Matriisilaskentaa tilastotieteilijöille
|
|
- Iivari Kahma
- 7 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille Matriisilasketaa tilastotieteilijöille Ilkka Melli.. Vektorit.. Vektoriavaruudet ja vektorialiavaruudet.3. Lieaarie riippuvuus ja riippuattouus.4. Lieaariset yhtälöt.5. Sisätulo ja vektori ori.6. Ortogoaaliset vektorit.7. Suorat ja tasot.8. Ortogoaalie projektio ja ortogoaalie kopleetti TKK Ilkka Melli (007) /8
2 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille Matriisilasketaa tilastotieteilijöille.. Vektorit VEKTORIT JA NIIDEN ALKIIOT VEKTOREIDEN YHTEENLASKU JA KERTOMINEN REAALILUVULLA LASKUSÄÄNNÖT VEKTOREIDEN YHTEENLASKULLE JA KERTOMISELLE REAALILUVULLA.. Vektoriavaruudet ja vektorialiavaruudet VEKTORIAVARUUS VEKTORIALIAVARUUS LINEAARIKOMBINAATIOT VEKTORIJOUKON VIRITTÄMÄ VEKTORIALIAVARUUS.3. Lieaarie riippuvuus ja riippuattouus LINEAARINEN RIIPPUVUUS LINEAARINEN RIIPPUMATTOMUUS VEKTORIAVARUUDEN KANTA.4. Lieaariset yhtälöt HOMOGEENISET LINEAARISET YHTÄLÖT JA NIIDEN RATKAISUT EPÄHOMOGEENISET LINEAARISET YHTÄLÖT JA NIIDEN RATKAISUT LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT JA NIIDEN RATKAISUT.5. Sisätulo ja vektori ori SISÄTULO VEKTORIN NORMI ELI PITUUS LASKUSÄÄNNÖT SISÄTULOLLE.6. Ortogoaaliset vektorit ORTOGONAALISUUS ORTONORMAALISUUS ORTOGONALISOINTI.7. Suorat ja tasot SUORAT TASOT.8. Ortogoaalie projektio ja ortogoaalie kopleetti ORTOGONAALINEN PROJEKTIO ORTOGONAALINEN KOMPLEMENTTI SUORA SUMMA TKK Ilkka Melli (007) /8
3 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille.. Vektorit Vektorit ja iide alkiot Olkoo kpl {( x, x,, x) xi, i,,, } = = = reaalilukuje jouko -kertaie karteesie tulo itsesä kassa. Joukko o - diesioaalie eli -ulotteie euklidie avaruus. Avaruude pisteet ovat reaalilukuje x i, i =,,, (järjestettyjä) jooja. Jos siis x, ii x = (x, x,, x ) jossa x i, i =,,,. Kutsue jatkossa avaruude pisteitä x vektoreiksi ja pistee x = (x, x,, x ) i. koordiaattia x i, i =,,, vektori x i. kopoetiksi eli alkioksi. Edellä saottu erkitsee sitä, että saaistae vektorit ja -ulotteise euklidise avaruude pisteet. Voie kuvata vektoria x = (x, x,, x ) geoetrisea objektia avaruude origosta eli pisteestä 0 = (0, 0,, 0) pisteesee x ulottuvaa uolea; ks. kuvaa alla, joka esittää kaksiulotteise euklidise avaruude vektoria x = (x, x ). x = (x, x ) x 0 = (0, 0) Vektoreide yhteelasku ja kertoie reaaliluvulla Määrittelee seuraavassa peruslaskutoiitukset vektoreille. Kertoie reaaliluvulla Olkoo x, a Reaaliluvu a ja vektori x = (x, x,, x ) tulo o -vektori ax = (ax, ax,, ax ) x TKK Ilkka Melli (007) 3/8
4 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille Kuva alla havaiollistaa kaksiulotteise euklidise avaruude reaaliluvulla a. ax = (ax, ax ) vektori x kertoista x = (x, x ) ax x Yhteelasku Olkoot x, y Vektoreide x = (x, x,, x ) ja y = (y, y,, y ) sua o -vektori x + y = (x + y, x + y,, x + y ) Laskusääöt vektoreide yhteelaskulle ja kertoiselle reaaliluvulla Suoraviivaisi laskutoiituksi ähdää, että vektorit toteuttavat seuraava lausee kohdat (i)-(vii). Lause... Olkoot x, y, z ja a, b. (i) x + y = y + x (ii) x + (y + z) = (x + y) + z (iii) O oleassa vektori 0 = (0, 0,, 0) x + 0 = x Vektoria 0 kutsutaa ollavektoriksi. site, että (iv) O oleassa vektori u = x = ( x, x,, x ) site, että x + u = 0 Vektoria u = x kutsutaa vektori x vastavektoriksi. (v) a(x + y) = ax + ay (vi) a(bx) = (ab)x (vii) x = x Huoautus: 0 = (0, 0) x ax Lausee... kohdista (i) ja (ii) seuraa, että vektoreide sua voidaa laskea issä järjestyksessä tahasa. TKK Ilkka Melli (007) 4/8
5 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille Kuva alla havaiollistaa kaksiulotteise euklidise avaruude y = (y, y ) suaa. vektoreide x = (x, x ) ja y x x x y y y y x + y = y + x x x 0 = (0, 0) x y.. Vektoriavaruudet ja vektorialiavaruudet Vektoriavaruus Saoe, että joukko V o vektoriavaruus, jos jouko V ielivaltaiset alkiot x, y ja z toteuttavat lausee... kohdat (i)-(vii). Site -ulotteie euklidie avaruus o vektoriavaruus. Vektorialiavaruus Olkoo M. Oletetaa, että joukko M o suljettu reaaliluvulla kertoise ja yhteelasku suhtee: (i) x M, a ax M (ii) x, y M x + y M Tällöi saoe, että joukko M o vektoriavaruude vektorialiavaruus. Suoraa laskealla ähdää, että avaruude vektorialiavaruudet ovat vektoriavaruuksia, ts. jos joukko M o avaruude vektorialiavaruus, ii lausee... kohdat (i)-(vii) pätevät kaikille vektorialiavaruude M vektoreille. Lieaarikobiaatiot Oletetaa, että x, x,, x y = aix i ja a, a,, a. Vektoria kutsutaa vektoreide x, x,, x lieaarikobiaatioksi tai lieaariyhdistelyksi. Vektorijouko virittää vektorialiavaruus Olkoo S = {x, x,, x x i, i =,,, } TKK Ilkka Melli (007) 5/8
6 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille joki vektoriavaruude vektoreide joukko ja olkoo M( S) = { y y = ax, x, x,, x S, a, a,, a } i i jouko S vektoreide kaikkie lieaarikobiaatioide joukko. Lause... Jouko S = {x, x,, x x i, i =,,, } vektoreide kaikkie lieaarikobiaatioide joukko M(S) o vektorialiavaruus. (i) Oletetaa, että y M(S), jolloi y = aix i jossa x, x,, x S, a, a,, a. Olkoo a. Tällöi (ii) a y = a a x = ( aa ) x i i i i ja site ay M(S) Oletetaa, että y, z M(S), jolloi y = z = a x i i b x i i jossa x, x,, x S, a, a,, a, b, b,, b. Tällöi ai i bi i ( ai bi) i y+ z = x + x = + x ja site y + z M(S) Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että jouko S vektoreide kaikkie lieaarikobiaatioide joukko M(S) o vektorialiavaruus. Lause... otivoi se, että jouko S = {x, x,, x x i, i =,,, } vektoreide kaikkie lieaarikobiaatioide joukkoa M(S) o kutsutaa vektoreide x, x,, x virittääksi vektorialiavaruudeksi. TKK Ilkka Melli (007) 6/8
7 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille Lause... Jouko S = {x, x,, x x i, i =,,, } vektoreide kaikkie lieaarikobiaatioide joukko M(S) o suppei vektori avaruude vektorialiavaruuksista, jotka sisältävät jouko S osajoukkoaa. Todistetaa esi, että jouko S vektoreide kaikkie lieaarikobiaatioide joukko M(S) sisältää jouko S osajoukkoaa. Olkoo x k S Valitsealla a k = ja a i = 0, i k, ähdää, että jokaie vektori x k S voidaa esittää vektoreide x, x,, x lieaarikobiaatioa: x k = aix i Site x k M(S) ja olee siis todistaeet, että S M(S) Todistetaa toiseksi, että M(S) o suppei iistä vektorialiavaruuksista, joka sisältävät jouko S osajoukkoaa. Oletetaa, että U o ielivaltaie avaruude jouko S osajoukkoaa: S U vektorialiavaruus, joka sisältää Koska U o vektorialiavaruus, ii U sisältää alkioiaa yös kaikki jouko S vektoreide lieaarikobiaatiot. Site olee todistaeet, että M(S) U jote M(S) o suppei jouko S vektorit osajoukkoaa sisältävistä vektorialiavaruuksista..3. Lieaarie riippuvuus ja riippuattouus Lieaarie riippuvuus Vektorit x, x,, x ovat lieaarisesti riippuvia, jos o oleassa reaaliluvut a, a,, a site, että aixi = 0 TKK Ilkka Melli (007) 7/8
8 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille ja kaikki reaaliluvut a, a,, a eivät ole saaaikaisesti ollia. Palautetaa ielee, että erkitä 0 tarkoittaa (-ulotteista) ollavektoria: 0 = (0, 0,,0) Lieaarie riippuattouus Jos vektorit x, x,, x eivät ole lieaarisesti riippuvia, e ovat lieaarisesti riippuattoia. Jos vektorit x, x,, x ovat lieaarisesti riippuattoia, iistä yhtäkää ei voida esittää uide lieaarikobiaatioa, ikä erkitsee sitä, että aixi = 0 vai, jos a = a = = a = 0. Vektoriavaruude kata Olkoo S vektoriavaruude vektorialiavaruude M lieaarisesti riippuattoie vektoreide joukko, joka virittää vektorialiavaruude M. Tällöi saoe, että jouko S vektorit uodostavat vektorialiavaruude M kaa. Lause.3.. Vektorit e = (, 0, 0,, 0, 0) e = (0,, 0,, 0, 0) e = (0, 0, 0,, 0, ) uodostavat vektoriavaruude kaa. Vektorit e, e,, e ovat lieaarisesti riippuattoia, koska aie ( a, a,, a) = 0 vai, jos a = a = = a = 0. Lisäksi jokaie avaruude vektori x = (x, x,, x ) voidaa esittää vektoreide e, e,, e lieaarikobiaatioa: x = ( x, x,, x) = xiei Site vektorit e, e,, e uodostavat vektoriavaruude kaa. Lauseessa.3.. ääritellyt vektorit e, e,, e ovat vektoriavaruude koordiaattiakseleide suutaisia yksikkövektoreita (so. koordiaattiakseleide suutaisia vektoreita, joide pituus = ) ja e uodostavat s. stadardikaa vektoriavaruudelle. TKK Ilkka Melli (007) 8/8
9 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille Lause.3.. Oletetaa, että joukot {u, u,, u p } ja {v, v,, v q } ovat kaksi vektoriavaruude vektorialiavaruude M kataa. Tällöi p = q. Oletetaa esi, että p < q. Koska vektorit u, u,, u p uodostavat vektorialiavaruude M kaa, ii vektori v voidaa esittää vektoreide u, u,, u p lieaarikobiaatioa: p v = aiu i ja aiaki yksi luvuista a, a,, a p o ollasta poikkeava. Olkoo tää a i. Tästä seuraa, että yös vektorit v, u, u,, u i, u i+,, u p uodostavat vektorialiavaruude M kaa. Site vektori v voidaa esittää vektoreide v, u, u,, u i, u i+,, u p lieaarikobiaatioa ja voie korvata yhde vektoreista u, u,, u i, u i+,, u p vektorilla v ii, että tuloksea saatava vektorijoukko uodostaa vektorialiavaruude M kaa. Huoaa, että vektoria v ei voida korvata vektorilla v, koska v ja v ovat saa kaa vektoreia lieaarisesti riippuattoia. Tätä korvauseettelyä voidaa jatkaa kues jäljelle jäävät vektorit v, v,, v p ja e uodostavat vektorialiavaruude M kaa. Site olee todistaeet, että (q p) kpl vektoreista v, v,, v q o redudatteja, jote välttäättä p q. Saalla tavalla voidaa osoittaa, että oletuksesta p > q seuraa, että välttäättä p q. Yhdistäällä epäyhtälöt p q ja p q saadaa yhtälö p = q. Lauseesta.3.. seuraa, että vektoriavaruude vektorialiavaruude M jokaisessa kaassa o yhtä ota alkiota. Jos vektorialiavaruude M kaassa o alkiota, saoe, että vektorialiavaruude M diesio o : di(m) = Lause.3.3. Olkoo S = {x, x,, x x i, i =,,, } joki vektorialiavaruude M kata. Tällöi jokaisella vektorialiavaruude M vektorilla y o yksikäsitteie esitys y = aix i kataa S kuuluvie vektoreide x, x,, x lieaarikobiaatioa. TKK Ilkka Melli (007) 9/8
10 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille Oletetaa, että Tällöi y = a x = b x i i i i ai i bi i ( ai bi) i 0= x x = x Koska vektorit x, x,, x ovat katavektoreia lieaarisesti riippuattoia, ii välttäättä a i b i = 0, i =,,, eli a i = b i, i =,,, Site vektori y esitys y = aix o yksikäsitteie. i.4. Lieaariset yhtälöt Hoogeeiset lieaariset yhtälöt ja iide ratkaisut Oletetaa, että a, a,, a ja x, x,, x. Tarkastellaa lieaarista yhtälöä ( ) x a + x a + + x a = 0 Kutsue yhtälöä ( ) hoogeeiseksi. Yhtälö ( ) toteutuu, jos x = x = = x = 0 Saoe, että x = x = = x = 0 o yhtälö ( ) triviaali ratkaisu. Olee jatkossa kiiostueita lähiä yhtälö ( ) epätriviaaleista ratkaisuista, so. illaisi vektoreita a, a,, a koskevi ehdoi o oleassa reaaliluvut x, x,, x, jotka kaikki eivät ole saaaikaisesti ollia, ii, että yhtälö ( ) pätee. Suoraa lieaarise riippuvuude ääritelää soveltaalla saadaa seuraava lause: Lause.4.. Välttäätö ja riittävä ehto sille, että hoogeeisella yhtälöllä ( ) x a + x a + + x a = 0 o epätriviaali ratkaisu o se, että vektorit a, a,, a ovat lieaarisesti riippuvia. TKK Ilkka Melli (007) 0/8
11 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille Muodostetaa hoogeeise yhtälö ( ) x a + x a + + x a = 0 ratkaisusta x, x,, x -vektori x = (x, x,, x ) Lause.4.. Hoogeeise yhtälö ( ) x a + x a + + x a = 0 ratkaisut x = (x, x,, x ) aliavaruude. (i) (ii) uodostavat vektoriavaruude vektori- Oletetaa, että vektori x = (x, x,, x ) o yhtälö ( ) ratkaisu ja olkoo a. Tällöi yös vektori ax = (ax, ax,, ax ) o yhtälö ( ) ratkaisu, koska ax a + ax a + + ax a = a(x a + x a + + x a ) = a0 = 0 Oletetaa, että vektorit x = (x, x,, x ) ja y = (y, y,, y ) ovat yhtälö ( ) ratkaisuja. Tällöi yös vektori x + y = (x + y, x + y,, x + y ) o yhtälö ( ) ratkaisu, koska (x + y )a + (x + y )a + + (x + y )a = (x a + x a + + x a ) + (y a + y a + + y a ) = = 0 Kohdista (i) ja (ii) seuraa, että yhtälö ( ) ratkaisut uodostavat avaruude aliavaruude. Lause.4.3. Olkoo M(x) hoogeeise yhtälö ( ) x a + x a + + x a = 0 ratkaisuje x = (x, x,, x ) uodostaa vektorialiavaruus ja olkoo M(a) vektoreide a, a,, a virittää vektorialiavaruus. Tällöi di(m(x)) = di(m(a)) Oletetaa, että di(m(a)) = k jolloi vektoriavaruudella M(a) o kata, jossa o k vektoria. vektori- TKK Ilkka Melli (007) /8
12 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille Voie yleisyyde kärsiättä olettaa, että vektorit a, a,, a k uodostavat avaruude M(a) kaa. Tällöi voie esittää vektorit a k+, a k+,, a uodossa a i = x i a + x i a + + x ik a k, i = k +, k +,, Muodostetaa -vektorit x = (x k+,, x k+,,, x k+,k,, 0,, 0) x = (x k+,, x k+,,, x k+,k, 0,,, 0) x k = (x, x,, x k, 0, 0,, ) Vektorit x, x,, x k ovat lieaarisesti riippuattoia ja toteuttavat yhtälö ( ). Todistetaa, että vektorit x, x,, x k virittävät yhtälö ( ) ratkaisuje uodostaa vektorialiavaruude M(x). Olkoo y = (y, y,, y ) yhtälö ( ) ratkaisu. Tällöi yös y + y k+ x + y k+ x + + y x k o yhtälö ( ) ratkaisu. Koska tää ratkaisu o uotoa (z, z,, z k, 0, 0,, 0) ii z a + z a + + z k a k = 0 Tää o ahdollista vai, jos z = z = = z k = 0 ikä erkitsee sitä, että y + y k+ x + y k+ x + + y x k = 0 ikä o yhtäpitävää se kassa, että y = y k+ x y k+ x y x k Site jokaie yhtälö ( ) ratkaisu voidaa esittää vektoreide x, x,, x k lieaarikobiaatioa eli vektorit x, x,, x k virittävät yhtälö ( ) ratkaisuje uodostaa vektorialiavaruude M(x). Koska vektorit x, x,, x k ovat lieaarisesti riippuattoia ja virittävät vektorialiavaruude M(x), e uodostavat vektorialiavaruude M(x) kaa ja lisäksi di(m(x)) = k = di(m(a)) Epähoogeeiset lieaariset yhtälöt ja iide ratkaisut Oletetaa, että a, a,, a, a 0 ja x, x,, x. Tarkastellaa lieaarista yhtälöä ( ) x a + x a + + x a = a 0 TKK Ilkka Melli (007) /8
13 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille Kutsue yhtälöä ( ) epähoogeeiseksi. Suoraa lieaarise riippuvuude ääritelää soveltaalla saadaa seuraava lause: Lause.4.4. Välttäätö ja riittävä ehto sille, että epähoogeeisella yhtälöllä ( ) x a + x a + + x a = a 0 o ratkaisu o se, että vektori a 0 riippuu lieaarisesti vektoreista a, a,, a. Lause.4.5. Kaikki epähoogeeise yhtälö ( ) x a + x a + + x a = a 0 ratkaisut saadaa vastaava hoogeeise yhtälö ( ) x a + x a + + x a = 0 yleise ratkaisu ja ielivaltaise epähoogeeise yhtälö ( ) ratkaisu suaa. Lause ähdää todeksi huoaaalla, että jos vektorit x = (x, x,, x ) ja y = (y, y,, y ) ovat yhtälö ( ) ratkaisuja, ii vektori x y o yhtälö ( ) ratkaisu. Lause.4.6. Epähoogeeise yhtälö ( ) x a + x a + + x a = a 0 ratkaisu o yksikäsitteie, jos vektorit a, a,, a ovat lieaarisesti riippuattoia. Jos vektorit a, a,, a ovat lieaarisesti riippuattoia, ii di(m(a)) = jossa M(a) o vektoreide a, a,, a virittää vektorialiavaruus. Lausee.4.3. ukaa di(m(x)) = di(m(a)) = = 0 Site hoogeeise yhtälö x a + x a + + x a = 0 aioaa ratkaisua o triviaali ratkaisu x = x = = x = 0 ja väite seuraa lauseesta.4.5. TKK Ilkka Melli (007) 3/8
14 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille Lieaariset yhtälöryhät ja iide ratkaisut Oletetaa, että a j = (a j, a j,, a j ) Tarkastellaa lieaarista yhtälöryhää ( ) ax + ax + + a x = 0 ax + ax + + ax = 0 ax+ ax+ + ax = 0, j =,,, jossa o yhtälöä ja tuteatota. Saoe, että vektorit a, a,, a ovat yhtälöryhä sarakevektorit. Määritellää yhtälöryhä rivivektorit kaavalla b i = (a i, a i,, a i ), i =,,, Olkoo M(a) sarakevektoreide a, a,, a virittää vektorialiavaruus, M(b) rivivektoreide b, b,, b virittää vektorialiavaruus ja M(x) yhtälöryhä ( ) ratkaisuje x, x,, x uodostaa vektorialiavaruus. Lause.4.7. Lieaarisesti riippuattoie rivie lukuäärä lieaarisessa yhtälöryhässä ( ) o saa kui lieaarisesti riippuattoie sarakevektoreide lukuäärä. Lisäksi di(m(a)) = di(m(b)) ja di(m(x)) = di(m(a)) = di(m(b)) Oletetaa, että r kpl yhtälöryhä ( ) rivivektoreista b, b,, b o lieaarisesti riippuattoia ja olkoo di(m(a)) = k jossa M(a) o yhtälöryhä ( ) sarakevektoreide a, a,, a virittää vektorialiavaruus. Jos poistae yhtälöryhästä ( ) e yhtälöt, joita vastaavat rivivektorit ovat lieaarisesti riippuvia, ii yhtälöryhä ( ) ratkaisuje joukko M(x) säilyy saaa. Koska lausee.4.3. ukaa di(m(x)) = di(m(a)) = k ii k kappaletta redusoidu yhtälöryhä sarakevektoreista o lieaarisesti riippuattoia. Koska sarakevektoreissa o vai r alkiota, riippuattoie sarakevektoreide lukuäärä voi olla korkeitaa r. Site k r. Koska rivie ja sarakkeide roolit voidaa yllä esitetyssä päättelyketjussa vaihtaa, ii saae yös epäyhtälö k r. Yhdistäällä epäyhtälöt k r ja k r saadaa yhtälö k = r. TKK Ilkka Melli (007) 4/8
15 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille.5. Sisätulo ja vektori ori Sisätulo Olkoot x, y. Vektoreide x = (x, x,, x ) ja y = (y, y,, y ) sisätulo eli skalaaritulo o reaaliluku xy = xiyi Vektori ori eli pituus Sisätulo avulla voidaa ääritellä vektori pituus. Olkoo x x = (x, x,, x ) ori eli pituus o reaaliluku Vektori x x = xx = x + x + + x ori x eliö o x = x x = x + x + + x. Vektori Huoaa, että ori eliö kaava o Pythagoraa lausee yleistys -ulotteisee euklidisee avaruutee. Laskusääöt sisätulolle Lause.5.. Olkoot x, y, z ; a. Tällöi (i) x y = y x (ii) x x > 0, jos x 0 x x = 0, jos x = 0 (iii) (ax) y = a(x y) (iv) (x + y) z = x z + y z (v) xy x y (vi) x + y x + y Kohdat (i)-(iv) voidaa todistaa varsi suoraviivaisi laskutoiituksi. Todistae siksi tässä vai kohdat (v) ja (vi). (v) Olkoot x, y ja t. Määritellää vektori u= tx+ y Kohda (ii) ukaa uu = tx+ y tx+ y = t xx + txy + yy ( )( ) 0 TKK Ilkka Melli (007) 5/8
16 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille ikä o ahdollista vai, jos uuttuja t suhtee. astee yhtälö t xx + txy + yy = 0 diskriiatti D = ( xy) 4( xx)( yy ) 0 ikä o yhtäpitävää se kassa, että ( xy ) ( xx )( yy ) Ottaalla tästä epäyhtälöstä eliöjuuri saadaa todistettavaa ollut epäyhtälö xy x y (vi) Olkoot x, y. Tällöi kohdasta (v) seuraa, että x+ y = ( x+ y)( x+ y) = xx + xy + yy = x + xy + y x + xy + y x + x y + y ( x y ) = + Ottaalla tästä eliöjuuri saadaa todistettavaa oleva epäyhtälö x+ y x + y Lausee.5.. kohda (v) kaava o Schwarzi epäyhtälö vektoreille. Schwarzi epäyhtälö vektoreille esitetää usei vektoreide x ja y kopoettie avulla uodossa xiyi xi yi Schwarzi epäyhtälö ojalla vektoreide x ja y välise kula ϕ kosii voidaa ääritellä kaavalla cos( ϕ) = xy x y ks. kuvaa alla. y ϕ x 0 = (0, 0) TKK Ilkka Melli (007) 6/8
17 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille Lausee.5.. kohda (vi) kaava x+ y x + y o kolioepäyhtälö; ks. kuvaa alla. x y y x + y = y + x 0 = (0, 0) x.6. Ortogoaaliset vektorit Ortogoaalisuus Olkoot x, y. Jos xy = xy = 0 i i ii vektorit x ja y ovat ortogoaalisia eli kohtisuorassa toisiaa vastaa. Merkitä: Lause.6.. x y Oletetaa, että vektorit x, x,, x ovat pareittai ortogoaalisia ja lisäksi x i 0, i =,,,. Tällöi vektorit x, x,, x ovat lieaarisesti riippuattoia. Olkoot vektorit x, x,, x,. Oletetaa, että pareittai ortogoaalisia ja lisäksi x i 0, i =,, aixi = 0 Tällöi x j ai i = a i j i = a j j j =, j =,,, x xx xx 0 ikä o ahdollista vai, jos a j = 0, j =,,, Site vektorit x, x,, x ovat lieaarisesti riippuattoia. TKK Ilkka Melli (007) 7/8
18 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille Lause.6.. Jos vektorit x, x,, x ovat pareittai ortogoaalisia ja virittävät vektorialiavaruude M, ii e uodostavat vektorialiavaruude M kaa. Lauseessa.6.. ääriteltyä kataa kutsutaa vektorialiavaruude M ortogoaaliseksi kaaksi. Lauseesta.6.. seuraa, että jos vektorit x, x,, x ovat pareittai ortogoaalisia, ii e uodostavat vektoriavaruude ortogoaalise kaa. Ortooraalisuus Olkoot x, y ja. Jos vektorit x ja y ovat ortogoaalisia ja yksikkövektori ittaisia eli x y = 0 x = y = ii vektorit x ja y ovat ortooraalisia. Jos vektorit x, x,, x ovat pareittai ortooraalisia, e uodostavat vektoriavaruude ortooraalise kaa. Lause.6.3. Olkoo x vektori x y = x x, x 0, ori ja olkoo Tällöi y = Lausee.6.3. ukaa jokaie vektoriavaruude ortogoaalie kata voidaa uutaa vektoriavaruude ortooraaliseksi kaaksi. Vektoriavaruude koordiaattiakseleide suutaiset yksikkövektorit e = (, 0, 0,, 0, 0) e = (0,, 0,, 0, 0) e = (0, 0, 0,, 0, ) ovat ortooraalisia. Site vektorit e, e,, e uodostavat ortooraalise kaa vektoriavaruudelle. Ortogoalisoiti Oletetaa, että vektorit x, x,, x ovat lieaarisesti riippuattoia. Seuraava lausee ukaa vektoreista x, x,, x voidaa aia kostruoida ortogoaaliset vektorit y = x, y,, y TKK Ilkka Melli (007) 8/8
19 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille Lause.6.4. Oletetaa, että vektorit x, x,, x ovat lieaarisesti riippuattoia. Tällöi o oleassa reaaliluvut a ; a 3, a 3 ; ; a i,i, a i,i,, a i ; ; a,, a,,, a site, että vektorit y = x y = x a y y 3 = x 3 a 3 y a 3 y y i = x i a i,i y i a i,i y i a i y y = x a, y a, y a y ovat ortogoaalisia. Vektori y i kertoiet a i,i, a i,i,, a i saadaa ratkaistuksi yhtälöistä, jotka saadaa erkitseällä vektori y i sisätulot vektoreide y, y,, y i kassa olliksi. Jos siis keskeää ortogoaaliset vektorit y, y,, y i o jo äärätty, ii vektori y i kertoiet a i,i, a i,i,, a i saadaa yhtälöistä yy i = xy i ai yy = 0 yy = xy a y y = 0 i i i yy = xy a y y = 0 i i i i i, i i i Site kertoiille a i,i, a i,i,, a i saadaa yhtälöt a a xy xy = = i i i yy y xy xy = = i i i yy y xy xy = = i i i i aii, y i yi yi Meetelää, jolla lieaarisesti riippuattoista vektoreista x, x,, x uodostetaa ortogoaaliset vektorit y, y,, y, kutsutaa Grai ja Schidti ortogoalisoitieeteläksi. TKK Ilkka Melli (007) 9/8
20 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille Havaiollistetaa vektori y ääräytyistä Grai ja Schidti ortogoalisoitieetelässä. Olee siis valieet Tällöi y = x y = x a y jossa kerroi a äärätää site, että vektori y o kohtisuorassa vektoria y vastaa. Saae site yhtälö yy = xy a yy = 0 josta kerroi a saadaa ratkaistuksi: a xy xy = = yy y Olkoo ϕ vektoreide y ja x välie kula ja olkoo xy xy y y z = a y = y = x = x cos( ϕ) y x y y y Vektori z o vektori y suutaie vektori, joka pituus o z = x cos( ϕ) Vektorit z, y ja x uodostavat suorakulaise kolio, joka kateetteia ovat vektorit z ja y ja hypoteuusaa o vektori x. Lisäksi Ks. kuvaa alla. x = z + y x y ϕ Lauseesta.6.4. seuraa välittöästi: Lause.6.5. z Oletetaa, että vektorit x, x,, x uodostavat vektoriavaruude kaa. Tällöi vektoreista x, x,, x voidaa kostruoida ortogoaalie kata vektori avaruudelle. y TKK Ilkka Melli (007) 0/8
21 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille.7. Suorat ja tasot Suorat Tarkastellaa avaruude suorie ääritteleistä. Avaruude pistee a kautta kulkeva ja vektori v 0 suutaie suora L uodostuu avaruude pisteistä x, jotka toteuttavat yhtälö x = a + tv, t Kuva alla esittää kaksiulotteise avaruude kautta ja o vektori v suutaie. suoraa L, joka kulkee vektori a kärkipistee a v L Yhtälöä x = a + tv, t kutsutaa suora L paraetriesitykseksi, joka paraetria o uuttuja t. Suora L paraetriesitys o kopoettiuodossaa jossa 0 = (0, 0) x i = a i + tv i, t, i =,,, x = (x, x,, x ) a = (a, a,, a ) v = (v, v,, v ) Jos v = (v, v,, v ) 0, pistee a kautta kulkeva, vektori v suutaise suora L eiparaetrie esitys o uotoa x a x a x a = = = v v v Jos = ja v 0, suora yhtälö voidaa kirjoittaa uotoo jossa x = a + bx v a = a a v TKK Ilkka Melli (007) /8
22 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille o suora vakioteri (suora ja x -akseli leikkauspiste) ja v b = v o suora kulakerroi. Jos = ja v 0, suora yhtälö voidaa kirjoittaa uotoo jossa x = c + dx v c= a a v o suora vakioteri (suora ja x -akseli leikkauspiste) ja v d = v o suora kulakerroi. Avaruude pisteide a ja b a kautta kulkeva suora L uodostuu avaruude pisteistä x, jotka toteuttavat yhtälö x = ( t)a + tb, t Erityisesti pisteide x = ( t)a + tb, t [0,] uodostaa joukko o pisteet a ja b yhdistävä jaa. Huoaa, että pisteide a ja b kautta kulkeva suora L suutavektoriksi v voidaa valita vektori v = b a Kuva alla esittää kaksiulotteise avaruude suoraa L, joka kulkee vektoreide a ja b kärkipisteide kautta. Suora o vektori v = b a suutaie. L a v b Avaruude 0 = (0, 0) suorat ovat vektoriavaruude vektorialiavaruuksia. TKK Ilkka Melli (007) /8
23 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille Tasot Tarkastellaa avaruude tasoje ääritteleistä. Avaruude pistee a kautta kulkeva taso P, joka oraalia o vektori w 0 uodostuu avaruude pisteistä x, jotka toteuttavat yhtälö w (x a) = 0 Kuvaa alla esittää koliulotteise avaruude ja joka oraalia o vektori w. 3 tasoa P, joka kulkee vektori a kärkipistee w P a 0 = (0, 0, 0) Tavallisesti avaruude jossa ja Avaruude taso P yhtälö esitetää uodossa w x + w x + + w x = d d = a w x = (x, x,, x ) a = (a, a,, a ) w = (w, w,, w ) tasot ovat vektoriavaruude vektorialiavaruuksia..8. Ortogoaalie projektio ja ortogoaalie kopleetti Ortogoaalie projektio Olkoo M vektoriavaruude vektorialiavaruus. Jos vektori z o ortogoaalie jokaista vektorialiavaruude M vektoria vastaa, saoe, että vektori z o ortogoaalie aliavaruutta M vastaa. Merkitä: z M TKK Ilkka Melli (007) 3/8
24 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille Lause.8.. Olkoo M vektoriavaruude aito vektorialiavaruus ja oletetaa, että vektori x M. Tällöi o oleassa yksikäsitteiset vektorit y ja z 0 site, että x = y + z issä y M ja z o ortogoaalie aliavaruutta M vastaa. Oletetaa, että vektorit α, α,, α r uodostavat vektorialiavaruude M kaa. Kostruoidaa vektoreista α, α,, α r, α r+ = x ortogoaaliset vektorit ξ, ξ,, ξ r, ξ r+ Grai ja Schidti ortogoalisoiti-eetelällä (ks. lausetta.6.4.). Tällöi jossa x = (a r+,r ξ r + a r+,r ξ r + + a r+, ξ ) + ξ r+ = y + z ja Koska ii y = a r+,r ξ r + a r+,r ξ r + + a r+, ξ z = ξ r+ M = M(α, α,, α r ) = M(ξ, ξ,, ξ r ) y M Lisäksi kostruktiosta seuraa, että z o kohtisuorassa jokaista vektoria ξ, ξ,, ξ r vastaa. Site vektori z o kohtisuorassa jokaista aliavaruude M vektoria vastaa. Todistetaa vielä esitykse x = y + z yksikäsitteisyys. Olkoo siis x = y + z toie vektori x esitys, joka toteuttaa ehdot ja Koska y M z M (y y ) + (z z ) = 0 TKK Ilkka Melli (007) 4/8
25 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille ii Site ja edellee (z z ) ((y y ) + (z z )) = 0 + (z z ) (z z ) = 0 z z = 0 y y = 0 jote z = z ja y = y. Jos vektorit x, y, z toteuttavat lausee.8.. ehdot, ii vektori y o vektori x ortogoaalie projektio aliavaruutee M. Huoaa, että vektorit x, y, z uodostavat suorakulaise kolio, joka hypoteuusaa o vektori x ja kateetteia ovat vektorit y ja z. Lause.8.. Olkoo x, u, u 0. Määritellää vektorit v = xu u u ja w = x v Tällöi vektori v o vektori x ortogoaalie projektio vektorille u. Lisäksi vektori w o kohtisuorassa vektoria v vastaa. Valitaa aliavaruudeksi M vektori {u} suutaie suora. Lauseesta.8.. seuraa, että o oleassa yksikäsitteiset vektorit y ja z 0 site, että x = y + z, issä y M ja vektori z o ortogoaalie aliavaruutta M vastaa. Olkoo v = xu u u ja w = x v Selvästi v M. Lisäksi xu ( xu )( xu ) ( xu ) ( xu ) wv = xv vv = xu uu = = 0 u u u u u jote vektorit w ja v ovat ortogoaalisia: w v TKK Ilkka Melli (007) 5/8
26 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille Vektoreide y ja z yksikäsitteisyyde takia ja y = v z = w Lause voidaa todistaa yös soveltaalla lausee.6.4. todistuksessa esitettyä Grai ja Schidti ortogoalisoiti-eetelää. Lause.8.3. Olkoo M vektoriavaruude Oletetaa, että x = y + z jossa y M ja z M. Tällöi Olkoo z = i x u u M x = y + z issä y M ja z M. Tällöi (y u) z = 0 jokaiselle ja site Lisäksi jos u M x u = (x u) (x u) = (y + z u) (y + z u) = (y u) (y u) + z z z z = z (x u) (x u) = z u = y aito vektorialiavaruus ja oletetaa, että vektori x M. Lausee.8.3. ukaa pistee x (so. vektori x kärkipistee) lyhi etäisyys vektorialiavaruudesta M saadaa projisoialla vektori x aliavaruutee M. 3 Kuva alepaa havaiollistaa koliulotteise avaruude vektori x projisoitia lieaarisesti riippuattoie vektoreide u ja u virittäää vektorialiavaruutee (tasoo) M. Vektori y o vektori x projektio tasoo M, z = x y ja vektorit z ja y ovat ortogoaalisia. Vektorit x, y, z uodostavat siis suorakulaise kolio, joka hypoteuusaa o vektori x. TKK Ilkka Melli (007) 6/8
27 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille x z u M y u Ortogoaalisilla projektioilla keskeie rooli tilastotieteessä yleise lieaarise alli pieiä eliösua estioiissa. Ortogoaalie kopleetti Olkoo S joki vektoriavaruude S { z zy 0 kaikille y S} = = vektoreide joukko. Tällöi joukko o iide vektoreide joukko, jotka ovat kohtisuorassa kaikkia joukkoo S kuuluvia vektoreita vastaa. Joukko S o vektoriavaruude vektorialiavaruus ja sitä kutsutaa jouko S ortogoaaliseksi kopleetiksi. Lause.8.4. Olkoo S joki vektoriavaruude vektoreide joukko, M(S) jouko S vektoreide virittää vektorialiavaruus ja S jouko S ortogoaalie kopleetti. Tällöi jokaie vektori x voidaa esittää uodossa x = y + z issä y M(S), z S ja z 0. Lisäksi di( ) = = di( M( S)) + di( S ) Lausee alkuosa seuraa suoraa lauseesta.8.. Oletetaa yt, että vektorit a, a,, a r uodostavat jouko S vektoreide virittää vektorialiavaruude M(S) kaa ja vektorit TKK Ilkka Melli (007) 7/8
28 Matriisilasketaa tilastotieteilijöille b, b,, b s uodostavat jouko S ortogoaalise kopleeti S kaa. Vektorit a, a,, a r, b, b,, b s ovat lieaarisesti riippuattoia, koska jokaie vektori b j o kohtisuorassa jokaista vektoria a i vastaa. Site välttäättä r + s Oletetaa, että r + s < Tällöi o oleassa aiaki yksi vektori x, x 0, joka o lieaarisesti riippuato vektoreista a, a,, a r, b, b,, b s. Site voie lausee alkuosa ukaa löytää vektori z, joka o ortogoaalie vektoreita a, a,, a r, b, b,, b s vastaa. Erityisesti vektori z o site ortogoaalie vektoreita a, a,, a r vastaa ja site x S jolloi vektori x o riiputtava lieaarisesti vektorialiavaruude S katavektoreista b, b,, b s. Tää o kuiteki ahdotota, koska edellä o todettu, että vektori x o lieaarisesti riippuato vektoreista a, a,, a r, b, b,, b s. Koska oletus r + s < o johtaut ristiriitaa, ii r + s = Suora sua Olkoo S joki vektoriavaruude vektoreide joukko, M(S) jouko S vektoreide virittää vektorialiavaruus ja S jouko S ortogoaalie kopleetti. Koska lausee.8.3. ukaa jokaie vektoriavaruude vektori x voidaa esittää vektoreide y M(S) ja z S suaa, saoe, että vektoriavaruus o vektorialiavaruuksie M(S) ja S suora sua. Merkitä: = M ( S) S TKK Ilkka Melli (007) 8/8
Mat Lineaarinen ohjelmointi
Mat-2.340 Lieaarie ohjelmoiti 20.9.2007 Lueto 2 Lieaarialgebraa ja geometriaa (kirja.5, 2.) S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / Lieaarialgebraa Notaatiota Kääteismatriisi
Lisätiedot6 Vektoriavaruus R n. 6.1 Lineaarikombinaatio
6 Vektoriavaruus R n 6.1 Lineaarikombinaatio Määritelmä 19. Vektori x œ R n on vektorien v 1,...,v k œ R n lineaarikombinaatio, jos on olemassa sellaiset 1,..., k œ R, että x = i v i. i=1 Esimerkki 30.
LisätiedotLineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus
Lineaarikombinaatio, lineaarinen riippuvuus/riippumattomuus 1 / 51 Lineaarikombinaatio Johdattelua seuraavaan asiaan (ei tarkkoja määritelmiä): Millaisen kuvan muodostaa joukko {λv λ R, v R 3 }? Millaisen
LisätiedotAvaruuden R n aliavaruus
Avaruuden R n aliavaruus 1 / 41 Aliavaruus Esimerkki 1 Kuva: Suora on suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen suhteen. 2 / 41 Esimerkki 2 Kuva: Suora ei ole suljettu yhteenlaskun ja skalaarilla
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:
Lisätiedot1 Sisätulo- ja normiavaruudet
1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Idea Lineaarisen systeemin ratkaiseminen Olkoon
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Vektoriavaruudet Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 17 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Vektoriavaruus
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus
1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 9
Talousmatematiikan perusteet: Luento 9 Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo ja pituus Vektorien välinen kulma Motivointi Tähän asti olemme tarkastelleet yhden
LisätiedotTalousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo
Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA I
802320A LINEAARIALGEBRA OSA I Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 72 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä
LisätiedotLineaariavaruudet. Span. Sisätulo. Normi. Matriisinormit. Matriisinormit. aiheita. Aiheet. Reaalinen lineaariavaruus. Span. Sisätulo.
Lineaariavaruudet aiheita 1 määritelmä Nelikko (L, R, +, ) on reaalinen (eli reaalinen vektoriavaruus), jos yhteenlasku L L L, ( u, v) a + b ja reaaliluvulla kertominen R L L, (λ, u) λ u toteuttavat seuraavat
LisätiedotInsinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku
LisätiedotLineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44
Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Lisätiedot3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h
HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)
LisätiedotVektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on
13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/210 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/210 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2
LisätiedotHavainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin. w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5. v = ( 3) = 13. v = v.
Havainnollistuksia: Merkitään w = ( 4, 3) ja v = ( 3, 2). Tällöin w = w w = ( 4) 2 + ( 3) 2 = 25 = 5 v = v v = ( 3) 2 + 2 2 = 13. w =5 3 2 v = 13 4 3 LM1, Kesä 2014 76/102 Normin ominaisuuksia I Lause
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotKertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo
Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2014 164/246 Kertausta:
Lisätiedot2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut
2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja
LisätiedotAvaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät
11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit
LisätiedotOsoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,
LisätiedotVektorien virittämä aliavaruus
Vektorien virittämä aliavaruus Esimerkki 13 Mikä ehto vektorin w = (w 1, w 2, w 3 ) komponenttien on toteutettava, jotta w kuuluu vektoreiden v 1 = (3, 2, 1), v 2 = (2, 2, 6) ja v 3 = (3, 4, 5) virittämään
Lisätiedot1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1
Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Ratkaisuluonnoksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotBijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.
Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
Lisätiedotx = y x i = y i i = 1, 2; x + y = (x 1 + y 1, x 2 + y 2 ); x y = (x 1 y 1, x 2 + y 2 );
LINEAARIALGEBRA Harjoituksia, Syksy 2016 1. Olkoon n Z +. Osoita, että (R n, +, ) on lineaariavaruus, kun vektoreiden x = (x 1,..., x n ), y = (y 1,..., y n ) identtisyys, yhteenlasku ja reaaliluvulla
LisätiedotVektoreiden virittämä aliavaruus
Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotSuorat ja tasot, L6. Suuntajana. Suora xy-tasossa. Suora xyzkoordinaatistossa. Taso xyzkoordinaatistossa. Tason koordinaattimuotoinen yhtälö.
Suorat ja tasot, L6 Suora xyz-koordinaatistossa Taso xyz-koordinaatistossa stä stä 1 Näillä kalvoilla käsittelemme kolmen laisia olioita. Suora xyz-avaruudessa. Taso xyz-avaruudessa. Emme nyt ryhdy pohtimaan,
LisätiedotTehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta
Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:
LisätiedotMatikkapaja keskiviikkoisin klo Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81
Matikkapaja keskiviikkoisin klo 14-16 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/81 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/81 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v 2 )
LisätiedotHY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo
HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin
LisätiedotKanta ja dimensio 1 / 23
1 / 23 Kuten ollaan huomattu, saman aliavaruuden voi virittää eri määrä vektoreita. Seuraavaksi määritellään mahdollisimman pieni vektorijoukko, joka virittää aliavaruuden. Jokainen aliavaruuden alkio
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
Lisätiedot( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.
Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä
LisätiedotRATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan
RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa
LisätiedotJohdatus lineaarialgebraan
Johdatus lineaarialgebraan Lotta Oinonen ja Johanna Rämö 6. joulukuuta 2012 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos 2012 Sisältö 1 Avaruus R n 4 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit.....................
LisätiedotLineaarialgebra (muut ko)
Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/103 Lineaarialgebra (muut ko) Tero Laihonen Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/103 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
LisätiedotVapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotLineaarikuvausten. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksia. Ydin. Matriisin ydin. aiheita. Aiheet. Lineaarikuvaus. Lineaarikuvauksen matriisi
Lineaarikuvaukset aiheita ten ten 1 Matematiikassa sana lineaarinen liitetään kahden lineaariavaruuden väliseen kuvaukseen. ten Määritelmä Olkoon (L, +, ) ja (M, ˆ+, ˆ ) reaalisia lineaariavaruuksia, ja
LisätiedotKannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:
8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (006) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotVEKTORIT paikkavektori OA
paikkavektori OA Piste A = (2, -1) Paikkavektori OA = 2i j 3D: kuvan piirtäminen hankalaa Piste A = (2, -3, 4) Paikkavektori OA = 2i 3j + 4k Piste A = (a 1, a 2, a 3 ) Paikkavektori OA = a 1 i + a 2 j
LisätiedotYhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia
Yhteenlaskun ja skalaarilla kertomisen ominaisuuksia Voidaan osoittaa, että avaruuden R n vektoreilla voidaan laskea tuttujen laskusääntöjen mukaan. Huom. Lause tarkoittaa väitettä, joka voidaan perustella
LisätiedotSisätuloavaruudet. 4. lokakuuta 2006
Sisätuloavaruudet 4. lokakuuta 2006 Tässä esityksessä vektoriavaruudet V ja W ovat kompleksisia ja äärellisulotteisia. Käydään ensin lyhyesti läpi määritelmiä ja perustuloksia. Merkitään L(V, W ) :llä
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotVapaus. Määritelmä. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee:
Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +
LisätiedotInsinöörimatematiikka IA
Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Lisätiedot3 Skalaari ja vektori
3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,
Lisätiedot3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä
1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a
LisätiedotMatemaattinen Analyysi / kertaus
Matemaattinen Analyysi / kertaus Ensimmäinen välikoe o { 2x + 3y 4z = 2 5x 2y + 5z = 7 ( ) x 2 3 4 y = 5 2 5 z ) ( 3 + y 2 ( 2 x 5 ( 2 7 ) ) ( 4 + z 5 ) = ( 2 7 ) yhteys determinanttiin Yhtälöryhmän ratkaiseminen
Lisätiedot7 Vapaus. 7.1 Vapauden määritelmä
7 Vapaus Kuten edellisen luvun lopussa mainittiin, seuraavaksi pyritään ratkaisemaan, onko annetussa aliavaruuden virittäjäjoukossa tarpeettomia vektoreita Jos tällaisia ei ole, virittäjäjoukkoa kutsutaan
LisätiedotVille Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007
Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear
Lisätiedot7. Aliavaruudet. Lineaariset yhtälöryhmät
7 7 Aliavaruudet Lieaariset yhtälöryhmät Tässäki luvussa kerrataa ja täydeetää jo kurssilla Laaja matematiikka esiityeitä asioita Erityisesti yhtälöryhmie teoriaa ja ratkaisemisee paeudutaa perusteellisesti
LisätiedotVektorit, suorat ja tasot
, suorat ja tasot 1 / 22 Koulussa vektori oli nuoli, jolla oli suunta ja suuruus eli pituus. Siirretään vektori siten, että sen alkupää on origossa. Tällöin sen kärki on pisteessä (x 1, x 2 ). Jos vektorin
Lisätiedot4. LINEAARIKUVAUKSET
86 4 LINEAARIKUVAUKSET 41 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoot V ja V vektoriavaruuksia Tarkastellaan kuvausta L : V V Tällöin jokaiseen vektoriin v V liittyy tietty, L:n ja v:n yksikäsitteisesti määräämä
Lisätiedot2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET
30 REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 1 Koordinaattiavaruus R n Olkoon n N = {1,, 3, } positiivinen kokonaisluku (luonnollisten lukujen joukko on tällä kurssilla N = {0, 1,, 3, }) Merkitään R n = R n 1
Lisätiedotsitä vastaava Cliffordin algebran kannan alkio. Merkitään I = e 1 e 2 e n
Määritelmä 1.1 Algebran A keskus C on joukko C (A) = {a A ax = xa x A}. Lause 1. Olkoon Cl n Cliffordin algebra, jonka generoi joukko {e 1,..., e n }. Jos n on parillinen, niin C (Cl n ) = {λ λ R}. Jos
Lisätiedot{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja
5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.
LisätiedotLineaarikuvauksen R n R m matriisi
Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:
LisätiedotSeuraava luento ti on salissa XXII. Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117
Seuraava luento ti 31.10 on salissa XXII Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/117 Lineaarialgebra (muut ko) p. 2/117 Operaatiot Vektoreille u = (u 1,u 2 ) ja v = (v 1,v 2 ) Yhteenlasku: u+v = (u 1 +v 1,u 2 +v
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 23.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/22 Käytännön asioita Ensimmäiset tehtävät olivat sujuneet hyvin. Kansilehdet on oltava mukana tehtäviä palautettaessa,
Lisätiedot3.1 Lineaarikuvaukset. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. 3.1 Lineaarikuvaukset. 3.1 Lineaarikuvaukset
31 MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 3 Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2292015 Lineaariset yhtälöt ovat vektoreille luonnollisia yhtälöitä, joita
LisätiedotOrtogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle
Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka
LisätiedotHILBERTIN AVARUUKSISTA
HILBERTIN AVARUUKSISTA Pro gradu -tutkielma Hannariikka Lehtiniemi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Jyväskylän yliopisto syksy 2014 TIIVISTELMÄ Ääretönulotteiset avaruudet ovat monilta ominaisuuksiltaan
LisätiedotJAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT
JAKSO 2 KANTA JA KOORDINAATIT Kanta ja dimensio Tehtävä Esittele vektoriavaruuden kannan määritelmä vapauden ja virittämisen käsitteiden avulla ja anna vektoriavaruuden dimension määritelmä Esittele Lause
LisätiedotRatkaisuehdotukset LH 7 / vko 47
MS-C34 Lineaarialgebra, II/7 Ratkaisuehdotukset LH 7 / vko 47 Tehtävä : Olkoot M R symmetrinen ja positiividefiniitti matriisi (i) Näytä, että m > ja m > (ii) Etsi Eliminaatiomatriisi E R siten, että [
Lisätiedot9. ORTOGONAALIPROJEKTIOT JA KANNAT HILBERTIN AVARUUDESSA 51
9. ORTOGONAALIPROJEKTIOT JA KANNAT HILBERTIN AVARUUDESSA 5 Lause 8.4 (Pythagoras) 26. Sisätuloavaruude keskeää ortogoaalisille vektoreille x,...,x pätee x j 2 = x j 2. j= j= Todistus. Ku = 2, lasketaa
Lisätiedot802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II
802320A LINEAARIALGEBRA OSA II/PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO KEVÄT 2019 LINEAARIALGEBRA 1 / 69 Sisätuloavaruus/Inner product space Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus.
LisätiedotBM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016
BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon
LisätiedotRistitulolle saadaan toinen muistisääntö determinantin avulla. Vektoreiden v ja w ristitulo saadaan laskemalla determinantti
14 Ristitulo Avaruuden R 3 vektoreille voidaan määritellä pistetulon lisäksi niin kutsuttu ristitulo. Pistetulosta poiketen ristitulon tulos ei ole reaaliluku vaan avaruuden R 3 vektori. Ristitulosta on
LisätiedotDEE Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto
DEE-54 Sähköageettiste järjestelie läösiirto Lueto 7 Sähköageettiste järjestelie läösiirto Risto Mikkoe..4 Läöjohtuise leie osittaisdiffereretiaalihtälö t E g c p Sähköageettiste järjestelie läösiirto
Lisätiedot5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit
5 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon A = [a jk ] n n matriisi. Tarkastellaan vektoriyhtälöä Ax = λx, (1) missä λ on luku. Sellaista λ:n arvoa, jolla yhtälöllä on ratkaisu x 0, kutsutaan matriisin A
LisätiedotYhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.
2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2
LisätiedotLineaarialgebra ja matriisilaskenta I
Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2014 Mika Hirvensalo mikhirve@utu.fi Luentokalvot 3 1 of 16 Kertausta Lineaarinen riippuvuus
LisätiedotOrtogonaalisuus ja projektiot
MA-3450 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2007 äydeämme Lama 2: lieaarialgebraa oheisella Ortogoaalisuus ja projetiot Olemme aiaisemmi jo määritelleet, että asi vetoria
Lisätiedot1. Normi ja sisätulo
Kurssimateriaalia K3/P3-kursille syksyllä 3 83 Heikki Apiola Sisältää otteita Timo Eirolan L3-kurssin lineaarialgebramonisteesta, jonka lähdekoodin Timo on ystävällisesti antanut käyttööni Normi ja sisätulo
LisätiedotTehtävä 1. Voidaanko seuraavat luvut esittää kahden neliön summina? Jos voidaan, niin kuinka monella eri tavalla? (i) n = 145 (ii) n = 770.
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 0, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Voidaako seuraavat luvut esittää kahde eliö summia? Jos voidaa, ii kuika moella eri tavalla? (i) = 45 (ii) = 770. Ratkaisu. (i) Jaetaa
Lisätiedot