9. ORTOGONAALIPROJEKTIOT JA KANNAT HILBERTIN AVARUUDESSA 51

Transkriptio

1 9. ORTOGONAALIPROJEKTIOT JA KANNAT HILBERTIN AVARUUDESSA 5 Lause 8.4 (Pythagoras) 26. Sisätuloavaruude keskeää ortogoaalisille vektoreille x,...,x pätee x j 2 = x j 2. j= j= Todistus. Ku = 2, lasketaa tuetusti x +x 2 2 =(x +x 2 x +x 2 )= x 2 + x 2 2 +(x x 2 )+(x 2 x )= x 2 + x 2 2. Yleistys saadaa iduktiolla. Lause 8.5 (Suuikassäätö ja yleie polaarikaava). Sisätuloavaruudessa pätevät suuikassäätö ja kompleksie eli yleie polaarikaava x + y 2 + x y 2 =2 x 2 +2 y 2 (x y) = 4( x + y 2 x y 2) + i 4( x + iy 2 x iy 2). Todistus. Kaavat tarkastetaa suoralla laskulla. Huomaa, että kompleksiluvu reaali- ja imagiaariosa saadaa lausekkeista z + z = 2Rezja z z = 2i Im z. Huomautus 8.6. (Sisätulo ja ormi). a) Sisätuloavaruuksie välie lieaarikuvaus säilyttää ormi jos ja vai jos se säilyttää sisätulo. b) Normiavaruuksie joukossa sisätuloavaruudet ovat tasa e, joide ormi toteuttaa suuikassäö. Perustelu. Periaatteessa kute vastaavat reaaliset lauseet 7.3 ja 7.6. Havaitsemme ohimee mielekiitoise seika: Koska suuikassäätö koskee vai kahta vektoria kerrallaa, se lausuu jotaki aioastaa tutkittava avaruude kaksiulotteisista aliavaruuksista. Normiavaruude ormi saadaa siis jostaki sisätulosta, mikäli se rajoittumalla jokaisee kaksiulotteisee aliavaruutee o tämä omiaisuus. 9. Ortogoaaliprojektiot ja kaat Hilberti avaruudessa Tarkoitukseamme o yleistää ortoormaalie katoje teoria ääretöulotteisee sisätuloavaruutee. Keskeie käsite tässä yhteydessä o ortogoaalie projektio suljetulle aliavaruudelle, ja osoittautuu, että projektioide käsittelyy tarvitaa avaruude täydellisyyttä. Täydellie sisätuloavaruus o imeltää Hilberti avaruus. Erityisesti jokaie euklidie avaruus o siis esimerkki Hilberti avaruudesta. 26 Samokse Pythagoras, e.kr. Kreikka.

2 f ( ) Projektiolause ja ortoormaalit joot. Äärellisulotteiste sisätuloavaruuksie käsittelyssä o tuetusti paljo hyötyä siitä, että o olemassa ortoormaaleja katoja. Euklidise avaruude viokulmaie kata voidaa ortoormittaa esimerkiksi Grami ja Schmidti meetelmällä. Osoitamme yt, että meetelmää voi käyttää myös ääretöulotteisessa avaruudessa. Tässä luvussa kerroikuta K saa olla kumpi tahasa, vaikka kuvat oki piirretty reaalikertoimista tilaetta vastaaviksi. Aloitamme lieaarialgebrallisella tarkastelulla: Huomautus 9.. Olkoo V vektoriavaruus. () Osajouko S V virittämä aliavaruus S o V : suppei aliavaruus, joka sisältää joukos. Se muodostuu kaikista jouko S alkioide äärellisisitä lieaarikombiaatioista. (2) Ääretö joukko vektoreita o lieaarisesti riippumato eli vapaa, mikäli se jokaie äärellie osajoukko o lieaarisesti riippumato, eli mikäli ollavektoria ei voi lausua epätriviaalia äärelliseä summaa jouko vektoreista. Lause 9.2 (Gram-Schmidt). Sisätuloavaruude E lieaarisesti riippumato joo (x ) voidaa ortoormittaa seuraavassa mielessä. O olemassa ortoormaali joo (y ) site, että kaikilla N: x,...,x = y,...,y. Perustelu. Koko joo ortoormitus tehdää vaiheittai samalla tuetulla tavalla kui äärellisulotteisessa tapauksessa, imittäi projisoimalla ortogoaalisesti kuki x vektoriksi P x aliavaruudelle y,...,y = x,...,xx ja valitsemalla xy :ksi vektori x P x suutaie yksikkövektori. Riippumattomuusehtoa tarvitaa takaamaa, että erotus x P x ei ole olla. Projektio lauseke ja muut yksityiskohdat käyvät ilmi seuraavasta lauseesta, sillä Grami ja Schmidti kostruktio pääkohta o äärellisulotteiselle aliavaruudelle tapahtuva ortogoaaliprojektio olemassaolo ja se lauseke. Lause 9.3 (Äärellisulotteie projektiolause). Olkoo K mielivaltaise sisätuloavaruude E-ulotteie aliavaruus ja (e,...,e ) aliavaruude K ortoormaali kata. Olkoo x E. Tällöi o olemassa tasa yksi aliavaruutee K kuuluva vektori y, imeltää x: ortogoaalie projektio aliavaruudelle K, jolla o seuraavat keskeää yhtäpitävät omiaisuudet: () y = (x e i)e i (2) x y K, eli (x y) k kaikille k K (3) x y = mi x a. a K Todistus. Olkoo y kute ehdossa (), siis y = (x e i)e i. Nyt x y K,

3 9. ORTOGONAALIPROJEKTIOT JA KANNAT HILBERTIN AVARUUDESSA 53 eli kaikilla k = j= k je j K o (x y k) =, sillä ( ) (y k) = (x e i )e i k j e j = = (x e i )k i = j= ( x j= ) k i e i =(x k). ( x ei )k j (e i e j ) }{{} δ ij x y K k Kuva 4. Lähi piste. Ehdosta (2) seuraa edellee ehto (3), eli että y o pistee x lähi aapuri aliavaruudessa K, sillä jos k K, ii k y K, jote ehdo (2) ojalla kolmio x, y, k o suorakulmaie ja siis Pythagoraa lausee seurauksea se kateetti x y o lyhempi kui hypoteuusa x k. Ehdosta (3) saadaa samalla tavalla ehto (): Toteuttakoo piste k K ehdo (3), eli x k =mi a K x a. Erityisesti lausekkee () pisteelle y o silloi x k x y. Toisaalta y toteuttaa ortogoaalisuusehdo (2) ja pätee y k K, jote x y y k. Pythagoraa lauseesta seuraa, että x k 2 = x y 2 + y k 2, jote äskeie epäyhtälö ei voi toteutua, ellei y k 2 ole eli k = y. Siksi aioa ehdo (3) toteuttava piste k o juuri lausekkee () atama. Äärellisulotteie projektiolause riittää todistamaa Hilbert-avaruuksissa tuotuostaki tarvittava periaattee, Besseli epäyhtälö. Seuraus 9.4. (Besseli epäyhtälö). 27 Olkoo joo (e ) ortoormaali sisätuloavaruudessa H. Tällöi kaikilla x H o (x e i ) 2 x 2. Todistus. Lausee 9.3 mukaisesti o m-ulotteise aliavaruude e,...,e m x:ää lähimmällä pisteellä m y = (x e i )e i omiaisuus x y y, jote Pythagoraa lausee mukaa m x 2 = x y 2 + y 2 = x y 2 + (x e i ) 2 e i 2. }{{} 27 Friedrich WilhelmBessel , Saksa.

4 f ( ) 54 Tästä väite seuraa. Määritelmä 9.5. Luvuilla (x e i ) o mota imeä. Ne ovat ovat vektori x koordiaatit eli abstraktit Fourier-kertoimet 28 ortoormaali joo (e i ) suhtee. Ne ovat myös x: skalaariset projektiot suutii e i. Kuvausta, joka vektorii x liittää sei:e koordiaati (x e i ), saotaa i:eksi koordiaattifuktioaaliksi. Huomautus 9.6. Olemme yt määritelleet vektori koordiaatit ortoormaali joo suhtee, mutta emme ole saoeet mitää siitä, millä ehdoi vektori voi muodostaa koordiaateistaa. Tämä asia ratkaisemiseksi ei riitä käyttää projektiolausetta 9.3, jossa oli oletuksea aliavaruude K äärellie dimesio. Oeksi projektio olemassaolo joho Hilberti avaruude kaa käyttö koordiaattilaskuihi perustuu pätee myös sisätuloavaruude ääretöulotteiselle aliavaruudelle K, kuha se o täydellie. Projektiolause muotoillaa tavallisesti ii, että tarkastellaa Hilberti avaruude H suljettua aliavaruutta K. Lause 9.7 (Projektiolause). Olkoo K H Hilbert-avaruude suljettu aliavaruus ja olkoo x H. Tällöi o olemassa tasa yksi vektori y K, jolla o seuraavat keskeää yhtäpitävät omiaisuudet: () x y K (2) x y =mi x a. a K y o imeltää x: ortogoaalie projektio aliavaruudelle K. Todistus. Todistamme esi asia helpo puole: ehdot ovat yhtäpitävät. Samalla tavalla kui edellä äärellisulotteisessa tapauksessa voi imittäi ytki havaita, että esimmäisestä ehdosta seuraa toie ja että lähi piste o yksikäsitteie. Lähi piste y toteuttaa myös esimmäise ehdo. Jos äet ei olisi x y K, ii olisi olemassa vektori z K site, että (x y z). x y y+z a K Kuva 5. Lähimmä pistee yksikäsitteisyys. Kolmio, joka kärjet ovat x, y ja y + z ei siis olisi suorakulmaie kulmassa y. Rajoittumalla kolmiulotteisee aliavaruutee x, y, z huomaa, että y: kautta kulkevalla z: suutaisella suoralla o x:ää lähi piste, olkoo se a, eikä se vio kulma takia voisi olla aiakaa y. Koska tämä suora sisältyy aliavaruutee K, olisi saatu ristiriita se kassa, että y oli aliavaruude lähi piste. Siis x y K. Todistettavaksi jää site, että lähi piste o olemassa. Ideaa o kostruoida aliavaruutee K Cauchy-joo, joka raja-arvoksi osoittautuu lähi piste y. Voimme 28 Jea Baptiste Joseph Fourier , Raska.

5 9. ORTOGONAALIPROJEKTIOT JA KANNAT HILBERTIN AVARUUDESSA 55 olettaa, että x/ A. Aliavaruus K o suljettu joukko, jote pistee x etäisyys siitä, siis luku =d(x, K) = if x k k K o positiivie. Valitaa aliavaruudesta K joo pisteitä k site, että < x k < +. Todistetaa, että o saatu Cauchy-joo, ja että se raja-arvo o etsitty piste. Cauchy-ehto seuraa periaatteessa siitä, että Hilbert-avaruude pallo o tasaisesti koveksi asiatila, jota kuvaavat täsmällisemmi sekä suuikassäätö että Pythagoraa lause. ε x k k m Kuva 6. Projektiolausee todistus. Käytäössä laskemme Pythagoraa lauseella: Olkoo < ε <. Valitaa m ja suuremmiksi kui ε. Koska o x: etäisyys aliavaruudesta K, joho k ja k m kuuluvat, o x a kaikille a suoralla s, joka yhdistää pisteet k ja k m,silläsuora s kulkee aliavaruudessa K. Olkoo a erityisesti suora s lähi piste x:stä katsoe. ε x k a km Kuva 7. Kuva 6 halkileikkaus. Nyt kolmiot x, a, k ja x, a, k m ovat kohdassa a suorakulmaisia, jote kummassaki pätee Pythagoraa lause, siis esim. a k 2 = x k 2 x a 2 ( + )2 2 ε(2 + ε) 3 ε,

6 f ( ) 56 ja siis a k 3 ε. Vastaava pätee etäisyydelle a k m, jote k k m 2 3 ε = 2 ε. Tästä äkyy, että (k ) o Cauchy-joo ja siis suppeee täydellisessä aliavaruudessa K. Raja-arvolla y =lim k K o projektiolta vaadittu etäisyysomiaisuus: x y = x lim k = lim x k =. Määritelmä 9.8. () Olkoo V vektoriavaruus. Lieaarikuvaus P : V V o projektio, jos P P = P eli P 2 = P. (2) Olkoo E sisätuloavaruus. Projektio P : E E o ortogoaaliprojektio, jos se ydi Ker P ja kuva-avaruus Im P = P (H) ovattoisillee ortogoaaliset, KerP ImP. Ortogoaalisuus tarkoittaa, että (x y) =,kux KerP ja y Im P. (3) Vektoriavaruus V o aliavaruuksiesa U ja W lieaarialgebrallie suora summa eli epätäsmällisemmi saottua suora summa, mikäli U W = {} ja U + W = V. Jälkimmäie ehto saoo, että jokaie vektori x V o muotoa x = u + w, missä u U ja w W, ja esimmäisestä ehdosta seuraa pieellä laskulla, että tämä esitys o yksikäsitteie. O helppoa tarkastaa lieaarialgebrallie tosiasia, että mikä tahasa vioki projektio kuva-avaruus ja ydi leikkaavat toisesa aioastaa origossa ja että e yhdessä virittävät koko avaruude, joka siis o projektio ytime ja kuva suora summa. Seuraava lause saoo, että projektiolausee määrittelemä ortogoaalie projektio jolleki aliavaruudelle K ja ortogoaaliprojektio määritelmä 9.8 mielessä ovat oikeastaa sama asia ja jokaiselle suljetulle aliavaruudelle o olemassa ortogoaaliprojektio. Lause 9.9. Olkoo K Hilberti avaruude H suljettu aliavaruus. Projektiolausee mukaa o olemassa kuvaus P K : H H : x P K x, jolla P K x K ja x P K x K. Kuvauksella P K o seuraavat omiaisuudet () P K o lieaarikuvaus. (2) K = P K (H) ja (3) P K P K = P K, eli lieaarikuvaus P K o projektio. (4) Ker P K K, eli projektio P K o ortogoaalie. Todistus. () Lieaarisuuskaava P K (λx + µy) =λp K x + µp K y voi todistaa äyttämällä pieellä laskulla, että (λp K x + µp K y) (λx + µy) o ortogoaalie jokaista vektoria k K vastaa, ja siis olla. (2) Olkoo x H. Kostruktio mukaa piste y = P k x kuuluu aliavaruutee K, jote K P K (H). Kaikilla y K o P K y = y, siis varmasti y P K (H), jote K P K (H). (3) Kaikilla y K o P K y = y. Koska P K x K, ii siis P K (P K x)=p K x kaikilla x H.

7 9. ORTOGONAALIPROJEKTIOT JA KANNAT HILBERTIN AVARUUDESSA 57 (4) Kaikilla x H o x y K, eli (x P K x k) = k K. Jos x Ker P K,iiP K x =, ja siis edellise mukaa (x k) =(x P K x k) = k K. Määritelmä 9.. Olkoo H sisätuloavaruus. Epätyhjä osajouko A H ortogoaalie komplemetti o iide vektorie joukko, jotka ovat kohtisuorassa kaikkia A: alkioita vastaa: A = {x H (x a) = a A}. Projektiolausee avulla voi todistaa, että Hilbert-avaruudessa mikä tahasa epätyhjä osajouko S H virittämä suljettu aliavaruus S o sama kui se ortogoaalikomplemeti ortogoaalikomplemetti S. Taustaksi tälle tärkeälle tiedolle luettelemme esi ortogoaalikomplemeti ilmeisiä omiaisuuksia. Lause 9.. Jokaisessa sisätuloavaruudessa H pätevät seuraavat epätyhjä jouko ortogoaalikomplemettia koskevat väitteet: a) A o H: suljettu aliavaruus. b) {} = H c) A = H = A = {} d) A A {} e) A B = B A f) A = A g) A = A = A h) (A ) A. Todistus. Nämä väitteet ovat helppoja todistaa. a) x A (x a) = kaikilla a A. Siksi kaikilla x, y A,λ,µ K : (λx + µy a) =λ(x a)+µ(y a) =, jote A o aliavaruus. Jos taas x x H ja jokaie x A, ii (x a) = (lim x a) = lim (x a) = lim =, koska sisätulo o esimmäise muuttujasa suhtee lieaarie ja jatkuva. b) (x ) = kaikille x H. c) Jos (x y) =kaikillex H, ii erityisesti y 2 =(y y) = ja siis y =. d) Jos x A ja x A, ii (x x) =. Tästä väite seuraa. e) Jos A B ja x B, ii varmasti (x a) = kaikille x A. f) Jos (x a) =kaikillaa A, ii(x a) = kaikilla a A, koskaa (x a) o jatkuva. g) Jos (x a) = kaikilla a A, ii ( x ) λ j a j = j= j= ( ) λ j x a j = }{{}

8 f ( ) 58 kaikilla a j A ja λ j K. Loput saadaa kohdasta f. h) (A ) o suljettu aliavaruus ja (A ) A, siis a) -kohda mukaa myös (A ) A. Hilberti avaruudessa o edellise lausee viimeie väite voimassa oleaisesti vahvemmassa muodossa: Lause 9.2. Jos H o Hilbert-avaruus, ii jouko A H biortogoaalille (A ) o voimassa (A ) = A. Todistus. Tiedämme jo edellisestä lauseesta, että (A ) A. Väite saoo siis, että (A ) A. Tämä oyhtäpitävää se kassa, että piste x, joka ei kuulu suljettuu aliavaruutee A, eimyöskää kuulu ortogoaalisee komplemettii (A ), vaa o olemassa vektori b A, jota vastaa x ei ole kohtisuorassa. Osoitamme, että tämä ehto toteutuu: Olkoo siis x H A. Etsitää vektoria b, joka olisi kohtisuorassa jokaista A: alkiota, mutta ei vektoria x vastaa. Valitaa b:ksi x: aliavaruutta A vastaa kohtisuora kompoetti, siis vektori, joka yhdistää x: lähimpää pisteesee y aliavaruudessa A. Tämä kelpaa selvästiki ja väitteemme seuraa siis projektiolauseesta, jota takaa pistee y olemassaolo. A T x b y A A Kuva 8. Biortogoaali. Seuraus 9.3. Olkoo K H Hilbert-avaruude H aito suljettu aliavaruus. Tällöi K ei ole {}, vaa o olemassa aiaki yksi ollasta eroava K: ormaalivektori H. Todistus. Huomasimme edellise todistukse yhteydessä, että tämä seuraa projektiolauseesta: valitaa joki x H K, otetaa sitä lähi piste a K ja valitaa = x a. Määritelmä 9.4. Kahde toisiaa vastaa ortogoaalise aliavaruude K, ja L H virittämää aliavaruutta K L = {k + l k K, l L} saotaa iide (ortogoaaliseksi) suoraksi summaksi ja merkitää K L tai usei vai K L. Emme oleta määritelmässä mitää siitä, ovatko K, L tai K L suljettuja.

9 9. ORTOGONAALIPROJEKTIOT JA KANNAT HILBERTIN AVARUUDESSA 59 Huomautus 9.5. Hilberti avaruus H o aliavaruuksiesa K ja L ortogoaalie suora summa H = K L jos ja vai jos K = L eli yhtälailla L = K. Erityisesti K ja L ovat tällöi suljettuja ja jokaie x H o tasa yhdellä tavalla lausuttavsissa muodossa x = k + l, missä k K ja l L, jolloi k l. Vektorit k ja l ovat x: ortogoaaliset projektiot aliavaruuksille K ja L. Erityisesti ortogoaalise projektio kuva ja ydi ovat toistesa ortogoaaliset komplemetit. Projektioide käsittely kaalta kaattaa lisäksi muistaa, että kaikissa ormiavaruuksissa lieaarise aliavaruude sulkeuma o aliavaruus. Erityisesti mikä tahasa osajouko S E virittämä aliavaruude sulkeuma S o suppei suljettu aliavaruus, joka sisältää jouko S. Saomme, että S o jouko S virittämä suljettu aliavaruus. Tässä o paikallaa piei varoitus. Aamme myöhemmi esimerki, joka osoittaa, että edessisätuloavaruude suljetu jouko virittämä aliavaruus ei aia ole suljettu joukko, ja voi siis olla S S. Jääköö harjoitustehtäväksi todeta, että kuiteki aia S S. Projektiolausee suuri merkitys paljastuu viimeistää seuraavassa, ku huomataa, että se avulla voidaa yleistää ortoormaalie katoje teoriaa ääretöulotteisee avaruutee Hilberti kata. Määritelmä 9.6. Sisätuloavaruude H osajoukko E H o ortogoaalie joukko, jos se alkiot ovat kohtisuorassa toisiaa vastaa, eli jos e f kaikille e, f E, joilla e f. Osajoukko E o ortoormaali joukko, jos lisäksi e = kaikille e E. Jouko E ortoormaalius merkitsee siis, että {, jos e f (e f) =δ ef =, jos e = f Lause 9.7. Ortogoaalie joukko E H o lieaarisesti riippumato eli vapaa, toisi saoe, jos j= λ je j =, missä λ j K, e j E ja e j e k, ku j k, ii jokaie λ j o. Perustelu. Väite o helppo tarkastaa todeksi, mutta seuraa myös siitä, että ortoormaalilla joukolla o seuraavassa esitettävä vahvempi riippumattomuusomiaisuus, se o sarjamielessä vapaa. Lause 9.8. Olkoo (e j ) j N ortoormaali joo ja (λ j ) j N lukujoo site, että sarja j= λ je j suppeee avaruudessa H kohti ollavektoria. Tällöi jokaie kerroi λ j o olla. Todistus. Jos = λ ie i, ii sisätulo bilieaarisuude ja jatkuvuude takia ( ) ( ) ( ) = λ i e i e j = lim λ i e i e j = lim λ i e i e j = λ i (e i e j ) = λ j e j 2 = λ j. }{{} δ ij

10 f ( ) 6 Jouko E H vapaus sarjamielessä ilmaisee itse asiassa, että jos λ i e i = µ i e i, missä e i E ja e i e j,kui j, ii λ i = µ i kaikille i N. Määritelmä 9.9. Hilberti avaruude ortoormaali kata, Hilberti kata lyhyesti kata o ortoormaali joukko E H, jolla o seuraavat keskeää yhtäpitävät omiaisuudet: () E = H, ts. E virittää Hilbert-avaruude H (tässä mielessä!). (2) E = {}. 29 (3) Jos E F ja F o ortoormaali, ii E = F,ts.E o maksimaalie ortoormaali joukko. Ehtoje 9.9. yhtäpitävyys. Jos E = H, ii E = E = H = {} ja toisipäi: jos E = {}, ii E = {} = H. Esimmäiset kaksi ehtoa ovat siis yhtäpitävät. Jos E = {}, ii ei ole olemassa yhtää ollasta eroavaa vektoria, joka olisi ortogoaalie kaikkia E: vektoreita vastaa, ja silloi E o varmasti maksimaalie ortoormaali joukko. Jos taas E {}, ii o olemassa ollasta eroava vektori y E. Nyt E { y y } o ortoormaali, jote E ei ole maksimaalie ortoormaali joukko. Hilberti kaa merkitys perustuu siihe, että kaikki Hilbert-avaruude vektorit voi lausua äärettömiä lieaarikombiaatioia katavektoreista, ts. jokaie vektori x H o muotoa x = λ i e i, missä λ i K ja e i E. Tämä asia ei ole itsestää selvä, vaa todistamme se vasta lauseea 9.23 selviteltyämme ortogoaaliste sarjoje suppeemisehtoja Hilberti avaruudessa. Voimme kuiteki jo yt huomata, että jos joki ortoormaali joukko E H o ii laaja, että kaikki vektorit voi lausua äärettömiä lieaarikombiaatioia se alkioista, ii silloi E = H, jote E o Hilberti kata. Ratkaiseva apuvälie esitykse x = λ ie i olemassaolo todistuksessa o seuraava lause. Lause 9.2 (l 2 -lause ja Parsevali yhtälö) 3. Olkoo (e i ) ortoormaali joo Hilberti avaruudessa H ja (λ i ) lukujoo. a) Sarja x = λ i e i suppeee aia ja vai, ku λ i 2 <. b) Ku sarja x = λ ie i suppeee, jokaie λ i o Fourier-kerroi (x e i ). 29 Tällöi saotaa, että E o totaali, vahemmassa kirjallisuudessa täydellie. 3 Marc-Atoie Parseval des Chêes , Raska.

11 9. ORTOGONAALIPROJEKTIOT JA KANNAT HILBERTIN AVARUUDESSA 6 c) Ku sarja x = λ ie i suppeee, pätee ääretöulotteie Pythagoraa lause eli Parsevali yhtälö x = λ i 2. Todistus. Jos sarja suppeee, ii sisätulo jatkuvuude ja joo ortoormaalisuude ojalla ( ) (x e j )= λ i e i e j = λ i (e i e j ) = λ j }{{} δ ij ja siis Besseli epäyhtälö ojalla λ i 2 = (x e j ) 2 x 2 <. Kerroijoo eliösummautuvuus λ i 2 < seuraa siis sarja suppeemisesta. Jos taas oletetaa kerroijoo eliösummautuvuus, ii selvästiki λ ie i o Cauchy-sarja, sillä kaikilla <mpätee äärellisulotteise Pythagoraa lausee mukaa m 2 λ i e i = i= m λ i 2. Suppeemie seuraa siis Hilberti avaruude täydellisyydestä. Samalla saadaa myös Parsevali yhtälö valitsemalla = ja atamalla m. l 2 -lause kertoo sarja x = λ ie i suppeeva tasa silloi, ku kertoimie joo (λ i ) o eliösummautuva eli kuuluu Hilberti jooavaruutee l 2 = {(λ ) = λ 2 < }. Sama voi ilmaista saomalla, että ortogoaalie sarja x = x i suppeee tasa silloi, ku ( x i ) o eliösummautuva. Tätä kaattaa verrata siihe, mitä lausee 6.4 ojalla jo tiedetää vastaavasta tilateesta ilma ortogoaalisuusoletusta: Jos (x i ) o joo vektoreita Hilberti (tai Baachi) avaruudessa E, ii sarja x = suppeee aiaki aia supetessaa itseisesti, eli ku ( x i ) kuuluu jooavaruutee l = {(λ ) = λ < }, joka o l 2 : aito aliavaruus. Uusi lauseemme o siis tavallaa paraus aikaisempaa tietämykseemme, mutta oletuksiaki o lisätty. Itseisestä suppeemisesta muistuu mielee sarjateoria lause, joka mukaa reaali- tai kompleksilukusarja 3 suppeee itseisesti täsmällee silloi, ku se suppeemie säilyy, vaikka termit järjestettäisii uudellee, ja että tällöi sarja i= 3 Taisarja avaruudessa K ; laske koordiaateittai! x i

12 f ( ) 62 summakaa ei riipu termie järjestyksestä. Myös Baachi avaruudessa saa itseisesti suppeeva sarja termit järjestää uudellee suppeemise tai summa siitä muuttumatta, mutta itseie suppeemie ei ole välttämätö ehto sille, että järjestystä saisi vaihtaa. Yhde vastaesimerki olemme juuri esitelleet: ortogoaalise sarja saa Hilbert-avaruudessa järjestää uudellee, vaikka se ei suppeisi itseisesti: Seuraus 9.2. Ku joo (e i ) o ortoormaali Hilberti avaruudessa H, ii sarja x = λ ie i suppeemie ja summa eivät riipu termie järjestyksestä. Todistus. Olkoo α : N N : i α(i) bijektio eli luoolliste lukuje permutaatio ja (e i ) ortoormaali joo Hilberti avaruudessa H ja (λ i ) sellaie lukujoo, että sarja λ ie i suppeee, toisi saoe (λ i ) l 2. O todistettava, että λ α(i) e α(i) = λ i e i. Koska l 2 joo pysyy l 2 jooa järjestettäessä termit uudellee, o l 2 lausee ojalla selvää, että molemmat sarjat aiaki suppeevat. Merkitää iide summia x = λ i e i ja z = λ α(i) e α(i). O osoitettava, että z = x, eli x z 2 2 =. Koska x 2 2 = λ i 2 = z 2 2 ja x z 2 =(x z x z) = x 2 (x z) (x z)+ z 2, riittää osoittaa, että (x z) = z 2. Tämä saadaa laskemalla huolellisesti: m (x z) = lim λ i e i lim λ α(j) e α(j) m = lim lim m i j m = lim m i lim j= λ i λ α(j) ( ei e α(j) ) }{{} i=α(j),j m δ iα(j) λ α(j) 2 = lim = lim lim m i lim m α(j), j m i=α(j),j m λ i λ α(j) λ α(j) 2 = x 2. Ku sarja summa ei riipu summausjärjestyksestä, o luotevaa kirjoittaa se äkyvii järjestystä korostamatta: λ i e i. λ i e i = i N

13 9. ORTOGONAALIPROJEKTIOT JA KANNAT HILBERTIN AVARUUDESSA 63 Seuraus Olkoo E ortoormaali joukko Hilberti avaruudessa H ja olkoo x H. Tällöi () Vai umeroituva moi Fourier-kertoimista (x e), missä e E, o ollasta eroava. (2) Summalauseke e E (x e)e sisältää siis vai umeroituva mota ollasta eroavaa termiä ja voidaa äi olle tulkita sarjaksi avaruudessa H jättämällä ollatermit pois ja järjestämällä muut termit joteki. Saatu sarja suppeee kohti samaa vektoria summaasa P E (x) riippumatta siitä, mite termit o järjestetty. (3) e E (x e) 2 = P E (x) 2 (4) Sarja summa P E (x) = e E (x e)e o se suljetu aliavaruude E piste, joka o lähimpää pistettä x, siis x: ortogoaalie projektio suljetulle aliavaruudelle E. Äärellisulotteie projektiolause 9.6. yleistyy siis sitteki myös lausekkee osalta. Todistus. Besseli epäyhtälöstä seuraa, että millää ε>ei voi olla äärettömä useaa e E, jolla (x e) ε. Väite () saadaa soveltamalla tätä lukuihi ε =, 2, 3,... Ehto (2) seuraa edellisestä lauseesta ja Besseli epäyhtälöstä. Ehto (3) o Parsevali yhtälö. Ehdo (4) tarkastamiseksi riittää vedota projektiolauseesee. Seuraus Hilberti avaruude H ortoormaali jouko E virittämä suljettu aliavaruus o (huomaa summie ylärajat!) E = { x H x = λ i e i,e i E,λ i K, λ i 2 < }, jote kaa määritelmässä ehto (4) o yhtäpitävä muide ehtoje kassa. Todistus. Riittää todistaa, että jose o ortoormaali joukko, ii jokaie x E o muotoa = λ x. Seuraukse 9.22 mukaa e E (x e)e o se suljetu aliavaruude E piste, joka o lähimpää pistettä x, siistässä tapauksessa x itse, mikäli x E. Summa e E (x e)e o lausuttavissa sarjaa = λ e järjestämällä se termit joteki. 32 Olemme todistaeet mota toistesa äköistä lausetta ortoormaaleista jooista ja kaoista. Niide kaikkie väitteet ovat kuiteki aika lailla itsestää selviä, ku käytettävissä o kuo katateoria, joka raketamise välivaiheeksi e tarvittii. Ei kaatakaa eritellä iitä eää, vaa paiaa mieleesä aioastaa kaa määrittelevie omiaisuuksie laajeettu luettelo: Seuraus Ortoormaali joukko E H o Hilberti kata, jos sillä o seuraavat keskeää yhtäpitävät omiaisuudet: () E = H. (2) E = {}. (3) E o maksimaalie ortoormaali joukko. 32 Tässä umeroituvassa summassa mukaa olevat katavektorit riippuvat vektorista x.

14 f ( ) 64 (4) Jokaie x H o lausuttavissa summaa x = e E λ e e, missä λ e K. Tällöi summassa o eitää umeroituva määrä ollasta eroavia termejä eikä summa riipu summausjärjestyksestä. Luvut λ e ovat vektori x Fourierkertoimet (x e). (5) Jokaisella x H pätee Besseli epäyhtälössä yhtäsuuruus eli Parsevali yhtälö x 2 = (x e) 2. e E Nähtyämme paljo vaivaa kaa perusomiaisuuksie johtamiseksi todistamme lopuksi, että jokaisella Hilberti avaruudella o kata ja että kaa mahtavuus määrää avaruude isomorfia tarkkuudella. Ee todistusta ilmoitamme kuiteki väärikäsityste torjumiseksi jo eakkoo, että ( ) Hilberti kaa ei tarvitse olla umeroituva joukko. ( ) Sama avaruude H jokaie Hilberti kata o yhtä mahtava joukko. ( ) Lieaarialgebrallie kata eli Hameli kata o jotaki muuta kui Hilberti kata. Jokaie vektori o suorastaa äärellie lieaarikombiaatio Hameli katavektoreista. Numeroituvaulotteise Hilbert-avaruude Hamel-kata o itse asiassa yliumeroituva. Hilbert-dimesio ja lieaarialgebrallie dimesio ovat siis eri asioita. Yleise Hilbert-avaruude kaa olemassaolo perustuu samaa kuuluisaa järjestysteoreettisee aksioomaa, Zori lemmaa, joka avulla vektoriavaruudessa todistetaa sekä Hameli kaa olemassaolo että se yleistys, joka mukaa mikä tahasa lieaarisesti riippumato joukko voidaa laajetaa Hameli kaaksi. 33 Lause Jokaisella Hilberti avaruudella o ortoormaali kata. Todistus. Zori lemma saoo, että osittai järjestetyssä joukossa (J, ) o maksimaalie alkio, mikäli se jokaisella täysi järjestetyllä osajoukolla eli ketjulla o yläraja joukossa J. Sovellamme Zori lemmaa valite J = {avaruude H ortoormaalit joukot}. A B A B. Maksimaalise alkio löytämiseksi riittää siis tarkastaa, että jokaisella ortoormaaleista joukoista muodostetulla, ikluusio suhtee täysi järjestetyllä joukolla A o yläraja. Tässä yläraja o sama asia kui sellaie ortoormaali joukko E H, joho sisältyy osajoukkoa jokaie A: alkio. Tällaiseksi ylärajaksi tarjoutuu A: alkioide yhdiste E = A. A A Varmistetaa asia: Tietysti E sisältää kaikki joukot A. O vai osoitettava, että E J, eli että E o ortoormaali joukko. Olkoot x ja y alkioita joukossa E = 33 Ks. liite. Georg Hamel , Saksa ja Max August Zor Saksa ja USA.

15 9. ORTOGONAALIPROJEKTIOT JA KANNAT HILBERTIN AVARUUDESSA 65 A A A. Valitaa A x ja A y Asite, että x A x ja y A y. Koska A x ja A y ovat täysi järjestety jouko A alkioita, iitä voidaa verrata. Olkoo esimerkiksi A x A y. Nyt sekä x että y kuuluvat samaa ortoormaalii joukkoo A y ja ovat siis ortogoaalisia tai samoja. Huomaamme samalla, että Hilberti avaruude H mikä tahasa suljetu aliavaruude K ortoormaali kata voidaa laajetaa koko avaruude ortoormaaliksi kaaksi lisäämällä siihe sopiva joukko vektoreita. Lukija miettiköö, mite edellistä todistusta tulee muuttaa, jotta tämäki tulisi todistetuksi Separoituva Hilberti avaruus. Hilberti kataa käyttämällä voi todistaa, että klassiset Hilberti avaruudet l 2 ja L 2 [, 2π] ovat separoituvia ja keskeää isomorfisia sisätuloavaruuksia. Koska fuktioavaruude L 2 [, 2π] tutkimie edellyttää mittateoriaa kuuluvia tietoja, aloitamme esittelemällä jooavaruude l 2 omiaisuuksia. Esimerkki Euklidise avaruude luoollie yleistys, jooavaruus l 2 = {(λ ) K N = λ 2 < }, o Hilberti avaruus, ku se o varustettu tavaomaisi pisteittäisi laskutoimituksi ja sisätulolla (x y) = x i y i, missä x =(x i ) i N ja y =(y i ) i N. Vastaava ormi o x 2 =(x x) 2 = x i 2. Perustelu. Olisi hakalaa aloittaa tarkastelu todistamalla, että l 2 o vektoriavaruus, sillä ei ole itsestää selvää, että sesisältää alkioidesa summat. Ku muistamme lieaarialgebra opioista, että euklidise avaruude kolmioepäyhtälö todistettii CSB-epäyhtälö avulla, arvaamme, että ytki kaattaa aloittaa tarkastelemalla sisätulo lauseketta. Lukusarja x iy i suppeee äärellisulotteise CSB-epäyhtälö ojalla itseisesti, oha kaikilla N x i y i x i 2 y i 2 x 2 y 2. Saamme samalla CSB-epäyhtälö l 2 -jooille: (x y) = x i y i x 2 y 2. CSB-epäyhtälö avulla todistetaa, että l 2 o vektoriavaruus. Tässä aioa ogelmakohta o osoittaa, että l 2 sisältää alkioidesa summat. Olkoot x ja y l 2.

16 f ( ) 66 Nyt x + y 2 = lim = m = = lim m = m ( x 2 + x y + y x + y 2) m x 2 + lim = = x 2 2 +(x y)+(y x)+ y 2 2 m x y + lim = m x y + lim x x 2 y 2 + y 2 2 =( x 2 + y 2 ) 2 <. m = m y 2 Näide valmisteluje jälkee o helppo harjoitustehtävä todistaa, että l 2 o sisätuloavaruus. Avaruude l 2 täydellisyys todistetaa puolestaa samaa tapaa kui avaruude R täydellisyys, imittäi koordiaateittai. Todistus o siis melko suoraviivaie lasku, mutta koska se edellyttää huolellista kirjapitoa ja kelvollisia merkitöjä käsiteltäessä jooja, joide alkiotki ovat jooja, käymme läpi yksityiskohdat. Todistus käy myös mallista muille jooavaruuksie täydellisyystodistuksille. Olkoo (x ) N avaruude l 2 Cauchy-joo. Tehtäväämme o todistaa, että se suppeee avaruudessa l 2. Jokaie tutkittava joo jäse x o itseki joo, imittäi lukujoo x =(α (),α() 2,...). Kirjoittamalla lukujoot x toistesa alle saamme havaiollistettua tilaetta äärettömällä matriisilla x = α () α () 2 α () 3... x 2 = α (2) α (2) 2 α (2) 3... x 3 = α (3) α (3) 2 α (3) Koska α () α (m) x x m 2, ii jooje x esimmäiste termie muodostama joo, matriisi esimmäie sarake (α (),α(2),α(3),...), o Cauchy-joo avaruudessa K ja suppeee siis kohti jotaki lukua: α () α, ku. Sama pätee muilleki sarakkeille: α () k α k, ku. Näituleemääritellyksi joo (x ) N aioa mahdollie raja-arvoehdokas x =(α,α 2,...). x = α () α () 2 α () 3... l 2 x 2 = α (2) α (2) 2 α (2) 3... l 2 x 3 = α (3) α (3) 2 α (3) 3... l 2 x = α α 2 α 3... Tehtävää oäyttää, että x kuuluu avaruutee l 2 ja että x x 2, ku.

17 9. ORTOGONAALIPROJEKTIOT JA KANNAT HILBERTIN AVARUUDESSA 67 Molemmat arviot saadaa samalla päättelyllä: Olkoo ε>. O löydettävä luku ε site, että x x 2 ε, ku > ε. Cauchy-oletukse ojalla o aiaki olemassa sellaie ε N, että ku, m > ε, ii x x m 2 ε, eli k= α () k Erityisesti jokaisella äärellisellä N N o siis α (m) k 2 ε 2. ( ) N k= α () k α (m) k 2 ε 2, ku, m > ε. Kiiittäkäämme hetkeksi > ε. Koska epäyhtälö ( ) vase puoli o muuttujie α (m),...,α (m) N jatkuva fuktio ja kuki α(m) k α k,kum, ii myös N α () k α k 2 ε 2, ku > ε. k= Positiivitermie sarja k= α() k α k 2 suppeee siis, ja se summa o eitää ε 2, kuha > ε. Toisi saoe x x 2 ε, ku > ε. Nyt kumpiki tavoitteemme o saavutettu. () Erotus (x x) kuuluu vektoriavaruutee l 2, jote myös x = x (x x) l 2 ja (2) x x 2, ku. Tiedämme yt, että ääretöulotteisia Hilbert-avaruuksia o olemassa, sillä l 2 o sellaie, muodostavatha vektorit e =(,...,, (),,...) sille selvästiki umeroituva ortoormaali kaa, stadardikaa. Avaruudella l 2 o siis umeroituva Hilberti kata, tässä mielessä se o umeroituvaulotteie. Ku o puhe dimesiosta, ii muistamme luvusta 7, että äärellisulotteise sisätuloavaruude kata-alkioide lukumäärä eli avaruude dimesio määrää avaruude isomorfismi tarkkuudella ja arvaamme, että umeroituvaulotteiset Hilberti avaruudet ovat isomorfisia keskeää, siis erityisesti Hilberti jooavaruude l 2 kassa: Lause Seuraavat Hilbert-avaruude H omiaisuudet ovat keskeää yhtäpitäviä () H ja jooavaruus l 2 ovat ormiavaruuksia isomorfiset, ts. o olemassa isometrie lieaaribijektio H l 2. (2) H ja jooavaruus l 2 ovat sisätuloavavaruuksia isomorfiset. (3) H:lla o umeroituvasti ääretö kata. (4) H: jokaie kata o umeroituvasti ääretö

18 f ( ) 68 Perustelu. Isometrie lieaaribijektio H l 2 säilyttää ormi lisäksi myös sisätulo, koska sisätulo voidaa polaarikaavalla lausua ormi avulla. Numeroituva kata o tietysti kahdesta isomorfisesta sisätuloavaruudesta joko molemmilla tai ei kummallakaa. Jos H:lla o umeroituva kata (e,e 2,...), ii kuvaus H l 2 : x = λ i e i (λ,λ 2,...) o sisätuloavaruusisomorfismi. Esimmäiset kolme ehtoa ovat siis yhtäpitäviä ja seuraavat ehdosta (4). Pitää vielä todistaa, että Hilbert-avaruude l 2 jokaie ortoormaali kata o umeroituvasti ääretö. Äärellie kata tekisi avaruudesta äärellisulotteise, jote riittää osoittaa, että avaruude l 2 mikää ortoormaali kata E ei voi olla yliumeroituva. Ratioaalikoordiaattiset vektorit muodostavat avaruudessa l 2 umeroituva, tiheä jouko T l 2. Tutkittava kaa E katavektorie kärkii sijoitetut pallot B(f, 3 ) ovat erillisiä, jote jos iitä olisi yliumeroituva mota, ii umeroituva jouko T pisteitä ei riitäisi kaikkii. Tämä olisi ristiriidassa jouko T tiheyde kassa. Kataa käyttämällä pysytytää itse asiassa luokittelemaa kaikki Hilberti avaruudet isomorfia tarkkuudella. Lause () Kaksi Hilbert-avaruutta ovat isomorfiset silloi ja vai silloi, ku iillä o yhtä mahtava kata. Erityisesti sama Hilbert-avaruude ortoormaalit kaat ovat keskeää yhtä mahtavia. (2) Jokaista joukkoa K kohti o olemassa Hilbert-avaruus, joka kaalta o olemassa bijektio joukolle K; jokaista mahtavuutta eli kardiaalilukua κ kohti o siis olemassa κ ulotteie Hilbert-avaruus. Hilbert-avaruudet ja kardiaaliluvut vastaavat siis toisiaa yksi yhtee. Perustelu. () Osoitetaa esi, että sama avartuude H kaat, olkoot e K ja L, ovatyhtä mahtavia. Voimme tieteki olettaa, että kaat ovat äärettömiä. Kute edellise lausee perustelussa asetamme ytki K-katavektorie päihi toisiaa leikkaamattomat pallot. Kustaki pallosta löytyy L-katavektoreide äärellie ratioaalikertoimie lieaarikombiaatio, jote palloja o eitää yhtä paljo kui äitä kombiaatioita, joita puolestaa o mahtavuude mielessä yhtä mota kui kaa L vektoreita, sillä joukko A B o yhtä mahtava kui mahtavampi joukoista A ja B, elleivät molemmat ole äärellisiä. Näi olle #K #L. Samoi #L #K, jote #K =#L. (Viimeisee johtopäätöksee tarvitaa itse asiassa Catori, Schröderi ja Bersteii lause 34, joka mukaa joukkoje mahtavuuksie < ojärjestysrelaatio!) Isomorfisilla avaruuksilla o tieteki yhtä mahtava kata. Jos taas kahdella avaruudella o yhtä mahtava kata, ii iide välille saadaa isomorfismi kuvaamalla kaat bijektiivisesti toisiksee ja laajetamalla kuvaus lieaariseksi ja jatkuvaksi. 34 Friedrich WilhelmKarl Erst Schröder 84 92, Saksa.Felix Berstei , Saksa Sveitsi.

19 9. ORTOGONAALIPROJEKTIOT JA KANNAT HILBERTIN AVARUUDESSA 69 (2) Toie väite todistetaa kostruoimalla vaadittu avaruus. Sellaiseksi käy H K = { x : K K } x(k) 2 < k K pisteittäisi vektorilaskutoimituksi, ku sisätulo o (x y) = k K x(k)y(k). Näissä summissa vai umeroituva mota alkiota eroaa ollasta. Kata (e k ) k K muodostuu tietysti vektoreista e k (m) =δ km. Huomautus Metrie avaruus o separoituva, jos se o joki umeroituva osajoukkosa sulkeuma, eli jos siiä o tiheä umeroituva osajoukko. Huomasimme edellä lausee 9.27 todistukse yhteydessä, että erityisesti l 2 ja siis myös jokaie umeroituvaulotteie Hilberti avaruus o separoituva metrie avaruus. Numeroituvaulotteie Hilberti avaruus tuetaaki yleisemmi imellä separoituva Hilberti avaruus. Nimitys o oikeutettu: Hilbert-avaruus o metriseä avaruutea separoituva aioastaa ollessaa eitää umeroituvaulotteie. Seuraus 9.3. Seuraavat omiaisuudet ovat yhtäpitäviä Hilberti avaruudelle H: () Avaruude H Hilberti kata o eitää umeroituva. (2) Avaruus H o separoituva. Perustelu. Tiedämme jo, että umeroituvaulotteie ja äärellisulotteie Hilbert-avaruus ovat separoituvia. Yliumeroituvaulotteise avaruude separoitumattomuus todistettii samalla kui lause Esimerkki 9.3. Klassie Lebesgue i sisätuloavaruus 35 L 2 [, 2π] ja avaruus l 2 ovat isomorfiset, samoi avaruudet L 2 (R ). 36 Perustelu. Väitteet perustuvat siihe, että kaikissa äissä avaruuksissa o umeroituva kata. Esittelemme joitaki katoja luvussa. Emme käsittele vielä tässä luvussa Baachi avaruuksia l p,l p ([, ]) ja L p (R ), mutta maiitsemme kuiteki jo eakkoo seuraava tosiasia: arvoilla p<, N, e ovat separoituvia, mutta arvolla p = eivät Heri Léo Lebesgue , Raska. Kuuluisa itegraali määritelmä oväitöskirjassa v Kaikki mitat µ eivät tuota separoituvaa avaruutta L 2 (µ). Vastaesimerki ataa lukumäärämitta yliumeroituvassa joukossa. 37 Edes l ei todellakaa ole separoituva. Ks. luvu 24 harjoitustehtävät.

20 f ( ) Jatkuvat lieaarimuodot ja Fréchet ja Rieszi esityslause. Määritelmä () Lieaarimuoto o lieaarikuvaus vektoriavaruudelta kerroikualle eli yksiulotteiselle avaruudelle, siis f : V K. Vektoriavaruude V kaikkie lieaarimuotoje joukko o se algebrallie duaaliavaruus eli vektoriavaruude duaali V = L(V,K) ={f : V K f o lieaarie}. (2) Normiavaruude E kaikkie jatkuvie lieaarimuotoje eli lieaariste fuktioaalie joukko o se topologie duaaliavaruus eli ormiavaruude duaali E = B(E,K) ={f E f o jatkuva}. (3) Lieaarimuodo f V arvoa kohdassa x V merkitää useiki f(x) = x f huomaa järjestys ja bilieaarisuus ja saotaa tällöi x: ja f: duaalituloksi. Esimerkki Perusesimerkkejä lieaarisista fuktioaaleista ovat euklidise avaruude stadardikatavektoreihi liittyvät koordiaattikuvaukset x = x i e i x i. Myös ääretöulotteise vektoriavaruude Hamel-kataa liittyy koordiaattikuvaus kutaki katavektoria kohti, samoi Hilbert-avaruude ortoormaali jooo. Jälkimmäiset ovat jooo liittyvät koordiaattifuktioaalit x = x i e i x i =(x e i ), jotka ovat jatkuvia. Tämä luvu päätulos Fréchet ja Rieszi esityslause kertoo, että Hilberti avaruude topologie duaali o isomorfismi tarkkuudella avaruus itse. Myöhemmi selvittelemme eräide muide ormiavaruuksie duaali rakeetta. Huomautus Muistamme kohdasta 6.8, että ku E ja F ovat ormiavaruuksia, ii L(E,F) o vektoriavaruus ja B(E,F) se vektorialiavaruus, jossa operaattoriormi o ormi. Erityisesti vektoriavaruude duaali o vektoriavaruus ja ormiavaruude topologie duaali o se algebrallise duaali lieaarie aliavaruus.

21 9. ORTOGONAALIPROJEKTIOT JA KANNAT HILBERTIN AVARUUDESSA 7 Esimerkki (Euklidise avaruude lieaarimuodo geometria). Muistelemme vertailu vuoksi lieaarialgebrasta, että euklidisessa avaruudessa eli ulotteisessa reaalisessa Hilberti avaruudessa R ollasta eroava lieaarimuodo f ydi o -ulotteie aliavaruus Ker f = f () R. Itse asiassa lieaarimuodolla o yksikertaie geometrie tulkita. Aiaki muotoa f a =( a) :x (x a), oleva lieaarimuodo määräävä vektori a o imittäi ytime Ker f a ormaali, oha x a, ku (x a) =elix Ker f a. Koska lieaarikuvaukse f a muut tasaarvopiat saadaa ytimestä siirrolla, o a myös iide ormaali. CSB-epäyhtälö ojalla f a = a. a (x a)=c Ker(f ) a Kuva 9. Lieaarimuoto avaruudessa R 3. Jos samastamme lukusuora R suoraa a = {µa µ R} R kuvauksella λ λ a a, ii lieaarimuoto f 2 a eli ( a) o avaruude R ortogoaaliprojektio suoralle a. Ehkä luoollisempaa o kuiteki samastaa suora lukuihi isometrisesti, siis kuvaamalla λ λ a a. Näi meetelle f a o ortogoaaliprojektio suoralle yhdistettyä kertolaskuu luvulla a. Edellie tulkita äytti koskeva erityisetyyppistä lieaarimuotoa f a, mutta koskeeki kaikkia, sillä euklidisessa avaruudessa ei tosiasiassa ole olemassa muita kui juuri tällaisia lieaarimuotoja. Voimme todeta tämä käyttämällä matriiseja. Euklidise avaruude vektoritha o stadardikataa käytettäessä mukava samastaa sarakematriiseihi, jolloi lieaarikuvaukse vaikutus vektorii saadaa kertomalla vektori vasemmalta päi lieaarikuvaukse matriisilla. Erityisesti mielivaltaista lieaarimuotoa f : R R = R vastaa rivimatriisi eli kovektori Mat f =[a,a 2,...,a ], joka vaikutus vektorii x o x x [a,a 2,...,a ] 2.. = [a x + a 2 x a x ], eli x = x x x 2.. x f a x + a 2 x a x.

22 f ( ) 72 Mielivaltaie lieaarimuoto f : R R o siis muotoa missä f(x) =a x + a 2 x a x =(x a) =f a (x), a = a a 2. a = ( Mat f)t R. Toteamme yhteevetoa, että euklidise avaruude lieaarimuodot ja vektorit vastaavat toisiaa bijektiivisesti vastaavuudessa R R f a =( a) a. Tämä vastaavuus o lieaarie isometrie isomorfismi R (R ),sillä kuvaus a f a o tietysti lieaarie ja f a : operaattoriormi o a. Edellä kuvaillu asiatila todetamie sopisi harjoitustehtäväksi, mutta seuraa myös seuraavasta lauseesta, josta oikeastaa olemme kiiostueita. Fréchet ja Rieszi esityslause 38 saoo imittäi, että myös ääretöulotteie Hilberti avaruus H o ormiavaruutea isomorfie 39 duaalisa imeomaa topologise duaalisa kassa. Lause 9.36 (Fréchet ja Rieszi esityslause). () Jokaie Hilbert-avaruude vektori a H määrää jatkuva lieaarimuodo f a : H K : x (x a). (2) Kuvaus H H : a f a o isometria, siis erityisesti ijektio. (3) Kuvaus H H : a f a o myös surjektio, siis bijektio. (4) Jos K = R, ii kuvaus H H : a f a o lieaarie, siis vektoriavaruusisomorfismi. Jos K = C, ii kuvaus H H : a f a o kojugaattilieaarie eli toteuttaa f λa+µb = λf a +µf b. Se o siis kojugaattilieaariisomorfismi. Todistus. () ja (2) Sisätulo o määritelmä mukaa esimmäise muuttujasa suhtee lieaarie ja CSB-epäyhtälö ojalla pätee f a H = a H. (3) Fréchet ja Rieszi esityslausee pääkohta o, että jokaie jatkuva lieaarimuoto f : H H o muotoa f a. Se todistamiseksi kopioidaa euklidisesta tilateesta arvaus, että tarvittava vektori a o aetu lieaarimuodo f : H K ytime ormaali. Aiaki sellaie o olemassa, sillä olemme edellä todistaeet projektiolausee avulla, että Hilberti avaruude suljetulla aidolla aliavaruudella o aiaki yksi ormaalivektori, ja ydi Ker f = f ({}) oselvästiki suljettu. Oletamme tieteki, että ydi ei ole koko H, sillä muute Fréchet ja Rieszi 38 F. Riesz. 39 Kompleksisessa tapauksessa kojugaattilieaarisesti isomorfie

23 9. ORTOGONAALIPROJEKTIOT JA KANNAT HILBERTIN AVARUUDESSA 73 lausee vektoriksi a kelpaisi ollavektori. O siis mahdollista valita joki ormaalivektori v (Ker f), jolle v =. Tarkastamme seuraavaksi, että ormaali valiassa o hyvi vähä valiavaraa, sillä Ker f: ormaalie muodostama aliavaruus o yksiulotteie. Olkoot sitä varte u ja w (Ker f). Voimme olettaa, että kumpikaa ei ole olla. Koska (Ker f) o aliavaruus, kuuluu vektori u + λw siihe kaikilla λ K. Valitsemalla λ = f(u) f(w) saadaa f(u + λw) =, jote tällöi u + λw Ker f (Ker f) = {} ja siis u ja w ovat lieaarisesti riippuvat, kute väitetti. Fréchet ja Rieszi esityslausee pääkohta o todistettu, kuha äytämme, että voidaa valita kerroi µ site, että vektorille a = µv pätee kaikilla x H: f(x) =f a (x) =(x a). Erityisesti o oltava f(a) = (a a), eli µf(v) = (µv µv) = µ 2 (v v) = µ 2, siis µ = f(v). Ehdokas Fréchet ja Rieszi lausee vektoriksi a o siis a = f(v) v. a V x Ker T y Kuva 2. Rieszi vektori. Kokeillaa toimiiko se. Olkoo x H mikä tahasa vektori. Projektiolausee mukaa sillä olähi piste y = P Ker f (x) Ker f ja pätee (x y) Ker f, jote x y o ormaalivektori a moikerta, x y = βa. Olemme valmiia: f a (x) =(x a) =(y +(x y) a) =(y + βa a) =(y a)+β(a a) =+βf(a) = f(y)+f(βa) =f(y + βa) =f(x). Todistus oli lyhyt, koska se käytti voimakasta tulosta, projektiolausetta. (4) f λa+µb (x) =(x λa + µb) =λ(x a)+µ(x b) =(λf(a)+µf(b))(x). Fréchet ja Rieszi esityslausee mukaa Hilbert-avaruude jatkuva lieaarimuodo ydi o suljettu aliavaruus, joka ortogoaalie komplemetti eli ormaalivektorie joukko o yksiulotteie, ja itse lieaarimuoto o vakiokerroita vaille sama asia kui ortogoaaliprojektio tälle ormaalille.

24 f ( ) Suljetut ja tiheät hypertasot. Määritelmä Vektoriavaruude V lieaarie hypertaso eli -kodimesioaalie vektorialiavaruus o sellaie aliavaruus W V, joka toteuttaa seuraavat keskeää yhtäpitävät ehdot: () W o joki ollasta eroava lieaarimuodo ydi. (2) W o maksimaalie aito aliavaruus; seeisisälly mihikää muuhu aitoo aliavaruutee kui itseesä. (3) Aliavaruude W jokaie Hamel-kata voidaa laajetaa koko avaruude V Hamel-kaaksi lisäämällä siihe yksi vektori. (4) Aliavaruude W joki Hamel-kata voidaa laajetaa koko avaruude V Hamel-kaaksi lisäämällä siihe yksi vektori. Selitys. Ehdot ovat todella yhtäpitäviä: Nollasta eroava lieaarimuodo f : V K ydi o maksimaalie aito aliavaruus, sillä Ker(f) ja vektori x, jolle f(x), virittävät yhdessä koko avaruude V, oha jokaie vektori y V muotoa y = f(y) f(x) f(y) x +(y x) {x} Ker(f). f(x) Lisäämällä maksimaalise aliavaruude W V Hamel-kataa mikä tahasa x V W saadaa aliavaruus W {x}, joka o aidosti laajempi kui W, siis koko avaruus V. Jos K o aliavaruude W Hamel-kata, x/ W ja K {x} = V, ii katavektoria x vastaava koordiaatti o lieaarimuoto, joka ydi o W. Huomautus Äärellisulotteise avaruude K kui se -ulotteie aliavaruus. Palaamme Hilbert-avaruutee: hypertaso o sama asia Lause Olkoo H ääretöulotteie Hilberti avaruus. Epäjatkuva lieaarimuodo ydi o tiheä hypertaso, jatkuva ydi o suljettu hypertaso. Todistus. Ytime sulkeuma o aliavaruus, siis ytime maksimaalisuude ojalla joko H tai Ker f, jote jatkuva lieaarimuodo tapauksessa aiaki toteutuu jälkimmäie vaihtoehto. Lausee todistamiseksi riittää siis äyttää, että lieaarimuoto myös o jatkuva, jos se ydi o suljettu. Tämä o itse asiassa jo todistettu, sillä Fréchet ja Rieszi esityslausee todistuksessa lieaarimuodo jatkuvuudesta käytettii vai sitä tietoa, että se ydi o suljettu ja saatii, että lieaarimuoto o muotoa f(x) =(x a), siis varmasti jatkuva. Lause 9.4. O olemassa myös epäjatkuvia lieaarimuotoja f : H K. Todistus. Esimerki 4 kostruoimiseksi turvaudumme sekä Hilberti että Hameli kaa käyttöö: 4 Ystäväi Lassi Kuritu keksimä. Kiitos!

25 . OPERAATTORIT JA KANTA 75 Hilberti avaruudella H o Hilberti kata E. Muodostetaa vektoriavaruudessa H Hameli kata K valitsemalla esi katavektoreiksi umeroituva määrä ortoormaalii kataa E kuuluvie suutaisia, mutta lyheettyjä vektoreita e, 2 e 2, 3 e 3,... ja laajetamalla tämä joo Hameli kaaksi. Määritellää yt lieaarimuoto f(x) = x: K-koordiaattie summa. Tämä summa o todella reaaliluku, koska vektori esitetää Hamel-kaassa äärellise moe katavektori lieaarikombiaatioa. Selvästi äi määritelty kuvaus f o lieaarie H K. Toisaalta f ei ole rajoitettu lieaarikuvaus, sillä f(e ) =, vaikka e =. Huomautus 9.4. Myös yleisessä ormiavaruudessa pätee lieaarimuodolle, että kuha ydi o suljettu, ii lieaarimuoto o jatkuva. Koska edellä käyttämämme Fréchet ja Rieszi esityslause o Hilbert-avaruude erityisomiaisuus, todistamme yleise lausee luvussa 2 eri tavalla: suoraa määritelmistä... Operaattorialgebra B(H).. Operaattorit ja kata Määritelmä.. Kutsumme jatkuvia eli rajoitettuja lieaarikuvauksia Hilberti avaruudelta H itsellee seuraavassa lyhyesti operaattoreiksi. Avaruude H kaikkie operaattoreide joukko o se operaattorialgebra B = B(H) =B(H, H) ={T : H H T o lieaarie ja jatkuva}. Huomautus.2. Operaattorialgebra B = B(H) o lausee 6.8 mukaa ormiavaruus, mutta sillä o eemmäki rakeetta. Lieaarisuus ja jatkuvuusha säilyvät kuvauste yhteelasku ja luvulla kertomise lisäksi myös kuvauste yhdistämisessä, ja laskutoimitukset ja + tekevät joukosta B rekaa, jossa idettie kuvaus I H eli I toimii ykkösalkioa. Koska lieaarikuvauste yhdistämie o matriisie kertolaskulle aalogie laskutoimitus, o merkki tässä yhteydessä tapaa jättää pois ja saoa yhdistettyä kuvausta operaattoreide tuloksi. Kute matriisitulo o tämäki kertolasku epäkommutatiivie. Regas- ja vektoriavaruusaksioomie lisäksi pätee joukossa B äitä raketeita yhdistävä yhtälöpari λ(ts)=(λt )S = T (λs), ja operaattorialgebra o siis s. algebra. 4 Lausee 6.8 mukaa o vielä voimassa epäyhtälö ST S T. jote operaattoreide tulo muodostamie o jatkuva bilieaarikuvaus B B B. Kaikekaikkiaa B(H) kolmella laskutoimituksellaa ja operaattoriormilla varustettua o ormialgebra. Ei ole vaikeaa todistaa, että B(H) o myös täydellie todistus o kohdassa 4.. Kaike kaikkiaa B(H) o s. Baach-algebra. 4 Weierstrassi approksimaatiolausee yhteydessä olemme tutkiskelleet kommutatiivista algebraa, joka alkiot olivat fuktioita.

26 f ( ) Yleistetty eliömatriisi. Huomautus.3. (Tavalliset matriisit). Hilberti avaruudessa voi jatkuvia lieaarikuvauksia käsitellä kaa avulla pitkälti samalla tavalla kui euklidisessa avaruudessa, jossa tuetusti meetellää seuraavalla tavalla. Kaalla E =(e,...,e )=(e i ) i I varustetussa äärellisulotteisessa vektoriavaruudessa V = K operaattoria T : V V vastaa eliömatriisi a a 2... a a Mat(T )= 2 a a , a a 2...a joka muodostuu matriisielemeteistä a ij =(Te j e i ). Matriisi j:s sarake eli pystyvektori (a ij ) i I muodostuu katavektori e j kuva koordiaateista. Ku kata o kiiitetty, ii operaattori siis määräytyy täysi matriisistaa ja jokaie eliömatriisi määrittelee operaattori T : V V. Määritelmä.4. Olkoo E =(e i ) i I ortoormaali kata Hilberti avaruudessa H. Operattori T : H H yleistetty eliömatriisi o kuvaus I I K :(i, j) a ij =(Te j e i ). Huomautus.5. Lieaarisuutesa ja jatkuvuutesa vuoksi operaattori määräytyy katavektorie kuvista, siis yleistetystä matriisistaa, oha vektori x = j I (x e j)e j = j I x je j kuva Tx = T ( ) x j e j = x j Te j = ( ) x j a ij e i = a ij x j e i. j I j I j I i I (i,j) I 2 Lyheämme tulokse muotoo T = (i,j) I 2 a ij ( e j )e i. Huomautus.6. Mikä tahasa kuvaus I I K ei kelpaa operaattori matriisiksi, sillä matriisielemetit a ij =(Te j e i ) ovat katavektorie kuvie koordiaatit Te j = (Te j e i )e i = a ij e i, i I i I jote kullaki j eitää umeroituva moi yleistety sarakkee (a ij ) i I = ( (Te j e i ) ) i I termi o ollasta eroava, ja e muodostavat l 2 -joo, joka ormi o eitää T. Myös yleistetyt rivit (a ij ) j I = ( (Te j e i ) ) j I

27 . OPERAATTORIT JA KANTA 77 ovat l 2 -jooja, ormiltaa eki eitää T, sillä kullaki i I kuvaus x (Tx e i ) o jatkuva lieaarimuoto avaruudessa H, jote Fréchet ja Rieszi esityslausee ojalla o olemassa vektori T e i H, jolla (Tx e i )=(x T e i ) kaikilla x H, ja erityisesti a ij =(Te j e i )=(e j T e i )=(T e i e j ), mistä äkyy, että yleistetty rivi (a ij ) j I muodostuu vektori T e i koordiaattie kompleksikojugaateista. 42 Huomaamme pia, että ämäkää ehdot eivät riitä karakterisoimaa operaattoreide yleistettyjä matriiseja..3. Diagoalisoituvuus Hilberti kaassa. Johdato.7. Tässä luvussa määritellää diagoalisoituvuus ortoormaali kaa mielessä, kerrataa tietoja äärellisulotteisesta tapauksesta ja aetaa alustavia esimerkkejä ortoormaalissa kaassa diagoalisoituvista ja diagoalisoitumattomista operaattoreista. Määritelmä.8. Hilberti avaruude H operaattori T B(H) o diagoaalie Hilberti kaassa E = {e i } i I, mikäli tässä kaassa se matriisi lävistäjä ulkopuoliset matriisielemetit a ij =(Te j e i ), i j, ovat ollia, eli merkite lävistäjäalkioita a ii = λ i : T = λ i ( e i )e i. i I Operaattori T B(H) o kaassa diagoalisoituva mikäli o olemassa avaruude H ortoormaali kata, jossa T o diagoaalie. Lukija miettiköö, millä ehdolla lukujoo kelpaa diagoaalise jatkuva operaattori lävistäjäksi. Aiakaa ei kelpaa, mutta... käy. Eekui alamme tutkia kaassa diagoalisoituvia operaattoreita yleisessä Hilberti avaruudessa kertaamme äärellisulotteise diagoalisoititeoria pääkohdat. ([KH] luvut 5,6 ja 7. Asia muistava siirtyköö suoraa kohtaa..) Kertaus.9. Klassise määritelmä mukaa operaattori T : V V omiaisarvo o luku λ K, jolle o olemassa omiaisvektori v V {} site, että Tv = λv. Äärellisulotteise avaruude H = K operaattori T diagoalisoituu lieaarialgebrallisesti, jos vektoriavaruudella K o operaattori T omiaisvektoreista muodostuva lieaarialgebrallie kata, omiaiskata, jossa siis T : matriisi o omiaisarvoista muodostuva diagoaalimatriisi D. Diagoalisoituva operaattori matriisi mielivaltaisessa kaassa, esimerkiksi stadardikaassa, o U DU, 42 Tässä määritelty T o sama kui T : adjugaatti.