= {x E x 1} {z K. z x } K = K E. B K (0, x )
|
|
- Timo Rantanen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 23. HEIKOT TOPOLOGIAT 201 Seuraus Olkoo E ormiavaruus ja E se duaali. Tällöi E o vektoriavaruude K E vektorialiavaruus. Lisäksi heikko topologia σ(e,e ) tekee siitä tulotopologialla varustetu topologise avaruude K E topologise aliavaruude. Todistus. Tämä voi havaita seuraukseksi edellisestä lauseesta, koska E E ja heikko topologia σ(e,e )ow -topologia σ(e,e ) idusoima aliavaruustopologia. Siirrymme todistamaa Alaoglu 119 kuuluisaa lausetta vuodelta 1940: Lause (Alaoglu). Olkoo E ormiavaruus ja E se duaali. Tällöi E : suljettu yksikköpallo B E = {x E x 1} o w -topologiassa σ(e,e) kompakti joukko. Todistus. Totesimme edellä, että w -topologia o K E : tulotopologia idusoima. Selvästi B E x E B K (0, x ) = x E Tihoovi lausee mukaa tuloavaruus B K (0, x ) x E {z K z x } K = K E. o kompakti, jote riittää äyttää, että B E o K E : tulotopologiassa suljettu. Tämä oki sitte vai verifioiti, joka ei vaadi eikä tarjoa uusia ideoita: Olkoo f K E yksikköpallo B E sulkeumassa. Tällöi f o lieaarie, eli kaikille x, y E ja λ, µ K o f(λx + µy) =λf(x)+µf(y), sillä tulotopologia määritelmä mukaa kaikilla ε>0 o olemassa f ε B E, siis lieaarie f ε, jolle pisteissä x, y ja u = λx+µy pätee f(u) f ε (u) = p u (f f ε ) < ε, jolloi kolmioepäyhtälöä tavallisee tapaa käyttäe saadaa f(λx + µy) (λf(x)+µf(y)) f ε (λx + µy) (λf ε (x)+µf ε (y)) +3ε =3ε. Samalla tavalla todetaa, että x E : f(x) x, eli f E 1. Alaoglu lause o perustulos moderissa aalyysissä. Harvemmi käytetty o se hämmästyttävä korollaari: x E 119 Leoidas (Leo) Alaoglu
2 f ( ) 202 Lause Jokaie Baachi avaruus sisältyy johoki jatkuvie fuktioide avaruutee (C(X, K), ), missä X o topologise tuloavaruude K I kompakti osajoukko. Todistus. Olkoo E Baachi avaruus. Se upotus biduaaliisa E E o lieaarie isometria, samoi kuvaus J : E C(B E, K), joka kuvaa lieaarikuvaukse x : E K rajoittumaksee x : B E K. Jatkuvie fuktioide avaruus C(B E, K) o tavallisee tapaa varustettu sup-ormilla. Väite o melkei todistettu. Puutteea o vai B E : epäkompaktisuus. Tämä asia tulee Alaoglu lausee mukaa kutoo vaihtamalla siihe topologiaksi w -topologia. Nyt o kyllä lopuksi todettava, että E: alkiot ovat jatkuvia myös w -mielessä. Tämä jää lukija tehtäväksi. Tällä lauseella o muute vielä jatko osa: Lause Ei ole olemassa muita metrisiä avaruuksia kui Baach-avaruuksie metriset aliavaruudet. Todistus. Olkoo (X, d) metrie avaruus. Varustetaa kaikkie rajoitettuje reaaliarvoiste kuvauste avaruus F b (X, R) sup-ormilla, jolloi se o Baachi avaruus. Valitaa joki kiiteä a 0 X ja määritellää kaikilla a X kuvaus f a F b (X, R) asettamalla f a (x) =d(x, a) d(x, a 0 ). Kuvaus a f a o isometria X F b (X, R). 24. Refleksiiviset ormiavaruudet Refleksiivisyys ja heikot topologiat. Määritelmä Olkoo E ormiavaruus. Upotuskuvaus eli evaluaatiokuvaus i : E E : x i(x), missä (i(x))(f) = f(x), o isometrie lieaarikuvaus. Siksi o tapaa samastaa x ja i(x) ja siis tulkita E biduaaliisa aliavaruudeksi: E E. Normiavaruus E o refleksiivie, mikäli upotuskuvaus i : E E o surjektio, siis isomorfismi. Refleksiivisyys merkitsee, että E = E. Erityisesti refleksiivie avaruus o täydellie. Huomautus Jos E o refleksiivie, ii (1) Myös E =(E ) o refleksiivie. (2) E : w-topologia ja w -topologia yhtyvät. Kumpiki o tällöi σ(e,e). (3) Erityisesti E : suljettu yksikköpallo o tällöi Alaoglu lausee ojalla heikosti, eli w-kompakti. O olemassa sekä refleksiivisiä ettäepärefleksiivisiä Baachi avaruuksia. Esimerkiksi kaikki Hilbert-avaruudet ja kaikki äärellisulotteiset ormiavaruudet ovat refleksiivisiä. Itse asiassa myös melkei kaikki L p (A)-avaruudet ovat refleksiivisiä, koska L p (A) = L q (A), ku p ja q / {1, } ovat duaaliekspoetit. Sesijaa esimerkiksi avaruus C([0, 1], R) ei ole refleksiivie. Seuraava lause vaatii perusteluksee Hahi ja Baachi lausee käyttöä.
3 24. REFLEKSIIVISET NORMIAVARUUDET 203 Lause Refleksiivise avaruude suljettu aliavaruus o refleksiivie. Todistus. Olkoo E refleksiivie ja L E se suljettu aliavaruus. Tiedetää, että upotus i E : E E o surjektio ja o todistettava, että upotus i L : L L o surjektio. Tarkastelemme lisäksi ikluusiokuvausta j : L E, se traspoosia j t : E L ja vielä tämä traspoosia j tt : L E. Kuvaukset muodostavat kaavio j L E i L L j i E E ja huomaamme, että kaikilla x E yhdistetty kuvaus x j o yksikertaisesti vai x : rajoittuma aliavaruutee L. Siksi x j tt (y ) = x y j t = j t (x ) y = x j y = x L y, jote j tt o kuvaus L E : y [ ] x y (x ). L Olkoo y L. Koska E o refleksiivie, o samastukse mielessä E = E, jote y E = E. Tarkemmi saoe o olemassa x E site, että i E (x) = j(y ). Tämä tarkoittaa, että kaikille x E o x x = x j tt (y ) = x L y. Tästä seuraa Hahi ja Baachi lausee ojalla, että ( ) x L, sillä muute olisi x E L = E L, jolloi olisi olemassa aiaki yksi x E site, että x x =1 x =0, L ja jolloi 1= x x = x j tt (y ) = x L y =0. Näi löydetylle x L pätee toivotulla tavalla i L (x) =y, eli y i L (x) = y y y L sillä toistamisee Hahi ja Baachi lausee mukaa jokaie y L o joki x E rajoittuma y = x. L
4 f ( ) 204 Seuraus Baachi avaruus o refleksiivie aia ja vai, ku se duaali o refleksiivie. Todistus. Tiedämme jo, että refleksiivisyys periytyy duaaliavaruudelle E. Jos taas oletamme, että E o refleksiivie, ii se duaali E o refleksiivie ja silloi o lausee 24.3 mukaa myös suljettu aliavaruus E E refleksiivie. Heikko topologia tarjoaa toisiaa mahdollisuude tehdä biduaalia koskevia johtopäätöksiä, sillä heikossa mielessä avaruus o biduaalisa tiheä osajoukko, vaikka ei olisikaa refleksiivie. Tähä asiaa liittyy seuraava syvällie lause. Lause 24.5(w -tiheyslause). Baachi avaruude suljettu yksikköpallo o topologia σ(e,e ) eli w - mielessä tiheä biduaali E suljetussa yksikköpallossa. Todistuksesta. Esitämme tässä todistukse 120, joka o idealtaa suoraviivaie, mutta käyttää kolmea topologiste vektoriavaruuksie teoriaa kuuluvaa apulausetta, jotka todistamme vasta tämä kirjasarja kolmaessa osassa. 121 Välttääksemme kaksikertaisia ylleviivauksia merkitsemme todistuksessa Baachi avaruude E suljettua yksikköpalloa B E lyhyesti B ja biduaali suljettua yksikköpalloa B E merkillä B. Näi merkite väitämme, että B w = B. Koska B o Alaoglu lausee mukaa peräti w -kompakti o se myös w -suljettu ja B w B. Päivastaise ikluusio todistamiseksi tehdää atiteesi ja valitaa alkio x 0 B B w. Todistus perustuu siihe, että asetelma o oleaisesti Baachi erottelulausee tilae. Tavoitteea o erottaa suljetulla hypertasolla toisistaa suljettu, koveksi joukko B = B w ja siihe kuulumato piste x 0. Baachi lausee avulla erotettavista kovekseista joukoista toise pitää olla avoi, ja tähä päästääki tilateessamme korvaamalla piste x 0 joukkoa B leikkaamattomalla koveksilla ympäristöllää A. Ogelmallista o, että tilateessamme kaikki tapahtuu w -topologiassa. Oko itsestää selvää, että yksikköpallo sulkeuma B w o koveksi? Oko selvää, että w -jatkuvat lieaarimuodot ovat jatkuvia ormitopologiassa, ja ee kaikkea: päteekö Baachi erottelulause w -topologia mielessä? Vastaukset äihi kysymyksii ovat myöteisiä, mutta perustelut o mukavita esittää lokaalikoveksie topologiste vektoriavaruuksie yleise teoria yhteydessä 122. Luettelemme vastaukset kolmea apulauseea ja käytämme iitä sitte päätodistukse viimeistelyy: 120 [Be]. 121 O olemassa suora todistus, joka ei ei vaadi esitietoja, mutta o pitempi. [Hi-S]. 122 Möhemmi ilmestyvä Suoraviivaista ajattelua osa III. Ks. toistaiseksi esim. [W] luku VIII.
5 24. REFLEKSIIVISET NORMIAVARUUDET 205 Apulause 24.5.(A-1). Topologise vektoriavaruude (E,w(E,E)) duaali o E, toisi saoe aioastaa lieaarimuodot f E E ovat jatkuvia duaali w -topologiassa. Selitys. Jatkuvuus o heppo tarkastaa (Vrt ja harjoitustehtävät), jote w -duaali sisältää jouko E. Että siihe ei muuta kuulukaa o erikoistapaus lauseesta, joka mukaa yleesäki separoituva duaalipari (E,F) avaruutee E tuottamassa lokaalikoveksissa topologiassa σ(e,f)oe: duaali tasa F. Asiaa palataa huomautuste yhteydessä. Apulause 24.5.(A-2). Koveksi jouko w -sulkeuma o koveksi itse asiassa koveksi jouko sulkeuma o aia koveksi lokaalikoveksissa topologiassa. Selitys. Normiavaruusteoriassa esittämämme todistus koveksiude periytymisestä sulkeumaa käytti jooja, jote se ei kelpaa, ellei w -topologia ole metrisoituva. Yleisemmi toimiva todistusidea o kuiteki esitetty luvu VI huomautuksissa. Se sovittamie tähä tilateesee jää lukijalle. Apulause 24.5.(A-3). Baachi erottelulause pätee w -topologiassa itse asiassa se o voimassa missä tahasa lokaalikoveksissa topologiassa. Selitys. Luvussa 21 esittämämme todistukset Mazuri ja Baachi lauseille yleistyvät lokaalikoveksii avaruutee. Varsiaie todistus o yt lyhyt: Re(f)< α w* B B Re(f)= α A x** o Re(f)> α Kuva 66. Baachi erottelulausee käyttö. Leikkaamalla sopivat w -topologia semipallot toisillaa tuotetaa pisteelle x 0 joukkoa B = B w leikkaamato avoi, koveksi ympäristö A. Koska w -suljettu joukko B o apulausee (A-2) ojalla koveksi, o apulausee (A-3) mukaa olemassa w -jatkuva lieaarimuoto f : E K ja reaaliluku α site, että Re f(x) >α x A mutta Re f(x) α x B. Apulausee (A-1) mukaa f kuuluu avaruutee E, toisi saoe o olemassa x E site, että Re x 0 x >α ja Re x x α x B w.
6 f ( ) 206 Nytpä sillä tapauksessa K = C o x E α, Re x x α x B w = Re e iϕ x x α x B, ϕ [0, 2π] = x x α x B, ja tapauksessa K = R sama johtopäätös saadaa vielä vähä helpommi. O saatu ristiriita, sillä E: ormi o E : ormi rajoittuma, jote jos olisi x E α, ii saisimme α<re x 0 x x 0 x x E x 0 E α x 0 E = α. Yhdistämällä tiheyslause Alaoglu lauseesee saadaa seuraava helposti muistettava karakterisoiti refleksiivisyydelle. Lause Baachi avaruus E o refleksiivie aia ja vai, ku se suljettu yksikköpallo B = B E o heikosti kompakti. Todistus. Jo huomautuksessa totesimme, että ehto o Alaoglu lausee ojalla varmasti välttämätö, oha B E = B E kompakti topologiassa σ(e,e )=σ(e,e ). Oletetaa seuraavaksi, että B E o heikosti kompakti, w-kompakti eli avaruude (E,σ(E,E )) kompakti joukko. Koska (E,σ(E,E )) o avaruude (E,σ(E,E )) topologie aliavaruus, o B E siis myös E : w -kompakti joukko, erityisesti w -suljettu. Toisaalta todistimme edelliseä lauseea, että B E : w -sulkeuma o E : yksikköpallo B E. Siis B E = B E, jote E = E. Lähes sama iformaatio o seuraavassa lauseessa. Lause Baachi avaruus E o refleksiivie aia ja vai, ku w-topologia ja w -topologia yhtyvät se duaalissa E. Todistus. Ehto o varmasti välttämätö. Jos topologiat toisaalta yhtyvät, E : yksikköpallo o w-kompakti, koska se Alaoglu lausee mukaa joka tapauksessa o w -kompakti. E o siis edellise lausee mukaisesti refleksiivie, mikä takaa E: refleksiivisyyde lausee ojalla. Huomautus (Eberleii lause). Avaruus o jookompakti, mikäli se jokaisella joolla o suppeeva osajoo. Metrisoitumattomassa topologiassa, jollaie heikko topologia yleesä o, ei kompaktisuus ole aia yhtäpitävää jookompaktisuude kassa. Pätee kuiteki Eberleii lause 123, joka mukaa Baachi avaruus o refleksiivie aia ja vai, ku se suljettu yksikköpallo o w-jookompakti. Emme puutu todistuksee. 123 William Frederick Eberlei USA?
7 24. REFLEKSIIVISET NORMIAVARUUDET Refleksiivisyys ja tasaie koveksius. Määritelmä Avaruude E ormi o aidosti koveksi, mikäli se toteuttaa seuraavat keskeää yhtäpitävät ehdot: (1) (2) (3) (4) (5) x + y < 1, ku x y, x =1ja y =1. 2 x + y = x + y = x ja y ovat R-lieaarisesti riippuvaiset. x + y = x + y = x ja y ovat K-lieaarisesti riippuvaiset. Yksikköpallo pita S E = {x x =1} ei sisällä yhtää jaaa. Mikää pallo pita {x x x 0 = r} ei sisällä yhtää jaaa. Sama ilmaistaa joskus saomalla, että ormiavaruus E o aidosti koveksi. Oikeastaa johdomukaisita olisi saoa, että yksikköpallo o aidosti koveksi. x O x+y 2 y Kuva 67. Aidosti koveksi pallo. Esimerkki Normiavaruus o aidosti koveksi aia ja vai, ku se jokaie kaksiulotteie aliavaruus o sitä. Koska tieteki R 2 o aidosti koveksi euklidisella ormilla, ii jokaie sisätuloavaruus, erityisesti Hilbert-avaruus o aidosti koveksi. Itse asiassa R 2 o aidosti koveksi yleesäki p -ormilla, ku 1 <p< mutta ei ormeilla 1 eikä. Seuraava ehto o hiema aitoa koveksiutta voimakkaampi: Määritelmä Avaruude E ormi o tasaisesti koveksi, mikäli se toteuttaa seuraavat keskeää yhtäpitävät ehdot: (1) ε >0 δ>0: x + y 2 1 δ, { x y ε, ku x =1ja y =1. (2) (3) ε >0 R<2: x + y R, lim (x y )=0, ku { x y ε, ku x 1ja y 1. x lim +y 2 =1, x =1 y =1.
8 f ( ) 208 (4) lim (x y )=0, ku x lim +y 2 =1, lim x =1ja lim y =1. x 1 >ε >δ <R/2 1 y Kuva 68. Tasaisesti koveksi yksikköpallo. Kute aido koveksiude tapauksessa saotaa ytki usei, että itse avaruus tai se yksikköpallo o tasaisesti koveksi. Perustelu yhtäpitävyydelle. Todistetaa malliksi ketju (1) = (2) = (3) = (4) = (1) hakali väite, imittäi (3) = (4). Heti aluksi o selvää, että oletuksessa esiityvä lim o vai äeäie; itse asiassa x 1ja y 1. Jos imittäi esimerkiksi joo ( x ) N ei suppeisi, ii olisi olemassa osajoo, jolle x k ρ<1. Oletuksista ja kolmioepäyhtälöstä saataisii ristiriita: 2= lim x + y lim x k + lim y k ρ +1< 2. Voimme äi olle olettaa, että mikää x tai y ei ole 0, sillä sitä ei satu aiakaa suurilla. Normitamme joot yksikkövektoreiksi ja siirrymme tarkastelemaa jooja ( ) x x N ja ( ) y. y N Näille pätevät kohda (3) oletukset, eteki x x + y y 2, koska x 1, y 1ja x + y 2. Siispä myös x x y y 0, mistä väite seuraaki, koska x 1ja y 1.
9 24. REFLEKSIIVISET NORMIAVARUUDET 209 Lause Jokaie tasaisesti koveksi ormi o aidosti koveksi. Äärellisulotteisessa avaruudessa tasaie koveksius ja aito koveksius ovat yhtäpitäviä. Todistus. Vai jälkimmäie väite kaipaa todistukse. Seki o helppo, ku huomaa, että kuvaus x + y S E S E R + :(x, y) 2 o jatkuva ja saavuttaa siis maksimisa kompakti avaruude S E S E suljetussa, siis kompaktissa joukossa {(x, y) S E S E x y ε}, jossa oletukse mukaa kaikki arvot ovat aidosti ykköstä pieempiä. Seuraava lause yleistää Hilberti avaruuksie projektiolausee tilateesee, jossa avaruudesta oletetaa aioastaa tasaie koveksius ja suljettu aliavaruus o korvattu millä tahasa suljetulla koveksilla osajoukolla. Lause (Koveksi projektiolause). (a) Olkoo E aidosti koveksi ormiavaruus, W E suljettu ja koveksi ja a E. Tällöi joukossa W o korkeitaa yksi piste, joka etäisyys pisteestä a o piei. (b) Jos avaruus E o suorastaa tasaisesti koveksi ja lisäksi täydellie, ii koveksissa joukossa W todella o yksi piste, joka etäisyys pisteestä a o piei. W x mi a Kuva 69. Koveksi projektiolause. Todistus. Ei merkitse rajoitusta olettaa, että a = 0. Jos olisi kaksi pistettä, x ja y W, joissa ormi o piei W :ssä, siis sama, ii iitä yhdistävällä jaalla saataisii aido koveksiude ojalla vielä pieempiä ormi arvoja, vaikka jaa sisältyy joukkoo W. Olkoo E tasaisesti koveksi ja täydellie. Merkitää I = if x. x W Jos I = 0, ii origo kelpaa etsityksi pisteeksi, koska W o suljettu. Jos taas I > 0, ii voidaa pieellä kertolaskulla palautua tilateesee, jossa I = 1. Nyt tarkastellaa sellaista jooa W : pisteitä, (x ) N,että x I =1.
10 f ( ) 210 Todistamme, että tällaie joo o oletetu tasaise koveksiude takia välttämättä Cauchy-joo. Jos vastoi Cauchy ehtoa olisi olemassa ε>0 site, että o olemassa mielivaltaise suuria m ja, joilla x x m >ε, ii valittaisii joot k ja m k site, että x k x mk >ε, jolloi (x k x mk ) 0jasiismääritelmä ehto (4) takaisi, että x k + x mk 2 1. Toisaalta W o koveksi, jote jokaie 1 2 (x + x m ) W ja siis kuiteki if x =1 x + x m x W 2 x + x m 2 1, ku m ja. Joo o siis Cauchy ja suppeee äi olle Baachi avaruudessa E. Se rajapiste kuuluu suljettuu joukkoo W ja toteuttaa tietysti ehdo x = 1. Edellie todistus ataa käyttökelpoise sivutuottee. Seuraus Tasaisesti koveksissa ormiavaruudessa voidaa joo x todistaa Cauchy-jooksi tarkastamalla molempie seuraavie ehtoje voimassaolo: (a) (b) lim x 1 lim x + x m =2.,m O aika käydä käsiksi tämä luvu päätuloksee: Lause 24.15(Milma) 124. Tasaisesti koveksi Baachi avaruus o refleksiivie. Todistus. Tarkastellaa aluksi reaalikertoimista ormiavaruutta E. x E. Osoitetaa, että x E. Voimme olettaa, että Olkoo x E =1. Koska ii voidaa valita joo (1) x E = sup f x, f B E (f i ) i N B E site, että 0 < 1 f i x < 1 i. 124 Luultavasti D. Milma, jokapojatvitali D. ja Pierre ovat myös matemaatikoita.
11 24. REFLEKSIIVISET NORMIAVARUUDET 211 Käytämme seuraavaksi kohdassa 24.5 saamaamme tietoa, että E: yksikköpallo B E o w -tiheässä E : yksikköpallossa B E. Kaikilla N voidaa valita x B E site, että (2) f i x x < 1 2 Yhdistämällä (1) ja (2) saadaa i =1, 2,..., i < f i x 1, i =1, 2,...,, N. Tarkastamme edellise seuraukse ehtoje avulla, että joo (x ) o Cauchy. Avaruus E o oletettu tasaisesti koveksiksi, jote ehto (a) o voimassa pisteide x valia ojalla. Keskiarvoje ormeja koskeva arvio (b) o seki helppo: ku <m, ii f x + x m x + x m 2. Siis joo (x ) suppeee: x x B E. Olemme löytäeet B E :stä ehdokkaa x :ksi. O osoitettava, että (3) f x = f x f E. Aiaki kostruktiostamme seuraa heti, että (4) f i x = f i x i N, sillä ku i, ii 0 f i x f i x = lim f i x f i x 1 lim 2 =0. Todistaaksemme väittee (3) mielivaltaiselle f E voimme yksikertaisesti liittää f: ollaeksi termiksi tutkimaamme jooo (f ), joka raja-arvo-omiaisuudet eivät siitä muutu. Joo (x ) valita voidaa tehdä site, että aikaisempie ehtoje lisäksi saadaa voimaa myös f x f x < 1 N. 2 Tällöi (3) pätee. O kuiteki muistettava tarkastaa, että äi saatu rajapiste x ei riipu f: valiasta, vaikka korjattu kostruktio sisältääki fuktioaalii f liittyviä ehtoja ja ataa mahdollisesti eri joo (x ). Olkoo x f korjatulla kostruktiolla löydetty rajapiste ja x alkuperäie. Silloi vuorotteleva joo (x,x f,x,x f,...) täyttää joolle (x ) asettamamme ehdo (2) ja o siis Cauchy, mikä o mahdollista vai, ku x = x f. Näi o reaalie tapaus käsitelty. Kompleksie palautuu siihe samalla keiolla, jota käytimme todistaessamme Baachi erottelulausee kompleksista versiota Täsmeämme käytety periaattee seuraavaksi apulauseeksi.
12 f ( ) 212 Lause Olkoo E kompleksikertoimie ormiavaruus. Merkitkäämme E R :llä samaa avaruutta tulkittua R-ormiavaruudeksi. Silloi kuvaus x y : x y = x x i ix x o isometrie reaalilieaarie isomorfismi L R (E R, R) L C (E,C), eli (E R ) E. Todistus. Harjoitustehtävä L p (A)-avaruuksie duaaleista. Todistamme seuraavassa s. Clarksoi epäyhtälöide 125, avulla, että avaruudet L p (A) jal q (A) ovat toistesa duaaleja, ku äärelliset p, q ]1, [ ovat toistesa duaaliekspoetit. Erityisesti avaruudet L p (A) ovat refleksiivisiä, ku 1 <p<. Lause (Clarkso 1936). Olkoo 1 <p< ja (A, µ) mitta-avaruus. Lebesgue i avaruus L p (A) =L p (A, µ) o tasaisesti koveksi, siis myös refleksiivie. Todistus. Tapauksessa p = 2 o kyseessä Hilbert-avaruus, joka o helppo todistaa tasaisesti koveksiksi käyttämällä suuikassäätöä f + g 2 + f g 2 =2( f 2 + g 2 ), oha se mukaa f + g 2 4 ε 2 ja siis f + g R = 4 ε 2 < 2, ku f = g =1ja f g <ε. Etsimällä suuikassääölle tähä roolii riittävää vastietta esimerkiksi kaksiulotteisessa avaruudessa (R 2, p ) voi keksiä seuraavat Clarksoi epäyhtälöt. (C 1 ) (C 2 ) f + g p + f g p 2 p 1 ( f p + g p ); p [2, [ f + g q + f g q 2( f p + g p ) q 1 ; p ]1, 2]. Kumpiki äistä epäyhtälöistä o selvästiki riittävä takaamaa tasaise koveksiude määrittelevä ehdo (3), sillä jolloi f = g =1 (C 1) = f + g p + f g p 2 p f = g =1 (C 2) = f + g q + f g q 2 q, lim f + g =2 = lim (f g )=0. Tyydymme todistamaa Clarksoi esimmäise epäyhtälö, sillä se riittää takaamaa avaruude L p (A) refleksiivisyyde, ku 2 p<. Osoittautuu imittäi, että tästä seuraa, että L p (A) jal q (A) ovat toistesa duaalit, ku 1 p + 1 q =1. Siis myös L q (A) =(L p (A)) tällöi refleksiivie. Clarksoi toie epäyhtälö o äiolle refleksiivisyystodistukse kaalta turha. 125 J.A. Clarkso: Uiformly covex spaces (1936).
13 24. REFLEKSIIVISET NORMIAVARUUDET 213 Lause Clarksoi esimmäie epäyhtälö pätee L p (A):ssä, ku 2 p<. Todistus. Riittää äyttää, että epäyhtälö (C 1 )pätee yksiulotteisessa avaruudessa, siis luvuille. Väite seuraa imittäi tästä valitsemalla L p (A): alkioille f ja g edustajat, soveltamalla melkei kaikkialla iide arvoihi yo. epäyhtälöä ja itegroimalla puolittai. Yksiulotteise avaruude oleaisesti aioa ormi, erityisesti p o itseisarvo: (C 1,C ) x + y p + x y p 2 p 1 ( x p + y p ) x, y C; kup [2, [. Pitää siis todistaa (C 1,C ). Todistamie oistuu kyllä suoraviivaisella laskulla 126, mutta tuloksee pääsee opeammi todistamalla väittee esi reaaliluvuille. Lausee 13.9 mukaa ikluusiokuvaus l s l p o jatkuva, ja se ormi o 1, ku 1 s < p. Soveltamalla tätä arvolla s = 2 kaksiluotteisee erikoistapauksee saa arvio ( x + y p + x y p ) 1 p ( x + y 2 + x y 2 ) 1 2 2(x2 + y 2 ). Seuraavaksi käytetää Hölderi epäyhtälö kaksiulotteista versiota kohdasta vektoreihi (x 2,y 2 )ja(1, 1) toisillee duaalisilla ekspoeteilla p 2 ja x 2 + y 2 =((x 2,y 2 ) (1, 1)) (x 2,y 2 ) p (1, 1) p 2 p 2 =( x p + y p ) 2 p 2 p 2 p. p p 2 : Yhdistämällä saadut epäyhtälöt saadaa Clarksoi esimmäie epäyhtälö reaalisessa tapauksessa: ( x + y p + x y p ) 1 p 2(x2 + y 2 ) 2( x p + y p ) 2 p 2 2p 2 2p 2 p 1 p ( x p + y p ) 1 p. Kompleksie tapaus palautuu reaalisee kirjoittamalla x y = reiϕ, soveltamalla reaalista versiota lukuihi 1 ja r ja huomaamalla että fuktiolla g :[0, 2π] R g(ϕ) = 1+re iϕ p + 1 re iϕ p o maksimikohtaa ϕ = 0. Lause Toie Clarksoi epäyhtälö pätee L p (A):ssä, ku 1 <p 2. Todistus. Koska lause ei ole meille tarpee, o todistus sivuutettu tila säästämiseksi. Olemme saavuttamassa tavoittee: 126 [He-S].
14 f ( ) 214 Seuraus Olkoo 1 <p< ja (A, µ) mitta-avaruus. Lebesgue i avaruude L p (A) =L p (A, µ) duaali o L q (A). Todistus. Osoitamme, että kuvaus j : L q (A) (L p (A)) : f j(f) = f, missä g f = gf dµ, o isometrie lieaarie bijektio. Kuvaukse olemassaolo ja isometrisyyde todistamie sujuu samaa tapaa kui jo jooavaruuksia tutkittaessa ilma tietojamme refleksiivisyydestä: Hölderi epäyhtälö takaa heti, että kaikilla f L q (A) ja g L p (A) g f = gf dµ f q g p <. g f o siis luku ja lieaarikuvaus j(f) : L p (A) K : g g f o myös jatkuva ja se ormi j(f) o eitää f q. Näi o selvää, että j o todella kuvaus L q (A) (L p (A)) lisäksi lieaarie. Jotta j olisi isometria o vielä osoitettava, että j(f) f q, eli kaikille f L q (A) jaε>0olöydettävä g L p (A) {0}, jolle j(f)(g) = fgdµ ( f q ε) g p. Tämä oistuu jopa arvolla ε = 0, ku valitsemme f:lle edustaja f ja sitte määrittelemme fuktio g site, että g p = f q ja fg > 0 µ-mk. Valitaa g = { f f f q 1 pisteissä, joissa f 0 0 pisteissä, joissa f = 0. Koska fg o positiivie, o fgdµ = fg dµ = f g dµ = f f q 1 dµ = f q dµ =( f q dµ) 1 q ( f q dµ) 1 p =( f q dµ) 1 q ( g p dµ) 1 p = f q g p Varsiaie asia o kuvaukse j surjektiivisuude todistamie. Teemme vastaoletukse: kuvajoukko j(l q (A)) ei ole koko (L p (A)),
15 HARJOITUSTEHTÄVIÄ JA HUOMAUTUKSIA LUKUUN VII 215 vaa se aito aliavaruus. Baachi avaruude L q (A) kassa isometrisea j(l q (A)) kuiteki o täydellie ja siis suljettu (L p (A)) :ssä. Hahi ja Baachi lausee seuraukse 22.3 ja L p avaruude refleksiivisyyde ojalla o siis olemassa f ((L p (A)) ) =(L p (A)) = L p (A) site, että f 0,ja f x =0 x j(l q (A)), eli fgdµ =0 g L q (A). Valitsemalla g kute edellä saadaa f q q = f q dµ = fgdµ =0, joka o mahdotota, ku f 0. Erikoistapaus (Fréchet ja Rieszi esityslause) 127. Olkoo (A, µ) mitta-avaruus. Hilbert-avaruude duaali o se itse. L 2 = L 2 (A) =L 2 (A, µ) Huomautus Avaruudet L 1 ja L eivät ole tasaisesti kovekseja eivätkä myöskää refleksiivisiä. Itse asiassaha tiedämme, että L 1 : duaali o tosi L, mutta avaruude L duaali o aidosti suurempi kui L 1, ellei mitta-avaruus ole poikkeuksellie, esimerkiksi vai yksi piste. Harjoitustehtäviä ja huomautuksia lukuu VII Harjoitustehtäviä lukuu VII Todista, että topologiste avaruuksie X ja Y tulotopologiassa pätee A X, B Y : A B = A B Todista lause 23.8, jossa K o topologia T kata avaruudessa X ja väitetää, että K Y = {K Y K K} o aliavaruude Y X aliavaruustopologia T Y kata Kute edellie tehtävä, mutta olettae, että A o T : alikata ja väittäe, että A Y = {A Y A A} o T Y : alikata. 127 Olemme jo luvussa 9 todistaeet tämä lausee mielivaltaisessa Hilbert-avaruuksissa. Nyt saimme mukavasti sivutuloksea vai L 2 (A)-versio, mutta itse asiassaha jokaie Hilbert-avaruus o isomorfie L 2 (µ): kassa, missä µ o lukumäärämitta se kaassa, jote tämäki todistus o yleie.
16 f ( ) Osoita, että topologie avaruus X o kompakti, jos peitteellä X Y = i I A i. o äärellie osapeite aia, ku joukot A i ovat tulotopologia katajoukkoja (jatkoa) Todista, että jos E o semiormijoukkoo N liittyvä lokaalikoveksi avaruus ja F se vektorialiavaruus, ii semiormie p N rajoittumat aliavaruutee F määrittelevät siihe aliavaruustopologia Viimeistele lausee todistus perustelemalla, miksi että Baachi avaruude E alkiot ovat duaali E alkioiksi tulkittuia jatkuvia w -mielessä Todista lause 24.16, joka mukaa kuvaus x y : x y = x x i ix x o isometrie reaalilieaarie isomorfismi L R (E R, R) L C (E,C) eli (E R ) E, missä E o kompleksikertoimie ormiavaruus ja E R sama avaruus tulkittua R-ormiavaruudeksi. Kertaa lopuksi, mite samoje periaatteita käytettii Baachi erottelulausee todistuksessa Osoita, että luvussa 22 käsitelty heikko suppeemie o sama asia kui suppeemie heiko topologia w = σ(e,e ) mielessä Olkoot E ja F Baachi avaruuksia. Varustamme tuloavaruude E F kohda 17.1 sopimuksesta poikete ekvivaletilla ormilla Ku (f,g ) E F, asetamme (x, y) = x E + y F. (f,g )((x, y)) = f (x)+g (y). Näytä. että (E F ) = E F yo. samastuksella ja että (E F ) : operaattoriormi o (f,g ) = max{ f, g } (jatkoa) Olkoot E ja F Baachi avaruuksia. Osoita, että jos E ja F ovat refleksiivisiä, ii myös E F o refleksiivie Olkoot E ja F ormiavaruuksia ja T lieaarikuvaus E F. Varustetaa E heikolla topologialla σ(e,e ). Osoita oikeaksi tai vääräksi, että T o jatkuva origossa, jos ja vai jos o olemassa y 1,...,y E = B(E,K) site, että T o rajoitettu joukossa B y1,...,y = {x E x y j 1 jokaiselle j =1,...} Todista apulause 24.5.(A-2), joka mukaa koveksi jouko w -sulkeuma o koveksi. Ohje: Sovita luvu VI huomautuksissa esiityvä todistus lausee tilateesee. Katso lopuksi tämäki luvu huomautuksia Todista määritelmässä 24.9 esiityvät ehdot keskeää yhtäpitäviksi Osoita, että l o isometrie L [0, 1]: joki suljetu aliavaruude kassa, eli o olemassa upotus J : l L [0, 1]. Vihje: valitse esimerkiksi J(e k )=χ [ 1 k+1, 1 k ], k =1, 2, Näytä, että vektorie e k =(0,...,0, 1, 0,...) joo (e k ) k N ei suppee heikosti avaruudessa l 1. Ohje: Testaamalla vektorilla f c 0 l = (l 1 )
17 HARJOITUSTEHTÄVIÄ JA HUOMAUTUKSIA LUKUUN VII 217 huomaat, että jose k x, ii x = 0. Vertaa lopuksi myös tapauksee l p,ku 1 <p< Osoita, että l p o separoituva, ku 1 p< Osoita, että jos ormiavaruude duaali E o separoituva, ii myös itse avaruus E o separoituva Osoita, että l ei ole separoituva Millä p: arvoilla Sobolevi avaruus W 1,p (]a, b[) o tasaisesti koveksi? Huomautuksia lukuu VII. Tulotopologia vaihtoehto Käyttämämme lisäksi o olemassa toieki paljo harvemmi esiityvä luoollie topologia tuloavaruudelle. Siiä kaaksi otetaa kaikki avoimie joukkoje tulot. Lokaalikoveksi avaruude (E,w(E,E)) duaali o edellä harjoitustehtävää todistetu apulausee 24.5 (A-1) mukaa E. Lähes samalla vaivalla saa todistettua, että yleesäki s. separoituva duaalipari (E,F) avaruutee E tuottamassa lokaalikoveksissa topologiassa σ(e,f) oe: duaali tasa F. Tässä duaalipari tarkoittaa vektoriavaruusparia, jossa o määritelty bilieaarikuvaus b : E F K ja separoituvuus merkitsee, että josb(x, y) = 0 kaikille y, ii x =0. E: yleistetty heikko topologia σ(e,f)määräytyy semiormeista p y (x) = b(x, y). w -tiheyslausee 24.5 todistus Hirzebruchi ja Scharlau tyylii o kommetoitu pois, koska ole valiut toise todistukse. Koodi o tallessa. Sobolev-versio. Lebesgue avaruuksie tasaisesta koveksiudesta seuraa, että myös Sobolevi avaruudet ovat tasaisesti kovekseja ja siis refleksiivisä, ku 1 < p<. Sobolevi avaruude duaali ei kuitekaa ole Sobolevi avaruus. Heikko suppeemie Sobolevi avaruudessa o oeksi kuiteki juuri sitä mitäkäytettii heiko derivaata määritelmässä. Rado-Nikodymi lausee rooli. Mittateoriassa ja eteki todeäköisyysteoriassa tärkeä Rado-Nikodymi lauserado, Joha 128 voidaa todistaa Fréchet ja Rieszi esityslausee avulla. Rado-Nikodymi lausee avulla voi puolestaa todistaa L p -avaruuksie refleksiivisyyde (1 <p< ) vetoamatta tasaisee koveksisuutee. 129 Taustalla o syvällie yhteys. Baachi ja Tarski paradoksi. Baachi ja Tarski paradoksia tuettut ilmiöt liittyvät valita-aksioomaa, jota käsittelemme liitteessä. Selkeä ja viihdyttävä esitys paradoksista o kirjassa [SW]. Hyvä lukija. Kirjoita tekijälle muitaki parausehdotuksia lukuu VII. 128 Joha Rado , Itävalta. Otto Marci Nikodym , Ukraia ja USA 129 Kiiostuut lukija saattaa kaivella vaikka Yosida [Y], III.8 ja IV.9 tai Wereri [W] kirjaa kummaki seika selvittämiseksi.
18 f ( ) 218 VIII OPERAATTORITEORIAN PERUSTEET Koettaessamme yleistää hermiittise operaattori diagoalisoitimeettelyä äärellisestä äärettömää ulotteisuutee olemme huomaeet, että omiaisarvoihi perustuva teoria o riittämätö. Esimerkki hermiittisestä operaattorista, jolla ei ole omiaisvektoreita, ataa ajattelemise aihetta. Siksi tässä luvussa otetaa omiaisarvo lisäksi käyttöö sitä yleisempi spektraaliarvo käsite, joka yhtyy omiaisarvoo äärellisulotteisessa tapauksessa. Seuraavassa K = C. 25. Normialgebrat ja spektri Operaattori omiaisarvot ja spektraaliarvot. Määritelmä Olkoo H Hilberti avaruus. Luku λ K o operaattori T B(H) spektraaliarvo, jos T λi ei ole rekaa B(H) käätyvä alkio, toisi saoe jos operaattorilla T λi ei ole jatkuvaa kääteiskuvausta H H. Operaattori spektraaliarvoje joukko o se spektri Sp(T ). Spektrii Sp(T ) kuulumattomia lukuja saotaa operaattori T sääöllisiksi arvoiksi. Huomautus Avoime kuvaukse lause takaa, että jos T λi o bijektio, ii se kääteiskuvaus o paitsi tieteki lieaarie myös jatkuva, siis Baachalgebra B(H) alkio. Luvu λ kuulumie operaattori T spektrii merkitsee siis yksikertaisesti sitä, että T λi ei ole bijektio H H. Luku λ kuuluu siis spektrii Sp(T ), ku operaattorilta T λi puuttuu ijektiivisyys tai surjektiivisuus tai molemmat. Ijektiivisyyde puuttumie merkitsee, että ydi Ker(T λi) o epätriviaali, toisi saoe o olemassa x H {0} site, että Tx λx =0,eli että λ o operaattori T omiaisarvo ja x se omiaisvektori. Omiaisarvot ovat siis erikoistapauksia spektraaliarvoista. Operaattori T omiaisarvoje joukkoa saotaa toisiaa se pistespektriksi. Esimerkki Ku Hilberti avaruus H o -ulotteie, ii lieaarialgebra dimesiolausee mukaa ijektiivisyys, surjektiivisuus ja käätyvyys ovat yhtäpitäviä asioita operaattorille T B(H), jote äärellisulotteisessa avaruudessa kaikki spektraaliarvot ovat omiaisarvoja. Esimerkki Ääretöulotteisessa tapauksessa pistespektri ja spektri ovat eri asioita. Esimerkiksi 0 o oikeapuoleise siirto-operaattori S : l 2 l 2 : (a 1,a 2,a 3,...) (0,a 1,a 2,...) spektraaliarvo mutta ei omiaisarvo. Hiema mutkikkaama esimerki ataa operaattori T : L 2 [0, 1] L 2 [0, 1] : Tf(x) =xf(x), jolla ei ole omiaisarvoja, mutta jolle jokaie λ [0, 1] o spektraaliarvo.
19 25. NORMIALGEBRAT JA SPEKTRI Spektri Baach-algebrassa. Operaattorialgebra B(E) alkiolle voi määritellä spektri myös silloi, ku E ei ole Hilberti avaruus, vaa esimerkiksi Baachi avaruus. Vaikka olemme esisijaisesti kiiostueita Hilberti avaruude operaattoreista, yhdemukaistamme käsittelyä määrittelemällä spektri käsittee mielivaltaise K-kertoimise ormialgebra alkiolle. Määritelmä (1) K-Algebra eli K-Algebra (A, +,, ) o regas (A, +, ), joka samalla o vektoriavaruus (A, +, ), ja jossa kaikilla alkioilla T,S Aja luvuilla λ K pätee λ (T S) =(λ T ) S = T (λ S). O syytä huomata, että määritelmässä selvyyde vuoksi esiityeet kertolaskuje merkit ja jätetää algebroissaki yleesä merkitsemättä. (2) Normialgebra o algebra, joka samalla o ormiavaruus, ja jossa kaikilla T,S Apätee tulo jatkuvuude ilmaiseva epäyhtälö TS T S. Jos ormialgebra o varustettu ykkösalkiolla I, ii vaaditaa lisäksi, että I =1. (3) Baach-algebra o täydellie ormialgebra. (4) Ykkösellise algebra alkio o käätyvä, eli sääöllie, jos sillä o olemassa kääteisalkio rekaa mielessä. Käätyvät alkiot muodostavat kertolasku suhtee ryhmä, jota merkitää GL(A). (5) Alkiot T,S Akommutoivat keskeää, jos TS = ST. Algebra, jossa kaikki alkiot kommutoivat keskeää, o kommutatiivie algebra. Esimerkki a) Jatkuvie fuktioide muodostamassa sup-ormilla varustetussa kommutatiivisessa, ykkösellisessä Baach-algebrassa C =(C([a, b]), C), ) käätyviä alkioita ovat kaikkialla ollasta eroavat fuktiot. Algebralla C o kaikista polyomeista muodostuva epätäydellie ormialialgebra A, joka Weierstrassi approksimatiolausee mukaa o tiheä. Algebra A aioat käätyvät alkiot ovat ollasta eroavat vakiofuktiot. b) Baachi avaruude E jatkuvat lieaarikuvaukset itsellee eli operaattorit muodostavat operaattoriormilla varustettuia ykkösellise Baach-algebra, operaattorialgebra B(E). Rekaa kertolaskutoimituksea o tässä kuvauste yhdistämie ja käätyviä alkioita ovat avoime kuvaukse lausee takia kaikki bijektiiviset operaattorit. c) Äärellisulotteie versio operaattorialgebrasta o matriisialgebra L() = M( ), joka käätyvie alkioide ryhmää merkitää GL(). (Ks ) Voimme yleistää operaattori spektraaliarvo käsittee ykkösellä varustetu algebra alkiolle.
20 f ( ) 220 Määritelmä 25.7.Luku λ K o ykkösellä varustetu Baach-algebra alkio T Asääöllie arvo, jos o olemassa kääteisalkio (T λi) 1 A. Muute λ o T : spektraaliarvo. Tällöi siis T λi ei ole algebra A:ssa käätyvä. Spektraaliarvoje joukko o T : spektri Sp(T ). Vaikka merkitä eisitä kerro, spektri riippuu alkio T lisäksi algebrasta A ja tieteki kuasta K, joka seuraavissa tarkasteluissa tosi koko aja o C Carl Neumai sarja. Kompleksise Baach-algebra alkio spektri o epätyhjä, kompakti joukko. Tämä asia ei ole aiva välittömästi ilmeie. Äärellisulotteisessa tapauksessa spektri o tosi helppo huomata äärelliseksi joukoksi, mutta se epätyhjyys o yhtäpitävä algebra peruslausee kassa, sillä matriisi T omiaisarvo löytämie tapahtuu ratkaisemalla algebrallie yhtälö det(t λi) = 0. Joudumme siis ilmeisesti välttämättä käyttämää kompleksilukuja koskevia tietoja. Samaa suutaa viittaa seuraava yksikertaie lause, joka avulla osoitamme, että spektri o suljettu joukko. Lause 25.8 (Carl Neumai sarja). Olkoo A Baach-algebra, T Aja T < 1. Silloi I T o käätyvä. Todistus. Lause o todistettu harjoitustehtävää Ideaa o, että tavallise geometrise lukusarja summa o muotoa =0 α = (1 α) 1, ku α < 1jaettätämä oistuu yhtä lailla Baach-algebrassa. Normialgebrassaha sarja =0 T suppeee, ku T < 1, ja Baachi avaruudessa sarja suppeee, jos se termie ormeista muodostettu sarja suppeee, toisi saoe itseie suppeemie takaa sarja suppeemise. Suora lasku osoittaa lopuksi, että (I T ) =0 T = I =( =0 T )(I T ), jote =0 T =(I T ) 1. Carl Neumai sarja suppeee avaruude B(H) avoimessa pallossa B(I,1), jote idettie kuvaus I o käätyvie alkioide ryhmä GL(A) sisäpiste. Tätä hyväksikäyttäe o vaivatota todistaa, että muutki käätyvät alkiot ovat GL(A): sisäpisteitä (vrt. harjoitustehtävä 6.19.). Tästä saadaa seuraavat seuraukset: (1) Baach-algebra käätyvie alkioide ryhmä GLA) o avoi joukko ja käätymättömie alkioide joukko o siis suljettu. (2) Jokaise alkio T Aspektri o suljettu joukko. Carl Neumai sarjaa perustuvat myös seuraavie kappaleide lauseet spektri olemuksesta Liouville lause. Määritelmä 25.9 (Aalyyttiset fuktiot). Kompleksifuktio aalyyttisyyde eli holomorfisuude käsittee voi helposti yleistää vektoriarvoiselle fuktiolle f : C E, missä E o kompleksikertoimie Baachi avaruus, esimerkiksi E = B(H): Fuktio f : U E o aalyyttie avoimessa joukossa U C, jos sillä o derivaatta kaikissa U: pisteissä. Derivaatta f (z 0 )määritellää aiva samalla tavalla kui kompleksiarvoisessa tapauksessa. Differetiaalilasketa voi hyvi yleistää ääretöulotteisee avaruutee, mutta pysyäksemme spektriasiassa todistamme seuravassa vai tässä välittömästi tarvittavat differetiaalilaskea kaavat.
21 25. NORMIALGEBRAT JA SPEKTRI 221 Lause (Lieaarikuvaukse ketjusäätö). Jos U C o avoi, f : U E o aalyyttie ja T : E F o jatkuva ja lieaarie, ii myös T f : U F o aalyyttie ja (T f) = T f. Perustelu. T (f(z)) T (f(z 0 )) lim z z 0 z z 0 = T lim z z 0 f(z) f(z 0 ) z z 0 = Tf (z 0 ). Lause (Kääteisalkio muodostamise ketjusäätö). Olkoo A Baach-algebra. (1) Kääteisalkio muodostamie k : x x 1 o homeomorfismi käätyvie alkioide ryhmältä GLA) itsellee. (2) Jos U C o avoi ja f : U Ao aalyyttie, ii myös g = k f : α f(α) 1 o aalyyttie ja se derivaatta o g (α) = g(α)f (α)g(α) = f(α) 1 f (α)f(α) 1. Perustelu. (1) Carl Neumai sarja avulla helppo todistaa. (2) Myös kääteise derivaata laskemie perustuu Carl Neumai sarja käyttöö, mutta vie muutama rivi lisää tilaa. 130 Lause (Liouville lause) 131. Olkoo E Baachi avaruus. Aalyyttie, rajoitettu fuktio f : C E o vakio. Todistus. Lause palautuu tavallise kompleksiarvoise fuktio Liouville lauseesee tarkastelemalla kompleksiarvoisia fuktioita y f : z f(z) y, missä y E. Nämähä ovat ketjusääö mukaa aalyyttisiä koko tasossa ja sitäpaitsi tieteki rajoitettuja, siis tavallise Liouville lausee mukaa vakioita jokaie. Kaikilla z 1,z 2 C o siis f(z 1 ) y = f(z 2 ) y. Siis f(z 1 ) f(z 2 ) y =0 kaikilla y E. Hah-Baachi lausee seurauksea tiedämme, että jokaisella ollasta eroavalla vektorilla x E o olemassa y E, jolla x y 0. Siis f(z 1 )=f(z 2 ) Spektri perusomiaisuudet kompakti ja epätyhjä. Lause Kompleksikertoimise Baach-algebra A alkio T spektri Sp(T ) C o epätyhjä, kompakti lukujoukko. Lisäksi Sp(T ) B(0, T ). Perustelu. Totesimme jo, että spektri o suljettu. Lisäksi (λi T ) okää- tyvä silloi ja vai silloi, ku (I 1 λt )okäätyvä, eli Carl Neumai sarja 130 Kokeile itse tai katso esim. [Di], jossa o eemmäki derivoitia Baachi avaruuksissa tai [M] jossa o s. 143 lyhyt todistus. 131 Joseph Liouville , Raska.
22 f ( ) 222 perusteella aiaki silloi, ku λ > T. Spektri epätyhjyys o hiuka syvällisempi asia ja perustuu Liouville lauseesee: Jos operaattori T spektri olisi tyhjä, ii kuvaus λ (T λi) 1 olisi määritelty ja aalyyttie koko tasossa C. Lisäksi se olisi rajoitettu, sillä λ (T λi) 1 olisi jatkuva ja ympyrä B C (0, 2 T ) ulkopuolella rajoitettu, siis rajoitettu kaikialla. Liouville mukaa se siis olisi vakio, mikä o selvästi epätosi. Spektri o siis epätyhjä imeomaa siksi, että kutaa o K = C. Jopa reaalisessa matriisialgebrassa M(2 2) o alkioita, joide spektri o tyhjä esimerkiksi melkei kaikki taso kierrot Spektraalikuvauslause. Lause (Spektraalikuvauslause polyomille). Olkoo A Baachalgebra ja p tavallie C polyomi p(z) =a 0 + a 1 z +...a z. a 0, 1. Olkoo edellee T A.Tällöi alkio p(t )=a 0 + a 1 T +...a T A spektri o Sp(p(T )) = {p(λ) λ Sp(T )}. Todistus. Olkoo µ C. O osoitettava, että alkio p(t ) µi o käätyvä algebrassa A tasa silloi, ku µ = p(λ), missä λ Sp(T ). Hajotetaa algebra peruslausee avulla polyomi p(z) µ tuloksi p(z) µ = a (z z 1 )...(z z ), jolloi µ = p(λ) tasa silloi, ku λ o joki luvuista z 1,...,z. Lisäksi p(t ) µi = a (T z 1 I)...(T z I), jote riittää todistaa, että tämä tulo o käätyvä tasa silloi, ku jokaie tekijä (T z I)okäätyvä. Tämä ehdo riittävyys o selvää, sillä käätyvie alkioide tulo o aia käätyvä. Jos taas oletetaa, että tulookäätyvä, ii aiaki esimmäie tekijä okäätyvä, oha silloi a (T z 1 I)...(T z I)(p(T ) µ) 1 = I. Toisaalta tekijät (T z k I) kommutoivat keskeää, jote mikä tahasa iistä voidaa siirtää esimmäiseksi. Lause ( ) (Spektraalikuvauslause aalyyttiselle fuktiolle). Edellise lausee väite pätee, vaikka f ei olisikaa polyomi, kuha o olemassa avoi lukujoukko Ω C, jossa f o aalyyttie ja joka sisältää T : spektri. Perustelu. Todistuksessa voi käyttää esimerkiksi Cauchy itegraalikaava Baach-algebraversiota, Dufordi itegraalia 132 f(t )= 1 2πi Ω f(λ)(λi T ) 1 dλ. 132 Nelso Duford ? USA. Ks. [S] tai [Y]. Cauchy kaava o mahdollie määritelmä aalyyttiselle fuktiolle!
23 26. PROJEKTIOIDEN JÄRJESTYS 223 Lause ( ) (Spektraalikuvauslause jatkuvalle fuktiolle). Edellise lausee väite pätee erikoistapauksissa, vaikka f ei olisi aalyyttie, vaa aioastaa jatkuva joukossa Sp(T ). Oletukseksi riittää aiaki, että algebraa o B(H) ja T o hermiittie. 133 Perustelu. Sivuutetaa. Katso kuiteki huomautuksia luvu lopussa. 26. Projektioide järjestys Projektiot ja suorat summat. Geometrisesti helpoite ymmärrettävä operaattorityyppi o projektio aliavaruudelle. Kertaamme perusteellisesti projektioide perusomiaisuudet kiiittäe erityistä huomiota yleisii lieaarialgebrallisii eli vioihi projektioihi. Kertaus Vektoriavaruude V aliavaruuksie H ja F saotaa muodostava suora summa E F = E + F = E F, jos e toteuttavat seuraavat keskeää yhtäpitävät ehdot: (1) E F = {0} (2) Jokaise vektori v E + F hajotelma muotoo v = a + b, missä a E ja b F, o yksikäsitteie. (3) Nollavektori 0 E + F hajotelma muotoo 0 = a + b, missä a E ja b F, o yksikäsitteie, 0 = Vektoriavaruude operaattori P : V V o projektio, jos P 2 = P. Seuraava jo luvussa 9 maiittu lause saoo, että projektio o projektio kuvallee ytimesä suutaa: Lause Jos P : V V o projektio, ii V =ImP Ker P. Ker P x Px Im P Kuva 71. Projektio aliavaruudelle. Todistus. Olkoo x V. Selvästi x = a + b, missä a = Px P (V )ja b = x a Ker P. Jos x Ker P Im P, ii x = Px =0. Kertaus Projektiolla o seuraavalaiset jatkuvuusomiaisuudet. (1) Normiavaruudessa jatkuva projektio ydi Ker P = P 1 {0} o tietysti suljettu aliavaruus, samoi siis kuvajoukko Im P = P (H), joka o komplemetaarise projektio I P ydi. 133 [La].
24 f ( ) 224 (2) Projektio o avoi kuvaus. (3) P ja I P ovat jatkuvia joko molemmat tai ei kumpikaa. (4) Ääretöulotteisessa avaruudessa projektio voi olla epäjatkuva, eikä edes se ytime eikä kuvajouko tarvitse olla suljettuja aliavaruuksia. (5) Edes yksiulotteiselle avaruudelle tapahtuva projektio oleellisesti lieaarimuodo ei tarvitse olla jatkuva, mutta lieaarimuoto o setää jatkuva jos se ydi o suljettu. Epäjatkuva lieaarimuodo ydi o tiheä. (6) Lieaarialgebrallise suora summa termie ei siis tarvitse olla suljettuja aliavaruuksia. Huomautus Projektio kuva-avaruude vektorit ovat se omiaisvektoreita omiaisarvolla 1 ja ytime vektorit omiaisvektoreita omiaisarvolla 0. Projektio aioat omiaisarvot ovat 0 ja 1. Vastaavat omiaisavaruudet ovat kuvaavaruus ja ydi Ortoprojektioide järjestys. Määritelmä Sisätuloavaruude H ortogoaalie projektio eli ortoprojektio o projektio P : H H, joka kuva-avaruus Im P = P (H) jaydikerp ovat toisillee ortogoaaliset, toisi saoe Im P Ker P, eli P (x) =0 = (x Py)=0 y H. Ker P x Px Im P Kuva 72. Ortoprojektio suljetulle aliavaruudelle. Huomautus Usei ortoprojektiota saotaa lyhyesti vai projektioksi. Kahde toisiaa vastaa ortogoaalise aliavaruude suoraa summaa merkitää täydellisesti A B, jote ortoprojektiolle P pätee H =ImP Ker P. Ortoprojektio ydi ja kuva-avaruus ovat toistesa ortogoaaliset komplemetit ja site varmasti molemmat suljettuja aliavaruuksia.
25 26. PROJEKTIOIDEN JÄRJESTYS 225 Lause Sisätuloavaruude H ollasta eroavalle projektiolle P seuraavat ehdot ovat keskeää yhtäpitäviä: (1) P o ortogoaaliprojektio. (2) P o hermiittie, ts. (x Py)=(Px y) x, y H. (3) P = P. (4) P =1. (5) P o ormaali, ts. PP = P P (6) P o positiivie, ts. (x Px) 0 x H. Todistus. (1) (2): Jos oletamme, että Im P Ker P, ii hajotelmista x = a + b ja y = c + d H =ImP Ker P saadaa kaikille x ja y H (x Py)=(a + b P (c + d))=(a c)+(b c) }{{} 0 =(a c) =(a c)+(a d) =(Px y). }{{} 0 (2) (1): Jos P : H H o hermiittie ja Px = 0, ii kaikilla y H o (x Py)=(Px y) =(0 y) = 0, jote Im P Ker P. (2) (3) seuraa adjugati määritelmästä. Muut kohdat jäävät harjoitustehtäväksi. Esimerkki Kerrataa esimerkki 10.33: Olkoo H = L 2 [0, 1] ja 0 t 1. Kuvaus T t : H H : f T t f = f χ [0,t] o ortoprojektio. 1 χ [0,t] T tf f 0 t 1 Kuva 73. Projektio fuktioavaruudessa. Kertaus (1) Hilberti avaruude projektiolause saoo, että jokaiselle suljetulle aliavaruudelle A H o olemassa ortogoaaliprojektio, joka kuvaa pistee x H lähimmäksi pisteeksee aliavaruudella A. Projektio voi kirjoittaa äkyvii valitsemalla aliavaruudelle ortoormaali kaa K A ja laajetamalla se koko avaruude ortoormaaliksi kaaksi K A K A, jolloi H = A A, eli jokaie vektori x o muotoa x = (x e)e + (x e)e, e K A e K A
26 f ( ) 226 ja Px saadaa yksikertaisesti jättämällä tästä esityksestä jälkimmäie termi pois. (2) Edellie esimerkki o Hilbert-avaruudessa aioa: Jokaie ortoprojektio liittää pisteesee x H kuvajouko Im P lähimmä pistee. Hilberti avaruude ortoprojektio määräytyy täysi kuva-avaruudestaa. Jokaie suljettu aliavaruus o joki ortoprojektio kuva-avaruus, jote ortoprojektiot vastaavat suljettuja aliavaruuksia yksi yhtee. Kahde suljetu aliavaruude leikkaus ja suora summa ovat suljettuja aliavaruuksia. Luettelelemme seuraavassa, mitä kuva-avaruuksie ikluusio merkitsee iitä vastaaville projektioille. Perustelut jäävät lukija mietittäväksi. Määritelmä Olkoot P ja Q ortoprojektiot aliavaruuksille F P ja F Q. (1) O helppoa todeta, että PQ o ortoprojektio jos ja vai jos P ja Q kommutoivat, ts. PQ = QP. Tällöi Im (PQ)=Im(QP )=F P F Q. E Ker P x F Q 0 PQx F P F Q FP Px Ker Q Kuva 74. Kommutoivat ortoprojektiot. (2) Saomme, että P ja Q ovat toisillee ortogoaaliset ortoporojektiot, mikäli e toteuttavat seuraavat keskeää yhtäpitävät ehdot: i) F P F Q, ts. (Px Qy) =0 x H. ii) PQ =0. iii) QP =0. iv) P + Q o ortoprojektio. v) Im (P + Q) =F P FQ. x + F FP Q Qx Px (P+Q)x F P F Q Kuva 75. Ortogoaaliste projektioide summa.
27 27. HERMIITTISTEN OPERAATTORIEN OMINAISUUKSIA 227 (3) Merkitsemme P Q, mikäli seuraavat yhtäpitävät ehdot toteutuvat: i) F P F Q ii) PQ = P. iii) QP = P. iv) Q P o ortoprojektio. v) Px Qx x H Relaatio P Q o ortoprojektioille järjestys, joka o sama asia kui iide kuva-avaruuksie joukko-opillie ikluusio. Erityisesti jokaie ortoprojektio o suurempi kui ollaprojektio, siis tässä mielessä positiivie. Nollakuvaus o siis piei ortoprojektio ja idettie kuvaus o suuri ortoprojektio. x FQ Qx Px F P F Q-P Kuva 76. P Q. Huomautus Projektioide järjestysrelaatio voidaa yleistää koskemaa myös muita hermiittisiä operaattoreita kui projektioita. Palaamme tähä erittäi tärkeää äkökohtaa seuraavassa luvussa. 27. Hermiittiste operaattorie omiaisuuksia Yleisiä omiaisuuksia. Olemme määritelleet hermiittise operaattori luvussa 10. Kertaamme määritelmä ja täydeämme tietojamme. Seuraavassa kutaa o C. Kertaus (1) Operaattori A o hermiittie, jos A = A eli (Ax y) =(x Ay) x, y H. Tämä o kompleksisessa avaruudessa yhtäpitävää se kassa, että (Ax x) R kaikilla x H. (2) Hermiittiset operaattorit muodostavat B(H): reaalise vektorialiavaruude, mutta eivät kompleksista aliavaruutta, eihä edes ii ole hermiittie operaattori. (3) Hermiittiset operaattorit eivät muodosta rekaa (B(H), +, ) aliregasta, sillä: (4) Jos A ja B ovat hermiittisiä, ii AB o hermiittie aia ja vai, ku AB = BA.
28 f ( ) 228 (5) Hermiittiset operaattorit muodostavat B(H): suljetu jouko, siis täydellise metrise aliavaruude, oha iide joukko pistee 0 alkukuva jatkuvassa kuvauksessa B(H) B(H) :T T T. (6) Jokaie T B(H) voidaa yksikäsitteisellä tavalla hajottaa muotoo T = A + ib, missä A ja B ovat hermiittisiä, imittäi reaaliosaasa A = 1 2 (T + T ) ja imagiaariosaasa B = i 2 (T T ). Lisäksi T o ormaali, eli TT = T T, jos ja vai jos AB = BA. Tietysti jokaie hermiittie ja myös jokaie uitaarie operaattori U o ormaali, oha UU = I = U U. Seuraava lause o periaatteessa lieaarialgebrasta tuttu. Tarkoitukseamme o pia todistaa, että koko spektri o reaalie. Lause Olkoo A B(H) hermiittie. A: omiaisarvot ovat reaalisia ja eri omiaisarvoja vastaavat omiaisvektorit ortogoaalisia. Todistus. Perustelu voidaa kopioida äärellisulotteisesta tapauksesta. Kertaamme se. Olkoo Ax = λx, missä x 0. Nyt R (Ax x) =(λx x) =λ x 2, jote aiaki λ o reaaliluku. Olkoo lisäksi Ax = µy, missä y 0jaλ µ. O osoitettava, että (x y) = 0. Koska λ o reaalie, o (µ λ)(x y) =(µx y) (x λy) =(Ax y) (x Ay) =(Ax y) (Ax y) = Hermiittise operaattori ormi kaava. Seuraavassa kohdassa esiteltävä lause o edellisiä vaikeampi todistaa, mutta tarvitsemme aiva pia sitä tietoa, että jos A o hermiittie ja (Ax x) = 0 kaikille x H, ii A =0. Lause Olkoo A B(H) hermiittie. Tällöi A = sup (Ax x). x =1 Erityisesti A =0, jos jokaie (Ax x) o 0. Todistus. Merkitää ormiehdokasta N A = sup x =1 (Ax x), jolloi kaikilla x H: (Ax x) N A x 2 ja väite o N A = A. Millä tahasa operaattorilla o tieteki yksikköpallo vektoreille x H voimassa Cauchy, Schwarzi ja Bujakovski epäyhtälöstä saatava (Ax x) Ax x A x 2 = A, ja siis N A A. Kääteie puoli o varsiaie väite ja se todistus vaatii hermiittisyyde käyttöä. Kaikilla u, z H pätee (A(u + z) u + z) =(Au u)+ ( (Au z)+(az u) ) +(Az z) (A(u z) u z) =(Au u) ( (Au z)+(az u) ) +(Az z)
29 27. HERMIITTISTEN OPERAATTORIEN OMINAISUUKSIA 229 Erotuksesta ja hermiittisyysehdosta (z Au) =(Az u) saadaa (Au z)+(z Au) = 1 2( (A(u + z) u + z) (A(u z) u z) ). Oikea puoli sopii yhtee N A : määritelmä kassa, ja saamme arvio (Au z)+(z Au) = 1 2 ((A(u + z) u + z) (A(u z) u z) 1 2 ((A(u + z) u + z) (A(u z) u z) 1 2 N A u + z N A u z 2 = N A 1 2 ( u + z 2 + u z 2 ) = N A ( u 2 + z 2 ), missä o lopuksi käytetty suuikassäätöä. Olkoo x H. Osoitamme, että Ax N A x. Voimme olettaa, että x 0. Epäyhtälö seuraa edelläolevasta arviosta, ku valitaa jolloi u = x Ax x ja x z = Ax Ax, (Au z)+(z Au) =2 Ax 2 ja u 2 + z 2 =2 Ax x Hermiittiste operaattoreide järjestys. Nyt yleistämme projektioide järjestysrelaatio koskemaa myös muita hermiittisiä operaattoreita kui projektioita: Operaattori T o positiivie, jos (Tx x) 0 x H. Vastaavasti määritellää egatiivie operaattori. Koska positiivi- ja egatiiviluvut ovat reaalisia, ii positiiviset ja egatiiviset operaattorit ovat siis hermiittisiä. Jos T ja S ovat hermiittisiä operaattoreita ja S T o positiivie, ii merkitää T S. Näi määritellää hermiittiste operaattoreide järjestys. Lause Relaatio T S o hermiittiste operaattorie joukossa järjestysrelaatio. Erityisesti ollasta eroava operaattori T ei lausee 27.3 mukaa voi olla sekä positiivie että egatiivie. Todistus. Harjoitustehtävä. Lause (1) Jos A, B ja C ovat hermiittisiä jaa B, ii A + C B + C. (2) Jos A, B ovat hermiittisiä, λ R + ja A B, ii λa λb. (3) Jos A o hermiittie, ii A 2 0. Todistus. Harjoitustehtävä.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( ) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Harjoituste 3 ratkaisut MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Topologiset vektoriavaruudet 3.1. Jokaie kompakti joukko K R määrää fuktioavaruudessa E = C(R ) = {f : R R f o jatkuva}
Lisätiedot9. ORTOGONAALIPROJEKTIOT JA KANNAT HILBERTIN AVARUUDESSA 51
9. ORTOGONAALIPROJEKTIOT JA KANNAT HILBERTIN AVARUUDESSA 5 Lause 8.4 (Pythagoras) 26. Sisätuloavaruude keskeää ortogoaalisille vektoreille x,...,x pätee x j 2 = x j 2. j= j= Todistus. Ku = 2, lasketaa
LisätiedotKompaktissa joukossa jatkuva funktio K on rajoitettu, joten M =sup{ K(s, t) (s, t) [0, 1] 2 } <. Siksi jokaisella Af Hja t [0, 1] pätee
18. YHTÄJATKUVAT JA PREKOMPAKTIT KUVAUSPERHEET 151 Kompaktissa joukossa jatkuva fuktio K o rajoitettu, jote M =sup{ K(s, t) (s, t) [0, 1] 2 }
LisätiedotJYVÄSKYLÄN YLIOPISTO. Funktionaalianalyysi Harjoitukset 1,
f ( ) Fuktioaaliaalyysi Harjoitukset 1, 19.1.2005 Jatkuu... Tähdellä merkityt tehtävät ovat ylimääräisiä. 1. Olkoot X epätyhjä joukko, F b (X, R) := {f : X R f o rajoitettu}, f := sup x X f(x) ja d(f,
LisätiedotMat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.340 Lieaarie ohjelmoiti 20.9.2007 Lueto 2 Lieaarialgebraa ja geometriaa (kirja.5, 2.) S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / Lieaarialgebraa Notaatiota Kääteismatriisi
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
Lisätiedot1 Eksponenttifunktion määritelmä
Ekspoettifuktio määritelmä Selvitimme aikaisemmi tällä kurssilla, millaie potessisarja säilyy derivoiissa muuttumattomaa. Se perusteella määritellää: Määritelmä. Ekspoettifuktio exp : R R määritellää lausekkeella
LisätiedotSeuraavat peruslauseet 1-8 voidaan helposti todistaa integraalin määritelmästä. Integroimisjoukko R oletetaan rajoitetuksi Jordanmitalliseksi
Laaja matematiikka 5 Kevät 200 2. Itegraali omiaisuuksia Seuraavat peruslauseet -8 voidaa helposti todistaa itegraali määritelmästä. Itegroimisjoukko oletetaa rajoitetuksi Jordamitalliseksi joukoksi. Lause
Lisätiedot(ω, t) W t (ω) 1 2π(t s) exp x2
11. HILBERTIN AVARUUKSIEN SOVELLUKSIA 11 (5) Satuaismuuttujat f i :Ω R, (i I) ovatriippumattomat, mikäli iide virittämät σ -algebrat ovat riippumattomat, eli mikäli kaikille i 1,...,i I, B i1,...,b i Bpätee
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
LisätiedotHarjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 4 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 4.1. Viime kerralta. Esimerkki lokaalikonveksin avaruuden osajoukosta, joka
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kertauslueto. välikokeesee Algebraa Tämäkertaie kurssimoiste sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Syyä tähä o se, että matematiikkaa oppii parhaite itse tekemällä ja laskemalla.
LisätiedotMatematiikan tukikurssi. Kertausta 1. välikokeeseen. Tehtävät
Matematiika tukikurssi Kertausta. välikokeesee Tehtävät Algebraa Tämä kappale sisältää rusaasti harjoitustehtäviä. Suurimpaa osaa tehtävistä löytyy ratkaisut lopusta. Syyä rusaasee tehtävämäärää o, että
LisätiedotAnalyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna
Lisätiedot1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
LisätiedotKertaa tarvittaessa induktiota ja rekursiota koskevia tietoja.
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Aalyysi I Harjoitus 5. 0. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia ( sivua) (Rami Luisto) Laskuharjoituksista saa pistettä, jos laskettu vähitää 50 tehtävää; 3 pistettä,
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
LisätiedotNoora Nieminen. Hölderin epäyhtälö
Noora Niemie Hölderi epäyhtälö Matematiika aie Turu yliopisto 4. huhtikuuta 2008 Sisältö 1 Johdato 1 2 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö 2 2.1 Cauchy-Schwarzi epäyhtälö todistus............. 2 2.2 Aritmeettis-geometrise
Lisätiedot8. Avoimen kuvauksen lause
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 125 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen
LisätiedotSolmu 3/2010 1. toteutuu kaikilla u,v I ja λ ]0,1[. Se on aidosti konveksi, jos. f ( λu+(1 λ)v ) < λf(u)+(1 λ)f(v) (2)
Solmu 3/200 Epäyhtälöistä, osa 2 Markku Halmetoja Mätä lukio Välillä I määriteltyä fuktiota saotaa koveksiksi, jos se kuvaaja o alaspäi kupera, eli jos kuvaaja mitkä tahasa kaksi pistettä yhdistävä jaa
LisätiedotÄärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims
75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva
LisätiedotTehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotLaaja matematiikka 2 Kertaustehtäviä Viikko 17/ 2005
7303045 Laaja matematiikka Kertaustehtäviä Viikko 7/ 005 Tehtävät ovat Laaja matematiikka : ja : alueelta olevia etisiä välikoe- ja tettitehtäviä. Alkupää tehtävät liittyvät yleesä kurssii ja loppupää
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotAlgebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)
Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse
LisätiedotMetriset avaruudet 2017
Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Merkintöjä N = {0, 1, 2,... } luonnolliset luvut #(A) N { } joukon A alkioiden lukumäärä A B = {a A : a / B} joukkojen A ja B erotus. A B on joukkojen A ja B erillinen
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotRATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain
LisätiedotMATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
LisätiedotMATA172 Sami Yrjänheikki Harjoitus Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki!
MATA17 Sami Yrjäheikki Harjoitus 7 1.1.018 Tehtävä 1 Totta vai Tarua? Lyhyt perustelu tai vastaesimerkki! (a) Jokaie jatkuva fuktio f : R R o tasaisesti jatkuva. (b) Jokaie jatkuva fuktio f : [0, 1[ R
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
LisätiedotEpäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin
Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy
LisätiedotInsinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lisätiedot3 10 ei ole rationaaliluku.
Harjoitukset / 011 RATKAISUT Lukuteoria 1. Etsi Eratostheee seulalla samatie kaikki lukua 400 pieemmät alkuluvut. (Tai ohjelmoi tietokoeesi etsimää paljo lisää.) Kirjoita rivii kaikki luvut 1-00. Poista
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotDerivaatta: funktion approksimaatio lineaarikuvauksella.
Viikko 5 Tällä viikolla yleistetään R 2 :n ja R 3 :n vektorialgebran peruskäsitteet n-ulotteiseen avaruuteen R n, ja määritellään lineaarikuvaus. Tarkastellaan funktioita, joiden määrittelyjoukko on n-ulotteisen
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotRyhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät
Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät 2 1.1 Ryhmä.................................
LisätiedotMetriset avaruudet 2017
Metriset avaruudet 2017 Jouni Parkkonen Lukijalle Nämä ovat muistiinpanoni metristen avaruuksien kurssille syyslukukaudella 2017. Kurssi on johdatus metristen avaruuksien teoriaan. Peruskäsitteiden (metriikka,
LisätiedotKompaktisuus ja filtterit
Kompaktisuus ja filtterit Joukkoperheellä L on äärellinen leikkausominaisuus, mikäli jokaisella äärellisellä L L on voimassa L. Nähdään helposti, että perheellä L on äärellinen leikkausominaisuus ja L
Lisätiedot4.3 Signaalin autokorrelaatio
5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.
LisätiedotMetriset avaruudet ja Topologia
Metriset avaruudet ja Topologia 1.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.5-1.0 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa syksyllä 2018 Sisältö I Metriset avaruudet 7 1 Metriset avaruudet 9 1.1 Määritelmä ja
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
LisätiedotMetriset avaruudet ja Topologia
Metriset avaruudet ja Topologia 1.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.5-1.0 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa syksyllä 2017 Sisältö I Metriset avaruudet 5 1 Metriset avaruudet 7 1.1 Määritelmä ja
LisätiedotMetriset avaruudet ja Topologia
Metriset avaruudet ja Topologia 1.0 0.5 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0-0.5-1.0 Jouni Parkkonen Luentoja Jyväskylän yliopistossa syksyllä 2018 Sisältö I Metriset avaruudet 5 1 Metriset avaruudet 7 1.1 Määritelmä ja
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSI 2017
FUNKTIONAALIANALYYSI 2017 JOUNI PARKKONEN Nämä ovat muistiinpanoni funktionaalianalyysin kurssille kevätlukukaudella 2017. Tekstiä ei ole luettu äärimmäisen huolella puhtaaksi eikä sitä ole viilattu julkaisemista
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA III
802320A LINEAARIALGEBRA OSA III Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 56 Määritelmä Määritelmä 1 Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V
LisätiedotLaskutoimitusten operaattorinormeista
Laskutoimitusten operaattorinormeista Rami Luisto 27. tammikuuta 2012 Tiivistelmä Tässä kirjoitelmassa määrittelemme vektoriavaruuksien väliselle lineaarikuvaukselle normin ja laskemme sen eksplisiittisesti
LisätiedotMääritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V. Termejä: Lineaarikuvaus, Lineaarinen kuvaus.
1 Lineaarikuvaus 1.1 Määritelmä Määritelmä 1. Olkoot V ja W lineaariavaruuksia kunnan K yli. Kuvaus L : V W on lineaarinen, jos (a) L(v + w) = L(v) + L(w); (b) L(λv) = λl(v) aina, kun v, w V ja λ K. Termejä:
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot3 x < < 3 x < < x < < x < 9 2.
Matematiika johdatokurssi Kertaustehtävie ratkaisuja 1. Ratkaise epäyhtälöt: a) 3 x < 3, b) 5x + 1. Ratkaisu. a) Ratkaistaa epäyhtälö poistamalla esi itseisarvot: 3 x < 3 3 < 3 x < 3 9 < x < 3 3 < x
Lisätiedotu = 2 u (9.1) x + 2 u
9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotHY, MTL / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIb, syksy 2018 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia.
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy 08 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var
Lisätiedot6. Lineaariset operaattorit
96 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 6. Lineaariset operaattorit Luvussa 5 osoitimme, että Fourier-sarjat suppenevat L 2 -normissa (kts. Seuraus 5.8 sivulla 80). Osoitimme myös, että kun f on jatkuva ja
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotEX1 EX 2 EX =
HY, MTL / Matemaattiste tieteide kadiohjelma Todeäköisyyslasketa IIb, syksy Harjoitus Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Olkoot X ja X riippumattomia satuaismuuttujia, joille ja olkoo X EX, EX, var X,
LisätiedotDiskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =
Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
Lisätiedot2 u = 0. j=1. x 2 j=1. Siis funktio v saavuttaa suurimman arvonsa jossakin alueen Ω pisteessä x. Pisteessä x = x on 2 v. (x ) 0.
0. Maksimiperiaate Laplace-yhtälölle 0.. Maksimiperiaate. Alueessa Ω R määritelty kaksi kertaa erivoituva fuktio u o harmoie, jos u = j= = 0. 2 u x 2 j Lause 0.. Olkoot Ω R rajoitettu alue ja u C(Ω) C
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotEsimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)
10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista
LisätiedotSuoraviivaista ajattelua II osa FUNKTIONAALIANALYYSI. Lauri Kahanpää
Suoraviivaista ajattelua II osa FUNKTIONAALIANALYYSI Lauri Kahapää Sisällys Aluksi 7 I Metriset avaruudet ja täydellisyys 8 1. Sisätulo, ormi, metriikka ja topologia 8 2. Weierstrassi approksimaatiolause
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 4. (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N,
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 4 (1) Keksi funktio f ja suljetut välit A i R 1, i = 1, 2,... siten, että f : R 1 R 1, f Ai on jatkuva jokaisella i N, i=1 A i = R 1, ja f : R 1 R 1 ei ole jatkuva. Lause
LisätiedotMathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into their own language and forthwith it is something entirely
f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO Funktionaalianalyysi Sekalaisia harjoituksia MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Jatkuu... Mathematicians are like Frenchmen: whatever you say to them they translate into
Lisätiedot1 Lineaarialgebraa Vektoriavaruus Lineaarikuvaus Zornin lemma ja Hamelin kanta... 10
Sisältö I Banachin avaruudet 5 1 Lineaarialgebraa 7 1.1 Vektoriavaruus................................. 7 1.2 Lineaarikuvaus................................. 8 1.3 Zornin lemma ja Hamelin kanta........................
Lisätiedot4. Hilbertin avaruudet
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 51 4. Hilbertin avaruudet Hilbertin avaruudet ovat ääretönulotteisista normiavaruuksista ominaisuuksiltaan kaikkein lähinnä kotiavaruutta R n tai C n. Tästä syystä niiden
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotJoukot metrisissä avaruuksissa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia
LisätiedotLineaarialgebra II P
Lineaarialgebra II 89P Sisältö Vektoriavaruus Sisätuloavaruus 8 3 Lineaarikuvaus 5 4 Ominaisarvo 5 Luku Vektoriavaruus Määritelmä.. Epätyhjä joukko V on vektoriavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa:.
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotKarteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21
säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1
Lisätiedot2. Normi ja normiavaruus
8 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 2. Normi ja normiavaruus Olkoon E vektoriavaruus (eli lineaariavaruus) skalaarikuntana K = R tai K = C. Kurssilla Lineaarialgebra I määriteltiin vain R-kertoimiset vektoriavaruudet,
LisätiedotÄärellisten Borel-mittojen Fourier-muunnoksista euklidisissa avaruuksissa
Äärelliste Borel-mittoje Fourier-muuoksista euklidisissa avaruuksissa Jooas Niiikoski Matematiika Pro Gradu -tutkielma Jyväskylä yliopisto Matematiika ja tilastotietee laitos Kesä 2016 Tiivistelmä: Jooas
LisätiedotFUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. 0. Johdanto
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 1. Johdanto Funktionaalianalyysissa tutkitaan muun muassa ääretönulotteisten vektoriavaruuksien, ja erityisesti täydellisten normiavaruuksien eli Banach avaruuksien ominaisuuksia.
LisätiedotMääritelmä 2.5. Lause 2.6.
Määritelmä 2.5. Olkoon X joukko ja F joukko funktioita f : X R. Joukkoa F sanotaan pisteittäin rajoitetuksi, jos jokaiselle x X on olemassa sellainen C x R, että f x C x jokaiselle f F. Joukkoa F sanotaan
LisätiedotKuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160
Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä
LisätiedotMatriisiteoria Harjoitus 1, kevät Olkoon. cos α sin α A(α) = . sin α cos α. Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?
Harjoitus 1, kevät 007 1. Olkoon [ ] cos α sin α A(α) =. sin α cos α Osoita, että A(α + β) = A(α)A(β). Mikä matriisi A(α)A( α) on?. Olkoon a x y A = 0 b z, 0 0 c missä a, b, c 0. Määrää käänteismatriisi
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotMetriset avaruudet. Erno Kauranen. 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00
1 Metriset avaruudet Erno Kauranen 1 Versio: 10. lokakuuta 2016, 00:00 1. Sisätulo ja normiavaruus................................................. 3 2. Metrinen avaruus........................................................
Lisätiedot