JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Funktionaalianalyysi Harjoitukset 1,

Transkriptio

1 f ( ) Fuktioaaliaalyysi Harjoitukset 1, Jatkuu... Tähdellä merkityt tehtävät ovat ylimääräisiä. 1. Olkoot X epätyhjä joukko, F b (X, R) := {f : X R f o rajoitettu}, f := sup x X f(x) ja d(f, g) = f g, ku f, g F b (X, R). (i) Osoita, että d o metriikka joukossa F b (X, R) (helpommi: osoita, että o ormi joukossa F b (X, R)). (ii) Osoita, että (F b (X, R), d) o täydellie metrie avaruus. [Vihje: jos (f ) o Cauchy-joo joukossa F b (X, R), o (f (x)) Cauchy-joo joukossa R kaikille x X.] 2. Osoita, että täydellise metrise avaruude suljettu osajoukko o täydellie metrie avaruus. 3. Osoita, että 2.1:ssä määritelty joukko C([a, b], R) varustettu metriikalla d(f, g) = f g o täydellie metrie avaruus. [Vihje: Edellie tehtävä tai vaihtoehtoisesti kurssista Sarjat ja DYt löytyy kätevä lause, joka käsittelee tasaisesti suppeevia jooja f : [a, b] R.] 4. Olkoo a > 0. Osoita, että x + a 2 x a kaikille x [0, 1]. 5. Täydeä esimerki 2.4 päättelyt: Oletetaa, että jokaiselle ε > 0 o aettu polyomi q ε, jolle o q ε (x) x < ε kaikille x [ 1, 1]. Olkoo A > 0. Määrää polyomi q, jolle pätee q (x) x < ε x [ A, A]. Olkoot p polyomi ja [a, b] R epätyhjä väli. Määrää polyomi q p, jolle pätee q p (x) p(x) < ε x [a, b]. 6. Täydeä esimerkki 2.5: muotoile sopiva väite ja osoita se oikeaksi. 7. Olkoo A C([a, b], R), A =, sekä f C([a, b], R). Osoita, että f A, jos ja vai jos jokaiselle ε > 0 o olemassa f ε A site, että f f ε < ε. Merkitää A := {p: [a, b] R p o polyomi}. Osoita, että seuraavat ehdot ovat keskeää yhtäpitävät: a) Weierstrassi approksimoitilause; b) A = C([a, b], R); c) A o tiheä avaruudessa C([a, b], R). 8*. Olkoot g(x) = 1 x 2 ja h(x) = a g(x), ku 1 x 1, ja h(x) = 0, ku x > 1, missä a valitaa site, että 1 h(x) dx = 1. 1 Olkoo f : R R jatkuva fuktio site, että f(x) = 0, ku x 1/2. Asetetaa (f h)(x) = f(t)h(x t) dt, f: ja h: kovoluutio. Osoita, että a) Ku x [ 1/2, 1/2], o (f h)(x) = 1/2 f(t)ag(x t) dt x: polyomi. 1/2 b) (f h)(x) f(x) = 1 (f(x s) f(x))h(s) dt. 1 c) (f h)(x) f(x) sup s [ 1,1] f(x s) f(x).

2 2... jatkuu Huomautus. Ku fuktio g korvataa fuktiolla g (x) = (1 x 2 ), N, voidaa vastaaville kovoluutioille f h osoittaa, että f h f tasaisesti välillä [ 1/2, 1/2], ku, t.s. saadaa toiselaie todistus Weierstrassi approksimoitilauseelle. Mite tarkemmi? Kolmas erilaie tapa todistaa Weierstrassi approksimoitilause löytyy Fouriersarjoje teoria puolelta.

3 f ( ) Fuktioaaliaalyysi Harjoitukset 2, Olkoot (X, d) täydellie metrie avaruus ja f : X X kotraktio, x 0 X, x +1 = f(x ) kaikille N sekä ξ fuktio f kiitopiste. Määrää sopiva/hyvä virhearvio erotukselle d(ξ, x ). 2. Osoita Baachi kiitopistelausee avulla, että yhtälöllä log(2 + x) = x o yksikäsitteie ratkaisu ξ 0. Määrää ratkaisu likiarvo. 3. Olkoot X täydellie metrie avaruus ja f : X X aettu kuvaus. Oletetaa, että o olemassa Z, > 0, site, että f = f f ( kpl) o kotraktio. Osoita, että kuvauksella f o yksikäsitteie kiitopiste. 4. Olkoo s = kaikkie reaalilukujooje (x k ) k=1 muodostama joukko. Ku x = (x k ) k=1 s, y = (y k) k=1 s ja λ R, asetetaa x + y := (x k + y k ) k=1, λx := (λx k ) k=1. Osoita, että äillä laskutoimituksilla varustettua s o vektoriavaruus. 5. Olkoo c = {(x k ) k=1 s joo (x k) k suppeee}. Osoita, että c o s: vektorialiavaruus. 6. Olkoo c 0 = {(x k ) k=1 s lim k x k = 0}. Osoita, että c 0 o s: vektorialiavaruus. 7. Olkoo ϕ: [0, ) [0, 1), ϕ(t) = t/(1 + t). Osoita, että ϕ o jatkuva, aidosti kasvava bijektio, jolle lisäksi ϕ(t + s) ϕ(t) + ϕ(s). Osoita tämä avulla, että ku jooille x = (x k ) k=1 s, y = (y k) k=1 s asetetaa o d metriikka joukossa s. d(x, y) = k=1 2 k x k y k 1 + x k y k, 8. Olkoo (X, d) metrie avaruus. Asetetaa d (x, y) = d(x, y)/(1 + d(x, y)), ku x, y X. Osoita, että: (i) d o metriikka. (ii) Joukko X o rajoitettu metriika d suhtee. (iii) Joukko A X o avoi metriika d mielessä, jos ja vai jos A o avoi metriika d mielessä. [Vihje: d = ϕ d. Avoite joukkoje osalta kaattaee aluksi tarkastella palloja {y X d(x, y) < r} ja {y X d (x, y) < r }.] Jatkuu...

4 2... jatkuu Vektoriavaruus. Olkoo F kuta. Epätyhjä joukko V varustettua seuraavi laskutoimituksi o F -kertoimie vektoriavaruus, jos: (1) yhteelaskulle V V V, (x, y) x + y, o voimassa (a) x + y = y + x kaikille x, y V (kommutatiivisuus); (b) (x + y) + z = x + (y + z) kaikille x, y, z V (assosiatiivisuus); (c) o olemassa ollavektori 0 site, että x + 0 = x kaikille x V ; (d) jokaiselle x V o olemassa vastavektori x V site, että x+( x) = 0; (2) vakiolla kertomiselle F V V, (λ, x) λx, o voimassa (a) λ(µx) = (λµ)x kaikille λ, µ F, x V (assosiatiivisuus); (b) (λ + µ)x = λx + µx ja λ(x + y) = λx + λy kaikille λ, µ F, x, y V (distributiivisuus); (c) 1x = x kaikille x V. Epätyhjä joukko W V o V : vektorialiavaruus, jos: (1) x + y W kaikille x, y W ; (2) λx W kaikille x W ja λ F.

5 f ( ) Fuktioaaliaalyysi Harjoitukset 3, Osoita, että ormiavaruuksie E ja F väliselle rajoitetulle lieaarikuvaukselle T : E F pätee T = sup{ T x x = 1} = if{k > 0 T x K x kaikille x E}. 2. Olkoot l 1 = {x = (x k ) k=1 s x 1 := x k < }, k=1 l = {x = (x k ) k=1 s x := sup k N x k < }, Osoita, että l 1 ja l ovat vektoriavaruuksia ja että 1 o ormi l 1 :ssä ja o ormi l :ssä. 3. Olkoo T : l 1 l 1, (x 1, x 2, x 3,...) (x 2, x 3,...). Oko T lieaarie? Etä ijektio? Etä surjektio? 4. (Jatkoa.) Osoita, että T = 1 ja että o olemassa T : oikeapuoleie kääteiskuvaus S B(l 1, l 1 ), jolle T S = id, vaikka T ei ole bijektio. 5. Luetomoisteesta HT (Carl Neumai sarja; tässä oletetaa tuetuksi, että B(E, E) o Baachi avaruus, ku E o Baachi avaruus. Tehtävässä I = id = E: idettie kuvaus. Muista, että lieaarikuvauste tulo tarkoittaa kuvauste yhdistettyä kuvausta.) 6. Luetomoisteesta HT (Muista: jos S, T : E E ovat käätyviä, ii S T o käätyvä ja (S T ) 1 = T 1 S 1.) 7. Aa esimerkki vektoriavaruudesta ja se kahdesta ormista, jotka eivät ole ekvivaletteja keskeää. [Vihje: tällaisia o paljo: C([0, 1], R), f = max{ f(x) x [0, 1]}, f 1 = 1 f(x) dx; P := {f : [0, 1] R f o polyomi}, f 0 := max{ f(x) x [0, 1]}, f 1, := f + f, missä f = f: derivaatta.] 8. Edellise tehtävä avaruudesta P C([0, 1], R) sekä ormeista ja 1 saa esimerki tilateesta, missä: (i) (f ) P o Cauchy-joo ormi suhtee = (f ) P o Cauchyjoo ormi 1 suhtee (osoita: f 1 f ); (ii) o olemassa joo (g ) P, joka suppeee ormi 1 suhtee, mutta ei ormi ormi suhtee; (iii) o olemassa ormi suhtee Cauchy-joo (f ) P, joka ei suppee.

6 f ( ) Fuktioaaliaalyysi Harjoitukset 4, Jatkuu Todista lause 8.2 (Cauchy, Schwarzi ja Bujakovski epäyhtälö: (x y) x y ) kompleksiselle sisätuloavaruudelle. Osoita myös, että yhtäsuuruus o voimassa, jos ja vai jos vektorit x ja y ovat lieaarisesti riippuvat. [Vihje: sisätulo (x λy x λy) laskemie saattaa auttaa, ku λ C o sopiva.] 2. Olkoot (E, ( )) sisätuloavaruus ja se sisätuloo liittyvä ormi, y E sekä f y : E K, f y (x) = (x y). Osoita, että f y o jatkuva lieaarikuvaus, joka ormi o y. Osoita edellee, että kuvaus E K, x (y x), o jatkuva. 3. Olkoot (E, ( )) sisätuloavaruus ja se sisätuloo liittyvä ormi. Osoita, että jokaiselle ε > 0 o olemassa δ > 0 site, että x 1, y 1, x y ε = 1 (x + y) 1 δ Olkoot (x 1, x 2 ) 1 = x 1 + x 2 ja (x 1, x 2 ) = max{ x 1, x 2 } ormeja tasossa R 2. Osoita, että äillä ormeilla ei ole edellise tehtävä väitteessä maiittua omiaisuutta. Vertaa taso tavallisee ormii (x 1, x 2 ) 2 = x x 2 2 ja mieti, millä tavalla edellise tehtävä väittee omiaisuus kuvaa yksikköpallo pyöreyttä. 5. Olkoo (E, ( )) sisätuloavaruus ja x 1,..., x E pareittai ortogoaalisia vektoreita. Todista yleistetty Pythagoraa lause 2 x k = x k 2. k=1 6. Todista kompleksikertoimiselle sisätuloavaruudelle polaarikaava (s.o. lausee 8.5 jälkimmäie osa). 7. Olkoo (E, ( )) sisätuloavaruus, x E sekä (e 1,..., e ) ortoormaali vektorijoo. Osoita, että 2 x (x e k )e k = x 2 (x e k ) 2. k=1 Osoita myös, että kaikille λ 1,...,λ K o voimasssa 2 x 2 x λ k e k = (x e k )e k + (x e k ) λ k 2. k=1 k=1 [Jälkimmäisestä seuraa projektiolausee 9.3 implikaatio (3) = (1): etäisyyde x k=1 λ ke k miimoivalle pisteelle y = k=1 λ ke k o välttämättä λ k = (x e k ). Millaise päätelmä voit vetää esimmäisestä idetiteeti perusteella, jos Besseli epäyhtälössä (seuraus 9.4) pätee/ei päde yhtäsuuruus?] 8. Olkoo E ormiavaruus ja S E. Osoita, että S o suppei S: sisältävä suljettu E: aliavaruus. k=1 k=1 k=1

7 2... jatkuu 9. Olkoo E ormiavaruus ja S E. a) Osoita, että S S. b) Osoita, että voi olla S = S (t.s. suljetu jouko virittämä aliavaruude ei tarvitse olla suljettu). [Vihje: Sopiva ormiavaruus saattaa olla c 0 = {(x k ) k=1 lim k x k = 0}, x = sup{ x k k N}. Tästä avaruudesta löytyy käteviä koordiaatiakseleide suutaisia yksikkövektoreita.]

8 f ( ) Fuktioaaliaalyysi Harjoitukset 5, Olkoo g = (g k ) k=1 l2, eli g o reaalilukujoo, jolle g 2 :=. Osoita, että a) kuvaus l 2 l 2, (x k ) k=1 ( x k ) k=1, o jatkuva; b) kuvaus l 2 l 2, (x k ) k=1 (max{g k, x k }) k=1, o jatkuva; c) joukko {(x k ) k=1 l2 x k g k k N} o koveksi ja suljettu. ( k=1 g k 2 ) 1/2< 2. (Jatkoa.) Olkoot x = (x k ) k=1, g = (g k) k=1 l2. Osoita, että o olemassa tasa yksi y = (y k ) k=1 l2 site, että y k g k kaikille k N ja x y 2 x a 2 kaikille a = (a k ) k=1 l2, joille a k g k kaikille k N. 3. Todista luetomoistee lausee 9.9 a)-kohta (ortogoaaliprojektio o lieaarikuvaus). 4. Olkoot H reaalie Hilberti avaruus ja K H epätyhjä, koveksi, suljettu osajoukko. Osoita, että koveksi projektio P K : H H o Lipschitz-jatkuva. [Vihje: koveksi projektio epäyhtälökarakterisoiti ja CSB.] 5. Olkoot H kompleksie Hilberti avaruus ja V H suljettu aliavaruus sekä f H. Osoita, että ehdot sekä u V ja f u = mi f v v V (2) u V ja f u V ovat keskeää yhtäpitävät. [Vihje: Laiaa lueolla esitettyä todistusta f u 2 f u 2 2t Re(f u w u) + t 2 w u 2 = Re(f u w u) 0. Sovella tätä vektoreihi w = u + v, w = u v, w = u + iv ja w = u iv, missä v V. Kääteistä implikaatiota varte Pythagoraa lause riittää.] 6. Olkoot K ja L Hilbert-avaruude H suljettuja aliavaruuksia. Osoita H = K L K = L L = K. 7. Olkoo H Hilbert-avaruus. a) Olkoo M H aliavaruus. Osoita, että M = {0} M = H. b) Olkoo M H epätyhjä osajoukko. Osoita, että ((M ) ) = M. 8. Olkoot A ja B Hilbert-avaruude H suljettuja aliavaruuksia sekä P ja Q ortogoaaliprojektiot iille (s.o. P = P A ja Q = P B ). a) Määrää P Q ja QP, ku A B. b) Määrää P Q ja QP, ku A B.

9 f ( ) Fuktioaaliaalyysi Harjoitukset 6, Olkoo l 2 reaalie Hilberti jooavaruus. Osoita, että joukko { Q := x = (x ) } =1 x Q ja x 2 < o tiheä l 2 :ssa. [Siis: osoita, että jokaiselle x l 2 ja jokaiselle ε > 0 o olemassa x ε Q site, että x x ε 2 < ε. Vihje(?): mite äytetää, että Q o R: ollamittaie osajoukko?] Osoita edellee, että joukko =1 Q f := {x = (x ) =1 Q x 0 vai äärellise moelle } o tiheä l 2 :ssa. [Osoita, että jokaiselle y Q ja jokaiselle ε > 0 o olemassa y ε Q f site, että y y ε 2 < ε.] Lopuksi: osoita, että joukko Q ei ole umeroituva, mutta Q f o. 2. Olkoot X = {z C z = 1} ja A = { f C(X, C) f(z) = k= c k z k, N, c k C }. Osoita, että kompleksista Stoe ja Weierstrassi lausetta 2.13 voidaa soveltaa fuktioalgebraa A, jote(?) A o tiheä avaruude C(X, C) aliavaruus sup-ormi : g sup{ g(x) x [ π, π]} suhtee. 3. Osoita, edellise tehtävä avulla, että trigoometriset polyomit, t.s. fuktiot f : [ π, π] C, jotka ovat muotoa f(t) = k= c ke ikt, missä N, ja c k C, muodostavat avaruude L 2 ([ π, π], C) tiheä aliavaruude ormi 2 : g ( π π g(x) 2 dx ) 1/2 suhtee. Avuksi sallittakoo tieto, että jokaiselle ε > 0 ja g L 2 ([ π, π], C) o olemassa jatkuva, 2π-jaksoie fuktio g ε site, että g ε g 2 ε. 4. Olkoo f (x) = 1 2π e ix = 1 2π (cos x + i si x), ku Z. Osoita, että joukko E = {f Z} o ortoormaali sisätuloavaruudessa L 2 ([ π, π], C) ( 15.3), missä (f g) := π f(x)g(x) dx. [Vihje: jos lasket reaalisesti, ii seuraavat trigoometriset idetiteetit saattavat auttaa: π ) ) cos a cos b = 2( 1 cos(a + b) + cos(a ) b), si a si b = 2( 1 cos(a b) cos(a + b), si a cos b = 1 2( si(a + b) + si(a b).] 5. (Jatkoa.) Osoita, että edellise tehtävä joukko E = {f Z} o Hilberti kata sisätuloavaruudessa L 2 ([ π, π], C). [Jos L 2 tutuu vaikealta, ii osoita, että avaruudessa C([ π, π], C) o E = {0}; sisätulo lauseke o sama.] 6. Olkoot H Hilberti avaruus ja K H suljettu aliavaruus. Osoita, että H:lla o ortoormaali kata E = E E s.e. E o K: ja E o K : ortoormaali kata. 7. Olkoot H Hilberti avaruus ja K H suljettu aliavaruus. Olkoo K:lle aettu ortoormaali kata E. Osoita, että H:lla o ortoormaali kata E s.e. E E.

10 f ( ) Fuktioaaliaalyysi Harjoitukset 7, Osoita, että C([0, 1], R) o separoituva. [Vihje: Weierstrassi approksimoitilause.] 2. Osoita, että l ei ole separoituva. [Vihje: Merkitää E = {ε = (ε) j=1 l ε j {0, 1} j N}. Osoita, että E o yliumeroituva. Jokaiselle ε E asetetaa x ε = ε. Osoita, että x ε x η = 1, ku ε η. Viimeistele todistus Lausee 9.27 malli mukaisesti.] 3. Olkoot H joki seuraavista sisätuloavaruuksista, (f g) := 1 f(t)g(t) dt, ku f, 0 g H ja D : H H, Dx = x: derivaatta (jolloi D o lieaarikuvaus). Tutki, missä tapauksissa D o epäjatkuva: a) H = P := {f : [0, 1] K f o polyomi}; b) H = P d := {f P deg f d}, ku d N; c) H = C := {f : [0, 1] K f:llä kaikkie kertalukuje derivaatat}. 4. (Fréchet ja Rieszi lause l 2 :lle kaa avulla.) a) Olkoo f (l 2 ). Asetetaa a j = f(e j ), ku j N (missä (e 1, e 2,...) o l 2 : stadardikata). Osoita, että a := (a 1, a 2,...) l 2 ja f(x) = (x a) 2 kaikille x l 2. [Vihje: Aseta x = (a 1, a 2,..., a, 0, 0,...), ku N. Osoita, että x 2 2 = (x a) 2 f x 2, josta esimmäie väite seuraa.] b) Mite yleistät edellise todistukse yleise Hilberti avaruude tapauksee? 5. Olkoot H reaalie Hilberti avaruus ja B : H H R jatkuva bilieaarimuoto, t.s. o olemassa M R s.e. kaikille x, y, z H ja λ, µ R (i) B(λx + µy, z) = λb(x, z) + µb(y, z), (ii) B(x, λy + µz) = λb(x, y) + µb(x, z), (iii) B(x, y) M x y. Osoita, että o olemassa jatkuva lieaarikuvaus A: H H s.e. B(x, y) = (Ax y) kaikille x, y H. [Vihje: a) y B(x, y) o jatkuva lieaarikuvaus; b) Fréchet-Rieszi ojalla kaikille x H o olemassa yksikäsitteie Ax H s.e. B(x, y) = (Ax y) kaikille y H; c) yksikäsitteisyyde ojalla x Ax o lieaarie; d) Ax 2 = B(x, Ax) M x Ax.] 6. Osoita, että seuraavat kuvaukset P o ja P e ovat Hilberti avaruude L 2 ([ π, π], R) =: H ortogoaaliprojektioita: P o : H H, P e : H H, (P o f)(x) := 1 (f(x) f( x)) 2 (P e f)(x) := 1 (f(x) + f( x)) 2 Oletetaa tuetuksi, että joukko E = {f Z, 0}, missä f 0 (x) = 1 2π, f 2 (x) = 1 π cos x, f 2 1 (x) = 1 π si x, ku Z, > 0, o sisätuloavaruude H ortoormaali kata, ku (f g) := π f(x)g(x) dx. π Määrää ortoormaalit kaat kuvauste P o ja P e kuvajoukoille ker P e ja ker P o.

11 2... jatkuu 7*. Olkoot (H i, ( ) i ), i I, Hilberti avaruuksia. Asetetaa H = i I H i = {x: I i I H i x(i) H i i I}, ja (x y) = i I (x(i) y(i)) i, ku x, y H. Osoita, että (H, ( )) o Hilberti avaruus. Osoita, että jokaiselle j I kuvaus T j : H j H, (T j (x j ))(i) = x j, jos i = j, ja (T j (x j ))(i) = 0, jos i j, o lieaarie isometria. Jos H j ja se kuvajoukko T j (H j ) samaistetaa, ii H = j I H j (ortogoaalie suora summa). Mite voit helposti määrätä H:lle Hilberti kaa, jos jokaiselle avaruudelle H j Hilberti kata E j o aettu?

12 f ( ) Fuktioaaliaalyysi Harjoitukset 8, Olkoot E ja F ormiavaruuksia ja G E tiheä aliavaruus. Osoita, että jos T : E F o jatkuva lieaarikuvaus site, että T x = 0 kaikille x G, ii T x = 0 kaikille x E. Osoita edellee, että jos T, S : E F ovat jatkuvia lieaarikuvauksia site, että T x = Sx kaikille x G, ii T x = Sx kaikille x E. 2. Olkoo T Hilberti avaruude H operaattori (= jatkuva li.kuvaus T : H H). a) Osoita, että kaikille y H kuvaus H K, x (T x y), o H: jatkuva lieaarie fuktioaali, s.o. duaaliavaruude H alkio. b) Osoita, että kaikille y H o olemassa tasa yksi y H site, että (T x y) = (x y ). c) Määritellää T : H H, T y = y, t.s. kaikille x, y H o voimassa (T x y) = (x T y). Osoita, että kuvaus T o lieaarie. d) Osoita, että T y T y kaikille y H. Tästä seuraa(-ko?), että T o jatkuva. e) Osoita, että T x T x kaikille x H. Tässä määritelty operaattori T o operaattori T adjugaatti. 3. (Jatkoa.) Osoita, että operaattori adjugaatilla o seuraavat omiaisuudet: a) T = T. b) (T S) = S T, ku myös S B(H, H). c) Jos T o käätyvä (s.o. jos T o bijektio ja T 1 B(H, H)), ii T o käätyvä ja (T ) 1 = (T 1 ). 4. (Jatkoa.) Osoita, että ker T = T (H) ja ker T = T (H). Oko (ker T ) = T (H)? Etä, jos T o ijektio, ii oko T surjektio (oha ker T = {0} = T (H) )? 5. Olkoot T : l 2 l 2 jatkuva lieaarikuvaus sekä (e j ) j=1 l 2 : stadardikata. a) Osoita, että jokaiselle j N o olemassa joo (a i,j ) i=1 l 2 site, että T e j = i=1 a i,je i. b) Olkoot x = (x j ) j=1 l 2 ja y = (y k ) k=1 = T x. Osoita, että kaikille y k = j=1 a k,jx j. [Vertaa vektori kertomisee matriisilla.] c) Osoita, että sup j N i=1 a i,j 2 T Olkoot a i,j K, i, j N, site, että i,j=1 a i,j 2 <. Jokaiselle k N ja x = (x j ) j=1 l 2 asetetaa y k = j=1 a k,jx j. a) Osoita, että sarja suppeee ja y = (y k ) k=1 l2. b) Osoita, että säätö T x = y, missä y o kute edellisessä kohdassa, määrittelee jatkuva lieaarikuvaukse T : l 2 l 2.

13 2... jatkuu 7*. (Samastaako vaiko eikö samastaa?) Fréchet ja Rieszi esityslausee ojalla Hilberti avaruus H ja se duaali H voidaaa samastaa: H = H, ku samastetaa a H ja jatkuva lieaarifuktioaali ( a) H. Aia äi ei kuitekaa voida tehdä. Kaikille s R asetetaa h s = {x = (x ) =1 =1 2s x 2 < } sekä (x y) s = =1 2s x y, ku x = (x ) =1, y = (y ) =1 h s. Tällöi (h s, ( ) s ) o Hilberti avaruus. Lisäksi h 0 = l 2 ja ( ) 0 o l 2 : tavallie sisätulo. a) Osoita, että kaikille y = (y ) =1 h 1, kuvaus f 1,y : h 1 K, (x ) =1 =1 x y, o jatkuva lieaarifuktioaali, joka operaattoriormi o y 1. b) Olkoo f : h 1 K jatkuva lieaarifuktioaali. Osoita, että o olemassa y h 1 site, että f = f 1,y. [Vihje: Aseta y j = f(e j ), ku j N, missä (e j ) j=1 o l 2 : stadardikata, sekä y = (y ) =1. Ku y () := (y 1, y 2,..., y, 0, 0,...), o y () 2 1 = f( j=1 j 2 y j e j ) f y () 1, jote y h 1. Lisäksi f(x) = f 1,y (x) kaikille h h 1.] c) Osoita yleisemmi, että kaikille y = (y ) =1 h s, kuvaus f s,y : h s K, (x ) =1 =1 x y, o jatkuva lieaarifuktioaali, joka opetaattoriormi o y s. Siis y f s,y o kojugaattilieaarie isometria h s (h s ). d) Osoita, että jos f : h s K o jatkuva lieaarifuktioaali, ii o olemassa y h s site, että f = f s,y. Tässä esimerkissä siis (h 0 ) = h 0 = l 2, mutta ku s 0, ii duaali (h s ) samastuu avaruutee h s : samastetaa ( y h s ja f s,y (h s ). Jos asetetaa f y (x ) =1) = =1 2s x y, ku x = (x ) =1 h r ja y = (y ) =1 h 2s r, ii kuvaus y f y : h 2s r (h r ) o kojugaattilieaarie isometria. Tällöi voidaa samastaa (h s ) = h s, jolloi (l 2 ) = (h 0 ) = h 2s.

14 f ( ) Fuktioaaliaalyysi Harjoitukset 9, Olkoot e k l 2 : stadardikatavektorit (s.o. e k = (δ k,j ) j=1) ja f = {x = (x ) =1 x 0 vai äärellise moelle }. Osoita, että f = {e k k N} ja että f: täydetymä l p -ormi suhtee o l p, ku 1 p <, ja c 0, ku p =. 2. Osoita, että avaruudet l p, missä 1 p <, ja c 0 ovat separoituvia. 3. Olkoot y = (y ) l 1, ja f y : c 0 K, f y ((x ) ) = =1 x y. a) Osoita, että f y o jatkuva lieaarikuvaus ja f y y 1. b) Osoita, että f y y 1. [Vihje: Oletetaa, että y 1 > 0. Valitse 0 < ε < y 1 ja ε N site, että ε =1 y > y 1 ε. Aseta x k = y k / y k, ku y k 0 ja 1 k ε, sekä x k = 0 muute. Osoita, että f y ((x ) ) ε =1 y. Lopuksi?] c) Osoita, että o olemassa lieaarie isometria l 1 c Olkoo 1 := (1, 1, 1,...). Osoita, että 1 c. Osoita lisäksi, että c 0 ja 1 virittävät c: (eli: jokaie x c voidaa voidaa esittää muodossa x = y + λ1, missä y c 0 ja λ K). Oletetaa tuetuksi, että jokaie jatkuva lieaarikuvaus g : c 0 K o muotoa g((x ) ) = =1 x y, missä (y ) =1 l 1. Olkoo f : c K jatkuva lieaarikuvaus. Osoita, että o olemassa (y 0, y 1, y 2,...) l 1 s.e. f((x ) ) = =1 x y + y 0 lim x. [Vihje: Osoita, että hajotelmassa x = y + λ1, missä y c 0 ja λ K, o λ = lim x.] 5. Osoita, että f : c K, f((x ) ) := lim x (eli f = lim), o jatkuva lieaarikuvaus. Osoita myös, että c 0 = ker f, ja että c 0 o c: suljettu aliavaruus. Osoita edellee, että kuvausta f ei voida esittää muodossa f((x ) ) = =1 x y, missä (y ) l 1. [Vihje: Epäsuorassa päättelyssä voi vektoreista e k, e k = (δ k, ) =1, olla apua.] 6. Olkoot 1 p < s. Osoita, että ei ole olemassa vakiota C R site, että x p C x s kaikille x l p. 7. Olkoot 1 p, q, r < site, että 1 p + 1 q = 1 r. Olkoot x = (x k) k=1 lp, y = (y k ) k=1 lq ja z = (z k ) k=1, missä z k = x k y k. Osoita, että z l r ja z r x p y q.

15 2... jatkuu 8*. Olkoot E = C([0, 1], R) ja f = sup x [0,1] f(x). Osoita, että kuvaus T : C([0, 1], E) C([0, 1] [0, 1], R), (T f)(x, y) = (f(x))(y), ku (x, y) [0, 1] [0, 1] ja f C([0, 1], E), o hyvimääritelty, t.s. että T f C([0, 1] [0, 1], R) (eli vielä selväsaaisemmi: T f : [0, 1] [0, 1] R) o jatkuva, ku f : [0, 1] E o jatkuva). Osoita, että T o surjektio, t.s. että jos g : [0, 1] [0, 1] R) o jatkuva ja f määritellää asettamalla (f(x))(y) = g(x, y), ku x [0, 1], y [0, 1], ii jokaiselle x [0, 1], kuvaus f(x): [0, 1] R o jatkuva, ja kuvaus f : [0, 1] E o jatkuvva. Osoita lopuksi, että T o lieaarikuvaus, ja että T f a = f b kaikille f C([0, 1], E), ku g a := sup x [0,1] [0,,1] g(x, y) ja f b := sup x [0,1] f(x). Tehtävä lopputulema: avaruudet C([0, 1], E) ja C([0, 1] [0, 1], R) ovat isometrisesti isomorfiset. 9*. Osoita, että lieaarie isometria l 1 c 0, y f y, missä f y ((x ) ) = =1 x y, o surjektio, ja siis isometrie isomorfismi. [Vihje: Olkoot f c 0 ja e k l 2 : stadardikatavektorit. Aseta y k = f(e k ) ja y = (y k ) k=1. Osoita, että kaikille x = (x k) k=1 c 0 o voimassa f(x) = f( k x ke k ) = k x kf(e k ) = f y (x), ja että y l 1.] 10*. Osoita, että kuvaus l (l 1 ), y f y, missä f y ((x ) ) = =1 x y, lieaarie, surjektiivie isometria, ja siis isometrie isomorfismi. Pääsiäise takia viikolla 13 (ti ja ke 30.3.) ei ole luetoja eikä harjoituksia.

16 f ( ) Fuktioaaliaalyysi Harjoitukset 10, Olkoo C 1 (0, 1) kaikkie jatkuvasti derivoituvie fuktioide ϕ: (0, 1) R joukko, ja Cc 1 (0, 1) = iide ϕ C 1 (0, 1) joukko, joille o olemassa δ > 0 s.e. ϕ(x) = 0, ku 0 < x < δ tai 1 δ < x < 1. Joukko C 1 [0, 1] koostuu kaikista suljetulla välillä [0, 1] jatkuvasti derivoituvista fuktioista (päätepisteissä toispuoliset derivaatat). ( 1 1/p, Ku 1 p <, olkoot u 1,p = 0 ( u(x) p + u (x) p ) dx) Vp = {u C 1 (0, 1) u 1,p < } ja H 1,p (0, 1) = avaruude V p täydetymä ormi 1,p suhtee sekä H 1,p 0 (0, 1) = avaruude Cc 1 (0, 1) täydetymä ormi 1,p suhtee. Merk. D : H 1,p (0, 1) L p (0, 1) tavallise derivaata C 1 (0, 1) C(0, 1), ϕ ϕ, laajeusta avaruutee H 1,p (0, 1). 1. Olkoot u, v H 1,2 (0, 1). Osoita, että uv, (Du)v, u(dv) L 1 (0, 1) ja D(uv) = (Du)v + u(dv). [Vihje: Hölder tai CSB; apua joot (u ), (v ) V 2.] 2. Olkoo u Cc 1 (0, 1). Osoita, että u(x) u 1,2 kaikille x (0, 1). [Vihje: Itegraalilaskea peruslause u(x) = x 0 u (t) dt ja Hölder tai CSB.] Olkoo u H 1,2 0 (0, 1) ja (u ) Cc 1 (0, 1) joo s.e. u u H 1,2 0 (0, 1):ssa. Osoita, että joo (u ) o Cauchy joo avaruudessa (C[0, 1], ), jote se suppeee kohti jatkuvaa fuktiota. Osoita, että H 1,2 0 (0, 1) C[0, 1] jatkuvalla ikluusiokuvauksella (t.s. u M u 1,2 ). 3. (Jatkoa.) Osoita, että kaikille u H 1,2 0 (0, 1) pätee u(x) u(y) x y 1/2 u 1,2. 4. Oletetaa tuetuksi, että C 1 [0, 1] o tiheä H 1,p (0, 1): aliavaruus. Osoita, että kaikille fuktioille u H 1,p (0, 1) rajoittuma u u(0) o hyvimääritelty. [Vihje: Valitse kiiteä ϕ C 1 [0, 1] site, että ϕ(0) = 1 ja ϕ(1) = 0. Osoita, että kuvaus C 1 [0, 1] R, u u(0) = ϕ(1)u(1) ϕ(0)u(0) = 1 0 (ϕu) (t) dt, o jatkuva H 1,p -ormi suhtee.] 5. Olkoot u: [0, 1] R ja H : [0, 1] R, u(x) = { 0, ku 0 x < 1 2 x 1, 2 ku 1 x 1 2 sekä H(x) = { 0, ku 0 x < 1 2 1, ku 1 x 1 2 Osoita, että u:lla heikko derivaatta Du = H, ja että u W 1,p (0, 1) kaikille p [1, ). Osoita myös, että fuktiolla H ei ole heikkoa derivaattaa h W 1,p (0, 1) millekää p [1, ). 6. (Poicaré ja Wirtigeri epäyhtälö W 1,1 :lle.) Merkitää u = 1 u(t) dt, ku 0 u L 1 (0, 1). Osoita, että u u Du 1, ku u W 1,1 (0, 1). [Vihje: u(x) u = 1 0 (u(x) u(t)) dt.] Pääsiäise takia viikolla 13 (ti ja ke 30.3.) ei ole luetoja eikä harjoituksia.

17 f ( ) Fuktioaaliaalyysi Ei harjoituksia Fuktioaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 13 (ti ja ke 30.3.) ei ole luetoja eikä harjoituksia Jatkuu... 1*. Olkoo x = (x ) Z C site, että Z x < (t.s. x l 1 (Z)). Osoita, että sarja Z x e it suppeee itseisesti ja tasaisesti, ja se summa f(t) o siis jatkuva, 2π-jaksoie fuktio f : R C. [Vihje: Weierstrassi M-testi.] 2*. Olkoo x = (x ) Z C site, että Z x < (t.s. (x ) Z l 1 (Z)). Osoita, että sarja Z x e it suppeee itseisesti ja tasaisesti, ja se summa f(t) o jatkuvasti derivoituva, 2π-jaksoie fuktio f : R C. [Vihje: idem.] 3*. Olkoo x = (x ) Z C site, että Z 2s x 2 < jolleki s > 1/2 (t.s. ( s x ) Z l 2 (Z)). Osoita, että sarja Z x e it suppeee itseisesti ja tasaisesti, ja se summa f(t) o jatkuva, 2π-jaksoie fuktio f : R C. [Vihje: CSB, yliharmoie sarja ja Weierstrassi M-testi.] 4*. Olkoo x = (x ) Z C site, että Z 2s+2 x 2 < jolleki s > 1/2 (t.s. ( s x ) Z l 2 (Z)). Osoita, että sarja Z x e it suppeee itseisesti ja tasaisesti, ja se summa f(t) o jatkuvasti derivoituva, 2π-jaksoie fuktio f : R C. [Vihje: idem.] Sobolevi avaruuksie jooversio. Kaikille s R asetetaa h s = { x = (x k ) k Z x 2 π,s = k Z(1 + k 2 ) s x k 2 < }, (x y) π,s = k Z(1 + k 2 ) s x k y k, ku x = (x k ) k Z, y = (y k ) k Z h s. Huomaa, että h 0 = l 2 (Z) ja π,0 = 2. 5*. Osoita, että kuvaus I s : h s l 2 (Z), I s x = ((1 + k 2 ) s/2 x k ) k Z, ku x = (x k ) k Z h s, o isometrie lieaarie bijektio. Päättele tämä avulla, että (h s, ( ) π,s ) o Hilberti avaruus. 6*. Kaikille s, r R asetetaa I s,r : h s h r, I s,r x = ((1 + k 2 ) (s r)/2 x k ) k Z, ku x = (x k ) k Z h s. Osoita, että I s,r o isometrie lieaarie bijektio. Osoita lisäksi, että I s,r I r,t = I s,t ja I s,r I r = I s. 7*. Olkoo D π,1 : h 1 l 2 (Z), D π,1 x = (k x k ) k Z, ku x = (x k ) k Z h 1. Osoita, että kuvaus D π,1 o jatkuva lieaarikuvaus, ja x 2 π,1 = x D π,1 x *. Ku N, olkoo D π, : h l 2 (Z), D π, x = (k x k ) k Z, ku x = (x k ) k Z h. Osoita, että kuvaus D π, o jatkuva lieaarikuvaus. Osoita lisäksi, että x ( x D π, x 2 2) 1/2 o ormi h :ssä, ja että se o ekvivaletti ormi π, kassa.

18 2... jatkuu 9*. Olkoot D = s R hs ja D π : D D, D π x = (k x k ) k Z, ku x = (x k ) k Z D. Ku j N, olkoo Dπ j : D D, Dπx j = (k j x k ) k Z, ku x = (x k ) k Z D. Huomaa, että D π h 1 = D π,1 ja Dπ h = D π,. Olkoo N. Osoita, että h = {x l 2 (Z) Dπx j l 2 (Z) kaikille j = 1,..., }. Osoita lisäksi, että x ( x j=1 Dj πx 2) 2 1/2 o ormi h :ssä, ja että se o ekvivaletti ormi π, kassa. 10*. a) Olkoot y = (y k ) k Z l 2 ja λ > 0. Osoita, että yhtälöllä D π,2 x + λx = y o tasa yksi ratkaisu x h 2. b) Olkoot y = (y k ) k Z D ja λ > 0. Osoita, että yhtälöllä D 2 πx + λx = y o tasa yksi ratkaisu x D. Osoita myös, että jos y h s, ii x h s+2. 11*. Osoita, että ku s > r, o h s h r vektorialiavaruutea. Asetetaa kaikille s, r R, joille s r, U s,r : h s h r, U s,r x = x (upotus). Osoita, että U s,r o jatkuva. 12*. Osoita, että ku s > 0, o h s tiheä l 2 (Z): aliavaruus. [Vihje: f := {x = (x ) Z x 0 vai äärellise moelle } h s kaikille s R.] 13*. Osoita, että ku s > r, o h s tiheä h r : aliavaruus. 14*. Kaikille x = (x k ) k Z h s, y = (y k ) k Z h s asetetaa f y : h s C, f y (x) := k Z x ky k. Osoita, että f y (h s ), ja että kuvaus h s (h s ), y f y o lieaarie isometria, vieläpä isomorfismi. Huomaa, että tässä ei ole kyse Fréchet ja Rieszi lausee isomorfiasta Hilberti avaruude ja se duaali välillä. Tässä l 2 (Z): duaali samastetaa itseesä, jolloi h s : duaali tulee samastumaa avaruude h s kassa. Vrt. harjoitukset 8/tehtävä 7, Samastaako vaiko eikö samastaa? 15*. ( Sobolevi upotuslause ) Olkoo C 2π kaikkie 2π-jaksoiste jatkuvie fuktioide f : R C muodostama Baachi avaruus, ormia f = sup{ f(t) t R}. Ku s > 1/2, olkoo S s : h s C 2π, (S s x)(t) = Z x e it, ku x = (x ) Z. Osoita, että kuvaus o hyvimääritelty ja jatkuva. 16*. Ku k N, olkoo C2π k = {f C 2π f (j) o jatkuva kaikille j = 1,..., k}, missä f (j) = f: j. derivaatta. Olkoo f k, = k j=0 f (j), missä f (0) := f. Olkoo s > k + 1/2. Osoita, että S s x C2π, k ku x h s, ja että S s : h s C2π k o jatkuva. 17*. (Vastaise varalle, ku o opiskeltu kompakteja operaattoreita; vrt. moiste, luku IX, Kompaktit operaattorit.) Olkoot λ = (λ k ) k Z l (Z) ja T : l 2 (Z) l 2 (Z), T x = (λ k x k ) k Z, ku x = (x k ) k Z l 2 (Z). Tällöi T o jatkuva lieaarikuvaus. Lisäksi T o kompakti, jos ja vai jos λ c 0 (Z), t.s. λ k 0, ku k. 18*. ( Rellichi lemma ) Olkoo s > 0. Osoita, että upotus U s,0 : h s l 2 (Z), x x, o kompakti. [Vihje: U s,0 Is 1 : l 2 (Z) l 2 (Z) o edellise tehtävä perusteella helppo osoittaa kompatiksi. Muista, että kuvaus I s : h s l 2 (Z) o isometrie isomorfismi.]

19 ... jatkuu 3 19*. Olkoo s > r. Osoita, että upotus U s,r : h s h r, x x, o kompakti. [Vihje: I r U s,r Is 1 : l 2 (Z) l 2 (Z) o helppo osoittaa kompatiksi.] Selityksiä: Rieszi ja Fisheri lausee ojalla fuktio f L 2 (0, 2π) Fourier-kertoimie joo x k = 1 1 f(t) 2π 0 e ikt dt, kuuluu avaruutee l 2 (Z), ja käätäe jos (x k ) k Z l 2 (Z), ii o olemassa f L 2 (0, 2π) s.e. x k = 1 1 f(t) 2π 0 e ikt dt: f(t) = k Z x k e ikt. Muodollisesti termeittäi derivoimalla saadaa f (t) = k Z ik x k e ikt. Siis derivaattaa vastaa kerroita i lukuuottamatta joo (k x k ) k Z. Jotta f L 2 (0, 2π), o siis oletettava, että (k x k ) k Z l 2 (Z). Ehdot f L 2 (0, 2π), f L 2 (0, 2π), voidaa Fourierkertoimille x k korvata yhdellä ehdolla (x k ) k Z π,1 <. Koska fuktio f L 2 (0, 2π) Fourier-kertoimie joo (x k ) k Z l 2 (Z), o x k 0, ku k. Olkoo f C2π. 1 Näytä osittaisitegroimalla y k := 1 2π f (t) e ikt dt, 2π 0 että y k = ik x k. Näytä edellee, että (k x k ) k Z l 2 (Z) sekä (x k ) k Z h 1. Lisäksi 1 2π f 2 1,2 = (x k ) k Z 2 π,1, missä f 2 1,2 = 2π 0 ( f 2 + f 2 ) dt. Käyttämällä Cauchy jooja päättele, että 1 2π f 2 1,2 = (x k ) k Z 2 π,1 kaikille f Hπ 1,2 = C2π: 1 täydetymä ormi 1,2 suhtee. Kuvaus D π,1 vastaa Fourier-kertoimille Sobolevi avaruude Hπ 1,2 heikkoa derivaattaa (tekijää i lukuuottamatta). Vaastaavasti, jos f o kertaa jatkuvasti derivoituva, saadaa osittaisitegroiilla 1 2π f () (t) e ikt dt = (ik) x 2π 0 k, ja (x k ) k Z h. Operaattori D π, vastaa Fourierkertoimille Sobolevi avaruude Hπ,2 heikkoa. kertaluvu derivaattaa, ku Hπ,2 = C2π: täydetymä ormi,2 suhtee, missä f 2,2 = 2π 0 j=0 f (j) 2 dt. Jaksolliste fuktioide tilateessa ei ole eri avaruuksia H 1,2 ja H 1,2 0, koska 2πjaksoiset fuktiot voidaa samastaa yksikköympyrä kehä fuktioide kassa, ja yksikköympyrä kehällä ei ole reuaa. Avaruuksie h s leikkaus h s = { ( ) (x k ) k Z (1 + k 2 ) s/2 x k k Z l (Z) kaikille s R } s R vastaa C2π-fuktioita: Jos (x ) Z s R hs, ii t Z x e it o 2π-jaksoie, C -fuktio. Yhdiste D = h s = { ( ) (x k ) k Z (1 + k 2 ) s/2 x k k Z l (Z) jolleki s R } s R vastaa 2π-jaksoiste distribuutioide joukkoa ja D π distribuutioderivaattaa. Yhtälö D π,2 x + λx = y vastaa yhtälöä f + λf = g. Myös tässä tilateessa operaattorilla D π,2 o omiaisarvoja. Mitkä? Mitkä ovat vastaavat omiaisvektorit? Aliavaruus f (=joot (x ) Z, joille x 0 vai äärellise moelle ) vastaa trigoometriste polyomie joukkoa.

20 f ( ) Fuktioaaliaalyysi Harjoitukset 11, Huom: pääsiäistauko viikolla 13 (ti ja ke ei ole luetoja eikä harjoituksia). 1. Olkoot y = (y 0, y 1, y 2,...) l 1 ja f y : c K, f((x ) =1) = =1 x y + y 0 lim x. Osoita, että f y = y 1. [Edellise kerra tehtävie ojalla kuvaus l 1 c, y f y, o isometrie isomorfismi.] 2. Olkoot 1 < p < ja p R site, että = 1, sekä g L p (0, 1). Osoita, että p p kuvaus F g : L p (0, 1) K, f 1 f(t)g(t) dt, o jatkuva lieaarikuvaus ja F 0 g g p. 3. (Jatkoa.) Osoita, että F g = g p. 4. Olkoo f (t) = si( t + 4π 2 2 ), ku t [0, ) ja N. Osoita, että {f N} o tasaisesti yhtäjatkuva. Osoita myös, että f (t) 0 pisteittäi, mutta {f N} ei ole relatiivisesti kompakti avaruudessa C b ([0, ), R). [Vihje: Viimeise väittee voi osoittaa toteamalla, että suppeemie f 0 ei ole tasaista. Mite väite seuraa tästä?] 5. Olkoot X ja Y metrisiä avaruuksia, ja f : X Y, N, joo (jatkuvia) kuvauksia s.e. joukko {f N} o yhtäjatkuva. Oletetaa, että o olemassa fuktio f : X Y s.e. joo f (x) f(x), ku, jokaiselle x X. Osoita, että f o jatkuva. 6. Olkoot X ja Y metrisiä avaruuksia, Y täydellie, ja f : X Y, N, joo (jatkuvia) kuvauksia s.e. joukko {f N} o yhtäjatkuva. Oletetaa, että o olemassa tiheä osajoukko D X ja fuktio f : D Y s.e. kaikille x D o f (x) f(x), ku. Osoita, että joo (f (x)) =1 suppeee kaikille x X. 7*. Olkoo X täydellie metrie avaruus. Tällöi o: jos X o prekompakti, ii X o kompakti. Täydeä seuraava päättely yksityiskohdat. Tehdää atiteesi: joukolla X o avoi peite (V j ) j J, jolla ei ole äärellistä osapeitettä. Prekompaktisuude ojalla o olemassa 1/2-säteie avoi pallo B 1 = B(x 1, 1/2) s.e. sitä ei voi peittää äärellise moella joukolla V j. Edellee prekompaktisuude ojalla o olemassa 1/4-säteie avoi pallo B 2 = B(x 2, 1/4) s.e. B 1 B 2 ja palloa B 2 ei voi peittää äärellise moella joukolla V j. Jatketaa iduktiolla: o olemassa 1/2 -säteie avoi pallo B = B(x, 1/2 ) s.e. B 1 B ja palloa B ei voi peittää äärellise moella joukolla V j. Tällöi joo (x ) o Cauchy joo, jote se suppeee kohti pistettä x X. Tällöi x V j jolleki j. Mutta tällöi B V j, ku o riittävä iso. Ristiriita. 8*. Olkoot X metrie avaruus ja F ormiavaruus, sekä H C b (X, F ) rajoitettu osajoukko (joukossa C b (X, F ) ormia u = sup x X u(x) ). Jokaiselle x X, olkoo x: H F, x(u) = u(x). Osoita, että kuvaus x o jatkuva ja rajoitettu, t.s. x C b (H, F ). Olkoo x 0 X. Osoita, että H o yhtäjatkuva pisteessä x 0, jos ja vai jos kuvaus X C b (H, F ), x x, o jatkuva pisteessä x 0.

21 f ( ) Fuktioaaliaalyysi Harjoitukset 12, Olkoo P kaikkie reaalikertoimiste polyomie muodostama vektoriavaruus ja ormi P:ssä. Osoita, että (P, ) ei ole Baach-avaruus. [Vihje: Baire kategorialauseesta voi olla apua.] 2. Olkoot E ja F ormiavaruuksia sekä A: E F jatkuva lieaarikuvaus site, että dim A(E) <. Osoita, että A o kompakti operaattori. 3. Olkoot λ R, f, a j, b j C := C([0, 1], R), 1 j p, ja K : [0, 1] [0, 1] R, K(t, s) = p j=1 a j(s)b j (t). Osoita, että itegraaliyhtälö ϕ(t) λ 1 K(t, s)ϕ(s) ds = f(t) o yhtäpitävä lieaarise yhtälöryhmä x j λ p 0 k=1 c j,kx k = f j, 1 j p, kassa, ku c j,k := 1 b 0 k(t)a j (t) dt ja f j := 1 f(t)a 0 j(t) dt. [Vihje: Käytä sisätuloa (f g) = 1 f(s)g(s) ds 0 avaruudessa C([0, 1]).] 4. Olkoo K : [0, 1] [0, 1] R jatkuva. Osoita, että kuvaus A: C C, (Aϕ)(t) = 1 0 K(t, s)ϕ(s) ds, o jatkuva lieaarikuvaus, ku C: ormia o f = sup x [0,1] f(x). Osoita, että o olemassa λ 0 > 0 site, että ku λ < λ 0, ii: a) kuvaus A λ : C C, ϕ λaϕ + f, o kutistava; b) jokaiselle f C yhtälöllä x λax = f o ratkaisu x C. 5. Osoita huomautukse 19.8 ehdoista kohdat (1) ja (3) keskeää yhtäpitäviksi. 6. Olkoot E ja F ormiavaruuksia sekä T : E F jatkuva lieaarikuvaus. Oletetaa, että origo o avoime yksikköpallo kuva sisäpiste, t.s. että o olemassa ϱ > 0 site, että B F (0, ϱ) T (B E (0, 1)). Osoita, että T (G) o avoi kaikille avoimille G E. [Vihje: Osoita esi B F (0, ϱ) T (B E (0, 1)) = B F (0, εϱ) T (B E (0, ε)).] 7. Merkitää C = C([0, 1], R), C 1 = välillä [0, 1] jatkuvasti derivoituvie fuktioide joukko, ja f = sup x [0,1] f(x), ku f C. Osoita, että A: (C, ) (C, ), (Af)(x) := x f(t) dt, o jatkuva lieaarikuvaus. 0 Osoita, että A: kuvajoukko o D = {g C 1 g(0) = 0}, ja että A o bijektio C D. [Vihje: Kaattaa ratkaista yhtälö Af = g f: suhtee.] 8. (Jatkoa.) Osoita, että A: C D o jatkuva lieaarie bijektio, mutta ei homeomorfismi, ku ormia kummassaki joukossa o. Miksi tämä esimerkki ei ole ristiriidassa avoime kuvaukse lausee kassa? 9*. Osoita kaikki huomatukse 19.8 ehdot keskeää yhtäpitäviksi. 10*. Olkoot X ja Y topologisia avaruuksia, f : X Y homeomorfismi sekä A X. Osoita, että a) f(a) = f(a); b) f(it(a)) = it(f(a)); c) f( A) = (f(a)). 11*. Täydeä lausee todistukse kohta: B F ( x, r) T (B E ), jos B F (x, r) T (B E ). Tässä T : E F o jatkuva lieaarikuvaus ja B E = {z E z < 1}.

22 f ( ) Fuktioaaliaalyysi Harjoitukset 13, Olkoot E vektoriavaruus ja 1 sekä 2 E: ormeja. Oletetaa, että (E, k ), k = 1, 2, ovat Baachi avaruuksia, ja että o olemassa vakio C s.e. x 1 C x 2 kaikille x E. Osoita, että o olemassa vakio D s.e. x 2 D x 1 kaikille x E. [Vihje: mite oletukse epäyhtälö liittyy idettise kuvaukse jatkuvuutee?] 2. Olkoot X ja Y ormiavaruuksia ja T : X Y lieaarikuvaus. Osoita, että seuraavavat ehdot ovat keskeää yhtäpitäviä: (i) T : kuvaaja Gr(T ) o suljettu. (ii) Jos x x ja T x y, ii y = T x. (iii) Jos x 0 ja T x y, ii y = Olkoot E, F ja G Baachi avaruuksia sekä S : E F ja T : F G lieaarikuvauksia site, että T o jatkuva ijektio ja T S o jatkuva. Osoita, että S o jatkuva. [Vihje: Esim. edellie tehtävä ja suljetu kuvaaja lause.] 4. Merkitää C = C([0, 1], R), C 1 = välillä [0, 1] jatkuvasti derivoituvie fuktioide joukko ja f = sup x [0,1] f(x), ku f C. Osoita, että lieaarikuvaukse D : C 1 C, Dx = x = x: derivaatta, kuvaaja Gr(D) o suljettu C 1 C: aliavaruus, ku tulojouko C 1 C ormia käytetää (f, g) := f + g. Osoita, että kuvaus D ei ole jatkuva (C 1, ) (C, ). Miksi tämä tulos ei ole ristiriidassa suljetu kuvaaja lausee kassa? 5. Olkoot (E, ) ormiavaruus, F E aliavaruus ja f F. Osoita, että o olemassa g E site, että g F = f ja g = f. 6. Osoita, että kuvaus T : l 1 (l ), (T x)(y) = =1 x y, ku x = (x ) l 1 ja y = (y ) l, o lieaarie isometria, mutta ei surjektio. [Vihje: Laajea lim c, (x ) lim x, lieaarimuodoksi f (l ) ; äytä, että f T (l 1 ).] 7. Todista: Lemma H.6. Olkoo E C-vektoriavaruus. a) Olkoot f : E R R-lieaarie kuvaus ja f(x) := f(x) if(ix), ku x E. Tällöi f : E C o C-lieaarie ja Re f = f. b) Jos h: E C o C-lieaarie kuvaus, f := Re h ja f määritellää kute edellisessä kohdassa, ii f = h. c) Olkoot p: E R semiormi ja f : E C C-lieaarie kuvaus. Tällöi f(x) p(x) kaikille x E Re f(x) p(x) kaikille x E. d) Jos (E, ) o ormiavaruus ja f : E C jatkuva C-lieaarikuvaus, ii f = Re f.

23 2... jatkuu 8*. Olkoot E ja F ormiavaruuksia ja T : E F lieaarikuvaus. Saotaa, että lieaarikuvaus T o suljettu, jos se kuvaaja Gr(T ) E F o suljettu. Siis esimerkiksi epäjatkuva operaattori D : C 1 C, Dx = x = x: derivaatta, o suljettu, ku avaruuksissa C 1 ja C ormia käytetää sup-ormia. Olkoo T : E l 2, T x = (kx k ) k=1, ku x = (x k) k=1. Tutki, oko T suljettu, jos a) E = {(x k ) k=1 l2 (kx k ) k=1 l2 }. b) E = f = {(x k ) k=1 l2 x k 0 vai äärellise moelle k}. [Täydeys/täsmeys: Suljettuja operaattoreita tarkastellaa usei tilateissa, joissa operaattorit eivät ole kaikkialla määriteltyjä. Olkoot E ja F ormiavaruuksia, D E aliavaruus ja T : D F lieaarikuvaus. Saotaa, että lieaarikuvaus T o suljettu, jos se kuvaaja Gr(T ) o tuloavaruude E F suljettu aliavaruus (edellie o tämä erikoistapaus, D = E). Tälle yhtäpitävää o Jos (x ) N D, x x E ja T x y F, ii x D ja y = T x. Tämä määritelmä mukaa a)-kohda operaattori o suljettu, mutta b)-kohda ei. a)-kohda operaattori o b)-kohda operaattori laajeus. Operaattori T : D F kuvaaja Gr(T ) o aia tuloavaruude E F aliavaruus, jote se sulkeuma Gr(T ) o tuloavaruude E F suljettu aliavaruus. Ei kuitekaa ole selvää, oko tämä aliavaruus joki operaattori kuvaaja. Saotaa, että T o sulkeutuva, jos o olemassa operaattori T : D F site, että Gr(T ) = Gr(T ). Tällöi T o suljettu, D D ja T D = T, jote T o T : suljettu laajeus. Operaattoria T kutsutaa T : sulkeumaksi. Operaattori T sulkeutuvuudelle yhtäpitävää o Jos (x ) N D, x 0 ja T x y F, ii y = 0. Edellä b)-kohda operaattori o sulkeutuva, ja se sulkeuma o a)-kohda operaattori.] Toukokuu tetit ke ja ke (muistakaa ilmoittautua).

24 f ( ) Fuktioaaliaalyysi Harjoitukset 14, Olkoot 1 < p < ja x = (x k ) k=1 lp kiiteä, x 0. Määritellää joo (y ) =1 l p asettamalla y 1 = (0, x 1, x 2, x 3,...) y 2 = (0, 0, x 1, x 2, x 3,...) y 3 = (0, 0, 0, x 1, x 2, x 3,...). Osoita, että joo (y ) =1 suppeee heikosti kohti vektoria y = 0 avaruudessa l p. Osoita myös, että y 0. [Vihje: (l p ) = l p.] 2. Olkoo (E, ( )) sisätuloavaruus. Osoita, että joolle (x ) =1 E seuraavat seuraavat ehdot ovat keskeää yhtäpitäviä: (i) x x, ku ; (ii) x x ja x x, ku. 3. Hilberti avaruude H operaattori T : H H adjugaatti o operaattori T : H H, jolle (T x y) = (x T y) kaikille x, y H. (Ks. moiste, määritelmä ) Osoita, että operaattori T adjugaati ja duaali välie yhteys o T t f y = f T y kaikille y H, ku y f y o Fréchet ja Rieszi esityslausee isomorfismi H H, f y (x) = (x y). 4. Olkoo l kaikkie rajoitettuje lukujooje (x k ) k=1 muodostama Baachi avaruus, ormia x = sup k N x k. Olkoo δ : l K, δ (x) = x, ku x = (x k ) k=1 ja N. Osoita, että jokaie δ o jatkuva lieaarifuktioaali, t.s. δ (l ), ja että δ = 1. Oko joolla (δ ) =1 (l ) operaattoriormi suhtee suppeevaa osajooa? Oko joolla (δ ) =1 pisteittäi suppeevaa osajooa? 5. Olkoo L: l 2 l 2, L(x 1, x 2, x 3,...) = (x 2, x 3,...). Osoita, että L: spektri σ o suljettu yksikköympyrä D = {λ C λ 1} osoittamalla, että a) σ D ja b) jokaie λ C, jolle λ < 1, o L: omiaisarvo. Osoita edellee, että mikää λ C, jolle λ = 1, ei ole omiaisarvo. 6. Olkoo R: l 2 l 2, R(x 1, x 2, x 3,...) = (0, x 1, x 2, x 3,...). Osoita, että R: spektri o suljettu yksikköympyrä D. Osoita edellee, että operaattorilla R ei ole laikaa omiaisarvoja. [Vihje: O helppoa osoittaa, että R = L = L: adjugaatti.] 7. Olkoo L: l l, L(x 1, x 2, x 3,...) = (x 2, x 3,...). Osoita, että että jokaie λ D o L: omiaisarvo ja että L: spektri o yksikköympyrä D.

25 2... jatkuu 8*. Olkoot H kompleksie Hilberti avaruus ja S B(H, H). Osoita, että (i) (S λi) = S λi; (ii) S λi o käätyvä, jos ja vai jos S λi o käätyvä; (iii) σ(s ) = {µ C µ σ(s)}. Toukokuu tetit ke ja ke (muistakaa ilmoittautua).

26 f ( ) Fuktioaaliaalyysi Harjoitukset 15, Ei harjoituksia; tetti!

27 f ( ) Fuktioaaliaalyysi Sekalaisia harjoituksia Jatkuu... Getleme: there s lots of room left i Hilbert space. S. MacLae 1. Olkoot (X, d) metrie avaruus ja (x k ) k=1 Cauchy joo. Osoita, että jos joolla (x k ) k=1 o suppeeva osajoo, ii joo (x k) k=1 suppeee. 2. Kompleksitaso C voidaa tulkita joko yksiulotteiseksi kompleksiseksi vektoriavaruudeksi tai kaksiulotteiseksi reaalisiseksi vektoriavaruudeksi R 2, x + iy (x, y). Kompleksisea vektoriavaruua C voidaa varustaa tavallisella sisätulollaa (z w) C = zw. Osoita, että reaalisea vektoriavaruutea C: tavalliselle sisätulolle ((x, y) (u, v)) R = xu + yv o ((x, y) (u, v)) R = Re((x + iy)(u + iv)) = Re(x + iy u + iv) C. Yleisemmi: Jokaie kompleksie vektoriavaruus V voidaa tulkita reaalisiseksi vektoriavaruudeksi V R site, että V R :ssä o sallittua vai reaaliluvuilla kertomie (ku V :ssä aluperi vektoreide kertomisee saa käyttää kompleksilukuja). Olkoo ( ) kompleksie sisätulo V :ssä. Osoita, että (x y) R := Re(x y) o reaalie sisätulo V R :ssä. 3. Olkoot (X, d) metrie avaruus ja F b (X, R) kaikkie rajoitettuje fuktioide f : X R muodostama vektoriavaruuus sekä C b (X, R) = {f F b (X, R) f o jatkuva}. Asetetaa f = sup{ f(x) x X}, ku f F b (X, R). Olkoo p X kiiteä. Ku s X, olkoo f s : X R, f s (x) = d(x, s) d(x, p). Osoita, että kaikille s X o f s C b (X, R), ja kaikille s, t X o f s f t = d(s, t), t.s. kuvaus s f s, X C b (X, R), o metrise avaruude X isometrie upotus Baachi avaruutee C b (X, R). 4. Olkoot E sisätuloavaruus ja (x ) =1 E joo, jolla o seuraavat omiaisuudet: (i) x x, ku, ja (ii) kaikille y E o voimassa (x y) (x y), ku. Osoita, että x x, ku. [Vihje: Suuikassäätö; osoita aluksi, että x + x 2 4 x 2.] 5. Osoita, että Hilberti avaruudessa ehdosta kaikille y E o voimassa (x y) (x y), ku ei välttämättä seuraa, että x x, ku. [Vihje: Vastaesimerkki löytyy esim. Hilberti avaruudesta l 2.]

28 2... jatkuu 6. Hilberti avaruude H operaattori T : H H adjugaatti o operaattori T : H H, jolle (T x y) = (x T y) kaikille x, y H. (Ks. moiste, määritelmä ) Määrää Hilberti avaruude l 2 operaattoreide L ja R adjugaatit, ku L(x 1, x 2, x 3,...) = (x 2, x 3,...), R(x 1, x 2, x 3,...) = (0, x 1, x 2, x 3,...). 7. Olkoo L: c 0 c 0, L(x 1, x 2, x 3,...) = (x 2, x 3,...). Määrää L: traspoosi kuvauksea l 1 l 1. Oikeasti L t : c 0 c 0, jote tässä o tarkoitus määrätä kuvaus T 1 L t T : l 1 l 1, missä T : l 1 c 0 o duaali c 0 jooavaruutee l 1 samastava isometria. 8. (Jatkoa.) Tee vastaava kuvaukselle R: c 0 c 0, R(x 1, x 2, x 3,...) = (0, x 1, x 2, x 3,...): määrää T 1 R t T : l 1 l (Jatkoa.) Tee vastaava kuvauksille L, R: c c, L(x 1, x 2, x 3,...) = (x 2, x 3,...), R(x 1, x 2, x 3,...) = (0, x 1, x 2, x 3,...): määrää T 1 L t T, T 1 R t T : l 1 l 1, missä T : l 1 c o duaali c jooavaruutee l 1 samastava isometria. Muista, että tämä samastus ei (tietekää) ole sama kui samastus l 1 c Olkoo lieaarikuvaukse T : R R m matriisi stadardikatoje (e j ) j suhtee (t ij ) i,j. Määrää T : duaali T t matriisi katoje (e j ) j duaalikatoje (e k ) k suhtee. R : kaa (e j ) j duaalikaa määrittelevät ehdot e k (R ) ja e k(e j ) = δ k,j ku 1 k, j. [Vihje: Duaalikaa alkioilla o omiaisuus e k (x) = x k, ku x = j=1 x je j. Kaattaa muistaa lieaarikuvausta ja se matriisia yhdistävä perusomiaisuus.] 11. Olkoot E ormiavaruus, x E ja (x k ) k=1 E (ormi-)rajoitettu joo s.e. f(x k ) f(x) kaikille f D, missä D E o tiheä osajoukko. Osoita, että x k x. 12. Olkoot E ormiavaruus ja (x k ) k=1 E joo, joka suppeee heikosti kohti vektoria x E. Osoita, että joo (x k ) k=1 o rajoitettu. 13. Olkoot E ormiavaruus ja (x k ) k=1 heikkoja raja-arvoja o vai yksi. E heikosti suppeeva joo. Osoita, että 14. Olkoot H reaalie Hilberti avaruus ja T : H H, N, joo jatkuvia operaattoreita. Oletetaa, että kaikille x, y H joolla ((T x y)) =1 R o rajaarvo. Osoita, että o olemassa jatkuva operaattori T : H H site, että (T x y) (T x y) kaikille x, y H, ku. [Vihje: (Baach + Steihaus) 2 ja harjoitus 7/tehtävä 5.] 15. Olkoot E Baachi avaruus, F ormiavaruus ja H B(E, F ) perhe jatkuvia operaattoreita. Oletetaa, että kaikille f F ja kaikille x E o voimassa sup T H f(t x) <. Osoita, että sup T H T <.

29 ... jatkuu Olkoo (x ) =1 aettu reaalilukujoo. Osoita, että seuraavat ehdot ovat keskeää yhtäpitävät: (i) Sarja =1 x suppeee itseisesti. (ii) Sarja =1 x y suppeee kaikille ollaa kohti suppeeville reaalilukujooille (y ) =1. [Vihje: Implikaatio (ii) = (i) voi todistaa Baachi ja Steihausi lausee avulla tai Aalyysi 1: tiedoilla&taidoilla.] 17. Olkoot C := C([0, 1], R) ja K : [0, 1] [0, 1] R jatkuva fuktio sekä T : C C, (T f)(t) = 1 K(t, s)f(s) ds. Avaruus C varustetaa sup-ormilla f 0 = sup{ f(x) x [0, 1]}. Osoita, että o olemassa joo T : C C, N, jatkuvia operaattoreita site, että T : kuvajoukko o äärellisulotteie ja T T avaruudessa B(C, C). [Vihje: Stoe ja Weierstrassi approksimoitilausee ojalla itegraalioperaattori T ytimiä K voi approksimoida tasaisesti fuktioilla K, jotka ovat muotoa K (t, s) = j=1 a j(s)b j (t), missä a j, b j C.] 18. Olkoot C := C([0, 1], C) ja K : [0, 1] [0, 1] C jatkuva fuktio sekä T : C C, (T f)(t) = 1 K(t, s)f(s) ds (saotaa, että T o itegraalioperaattori, joka ydi o 0 K). Avaruus C varustetaa sisätulolla (f g) = 1 f(x)g(x) dx. 0 Osoita, että T :llä o adjugaatti, itegraalioperaattori T : C C, joka ydi o K : [0, 1] [0, 1] C site, että K (t, s) = K(s, t). Huomaa, että C ei ole Hilberti avaruus, jote operaattori T adjugaati olemassaolo ei ole itsestää selvää. Adjugaati T : C C määrää sama ehto kui Hilberti avaruude tapauksessa: (T f g) = (f T g) kaikille f, g C. 19. Olkoot λ = (λ ) =1 rajoitettu lukujoo, H separoituva Hilberti avaruus ja (e ) =1 se Hilberti kata. Osoita, että operaattori T : H H, T x = =1 λ (x e )e, o kompakti, jos ja vai jos λ c 0, t.s. λ 0, ku. Compact sets ad operators are healthy, but may call i sick. 20. Olkoot H 1 ja H 2 Hilberti avaruuksia ja A: H 1 H 2 jatkuva lieaarie surjektio. Osoita, että A K : K H 2 o isomorfismi, ku K := ker A. Osoita lisäksi, että o olemassa vakio c > 0 s.e. Ax c d(x, K) kaikille x H 1, ku d(x, K) = pistee x etäisyys joukosta K, t.s. d(x, K) = if{ x k k K}. [Vihje: Ortogoaalie suora summa H 1 = K K saattaa auttaa.] 21. Olkoot H Hilberti avaruus ja A: H H jatkuva lieaarikuvaus s.e. se kuvajoukko A(H) o suljettu. Osoita, että o olemassa vakio c > 0 s.e. Ax c d(x, K) kaikille x H, ku K := ker A. 22. Olkoot E ja F Baachi avaruuksia ja T : E F jatkuva lieaarikuvaus. Osoita, että seuraavavat ehdot ovat keskeää yhtäpitäviä: (i) O olemassa vakio C > 0 s.e. T x C x kaikille x E. (ii) ker T = {0} ja Im T o suljettu.

30 4... jatkuu 23. Olkoot E ja F Baachi avaruuksia ja T : E F jatkuva lieaarikuvaus sekä K = ker T. Osoita, että seuraavavat ehdot ovat keskeää yhtäpitäviä: (i) O olemassa vakio C > 0 s.e. T x C d(x, K) kaikille x E. (ii) Im T o suljettu. [Vihje: Olkoot Ẽ = E/K ja T : Ẽ F, T [x] = T x, ku [x] = x + K Ẽ = E/K. Osoita, että T o jatkuva lieaarie ijektio ja Im T = Im T. Muista myös, että tekijäavaruudessa E/K o [x] = d(x, K).] 24. Olkoot E Baachi avaruus ja F, G E suljettuja aliavaruuksia site, että F G = {0} ja F + G = E (s.o. algebrallie summa F + G = E o suora). Osoita, että projektio P F : E E, P F (f + g) = f, ku f F ja g G, o jatkuva lieaarikuvaus. [Vihje: Varusta F G ormilla (f, g) = f + g. Osoita, että kuvaus T : F G F + G = E, (f, g) f + g, o jatkuva lieaarie bijektio.] 25. Olkoot E Baachi avaruus ja F, G E suljettuja aliavaruuksia s.e. F + G = {f + g f F, g G} o suljettu. Osoita, että o olemassa vakio C > 0 s.e. jokaiselle e F + G o olemassa f F ja g G site, että e = f + g ja f C e, g C e. [Vihje: Varusta F G ormilla (f, g) = f + g. Osoita, että kuvaus T : F G F + G, (f, g) f + g, o jatkuva lieaarie surjektio.] 26. Olkoot E ja F Baachi avaruuksia ja T : E F, N, jatkuvia lieaarikuvauksia s.e. operaattoriormie joo ( T ) =1 o rajoitettu. Oletetaa, että o olemassa tiheä osajoukko D E s.e. kaikille x D joo (T x) =1 suppeee. Osoita, että joo (T x) =1 suppeee kaikille x E. 27. Olkoot H Hilberti avaruus ja K H suljettu aliavaruus. Osoita, että kaoise projektio π : H H/K, x [x] = x + K, rajoittuma π K o isometrie isomorfismi K H/K. 28. Olkoot E Baachi avaruus ja F, G E suljettuja aliavaruuksia site, että F G = {0} ja F + G = E (s.o. algebrallie summa F + G = E o suora). Osoita, että kaoise projektio π : E E/F, x [x] = x + F, rajoittuma π G o lieaarie homeomorfismi G E/F. 29. Olkoot C = C([0, 1], C) sekä T : C C, (T f)(t) = t f(t), ku f C ja t [0, 1]. Osoita, että T : spektri Sp(T ) = [0, 1] R, ja että T :llä ei ole laikaa omiaisarvoja. 30. Olkoot L 2 = L 2 ([0, 1], C) sekä T : L 2 L 2, (T f)(t) = t f(t), ku f L 2 ja t [0, 1]. Osoita, että T : spektri Sp(T ) = [0, 1] R, ja että T :llä ei ole laikaa omiaisarvoja. 31. Merkitää C = C([0, 1], R), C 1 = välillä [0, 1] jatkuvasti derivoituvie fuktioide joukko, ja f = sup x [0,1] f(x), ku f C. Olkoo A: (C, ) (C, ), (Af)(x) := x f(t) dt. 0 Osoita, että A: spektri Sp(A) = {0}, ja että A:lla ei ole laikaa omiaisarvoja. [Vihje: Kaattaa tutkia yhtälö Af λf = g ratkaisemista f: suhtee tapauksissa λ = 0 ja λ 0.]