¼ Ý Ú Ý ¾µ Ò ÑÜ Ü ¼µ ½¼ Ü ÚØØ ÖÚÐÐ Ý ÖÚÐÐ ØÒ ÙÒØÓÓÒ ÊÚÐÐ Ø Ò ÑÖØØÐ Ó Ò¹ÐÙ ØØ e Ó Ù ÚÒ ÒÒ Ò ÒÑ x ØÖÓØØ ÐÙ ØØ d ÚÒÒØÒ ß ÑÖØØÐÝ ÐØ 1 ¾¾ ÈÐÐ Ø ÑÖØØÐÝØ ¾¾
|
|
|
- Sanna-Kaisa Juusonen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 ÅÙØØÒ ÓÐÑÓÒØÐØÒ ØÔÒ ÑÝ À ÐÐ ÐÐ ÐÐ ÑÖØØÐÝ ÓØ ÒÝÚØ ÚÒ Ø ÖÓØØ ËÐÐÓÒ ØØ ÑÓ ÓÚØØÒ ØÑÒ ÐÙ Ò ÖÚÓÓÒ ÆÑÒÒÒ Ú Ò ÔÙÓÐ ÓÒ ÑÓ ÔÐ Òѵ ÓØØ Ò ÒÑØØÝ ÖÚÓÒ ÑÙÙØØÙÒ ÖÙÖ Ú Ø ÑÙØÙÐÐÝ ÖÙÖ Úµ ÚÙÓÖÓØØÒ ØÓ Ò ÅÙ Ø ÓÐÑÓÒØÐ Ø ØÙØÙÒ Ð Ð Ò ÐÜÐ ÓÔÒµ ÑÙ Ø ÝØØÒ ÒÝÚÝÝÒ ¾¾ ÈÐÐ Ø ÑÖØØÐÝØ ÈÐÐ Ø ÑÖØØÐÝØ ¾¾ ¾¾ ÈÐÐ Ø ÑÖØØÐÝØ ÑÖ Ð Øع ÑÖÑÑ ¾½µ ÓÒ ÝØÒ ÙÒØÓÒ ÐÙ ÚØ Ñ Ò ÑÙÙÐÐ Ð ØØ ÁÒØ ¹ ÓÓÐ ÁÒص ½ ËØ ÚÖØÒ ÓÒ ÐÙ ¾ Ð ØØ Ò ÐØ Õ Öµ ÕÙÓØÊÑ Ò ¾ ÐØ ÑÖØØÐÝ 1 Ò Ö½ Õµ ÑÖØØÐÝ k e Ò ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½½½ ½¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ÂÓÒÒ ÔÐÐÒÒ ÑÖØØÐÝ i ÓÒ ÑÓÐÐ Ø ËÑÒ ÐعÐÙ Ò ÑÖØØÐÝØ ÑÖØØÐÝ i ÈÐÐ Ø ÑÖØØÐÝØ ÈÐÐ Ø ÑÖØØÐÝØ ¾¾ ¾¾ ÑÖØØÐÝ j ÚÓÚØ ÚØØ ØÝÝÔØØØݵ ÖÙÖ Ú Ø Ø Ò ÙÒØÓÒ ÑÖØØÐÝ Ø ÒÑÒØ ÑÙÓØÓ ÝÑÔÖÚÒ ÐعÐÙ Ò ÑÖØØÐÝÒ ÑÓ ÐÙ ÝÑÔÖÚÒ ÑÓÒ ÑÙÙØØÙÒ Ò ÔØ ÓÐÐ ÒØØ ÐÒØ ÒÒ ÐÝØØÝ ÑÖØØÐÝ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½½¼ ½½¾ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼
2 ¼ Ý Ú Ý ¾µ Ò ÑÜ Ü ¼µ ½¼ Ü ÚØØ ÖÚÐÐ Ý ÖÚÐÐ ØÒ ÙÒØÓÓÒ ÊÚÐÐ Ø Ò ÑÖØØÐ Ó Ò¹ÐÙ ØØ e Ó Ù ÚÒ ÒÒ Ò ÒÑ x ØÖÓØØ ÐÙ ØØ d ÚÒÒØÒ ß ÑÖØØÐÝ ÐØ 1 ¾¾ ÈÐÐ Ø ÑÖØØÐÝØ ¾¾ ÈÐÐ Ø ÑÖØØÐÝØ Ü ½ ÐØ ¼ ¾ ÐØ Ü Ý ËÐÐÓÒ ÑÖ ÙÖÚ ÙÒØÓ ØÓÑ ÓÒ ÑÝ Ò Ü Ý¹½µ Ý ÔÖÑØÖÐÐ z = 0.0 ÒÚ Þ ½ ÐØ Ý ½¼» Þ ¾ Ò Þ ¼¼ ÊÚÐÐ ÚØØ ÖÚÐÐ Ý ÖÚÐÐ ØÒ ¼¼ Ð Ý ÊÚÐÐ ÚØØ ÖÚÐÐ ¾ Ý ÖÚÐÐ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½½ ½½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ÑÓÒØ ÒØ ÈÐÐ Ø ÑÖØØÐÝØ ÊÙÖ ÓÒ Ð ÙÙÒ ÚÙÓ ÐعÐÙ Ò ØÖ ¾¾ ¾¾ ÑÓÒØ ÒØ ¾¾ ÚÓ ÚÒ ÙÓÖÒ ÙÚÐÐ ÑÒØ ÓÖÚÙ ÐÐ ¾¾¾µ ÑÓÒ ÓÚØÙ Ò ÁØ ÔÐÐ Ò ÐعÑÖØØÐÝÒ ¾¾ µ ÌÖÒ ÑÒØÒ ÔÐØÒ ÑÝÑÑÒ ¾µ ØÝÐÐÒÒ ÝÒØ ÓÒ ÁÒØÙØÚ Ø ÐØ x d Ò e Ò e ÑÖØØÐÝ k Ð Ó ÝØ ØØÚØ ÑÖØØÐÝØ ÓÒ ÖÓØØØÙ ÚÐ ÙÓÖØ ÝØÒ ÑØÒ ÔÙÓÐÔ ØÒ ØÓ ØÒ ÐØÓ ÙÐÙÒ ÝÑÔÖÚ Ø ÐÓÓ Ø ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½½ ½½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼
3 ÔÙÓÐÔ ØØ ÐØÓ ÙÐÙØ ÚÓ ÓÖÚØ ÖÓØØÚØ ÒÒÝ Ò ÐÙÓÒØÚÒ ÈÖØØÒ ÓÒ ØØ ÑÔ ÒÝÚÝÝ ÐÙ ÙÐÓÑÑÒ ÓÐÐ ÔÙÓÐÐÐ ÒÒØÒ ÈÐ ÚÐÐÝÒØÒ Ð Ý Ø ÔÓ ØÓ ÚÓ ÑÙÙØØ ÑÖØÝ Ø ÐÓÓÒ ÃÝØ À Ðй ÝÒØ Ò ÐÐØ Ú ØÓÖ Ò ÒØ ÔÙÓÐ Ø ÒÒ ËÐÐÒÒ ÓÒ ÑÖ ÐØÓ Ò ÄÒÙܹÓÒÒ ÜÑ ÑÓÓ À ÐйÑÓ ØÓÖÒ Ë ÒÒ ÐعÐÙ Ò ÑÖØØÐÝØ d i ÐÑÒ Ñ Ø Ó Ø Ó ÓÒ ÚÖØÙÒ ÒÒ ÒÒÝ ÓÖÓ Ø ØØ Ò ÓÚØ ÒÒ ÌÑ ÑÙØØ ÚÖØÙÐÐ ÒÐÐ ÐØ Ð Ø ÑÒØ Ó ÑÓ f ÚØ 1 ÚØ m ÂÓÒÒ ØÙÐÓ ÓÐÓÓÒ ÒÒØØÝ ÓÑÒ ÔÝ ØÝÚÚÒ ÔÙÓÐÐÐ Ó Ò ÚØ ÑÖ ÚÐØÒÓ ÓÐÐ ØÙÐÓ µ ØÑ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÑÓ f ÚØ 1 Ø ÔÐÐ ÐعÑÖØØÐÝ ¾¾ µ ÐÙØØ Ò ØØ Ò ÒÝ ÚØ ØÑÒ ÒÒÒ Ò ØÒ À ÐйÐÒ ÓÒ ÙØÒÒ ÑÖØÐØÝ ÖÐÐÒÒ ÑÓÒØ ÒØ ÐÝÓÙØ ÖÙе ÓÐÐ ÒÑ ÐÓÓÒ ÅÖØØÐÝ ÒÒÒ ÒÒÝ ¾¾ ÑÓÒØ ÒØ ¾¾ ÑÓÒØ ÒØ ØÙÐÓ 1 ØÙÐÓ m ÄÝÒØ ÐÓÓ ÚÒ ÐÝØØ Ø ÂÓÒÒ Ö ÐÓÓÒ ÒÒ Ñ Ø ÓÐÐ ÓÒ ÚÒ ÐÓØØÚ ÔÝ ØÝÚÚµ Ó Ø ÓÒ ÒÑÒ f ÓÐÐ ÔÙÓÐÐÐ Ó ÒÑÒ f Ó ÐØØÝÚÒ ÑÓÒ ÑÙÙØØÙØ ÒÝÚØ ÚØÒµ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½½ ½½ ¾¾ ÑÓÒØ ÒØ ËÒØÓØ Ø ÑÖØØÐÝØ ¾¾ ÆÐÐ ÐÚÓÐÐ ÝØØÒ ÑÓÒØ ÖÓØØÑÒ Ò ËÒØÓØ Ø ÑÖØØÐÝØ ¾¾ Í Ò À ÐйÓÐÑÒ ÒØÒ ÒÒ ÐØ ÓÐÐ ÔÙÓÐÐÐ ÐØ ÑÖØØÐÝ 1 ØÙÐÓ 1 ÑÖØØÐÝ k e Ò ÚØ m ØÙÐÓ m ÖÓÒ ÑÙØØ ÚØ ÑÒÒÒ ÑÙÙÐÐ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½½ ½¾¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼
4 ÑÓ f ÚØ 1 ÚØ m ÂÓ Ø ÖÙÑÒØØ ÐÙ i Ò ÚÒÒØÒ ØØ ÒÒ ÓÔÓ Ú ØÚÒ ÚÖÖÒ ÂÓ ÓÔÚØ ÒÒ ÖÝÝØÒ ØÙØÑÒ ØÑÒ ÖÓ ÓÚØÙ Ò ØÙÓØØÑÐÐ ÑÙÙØØÙÒ ÒÒÒ ÖØÝ Ø Ñ ÑÙÙØØÙ ØÓ Ø ÑÒ Ö ÑÓ ÒÒÒ ¾¾ ÅÓÒÒ ÔÖÑØÖÒ ÙÒØÓØ ¾¾ ËÒØÓØ Ø ÑÖØØÐÝØ À Ðй ÝÒØ ÓÒ ØÒ ØÐÒØ Ò ÖÒÒ ËÐÐ Ò ÙÒØÓÒ ÓÒÒ ÒØ Ð ÑÙÓÓ ØÙÐÓ 1 f ÑÓ 1... ÑÓ p ØÙÐÓ m ÑÖØØÐÝ ÛÖ 1 ÑÖØØÐÝ k Ó ÓÒÒ ÑÓ i ÓÒ Ú ØÚ ØÝÝÔÔ ØÝÝÔÔ i ËÐÐ Ò ÙÒØÓÒ ÙØ Ù ÓÒ ÑÙÓØÓ ÅÝ ÛÖ¹ÑÖØØÐÝÐÐ ÓÒ ÑÓÒØ ÒØ ¾¾µ f ÐÙ 1... ÐÙ p Ó ÓÒÒ ÐÙ i ÓÒ Ú ØÚ ØÝÝÔÔ ØÝÝÔÔ i ÚÖØØÙ Ò ÛÖ ÑÒ ÓØÒ ÙÒ Ö Øµ ÔÐÐ Ø ÑÖØØÐÝØ ÙØÒ ÐعÐÙ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½¾ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½¾½ ÅÓÒÒ ÔÖÑØÖÒ ÙÒØÓØ ÅÓÒÒ ÔÖÑØÖÒ ÙÒØÓØ ¾¾ ¾¾ ÃÙØ ÙÒ ÚÒÒÝ Ò ÓÒ Ñ ÙÒ ÑÑÒÒ ¾¾¾µ ÅÓÒÒ ÔÖÑØÖÒ ÙÒØÓØ ¾¾ À ÐÐ ÓÒ ÑÝ > 1 ÔÖÑØÖÒ ÙÒØÓØ ËÐÐ Ò ÙÒØÓÒ f ØÝÝÔØÝ ÓÒ ÑÓÓÒ ÑÓ i f ØÝÝÔÔ 1 ¹... ¹ ØÝÝÔÔ p ¹ ØÙÐÓ ØÝÝÔÔ ÖÚÓÐÐ Ó ÓÒÒ ØÝÝÔÔ i ÓÒ Ú ØÚÒ i ÔÖÑØÖÒ ØÝÝÔÔ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½¾¾ ½¾ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼
5 Ò ØÝÝÔÔ ÓÒÒ Ó Ø Ý ÔÖÑØÖÒÒ ÙÒØÓ 1 ÖÚÓ ÓÒ ØÓÒÒ Ý ÔÖÑØÖÒÒ ÙÒØÓ 2 ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ ÓÐÑ ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ ÓÒ Ý ÔÖÑØÖÒÒ ÙÒØÓ p ÓÒ ÖÚÓ ÓÒ ØÝÝÔÔ p ØÝÝÔÔÓÒ ØÖÙØÓÖ ¹ ÓÒ ÓÐÐ Ó ØÚÒÒ ÓØÚµ ÖØ ØØ ÑÝ ÑÓÒÒ ÔÖÑØÖÒ ÙÒØÓÒ ÚÓÒ ØÝÝÔÔ ¾¾ ÅÓÒÒ ÔÖÑØÖÒ ÙÒØÓØ À ÐÐ ÐÐ ÑÝ ÙÒØÓÒ Ó ØØ Ò ÓÚÐØÑ Ò ËØÒ ÝÒ ÑÓÒÓÒ ÓØØÚ ÙÒØÓ ØÝÝÔÔ ¾¾ ÅÓÒÒ ÔÖÑØÖÒ ÙÒØÓØ ÔÖØÐ ÔÔÐØÓÒµ ÖÙÑÒØØÒ ÙÒØÓÐÐ ÚÓ ÒØ ÚÑÑÒ ÖÙÑÒØØ ÐÙ f 1.. ÐÙ. q ØÝÝÔÔ 1 ØÝÝÔÔ 2 ØÝÝÔÔ 3... ØÝÝÔÔ p µ ¹ ØÙÐÓ ØÝÝÔÔ ÌÐÐÒÒ ÐÙ ÓÒ ØÝÝÔÔ ØÝÝÔÔ q+1 ¹... ¹ ØÝÝÔÔ p ¹ ØÙÐÓ ØÝÝÔÔ Ð ØÒ Ñ ÙÙ p q ÔÖÑØÖÒ ÙÒØÓ ØÝÝÔÔ 1 ¹ ØÝÝÔÔ 2 ¹ ØÝÝÔÔ 3 ¹... ¹ ØÝÝÔÔ p ¹ ØÙÐÓ ØÝÝÔÔ ÃÙÒ ÔÙÙØØÙÚØ ÖÙÑÒØØ ÐÙ q+1... ÐÙ p ÌÑÒ ØÝÝÔÔÑÙÙÒÒÓ Ò ÒÑ ÓÒ ÙÖÖÝÒ ÙÓÑ ÚÔ ÙÖØÙ µ ØÙÐÓ ÒÒ ÓÒ f ÐÙ 1. ÐÙ.. q q+1... ÐÙ p ÐÙ ½¾ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½¾ ÅÓÒÒ ÔÖÑØÖÒ ÙÒØÓØ ¾¾ ¾¾ Ë ÑÓÒÔÖÑØÖ Ò ÙÒØÓÒ ØÝÝÔÔ ÓÒÒ ÅÓÒÒ ÔÖÑØÖÒ ÙÒØÓØ ÑÖ À ÐйÚÓÖ ØÓ Ø ÈÖÐÙ ÐÝÑÑ ÑÔÐ ØØ Ø f ØÝÝÔÔ 1 ¹ ØÝÝÔÔ 2 ¹... ¹ ØÝÝÔÔ p ¹ ØÙÐÓ ØÝÝÔÔµ... µµµ ÓÖÑÑÒ ÖØÐÙÚÙÒ ÙÖØØÙØ ÙÖÚØ ½ µ Ð ØÙÒØÓØ ¹ ¹ µ ¹ ¹ ¹ ÓÐÐ ÓÐÐ Þ Þ Ð ÓÐÐ Þ ÜÜ µ ÓÐÐ Þ Üµ Ü ÑÔ ¹ µ ¹ ¹ ÑÔ ÑÔ ÜÜ µ Ü ÑÔ Ü ØÙÐÓ ØÝÝÔÔ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½¾ ½¾ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼
6 À ÐйРÚÓ ÐÑ Ø ØØÝÒ Ð Ø µ ÝÐ ÝØØ ÝÝØØ Ú ØÒ ÓÒ Ý ØØØÝ ÙÒØÓ f g ÑØÑØØÒÒ ÓÒ ÙÒØÓÒ ÚÐÒÒ Ð ÙØÓÑØÙ Ó ÌÑ ÑÖ Ó ÓØØ ÑØÒ ÙÒØÓÒÐÒÒ ÐÔÓØØ ØÖØÓØ ÓÒ ÒÓ ØÑ Ø ÓÐÑÓÒØ ÙÒØÓÒ Ó ÑÖØØÐÝ ÚÓÒ ÐÙ ÓÔÖØÓÒ ÐÙÙÐ ØÓÐÐ ÐÙÙÐ ØÓÐØ ÅÖØØÐÝ ÙØÒÒ ØÖÚØ Ý Ð ØÓ ÐÔ ÖÖÐÐÒ ÐÙÙ ÃÓÖÑÑÐÐÒ ÓÒ ÑÖØÐØÝ ÓÔ Ð ØÓÒ Ð ØÙÒØÓÒ ÚÐ Ò Ð ÙØÓÑØÙ Ò ÚÒ ¾¾ ¾¾ ÅÓÒÒ ÔÖÑØÖÒ ÙÒØÓØ ÅÓÒÒ ÔÖÑØÖÒ ÙÒØÓØ Ò ÑÑ ØÙÐ ÙÒØÓØÝÝÔÒ ÔÖÑØÖ ÓÐÐ ³³ ÓÒ ÈÖÐÙ ÑÖØÐØÝ ÓÔÖØØÓÖ ÓÒ ÒØ ÙÒØÓØ ÚÓ ÑÙÓØ Ö ØÐÒØ Ò ÓÒ f g ØÖÓØØ ÙÒØÓØ h Ó ÒØÙØÓ Ó ÑÒ ÔÖÑØÖÒ ÙÒØÓÓÒ g ÌÝÝÔÔ ØÖÓØØ Ð Ø ÓÒ ÐÓØ ÓÚØ ØÝÝÔÔ µ Ó ÙÒØÓÒ g ØÙÐÓ Ò ÙÒØÓÓÒ f ÌÝÝÔØ ÓÚØ ÑÙÙØØÙ ÔÐÙØØ ØÙÐÓ ÒÒ ÙÒØÓÒ f ÒØÑÒ ØÙÐÓ Ò ÑÖØÐÑ ÚÓ ÓÐÐ ÓÖÑÑÒ ÖØÐÙÚÙÒ ÙÒØÓ Ó Ò ÐÚØ ÔÒÐÐ ÖÑÐÐ ÛÖ Ü Üµ ÁÒØÙØÚ Ø Ò ÚØ ÓÐÐ ÑØ ØÒ ØÝÝÔÔ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½¾ ¾¾ ÆÐÐ ÙÒØÓÐÐ ÓÔÖØÓ Ð ÒÒØÙÒ ÐÙÙÐ ØÒ ÒÐÒ ÙÑÑ ÚÓÒ ÖÓØØ ÐÝÝ Ø ÐÙÙÒ ¾¾ ÅÓÒÒ ÔÖÑØÖÒ ÙÒØÓØ ÅÓÒÒ ÔÖÑØÖÒ ÙÒØÓØ Ó ½ ÓÐÐ ÙÑ ¼ ÑÔ ÕÙÖ ¾ ÛÖ ÙÑ Ü Ý Ü Ý ÕÙÖ Þ Þ Þ ÑÔ ÕÙÖ ÓÒ ÙÒØÓ Ó ÒÐ ÑÒ Ð ØÒ ÇÔÖØÓ ÓÒ ÑÖØÐØÝ ÓÖÑÑÐÐ Ø ÓÐÐ Ý ØØ ØÒ ÐÙÙÒ Ø Ó ÙÒ Ó Ò ÐÙÚÙÒ ÓÐÐ ÙÑ ¼ ÓÒ ÙÒØÓ Ó Ð ÑÒ Ð ØÒ ³³ ÐØØ ÒÐÒ ÙÑÑÒ ÐÙÙÒ ÙÑÑÒ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ¼ ½ ¾ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼
7 ÚÐÒØÐÙ ÚÐÒØ ÒÒØ Ó ÎÐØÒ Ò ÑÑÒÒ ØÙÐÓ ÓÒ ÑÓ ÓÔ ØÓØÙØÙÚØ ÚØ ÂÓ ÐÐ Ø ÓÐ ÒÒ ÔÝØÒ ÓÒ Ò ÚÖ Ò ÓÓÒ ÑÙÙØ ÑÓÒ ÓÚØÙ ÓÔÖØÓ ÔÐÙØØÒ ØÐÐ ÐÐ ÑÓÒ ÓÚØÙ ÓÔÖØÓØ ¾¾ ÀÑÓÒ ÓÚØÙ ÐÙ ¾¾ ÀÑÓÒ ÓÚØÙ ÐÙ ËÑÓÒ k¹ôöñøö Ò ÙÒØÓÒ ÑÖØØÐÝ ¾¾µ ¾¾ À ÐйРÓÒ ÐÙ Ó ÝÐ Ø ÑÖ µ ÛعÐÙ ØØ ÑÓÒ ÓÚØÙ ÐÐ ÂÚ¹ÐÒ f ÑÓ 1,1... ÑÓ 1,k ÖØ 1 f ÑÓ m,1... ÑÓ m,k ÖØ m ÀÑÓÒ ÓÚØÙ ÐÙ Ì ÚÐÒØ ÒÒØ ÓÚØ ÑÙÙØÒ ÙÒ ÙÒØÓÒ f f x 1... x k ÚÓÒÒ ÖÓØØ ÑÓÒÓÒ ¾½µ ÚÙÐÐ x 1... x k µ Ó ÑÓ 1,1... ÑÓ 1,k µ Öس 1 ÑÖØØÐÝÒ ÒÒØ ¾¾½µ ÔØ ØØ ÑÓÒ ÓÐ ÙÒØÓÒ ÒÑ f ÑÓ m,1... ÑÓ m,k µ Öس m ØÙÐÓ ØÒ ÓÒÒ ÒÙÓÐ ³¹³ ³³ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾¾ ÀÑÓÒ ÓÚØÙ ÐÙ ÁØ Ý ÔÖÑØÖ Ò ÙÒØÓÒ ÑÖØØÐÝ ¹ÐÙ Ò ÑÒØÒ ÚÓ ÐÙ ÙÒØÓÙØ ÙÒ ¾¾ ÀÑÓÒ ÓÚØÙ ÐÙ f ÑÓ 1 ÖØ 1 ÑÒØÒ ¾¾¾µ ÙØØ f ÑÓ m ÖØ m ËÓÚØØÒ ÚÐÒØÐÙ Ò ÖÚÓ ÚÒÒÐÐÒ ÑÙÒµ ÚÐÒØ ÒØÒ ÒÒ ØÖÔÒ ÚØÒ ÖÓØÙ Ö ØÝ ÖÓØØ ÑÙÓÓ ÚÓÒÒ f x x Ó ÑÓ 1 Öس 1 ÑÓ m Öس m À ÐйÐÒ ØÒÖ ÓÒÒ ÔÖÑØÚÒÒ x ÓÒ ÙÙ ÑÙÙØØÙ ÝÑÓÐ ÓÒÒ Öس Ñ i ÖØ ÓÒ i ³³ ÓÒÒ ³¹³ ÓÒ ÐÓÓÒ ÑÙÙÒÒÓ ÒÒÐÐ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼
8 Ó ÓÒÒ ÔÖÑØÖ x i ÔÐ ÑÙÙØØÙÒ ÓÒ ÒÑ Ö ÒÒØ ÓÒ ÙÐÙØØØÙ Ý c ¹ÐÙ ÑÙØØ ÙØØÑØ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ Ó ÙÒØÓÒÐ ÓÐÑÓÒÒ ÙÒØÓØ ÓÚØ ÖÚÓ ½ µ ÒÒ ÙÒØÓÒÐ ØÝ ÚÐØ ÓÒ ÑÝ ÐÐÒÒ ÐÙ Ó ÖÚÓ ÓÐÑÓÒØÐ ÙÙ ÒÑØÒ ÙÒØÓ ÓÒ ÑÙÙØØÙÒ x ÒØÝÑØ ÐÙ e ÚØØÚØ ÔÖÑØÖÒ ØÒ ¾¾ ÆÑØØÑØ ÙÒØÓØ ËØÒÖ ÑÖØØÐ ÑÓÒ ÓÚØÙ Ò ØÓÑÒÒÒ À ÐйÐÒ ÒÓØØÓ ÓÒ ¾¾ ÀÑÓÒ ÓÚØÙ ÐÙ ¹ ÚÒÒÝ ÒØÒ ÖØÝ Ø ÙÒØÓÒ f ÑÖØØÐÝ ÚÓÒ Ò x ¹ e ÑÙÓØÓÓÒ ÑÙÙÒØ f x 1... x k c Ó ØÒÓÚÚ Ú Ø ÖÐ Ø ÖÒØ λ x ÓÒ ÑÙÙØØÙ Ó ÒÑ ÙÒØÓÒ ÔÖÑØÖÒ e ÓÒ ØÑÒ ÙÒØÓÒ ÑÖØØÐÚ ÐÙ ÇØØÒ ÛÖ¹ÑÖØØÐÝÒ ¾¾µ ÝÒØ Ò ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ½ ÆÑØØÑØ ÙÒØÓØ ÆÑØØÑØ ÙÒØÓØ ¾¾ ¾¾ Ä À ÐйРÓÒ ÒÓØØÓ ÆÑØØÑØ ÙÒØÓØ ¾¾ p ¹ e Ó p ÓÒ ÑÙØÑÔ ÑÓ ÐÝÒØÒ x ¹ x Ó p ¹ eµ ÌÐÐ ÙÒØÓÒÐÙÓÒØÐÙ Ø ÙØ ÙØÒ Ò ØÐÐÒ λ¹ð ÒÒÒ ÙÒÒ λ¹ðù ½½µ Ë ÔÖÑØÖÒ ÚÓ ÓÐÐ ÑÝ ÐÐÒÒ ÑÓ p Ó x ÓÒ ÙÙ ÑÙÙØØÙ ÙÒÒ ÑÓÒ ÓÚØÙ ÓÒÒ ØÙÙ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ½¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼
9 ÚÒÒÝ ÒØ ÓÒ ÑÙÒ Ò ¾¾¾µ ÙÒØÓÙØ ÙÐÙ x ¹ e ÖÙÒÓ µ e ÔÖÑØÖ ÐÐ ÐÙ Ó Ò ÚÒ ÐÙ e ÖÙÒÓ ÑÙÙØØÙÒ x ÒØÝÑØ ÓÖÚÑÐÐ Ð ÒÒ ÓØ ÚØ ÓÐ ÑÒÒ ÑÙÙÒ λ¹ðù Ò x ¹ Ø ÑÓÒ... x... ÐÐ Ó ÒÒ ÔØØÚØ ØÑÒ x ÒÝÚ Ø ÒÝÚÝÝ ÒØÒ ¾¾ µ ÒÓÐÐ Ð Ð ØÒ ¾¾ ÆÑØØÑØ ÙÒØÓØ ¾¾ ÆÑØØÑØ ÙÒØÓØ ËÑÓÒ ÓÒ ÑÝ ÒÓØØÓ p 1 p 2 p 3... p k ¹ e ÌÑ ÓÖÚÙ ØÒ ÙØÒÒ ÚÒ ÒÒ ÒØÝÑÒ ÐØØÝÚØ ÙÙÖ ØÒ x ÓØ ÐÝÒØÒ ÐÙ ÐÐ p 1 ¹ p 2 ¹ p 3 ¹ ¹ p k ¹ e ÆÒ ÚÓ ÑÖØÐÐ ÑÓÒÔÖÑØÖ ÙÒØÓØ ¾¾µ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½½ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾¾ ÆÑØØÑØ ÙÒØÓØ ÆÑØØÑØ ÙÒØÓØ ¾¾ λ¹ðù Ò ÑÒØ ÓÒ ÄÒÞÒ ÐÒ ½ µ ÖØÝ Ø ÙÒØÓÒ f ÑÖØØÐÝ ÚÓÒ Ò ÑÙÙÒØ ÐÐÒ ÑÙÓÓ Ø ¾¾µ f x 1... x k c ÑÙÓØÓÓÒ ÆÒ λ¹ðù Ø ÓÚØ ÓÖÑÐ ÑÙÓØÓÐÙ ÒØÙØÚ ÐÐ f x 1... x k ¹ c ÐÙ ÐÐ e ÔÖÑØÖ ÔÖÑØÖÒÚÐØÝ ÑÒ ÑÐÐÑÑ ¾¾¾µ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½¾ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼
10 ÙÒØÓÒÐÒÒ ÓÐÑÓ ÐÝÒØ ÑÖ ÒÒØÙÒ ÐÙÙÐ ØÒ ÒÐ ÙÑÑ À ÐйÙÒØÓÒ ÆÒ ØÖÓØÙ ÓÒ ÒØ ÒÒ ÐÚ ØØ ÒÒ Ö Ò ÒØ Ð ØØÓ ÓÐÑÓÓÒ ÑÖØØÐÝ ÒÒ ÒÑØ ÓÓ ØÙÚØ ÑÙ Ø ÑÖ Ø ÙÒ ÒÙÑÖÓ Ø ÖÑ Ø Ò ÓÒ ÐÑÓØØØÙ ÖÓØØØÚ ÝÒØØ Ø ÚÐÒ ÒÓÑÐÐ ÔÖÑØÖÒ ËÐÐÓÒ ÑÒ ÓÔÖØØÓÖÒ ÐÙ Ø ÖÝÑØÐÐÒ ÐÒ Ú ÑÑÐØ ÑÖ ÚÒÒÝ Ð Ù ³¹³ Ó Ó Ú ÑÑÐÐ p¹q¹r ÖÝÑØÐÐÒ p¹qµ¹r p¹ q¹rµ ÓØÒ ËÑÓÒ ÔÐ ÓÔÖØØÓÖµ Ý ÒÒ ÙÐÙ Ø Ú ØÚ ¾¹Ô Ø ÙÒØÓØ ØÖÓØØ ¾¾ ¾ ÇÔÖØØÓÖ Ø ÆÑØØÑØ ÙÒØÓØ ¾¾µ ÑÙÓØÓÓÒ ÐÙ ÑÖ ÖØÓÐ ÙÐÐ ³ ³ ÓÔÖØØÓÖÒ ÝØÒÐ ÙÐÐ ³ ³ ÓÒ ÓØÒ ÐÙ p q r ÓÒ ÅØ ÙÙÖÑÔ ÔÖ Ò ÓÒ Ø ÔÒÑÔ ÓÒ ÐÙ ÓÔÖØØÓÖ ÔÖÑØÖÒ ÓØØ Ù Ò Ö ÓÐØ ÓÐÐ Ü Ý ¹ Ü Ýµ ¼ ÑÔ Þ ¹ Þ Þµ ËÒÓÑÐÐ ÒÜÐ ÚÓ ÑÖØÐÐ ÓÔÖØØÓÖÒ Ó ÓÚ ÐØ ÓØÚµ Ú ÑÑÐÐ ÔÖÑØÖØ ÖÝÑØÐÐÒ p qµ r p q rµ Ó Ó ÔÙÙÒØÓØ ÙÑ ÕÙÖ ÓÚØ ÒÒ Ý ÒÖØ ÐÙÐÐ ÇÐÐ Ó ÓÒØ ÚÓÒ Ú ØÚ Ø ÒÓ ÒÜÖ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ÇÔÖØØÓÖ Ø ¾ ¾ ÇÔÖØØÓÖ Ø ÇÔÖØØÓÖ Ø ÚÓ ÓØØ ÑÝ ÚÔÐÒ ØÓÒµ ÇÔÖØØÓÖ Ø ¾ ÒÖ Ø ÓÔÖØØÓÖØ ÙØÒ ³ ³ ³²²³ ³³ ÓÚØ ØÚÐÐ ¾¹ÔÖÑØÖ ÙÒØÓØ ÑÙØØ ÑÙÙØÒ ÄÙ p ÓÔÖØØÓÖµ ÒØ ÓÔÖØØÓÖÐÐ ÚÒ Ú ÑÑÒ ÔÖÑØÖÒ p Ð ÓÒ Ò ½¹ÔÖÑØÖÒÒ ÙÒØÓ q ¹ p ÓÔÖØØÓÖ q ÓÔÖØØÓÖ qµ ÒØ ÚÒ Ò ÓÒ ÔÖÑØÖÒ q Ð Ö ÙÙ ÐØ Ø ÓÔÖØØÓÖÒ ÝÒØ Ò ÓÒÒ ÓÔ i ÓÒ Ý ÒÒ ÓÔÖØØÓÖ ËÐÐÓÒ ÒÒØÙÒ ÐÙÙÐ ØÒ ÒÐ ÙÑÑ ¾¾µ ÓÒ ÒÜ ÔÖ Ò ÓÔ 1 ÓÔ 2 ÓÔ 3 ÔÖ Ò ÓÒ Ò ÓÒØÚÓÑ Ø Ó Ó ÓÐÐ µ ¼ ÑÔ Þ ¹ Þ Þµ ÔÙÙØØÙÙ ÒÒ ÓÐØÙ Ò ÓÒ 9µ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼
11 ÑÙÓÓ p ÑÓ q ÚÐÒ ÓÚÐÐØÒ ØÝØØ ÓÔÖØØÓÖÒ ÝÒØ ËÐÐÓÒ ÓÓ ØÝ Ð ØÝ Ò ÐÓØÓÒ Ð Ø ÓØ ÑÖØÒ Ä ØØ ÅÝ ØÚÐÐÒÒ Ó ÒÙÑÖÒÒ ¾¹ÔÒÒ ÒÑ ÚÓ ÓÐÐ ÓÔÖØØÓÖÒ Ó ÖÓØØÒ ÙÒØÓÒ ÇÔÖØØÓÖ Ø ¾ Ä ØØ ÙÒØÓÒÐ ÓÐÑÓÒÒ Ð ØØ ÓÚØ ÒÒ Ø ÔÒ ÒÓÚÒ ØØÓÑÖÒ ÚÐÒ ÌÐÐÒÒ ÓÒ ÑÖ ÓÓÒ ÐÙÙÒ ÓÒÒ ÆØ ÓÒ ØÔÒ ÝØØ Ò ÐÐÓÒ ÙÒ ØÐÐÒ ÓÓÐÑ ØØÓÐÓÒ ÒÑ ØØÓÖÒÒ ÑÓ Ð ÂÚÒ p±qµ Ë ÚÓÒ ÖÓØØ ÐÐ ØÚÐÐ ÔÖÑØÖÒ ÅÙØÑÔÒ ØØÓÖÒØ Ò ÙØÒ ÔÙÒµ Ú Ø Ó Ð ØØ Ó ÓØØÙØÙÚØ ÐÒ Ø ÖÖÝØÒ Ä Ó Ð ØÓ ÚÓÒ ÝØØ ÙØÒ ØÖØØÓÖØ Ë ÙÒØÓÒÐ ÓÐÑÓÒØÐ ÑÝ ÓÒ ÒÖÒÒØØÙ ØÙ Ð ØÓÐÐ ÒÒ À ÐÐ ØÒ ØÚÐÐ ÑÙÓÓ ÑÓ p q ØØÐÝÐÐ ÔÖ Ò Ó ØÚ ÙÙØØ ØÓØ ½½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ÃÓÑÑÒØØ ¾ Ä ØØ À ÐйÐÒ Ð Ø Ø ÓÒ ÒÙØÚÒÒ Ä Ø ÓÒ ÃÓÑÑÒØØ ¾ ÄÝÝØ ÓÑÑÒØØ ÐÚØ ÐÐ ÔÖ ÐÐ ÚÐÚÚÐÐ ³¹¹³ h t Ø ÔØÝ Ð Ø ÔØØÝÚØ ÑÒ ÖÚÒ ÐÓÔÔÙÙÒ Ñ h ÓÒ Ð ØÒ Ò ÑÑÒÒ ÐÓ ÈØØ ÓÑÑÒØØ ÐÚØ ÚÚÐÐ ÐØÓ ÙÐÙÐÐ ÚÐÚÚÐÐ ³ß¹³ t ÓÒ ÚÙÓÖÓ ØÒ ÝØ ÐÓØ ÐÝÝÑÔ ÐÓÔÔÙÐ Ø ÐÓÔÙØÒ ÐÓØ ÓÚØ Ñ ØÝÝÔÔ τ ÙÒ h ÓÒ Ì ³³ ÓÒ Ð ØÒÖÒÒÙ ÓÔÖØØÓÖ ÔØØÝÚØ ÚÐÚÚÒ ÙÐÚÒ ÐØÓ ÙÐÙÙÒ ³¹Ð³ ÐÐÚØ ÝÝÒ ß¹ß¹¹Ð¹Ð ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½¼ ½¾ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼
12 Ä ØØÝÝÔÔ Ø ÐÙ ØØ ÚÒÒØÒ Ò ÚÖÖÒ ÐÚ ÓÒÓ Ò ÖÚÓ ØØ Ð Ø ÑÙÓØÓ ht ÚÒØÑØØ ÚÐ Ò ÔØÝ h t Ð ÙÙ ÔÖØ Ó ÌÝ Ð Ø ÓÒ ÖÙÖ ÓÒ ÔÝ ØÝÚ ÖÓ ØÔÙ ÝÐ ÑÑÒ Ò ØÔÙ Ø ÓØ ØØÐÚØ Ì ÊÙÖ ÚÒÒ ØÔÙ ØØÐ Ð ØÒ Ò ÑÑ Ò h ØÒ ÖÙÖ Ú Ø ÐÓÔÔÙÐ ØÒ t ÐÓÒ Ä ØØ ÀÙÓÑ ÔØÝÒ Ð ØÒ ÐÓØ ÓÚØ ÒÒ ÀÑÓÒ ÓÚØÙ ÒÒØ ¾¾¾µ ÐÒÚØ Ð ØÓÐÐ Ä ØØ Ñ ØÝÝÔÔ τ ÌÑ ØÝÝÔÔ Ð Ø ÓÒ ÐÓØ ÓÚØ ØÝÝÔÔ τ ÖÓØØÒ ØÝÝÔÔÑÖØØÐÝ τ Ä ØØÝÝÔÒ τ ÑÓØ»ÐÙ Ø ÖÓØØÒ ÑÐÐ ØÝ Ð Ø Ú h t ÒÓØØÓÐÐ ÂÓ ÖÚÓ = ÑÓ = ÒÒ ÓÔ Ñ h ÓÒ ÑÓ»ÐÙ ØÝÝÔÔ τ ÂÓ ÖÚÓ = ht ÑÓ = h t ÒÒ ÝÖØØÒ h h t t ÓÚØØ ÅÙÙØÒ ØÓÒÒ ÓÒ ØÝ ØÓÒÒ ÔØÝ ÓÚ t ÓÒ ÑÓ»ÐÙ ØÝÝÔÔ τ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ Ä ØÖÙÖ Ó Ä ØØ ½ Ä ØÑÓ»¹ÐÙ ÓÒ Ý ÒÖØ ØÚ ½ Ä ØÖÙÖ Ó Ä ØÒÖÒÒÙ ÓÔÖØØÓÖ ³³ Ó Ó ÓÐÐ h 1 h 2 h 3... ÅÝ Ð ØÓÒ ØØÐÝÙÒØÓØ ÓÐÑÓÒ Ù Ò ÒÙØÚ Ø ÖÒÒØØ ÒÓÙØØÒ ÒÒ ÐÝÒÒÝ ÑÖÒØ h 1 h 2 h 3... µµ ØÖÓØØ ÑÓÒØ ÐÓØ ÐØÚØ Ð ØØ ÒØÒ h 1 h 2 h 3... h m Ì Ò m ÐÓ Ø ÓÓ ØÙÚ Ð Ø h 1 h 2 h 3... h m ÖÓØØ ÚÓÒ h 1 h 2 h 3... h m ÝÐ ÑÑÒ ÒØÒ ÑÓÒØ Ò ÑÑ Ø ÐÓØ Ì h 1 h 2 h 3... h m t ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼
13 Ö ØÑÒ ÙÙÖØ ÓÓ Ð Ò ÝØÐ ØÒ ÐÓØ ÓØ ØÝØØÚØ ÓÒ Ø Ø ÖØØÑØ Ð ØØ µ ÑÙÙØ ÑÝ ØØÓÖÒØص ÚÓØ Ò ÓÚÐØ Ò ÓÒÙØÓØ ÓÒÙØÓÒµ ÆÐÐ ÚÙÙØØÒ ÑÙØØ ÈÖÙ ÑÖ ÓÚØ ÓÐÐ ÑÔ ¾¾µ ÊÚ ½ Ä ØÖÙÖ Ó ½ Ä ØÖÙÖ Ó ÌÖ ØÐÐÒ ÑÒ ÙÙÖÑÔÒ ÑÖÒ ØÙØØÙ ÔÖ ØÑ Ø ÌØÓÖÒØعÙÖ ÐØ Ö Ø ÔÒØ ÐØØ ÒÒ ÔÖÒ ÔÙÓÔÖØÓÖÐÐ ³ ³µ ÕÙ ÓÖص ÊÚÒ ½ ¾ ÑÙÒ ØÝ Ð Ø ÓÒ ÐÔÔÓ Ö Ø ÓÒ ÓÒ ÓÐÓ ÊÚÐÐ ÓØØÒ ÔØÝÒ Ð ØÒ Ò ÑÑÒÒ ÐÓ ÑÓÒ ÓÚØÙ ÐÐ ÙÒ Ø ÑÙÙØ ÐÓØ ÓÐÓ ÔÙÙÒØÓ Ó ØÙ ÔÙÓÐ ØÒ ÔÐÙØØ ÔÖÒ ØÐÐÒ ÖÙÖ Ú Ø ÑÙØØ ÙÓÖÒµ ÊÚÐÐ ØÒ Ó ØÙ Ó ÔÒØ ÐÓØ ÓÚØ ÙÒ ÓÐÓ ÙÙÖØ ÒÒ ÝØ ÙÙÖ ÔÒÑÔ Ð Ò ÑÙÙØ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ Ä ØÒÙØÓ Ø Ä ØÖÙÖ Ó Ä ØÒÙØÓ Ø ½ Ö Ø ¾ Ö Ø ÓÐÓÑÙÙص ÐØ ÔÒØ ÙÙÖص ÃÓ ØÝÝÔÒ ÖÚÓØ ÓÒ ÑÖØÐØÝ ÒÙØÓÐÐ ÒÒ τ ÚÓÒ ÑÝ ØÓ Ø ÚØØØ ÒÙØÓÐÐ ÒÒ Ò Ø Ó ØÙ ÓÐÓµ ÑÙÙØ Ò Ö Ø ÔÒص ÓÐÓ Ö Ø ÙÙÖص ÑÖØØÐÝÒ ÙØÒ ÁÒÙØÓ ÔØ ÙØÒÒ ÚÒ ÖÐÐ Ò ÓÓ Ò Ó ØÙ µ ÖÚÓÒ À ÐйÐÒ Ð ÙÓÖØÙ ÑÒ Ñ ¾¾¾µ ÐÐ ½¼ Ó ØÙ Ø Ø ÜÜ µ ½½ Ø Ø Ü ½¾ ÜÓÓ µ ½ ÓØÖÛ ½ ÓÓ Üµ ½ ÛÖ ÓÓ µ ½ Ó ØÙ Ø Ø Ü ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ½¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼
14 ÌÓ ØØÒ ØØ ÐÙØØÙ ÚØ ÔØ ÈÖÙ ØÔÙ Ð ØÐÐ ØÝÐÐ ÌÓ ØØÒ ØØ ÓÐØÙ Ò ÒÓÐÐ ÔØ ÑÝ ¾ Ð ØÐÐ ht ÓÓ ÎÖØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ØÒ ÐÙÙÒ ÔÖÙ ÒÙØÓ ÌÓ ØØÒ ÖÚÓÐÐ 0 ÇÐØØÒ ÚØ ÐÐ ÐÐ ÖÚÓÐÐ n ÚØ ÑÒ ÖÚÓÒ Ó ÒÙØÓ¹ÓÐØÙ Ò ÑÙÒ ÒØÚØ ÖÚÓØ ÓÚØ ÑØ ÐÐÚÚØÙØ Ä ØÒÙØÓ Ø ÒÖØ Ò Ð ØÒÙØÓÒ ÑÙÓØÓ ÓÒ ÒÙØÓ Ä ØÒÙØÓ Ø ÖÒØÒ ØÖÙØÙÖе ÙØÒ x = ÎØØÒ Ú Ò ÔÙÓÐ ÈÖÙ ØÔÙ x++(y ++ z) = ++(y ++ z) = (y ++ z) ÁÒÙØÓ ÌÖ ØÐÐÒ ÔØÝ Ð Ø ½ ÇÐØØÒ ØØ ÚØ ÔØ Ò ÐÓÔÔÙÐ ØÐÐ t Ó ÔÙÓÐ (x++ y)++ z = ( ++ y)++ z = (y)++ z y ++ z ÒØÚØ ÑÒ ÖÚÓÒ ØÒÓÒÒÒ Ò ÑÑ Ò ÒÒÒ ÔÖÙ ØÐÐ ÌÓ ØØÒ ÚØ ÙÖÚÐÐ ÖÚÓÐÐ n + 1 ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½½ Ä ØÒÙØÓ Ø ÌÖ ØÐÐÒ ÑÖÒ ÈÖÐÙÒ ØÖÓÑ Ð ØÓÒ Ä ØÒÙØÓ Ø x = ht ÚØ ÔØ ÐÓÔÔÙÐ Ø Ø t Ð ÁÒÙØÓ¹ÓÐØÙ t++(y ++ z) = (t++ y)++ z. ØÒÓÒØÓÔÖØØÓÖ µ ¹ ¹ Ý Ý ÜÜ µ Ý Ü Ü Ý µ ÎØØÒ Ú Ò ÔÙÓÐ ÁÒÙØÓ Ð x++(y ++ z) = (h : t)++(y ++ z) = h : (t++(y ++ z)) Ç ÓØØÒ ØØ ÓÒ ÐØÒÒÒÒ Ð ØØ x++(y ++ z) = (x++ y)++ z ÔØ ÐÐ Ð ØÓÐÐ x y z ØÒ ÖÒØ ÐÐ ÒÙØÓÐÐ ÝÐ Ð ØÒ x Ó ÔÙÓÐ (x++ y)++ z = ((h : t)++ y)++ z = (h : (t++ y))++ z = h : ((t++ y)++ z) Ð ÓÐØØÒ x ÖÐÐ µ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½¾ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼
15 ÈÙØÙÒ ÚÙÓ ÓÐ ÚÐ Ñ Ö ØÝ ÓÔÖØÓØ ³++ ³ ÙÓÖØØÒ ½ µ Ö ËÑÑ ÚÐØ ÐÐ Ò Ö ØÝ Ò ÓÐÐ ÓÐ ÐÔÓÒ ÑÙÙØÒ ÓÐ ÑÑ ØÓ ØÙ ÑÑ Ò ÙÖÑÒ Ø Ö ØÝ Ø Ó ÓÙØÙÒØ ØÒ Ó Ø ÎØØÙ ØÒ ÐÔÙÙÐØÚÙÙÒ ½ ½µ ÚÙÓ ÓÚØ ÑØ Ò ÙÒ Ò ÝÒØÝÚØ ÑÒÐ ÐÐ Ð Ø ÑÖ ÔÖ ØÑ ½µ ÖÙÖ Ó Ð ØÒ ÐÓÔÔÙÓ ÑÙÙØ ÚÒ ØÓ ØÐÐÝØÒ Æ ÓÚØ ÙØÒÒ Ó Ø ÐÝÝÑÔ ÙÒ ÓÐÓÑÙÙØ ÎÓÑÑ Ø ÒÙØÓÐÐ Ð ØÒ ÖÒØÒ Ò ÔØÙÙÒ ÙØÒ ÚÒ ÇÐØØÒ ØØ ÚØ ÔØ ÐÐ ÁÒÙØÓ¹ÓÐØÙ ÓÒ ÔØÙÙ ÓÒ n ÐÓØ Ð ÐÐ Ð ØÓÐÐ Ç ÓØØÒ ÒÙØÓ¹ÓÐØÙ Ø ÝØØÒ ØØ ÁÒÙØÓ Ð ÔØ ÑÝ n + 1 ÐÓØ ÔØÐÐ Ð ØÓÐÐ Ð ÚØ Ð ØÐÐ Ó ÓÒ ØÙ Ð ÑÐÐ Ó Ø ÒÝÝ ÐÐ Ð ØÒ ØÒ Ý ÙÙ ÐÓ ÐÝÝÑÑÒ ÝØØÒ ÓÒÒ ÐÐ Ò ÔÖÑÙØØÓÒ ÔÐÙØØ ÑÖ µ Ä ØÒÙØÓ Ø ÌÓ ØÙ ÑÑ ÓÐ ÒÒ Ý ÒÖØÒÒ Ó Ä ØÒÙØÓ Ø Ç ÓØØÒ ØØ ØÓ ØØØÚ ÚØ ÔØ ÈÖÙ ØÔÙ ÐÓØ ÔØÐÐ Ð ØÝÐÐ Ð ØÐÐ 0 ÒÝÝ Ø Ð Ø Ó Ø ÐÝÝÑÑÐÐ Ð ØÓÐÐ ÐÙ ÐÐ ËÑÑ Ø ØÙØØÙ ³=³¹ÔØØÐÝ ÐØ ÓÐ ÑÑ ÓÙØÙÒØ Ó Ú ÒÓÑÒ ÑÙÙØÒ ÎÖØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ØÒ ÐÙÙÒ ÝÐÒÒ ÒÙØÓ Ó ÚØ ÓÐØØÒ ÐÐ ÔÒÑÑÐÐ ÐÙÚÙÐÐ n ÐØÚØ ÑØ ÐÓØ ØÑ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ÌÑ ÚØ ØØÙÙ ÔØÑÒ ÑÝ ÐÐÓÒ ÙÒ ÓÒÒ x ÓÒÙØÓÐÐ ÚÓØ Ò Ó ÓØØ ØØ ÐÐÓÒ ÖØÒ Ç ÓØØÒ ÒÙØÓÐÐ ÝØÐ ØÒ ÔØÙÙÒ n ÙØÒ Ä ØÒÙØÓ Ø Ä ØÒÙØÓ Ø x++... = x. ØØ ÁÒÙØÓ ÖÒØÒ ÙØÒ Ò ÖØ Ö Ø x 1 x 2 x 3... x n x 3 x 26 x n... x 7 Ð ØÓ ÔÒØ ÙÙÖØ ÓÒ Ö ØÝ Ð Ó x 3 x 26 x n... x 7. ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼
16 ÊÚÒ ÑÓ ÓÒ z =ÓÐÓÑÙÙØ ½ ÐÓÔÔÙÐ ØÒ ÑÙÙØ ÔØÙÙ ÓÒ ÚÒ ÖØÝ Ø ÂØØÒ ÐÙÒ ÖÓØÙ ØØÚ ÔÙØÙÐÓ ¾ p u v wµ Ñ Ð Ø v ++ w ÓÒ Ð ØÒ u ÓÒ Ó Ø ÔÙØÙÐÓ Ò ¾ ÒÓÐÐ ÖÚØ ÔÖÑÙØÓÚØ ÑÙÙØ ØÒ ØØ ÐÓÔÔÙÐ ØÒ Ä ØÒ ÔÒØ ÔØÙÙ ÓÒ ÓÖÒØÒ ÝØ ÙÙÖ ÙÒ ÑÙÙØ Ð n ÐÓØ Ð ØÒ ËÐÐÓÒ ÑÝ Ò ÖÚÐÐ ÓÒ ØÖÙÓØÚ ÔÖÑÙØØÓ ÚØØÒ ÑÙÒÒ ÓÒ Ä ØÒÙØÓ Ø Ä ØÒÙØÓ Ø ÁÒÙØÓ Ð ÔØØÝÝ ÈÖÙ ØÔÙ Ö Ø ÇÐÓÓÒ y Ñ ØÒ Ð Ø ÓÒ ÔØÙÙ ÁÒÙØÓ¹ÓÐØÙ ÐÓØ ËÐÐÓÒ Ö Ø n ÔÐÙØØ Ð ØÒ y ÓÒÒ y ËÑÑ ÓÚÐØ ÒÙØÓ¹ÓÐØÙ ØÑÑ ÖÙÖ ÓÙØ ÙÙÒ Ö Ø ÔÒØ Ë ÔÖÑÙØÓ ÔÒØ Ö ØÝ Ò Ö ØØÝÒ ÔÖÑÙØØÓÒ Ð ÌÖ ØÐÐÒ ÙØ Ù Ö Ø z ÁÒÙØÓ Ð Ð ØÒ z ÔØÙÙ ÓÒ n + 1 ÐÓØ Ñ ËÑÓÒ Ö Ø ÙÙÖØ = n ÐÓØ ÁÒÙØÓ Ð ØÒ ÖÒØÒ Ø ÔØÙÙÒ ÙØÒ ÖØØ ÑÓÒ ØÐÒØ ÑÙØØ Ò ½½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ Ä ØÒÙØÓ Ø ÅÖØ ÑÖÓÒÓØ ÁÒÙØÓ Ð ØÙÙ ÅÖØ ÑÖÓÒÓØ ÐÐÒÒ ÔÖÑÙØØÓ Ó Ð ØÒ v ÐÓØ ØÝØØÚØ ÓÒ p ÑÙØØ ÑÒ Ð ØÒ w ÐÓ Ø ØÝØ Ø À ÐйРÓÒ ÑÝ ÔÖÙ ØÝÝÔÔ ÑÖ Ð Ö ÅÖÚÓ ÖÓØØÒ ÂÚÒ ØÔÒ Ý ÒÖØ ØÒ ÐÒÙ ÑÖÒ ÚÐÒ ³c³ ÔÖÑÙØØÓ ÔÒØ ÓÓ ØÙÙ Ò Ò Ø ÐÓ Ø ÅÖ c ÖÓØØÒ ÂÚÒ ØÝÝÐÒ ÝØØÒ ÍÒÓ¹ÑÖ Ø ÓØ ÓÚØ ÓÐÓ ÑÙÙØ Ò ÐÓØ ÓÚØ ÔÖÑÙØØÓÒ ÙÙÖØ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½¼ ½¾ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼
17 ÅÖÓÒÓÚÓ ÖÓØØÒ ÂÚÒ ØÝÝÐÒ ÐÒÙ ÑÖÒ ÚÐÒ c ÒÖØ ØÒ 1 c 2 c 3... c n ÅÖØ ÑÖÓÒÓØ ÅÖØ ÑÖÓÒÓØ À ÐйРÓÒ ÑÝ ÑÖÓÒÓØÝÝÔÔ ËØÖÒ ¾ ÑÔÓÖØ Ö ½ ÑÔÓÖØ Ä Ø ÓÒÓÖ ËØÖÒ ¹ ËØÖÒ ÁÒص Ë ÓÒ ÙØÒÒ ÚÒ ØÓÒÒ ÒÑ ØÝÝÔÐÐ Ö ÓÒÓÖ ÑÔ ¹ ÐÒØ µµ ÖÓÙÔ Ë ÑÖÓÒÓØ ÓÚØ ÑÖÒ Ð ØÓ ÓÖØ ÛÓÖ ÑÔ ØÓÄÓÛÖ ½¼ ÐØÖ ÒØÓ Ø ½½ ÛÖ ÒØÓ Ø ½¾ ÐÔ ËÔ Ó ÓÒÒ c i ÓÒ ÑÖÚÓ ÅÖÓÒÓ ÚÓ ØÐÐ ÐÐ Ð ØÙÒØÓÐÐ ÊÚØ ½ ¾ ÐØØÝÚØ ÑÓÙÙÐÒ µ ÒØÙØÚ Ø Ò ØÖÓØØÚØ Ñ ÙÒ ÂÚ Ò ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ÅÖØ ÑÖÓÒÓØ ÙÒØÓÒ ÑÙÙ Ø Ä ÑÖÓÒÓÐÐ ÓÒ ÓÑÒ ÙÒØÓØ ÙØÒ ÛÓÖ ÙÒØÓÒ ÑÙÙ Ø ÐÐ µ ÔØÐØÒ ØÙÐÓ ÖÚÓ Ø Ð ØÓ Øµ Ó ÑÖÓÒÓÒ ÒÓÒ ÈÖÐÙ ÛÓÖ ÅÒÔ ÓÐÒ ÔÙÒÒ ÅØØ ÌÖ ØÐÐÒ ÑÖÒ Ð Ø¹ ÝØ ÔÐ Ø ÑÖÓÒÓÖ ØÓÙÒØÓÒ ÆØ ØÙÐÓ ÚÓ ÒÓ Ø ÙÒØÓÒ Ø ÓÐÐ ÜØÒ ÓÒÐØÝ ØÒ ÓÒÐ ÙÙ ÔÖØØÐÐ ÅÒ¾¾Ô¾¾ ÓÐÒ ÔÙÒÒ ÅØØ ÔÖÒÔе ÓÒÓÖÒ Ò ÓÒÓÖÒµ ÐØÑ Ø ÔÐÙØÙ ÖÚÓØ f a = g a ÐÐ ÂÓ a ÒÒ ÑÝ Ú ØÚØ ÙÒØÓØ ÖÙÑÒØÐÐ f = g Ð Ö ØØÙÒ Ð ØÒ ÔÖ ÒØÒµ Ø Ø ÒØÝÒÝØ Ò ÒØÝÑÒ ÐÙÙÑÖµ ÒÖØ ØÙ ½ ÑÙÙØ ÙÒ Ó Ø ÚÓ ÙÒÓØ ÃÓ ÓÐÑØ ÚÓÚØ ÑÝ Ù Ò ÐÑÙÒ ÔÐÙØÙ ÖÚÓÒ ØÝØÝÝ ÓØØ ÑÝ ³ ³ ÒÒ ÒÖØ ØÙ ¾ ÓØ ÖÑØ ÚÓ ØÙÐØ ÔÒ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼
18 0 l Ò Ú Ò ÒÓÐÐ Ð 0 ÓÒ l y = ÐÐ y y 0 Î ØÚ Ø r Ò Ó ÒÓÐÐ ÓÒ ÙÒØÓÒ ÑÙÙ Ø Ç ÓØØÒ ÑÖ ØØ ÙÒØÓÐÐ foldl 0 l = foldr 0 r Ñ Ç ÓØØÒÒ ÑÙÙÒÒØØÙ ÚÚÑÔ ÚØ ÐÐ b ÙÒØÓÒ ÑÙÙ Ø ÓÒ ÓÒ ÐØÒÒÒÒ ¾¹ÔÒÒ Ð ÙØÓÑØÙ (x y) z = x (y z) ÐÐ x y z Ð foldl b = (b ) (foldr 0 r ). ÔØ ÐÙÔÖÒÒ ÚØ Ò ÚÐØ ÑÐÐ b = 0 l Ë ÓÐÐ ¾¾µ ØØ ÓÐÖ ÓÚØ ÚÓÖ ØÓ Ø ØÒ ÒÙØÓÐÐ ÒÒ Ò ÙÒØÓÒ ÑÒ a ÙØÒ Ð Ø¹ÖÙÑÒØÒ foldl b a = b (foldr 0 r a). ÓÐÖ Þ Þ ÓÐÖ Þ ÜÜ µ Ü ÓÐÖ Þ Ü µ ÂÓ x y ÒÒ x y x z ÓÐÐÒ z ( ) ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ÙÒØÓÒ ÑÙÙ Ø ÙÒØÓÒ ÑÙÙ Ø ØØØ Ð ØÒ Ú ÑÑÐÐ ÓÐÐ foldl p [x 1, x 2, x 3,..., x n ] = Ø ÓÐÐ ÓÐÖ foldr q [x 1, x 2, x 3,..., x n ] = ((((p x 1 ) x 2 ) x 3 )...) x n. x 1 (x 2 (x 3 (...(x n q)))). ÈÖÙ ØÔÙ a ÓÒ = foldl b = b b (foldr 0 r ) = b 0 r ÁÒÙØÚÒÒ ØÔÙ a = x : xs ÓÒ = b. foldl b (x : xs) = foldl b ÙÙ {}}{ (b x) xs b (foldr 0 r (x : xs)) = b (x (foldr 0 r xs)) = (b x) (foldr 0 }{{} r xs) b ÙÙ Ò ÓÚØ ÑØ ÒÙØÓ¹ÓÐØÙ Ò ÔÖÙ ØÐÐ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½ ½¼ ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼
19 ÑÙØØ ÓÐÖ ÚÓÒ ÐÓÔØØ Ò ÐÔÝÒÒÒ Ó ³ ³ ÚÓÒÒ ÚÒØ ÙÒÓØÒ ÓÔÖØÓ ÙÒØÓÒ ÑÙÙ Ø ÒØÔ Ó a = [x 1, x 2, x 3,...] ÓÒÒ ÖØÒ ÓÐÐ ÔÐÙØØ ÝÖØØ Ý ÐÔ ÓÓ a Ð ØÒ ÓÓÒÒ Ò ÐÑÑÒÒ ÖÙÑÒØØ ÑÙØØ ÚÑÒÒ ÓÐØÙ ØÑÑ ( ) ÙÐ Ò ÔÓ ÎØØÑÑ ÓÒ ØÓ ØØØÙ ÂÓ ÙÓÖØÙ ÑÒ Ñ ÓÐ Ö ÒÒ ÓÐ ( ) Ó ÑÝ ÓÐÖ ÝÖØØ Ò Ý ÐÔ ØÖÔØÓÒ ÖØØÑÒÒ a ¾ ½ ÂÓØÙ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒ Ý Ý ¾¼¼ ½½
Kuvan piirto. Pelaaja. Maailman päivitys. Syötteen käsittely
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑ Ò Ö ÒÒ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ø ÐРؽ ؾ Ø È Ð Ó ÐÑ Ò Ô ÖÙ Ö ÒÒ Ì ØÓ ÓÒ Ô Ð Ò ÝØ Ñ Ò ÓÒ Ñ ÐÐ Ó Ø Ò ÙÚ ØØ ÐÐ Ø Ñ ÐÑ Ø ÚÓ ÓÐÐ Ú Ò Ý Ò ÖØ Ò Ò Ð
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ ÔÙÙ ÓÒ Ó Ó ØÝ Ø ÓÐÑÙ Ó ÓÒ Ð Ó ÓÒ Ú Ò Ó Ð ÔÙÙ ÓÚ Ø ÑÝ ÒÖ ÔÙ Ø º Ë ÚÓ Ò Ö Ó ØØ ÙÓÖ Ò Ø Ò ÖÝÌÖ ÑÔØÝ Æ
ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º º ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø Ø ¹ÑÖ ØØ ÐÝ º¾µ ÚÓ Ú Ø Ø ÑÝ Ø Ò ÑÖ Ø ÐØÚ Æ Ñ ÒØÝ ÑÝ ³ ³¹Ñ Ö Ò Ó ÐÐ ÔÙÓÐ ÐÐ º Ë Ò ÓÐ ÐÐ ØØÝ ØÝÔ ¹ÐÝ ÒØ º½µº ¾ ÁÒ Ù Ø Ú Ø ØÝÝÔ Ø º Ñ Ö ÒÖ ÔÙÙÒ ÑÖ Ø ÐÑ Ú ØØ Ø Ò ÒÖ
ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº Ó Ñ ÐÐ ÒÒ Ø Ò ½¼ Ü ½¼ Ñ ÐÙ ½¼ Ñ Ø Ö Ù
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÍÐ ÓØ ÐÓ Ò Ô ÖØÓ ÃÙÒ Ô ÖÖ ØÒ Ð Ó ÙÐ ÓÒ ÝÑ ÓÒ Ò ØØ Ú Ñ ÐÐ Ñ ØÓ Ø ØÝÝÔ ÐÐ Ø Ú Ò Ð Ò ÙÙÖ ÓÚ ÐØÙ Ò Ö Ð Ò Ô ÖØÑ Ò Ñº
ÈÖÓ Ð Ø Ø ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÈÖÓ Ð Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Å ÓÒ ÖÒÐ Ò Ò Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó Ô Ø ÖÑ Ò Ø Ø ÐØ ÙØ ÙØ Ò ÓÐ ÓÒ ØØÓ ¹ Ð º ÂÓ Ò Å Ò Ö Ò Ý
ÈÖÓ Ð Ø Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ñ Ø ÐÐÒ ÔÖÓ Ð Ø Ð ÓÖ ØÑ º ÌÐÐ Ð ÓÖ ØÑ ÖÚ Ø Ò Ø Ø ØÒ ÓÐ Ó ØÙÐÓ Ò ÑÙ Ò Ö Ù ÙØ Òº ÖÓÒ Ô Ø ÖÑ Ò Ñ Ò ÓÒ ØØ ÒÝØ Ø Ö Ø ÐÐ ÖÓ Ú Ò Ð ÒØ ØÓ Ø Ø Ò ÙÙ ÐÐ ÖÚ Ù ÐÐ Ø ÖÚ ØØ º Ä ÓÒ Ö ØØ Ø ØÓ ÒÒ ÝÝ
Ð ØÖÓÒ Ø Ñ ÙÚÐ Ò Ø Ì ÑÙ Ê ÒØ ¹ Ó À Ð Ò ¾ º ÐÓ ÙÙØ ½ Ë Ò ÙÔ Ò ÝÒÒ Ò Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Å Ù Ö Ø ÐÑØ ¾ ¾º½ ÆÝ Ý Ø Ñ Ù Ö Ø ÐÑØ º º º º º º º º º º º º º º º º
{(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}.
Ä Ø ÓÓ Ø Ø º º Ä Ø ÓÓ Ø Ø Å Ø Ñ Ø ÓØ ÑÖ ØØ Ð ÚØ Ù Ò ÓÙ Ó ÑÔÐ ØØ ÐÐ ÒÓØ Ø ÓÐÐ Ò ÙØ Ò {(x, y) x {1,2,3,... }, y {2,4,6,...,10}, x < y}. À ÐÐ Ø Ö Ó Ú Ø Ú Ò ÒÓØ Ø ÓÒ Ð ØÓ ÐÐ Ò Ú ØÓ ØÓ Ò ÝÒØ Ò Ø Ú ÐÐ ÐÐ Ð Ø
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ ØÝ Ð º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ÇÉÄ ÓÐ Ó Ý ÐÝ Ð º º º º º º º º º º º º
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÇÐ ÓÔÓ Ø Ø ØÓÑ ÐÐ Ø Ø ØÓ ÒÒ Ò ÐÐ ÒØ Ö Ø ÐÑ ÖØÓ ÖÐÙÒ À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç Å ÓÐ ÓØ ØÓ ÒØ Ø Ò Ö ¾ ¾º½ ÇÅ ÓÐ ÓÑ ÐÐ Ç Ä ÓÐ ÓÒÑÖ
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ : Æ Ê ÙÒ Ø Óº Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÐÙÓ Ø ËÈ ( (Ò)) ÆËÈ ( (Ò)) ÑÖ Ø ÐÐÒ ÙÖ Ú Ø ËÈ ( (Ò)) ÓÒ Ò Ò ÐØ Ò Ä ÓÙ Ó ÓØ ÚÓ Ò ØÙÒÒ Ø Ø
Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ Á ÅÖ Ø ÐÑ ÇÐ ÓÓÒ Å Ø ÖÑ Ò Ø Ò Ò ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ó ÔÝ ØÝÝ ÐÐ Ý ØØ Ðк Å Ò Ø Ð Ú Ø ÚÙÙ ÓÒ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) ÓÒ Å Ò Ð Ñ Ò ÑÙ Ø Ô Ó Ò Ñ Ñ ÐÙ ÙÑÖ ÙÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ò Ò Ò Ô ØÙ Ý ØØ Øº ÂÓ Å Ò Ø Ð Ú Ø ÑÙ ÓÒ
Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð Ø ½ ¾ Ñ Ö Ú Ø Ö Ò Ñ Ò ÓÒ Ò ÚÙÓÖÓÚ ÙØÙ Ø
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ò ØÓÖ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ð ØÖÓÒ Ò Ú Ø Ò Ô ÓÒ Ö Ø Ð ØÖÓÒ Ò Ò Ú Ð ÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ÖÑ Ò ØÙØ ÑÙ ¹ Ð ØÓ ½ ¼¹ÐÙÚÙÐÐ Ù Ø Ó ÐÙ Ð ØÖÓÒ Ô Ð ºËº ÓÙ Ð
ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ ÓÒ Ô Ò ÑÔ Ó Ò Ò ÐÐ Ú Ð Ô Ò ÑÔ Ó Ò º ÒÑ Ö Ø ØÒ Ö Ö
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ È Ð Ó ÐÑÓ ÒÒ Ý ÝÐÐ Ø ØÓÖ ÒØ Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ÓÑ ØÖ Ò Ø Ò Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ã ÙÖ Ú Ø ÐØÚØ Ø ØÓÖ ÒØ Ø Ô ÖÙ ØÙÚ Ø Ñ ÒØÝÝÔ¹ Ô Ò Ò ÖÓØ ÐÐ Ò Ú ÖÙÙ Ø Ó Ó Ò ÐÐ
:: γ1. g 1. :: γ2. g 2
ÌÝÝÔÔ Ú ØØ Ø ¹ Ý ÝÑÝ Ø º º¾ Ò ÑÙÙØØÙ Ò Ý ÝÑÝ Ð Ø x g Ò e? :: α Ö Ø Ø Ò ÓÐ ÐÐ Ø ÑÓ Ò Ô Ö Ñ ØÖ ØØ ÑÒ ÙÒ Ø ÓÒ ÑÙØØ À ÐÐ ÝÐ Ø Ò ÐÐ ÑÙÙØØÙ Ó ÐÐ ÐÑ ÒØÙ ØÝÝÔÔ ÐÙÓ Ð Ó º Ë Ø ÑÙØ ÑÑ Ò ÑÓÒ Ý ÝÑÝ Ð Ø p g Ò e? ::
º ÖØØ ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÌÓ ØÙ º ÄÙ Ò ÙÓÖÐÐ Ð ÙÐÐ ÙÒ ÓØØÒ ÙÓÑÓÓÒ ØØĐ Ó ÒÒ ½ Ó ½ ½ ½ ¼ ½ Ô ¼ Ó ½ Ô Ò ½ ËÙÖÚ ÑĐĐÖØÐÐĐĐÒ ÓÒÚÓÐÙÙØÓØÙÐÓ Ò º ÀÑÖ¹ØÙÐÓ Đº ÅĐĐÖØÐÑĐ
ÄÙÙ ÖØØ ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÇÐÓÓÒ ÔÓ ØÚÒÒ ÓÓÒ ÐÙÙº ÅĐĐÖØÐÑĐ º Ñ µ ѵ ÐÐ Ñ º ÇÒ ÐÚĐĐ ØØĐ ÓÒ ¹ÙÐÓØØÒÒ ÐÒÖÒÒ ÚØÓÖÚÖÙÙ ÙÒ Ð ÙØÓÑØÙ Ø ÑĐĐÖØÐÐĐĐÒ ÐÙÓÒÒÓÐÐ ÐÐ ØÚÐк ÅĐĐÖØÐÑĐ º ÂÓ ÒÒ µ ѵ ½ ½ ¼ Ñ µ ѵ ½ Ñ ½ Ñ Đ ÂÓÒÓ ÓÒ
p q = (x 1 x 2 ) 2 + (y 1 y 2 ) 2 + (z 1 z 2 ) 2. x 1 y 1 z 1 x 2 y 2 z 2
º ÅÓÒ ÙÐÓØØ Ø Ö ÒØ Ð Ð ÒØ º½ Â Ø ÙÚÙÙ Ó ØØ Ö Ú Ø Ø Ù Ò ÑÙÙØØÙ Ò ÙÒ Ø Ó Ò Ö ÒØ Ð Ð ÒØ ÐÑÔ Ø Ð ÓÒ Ò Ô Ò ÙÒ Ø Ó T(x, y, z.t) ÄÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ÐÑÓ ØØ Ñ Ò ÙÙÒØ Ò ÐÑÔ Ø Ð Ú ÚÓ Ñ ÑÑ Ò Ù Ò Ð ÐÑÔ Ø Ð Ö ÒØØ ½½ ÃÓÓÖ
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ º º¾¼¼ ½» Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò Ì Ö Ø ÐÐ Ò ÓØ Ò ÐØ º Å Ø Ò Ô Ð ÓÒ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÙÐÙØØ ØÙÒÒ Ø Ò Ò Á Ä Ø Ò Ð Ò ØÙÒÒ Ø Ú ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ Ô Ù Ó Ð Ö Øصº Ä Ø Ò
È Ú Ö Ù ÆÈ ÁÁ Ë ÑÓ Ò Ó Ò Ý ÝÑÝ ÚÙØ ØØ Ò ØÝ Ø ÙÒ ËØ Ô Ò ÓÓ Ä ÓÒ Ä Ú Ò ØØ Ð ÚØ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ Ò ØØ Òº µ º Ù Ø ÙÙØ ¾¼¼ ¾»
È Ú Ö Ù ÆÈ Á à РÐÙÓ Ø È ÆÈ ÒÝØØÚØ ØÝ Ò Ö Ð ÐØ Ë ÐÚ Ø È ÆȺ µ È ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ö Ø Ø ÔÓÐÝÒÓÑ Ø ÖÑ Ò Ø ÐÐ ÌÙÖ Ò Ò ÓÒ ÐÐ º µ ÆÈ ÓÒ Ð ÐÙÓ Ó Ð ÓÒ ÙÙÐÙÑ Ò Ò Ð Ò ÚÓ Ò Ú Ö Ó ÔÓÐÝÒÓÑ Ð Ð ÓÒ
Symmetriatasot. y x. Lämmittimet
Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ ¹ÖÝ ÑĐ» ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ø ÖÑÓ ÝÒ Ñ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó ÅÍÁËÌÁÇ ÆÓ»Ì ÊÅǹ ¹¾¼¼¼ ÔÚÑ ½¼º Ñ Ð ÙÙØ ¾¼¼¼ ÇÌËÁÃÃÇ Ø Ú ÒعØÙÐÓ ÐÑ Ð ØØ Ò ¹Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò ÖØ Ø ØÙØ ØÙÐÓ ÐÑ Ð Ø Ñ ÐÐ Ø Ä ÌÁ ̵ ÂÙ Ú Ó Ð ¹ÂÙÙ Ð
el. konsentraatio p puolella : n p = N c e (E cp E F ) el. konsentraatio n puolella : n n = N c e (E cn E F ) n n n p = e (Ecp Ecn) V 0 = kt q ln (
ÈÙÓÐ Ó ÓÑÔÓÒ ÒØØ Ò Ô ÖÙ Ø Ø À Ì Øº ½º È ÖÖ ÔÒ¹ÔÙÓÐ Ó Ð ØÓ Ò Ò Ö ÚÝ Ñ ÐÐ ÙÒ ÙÐ Ó Ò Ò ÒØØ ÓÒ ÒÓÐÐ º ÂÓ ÓÒØ Ø ÔÓØ ÒØ Ð Ò V 0 Ý ØÐ µ ÃÙÚ Ò ÚÙÐÐ µ Ù ÓÚ ÖØ Ý ØÐ Ø Ô¹ Ò¹ØÝÝÔ Ø Ò Ñ Ø Ö Ð Ò Ò Ö Ø ÓØ Ô¹ÔÙÓÐ ÐÐ ÙÙÖ
ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU TEKNISKA HÖGSKOLAN HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY
ÆÖÒÒ ÂÖÓ ÓÖÓÙÐÙ ÌÒÐÐÒÒ ABTEKNILLINEN KORKEAKOULU TEKNISKA HÖGSKOLAN HELSINKI UNIVERSITY OF TECHNOLOGY ÔÖÓÖ¹ ÔÓ ØÖÓÖ ¹ÚÖÒÐÝÝ ÐØØÑÐÐÒ ÐÑÒØØÑÒØÐÑÐÐ ÄØÓ ÔÖÙÖ ÓÖ º½½º¾¼¼ ÅØÑØÒ ÐØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓÒØÓ ¾ ÑÐÐÒÒÙ ÄØØÖÒØÒ
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½»
Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙ٠̺ à ÖÚ ¾º º¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ Ä ÒÒ Ò Ú Ø ÚÙÙ ¾º º¾¼¼ ½» ÃÙÖ Ò ÐØ Ø ÐØÙ ÐØ ½ ¾ Î Ø ÚÙÙ Ò Ñ ØØ Ñ Ò Ò ÄÙÓ È ÄÙÓ ÆÈ ÆȹØÝ ÐÐ ÝÝ ÆȹØÝ ÐÐ ÔÖÓ Ð ÑÓ Ì Ð Ú Ø ÚÙÙ ÄÙÓ ÈËÈ Ë Ú Ø Ò Ð Ù Ñ Ö ÈËÈ ¹ØÝ ÐÐ Ø
Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ ÇÔÔ Ò ÄÖÓÑÒ ËÙ Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ ÌÝ Ò Ö Ø Ø ÖØ
Ò ËÖ ÔØ ¹Ô Ó Ñ Á Å Ö Ò Ò À Ò ½½º º¾¼¼ Ç Ñ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò ØÓ Å Ø Ñ ØØ ¹ÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò Ò Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ Á Å Ö Ò Ò ÌÝ Ò Ò Ñ Ö Ø Ø Ø Ø Ì Ø Ì ØÓ Ò ØØ ÝØ Ø Ò
ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ÙÖ ØØ Ð Ö Ð Ø Ð ÒØ Ñ ÐÐ º ØÝ Ó Ø ÚÙÙØ Ø Òºµ Ç ÐÑÓ ÒÒ Ø ÒÒÓ ØÙÒ ÐÐ ØØ Ð Ö Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ¹ Ó ÐÑ Ò ÙÙÒÒ ØØ ÐÙØ Ô º
ÂÓ ÒØÓ ½ ½ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ ÐÐ ØÙØÙ ØÙØ Ò Ô ÖÙ Ø Ò ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ö ØÝ Ø Ñ Ø Ò ÖÓ ØÙØÙ Ø Ø Ð Ô ÖÙ Ø Ø Ó ÐÑÓ ÒÒ Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ð Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ Ô Ó Ó ÐÑÓ ÙÒ Ø ÓÒ Ð Ø º ½ ÂÓ ÒØÓ ½ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ ÓÖ Ø ÒÒÓ ØÙÒ
À Ö Ö Ð Ù Ø ÅÖ Ø ÐÑ ÙÒ Ø Ó : Æ Æ Ñ (Ò) = O(ÐÓ Ò) ÓÒ Ø Ð ÓÒ ØÖÙÓ ØÙÚ Ó ÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó Ó ÙÚ Ñ Ö ÓÒÓÒ ½ Ò (Ò) Ò ÒÖ ØÝ ÐÐ ÓÒ Ð ØØ Ú Ø Ð O( (Ò))º Ä Ù Å Ø Ø
Ì ÔÙÑ ØØÓÑÙÙ Ì Ó Ø ÐÐÒ ÓÒ ÐÑ ÓØ ÓÚ Ø Ô Ö ØØ Ö Ø Ú ÑÙØØ Ó Ò Ö Ø Ù Ú Ø Ò Ò Ô Ð ÓÒ Ø Ø Ð ØØ Ö Ø Ù ÓÐ ÝØÒÒ ÐÚÓÐÐ Ò Òº Í ÑÑ Ø ÓÐ ØØ Ú Ø ØØ ÆȹØÝ ÐÐ Ø ÔÖÓ Ð Ñ Ø ÓÚ Ø Ø ÔÙÑ ØØÓÑ ÒØÖ Ø Ð µ ÑÙØØ ØØ ÓÐ ØÓ Ø ØØÙº
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ä Ù ÓÑÔÓÒ ÒØ Ø Ã Ö Ì ÑÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ Ç ÐÑ ØÓØÙÓØ ÒØÓ Ø ØÓ ÓÒ Ô Ð Ø ¹ Ñ Ò Ö À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ
à ÑÖ Ò ÙÙ Ò ÙÒØÓÐ Ò Ò ÓÖ ÓØ ÓÒ ÓÖ ÓÑ Ö Ò Ð Ò ÑÖÝØÝÑ Ò Ò ËÁË ÄÌ ËÁË ÄÌ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½º½ ÌÙØ ÑÙ Ý ÝÑÝ ØÙØ ÐÑ Ò Ö ÒÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÙÒØÓÐ Ò Ñ Ö Ò Ø ËÙÓÑ º º º º º º º º º º º º º
Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º¾ Ä Ô Ø Ø Ò ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º
ÂÓ ÒØÓ Ñ ØÖ Ò Ð Ò Ö Ø Ò Ñ ÐÐ Ò ØØ ÐÝÝÒ Ê¹Ó ÐÑ ØÓÐÐ ÒÒ Ç Ö Ò Ò Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÐÓ ÙÙ ¾¼¼ Ë ÐØ ½ Ð Ø Ê Ø ¾ ¾ Ê Ò ÝÒØ ØÝ ÒØ ÐÝÒ ÐÓ ØØ Ñ Ò Ò ¾º½ Ç Ò ÝØØ Ê¹ ØÙÒÒÓÒ Ò º º
ÚØ ØØ Ò ØÙÐ > ØÒÔØ ÑÝ ÐØ ÑÐ ØÐÐÒ Ö ØÝ Ò ½ ÌØÚÒ ØØÐÙ ØØÚÒ ÖØ ÑÒÒ ØØÓÓÒÐÐ ÐÐÝØØ ÓÔÚ ÐÓÖØÑ Í Ò ÑÐÓ ÝÐ ÐÐ Ø ÓÐÐ ÙÚÐØÙ ØÓÑÒØÓ À ØØÓÓÒÓÐÑ ÚÒ ØÓÑÒØÔÖØ ØÚÓØØÒ
ØÒÐÐÒÒ ÝÐÓÔ ØÓ ÌÑÔÖÒ ÐØÓ ÅØÑØÒ ØØÓÓÒ ÓÐÐ ÖØØ ÎÓÓ ÝÑÔØÓÓØØÒÒ ÙÓÖØÙ ÊØÒ Ø ÑÒÒ ØØÓÓÒÐÐ ÎÐ Ù ÐÓÖØÑÒ ÑÐÑÒ ÒØØ ÎÐÑÖ ½ ÌØÚÒ ØØÐÙ ØÖÒ ÐÓÖØÑ ÈÖÓÖØØØÓÒÓ ÐÒÒÙÒØ¹Ø ÝÝÐÐ ØÒÚØÓ Î ÄÌ̹½¼¼ ÎÐ Ù ÐÓÖØÑÒ ÑÐÑÒ Ý Ý ¼½ ¼»½½
d 00 = 0, d i0 = i, 1 i m, d 0j
¾º¾º ÁÌÇÁÆÌÁ Ì ÁË Æ Ä Ëà ÅÁÆ Æ ¾ º ÇÔ Ö Ø Ó ÓÒÓ ÌÌÈÈÈÌÄÌÅÈÈ Ò Ù Ø¹Öݹ¹ Ò¹¹¹Ø Ö Ø º ÇÔ Ö Ø Ó Ò ÐÙ ØØ ÐÓ Ò Ù ØÖÝ d ǫ ÒØ ÖÝ ǫ e ÒÙ ØÖÝ u ǫ ÒØ Ö Ý y s Ò ØÖÝ s ǫ ÒØ Ö ǫ t ÒØÖÝ ǫ e ÒØ Ö Ø ¾º¾ ØÓ ÒØ Ø ÝÝ Ò Ð
A c t a U n i v e r s i t a t i s T a m p e r e n s i s 1061
JORMA JOUTSENLAHTI Lukiolaisen tehtäväorientoituneen matemaattisen ajattelun piirteitä 1990-luvun pitkän matematiikan opiskelijoiden matemaattisen osaamisen ja uskomusten ilmentämänä AKATEEMINEN VÄITÖSKIRJA
Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÙØÓÑ Ø ÍÒ Ø Ì Ø Ò Ò ÆÍÒ Ø Ì Ø Ò ÒÚ ÖÓÒÑ ÒØ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò
Å ÈÙÐ Ò Ò ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù ÝÑÔÖ Ø Ì ØÓØ Ò Ò Ò Ø ÒØÙØ ÐÑ ¾ º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Å ÈÙÐ Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ñ ºÔÙÐ Ò Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÙØÓÑ Ø Ó ØÙ Ý Ø Ø Ù ÆÍÒ Ø¹Ø Ø Ù
ÙÒØÓÒ ÚÐØ Ñ Ò ÚÙ Ø º½ Ö ÙÓÖØÙ ÑÒ Ñ ÓÐÐ ÓÐ Ù Ò ÔÖÑÔ Ë Ø ÓÔÖØÓØ Øº ËØÒ ÓÓ ÚÐØÙÐÓ Ø Ó ÙÐ Ò Ð Ø a ÔØÒº ÓÐÖ Ø ÓÔÓ ÓÓ Ð ØÒ a ÖÙÖ ÓÔÒÓÓÒ ÒÒÒ ÙÒ Ð ÓÓÑÒ ÐÓÔÔÙØ
ÙÒØÓÒ ÚÐØ Ñ Ò ÚÙ Ø º½ º½ ÙÒØÓÒ ÚÐØ Ñ Ò ÚÙ Ø ËÑÒ ÙÒØÓÒ Ö ÑÙÓØÓÒ ÒØÖÔ ÚÓ ØØÒÒ ÓÐÐ ÙÙÖ ÖÓ ÇÐÓÓØ ÐÐ µ = (++) 0 l = 0 r = º ÃÙÑÔÒ ØÓØÙØØ ÚÓÖ ØÓÒ ÙÒØÓÒ ÓÒغ ÓÐÖ¹ØÓØÙØÙ ØÓÑ ÐÒÖ Ø ÓÐйØÓØÙØÙ ØÓÑ Ø ÒРغ ÖÓ ÓØÙÙ
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ Ô Ø º½ Ä ØÓ Ó Ø Ð ØÓ Ó Ø ÑÖ ØØ ÐÝØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º¾
Ô Ø Ó ÐÑÓ ÒØ ÐÔ Ð Ú Ò ÓÑ Ò ÙÙ Ò ÑÓ ÙÐ ¹ Ö Ó ÒØ Ì ÑÓ ÌÙÓÑ Ò Ò À Ð Ò ½º º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö Ø ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ç ÐÑ ØÓ Ò ÑÓ ÙÐ Ö Ó ÒØ ½ ÄÔ Ð Ú Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Ô Ø Ó ÐÑÓ
3D piirron liukuhihna (3D Graphics Pipeline) Sovellus/mallinnus Geometrian käsittely Rasterointi/piirto
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ö Ò Ô ÖØÓ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ¹ Ö Ò Ô ÖØÑ Ò Ò ÙÚ Ø Ò Ù Ò Ð Ù Ù Ò Ò Ô Ô Ð Ò µ ÚÙÐÐ Ö Ð Ù Ù Ò Ö Ø ØÓ ÙÐ Ð Ù Ù Ò Ò Ö Ú Ò ÙØØ ÒÒ Ò Ù Ò Ô ÖÖ ØÒ ÖÙÙ ÙÐÐ Ö
0 ex x = e 1. x + 3a 2x a = 2a xº. 1 3 (uvy) 3 (uxy) 3 (wxy) uvwxy (uvw) 1 3 (vwx)
Å ÌȽ ¼ ËÝÑ ÓÐ Ò Ò Ð ÒØ ¾ ÓÔ ½ Ð Ø ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ Ø ÐØ ËÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒÒ Ò ÙÖ ÐÐ ÓÔ Ø Ò Ø ØÓ ÓÒ Ò ÝØØÑ Ø ÔÙÚÐ Ò Ò Ñ Ø Ñ ØØ ÓÒ ÐÑ Ò¹ Ö Ø Ù º ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ÒØ Ô ÖÙ Ú ÐÑ Ù Ø ÝÑ ÓÐ Ò Ð ÒØ Ò Ö Ó ØÙÒ Ò Å Ø Ñ ¹
ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì ÐÙÚÙ ÐÙÓ Ò Ø Ù Ò Ò ÐÙ Ò ØÖ ÑÔ Ò ØØ Òº Ø
ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ìº à ÖÚ Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÃÖÝÔØÓ Ö Ò Ô ÖÙ Ø Ø Ë ÔØ Ñ Ö ¾¼¼ ½» ½½ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ë Ô Ö ÒØ ÐÐ Ò ÝÑÑ ØÖ Ò Ð Ù Ò ØØ ÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ð Ù Ò Ý Ø Ý Ø ÖÚ Ø Ò Ø ØÓ ÑÓ ÙÐÓ Ö ØÑ Ø Ø Ö ÐÐ Ø ÙÒÒ Ø º Ì
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ ÑÙ Ò ÝÒØ Ã Ò Ø ÒØÝ ¾ ÚÙ ÌÓÙ Ó ÙÙ ¾¼¼ È
ÂÇÆÁ È ÀÄ Å ËÁÆÁÅ ÄÄÁÆÆÍÃË Æ È ÊÍËÌÍÎ ÅÍËÁÁÃÁÆ Ë ÆÌ ËÁ Ã Ò Ø ÒØÝ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ ÃÓÒ Ø ÃÓÔÔ Ò Ò ½½º ØÓÙ Ó ÙÙØ ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓÐ ÒÒ ¹ Ð ØÖÓÒ Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÂÇÆÁ È ÀÄ Å Ë Ò Ñ ÐÐ
q(x) = T n (x, x 0 ) p(x) =
ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù ÎÁÁ Ì ÝÐÓÖ Ò ÔÓÐÝÒÓÑ Ø Ì ÝÐÓÖ Ò Ð Ù Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÙÒ Ø Ó Ø ÓØ ÓÚ Ø ÒÒ ØÙÒ Ô Ø Ò x 0 ÝÑÔÖ ¹ Ø Ö ØØÚÒ Ð Ø Ð Ö ØØÚÒ ÑÓÒØ ÖØ Ø ÙÚ Ø µ Ö ÚÓ ØÙÚ ÅÖ Ø ÐÑ ÎÁÁ ½ ÙÒ Ø ÓÒ f : D f R D f R Ó ÓÒ
ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø Ò Ó Ø Ó ÐÐ Ð Ø Ò ÚÖ Ú Ð ØÙ Ø ÔÔ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ò ² Ö Ø ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò ËÚÝØÝ Ò µ ÓÒ Ñ Ò ÔÑÖ Ò Ò Ø ÖÑ ÓÒ ÝØØ Ø ØÓ ÓÒ Ö ÓÒ ÐÓ ØÓÒÒÙØ Ñ Ð Ó Ù Ò Ò Ð ÙÔ Ö Ø Ñ Ö ØÝ Ø Ã ØØ ÐÐ Ø Ö Ó Ø Ø Ò ÒÝ ÝÒ Ø
È ÌÀÇƹÇÀ ÄÅÇÁÆÆÁÆ ËÇÎ ÄÄÍÃËÁ Å ÌÊÁÁËÁÄ Ëà ÆÌ Æ ÌÁÄ ËÌÇÌÁ Ì Ë Æ Â ÆÍÅ ÊÁË Æ Å Ì Å ÌÁÁÃÃ Æ ÄÍÃÁÇÄ ÁËÁÄÄ Ì Ò Ï ÐÐ Ö ¹Ä Ò ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Å ÖÖ ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å
Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù Ø ÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò Ø Ø ÓÐÙ Ö µ Ã ÙÐÓØØ Ò Ò Ñ
ØÙغ Ø Ò ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ Ö Ò È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ ÒØØ ºÔÙ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ë Ø ÐÓ Ò Ô ÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØ Ò ÓÒ Ò Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐ Ò ÖÖ ÐÐ Ò Ú Ò Ô Ò Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ Ñ
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼
ÁÆÇ Å ÌË Ä ÅÇÇ Ä ÅÇÆÁÃÍÄÌÌÍÍÊÁË Æ ÇÈÈÁÅÁË ÅÈ ÊÁËÌ Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÔÖÓ ÓÖ À ÒÒÙ Â ÓÐ Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ Ì ØÓ¹ Ø Ò Ò Ø ÙÒØ ¹ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼½º¾¼½¼ ÌÝ Ò Ó À ÒÒÙ Â ÓÐ ÌÝ Ò Ø ÒÓ Åº Å Ø Ð ÅÓÓ Ð ÑÓÒ ÙÐØØÙÙÖ Ò
½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ÌÖ ¹ØÖ º½ ÑÔÖ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
¹ØÖ Ø Ø Ø ÓÒ Ø ÐÐ ÒØ Ñ Ð ÚÝÐÐ Â Ó Å ÐÚ Ö À Ð Ò ¾¾º½¼º¾¼¼ Ë Ñ Ò Ö ØÝ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ ¹ÔÙÙ ¾ ¾º½ Ì Ø ÝØ ØØÝ ¹ÔÙÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ ÙÙ ¾¼½ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÓÒ ÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ¹ ÐÙ Ó
ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Ì ÖÓ ÃÓ Ó Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÌÙÖÙÒ Ð ÓÔ ØÓ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼½ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÇÀÇ Ì ÊÇ ÇÔØ ÑÓ ÒØ ÐÙ ÓÐ ÐÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º º Å Ø Ñ Ø ÐÓ
(a,b)(c,d) = (ac bd,ad + bc).
ÃÓÑÔÐ ÐÙÚÙ Ø ½ ½º ÂÓ ÒØÓ ØÐ ÐÐ x + 1 = 0 ÓÐ Ö Ø Ù Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ó Ó Ò Ö Ð ÐÙ¹ ÚÙÒ ØÓ Ò Ò ÔÓØ Ò ÓÒ ÔÓ Ø Ú Ò Òº ÂÓØØ ØÐÐ Ý ØÐ ÐÐ Ø Ò Ö Ø Ù Ñ Ò ØÝØÝÝ Ð ÒØ Ö Ð ÐÙ Ù Ò ÓÙ Ó Ð ÑÐÐ Ò ÙÙ Ð Ó Ñ Ö ØÒ Ø¹ Ø ØÓ Ø
ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø Ñ ÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔÔ Ñ ÐÐ ÚÐØØÑØØ ÑØ ÐÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ÚÓ Ò ÓÒ ØÖÙÓ ÓÐÑ Ô Ý
Ä Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÑ Ò Ò Ð Ñ Ô Ð Ò ÚÙÐÐ Î ÐÐ Ã ÒÒÙÒ Ò Å Ø Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ ÌÑ ØÙØ ÐÑ ØØ Ð Ð Ô Ò ÐÙ Ù ØØ Ò ØØÝÑ Ø ØØÑ Øº ÐÙ ¹ ØØ Ð ÑÑ Ñ Ø Ñ ØØ Ø
Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ Ò Ò Ñ ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÐ Ò Ò Ð ÈÓÖØ Ð ØÝ Ó ÅÓ Ð ÔÔÐ Ø ÓÒ Ò ÁÑÔÐ Ñ Ò
ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö ÅÓ Ð ÓÚ ÐÐÙ Ø Ò ÖÖ ØØÚÝÝ ØÓØ ÙØÙ Ò ØÖ Ø ÓØ Ó Ì ØÓØ Ò Ò Ó ÐÑ ØÓØ Ò µ ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÙ Ò Ä ÑÑ Ö Ø Ý Ø ÓØ ÈÙ Ð Ò ¼ ¼½¾ ½ ÔÓ Ø ÒÙÐ º ÌÝ
ÄÇÄÁ ÇÈÌÁÅÇÁÆÌÁ ÈÇËÁÌÊÇÆÁÅÁËËÁÇÌÇÅÇÊÁ¹ÃÍÎÆÌÅÁËÆ ÄÁÁÌÌÎËË ÅÄÄÁÆÌÅÁËËË Ã ËÖÓÐÑ ÈÖÓ ÖÙ ¹ØÙØÐÑ ÌÑÑÙÙ ¾¼¼ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÅÌÅÌÁÁÃÆ ÄÁÌÇË ¾¼¼½ ÌÍÊÃÍ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÅØÑØÒ ÐØÓ ËÊÀÇÄÅ ÃÁË ÐÓÐ ÓÔØÑÓÒØ ÔÓ ØÖÓÒÑ ÓØÓÑÓÖ¹
F n (a) = 1 n {i : 1 i n, x i a}, P n (a,b) = F n (b) F n (a). P n (a,b) = 1 n {i : 1 i n, a < x i b}.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç Å ÖØØ Ì Ò Ö ¾ º½º¾¼½½ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ ÁÒ ÓÖÑ Ø ÓØ Ø Ò Ý»Ø Ó Ø ÚØ Ã Ö ¹ÂÓÙ Ó Ê Ç Ø ØÙØ ÐÑ Ò Ð Ø Ó ÐÐ
ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ Ò ÓÒ Ø Ö Ø ÐÐ Ö Ð ÔÝ ¹ Ø
È ÀÌ Ä Ì Ê ÙÐ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ Å Ì Å ÌÁÁÃ Æ Ä ÁÌÇË ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÌÍÊÍÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ ÃÍÄ ÊÁÁÃà ÔÝ ØÐ Ø ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ¾ Ð Ø º Å Ø Ñ Ø ÀÙ Ø ÙÙ ¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ Ò Ò ÓÒ ÔÝ ØРغ Ì Ö Ó ØÙ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð ÈÓÐÙÒ Ø ÒØ Ù Ò ÒØ Ò ÝÑÔÖ Ø Ô Ð È Ä ÓÒ Ò À Ð Ò º º¾¼¼ ÄÙùØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ Ý ÒØØ Ð Ø Ò ÒÖ Ð Ò ÓÒ Ð
Ý ÒØØ Ð Ø ÒÖ Ð Ø ÒØØ Ì Ò À Ð Ò ¾ º½¼º¾¼¼ ÌÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ý ÒØØ Ð Ò Ò ÓÒ Ò Ù ÓÒ ÐÑ ¾ ¾º½ ÅÖ Ø ÐÑ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
F n (a) = 1 n { i : 1 i n, x i a }, P n (a, b) = F n (b) F n (a). P n (a, b) = 1 n { i : 1 i n, a < x i b }.
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
a b = abº Z Q R C + : N N N, +(m,n) = m + n ( Ð (m,n) m + n), : N N N, (m,n) = m n (= mn) ( Ð (m,n) mn). A B (A,B) A Bº
ÄÙ Ù ÐÙ Ø ÂÙ Ä Ö ÂÓÙÒ È Ö ÓÒ Ò ÄÙ ÐÐ ÌÑ ÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÂÓÙÒ È Ö Ó Ò ÚÙÓ Ò ¾¼¼ ¾¼¼ ÂÙ Ä Ö Ò ÚÙÓÒÒ ¾¼¼ Ô ØÑ Ò ÄÙ Ù Ð٠ع ÙÖ Ò ÐÙ ÒØÓ Òº ÅÓÒ Ø Ò Ò Ò Ñ Ø ¹ Ö Ð ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ Ú ÓÒ Ñ ØØ ÐÐ ÐÙ ÒØÓ ÙÖ ÐÐ Ð ÑÙ
Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ë ÑÓ À Ð Simulointityökalu saarekekäytön säädön kehityksen tueksi Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¼º
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ½º½ ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ø Ð ØÓØ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ ½º¾ À Ú ØÙØ Ö Ú Ò Ø ÑÔ Ö Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º ½ ½º ÌÓ ÒÒ ÝÝ Ñ ÐÐ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º º½
2x1 + x 2 = 1 x 1 + x 2 = 3. x1 = 2 x 2 = 5. 2 ( 2)+5 = = 3. 5x1 x 2 = 1 10x 1 2x 2 = 2. ax1 +bx 2 = e cx 1 +dx 2 = f
Ä Ò Ö Ð Ö Á ÇÙÐÙÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ ØØ Ø Ò Ø Ø Ò Ð ØÓ ¾¼½½ ÂÖÚ ÒÔ Ã Ö Ó ØØ ÒÙØ ÌÙÙÐ Ê Ô ØØ ¾ ½ Ä Ò Ö Ò Ò Ý ØÐ ÖÝ Ñ ½½ Ñ Ö µ Ê Ø Ý ØÐ 5x = 7 Ã ÖÖÓØ Ò Ý ØÐ ÔÙÓÐ ØØ Ò ÐÙÚÙÐÐ 5 1 ÓÐÐÓ Ò Ò 5 1 5x = 5 1 7 Ð x =
139/ /11034 = 0.58
ÄÙ Ù ÂÓ ÒØÓ Ø Ð ØÓÐÐ Ò ÔØØ ÐÝÝÒ º½ Ì Ð ØÓÐÐ Ò ÓÒ ÐÑ Ò ÐÙÓÒÒ Ì Ð ØÓÐÐ Ò Ñ ÐÐ ÒØ Ñ Ò Ò ÔØØ ÐÝ ØØ Ð Ú ÒØÓ Ò Ú Ø ÐÙ ÔÚ ÖÑÙÙØØ º ÓÐ Ø ØÒ ÐÚ ØØ ØÙÓÐÐ Ø Ø ÚÓ Ò Ø¹ Ø Ñ ØÒ Ø ÑÐÐ Ø Ø Ø Ø ÐРغ Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÓÒ ÓÑ
A B P(A B) = P(A B) P(K) = 4 ( 52 5) =
ËÁË ÄÌ ¾º º½ ÀÝÔ Ö ÓÑ ØÖ Ò Ò ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ¾º º¾ Ì Ö ØÙ ÓØ ÒØ Ø ÓÐÐ ÙÙ º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÇØ ÒØ Ô Ð ÙØØ Ò º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾º ÒÓÑ ÙÑ º º º
Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð Å Ö Ø¹ ÑÓ Ð ÓÖ ÓÔ Ö Ø Ò Ý Ø Ñ Ñ ÑÓÖÝ Ñ Ò Ñ ÒØ ÌÝ Ì Ø
È ÚÓ È Ö Ò Ò Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ Ö Ø ÐÑÒ ÑÙ Ø Ò ÐÐ ÒÒ Ì ØÓØ Ò Ò ÈÖÓ Ö Ù ØÙØ ÐÑ ½ º ÐÓ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì È ÚÓ È Ö Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÔÔ Ö Ò ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ö Ò ÔÓ Ø Ñ ÐÐ Ø ÝØØ
1, x 0; 0, x < 0. ε(x) = p i ε(x i).
ËÁË ÄÌ Ö ØØ Ý ÙÐÓØØ ÙÑ ½½½ º½ Ö ØØ ØÙÒÒ ÑÙÙØØÙ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½½ º¾ ÖÒÓÙÐÐ Ò Ó Ø ÒÓÑ ÙÑ º º º º º º º º º º º º º º º ½½ º¾º½  ÙÑ Ò ÝÑÑ ØÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½½
Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ ½ ¾º½ Ì Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ Ò ØÓÖ º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ ¾º¾ ËØÓ Ø Ò Ò Ø Ø ÐÙÑ ÐÐ ÒÒÙ º º º º º º º º º º º º
Šع¾º ½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø º½º¾¼¼ Ì Ø ÐÙÒ ÑÙÐÓ ÒØ ÑÔÙÑ Ø ÖÚ Ò Ö Ø ÐÑ Ò Ù Ø ÒÒÙ Ø Ó ÙÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Â ÒÒ Ä ØÓÒ Ò ¼¾ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ
f ÓÒ ÒØ ÓØ ÙÖÑÐÐ Ò ÖÚÓ ÙÒØÓ ÐÚº ÓÒØ λ¹óðñø ÚÓÒ ÒØ ÌÙÖÒÒ ØÓ Òº ËØØÒ Ö ÒÒ ÓÐÐÒ ÑÔÐÑÒØÓ ØØÓÓÒÐÐ Ø ØÙÐ ÄÁËȹ ÚÒØÒ Ä Ô ÓØØ ÑÙØØ ÔÓØ ÙÒØÓÒÐ Ò ÓÐÑÓÒØÒº Ä Ô Ó
ÓÐÑÓÒÒ Ø ÖØÝ Ø ÑØÒ ÙÒØÓÒÐ Ø ÖÓ ØÙØÙ Ø ØÐÔÖÙ Ø Ø ÓÐÑÓÒÒ Ø À ÐÐ ÓÐÐ ÓÒ ÔÓ ÓÐÑÓ ÓÐÑÓÒØÐ Ø ÙÒØÓÒРغ ÒÒÓ ØÙÒÐÐ ÙÖ ØØÐ ÌØÓÒ ØØÐÝØÓÖ Ø Ð ÒØÑÐк ÖÐ Ø ÒÒÓ ØÙÒÐÐ ØØÐ ÖÐ Ø ÇÐÑÓÒÒ Ø ÓÐÑÒ ÙÙÒÒØØÐÙØÔº ÓÐÑÓÒع»Ø ÐÓ
T 2. f T (x)e i2π k T x dx. c k e i2π k T x = x dx. c k e i2π k T x = k Z. f T (x) =
º ÓÙÖÖ¹ÑÙÙÒÒÓ ÓÙÖÖ Ò ÒØÖÐ Ð Ù ¹ ÓÐÐ Ò ÙÒ Ø ÓÒ f(x) PC(R) º½ ÓÙÖÖ¹ Ò ÐÝÝ º ÒÐ Òµ ÅÖ Ø ÐÐÒ T ¹ ÓÐÐ Ò Ò ÙÒ Ø Ó f T (x) = f(x), T 2 < x < T 2, ÃÓÑÔÐ Ò Ò ÓÙÖÖ¹ÖÖÓ Ò c k = 1 T T 2 T 2 f T (x)e i2π k T x dx.
Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
È Ä Ø Hajasijoitettujen päätelaitteiden ohjelmistojen etähallintaratkaisu Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Å Ø Ñ ØØ ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò Ì Ö
Ø ÝØØ Ø Ò ØØ Ò ÙÚ Ù ÐÓ Ô ÖÙ Ø Ò Ò Ñ¹ Ö ØØ ÐÝ Û È ØÖ Ä Ò Ö Ò À Ð Ò ¾ º º¾¼¼ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç
ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ ØØ Ú Ø ØÓ Ò º ÃÓ Ò Ð Ö ÓÒ ½ Ò ÑÑ Ò ÓØØ ÒÙØ Ú ÖÑ ÒØ Ø Ó ÓÒ ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ÐØ Ð
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ì ÑÓ Ã ÖÚ ¾º½½º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÁÁ ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ ¾º½½º¾¼¼ ½» ÂÙÐ Ò Ú Ñ Ò Ò Ö ØÖÙ ØÙÙÖ Ø ÇÒ ØÖ Ý Ø ØÓÑ Ò ÙÐ Ò Ò Ú Ò Ò ØÓ ÐÐ Ò Ò ÐØ ÐÙÓØ
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÐÑ ØÓÒÑÙÓ Ù Ñ Ö ÙÓÐ Ò Ø Ó ÐÐ Ú Ù¹ ØÙ Ø Ñ Ö ÐÐ Ò ÙÑ
ÆÌÌÁ¹ÁÄ ÊÁ È ÊÌ Æ Æ ÁÄÅ ËÌÇÆÅÍÇÃà ÍË Å ÊÁËÍÇÄ ÁÆ ÃÌÁÇÁÄÄ Î ÁÃÍÌÍÃË Ì Å Ê ÄÄÁËÁÁÆ ÃÍÅÈÍà ÊÊÇËÈÁÄÎÁÁÆ Â Å È ÄÄÇÆ Ë Ì ÁÄ Ì Ë Ë Æ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø ÂÝÖ Å Ð Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ
À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ Ø»Ë Ø ÓÒ ÙÐØÝ Ä ØÓ ÁÒ Ø ØÙØ ÓÒ Ô ÖØÑ ÒØ Ì Ö ØØ Ö ÙØ ÓÖ ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ ÌÝ Ò Ò
ÝÚ ÝÑ Ô Ú ÖÚÓ Ò ÖÚÓ Ø Ð Ã ÒÓØ Ó Ø Ò Ò ÙÖÓÚ Ö Ó Ò ØÝ ØØ Ø ÇÐÐ ÇÖ ÖÚ À Ð Ò ¾º º¾¼¼ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓ Ò ØØ ÐÝØ Ø Ò Ð ØÓ À ÄËÁÆ ÁÆ ÄÁÇÈÁËÌÇ À ÄËÁÆ ÇÊË ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ì ÍÆÁÎ ÊËÁÌ Ç À ÄËÁÆÃÁ Ì ÙÒØ»Ç ØÓ ÙÐØ
x 1 x 2 x n u 1 + v 1 u 2 + v 2 u n + v n λu 1 λu 2 λu n
ÇÈÌÁÅÇÁÆÆÁÆ È ÊÍËÌ Ì Ã Ó ÊÙÓØ Ð Ò Ò ¾ º ÝÝ ÙÙØ ¾¼¼ ¾ ÂÓ ÒØÓ ÃÙÖ Ò Ø ÚÓ ØØ Ò ÓÒ ØÙØÙ ØÙØØ Ø Ú ÐÐ ÑÔ Ò ÓÔØ ÑÓ ÒØ ¹ Ð ÓÖ ØÑ Ò Ò Ò ÝØØ Ò ÓÚ ÐÐÙØÙ º ÃÙÖ Ñ Ø Ö Ð ÒØÙÙ Ò Ð Ò Ö Ó Òº ÐÙ ÐÝ Ý Ø ÖÖ Ø Ò Ñ ØÖ Ð Ö Ø
½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1
![½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1](/thumbs/65/53346653.jpg "½µ newstate := 0. µ state := goto[state,p i [j]] µ state := 0;j := 0. µ j := j + 1 µ newstate := newstate + 1")
½º º Àǹ ÇÊ ËÁ ù Ä ÇÊÁÌÅÁ ½ à ÖÔ Ê Ò Ø Ö Ø Ð Ú Ø ÑÝ ÙÒ Ú Ö Ð Ò ÙØÙ Ò Ô ÖÙ ØÙÚ Ú Ö Ó Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Î Ð Ø Ò q ØÙÒÒ Ø ÐÙ Ù ÓÙ Ó Ø Qº Q Ò ÐÙÚÙØ ÚÓ Ú Ø ÓÐÐ Ô Ò Ò Ò Ò Ø ÖÚ Ø ÓÐÐ Ð ÙÐÙ Ù º ÎÖÒ Ø ÑÝ Ò ØÓ ÒÒ ÝÝ
¾º C A {N A } K N A º A B N B
Ú ÒØ Ò ÐÐ ÒØ ØÓ ÒÒÙ Ø Ì ÐÙÚÙ Ø Ö Ø ÐÐ Ò ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ó Ò ÚÙÐÐ Ó ÔÙÓÐ Ø ÚÓ Ú Ø Ó¹ Ô Ð Ø Ú Ñ Ø ØÓ ÒØ ØÓ Ò º ÌÐÐ Ò Ò ØÓ Ñ ÒÔ Ð ØØÝÝ Ù ÑÔ Ò Ø ØÓØÙÖÚ ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ò ÑÑ ¹ Ò Ú Ò ÒÒ Ò Ù Ò Ú Ö Ò Ò Ò ØÓ Ñ ÒØ Ñ Ö Ø Ó
4 E 5 G 6 10 H D A 4 E
ØÙغ ØÒ ÐÐ Ò Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ÑÔ ÖÒ Ë Ø ÐÓÒ ÔÖØÓ Á ÔÖÓ Ó ÒØ ÃÙÒ Ð ÙØÒ ÓÒÒ Ö ÒÒÙ Ò ÐÐ ÓÒ ÝÐÒ ÖÖ ÐÐÒ ÚÒ ÔÒ Ó Ö ÒÒÙ Ò Ø ÐÓ Ø Ò ÝÚ È Ð Ó ÐÑÓ ÒØ Ñ ÐÐ ÓÒ Ù ØÐÐ Ò ÙÙÖ ÑÖ Ò ØØ ÓÐÙÖ µ Ë Ø ÐÓÒ ÔÖØÓ Ò ÝÚÝÝ Ð ÒØ ÒØØ ÈÙ
Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
ÇÐÐ ¹È ÀÙÓÚ Ð Ò Ò Aktiivisten DNA-muutosten seulonta riippuvuusmalleilla Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò
Ì ÓÚ Ö ÓØ Ð Ò Ã ÐÐÙÒ Å Ø Ñ Ø Ò ÈÖÓ Ö Ù¹ØÙØ ÐÑ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ ËÝ Ý ¾¼¼ Ë ÐØ ÂÓ ÒØÓ ½ ½ À ØÓÖ ¾ Î Ö ÓØ ÓÖ ¾º½ Î Ö ÓÒ ÚÖ ØÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º
λ (i,j) (i 1,j) = µ R j, i = 1,... N B, j = 0,... N R λ (i,j) (i,j 1) = µ B i, i = 0,... N B, j = 1,... N R λ (i,j) (k,l) = 0, muulloin.
Šع¾º½¼ ËÓÚ ÐÐ ØÙÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò Ö Ó ØÝ Ø ¾¼¼ ¹¼¾¹½¾ Ì Ø ÐÙÒ Ñ ÐÐ ÒÒÙ Ø Å Ö ÓÚ Ò Ø ÙÐÐ Ì Ò ÐÐ Ò Ò ÓÖ ÓÙÐÙ Ì Ò ÐÐ Ò Ý Ò Ñ Ø Ñ Ø Ò Ó ØÓ ËÝ Ø Ñ Ò ÐÝÝ Ò Ð ÓÖ ØÓÖ Ó Ä ÙÖ ÂÙ Ò Ã Ò ¼¼ È Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ½ ¾ Ì Ø ÐÙÑ
arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos
hyväksymispäivä arvosana arvostelija Elliptisen käyrän salauksen perusteita Mikko Alakunnas Helsinki 12.4.2007 HELSINGIN YLIOPISTO Tietojenkäsittelytieteen laitos HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET
ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ ÄÌÁÇ ËÍÎÁ È Ö ÒÑ ÐÐ ¾¼¼ ¾¼¼ Ø Ô ØÙÒ Ò Ð ÒÒ ÓÒÒ ØØÓÑÙÙ ¹ Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ Ý Ú
ËÍÎÁ ÄÌÁÇ ÈÁÊÃ ÆÅ ÄÄ ¾¼¼ ¾¼¼ Ì È ÀÌÍÆ Á Æ ÄÁÁÃ ÆÆ ¹ ÇÆÆ ÌÌÇÅÍÍÃËÁ Æ Æ Ä ËÇÁÆÌÁ ËÎ ÊÃÃÇÂ Æ ÎÍÄÄ ÔÐÓÑ ØÝ Ì Ö Ø Ð ÓÔ ØÓÒÐ ØÓÖ Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ
Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÐ Ò Ò Ð Í Ð ØÝ Ò Ò Ò Ó ØÛ Ö ÔÖÓ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙ
Ê ÑÓ È Ø Ò Ò ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò Ó ÐÑ ØÓÔÖÓ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ¾ º ÓÙÐÙ ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì Ê ÑÓ È Ø Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ Ö Ô Ø Òº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ ÃÝØ ØØÚÝÝ ÙÙÒÒ ØØ ÐÙ Ó Ò
k(x,x ) K N(µ, Σ) GP(m(x), k(x,x )) X x p diag(x)
Ì ÊÅÇ ÁÂ ÍËËÁÆ ÈÊÇË ËËÁÌ Ê Ê ËËÁÇ Æ Ä ËÁËË Ã Ò Ø ÒØÝ Ç ÝÐ Ø ÒØØ À ÖÖ Ä Ñ Ì Ö Ø Ð ØÓÖ À ÀÙØØÙÒ Ò ÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì ØÓØ Ò Ò ÓÙÐÙØÙ Ó ÐÑ Ì ÊÅÇ ÁÂ Ù Ò ÔÖÓ Ø Ö Ö Ó Ò ÐÝÝ Ã Ò Ø ÒØÝ
Referenced. Object. StateSet. Node. Geode
ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ¹Ó Ø Ì ÑÓºÌÓ Ú Ò ÒØѺ Ùغ ÌÑ Ó ÙÑ ÒØØ ÓÒ ØÝ Ò Ø Ô Ú Ø ØÒ Ø ÖÔ Ò ÑÙ Òº ½ Ø ÇÔ ÒË Ò Ö Ô ÇË µ ÓÒ ÇÔ Ò Ä Ò Ô Ö ÒÒ ØØÙ ¹ÙÓ Ö¹ ØÓ Ó ÓÒ Ú Ô Ø Ø Ú Ó ØÓ Ñ ÑÓÒ ÝÑÔÖ Ø º ÇË Ó¹ ÙÑ ÒØÓ ØÙ ÓÜÝ Ò¹Ó Ñ ØÓÒ
Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº ÌÝĐÓÒ Ò Ñ Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Ì ØÐ Ò Ò Ð ËÓ ØÛ Ö Ú ÐÓÔÑ ÒØ ÓÖ Ñ Ò Ò ÖÖÓÒ
Ç ÐÑ ØÓÒ ØØĐ Ñ Ò Ò ÔÙÙØØ ÐÐ Ò Ú Ö ÐÐ Ò Ú ÒØÓ Ò ØÓÒ Đ ØØ ÐÝÝÒ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ç ÐÑ ØÓØ Ò Ò Ð Ò ½½º ÐÑ ÙÙØ ¾¼¼¾ ÂÝÚĐ ÝÐĐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ Ì Đ Á ÑÓ ÀÓÖÔÔÙ Ø Ý Ø ÓØ ÓÖÔÔÙº ÝÙº
Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta
Ä ÊÓÔÔÓÒ Ò Ruuhkanhallinta-algoritmien toiminta haasteellisissa tietoverkoissa Elektroniikan, tietoliikenteen ja automaation tiedekunta ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú
x (t) = f(x(t)) u B δ (p) = ϕ t (v) = p, v B d (p) = lim e t AT e t A dt W =
Á Ê ÆÌÁ ÄÁ ÀÌ Ä Ë ËÌ ÅÁÌ º Ì Ô ÒÓÔ Ø Ø Ø Ð ÙÙ Ì ÐÙÚÙ Ø ÑÑ Ö ÒØ Ð Ý ØÐ Ò Ø Ô ÒÓÖ Ø Ù Ò Ø Ð ÙÙ Ø Ö Ø ÐÙ¹ ÒÝØ ÔÐ Ò Ö ÐÐ Ý Ø Ñ ÐÐ º ÌÐÐ ÓÚ Ø Ñ Ö ÐÙÖ Ý Ø Ñ ÐÐ Ô ÐÐ Ò ÔÝ ØÝ ÙÓÖ Ò Ó Ó Ð Ø ÝÐ Ô Ò ÓÐ Ú ÐÙÖ º ÂÓ
139/ /11034 = 0.58
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ý Ø Ý ÁÈÚ ÓÒ Ò ÁÈË Ò ÐÙÓÒØ
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË Ì ÑÓ Ã ÖÚ º½¾º¾¼¼ Ì ÑÓ Ã ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ ÇË ÁÎ ÁÈË º½¾º¾¼¼ ½» Ð Ø Ù ÁÈË Ò ÁÈË ÓÒ ÁÈ¹Ú Ö ÓÔÖÓØÓ ÓÐÐ Ò Ð ÒÒÙ Ñ ÐÐ Ø ØÒ ÁÈ¹Ô ØØ Ò ÙÖ Ñ Ò Ò ÑÙÙÒØ Ñ Ò Òº ÁÈË ÓÒ ÝÒØÝÒÝØ ÙÙ Ò ÁÈÚ ¹ÔÖÓØÓ ÓÐÐ
Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ Ë ÚÙÑÖ Ì Ú Ø ÐÑ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ
ÂÝÖ Ä Ò Ò Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÓØ Ò Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ½ º ÙÙØ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Ì ØÓØ Ò Ò Ð ØÓ ÂÝÚ ÝÐ Ì ÂÝÖ Ä Ò Ò Ø Ý Ø ÓØ ÝÖ Ðº ÝÙº ÌÝ Ò Ò Ñ Å Ñ ØØ Ø Ð ÓÖ ØÑ Ø Ì ØÐ Ò Ò Ð ÇÒ Å Ñ Ø Ð ÓÖ Ø Ñ ÌÝ Ì ØÓØ
ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼
Å Ð Ë Ú Ð ÂÓ ÒØÓ Ð Ø ÓÖ Òº ØÖ ÙØ Ú Ø Ð Ø ÔÐÓÑ ØÝ ÁÁ Ì Ö Ø Ó ÌÙÖÙÒ Ò Ì Ö Ø ÝÚ ÝØØÝ ÄÙÓÒÒÓÒØ Ø Ò ÝÑÔÖ Ø Ø Ò Ò Ø ÙÒÒ Ò Ø ÙÒØ Ò ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ ½ º¼ º¾¼¼ ÁÁÁ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ Ì ÅÈ Ê Æ Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ Ì Ò ¹ ÐÙÓÒÒÓÒØ
Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon
Å Ö ÃÓÑÙ Painekalibrointijärjestelmä avaruusinstrumenttien testauslaboratorioon Sähkötekniikan korkeakoulu ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Ò ÔÓÓ ½¾º¾º¾¼½ º ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ
Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º Â ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò ÓÔÔ Ö Ó º À ÐÐ ÒÒÓÐÐ Ò
ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ̺ à ÖÚ ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ̺ à ÖÚ µ ÌÁ ÌÇÌÍÊÎ Ó Á ËÝÝ ÙÙ ¾¼¼ ½» ½ Ì ØÓØÙÖÚ Ò ÓØØ ÐÙØ Á Ì ØÓØÙÖÚ ÓÒ Ð º Ë ÙÖ Ú Ð Ø ÓÒ ÐÙ Ø ÐØÙ Ø ØÓØÙÖÚ Ò Ö Ó ¹ ÐÙ Ø º  ÓØØ ÐÙ ÓÒ Ñ Ð Ó ÝÐ Ò Ò Ø ØÒ ÝÐ Ø ØÓØÙÖÚ Ò
ÊÙ ÐØÓÖÖØ ÌÓ ÐØ Ó ÓØ ÓÓ ØÙÙ ÓÙÓ Ø ÔÒÑÔ ÔÔÐØ È ØÒ ÐØÝÑÒÒ ÓÓÖÒØØ ÐÒ ÙÙÒØ Ò ÙÓÖÙй ÚÐØØÑØØ ÓÐ ÖÚ ÝØØ ÔÐ ØÒ ÝØ ÖÙ ÐØÓ ÓÓÒ ÙÙÐÐ ËÒ Ò ÚÓÒ ÔÒÑÑÐÐ ÔÔÐÐÐ ÑÖØØ
ØÙغ ØÒÐÐÒÒ ÝÐÓÔ ØÓ ÌÑÔÖÒ ÈÐÓÐÑÓÒØ ÓÑØÖ Ò ØÒ ØØÓÖÒØ Ø Ã ÙÖÚ ØÐØÚØ ØØÓÖÒØØ ÔÖÙ ØÙÚØ ÑÒØÝÝÔ¹ ÈÐÓÐÑÓÒÒ ÝÝÐÐ ØØÓÖÒØØ Ô Ò Ò ÖÓØÐÐÒ ÚÖÙÙ Ø Ó ÓÒ ÐÐ ÓÒ ÔÒÑÔ ÒØØ ÈÙ Ó ÒÒ ÐÐ ÚÐ ÔÒÑÔ Ó Òº ÒÑ Ö ØØÒ ÒØغÔÙ ÖÖ ÔÙÙÖÒØ
ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ÃÁÆÆÍÆ Æ ÌÇÈÁ Ê ÒÒÙ Ø Ò Ø Ò ÓÐÓ Ø Ò ÐÑ ØÓÐÐ Ø Ò Ø Ò Ú ÙØÙ ÙÒØÓ Ò ÐÑ Ò Ö ÓÒÔ ØÓ ÙÙØ Òº ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ º ½
Ê Ã ÆÆÍËÌ ÃÆÁËÌ Æ ÇÄÇ ÁËÌ Æ Â ÁÄÅ ËÌÇÄÄÁËÌ Æ Ì ÃÁ Á Æ Î ÁÃÍÌÍË ËÍÆÌÇÂ Æ ËÁË ÁÄÅ Æ Ê ÇÆÈÁÌÇÁËÍÍÌ Æ ÌÓÔ Ã ÒÒÙÒ Ò Ì Ð ØÓØ Ø Ò ÔÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò Ð ØÓ ¾¼¼ ÂÝÚ ÝÐÒ ÝÐ ÓÔ
Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ì Å Ó Î Ø ÁÈÄÇÅÁÌ Æ ÌÁÁÎÁËÌ ÄÅ ÌÝ Ò Ò Ñ Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ È ÚÑÖ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ Ë ÚÙÑÖ ¾ Ç ØÓ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ ÈÖ
Ì ÃÆÁÄÄÁÆ Æ ÃÇÊÃ ÃÇÍÄÍ Ë ¹ Ø ØÓÐ ÒÒ Ø Ò Ò Ó ØÓ Å Ó Î Ø Î Ö ÚÖÓÓØØÓÖ Ò ÓÒ Ò Ò ÐÝÝ ÔÐÓÑ ØÝ Ó ÓÒ Ø ØØÝ ÓÔ ÒÒÝØØ Ò Ø Ö Ø ØØ Ú ÔÐÓÑ ¹ Ò Ò Ö Ò ØÙØ ÒØÓ Ú ÖØ Òº ÔÓÓ º Ñ ÖÖ ÙÙØ ¾¼¼ ÌÝ Ò Ú ÐÚÓ ÈÖÓ ÓÖ ÒØ ÖÓ Ö Ó ÌÝ
f(x 1,x 2 ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) x 2 f(x 1,x 2,...,x n ) = f 1 (x 1 )f 2 (x 2 ) f n (x n ) f 1 (x 1 ) = 1 6, ÙÒ x 1 S 1 f 2 (x 2 ) = = 2 x 2
Ú ËÁË ÄÌ ÅÓÒ ÙÐÓØ Ø ÙÑ Ø ½ º½ à ÙÐÓØØ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½ º½º½ Ê ÙÒ ÙÑ Ø ÓÐÐ Ø ÙÑ Ø º º º º º º º º º ½ º½º¾ ÓÐÐ Ò Ó ÓØÙ ÖÚÓÒ ÓÑ Ò ÙÙ º º º º º º º º º ½ º½º À Ö Ö Ø Ñ ÐÐ
MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,
![MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,](/thumbs/102/155669246.jpg "MSE(ˆθ) = Var(ˆθ)+[E(ˆθ) θ] 2,")
ËÁË ÄÌ Ú º º½ Å Ö ÓÚ Ò Ì Ý Ú Ò ÔÝ ØÐ Ø ÙÙÖØ Ò ÐÙ Ù¹ Ò Ð º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º¾ Â Ò Ò Ò ÔÝ ØÐ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ¾ º º ËØÓ Ø Ò Ò ÙÔÔ Ò Ñ Ò Ò º
N = A A A S(A) Aº 0 = 1 = { } 2 = {, { }} 3 = {, { }, {, { }}} 4 = {, { }, {, { }}, {, { }, {, { }}}} A = Nº. i=1 n N n > 0º
Å Ì ¾¾ ÄÙ ÙØ ÓÖ Ã ¾¼½¼ ÌÑ ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÙÖ ÐØ Ó ÐØ Ä ÃÙÖ ØÙÒ Ô ÖÙ ¹ Ø ÐÐ Ò ÐÙ ÒØÓÑÓÒ Ø Ò ÓØ ÒÒ ØØ ÐÙ Ñ Ð Ô ØÓ¹ ØÙ Ò Ð Ý ØÝ Ó Ø º Ë ÐØ ½º ÄÙÓÒÒÓÐÐ Ø ÐÙÚÙØ ½º½º ÄÙ Ù Ö Ø ÐÑØ ½º¾º  ÓÐÐ ÙÙ ½º º Ð
(xy)z = x(yz) λx = xλ = x.
ÄÙ Ù ½ ÐÙ ÌÑ ÑÓÒ Ø ÓÒ Ø Ö Ó Ø ØØÙ ÝØ ØØÚ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Ø ØÓ Ò ØØ Ðݹ Ø Ø Ò Ð ØÓ Ò ÓÔ ÒØÓ ÓÐÐ ÙØÓÑ Ø Øº ÅÓÒ Ø Ô ÖÙ ØÙÙ ÙÖ Ú Ò Ð Ø Ò Åº º À ÖÖ ÓÒ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ ØÓ ÓÖÑ Ð Ä Ò Ù Ì ÓÖݺ ÓÒ¹Ï Ð Ý ½ º º º
Ð Ù Ò Ø ÌÑ ÔÐÓÑ ØÝ ÓÒ Ø Ó Ì ÑÔ Ö Ò Ø Ò ÐÐ Ò ÝÐ ÓÔ ØÓÒ Å Ø Ñ Ø Ò Ð ØÓ Ò ÀÝÔ ÖÑ Ð ÓÖ ØÓÖ ÓÒ Ñ Ø Ñ Ø Ò ÓÔ ØÙ Ò ØØÑ ØÙع ÑÙ ÐÐ º ÌÝ Ý ØÝÚØ Ø Ò ÒÒÓ Ø Ú Ø Ø
Ä Æ Ä ÍÃÃÇÆ Æ Å Ø Ñ Ø Ò Ô ÖÙ Ø ØÓØ Ø Ò Ú Ö Ø Ö Ø ÐÙ ÓÔ ÒØÓ¹ Ñ Ò ØÝ Ò Ú ÙØØ Ú Ò Ø Ò Ò ÐÝ Ó ÒØ ÁÈÄÇÅÁÌ ÝÚ ÝØØÝ Ì Ò ¹ÐÙÓÒÒÓÒØ Ø ÐÐ Ò Ó ØÓÒ ÙÚÓ ØÓÒ Ó ÓÙ º½½º¾¼¼ º Ì Ö Ø Ø ÔÖÓ ÓÖ Ë ÔÔÓ ÈÓ ÓÐ Ò Ò ØÙØ Å ÀÙ ÓÐ
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼
Ì ÅÈ Ê Æ ÄÁÇÈÁËÌÇ ÈÖÓ Ö Ù ¹ØÙØ ÐÑ ÇÐÐ Ë ÚÓÐ Ò Ò Ø ÖÑ Ò ÒØ Ò ÑÖ Ø ÐÑ Ø ÓÑ Ò ÙÙ Ø Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Å Ø Ñ Ø À Ò ÙÙ ¾¼¼ Ì ÑÔ Ö Ò ÝÐ ÓÔ ØÓ Å Ø Ñ Ø Ò Ø Ð ØÓØ Ø Ò ÐÓ Ó Ò Ð ØÓ Ë ÎÇÄ ÁÆ Æ ÇÄÄÁ
y t = X t β + u t, u t NID(0, 1) t = 1, 2,..., n ½µ
ÇÊ Ê ÈÊÇ ÁÌ Â Â ÄÃ È ÄÄǹÇÌÌ ÄÍÆ Å ÄÄÁÆÌ ÅÁÆ Æ Ê Ò ÓÑ Î Ö Ð ½º Ò ÙÙØ ¾¼¼ ËÁË ÄÌ ½ Ë ÐØ ½ ÂÓ ÒØÓ ¾ ¾ ÇÖ Ö ÔÖÓ Ø ¾º½ Å ÐÐ Ò ÑÖ ØØ ÐÝ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º Â Ð Ô ÐÐÓ¹ÓØØ ÐÙÒ Ò
Ë Ò Ö Û Ã Ò ½½ ¼¾ ÇÒ Ö Ä ÓØ ¼ ¼ ¼ ÔÖ Ð ¾¼¼¼
Ë Ò Ö Û Ã Ò ½½ ¼¾ ÇÒ Ö Ä ÓØ ¼ ¼ ¼ ÔÖ Ð ¾¼¼¼ ÓÒØ ÒØ ½ Í Ö ÓÙÑ ÒØ Ø ÓÒ ½º½ ÁÒØÖÓ ÙØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º ½º¾ ÓÑÑ Ò Ä Ò ÇÔØ ÓÒ º º º º º º º º º º º º º º º º º º º º