ÊÙ ÐØÓÖÖØ ÌÓ ÐØ Ó ÓØ ÓÓ ØÙÙ ÓÙÓ Ø ÔÒÑÔ ÔÔÐØ È ØÒ ÐØÝÑÒÒ ÓÓÖÒØØ ÐÒ ÙÙÒØ Ò ÙÓÖÙй ÚÐØØÑØØ ÓÐ ÖÚ ÝØØ ÔÐ ØÒ ÝØ ÖÙ ÐØÓ ÓÓÒ ÙÙÐÐ ËÒ Ò ÚÓÒ ÔÒÑÑÐÐ ÔÔÐÐÐ ÑÖØØ
|
|
|
- Eveliina Saarnio
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 ØÙغ ØÒÐÐÒÒ ÝÐÓÔ ØÓ ÌÑÔÖÒ ÈÐÓÐÑÓÒØ ÓÑØÖ Ò ØÒ ØØÓÖÒØ Ø Ã ÙÖÚ ØÐØÚØ ØØÓÖÒØØ ÔÖÙ ØÙÚØ ÑÒØÝÝÔ¹ ÈÐÓÐÑÓÒÒ ÝÝÐÐ ØØÓÖÒØØ Ô Ò Ò ÖÓØÐÐÒ ÚÖÙÙ Ø Ó ÓÒ ÐÐ ÓÒ ÔÒÑÔ ÒØØ ÈÙ Ó ÒÒ ÐÐ ÚÐ ÔÒÑÔ Ó Òº ÒÑ Ö ØØÒ ÒØغÔÙ ÖÖ ÔÙÙÖÒØ ÇÐÑ ØÓØÒ ½ Í Ò ØÖÔÐÐ Ø Ø ØØ ÓÒÓ ÓÒÒ Ô Ø ÔÔÐÒ ÐÐ Ø ÀÝÚ ÖÙ ÐØÓØ ÓÚØ ÑÖ ÔÐÐÓ ÓÓÖÒØ ÐÒ ÊÙ ÐØÓØ ÐÓ ÓÒ ÚÚ Ø ÑÙÙ ÔÔÐ ÔÔÐØغ ÁØ ÔÔÐ ÚÓ ÙØÒÒ ÓÐÐ ÑÓÒÑÙØÒÒ ÓØÒ Ñº Ø ØÙ Ò ØÑÒÒ ÓÒ Ð ÒÒÐÐ Ø ØÝÐ Ø Á ÝÑÔÖÒ ÔÔÐ ÓÐÐÒ Ý ÒÖØ ÐÐ ÓÑØÖ ÐÐ ÙÙÒØÒÒ ÙÓÖÙÐÑÓ ÈÐÐÓÒ ÙØÒ ÑÓÒØ Ø ØØ ÝÚÒ ÐÔÔÓ ÇÒÓ Ô Ø ÔÐÐÓÒ ÐÐ ÓÒÓ Ò Ø ÝÝ ÔÐÐÓÒ Ô Ø Ø ÒÒØÒ ÔÐÐÓÒ ÄÚØÓ ÔÐÐÓ ÓÒÓ ÒÒ Ô ØÒ Ø ÝÝ ÒÒØÒ ÑÙÓÓÐÐ Ø ØØÒ Ò Ò ÐÙ Ø Ò Ò ÝÑÔÖÚ ÔÔÐØØ ÙØ ÙØÒ ÖÙ ÐØÓ ÂÓ ØÔÙ ÐÙ Ø ÖÙ ÐØÓÒ Ò ÚÓ ÓÐÐ ÐÙ Ø ÒÒ ØÒ ÙÑÑ ÇÒÓ ÔÐÐÓ ÓÓÒÒ ØÓ Ò ÐÐ ÓÒÓ Ô ØÒ Ø ÝÝ ÑÝ Ò Ø ÔÔÐÒ Ò ÂÓ ÓÒ ÐÙ ÚÓ ÐÙ ØÔØÙ Ø ÔÔÐÒ Ò Ø ØØÒ Ò ÑÑ Ò ÔÐÐÓÒ ÝØÒ ÒÒØÒ ØÓ Ò ÔÐÐÓÒ ØÝØÝÝ Ø ØÖ ÐÙ ØÖ ØÐÙ Ø ÔÔÐÒ Ò ¾
2 ÊÙ ÐØÓÖÖØ ÌÓ ÐØ Ó ÓØ ÓÓ ØÙÙ ÓÙÓ Ø ÔÒÑÔ ÔÔÐØ È ØÒ ÐØÝÑÒÒ ÓÓÖÒØØ ÐÒ ÙÙÒØ Ò ÙÓÖÙй ÚÐØØÑØØ ÓÐ ÖÚ ÝØØ ÔÐ ØÒ ÝØ ÖÙ ÐØÓ ÓÓÒ ÙÙÐÐ ËÒ Ò ÚÓÒ ÔÒÑÑÐÐ ÔÔÐÐÐ ÑÖØØ ÓÑ Ö¹ ÑÓÓÒ ÚÓÒ Ø ØØ ØÙØÑÐÐ ÓÓÖÒØØ ÖÖÐÐÒ ÓÒÓ Ô Ø ÐØÓÒ ÔØÝÒ ÚÐ ÓÒÓ x min x x max Òº Ò ÙÓÖÙÐÑ Ò ÐØÓÒ ÐÑ Ò ØÙØÑÒÒ ÓÒÒ ØÙÙ Ù ÐØÓØ ÓØ ÓÚØ ÓÓÒÒ ÙÙÖÑÑÒ ÖÙ ÐØÓÒ ÐÐ ÑÒ ØÔÒ ÓÓÖÒØ ÖÖÐÐÒ ÓÒÓ x 1 max x 2 min x1 min x2 max Òº ÑÝ ÔÐÐÓÒ ÐØÓÒ ÐÙ ÓÒÒ ØÙÙ ÚÖ Ò ÐÔÓ Ø Ø Ó Ñº ÌÖ¹ÔÖÙÙ ÐÐÒ ÒÒ ÐÐ ÚÓÒ ÖÙÖ Ú Ø ÑÖØØ ÔÒÑÔ ÖÙ ÐØÓØ ÊÙ ÐØÓØ ÚÓÒ Ö Ø ÔÙÙ Ó ÓÐÑÙÒ ÓÒ Ö٠й ÊÙ ÐØÓØ ² ÒÖÙ ØÙÑÖ ÒØ ÂÓ ÓØØ Ö ØØØÝ ÖÖ Ò ÖÙ ÐØÓÒ ÚÓÒ ØÓ¹ Ø ØÙØ ÑØ ÖÙ ÐØÓØ ÚØ ÒÖÙ ØÙÑÒ ÙÐÓÔÙÓÐÐÐ ØÓ Ò ÐÔ Ò Ò ÐÐ ÓÐÚØ ÖÙ ÐØÓØ ÂÓ ÚØÒ ÐÙ ÖÙ ÐØÓÒ Ò ØÝØÝÝ ÙÖÚ ØÙØ ÖÙ ÐØÓÒ ÐÐ ÓÐÚØ ÓØØ ÓÚØ ØÐÐÒ ÖÙ ØÙÑÒ ÙÐÓÔÙÓÐÐÐ Ð ÒÝÑØØÑ ÊÙ ÐØÓ ÚÖÖØÒ Ó Ò ÙÙØÒ ÖÙ ØÙÑ ÖÚÒ ÐÙ ÐÔ ÓÐÑÙÒ ÓÐÚÒ ÙÖÚÒ Ø ÓÒ ÖÙ ÐØÓÒ ÒÒ ØØÒ ÖÙÖ Ú Ø ÂÓ Ø ÚØ ÐÙ Ø ÙÙÖÖÙ ÐØÓÒ Ò ÚÓÒ Ø ÓÓÒ ÂÓ Ý ÙÓÖÙÐÑÒÒ ÖÙ ÐØÓ Ø Ø ÚÓÒ Ø Ò ØÙØÑÐÐ Ù ØÒ ÖÙ ÐØÓÒ ÙÐÑÔ Ø Ø ÓÚØÓ Ò Ø ÓÒ ¹ Ú ÙÐÓÔÙÓÐÐÐ ÖÖÐÐ ÝÐØ ÓÓ ÖÖ Ú ÐÝØÝÝ Ñº ÌÖ¹ÔÖÙÙ Ø ÂÓ Ø Ý ÔÐÐÓ ØÙØØÒ ÙÑÑÐÐ ÔÙÓÐÐÐ ÔÒØ ÔÐÐÓÒ Ô Ø ÓÒ ÓÒÓ Ò Ø ÝÝ ÔÒÒ Ø ÚÒØÒ ÔÐÐÓÒ
3 ÂÓ ÖÙ ÐØÓ ÓÒ ÓÓÒÒ ÓÒÒ Ø ÓÒ ÙÐÓÔÙÓÐÐÐ ÓÒ Ì ÓÒ»ÚÖÙÙÒ ØØÓÖÒØØ ÊÙ ÐØÓÖÖ ÓÙÙØÒ ØÝÝÔÐÐ Ø ÖÒØÑÒ ØÔÙ ¹ ÖÙ ØÙÑÒ ÙÐÓÔÙÓÐÐÐ ÚÓÒ ÝÐØ ÙÓÖÒ ÂÓ ÖÙ ÐØÓ Ò Ø ÓÒ ÔÙÓÐÐÐ ÓÒ ÓÓÒÒ ØØÑ Ò ËÙÖÚ ØÐØÚØ Ø ÓÒ»ÚÖÙÙÒ ØØÓÖÒØØ ÔÖÙ ØÙÚØ ÓØ Ø Ò ÓÚÐØÙÙ ÔÖØÒ ÑÙÙØØÙÑØØÓÑÒ ÑÐÐÒ ÖÙ ØÙÑÒ ÐÐ ÝÚÒ ÑÒÐ Ò Ò ÙÒ ÖÙ ÐØÓÖÖØ ÖÙ ÐØÓÒ ÐØ ÓÒ ÓÓÒÒ ÒÒØ ÔØ ÔÖØ ÅÙÙ ØÔÙ ÖÙ ÐØÓ ÓÒ ÖÙ ØÙÑÒ ÖÐÐ ÒÐÐ ÔÝÖØÒ ÙØÒÒ ØØÐÑÒ ÙØÓÑØØ Ø ÓÑØÖ Ø ØØÓ ÆÝØ ÖÙ ÐØÓØ ØØÚØ ÓÓ ØÐØÚÒ ÚÖÙÙÒ Ð Ó ÖÖÝØÒ ØÙØÑÒ ÖÖ ÐÑÔ ÖÙ ÐØÓØ Ø Ø ÓØ ÐØÓÒ ÓÒ ÚÖÙÙÒ ÔÖØØÓÒØ ÓÒÒ ÚÖÙÙÒ Ô Ø ÙÙÐÙÙÙ ØØÝÐÐ ÓØ ÓÐе ÝØÒ ÓØØ ÓÐÐ ÚÓÒ ÑÝ ÐÙÓÚÙØØ ÔÖØ ÓØØ ¹ÔÙ ÙÖ ÚÒ ÝØÒ ÐØÓÓÒ Ä Ó Ò ØØÓÖÒØ ÐØÓØ ÚÓÚØ ØÙ ÖØØÑ Ø ÓØ ÐÓÔÙÐÐ Ò Ö ÒÒÒ ÓÓÒÒ ÙÙÒØÒ ÒÓ ØÒ ÑØÒ ÚÖÙÙÒ Ó ØÒ ÚØÐ Ö ØØÓÖÒ¹ Ø ÑÓ ØØÓÖÒØ Ø ØØÔ»»ÛÛÛº ºÙѺٻ Ö»ÕÙØÖ» ÚÖÙÙÒ Ø ÓÒÒ ÐØÓÒØ ÒÖØÒÒ ÚÖÙÙÒ ØØÓÖÒÒ ÚÓÒ ÑÙÓÓ Ø ØÒ ØØ ¹ Ø Ù ÑÔÙÐÓØØÒÒ ÚÖÙÙ ØÒ ÚÐÑ Ø ÓÓ Ò ÖÙÙÙÓÓÒ ÂÓ ÖÙÙÙ ØÙÐÙÓÒ ÐÓ µ ÓÒ ÐÒ ÒÒ ÓØÒ ÓØ ÓÚØ ÖÙÙÙÒ ÐÙÐÐ ½½ ½¼
4 ÃÙÒ ÐÙØÒ ØØ ÑØ ÐÝØÝÝ Ó ØÒ Ó Ø ÚÖÙÙØØ ÈʹÕÙØÖ Ò Ó ÑÒ ÓÓ Ò ÓÓÖÒØØ ÐÒ ÈʹÕÙØÖ Ø ÓØÒ Ú ØÚ Ø ÖÙÙÙ Ø ÑØ ÓØ ÐÐ ÓÒ ÌÓÑ Ó ÙÓÑØØÚ Ø ØÓÑÑÒ ÙÒ Ò ÓØÒ ÙÙÒØ Ò ÐØÓÒ Ã ØÐÐÒ Ò Ò ÙÐÓØØÒÒ ØÔÙ ØÐÐØØÑÒÒ ÑÒ Ð ØÒ ÚÓ ÓÐÐ ÖØØÚÒ ÝÚ ÖØ Ù Ó Ò ÝØÒÒÒ ØÐÒØ ÇÒÐÑÒ ÙØÒÒ ØØ ÝØÒÒ ÓØØ ÓÚØ Ù Ò ÝÚÒ ÄØÒ ÐÐÐ ÒÐÒ ÑÙÓØÓ Ø ÐÙ Ø ÐÙ ØÒ ÒÐÒÒ Ò ÓÒÒ ÒÐÒÒ ØÖÔÒ ÑÙÒ ÔØ Ø ÙØÙÒØ ÚÖÙÙØÒ ÌÑ ÓØ Ò ØØ ÙÙÖÒ Ó ÖÙÙÙ Ø ÓÒ ØÝÐÐÒ ÙÒ Ø ÐÐÒ ÒÐÒÒ Ò Î ØÚ ÔÙÙÖÒØ ÙÒ ÓÐÑÙ Ú Ø ÝØ ÒÐØ Ò ÓÒÒ ÖÙÙØÙÒ ÖØÝÝ ÙÙÖ ÑÖ ÓØ ØÐ ÒØÙÙ ÒÐ ÐÔ ÓÐÑÙ Ú ØÚØ ÒÐÒ Ó ÒÐÒÒ ÌØÓÖÒØÒ ÓÐ ÝÚ ÔØÓØÙ ÓÐÐÒ ÐÐÐ ÓØÒ ÒÐÖÒÒ ÔÙÙ ÐÒÐØ»ÐÔ Ø ÒÑØÒ Ù Ò ÐÑÒ ÙÙÒØÒ ÑÙÒ ÆÏ Æ ÒØÝÑ ØÝØÒ ËÏ Ë ØÑ Ö ØÝ ÓÒ Ò º ÅÓÖØÓÒÒ Ö ØÝ ½ ½¾ È ØÒ Ð Ý ÔÓ ØÓ ÈʹÕÙØÖ Ø ÃÙÒ Ð ØÒ ÔÙÙÙÒ ÙÙØØ Ô ØØØ ÐØÒ ÐÐÐ ÙÙÖ Ø Ø ÓØÒ Ñ ÒÐÒÒ Ô Ø Ø ØÒ ÔÙÙÒ Ú ØÚÒ ÖÒ ÂÓ ÔÙÙÒ ÓÐÑÙ ÑÒØÐÐÒ ÑÐÐ ØÚÐÐ ÙÒÒ ÐÓÔÙÐØ ÌÐÐÒÒØØÚØ ÐÓØ ÓØØÒ ÑØØÓÑÒ ÒÐÒ Ð ÔÙÙÒ ØÙÐÐÒ ÐØ ÓÐÑÙÙÒ ÂÓ ÐÝØØÝ ÐØ ÓÐÑÙ ØÝ ÓØØÒ ÐÓ Ò Ð Ý ÓÒ ÚÐÑ ÂÓ ÐÝØÝ ÐØ ÓÐÑÙ ÓÒ Ó ÐÓ ØÒ ÓÐÑÙ ÒÐÒÒ Ò ÐØ ÓÐÑÙÒ ÓØØÒ ÚÒ ØØ ÙÙ ÐÓ Ó Ò ÐÒÐÒÒ Ò ÓÐØØÒ ØØ ÐÓØ ÓÚØ Ô ØÑ ÙÓÖØØÒ Ó ØÒ ØØ Ó ÑÓÐÑÑØ ÐÓØ ÐÐÒ Ñ ÐÒÐÒÒ ØÝØÝÝ ÓÒÒ ÐÓ ØÙÐ ÓÑÒ ÖÙÙØÙÙÒ ÚÐ Ó Ò Òº ÀÚØÒ ØØ ØØÓÖÒÒ ÓÒ ÔØÚÒÒ ÐÙ ÒØÙÙ ½ ½
5 ÔÒÑÔÒ Ó Ò ÐÐ Ñ ÓÒ ØÑÑÒ Ô ØØ ÌÓ Ò ÙÒ Ö ÑÙ ÚÖÙÙÒ ØØÓÖÒØ ÈʹÕÙØÖÒ ÑÙÓØÓ ÖÔÙ Ø Ñ Ö ØÝ Ô ØØ ÝØØÒ Ò ÒÓ ØÒ Ø ÑØ Ô ØØ ÓÒ ÝØØØÝ Ô ØÒ ÓÙÓ ÑÖ Ý ØØ Ø ØÖÚØØÚÒ ÓÒ ÈʹÕÙØÖ ÚÓÒ ÙÓÖÒ ÝÐ Ø ÑÒ ØÒ ÙÐÓØØÙÚÙÙØÒ ÈʹÓØÖ ÐÓÒ ÔÓ ØÓ ÒØÒÒ ÓÔÖØÓ ÙÙÒ ÐÓÒ ÓØÙ ÐÐ ÈÓ ØØÒ ÐÓ ÐØ ÓÐÑÙ Ø Ø ÓØÒ ÚÓÒÓ ÙÖÚÒ ÃÓÐÑÙÐÓØØ ØÔÙ ÐÓØØÒ ÙÙØÓ Ø ØÒ Ø ØÖÔÒ ÑÙÒ Ó Ò Î ØÚ ÔÙÙ ÒÖÒÒ ÈʹÓØÖ ÈʹÓØÖØ ÚÓÒ ÝØØ ÑÒÐ Ò ÙÒ ÙÒ ÕÙØÖØ ÝÐÑÑÒ Ø ÓÒ ÒÐÒÒ Ø Ý Ø Ý ÒÐ Ó Ò ÝØÒ ÒÓÐÐ Ø Ý ÐÓØ ÒØ ØÐÐÒ ÓØ Ð ØÚ ØÑ Ø ØØÒ Ó ÑÓÐÐ Ø ÖÙÖ Ú Ø ÝÐ ÔÒ ÔÙÙ ½ ½ Ó ÑÐÚÐØ Ò ÝÚÐÐ Æ Ø Ý Ø ÒÒØØ ÝØÒÒ ÑÒØÐÐ ÒÒ ØØ ÐØ ÓÐÑÙÙÒ ÈʹÕÙØÖ ¹ÓØÖ ÓÑØÖ ØÒ ÓØÒ ÈʹÕÙØÖØ ¹ÓØÖØ ÚÓÒ ÝØØ ÑÝ ØÐÐÒØÑÒ ÐØØÝÝ Ð Ø Ò ÙÙÐÙÚ Ø ÓØ Ø ÂÓ ØØÒ ÒÒ ÙÒ ÙÒÒ ÝÒ ÖÙÙÙÒ ÐÐ ÓÒ ÒÒØÒ ØÐÐØÙ Ô ØØ ÑÓÒÑÙØ ÑÔ ÓØ ÙØÒ ÑÓÒÙÐÑÓØ ÑÓÒع ÓØ ÔÐÐÓ Òº ÐÑÑÒ Ø ÓÒ ÖÙÙÙ Ø ÐÒ ÓØÒ Ó Ó ÙÙ Ò ÐÙÐÐ Ý Ø ÓÒ ÒÒÐØ ÑÖØØÝ Ñ ÑÖ n ÓØ ÂÓ ÐÓÔØØÒ ÑÝ Ó ÚÙØØÒ ØÙØÒ ÑÖØØÝ Ñ Ñ Ñ ÓØ ÚÓ ÓÐÐ Ù ÑÑÒ ÖÙÙÙÒ ÐÙÐÐ ÆÝØÒ Ó ÚÓÒ Ø Ñº ÒÒ ÔØÐÐ ØØ ÙÒÒ ÖÙÖ Ó ÝÚÝÝ ÖÙÙÙÒ»ÙÙØÓÒ ÐÙÐÐ ÓÒ ÚÒ Ý ÓØ Ó ÓØØ ÚØ Ð ÃÙØÒÒ ÝØÒÒ ÓØØ ÚÓÚØ ÐØ Ø ÓÐÐ ÝÚÒ ÐÐÐ ØÓ Ò ÈÐØ Ô ØØÒ ÚÓÚØ ÓÐÐ ÝÚÒ ÐÐÐ ØÓ Ò Ñ ÚÓ ÙØØ ½ ½
6 ÕÙØÖ¹ØÝÝÔÔ Ø ØØÓÖÒØØ ØÖÓÚØ ÒÓÔÒ ÒÓÒ ÐÝØ ÀÙØ ÕÙØÖ Ø Ú ØÙ Ý ÝÑÝ Ò ÑØ ÐÝØÝÝ ØØÝ Ø Ó Ø ÚÖÙÙØØ ÌÓÑØÒ ÑÐÐ ØÚÐÐ ÙÒ ÙÙØØ Ô ØØØ Ð ØØ Ó ËÓÚÐÐÙ Ò Ñº ØÖÑÝ ØÖ ØÐÙØ ÖÙ ØÙÑÖ ÒØ ÔÙÙÒ Ö ØÒ Ò ÒÐÒÒ Ò Ó Ó ÓÒ ÙÒÒ ØÙÐÐÒ ÐØ ÓÐÑÙÙÒ ÂÓ ØØÚÒ ØÙØ ÑØ ÓØØ ÐÝØÝÝ ÓÐØÒ ÒÒØÙÐØ ÖÙ ØÙÑÖ ÒÒ Ò ÓÒ Ý ÝÑÝ Ø ÑØ ÓØØ ÐÚØ ÖÐÐ ÐØ ÐÙÐØ ÚÔ ÝÑÔÝÖÒ»ÔÐÐÓÒ Ðص ØÙØØÒ Ó ÖÙ ØÙÑ ÓÐÑÙ ÖÙÖ Ú Ø Ò ÒÐÒÒ Ø ÓØ ÐÚØ Óº ÐÙØØ ÃÓÓÒ Ø ÖØ Ö ÙØÙÚØ ÔÓ ÖÖÐÐ Ñ Ø ÔÐÓÒ ØÙÖ Ñ Ø ¾½ ¾¼ ÄÑÑÒ Ô ØÒ Ø ÑÒÒ ÕÙØÖ Ø ÑÖ ÈʹÕÙØÖ Ø ¹ÓØÖ ÖØ ØÚ Ø Ù Ø Ñ ØÓÒÒ Ô Ø ÓÒ ÐÑÔÒ ÒÒØØÙ Ô ØØØ p ÈØÒ Ö Ø ÝÝ Ø d ÐÑÔÒ ØÒ ÑÒÒ ÐÝØØÝÝÒ ÐÙÙÙÒ ÃÓ ÐÒ Ô Ø ÐÝØÝÝ ØÓÒÒ ÑÑÒ pò ÖÙÙØÙ ÐÐÐ ÓÐÚ Ø Ô Ø Ò ÐÙ ÖØÒ ÈÙÙÒ ÓÐÑÙ ØÙØØÒ Ó Ø ØØÐÑØØÑ Ø ÒÐÒÒ¹ ÐÑÑÒ Ø ÓÒ ÖÙÙÙ Ø Ù ÒÒØ ÐÓØØ ÝÐÑÑÐØ Ø ÓÐØ ËÒ Ò Ø ØÒ ÙÙÖ Ø ÐØÒ Ò Ò pò ÖÙÙØÙ ØÒ Ù ÔÐØØ Ø Ø ÖÙÖ Ó Ø Ø ÒÔÒ Ø ÓÒÓ Ò ÐØÔ ØØØ p ÐÒ ÙÐÑ»ÖÙÒ ÐÑÔÒ ÙÒ Ø ÒÐÒÒ Ø Ó Ø ÔÐØÒ ØØÒÒ ØÖÚØ Ò ØÙØ ÐÒ ØÒ ÑÒÒ ÐÝØØÝ Ô Ø ÒÒØØ ÑÝ ÐÓÔØØ Ù Ó Óº ÒÐÒÒ Ò ÙÐÓÔÙÓÐÐØ Ó ØØ ÒÐÒÒ Ø ÒÒØ ØÙØ Ó ÓÒ ØÒ ÖÙÖ ÚÒÒ Ù Ý Ò ÖÒ Ë ÐÝØÝÝ pò ÝÑÔÖÐØ d¹ Ø Ò ÝÑÔÝÖÒ ÐØ Ô Ø Ø Ò ÚÓ ÐÝØÝ ÐÑÔ Ô ØØØ ÓÒÐÑ ÔÐÙØÙÙ Ø ÐÐ Ó ÙÚØØÙÙÒ ¾ ¾¾
7 ËÑ ÒØÒ ÚÓÒ ÓØØ ØØÝ Ø ÔÖØ Ø¹Ø ¹ ÖÒ ÓØÖÒ ÖÓ ÓÚÐÐÙ Ò ÒÝÚÝ ØÖ ØÐÙØ Ö ØÝ ÇØÖ ² ÒÝÚÝÝ ÇØÖ ØÖÓ ÙÓÖÒ ØÚÒ ÔÖØ Ò ÐØÝÚØ ÓØØ ÙÙÖ ØÒ ÔÓÙØÙÙ ÑѺ ÖÒÒ ¹ÔÝÖÑØÒ Ø Ó Ø ÒÒ Ø¹ØÒ¹Ö ØÝ Ã Ø ÐÙÙØÓ Ø ÔÖÖØÒ Ò Ò Ó ÓÒ Ø Ó Ø ÙÑÔÒ ØØÒ ÔÖÖØÒ Ò ÙÓÖØ ÒÔÙÖØ ØØÒ Ø Ó ÐÑÑÒ ÙÙØÓÒ ÙÓÖØ ÒÔÙÖØ ÐÓÔÙÐØ Ø Ó ÐÒ ÙÙØÓ Ñ ØÓ ØØÒ ÖÙÖ Ú Ø Ó ÐÙÙØÓ ÙÒÒ ØÙÐÐÒ ÐØ ÓÐÑÙÙÒ ÓÒ ÐØ ÔÖÖØÒ ÐÐ ÒÒ ÂÓ ÔÔÐØ ØÝ Ò ÙÙØÓÒ ÐÐ ØÙÐÚØ Ò ÒÒ ÔÖÖØÝ Ó Ö ØÝ ¾ ¾ ÕÙØÖ ² ù¹ÔÙÙ ÈÓÒØ ÈÓÒØ ÕÙØÖ ØÓÑ ÑÒ ØÔÒ ÙÒ ÈʹÕÙØÖ ÑÙØØ Ø Ø ÓÓ Ò Ó Ò ÚÒ Ò ØÒ ÒÐÒÒ Ò ÐÙØ Ô ØÒ ÓÐØ H H Ô ØØ ØÐÐØØÒ Ú ØÚÒ µ ÓÐÑÙÒ Ø ÒÝØ ÐÙÔÖÒÒ ÐÙ ÚÓ ÓÐÐ ÖØØÑÒ ÙÙÖ ÃÓÓ ÐÙ ØÒ ÒÐÒÒ Ò Ò ÑÑ Ò ÝØØÝÒ Ô ØÒ ÓÐØ ÌÓÒÒ ÝØØØÝ Ô Ø ÙÙÐÙÙ ÓÓÒÒ Ò Ø ÒÐÒÒ Ø Óº ÈÙÙÒ ÑÙÓØÓ ÖÔÔÙÙ Ø Ñ Ö ØÝ Ô ØØ ÓÒ ÝØØØÝ ÌÓ Ò ÙÒ ÈʹÕÙØÖ Ô ØÒ ÔÓ ØÓ ÈÓÒØ ÕÙØÖ Ø Ú Ì Ò ØØÓÖÒØÒ ÝÐ ØÝ ÓÐÑÒ ÙÐÓØØÙÚÙÙØÒ ØÝ Ò ÒÐÒÒ ØÒ Ò ÓÐØ ÐÐÒ ÒÐÒÒ Ò Òº ÈÓÒØ ÕÙØÖ ÓÒ Ø ÒÖÙÔÙÙÒ ÙÓÖ ÝÐ ØÝ ØÒ ÙÓÖÚÚÒÒ ÒÝØ Ó Ô ØÒ ÓÐØ Ò Ò ÙÐÓØØÙÚÙÙØÒ ¾ ¾
8 Ö»ÓØ Ó Ò ËȹÔÙÙ ÒÖÝ ËÔ ÈÖØØÓÒµ ÇÒ ÑÓÐÐ Ø ÑÙÓÓ Ø ÈÓÒØ ÕÙØÖØ Ú ØÚ ØØÓÖÒÒ ÑÝ ÒÖÔÙÙÒ ÚÙÐÐ ÔÙÙ Ó ÓÐÑÙÐÐ ÚÒ Ð Ø ØÒ ÒÐÒ Ó Ò Ó Ø ÓÐÐ ÚÒ ØÒ ÚÙÓÖÓØÐÐÒ Ü¹ H H ÚÙÓÖÓØÐÐÒ Ý¹ ÙÙÒÒ Ñº ÙÙÖ ØÒ ÐÙ Ú ÙÙÒÒ ØÒ ÔÙÓÐ Ò Î ØÚ Ø ÓÐÑ ÙÐÓØØÙÚÙÙ ØÒ ÙÐÐÒ Ø ÓÐÐ ØÒ ÙÙÖÔ ØÒ Ü¹ÓÓÖÒØÒ ÓÐØ ÙÙÖÒ ÐÔ ÓÐÑÙ ØÒ ÐÙ ØÒ ÔÙÓÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÙÒ¹ ÔÙÓÐÚÖÙÙØÒ ÚÙÓÖÓÐÐÒ Ü¹ ÐÒ Ý¹ ÐÒ Þ¹ ÐÒ ÙÙÒÒ ÌÐÐ Ø ØØÓÖÒÒØØ ÙØ ÙØÒ Ã¹¹ÔÙÙ Ò ÓÐÑÙÔ ØÒ Ý¹ÓÓÖÒØÒ ÓÐØ ÈÙÙ ÒÝØ ÚÑÑÒ ÖÓ ÑÙØØ ÙØÙÑÒÒ ØÙÙ ÙÖÚ ÐÔ Ø Ú ÙÙÒÒ Òº Ú ØÚ Ø ÝÚÑÑÐÐ ¾ ¾ ËȹÔÙÙØ ÝØØÒ ØÝÝÔÐÐ Ø ÑÓÒÙÐÑÓÒ ØÐÐØØÑ Ò ÌÓ ÐØ ÓÐ ÑØÒ ÚÐØØÑØÒØ ÝÝØ Ñ ÓÒ ÔØ ËȹÔÙÙ ÂÓÒÒ ÝÚÒ ÑÖØÐØÝ ÑÓÒÙÐÑÓ ÑÖØØ Ò ÙØØ ÙÐÚÒ Ø ÓÒ ÙÔÔÓÖØ ÔÐÒµ ØÓ ÐØ Ó ÒÑÑÒ ÙÒ ÓÐÑ ÙÐÑÔ ØØØ ÚÐØØÑØØ Ò ØÔØÙ ÓØ ÙÓÖ Ø ÓÓÖÒØØ ÐÒ ÒÒ ÂÓ ÒÒØÒ ÙÒÒ ÓÐÑÙÒ ÑÖØÐÐ Ñ ØÒ Ó ÙÓ¹ ØØ ØØ Ò ÓÚØ Ñ Ø Ó ØÑÒ ÚÙÓ ÝÐÒ ÝØÒÒ ØÒ ÑÓÒÙÐÑÓØ ÓÐÑÓÒ ÚÑ ØÒ Ø Ú ÃÓÐÑÓ ØÐÐØØÒ ËȹÔÙÙÒ ÓÐÑÙÙÒ ÓÐÑÓÒ Ø Ó ÝØØÒ ËȹÔÙÙÒ Ó Ò ÓÐÑÙÙÒ ÓÒ ØÐÐØØØÙ Ú ØÚÒ Ó ÙÓ¹ ÖÒ»Ø ÓÒ ÝØРù¹ÔÙÙ Ó ØÒ ËȹÔÙÙÒ ÖÓ ØÔÙ ËȹÔÙÙ Ý ØØÓÓÒÔÐ ÒØÒ ÝØØØÝ ØØÓÖÒØØ ÓØ ÓÒ ÑÖ ÙÐÓØØÙÚÙÙ ÑÓÒÙÐÑÓÒ ÒÓÖÑÐÒ ÙÙÒÒØ ÒÝØØØݵ ½ ¼
9 ËÑ ØÓ ØØÒ ÖÙÖ Ú Ø ÙÑÑÐÐÒ ÐÓÙÓÐÐ ÚÐØÒ ÓÐÑÓ ØÒ ÓÙÓ Ò ÑÙÒ Ø ØÒ Ý Òº ÓÙÓÓÒ ØØÒ ÒÒ ÙÒ ÙÒ ÓÐÑÓØ ÖØØ Ó ÓÒ ÓÐÑÓ Ø ÑÐÐÒ Ñ Ø Ó ÓØ ÓÒ Ò ÚÓÒ Ñº Ý ØÑØØ Ø ÓØØ ÓÑÑÐÐ ÙÑÑÐÐ ÔÙÓÐÐÐ ÃÓÐÑÓØ ÚÓÒ ÓØØ Ý ÖÖÐÐÒ ËȹÔÙÙÙÒ ÑÒ ÚÓÒ ÑÝ ÐÒØØ ØÐÐ Ø ÓÐÑÓØ ÑÒ ÓÐÑÙÙÒ ÇÒÐÑ Ó ÑÓÒÙÐÑÓ ÓÐ Ô ØÑÒÒ ÚÐØØÑØØ ØÔÒ ÙÒ ÐÓØ Ã¹¹ÔÙÙÙÒ ÃÙØÒÒ ÝÐÒ ÓÐØØÒ ØØ ÓÓ ÓØØØÚ ÓÐÑÓÒ ÓÙÓ Ø ÓÓÒÒ ÓØ ÓÒ ÙÑÑÐÐÒ ÔÙÓÐÐÐ ÓÒ ÐÙ ÐÐ ÎÐØÒ Ý ÓÐÑÓ Ø ØÒ ÐÓÔÙØ ÓÐÑÓØ ÓØ ÓÒ Ø º Ð ÓØ Ó ÈÖÙ ÖØ Ù ÓÒ ÑÓÒÙÐÑÓ ÓØ ÓÒ ÓÐØ Ó Ò ÒÒ ØØ Ó Ø ÓÚØ ÓÑÑÐÐ ÙÑÑÐÐ ÔÙÓÐÐÐ Ö ÔÙÓÐÐÐ ¾ 1 2 ÅÖØÐÐÒ ÓÐÑÓØ Ñº ÐÙØØÐÑÐÐ ÙÐÑÔ ØØ ØÙÔÙÓÐÐØ ÐÓÖØÑÒ ØÓØÙØÙ 1 2 Ø ÓØØÙÒ Ú ØÔÚÒ p 0 p 1 p 2 ÂÚÐÐ ÓÐÑÓÐÐ ØÝØÝÝ ÑÖØØ Ò ÑÙÓÓ ØÑ Ø Ó ÂÓ ÝØØÒ ÓÐÑÓØ ØÝØÝÝ ÑÙÓÓ Ø ÓÐÑ ÓÐÑÓØ ÌÓÒÒ ÖØ Ù ÓÒ ÓØØ ÓÐÑÓ ÑÓÐÑÑÐÐ ÔÙÓÐÐÐ Ø Ó ÚÓÒ ÑÖØÐÐ ÒØÑÐÐ ÓÒ Ø ÓÒ Ô Ø v Ø ÓÒ N ÒÓÖÑÐ È Ø ÚÓÒ ÓØØ Ñ ØÒ ÓÐÑÓÒ ÙÐÑÔ Ø ÚÔ v = p 0 ÆÓÖÑÐ Ò Ö ØØÙÐÓÐÐ ÓÐÑÓÒ ÚÙ Ø Ñº N = (p 1 p 0 ) (p 2 p 1 ) ØÐÐÒ ØÝØÝÝ ËÈÒ ÐÔÝÒØ ÚÖØÒ ÓÐÑÓÓÒ ÐØØ ÓÒÒÐÒÒ ÐÔÔÙ Ò ÑÖ ÓÒÓ Ó ØÙØØØÙ ØÑ ÖØ Ù ÓÚÐÐÙ Ò ØÐÒØ Ò Ñº ØÖ ÐÙ Ú º Ö ÒØ
10 ÂÓ Ø ÑÙÙØ ÓÙÓÒ ÓÐÑÓØ ÚÖÖØÒ ØÒ ÓØ ÓÓÒ ÙÙÐÙÙÓ ÓÑÑÐÐ ÙÑÑÐÐ ÔÙÓÐÐÐ Ú ØÝØÝÝ ÔÐÓ ÌÙØØÒ ÑÐÐ ÔÙÓÐÒ ÓØ Ó Ý Ò ÓÐÑÓÒ ÓÐÑ ÙÐÑÔ ¹ ÂÓ ÓÐÑ ÙÐÑÔ ØØØ ÓÚØ ÑÐÐ ÔÙÓÐÐÐ Ø Ó ÓØØÒ ÓÐÑÓ Óº ÔÙÓÐÐÐ ØØØ p 0 p 1 p 2 ÓÚØ ÂÓ p ÓÒ ØÙØØØÚ Ô Ø ÒÒ p ÓÒ Ø ÓÒ Ó (p v) N > 0 Ó Ó ÙÐÑÔ Ø Ø Ø Ó ÑÙÙØ ÑÐÐ ÔÙÓÐÐÐ ÓØØÒ Óº ÔÙÓÐÐÐ ÓÐÐ Ó (p v) N = 0 ØÒ Ó (p v) N < 0 Ä ÒÒÒ ÔØÖÙÙÒ ÚÙÓ ÒÒØØ ÝØÒÒ ÝØØ Ó ØÖÐÐÒ Ø Ó ÚÓÒ Ñº ÓØØ ØÙÔÙÓÐÐÐ Ø ÐÒØØ ÑÒ Ð ØÒ ÖÓÐÑÓÒ Ò Ø º ÐÐ ÅÙÙ ØÔÙ Ô ØØ Ö ÔÙÓÐÐÐ ÓÐÑÓ ØÝØÝÝ ÔÐÓ ØÙØØÒ Ñ Ý ÙÐÑÔ Ø ÓÒ Ø ÓÒ ØÓ ÐÐ ÔÙÓÐÐÐ ÑØ ÒÓÐÐÒ Ø» Ô ÐÓÒ ¹ÖÓ Ô ØØØ ØÓ ÐÐ ÔÙÓÐÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó ÓÐ Ô ÐÓÒÒ Ô ÙÒÒ ÑÙÙØÒ ÔÒ ÚÙ ÓÐÑÓ Ø ÐÙ Ø ÐÔÓ Ø Ø ÓÒ ÚÖÐÐ ÔÙÓÐÐÐ ÌÓ Ò ÔÙÓÐÒ ÙÙ ÓÐÑÓ ÓÒ p 0 i 1 i 2 P 2 I 2 ÌÓÒÒ ÔÙÓÐ ÚÓÒ ÚÔ ÓÐÑÓ p 1 p 2 i 2 p 1 i 2 i 1 ÎÐ ÓØØØÚ ÙÓÑÓÓÒ ÖÓ ØÔÙ ØØ Ý Ô Ø Ø ÓÒ P 0 I 1 P 1 Ø ÑÐÐÒ Ø Ó ØÐÐÒ ÝÒØÝÝ ÚÒ ÓÐÑÓØ Ó Ô Ø Ñº p 1 ÝÒØÝÝ ÓÐÑÓØ p 0 p 1 i 2 p 1 p 2 i 2 ÇÐÓÓØ ÒÑ Ô ØØ ÚÔ p 0 p 1 p 2 Ø ØÒ ÙÖÚ ÚÚ ÑÒØÒ p 0 p 1 ÐÙ Ô Ø ÓØ ÓÒ Ò i 1 Ú ØÚ Ø ÚÚ ÑÒØÒ p 0 p 2 ÐÙ Ô Ø ÓØ ÓÒ Ò i 2 Ø º Ѻ ÌÖ¹ÔÖÙÙ
11 ÂÚÒ ÓÐÑÓÒ ÚÐÒÒ Ø ÂÓØØ ÔÙÙ Ø Ø Ò Ø ÔÒÓÒÒ ÒÒØØ Ò ÚÐØ ÓØ Ó ÂÓÒ ÝÚÝÝØØ ÖÚÓØ ÔÝÖØÒ Ø ÔÒÓÓÒ Ò Ó ÓÙÓÒ ÑÓÐÐ ÑÑÒ ØÖÒ ØÒ Ó Ò ÖØÖÒ ÚÐÐÐ Ø ÓÒ Ö ÔÙÓÐÐÐ ÓÐÚÒ ÓÐÑÓÒ Ù ÔØ ÓÐÐ ÑÓÐй ÑÓÒ ÙÒ ÒÖÙÔÙÙ ÚÓ ÙÓÒÓÐÐ ÚÐÒÒÓÐÐ ÔÙÙÒ ÑÑÒ ÐÐÐ Ý Ø ÝÚÝÝ Ú ÐÒÖ Ø ÓÐÑÓÒ ÑÖÒ ÒÒ ÌÓ ÐØ ÓÐÑÓÒ ÔÐÓÑÒÒ ÚÓ ÓÐÐ ÑÐÓ Ö ÓÔÖØÓ ØÓ ÐØ Ø Ó ÐÚ ÔØ ÓÐÐ ÑÓÐÐ ÑÑÒ ÚÒ ØÙÓØØ ÙÙÖÒ ÑÖÒ ÙÙ ÓÐÑÓØ Ñ Ø ÔÖØÑ Ø ÑÓÐÐ ÙÙ ÓÒ ÓØØ Ó ÐÐÐ ÓÐÑÓØ Ý ÖÖÐÐÒ Ó Ò ÓÙÙØÒ ÔÐÓÑÒ ÑÓÐÐÒÒ ÖØ Ù ÑÖØØÒ ÑÒÑ ÝÚ ÝØØÚ ÙÐÙÙ ÚÐØÒ ØÑÒ ØÝØØÚ Ø Ó Ø ÚØÒ Ó ÐÙÓØÐÐ ÐÓÔÙØ ÓÐÑÓØ ÐÐ ÙÚØÙÐÐ ÐÓÖØÑÐÐ ÓÐÑÒ ÖÝÑÒ ÔÐÓÑ ØÙÓØØÚ ÔÒÒÒØÒ ÝÚ ÝØØÚ ÙÐÙ٠Ѻ ØÒ ÚÓÐе ÓÒ Ø ÓÒ ØÙÔÙÓÐÐÐ ÓÐÚØ Ó ÝØÒ ÝÚ ÝØØÚ ÖØ Ù ÐÝÝ Ø Ó ÐÚØ Ø ÓÒ ØÒ ÓÐÚØ ¼ ½ ÌÓÒÒ ÑÓÐÐÒÒ ÖØ Ù Ð ØÒ Ó Ò ÓÒ ËÈ ² ÒÝÚÝÝ ÑÐÖÒ ÐÓÖØÑÐÐ ¹ÔÖÖÓÒ Ð ÒÒ ÓÒÐÑ Ñ Ö ØÝ ÙÚÒ ÑÓÒÙÐÑÓØ ÙÓÒÓÙ ÐÙÙ ÔÒÓØØÑÐÐ ÓÔÚÐÐ ÖØÓÑÐÐ ÔÐÓØØÚÒ ÓÐÑÓÒ ÑÖ ÓÒ Ô ÙØ ØÙÐ ÔÖØ ÓØØ ÑÔÒ ÓÐÚØ ÓØØ ØÙÐÚØ Ò ÔÖÖØÝ ØÑÔÒ ÓÐÚÒ ÔÐÐ ÚÐØÒ ÔÒÑÑÒ ÙÓÒÓÙ ÐÙÚÙÒ ÓÑÚ Ó Ó Ö ØÝ Ø ÚÐØØÑØØ ÓÐÑ Ó ÑÙÒ ¹ ÓÒÚ ÑÓÒÙÐÑÓØ ÑÓÒÙÐÑÓØ ÐÚØ Ø Ó ÝÐ ÔÐÐ ÝÝ ÂÓ ÒÝÑÒ ÑÓÒÙÐÑÓØ ÓÒ ØÐÐØØØÙ ËȹÔÙÙÙÒ ÚÓÒ Ó ÔÖØÓÖ ØÝ ÐÝØ ÐÔÓ Ø ÖØÓÓ Ñº ÓÒÐÑØ ÔÐÓÑÐÐ ÑÓÒÙÐÑÓØ ÄØÒ ÐÐÐ ÔÙÙÒ ÙÙÖ ÓÐÑÙ Ø Ø ÓØÒ ÑÐÐ ÔÙÓÐÐÐ ÓØ Ó Ø Ó ÓÒ ÀÚÒØÓ ÙÒ Ø Ó ÓÒ ÓØ ÓÒ ÝÐÐ ÔÙÓÐÐÐ ÑØÒ Ø ÓÒ ØÓ ÐÐ ÔÙÓÐÐÐ ÓÐÚØ ÔÓÐÝÓÒØ ÚØ ÚÓ ÔØØ Ø ÓÒ Ø ÓÒ ¾
12 ËÑ ØÖ ØÐÙ ØÓ ØØÒ ÖÙÖ Ú Ø ÐÔÙÒ Ó ÔÙÓÐÐÐ ÓÐÚ ÔÓÐÝÓÒ Ø ÓÐÑÙÒ ÑÓÒÙÐÑÓØ ÓÐÑÙÒ ÑÓÒÙÐÑÓ ÚÓ ÔØØ Ø ÓÒ Ø ÓÒ ÔÙÓÐÐÐ ÓÐÚ ÓÐÑÙ ÔÓÐÝÓÒ ÒÒ ÑÐÑ ØÙÐ ÔÖÖØØÝ Ø¹ØÒ¹Ö ØÝ Ó ÔØØÝØ ÔÔÐØ ÔÖÖØÒ ÒÒÒ ÔØØ katsoja Ò º ÑÐÖÒ ÐÓÖØÑ Ñº Ò ÑÑ ÓÓÑ ÒÝÚÝÝ ØÖ ØÐÙ ÓÐ ÓØØÙ ÒÒ ÆÝÝÒ ¹ÔÙ ÙÖ ÙÓÐØ ÚÑ Ø ØØ ØÒ ÓÐÚ ÔÔÐØ ÔÖÖØ ÓÐÚÒ ÔÐÐ Ë ÔÖÖØÒ Ò Ò Ø ÓÒ ÒÒ ÓØ ÓÒ ØÓ ÐÐ ÔÙÓÐÐÐ Ø ØÒ ¹Ö ØÝ Ø ÝØÝ ÁØ ÙÙÖ ÔÒÚ ØÓÒ ÓÒ ÔÖÑÔ ØØ ÑÓÐÐ ÑÑÒ ÑÓÒ ÓÐÚÒ ÐÔÙÙÒ ÑÓÒÙÐÑÓØ ØØÒ ÓÐÑÙÒ ÑÓÒÙÐÑÓ ØØÒ ÔÖÖØØÚ Ô Ð ÝÐØÒ ¹Ø Ø ÓÐÐÓÒ Ø Ø ÙÖÚ ÚØ Ô ÐÐÙÙÒÐÐ ØÖÚØ Ø ØÙÔÙÓÐÐÐ ÓÐÚÒ ÐÔÙÙÒ ÑÓÒÙÐÑÓØ Ë ÐÐÐ ÓÐÚØ ÔÔÐØ ÒÒØØ ÔÖØ Ò Ò ÓÐÐÓÒ ÑÝÑÑÒ ÔÖÖØØÚØ ÔÔÐØ ÓÚØ ØÒ ÝÐØÒ ¹ Ø Ø ÎØÑÐÐ ÔÖØÓÖ ØÝ Ñº ÐÓÖØÑ ÔÒÚ Ø ØÙÐÚØ ÔÔÐØ ÔÖÖØÝ Ø Ø ¹Ö ØÝ ÌÓ ÐØ ÐÔÒÝÚÒ ÔÔÐÒ ÝØØ ÚØ Ø ØÒ ÌÔÒØÓÒ ÔÓ ØÓ ÝÚÒ ÐÔÔÓ ØÓØÙØØ ËȹÔÙÙÒ ØØÐÝÒ ËÈ ² ÙÐÐÒ ÝØÝ ÃÙÒ ØÖ ØØÒ ÓÒÓ Ø Ó ÓØ ÓÒ ØÙ¹ Ú ØÔÙÓÐÐÐ ¹Ö ØÝ Ø ÑÖÝØÝÝ ÑÐÐ ÓÒÓ Ø Ó ÑÓÒÙÐÑÓÒ ØÙ¹ Ú ØÔÙÓÐÐÐ ÐÑÑ ØÔÙ ÚÓÒ ÑÓÒÙÐÑÓ Ö
13 ØÓ ÐÐ ÔÙÓÐÐÐ ÓÐÚ ÑÐÐÒ Ó ÓÐ ÐÒÒ ÒÝÚ ËÈÒ ÝØØ ÒÖÙ ØÙÑÖ ÒØÒ ÎÒ ÒÖÙ ØÙÑÒ ÐÐ ÓÐÚØ ÓØØ ÒÝÚØ Ø ÓÐÐ ÚÓÒ ØØ Óº ÔÙÓÐÚÖÙÙ ØØÐÑØØ ÃÖ ÒØ ÒÖÙ ØÙÑÒ ÙØÒ ÚÓÒ ØÓØÙØØ Ý ÒÖØ ÐÐ ÐÓÖØÑÐÐ ÐÓØØÒ ÔÙÙÒ ÙÙÖ ÓÐÑÙ Ø ÂÓ ÓÐÑÙ ÓÐÚ ÑÓÒÙÐÑÓ Ð ÖÙ ØÙÑ ÔÖÖØÒ ÌÙØØÒ ÑÐÐ ÔÙÓÐÐÐ ÓÐÑÙÒ ÓØ Ó ÖÙ ØÙÑÒ Ò ÙÐÑÔ ØØØ ÓÚØ ÚÓÒ ØÓØÙØØ Ð ÑÐÐ ÙÒÒ Ô ØÒ ØÙÑÖÐÐÒÒ ÂÓÒÒ ËÈÒ ÓÐÑÙÒ ÓØ Ó ÚÖÙÙÒ ØÒ Ø ÝÝ Ø Ó Ø Ó ÑÐÐ ÔÙÓÐÐÐ Ø Ó ØØÒ ÒÓ ØÒ Óº ÔÙÓÐØ ÔÙÓÐÚÖÙÙØÒ ÂÓ ÒÖÙ ØÙÑ ÓÒ ÓÓÒÒ ÓØ ÓÒ ÝÐÐ ÔÙÓÐÐÐ Ø ÓÒ Ú ØÚÒ ÐÔÙÙÙÒ ÑÙÙØÒ ÝÒ ÑÓÐÑÑ ÐÔÙ ÂØØÒ ØØ ÖÙÖ Ú Ø ÐÔÙ ËȹØÒ Ø ÀÙÓÑÓØ ËÈÒ ÖÒØÑÒÒ ÙØÐÐ Ò Ø ÈÑÑ ØÔÙ nò ÑÓÒÙÐÑÓÒ ØÐÐØØÑÒÒ ÚÓ ÚØ O(n 2 ÓÓ Ò ËȹÔÙÙÒ ) ÈÙÙ ÑÓÐÐ Ø ÓÓØ O(n 3 ) ÀÙÒ ÒÓÔÙ ÚÖÖÒÒÓÐÐÒÒ ÔÙÙÒ ÝÚÝÝØÒ Ó Ø ÔÒÓ ÔÙÙ ÓÒ ÐÓÖØÑÒÒ ÓÐÑÙÒ ÑÖÒ ÒÒ ËÈÒ Ú Ø ÑÙÙØÓ ÐØÒ ÌÒ ÓÚÐØÙÙ ÔÖØÒ ØØØ ØÒ ÓÑÒ ÙÙ Ò Ð ¹ ÒØÒ ÙÓÒÓÑÑÒ ÝÒÑ ØÒ ÓÑÒ ÙÙ Ò ØØÐÝÝÒ ½ ¼
14 ÑÓÒÙÐÑÓ ÓÒ ÓÓÒÒ Ó Ò ÑÙÙÒ ÑÓÒÙÐÑÓÒ ÓÒÒ ØÙÔÙÓÐÐÐ ÄݹËÈ ² ÓÒÚ Ø ÓÐÙØ ÀÚÒØÓ ÖÔÔÙÑØØ Ø ÑØÒ ÓØ ÓØ ÚÐØÒ ËÈ ÃÓÒÚ ÓÙÓ ÚÖغ ÙÓÒ ÚÖÙÙÒ ÓÒÚ Ò Ó Ò ÑÓÒØÓ Òµ ÓØÙÙ Ø ØØ ÙÒ ÓØ Ó ÚÖÙÙÒ ØÒ ÔÙÓÐÚÖÙÙØÒ ÓÒÒ ÓÐÑÙ ÓÒ ØÐÐ ØÒ ÔÙÓÐÚÖÙÙ Ò ÐÙ ÓÒÚ Ò ÔÔÐÒ ÐÙ ÓÒ ÓÒÚ ËÈØ ÚÓÒ ØÑÒ ÚÙÓ ÝØØ ÑѺ ÑÒ ÑÓÒÙÐÑÓØ ¹ÓÒÚ ÓÙÓ ÓÒÚ Ò ÓÙÓÒ ÇÐØØÒ ØØ ÑÓÒÙÐÑÓÐÐ ÓÒ ÒÓÖÑÐ Ð Ò ÓÚØ ÙÙÒÒØØÙ ÎÓÒ ÑÖØÐÐ ØØ ÓÙÓ ÑÓÒÙÐÑÓØ ÓÒ ÓÒÚ Ó ÓÙÓÒ ÑÓÒÙÐÑÓØ Ó ÓØØÚØ ØÐÐÒ ÓÒÚ Ò ÐÐ ¾ ÄݹËÈ ÒÑÒ ÑÙ Ø ÓÐÑÓØ ÓØØÒ ÐØ ÓÐÑÙÒ ÆÝØ ØÝØÝÝ ÙØÒÒ ÔØ Ö Ò Ö Ø ÑØ ÓØ Ó¹ ÓÐÑÙÒ ÌÓØÙØØÒ ËÈ ÚÒ ÙØÒ ÒÒÒÒ ÑÙØØ ÓÓÐÑÓØ»ÓÐÑÓØ ÓÒ Ó ÝØØØÝ ÓØØ Ñ ÚÐØ ÙÙ ØÒ ÓØ Ó ÚÓÒ Ñº ÑÖØ ØÐÐ ÓÐÑÓ ØÝØÝÝ ÔÖÝØØ Ó ÓÐÑÓØ ØÒ ÃÙÒ ÓÐÑÓÓÙÓ Ø ÐÝÝ Ò ÝØØÑØØÑ ÓØ Ó Ø ØÐÐÒÒØ ÓÐÑÙÙÒ ÚÒ ÖÖØÒ ØÙÔÙÓÐÒ ÓÐÑÓÓÙÓÓÒ ÓÐÑÓØ ØÚÐÐÒ ÔÙÓØØÒ Ð ÔÒ ÔÙÙ ØÒ ÐØ ÓÐÑÙ Ó Ò ÚÖ Ó ÑÓÐÐ Ø ÓØØ ÓÓÐÑÓ ÑÝ ÑÓÐÑÑÐÐ ÔÙÓÐÐÐ Ó ÑÓÒÙÐÑÓØ ØÙÐØÒ ÔÙÓÐ Ø º ÓÐÑÓÓÙÓ ÑÙÓÓ Ø ØÐÐÒ ÝÒ ÓÒÚ Ò ÓÐÙÒ ÑÖ ÑÑ ËȹÙÚ ÑÓÒÙÐÑÓØ ÑÓÒÙÐÑÓ ÚÓ Ý Ò ÓÐÐ Ò ÌÑÒ ÐÒ Ó ÝØØØÝ ÓÐÑÓØ ØÐÐÒ ÚÒ ÙØÒ ÑÙÓÓ Ø ÚØ ÝÒ ÓÒÚ Ò ÓÙÓÒ»ÐØ ÓÐÑÙÒ ÑÓÒ ÑÙØÒ ÓÐÑÓØ ÑÓÒÙÐÑÓØ ÑÓÒÙÐÑÓ Ý ÒÒ ÌÒ ÚÓÒ ÝØØ ÑѺ ÚÓÐÝÝÑÑÐÐÒÒÙ Øݹ ØÒ ÚÓÒ ÔÐÓ ØÖÔÒ ÑÙÒ ÙÖÚÒ ÓØ ÓÒ ÙØÒ Ò»ØÝÒ ØÐÓÒ Ø Ñ Ò
15 Ë ØÐÓÒ ÔÖÖÓ ÄݹËȹÐÓÖØÑ ÚÓÒ ÝØØ ÔÖÓ ¹ Í Ò ÓÐÐÒ ÒÒÓ ØÙÒÑÔ ØÐÐ ØÚÓÒ ÖØÙ Ø ÐÙ Ø ÙÒ ÓÒØÚÒ ÑÒ ÑÓÒÙÐÑÓÓÙÓ ÓÒÚ Ò ÙÓÒ Ò ÓÐÙÒµ ÒØ ÖÚ Ø ÑÓÒÙÐÑÓØ ÌÐÐÒ ÝÐÒ ØÚÑÔ Ó ÑÓÒÙÐÑÓØ ÔÐÓØ ÚÒ Ø Ø Ð ÔÒ ÔØÒ ÚÒ ØÐÐ ÐÒ ÒÒ ÑÓÒÙÐÑÓÒ ÓØ ÐÚØ ØÐØÚÒ ÓÐÚ ÐÙØØ ÑÝ ÖÙÒÐÐ ÓÐÚÒ ØÓ Ò ÒÓÒ ÓÓÒÒ ÓÒÒ ÓØ ÓÒ ÚÖÐÐ ÔÙÓÐÐÐ ÚØ ÑÓÒÙÐÑÓØ ÐØÒ ÔÓ ÌÝØÝÝ ÙÓÑØ ØØ Ó ÓÒÚ Ò Ó Ò ÓÐ Ý ØØÒÒ ØÙÐÓ ÖÔÔÙÙ Ø Ñ Ö ØÝ ÑÓÒÙÐÑÓØ ÓÒ ÚÐØØÙ
ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº
ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð
Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º
Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ
È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»
È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ
Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø
4 E 5 G 6 10 H D A 4 E
ØÙغ ØÒ ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ ÖÒ Ë Ø ÐÓÒ ÔÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØÒ ÓÒÒ Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐÒ ÖÖ ÐÐÒ ÚÒ ÔÒ Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù ØÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò ØØ ÓÐÙÖ µ Ë Ø ÐÓÒ ÔÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ
ÚØ ØØ Ò ØÙÐ > ØÒÔØ ÑÝ ÐØ ÑÐ ØÐÐÒ Ö ØÝ Ò ½ ÌØÚÒ ØØÐÙ ØØÚÒ ÖØ ÑÒÒ ØØÓÓÒÐÐ ÐÐÝØØ ÓÔÚ ÐÓÖØÑ Í Ò ÑÐÓ ÝÐ ÐÐ Ø ÓÐÐ ÙÚÐØÙ ØÓÑÒØÓ À ØØÓÓÒÓÐÑ ÚÒ ØÓÑÒØÔÖØ ØÚÓØØÒ
ØÒÐÐÒÒ ÝÐÓÔ ØÓ ÌÑÔÖÒ ÐØÓ ÅØÑØÒ ØØÓÓÒ ÓÐÐ ÖØØ ÎÓÓ ÝÑÔØÓÓØØÒÒ ÙÓÖØÙ ÊØÒ Ø ÑÒÒ ØØÓÓÒÐÐ ÎÐ Ù ÐÓÖØÑÒ ÑÐÑÒ ÒØØ ÎÐÑÖ ½ ÌØÚÒ ØØÐÙ ØÖÒ ÐÓÖØÑ ÈÖÓÖØØØÓÒÓ ÐÒÒÙÒØ¹Ø ÝÝÐÐ ØÒÚØÓ Î ÄÌ̹½¼¼ ÎÐ Ù ÐÓÖØÑÒ ÑÐÑÒ Ý Ý ¼½ ¼»½½
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ
el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (
ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ
Symmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU TEKNISKA HÖGSKOLAN HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
ÆÖÒÒ ÂÖÓ ÓÖÓÙÐÙ ÌÒÐÐÒÒ ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU TEKNISKA HÖGSKOLAN HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ÔÖÓÖ¹ ÔÓ ØÖÓÖ ¹ÚÖÒÐÝÝ ÐØØÑÐÐÒ ÐÑÒØØÑÒØÐÑÐÐ ÄØÓ ÔÖÙÖ ÓÖ º½½º¾¼¼ ÅØÑØÒ ÐØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓÒØÓ ¾ ÑÐÐÒÒÙ ÄØØÖÒØÒ
3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö
À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø
Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº
º ÖØØ ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÌÓ ØÙ º ÄÙ Ò ÙÓÖÐÐ Ð ÙÐÐ ÙÒ ÓØØÒ ÙÓÑÓÓÒ ØØĐ Ó ÒÒ ½ Ó ½ ½ ½ ¼ ½ Ô ¼ Ó ½ Ô Ò ½ ËÙÖÚ ÑĐĐÖØÐÐĐĐÒ ÓÒÚÓÐÙÙØÓØÙÐÓ Ò º ÀÑÖ¹ØÙÐÓ Đº ÅĐĐÖØÐÑĐ
ÄÙÙ ÖØØ ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÇÐÓÓÒ ÔÓ ØÚÒÒ ÓÓÒ ÐÙÙº ÅĐĐÖØÐÑĐ º Ñ µ ѵ ÐÐ Ñ º ÇÒ ÐÚĐĐ ØØĐ ÓÒ ¹ÙÐÓØØÒÒ ÐÒÖÒÒ ÚØÓÖÚÖÙÙ ÙÒ Ð ÙØÓÑØÙ Ø ÑĐĐÖØÐÐĐĐÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ØÚÐк ÅĐĐÖØÐÑĐ º ÂÓ ÒÒ µ ѵ ½ ½ ¼ Ñ µ ѵ ½ Ñ ½ Ñ Đ ÂÓÒÓ ÓÒ
½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061
JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA
Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ
Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò
Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.
Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ
d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j
¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò
:: γ1. g 1. :: γ2. g 2
ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::
F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º
ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø
ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì
p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2
º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾
Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ
ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ
ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º
ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó
ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ
È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð
Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
139/ /11034 = 0.58
ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ
Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø
È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ
ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø
q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =
ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ
¾º C A {N A } K N A º A B N B
Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó
ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý
Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø
0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
ÄÇÄÁ ÇÈÌÁÅÇÁÆÌÁ ÈÇËÁÌÊÇÆÁÅÁËËÁÇÌÇÅÇÊÁ¹ÃÍÎÆÌÅÁËÆ ÄÁÁÌÌÎËË ÅÄÄÁÆÌÅÁËËË Ã ËÖÓÐÑ ÈÖÓ ÖÙ ¹ØÙØÐÑ ÌÑÑÙÙ ¾¼¼ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÅÌÅÌÁÁÃÆ ÄÁÌÇË ¾¼¼½ ÌÍÊÃÍ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÅØÑØÒ ÐØÓ ËÊÀÇÄÅ ÃÁË ÐÓÐ ÓÔØÑÓÒØ ÔÓ ØÖÓÒÑ ÓØÓÑÓÖ¹
Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º
T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =
º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) PC(R) º½ ÓÙÖÖ¹ Ò ÐÝÝ º ÒÐ Òµ ÅÖ Ø ÐÐÒ T ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f T (x) = f(x), T 2 < x < T 2, ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹ÖÖÓ Ò c k = 1 T T 2 T 2 f T (x)e i2π k T x dx.
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö¹ Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò Ò ØÙÖÚ ÐÐ ÙÙ ØØ Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ø Ø Ó ÐÐ ÑÖØÒ ÓÖ ¹ Ò Ø Ó
Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ
Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È
ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ
A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò
ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ
½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1
![½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1](/thumbs/65/53346653.jpg "½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1")
½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ
à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º
Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ
Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon
Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n
ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø
Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).
ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú
ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊÃ ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁÃ ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º
Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ
Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø
Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÐÑ ØÓÒÑÙÓ Ù Ñ Ö ÙÓÐ Ò Ø Ó ÐÐ Ú Ù¹ ØÙ Ø Ñ Ö ÐÐ Ò ÙÑ
ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÄÅ ËÌÇÆÅÍÇÃà ÍË Å ÊÁËÍÇÄ ÁÆ ÃÌÁÇÁÄÄ Î ÁÃÍÌÍÃË Ì Å Ê ÄÄÁËÁÁÆ ÃÍÅÈÍà ÊÊÇËÈÁÄÎÁÁÆ Â Å È ÄÄÇÆ Ë Ì ÁÄ Ì Ë Ë Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÂÝÖ Å Ð Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ã ÒÓØ Ó Ø Ò Ò ÙÖÓÚ Ö Ó Ò ØÝ ØØ Ø ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ À Ð Ò ¾º º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ
Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò
Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø
È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ
¼ Ý Ú Ý ¾µ Ò ÑÜ Ü ¼µ ½¼ Ü ÚØØ ÖÚÐÐ Ý ÖÚÐÐ ØÒ ÙÒØÓÓÒ ÊÚÐÐ Ø Ò ÑÖØØÐ Ó Ò¹ÐÙ ØØ e Ó Ù ÚÒ ÒÒ Ò ÒÑ x ØÖÓØØ ÐÙ ØØ d ÚÒÒØÒ ß ÑÖØØÐÝ ÐØ 1 ¾¾ ÈÐÐ Ø ÑÖØØÐÝØ ¾¾
ÅÙØØÒ ÓÐÑÓÒØÐØÒ ØÔÒ ÑÝ À ÐÐ ÐÐ ÐÐ ÑÖØØÐÝ ÓØ ÒÝÚØ ÚÒ Ø ÖÓØØ ËÐÐÓÒ ØØ ÑÓ ÓÚØØÒ ØÑÒ ÐÙ Ò ÖÚÓÓÒ ÆÑÒÒÒ Ú Ò ÔÙÓÐ ÓÒ ÑÓ ÔÐ Òѵ ÓØØ Ò ÒÑØØÝ ÖÚÓÒ ÑÙÙØØÙÒ ÖÙÖ Ú Ø ÑÙØÙÐÐÝ ÖÙÖ Úµ ÚÙÓÖÓØØÒ ØÓ Ò ÅÙ Ø ÓÐÑÓÒØÐ Ø ØÙØÙÒ
1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
ÃÙ ÖÓ ÚÙ ÓÔ Ø ØºÒ Ø ½ Ì ÓØ Ò Ù Ú Ö ÚÓÒ Ð Þ Ò Ð Ò ÚÙÒ¹ ÒÙ ¾ ÇÐ ÑÑÓ Ö ÒÒÝ ØÙ Ù ÖÙ ÓÔ ØÙÒ ÙÑ Ø Ö Ù ÐÙ Ý Ø Ò Ú Ö ÚÓÒ Ð Þ Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ò Ò ØÙÚ º Ê Ó Ø ØØÙ
½ Ì ÓØ Ò Ù Ú Ö ÚÓÒ Ð Þ Ò Ð Ò ÚÙÒ¹ ÒÙ ¾ ÇÐ ÑÑÓ Ö ÒÒÝ ØÙ Ù ÖÙ ÓÔ ØÙÒ ÙÑ Ø Ö Ù ÐÙ Ý Ø Ò Ú Ö ÚÓÒ Ð Þ Ò Ð Ò Ö Ð Ò Ò Ò Ò ØÙÚ º Ê Ó Ø ØØÙÐÓ Ò Ö ÙÖ Ó Ò ÖÙ ÚÓ ÔÖ ÒØ Ô ÒÒÙ ÓÒ ÓÐÐÙ ØÝ Ô ÐÓ ÖÙ ÑÙ Ý Ò Ö Þ Ø Ù ÚÓ Ø
ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼
Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ô ÐÚ ÐÙÚÝÐ Ò Ñ Ö ØÝ Ô ÐÚ ÐÙ ÙÙÒØ ÙØÙÒ Ö Ø ÐÑ ÒØØ Ë Ù Ó À Ð Ò º¾º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ô ÐÚ ÐÙÚÝÐ Ò Ñ Ö ØÝ Ô ÐÚ ÐÙ ÙÙÒØ ÙØÙÒ Ö Ø ÐÑ ÒØØ Ë Ù Ó À Ð Ò º¾º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç
λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.
Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ
y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ
ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò
Ä ÖÓ Ò ÒØÝÑ Ò Ò Ù Ø Ð Ó Ò Ô ÐÐÓÒ Ñ ØØ Ú Ë ÖÔ È Ý Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÓÐÓ Ò Ð ØÓ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ Ä ÖÓ Ò Ö ÒØ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾
ÙÒØÓÒ ÚÐØ Ñ Ò ÚÙ Ø º½ Ö ÙÓÖØÙ ÑÒ Ñ ÓÐÐ ÓÐ Ù Ò ÔÖÑÔ Ë Ø ÓÔÖØÓØ Øº ËØÒ ÓÓ ÚÐØÙÐÓ Ø Ó ÙÐ Ò Ð Ø a ÔØÒº ÓÐÖ Ø ÓÔÓ ÓÓ Ð ØÒ a ÖÙÖ ÓÔÒÓÓÒ ÒÒÒ ÙÒ Ð ÓÓÑÒ ÐÓÔÔÙØ
ÙÒØÓÒ ÚÐØ Ñ Ò ÚÙ Ø º½ º½ ÙÒØÓÒ ÚÐØ Ñ Ò ÚÙ Ø ËÑÒ ÙÒØÓÒ Ö ÑÙÓØÓÒ ÒØÖÔ ÚÓ ØØÒÒ ÓÐÐ ÙÙÖ ÖÓ ÇÐÓÓØ ÐÐ µ = (++) 0 l = 0 r = º ÃÙÑÔÒ ØÓØÙØØ ÚÓÖ ØÓÒ ÙÒØÓÒ ÓÒغ ÓÐÖ¹ØÓØÙØÙ ØÓÑ ÐÒÖ Ø ÓÐйØÓØÙØÙ ØÓÑ Ø ÒРغ ÖÓ ÓØÙÙ
Referenced. Object. StateSet. Node. Geode
ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÁÖÖÐ Ø Ò Ò ¹ Ö ÑÓÓØØÓÖ Â ÒÒ Ä Ù Ö Ò Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ
ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ
ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½
Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ
ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ Ä À Ø Ö ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÐÑ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÀÁ Ì ÊÁÆÌ Ä ËËÁ ÅÙÙÖ Ý Ý ÙÒØ ÓÔØ ÑÓ ÒØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½¼ º Ð Ø º ËÓÚ ÐÐ
ÐÖÒØÒ Ø ÒØ ÓÒ ÑÒØÐÑ ÒÒ ØØÒ ØÙÒÒ ØÑ Ò ÓØ Ù¹ ÚÚØ ÒÒÓ ØÚ Ø ØÓ ØÙÚ ÐÖÒØØ ÖÒØ Ø º ÃÙÒ ÐÖÒÒ Ø ÓÒ ÐÝØØÝ ÚÓÒ Ø ÝØØ Ý ÒÖØ ØÑÒ Ø ÓÖÚÑÐÐ ÐÖÒØÒ ÐÑÒ¹ ØÝÑ ÚØØÙ ÐÐ Ô
ÑÓÒ Ø ÒØ ÖÒØ Ø ÓÑÓÐÝÝÐÒ ØÓ Ø ÌÓÑ ÃÙÔÔÒÒ ÌÓѺÃÙÔÔÒÒ ºÐ Òº ÌÓÒ ÐÓÙÒØ ÓÑÓÐÝÝÐÒ ØÓ Ø Ð ÒÒ ÝÐÓÔ ØÓ ØØÓÒ ØØÐÝØØÒ ÐØÓ ÊÔÓÖØØ ¾¼¼ ¾ º ÑÖÖ ÙÙ ¾¼¼ ÌÚ ØÐÑ ÓÐÓ Ø Ò ØÓ ÐØÚÒ ØØÓÒØÓÒ ÑÖ ÓÒ ÚÒÙØ Ú ÐÐÒ ÒÓÔ Øº ËÑÐÐ ÓÒ ÒÒØØØÝ
Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì Å Ó Î Ø ÁÈÄÇÅÁÌ Æ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÝ Ò Ò Ñ Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ È ÚÑÖ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÚÙÑÖ ¾ Ç ØÓ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÈÖ
Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ Å Ó Î Ø Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Òº ÔÓÓ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÈÖÓ ÓÖ ÒØ ÖÓ Ö Ó ÌÝ
arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET
Ë Ò Ö Û Ã Ò ½½ ¼¾ ÇÒ Ö Ä ÓØ ¼ ¼ ¼ ÔÖ Ð ¾¼¼¼
Ë Ò Ö Û Ã Ò ½½ ¼¾ ÇÒ Ö Ä ÓØ ¼ ¼ ¼ ÔÖ Ð ¾¼¼¼ ÓÒØ ÒØ ½ Í Ö ÓÙÑ ÒØ Ø ÓÒ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÓÑÑ Ò Ä Ò ÇÔØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ
Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº
ÌÙÖÚ ÐÐ Ò Ò ÙÐ Ó ÐÑ ÔÓ Ò Ò Ô ÐÓÑÙÙÖ ÔÐÓÑ ØÝ ÌÓÑ ÇÐÐ Ð Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì ØÓØ Ò Ò Ó ØÓ Ì ØÓÐ ÒÒ Ó ÐÑ ØÓ Ò ÑÙÐØ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó À Ð Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì ÒÓÐ
ÌÙÖÚ ÐÐ Ò Ò ÙÐ Ó ÐÑ ÔÓ Ò Ò Ô ÐÓÑÙÙÖ ÔÐÓÑ ØÝ ÌÓÑ ÇÐÐ Ð Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì ØÓØ Ò Ò Ó ØÓ Ì ØÓÐ ÒÒ Ó ÐÑ ØÓ Ò ÑÙÐØ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó À Ð Ò ÍÒ Ú Ö ØÝ Ó Ì ÒÓÐÓ Ý ÙÐØÝ Ó ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓÒ Ì ÒÓÐÓ Ý Ì Ð ÓÑÑÙÒ Ø ÓÒ ËÓ ØÛ
ONGELMA LASKENNALLINEN EI LASKENNALLINEN ONGELMA ONGELMA = RATKEAMATON RATKEAVA ONGELMA ONGELMA OSITTAIN RATKEAVA EI TEHOKASTA RATKAISUA
Ô ÖÙ Ñ ÐÐ Ø Ä ÒÒ Ò ÚÐÐ ¾¼½¼ ÐÙ ÒÒÓØ ÖØ Ò Ñ Ø Ñ ØÒ Ô ÖÙ ØØغºº Â Ñ Ò ØÝÝÔÔ Ø ØØ ÐÙ Å Ø Ñ Ø ÖØØ µ Ñ Ø Ñ Ø º Ù Ò ÅÓØÛ Ò ÍÐÐÑ Ò ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÙØÓÑ Ø ÌÓÖÝ Ä Ò Ù ÀÓÔÖÓ Ø ÓÑÔÙØ Ø ÓÒº Ò ØØÓÒ ØØ ÐÝØØÒ ÔÓÐÐ Ò Ò
139/ /11034 = 0.58
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ