin u muuttujan x suhteen tästä nimittäin saadaan lauseke y lle: u = y x u = y x y x 2 = y x u x y = xu + u Ja nyt sijoittamalla tämän alkuperäiseen differentiaaliyhtälöön sekä esittämällä kaikki y/x = u saadaan: xu = x du = 1 2u 2udu = 1 x 1 2udu = x u 2 = y 2 = lnx + c1 x y = ±x lnx + c 1 Joka on differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu. 4. Ratkaise differentiaaliyhtälö Vinkki: Tehtävän 4. yhtälö on epälineaarinen, eikä näille ole yleistä ratkaisukeinoa. Eteenpäin pääsee kuitenkin sopivalla sijoituksella, jolla pyritään muuntamaan yhtälö separoituvaksi. Yhtälö on muotoa y = Fy/x, joten tässä kannattaa kokeilla sijoitusta z = y/x.
7 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 2 7 S1. Vanhan kartanon Halloween-juhlat muuttuvat karmiviksi, kun kartanonherra löytyy seuraavana aamuna kirjastohuoneesta kuolleena. Kuolema ei ole välttämättä ollut luonnollinen, ja rikospaikkatutkinta alkaa selvittää tapahtumia. Kirjastossa on arkistoituna korvaamattomia käsikirjoituksia, joten huoneen lämpötila pidetään hyvin tarkasti vakioarvossa 21 C. Kello 8 aamulla kropan lämpötila oli 26 C, ja tuntia myöhemmin mittaus antaa lämpötilaksi 25 C. Määritä Newtonin jäähtymislain dt = kt At perusteella mihin aikaan kartanonherra kuoli. Newtonin jäähtymislaissa Tt on lämpötila, At on ympäristön lämpötila ja vakiokerroin k > 0 kuvaa lämmön absorption tai emission nopeutta. Ratkaisu: Tehtävän tilanteessa ympäristön lämpötila At =vakio. dt + kt = ka. Tämä on lineaarinen 1. kl:n differentiaaliyhtälö eli muotoa T + ptt = qt. Ratkaistaan integroivan tekijän avulla. 1 Tunnistetaan aluksi pt = k ja qt = A ja lasketaan Pt = k = kt. Integroiva tekijä on It = exppt = expkt. Lasketaan vielä integraali e kt ka = Ae kt + D, missä D on integroimisvakio. Yhtälön yleinen ratkaisu on siis Tte kt = Ae kt + D. Kun ratkaisu on saatu, niin käytetään tehtävässä annettuja arvoja ja yleistietoa, että hengissä olevan ihmisen ruumiinlämpö on 37 C ja määrätään kerroin k ja ratkaistaan ajanhetki t 0, jolloin Tt 0 = 37 C. Merkitään t 1 = 8h, Tt 1 = 26 C ja t 2 = 9 h, Tt 2 = 25 C, ja lasketaan erotus 1 Yhtälön T = kt A voi ratkaista myös separoimalla: jonka ratkaisu on dt T A = k, Tt = A + De kt. ts. Te kt = Ae kt + D. D on integroimisvakio. josta seuraa aluksi Tt 1 e kt 1 Tt 2 e kt 2 = Ae kt 1 Ae kt 2, Tt 1 Tt 2 e kt 2 t 1 = A Ae kt 2 t 1. Ratkaistaan tästä e kt 2 t 1 = e k 1 h = A Tt 2 A Tt 1 lasketaan vastaavasti josta saadaan Ratkaistaan tästä t 1 t 0 : Tt 1 e kt 1 Tt 0 e kt 0 = Ae kt 1 Ae kt 0, Tt 0 Tt 1 e kt 1 t 0 = A Ae kt 1 t 0. e kt 1 t 0 = A Tt 0 A Tt 1 = 16 5, = 4 5, ts. k Tämän jälkeen josta k t 1 t 0 = ln16/5/0.223 h 5.22 h. Eli kuolema koitti aamuyöllä noin 13 minuuttia vaille kolme.
8 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 2 8 S2. Epälineaarinen yhtälötyyppi, joka voidaan ratkaista näppärällä sijoituksella, on ns. Bernoullin yhtälö + pxy = qxyn. Tapaukset n = 0 ja n = 1 antavat lineaarisen yhtälön. a Osoita, että sijoituksella u = y n 1 yleiselle n, yhtälöstä tulee lineaarinen differentiaaliyhtälö u:lle, b Ratkaise differentiaaliyhtälö Ratkaisu: a Bernoullin yhtälö: du + 1 npxu = 1 nqx. 6xy = 2xy2. + pxy = qxyn Sijoitetaan tähän u = y 1 n. Tätä varten tarvitaan u : u = y 1 n u = 1 ny n y y y n = u 1 n Kirjoitetaan alkuperäinen yhtälö vaihtoehtoisessa muodossa: y + pxy = qxy n y y n + px y1 n = qx Korvataan y /y n ja y 1 n edellä lasketuilla lausekkeilla, jolloin saadaan Tästä seuraa osoitettava yhtälö: u + px u = qx 1 n du + 1 n px u = 1 nqx b Verrataan ratkaistavaa yhtälöä Bernoullin yhtälöön: nyt siis y + 6x }{{} px y = 2x }{{} qx y n {}}{ y 2 px = 6x, qx = 2x, n = 2 Kohdan a perusteella, jos määritellään u = y 1 n, niin u toteuttaa yhtälön: + pxy = qxyn du + 1 n px u = 1 nqx Sovelletaan tätä nyt tehtävän yhtälöön: y 6xy = 2xy 2 u xu = 1 22x
9 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus 2 9 missä u = y 1 n = y 1 2 = 1 y Eli alkuperäinen yhtälön ratkaisu saadaan ratkaisemalla u yhtälöstä u + 6x u = 2x Yhtälö on epähomogeeninen. Ratkaistaan aluksi homogeeninen yhtälö: Siis homogeenisen yhtälön ratkaisu on u + 6x u = 0 du = 6xu du u = 6x du u = 6 x Lnu = 3x 2 + c 1 e Lnu = e 3x2 +c 1 u = e 3x2 e c 1 u = c 2 e 3x2 u = c 2 e 3x2 missä c 2 on vakio. Ratkaistaan epähomogeeninen yhtälö vakion varioinnilla: Tällöin c 2 c 2 x u = c 2 e 3x2 u = c 2 e 3x2 + c 2 6xe 3x2 Sijoitetaan nämä u:n differentiaaliyhtälöön Näin saamme Sievennetään u + 6x u = 2x c 2 e 3x2 + c 2 6xe 3x2 + 6x c 2 e 3x2 = 2x c 2 e 3x2 = 2x c 2 = 2xe 3x2 dc 2 = 2xe 3x2 dc 2 = 2 xe 3x2 c 2 = 1 3 e3x2 + c 3 Sijoitetaan näin saatu c 2 aiemmin laskettuun ratkaisuun u = c 2 e 3x2 u = 13 e3x2 + c 3 e 3x2 u = c 3 e 3x2 Lopuksi ratkaistaan vielä y: u = 1 y y = 1 u missä c 3 on vakio. 1 y = c 3 e 3x2 3 y = c 3 e 3x2
10 matemaattiset apuneuvot ii, harjoitus Find the general solution of the following separable differential equations a y = e x y, b y = xy Solve the following inhomogeneous linear differential equations a y + 3y = x, b y y = e x. 3. Radium decays to radon which decays to polonium. If at t = 0, the sample is pure radium, how much radon does it contain at time t? 4. Solve the differential equation hint: The equation in problem is inhomogeneous, and there is no general y = y x + x 2y. S1. The Halloween party in an old mansion receives a gruesome twist as the lord of the mansion is found dead in the library. Suspecting an unnatural cause of death, the crime scene investigation starts to work on the details of the case. Because of some priceless old manuscripts, the temperature in the library is maintained at stea 21 C. At 8 am. the bo temperature was measured to be 26 C and an hour later, at 9 am, the measurement gave 25 C. Determine the time of death of the lord using Newton s law for cooling dt = kt At. In this equation Tt is the temperature of the bo and At is the temperature of the surroundings. The constant factor k > 0 represents the rate at which heat is absorbed or emitted by the bo. formula for its solution. Often it is possible to proceed by clever substitution of variables which make the equation separable. In problem 4 the equation is of the form y = Fy/x and in equations of this type a suitable substitution is z = y/x. S2. A class of nonlinear equations which can be solved with a clever substitution is the Bernoulli equation, + pxy = qxyn. Cases n = 0 and n = 1 yield a linear equation. a Substitute, for general n, u = y n 1, and show that the resulting equation for u is b Solve differential equation du + 1 npxu = 1 nqx. 6xy = 2xy2.
2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
Lisätiedot3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
Lisätiedot2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu
LisätiedotKompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava
Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että
Lisätiedot3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d
Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia,. harjoitus, kevät 016 1. Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d dx ): (a) y + xy = xe x, (b) (1 + x ) y xy = (1 + x ), (c) y sin x y = 1 cos
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3
Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi
LisätiedotOsa 11. Differen-aaliyhtälöt
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
LisätiedotLuoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt
Lisätiedota 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
LisätiedotMatemaattiset apuneuvot II, harjoitus 3
Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 3 K. Tuominen 16. marraskuuta 2017 Palauta ratkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina 20.11. kello 10:15 mennessä. Merkitse vastauspaperiin laskuharjoitusryhmäsi
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
Lisätiedot(a) Järjestellään yhtälöitä siten, että vasemmalle puolelle jää vain y i ja oikealle puolelle muut
BM0A5830 Differentiaalihtälöiden peruskurssi Harjoitus 7, Kevät 07 Päivitksiä: Tehtävän b tehtävänantoa korjattu, tehtävän 5 vastaus korjattu. b tehtävänantoa sujuvoitettu. Vastauksia lisätt.. Monasti
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotEsimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedotdy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )).
Harjoitus Tehtävä 5. d) Jakamalla annettu yhtälö puolittain xsin(y/x):llä saadaan Sijoitetaan taas jolloin saadaan dy dx = y x + 1 sin ( y). u = y/x, x dy dx = u+xdu dx, u+x du dx = u+ 1 sinu du dx = 1
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot12. Differentiaaliyhtälöt
1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedot3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
LisätiedotOsoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön
3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia
LisätiedotH5 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa
LisätiedotLuento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
Lisätiedot10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen
Lisätiedotf (28) L(28) = f (27) + f (27)(28 27) = = (28 27) 2 = 1 2 f (x) = x 2
BMA581 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 4, Syksy 15 1. (a) Olisiko virhe likimain.5, ja arvio antaa siis liian suuren arvon. (b) Esim (1,1.5) tai (,.5). Funktion toinen derivaatta saa
Lisätiedot1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt
Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
LisätiedotMat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
LisätiedotMatemaattiset apuneuvot II, harjoitus 4
Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 4 K. Tuominen 22. marraskuuta 2017 Palauta ratkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina 27.11. kello 10:15 mennessä. Merkitse vastauspaperiin laskuharjoitusryhmäsi
LisätiedotKun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla y, voidaan kirjoittaa. y T u.
DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, ratkaisuehdotukset Järjestelmien lineaarisuus ja aikainvarianttisuus Kun järjestelmää kuvataan operaattorilla T, sisäänmenoa muuttujalla u ja ulostuloa muuttujalla
LisätiedotNormaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
Lisätiedot2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 =
TKK, Matematiikan laitos Pikkarainen/Tikanmäki Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 12, A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä 21. 25.4.2008, viikko
Lisätiedotlnx x 1 = = lim x = = lim lim 10 = x x0
BM0A580 - Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 05. (a) (b) ln = sin(t π ) t π t π = = 0 = = cos(t π = ) = 0 t π (c) e [ = ] = = e e 3 = e = 0 = 0 (d) (e) 3 3 + 6 + 8 + 6 5 + 4 4 + 4
LisätiedotTampere University of Technology
Tampere University of Technology EDE- Introduction to Finite Element Method. Exercise 3 Autumn 3.. Solve the deflection curve v(x) exactly for the beam shown y,v q v = q z, xxxx x E I z Integroidaan yhtälö
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
Lisätiedota) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
Lisätiedot5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n
LisätiedotBM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 7, Kevät 2018 Tehtävä 8 on tällä kertaa pakollinen. Aloittakaapa siitä. 1. Kun tässä tehtävässä sanotaan sopii mahdollisimman hyvin, sillä tarkoitetaan
LisätiedotLineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y
LisätiedotTAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt Kesä 00 Risto Silvennoinen TAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Peruskäsitteitä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on
LisätiedotEsimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö
Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi
LisätiedotBM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Jouni Sampo 30. maaliskuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista.........................
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
LisätiedotTeknillinen tiedekunta, matematiikan jaos Numeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät 1. välikoe, 14.2.2009 1. Määrää matriisin 1 1 a 1 3 a a 4 a a 2 1 LU-hajotelma kaikille a R. Ratkaise LU-hajotelmaa käyttäen yhtälöryhmä Ax = b, missä b = [ 1 3 2a 2 a + 3] T. 2.
Lisätiedot= 2±i2 7. x 2 = 0, 1 x 2 = 0, 1+x 2 = 0.
HARJOITUS 1, RATKAISUEHDOTUKSET, YLE11 2017. 1. Ratkaise (a.) 2x 2 16x 40 = 0 (b.) 4x 2 2x+2 = 0 (c.) x 2 (1 x 2 )(1+x 2 ) = 0 (d.) lnx a = b. (a.) Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla: x = ( 16)± (
Lisätiedot2 ENSIMMÄISEN KERTAUVUN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
2 ENSIMMÄISEN KERTAUVUN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 1 2.1 Peruskäsitteitä ja esimerkkejä Funktion y = y(x) derivaattaa merk. y, y (x) tai dy/dx. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt sisältävät ainoastaan
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.01 klo 10 13 t ja pisteytysohjeet 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 x 3 3 x 1 4, (b)
LisätiedotLuento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka
LisätiedotMS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko
MS-A0107 - Differentiaali- integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko 1 Tehtävä Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut: Ratkaisu: a) y y 2y = 4x, b) y + 4y = sin 3x, c) y + 2y + 5y = e x
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus 1. Ratkaise y + y + y = x. Kommentti: Yleinen työlista ratkaistaessa lineaarista, vakiokertoimista toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöä
LisätiedotMatematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 10 to
Matematiikan peruskurssi (MATY00) Harjoitus 10 to 6.3.009 1. Määrää funktion f(x, y) = x 3 y (x + 1) kaikki ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat. Ratkaisu. Koska f(x, y) = x 3 y x x 1, niin
Lisätiedot2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla
2.2.1 Ratkaiseminen arvausta sovittamalla Esimerkki: lomitusjärjestäminen (edellä) Yleistys: Ratkaistava T (1) c T (n) g(t (1),..., T (n 1), n) missä g on n ensimmäisen parametrin suhteen kasvava. (Ratkaisu
LisätiedotHelsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe klo 10 13
Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 11.6.2012 klo 10 13 1. Ratkaise seuraavat yhtälöt ja epäyhtälöt. (a) 3 2 x 2 3 2 3 x 1 4, (b) (x + 1)(x 2)
LisätiedotLuento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 4: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa Matlab-esittelyä 1 / 20 Luennon sisältö Digress: vakio-
Lisätiedot[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.
Mat-2.48 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: x k+
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
Lisätiedotw + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
Lisätiedot7. DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
7. DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Tavallinen differentiaalihtälö koostuu tuntemattoman hden muuttujan funktion derivaatoista sekä funktiosta riippumattomista termeistä. Esimerkki differentiaalihtälöstä on Newtonin
LisätiedotHarjoitus 7. KJR-C2001 Kiinteän aineen mekaniikan perusteet, IV/2016
Kotitehtävät palautetaan viimeistään keskiviikkoisin ennen luentojen alkua eli klo 4: mennessä. Muistakaa vastaukset eri tehtäviin palautetaan eri lokeroon! Joka kierroksen arvostellut kotitehtäväpaperit
Lisätiedot. Kun p = 1, jono suppenee raja-arvoon 1. Jos p = 2, jono hajaantuu. Jono suppenee siis lineaarisesti. Vastaavasti jonolle r k+1 = r k, suhde on r k+1
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-.39 Optimointioppi Kimmo Berg 8. harjoitus - ratkaisut. a)huomataan ensinnäkin että kummankin jonon raja-arvo r on nolla. Oletetaan lisäksi että
LisätiedotHarjoitus 5 -- Ratkaisut
Harjoitus -- Ratkaisut 1 Ei kommenttia. Tutkittava funktio oskilloi äärettömän tiheään nollan lähellä. PlotPoints-asetus määrää, kuinka tiheästi Plot-funktio ottaa piirrettävästä funktiosta "näytteitä"
LisätiedotLisä,etopake3 2: ra,onaalifunk,on integroin,
9/20/ Lisä,etopake 2: ra,onaalifunk,on integroin, Ra,onaalifunk,o: kahden polynomin P(x) ja Q(x) osamäärä. Esim. x 2 x + 2 tai x5 +6x x- Ra,onaalifunk,o voidaan aina integroida, ja tähän löytyy kajava
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan liopisto, kevät 2015 / ORMS1010 Matemaattinen Analsi 8. harjoitus, viikko 18 R1 ma 16 18 D115 (27.4.) R2 ke 12 14 B209 (29.4.) 1. Määritä funktion (x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun (0) = 2 ja
Lisätiedot4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön
4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e
LisätiedotJouni Sampo. 15. huhtikuuta 2013
B3 Jouni Sampo 15. huhtikuuta 2013 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista......................... 2 2 Ensimmäisen kertaluvun
Lisätiedot800345A Differentiaaliyhtälöt I. Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas
800345A Differentiaaliyhtälöt I Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas 2. maaliskuuta 2009 Sisältö 1 Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 2 1.1 Merkintöjä ja nimityksiä...........................
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 17. Osittaisintegrointi Sijoitusmenettely
Talousmatematiikan perusteet: Luento 17 Osittaisintegrointi Sijoitusmenettely Motivointi Viime luennolla käsittelimme integroinnin perussääntöjä: Vakiolla kerrotun funktion integrointi: af x dx = a f x
LisätiedotToisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Riikka Sjögren Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaarisista differentiaaliyhtälöistä Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 2010 Tampereen
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
Lisätiedot