Laaja matematiikka 2 Kertaustehtäviä Viikko 17/ 2005

Transkriptio

1 Laaja matematiikka Kertaustehtäviä Viikko 7/ 005 Tehtävät ovat Laaja matematiikka : ja : alueelta olevia etisiä välikoe- ja tettitehtäviä. Alkupää tehtävät liittyvät yleesä kurssii ja loppupää kurssii. Täsmällistä jakoa ei voi esittää, koska kurssie sisällöissä o päällekkäisyyksiä ja raja kurssie välillä o vaihdellut.. Oko xy-taso viiva { (x,y) (0 x < ) (y = 0) } taso pistejoukkoa avoi, suljettu vai ei kumpaakaa? -Perustele väitteesi.. Etsi muodossa a + ib kaikki yhtälö x + x + i + = 0 kompleksiset ratkaisut. 3. Osoita "epsilo-tekiikkaa" käyttäe, että lim l(x) =. x >0+ 4. Etsi muodossa a + ib kaikki e kompleksiluvut z, jotka toteuttavat z 4 =. 5. Oletamme, että fuktio f : D R R : x f(x) o jatkuva aluee D sisäpisteessä x 0, ja että f(x 0 ) > 0. Osoita, että o olemassa luku δ > 0 ja säde r > 0 site, että koko pallo B(x 0, r) sisällä f(x) δ, ts että x B(x 0, r) : f(x) δ. 6. Osoita, että mielivaltaisessa ormiavaruudessa V pitää paikkasa mielivaltaisille x,h V : x + h x h. Huomaa itseisarvomerkit vasemmalla puolella! 7. Oko piste x R jouko N'(x;r) R reuapiste vai ei? Oletamme, että r > 0.

2 8. Tarkastelemme reaalialkioista jooa a, a,..., a,..., missä a = + ( ) Osoita ("ε -tekiikalla"), että lim -> a =.. 9. Fuktio f : R R : x x, ku x 0 x, ku x > 0 origossa?. Oko fuktio f jatkuva 0. Oko avaruude R 3 pisteistö { (x,y,z) R 3 x + y + z = z > 0 } suljettu, avoi vai ei kumpaakaa. Perustele!. Muodosta fuktiolle f : R R : x x Taylori kaava mukaie esitys origossa site, että mukaa ovat vielä 3. astee termit. -Voit halutessasi käyttää Peao-tyyppistä jääöstermiä.. Aalysoi, milloi o mahdollista (ja oko koskaa), että kompleksiluvut z, z toteuttavat z z < z z. si( 3. Tarkastellaa fuktiota f : R R : x x ), ku x 0 0, ku x = 0 kyseie fuktio ei ole jatkuva origossa.. Osoita, että 4. Fuktio x : R R : t x(t). Tiedetää, että fuktio x o derivoituva kaikilla argumeti t arvoilla, ja että lisäksi x(t) =, samoi kaikilla argumeti t arvoilla. Osoita, että tällöi x(t) T x'(t) = 0 muuttuja t suhtee idettisesti, eli vektorit x ja x' ovat aia ortogoaaliset. si (x) 5. lim x -> 0 cos(3x) o todella olemassa? =? Perustele tuloksesi: mistä tiedät, että kyseie raja-arvo

3 6. Oko loogie lause ( A B) B tautologia, ts oko se aia tosi riippumatta propositioide A ja B totuusarvoista. Perustele tuloksesi. 7. Todista tarkasti oikeaksi tai osoita vastaesimerkillä vääräksi: Jos reaalilukujoolle ( a k ) pätee lim( ak ) k =, ii lim a =. k k 8. Taso T kulkee kolme erillise pistee x, x, x 3 kautta. Pisteet eivät sijaitse samalla suoralla. Suora S kulkee puolestaa kahde erillise pistee x 4, x 5 kautta. Oletamme, että suora leikkaa taso täsmällee yhdessä pisteessä. Johda lauseke suora ja taso leikkauspisteelle. Saat max kaksi ylimääräistä pistettä, jos perustelet saamasi tulokse avulla a) välttämättömä ehdo sille, että suora ei leikkaa tasoa täsmällee yhdessä pisteessä b) välttämättömä ja riittävä ehdo sille, että suora yhtyy tasoo äärettömä moessa pisteessä. 9. Suora kulkee euklidisessa avaruudessa ("kotiavaruudessa") R 3 erilliste pisteide x ja x kautta. Määrää suora se piste, joka o lähiä origoa. 0. Taso T = { x R 3 a (x x 0 ) = 0 }, missä vektorit a,x 0 R 3, a 0. Oletamme, että erilliset pisteet x, x T. Osoita, että pisteide x, x kautta kulkeva suora kuuluu kokoaisuudessaa tasoo T.. Avaruudessa R 3 o määritelty taso T = { x R 3 a (x x 0 ) = 0 }, missä a,x 0 R 3, a 0. Oletamme, että pisteet x ja x kuuluvat tasoo T. Osoita taso yhtälö perusteella, että tällöi a (x x ) = 0.. Kotiavaruudessamme R 3 suora S kulkee aettuje pisteide x ja x kautta; taso T kulkee puolestaa aettuje pisteide x 3, x 4 ja x 5 kautta. Kaikki maiitut pisteet ovat erillisiä; pisteet x 3, x 4 ja x 5 eivät sijaitse samalla suoralla. Kuika kaukaa piste x o suoraa S pitki mitattua tasosta T?

4 3. "Kotiavaruudessamme" R 3 o aettu taso T = {x R 3 a (x x 0 ) = 0}, missä vektori a R 3, a 0. Avaruudessa R 3 tuetaa myös pisteet x ja x, jotka taso yhtälöö sijoitettuia tuottavat a (x x 0 ) = t > 0 ja a (x x 0 ) = t < 0. Osoita, että pisteet x ja x sijaitsevat "eri puolilla tasoa" siiä mielessä, että iide välie yhdysjaa leikkaa taso. 4. Matriisi A R x, vektori b R, b 0. Tiedetää, että Ax = b ; Ax = b ; x x. Rak(A) = -. Kostruoi yhtälöryhmä Ax = b kaikki ratkaisut. Osoita, että olet todellaki löytäyt kaikki ratkaisut. 5. Neliömatriisi jälki (trace) määritellää tuetusti seuraavasti: Jos A R x, (A) ij = a ij, ii trace(a) = a ii. Oletamme, että B R mx, C R xm, i= 0 < m <. Pitääkö paikkasa, että tällöi aia trace(ab) = trace(ba)? - Todista väitteesi. 6. T Olkoo pystyvektori a,. Osoita, että eliömatriisi A = aa o sigulaarie. 7. Oletamme, että matriisi A R x o ivertoituva. Oko matriisi A T A välttämättä ivertoituva? -Perustele väitteesi. (Oletamme, että.) 8. Matriisi A R x, A T = A (s. atisymmetrie matriisi). Osoita, että mielivaltaie vektori x R toteuttaa tällöi yhtälö x T Ax = Eräässä sisätuloavaruudessa V vektorit a ja b ovat keskeää ortogoaaliset, samoi keskeää vektorit b ja c. Vektorit ovat ollasta poikkeavia: a,b,c 0. -Ovatko vektorit a ja c välttämättä ortogoaaliset? Todista väitteesi!

5 30. Matriisi A R x. Tiedetää, että o olemassa vektori a R, a 0, site, että a T A = 0 T. Oko matriisi A välttämättä sigulaarie? Perustele väitteesi! 3. Matriisi A R mx, > m, rak(a) = m. Oko yhtälöllä Ax = b, b R m, aia ratkaisu? Oko mahdollie ratkaisu aia yksikäsitteie? Perustele väitteesi! 3. Oletamme, että matriisi A R x o ivertoituva. Osoita (sopivii lauseisii vetoamalla), että yhtälöllä A T x = b (b R ) o aia yksikäsitteie ratkaisu. 33. Tarkastellaa koordiaattifuktiota [ ] i : R R : (x,x,...,x i,...,x ) T x i = [x] i. Osoita, että fuktio [ ] i o lieaarikuvaus. 34. Lieaarikuvaus L : R R m : x L (x), lieaarikuvaus L : R m R p : y L (y). Osoita, että yhdistetty kuvaus L L o lieaarikuvaus. x 35. Oko kuvaus f : R 3 R 3 : y z väitteesi. z x y lieaarikuvaus vai ei? Todista 36. Fuktio f : R 3 > R : x > x (a x). Oko kuvaus f lieaarie? Perustele! 37. a Fuktio f : R 3 R 3 : x (a x) b, missä a,b R 3 ; a = a a 3, b b = b, b 3 o aiva ilmeisesti lieaarikuvaus (ei tarvitse todistaa). Muodosta kuvaukse matriisiesitys (luoollisessa kaassa, ts. mahdollisimma yksikertaisesti).

6 38. Fuktio f : R R : x a T Ax, missä a R p, A R px ovat vakioita muuttuja x suhtee. Osoita, että fuktio f o derivoituva origossa, ja muodosta kyseie derivaatta. 39. Fuktio f : R R : x e xt a, missä a R o vakiovektori. Määrää fuktio f derivaatta pisteessä x. 40. Lieaarikuvaus (fuktio) L : R --> R m : x --> L(x). Osoita, että kyseise kuvaukse derivaatta o samaie lieaarikuvaus L. 4. Muuttuja x R, vakio a R. Johda lauseke fuktio e at x gradietille. 4. Fuktio f : R R : x f(x) = si(a x ), missä a R, a 0. Muodosta kyseise fuktio f derivaatta pisteessä x 0. (Normi oletetaa euklidiseksi.) 43. Muodosta fuktio f : R R : x [ (a x) T (a x) x T x ] derivaatta pisteessä x 0 R. Tässä a R o vakiovektori. 44. grad( x a 3 ) =? a,x R 3 ; a x tarkastelupisteessä. 45. Kuvaus f : R R : x x... x x x... x (alkioide järjestys muuttuu kääteiseksi). a) Osoita, että f o lieaarikuvaus b) Määrää tämä lieaarikuvaukse matriisi. 46. Oletamme, että fuktiolla f : R R m : x f(x) o derivaatta pisteessä x 0 R, arvoltaa 0 R mx (0 -matriisi). Osoita, että fuktio f o jatkuva tässä pisteessä.

7 47. Fuktio f : R R : x cos(3x i ), missä x i = [x] i, vektori x i:s kompoetti; i o kiiteästi valittu. Muodosta fuktio f derivaatta mielivaltaisessa pisteessä x R. 48. a) Olkoo f(x,y,z) = [x, y,z, 36 9x y z ] T. Muodosta f: derivaatta f ' eli Jacobi matriisi J f (x,y,z) kohdassa x = -, y = 5, z =. b) Laske yhdistety kuvaukse g f derivaatta ( Jacobi matriisi ) pisteessä (,-), ku f (x,y)=(x 3, y 3 ) ja 3 3 g ( uv, ) = ( u + v, u v). 49. Millä reaaliparametri p arvoilla itegraali x p l(x) dx o olemassa 0 (tavallisea tai epäoleellisea)? Laske vastaavat itegraali arvot. 50. Alue A o xy-taso puoliympyrä {(x, y) x + y R y 0 }. Laske itegraali A yda. 5. Oletamme, että jatkuva fuktio f : R R o parito : x : f( x) = f(x). Osoita muodollisesti, itegraali yleisiä omiaisuuksia hyödytämällä, että mielivaltaiselle vakiolle a a R pätee: f(s)ds = 0. a 0 5. Laske arvo itegraalille x a x dx. Vakio a > 0. a

8 53. Laske itegraali yda, ku Ω o suorie y = x ja x+y = sekä x-akseli rajaama kolmio. Ω 54. Oko seuraava oikei: dx = 3/? Ellei, korjaa ja selvitä tilae. x 55. Laske se avaruude R 3 ei-egatiivisessa oktatissa 3 {( xyz,, ) R xyz,, 0} oleva kappalee tilavuus, jota rajoittavat koordiaattitasot, taso x + y = ja pita z= 4 x. 56. Olkoo S paraabeli y = x, suora x = ja x-akseli rajaama alue. Mitä ovat itegroimisrajat itegraaleissa S S f(x,y)dxdy ja f(x,y)dydx joissa o itegroitu S: yli eri järjestyksissä? 57. Projisioi vektori y=[,, 3] T tasolle T: x x + x3 = a) Määrittele, mitä o aliavaruude H ortogoaalie komplemetti. b) Osoita, että avaruude R kaikki aliavaruudet H ovat muotoa { x R Ax = 0}, missä A o joki m -matriisi, m = dim H. 59. Projisioi vektori y=[,, 3] T aliavaruudelle 3 H = { x x x + x = 0, x + x + x = 0} Jos vektorit a, b ja c ovat avaruudessa R lieaarisesti riippumattomia, ii ovatko sitä myös "keskiarvovektorit" u=½(a+b), v=½(a+c) ja w=½(b+c)? (Perustelu!)

9 6. Sieveä lauseke A(B+A) T B-A(B T A) T missä A ja B ovat ortogoaalisia matriiseja. 6. Etsi kaikki matriisi M = omiaisarvot ja vastaavat omiaisvektorit (omiaisavaruuksie kaat). Mitä ovat omiaisarvoje algebralliset ja geometriset kertaluvut? Oko matriisi M diagoalisoituva? 63. Etsi kaikki matriisi M = omiaisarvot ja vastaavat omiaisvektorit (omiaisavaruuksie kaat). Mitä ovat omiaisarvoje algebralliset ja geometriset kertaluvut? Oko matriisi M diagoalisoituva? 64. Diagoalisoi ortogoaalisesti matriisi 0 B = a) Olkoo Q ortogoaalie -matriisi. Mitä ovat Q: determiatti det(q) ja ragi eli aste rak(q)? b) Olkoot B ja C -matriiseja ja B ei-sigulaarie. Osoita, että tällöi matriiseilla BC ja CB o samat omiaisarvot.

10 66. a) Neliömatriisi A o ilpotetti, jos A k = O, jollaki k N. Osoita, että 0 kuuluu aia ilpoteti matriisi omiaisarvoihi. b) Osoita, että ortogoaalise eliömatriisi determiatti o tai a) Määrittele eliömuodo positiividefiiittisyys. Mikä yhteys positiividefiiittisyydellä o eliömuotoa vastaava matriisi omiaisarvoihi? b) Määritä fuktio iide laatu. 3 3 f :, f( x, y) = x + 6xy y + lokaalit ääriarvot ja 68. Tutki, suppeeeko sarja a) 4 k = k k b) 5 = ( ). cos( ) 69. a) Suppeeeko sarja? = b) Pitääkö paikkasa (perustele tai aa vastaesimerkki): jos ak b k kaikilla k ja sarja b suppeee, ii myös sarja k = k k = a k suppeee? 70. Osoita, että sarja k si( kx) suppeee tasaisesti välillä [0,]. k = x 7. Millä x: arvoilla potessisarja suppeee? =

11 7. a) Laske π x π si(/ x) dx. b) Suppeeeko itegraali 3 ( x ) dx? 73. Laske tasoitegraali x da, ku S o suorie y=x, S e x= ja x-akseli rajaama kolmio. 74. a) Ratkaise differetiaaliyhtälö y' = -y/x. b) Ratkaise alkuarvoprobleema y'' - y' -y = 0, y(0) = -, y'(0) = 0. c) Etsi differetiaaliyhtälöryhmä x' = Ax 4 6 yleie ratkaisu, ku A = Tarkastellaa differetiaaliyhtälösysteemiä x' = Ax, ku A =. 3 a) Muodosta yhtälö yleie ratkaisu. b) Hae alkuehdo x(0)=[0 ] T toteuttava ratkaisu. c) Tutki, oko 0 stabiili tasapaiopiste. 76. Ratkaise alkuarvotehtävä x = 5x 6x x = 4x 5x, x (0) =, x (0) = 0.

12 77. Etsi differetiaaliyhtälöryhmälle x' = Ax alkuarvo x(0)=[ 0] T toteuttava ratkaisu, ku A = a) Ratkaise alkuarvotehtävä x y' + y =0, y()=3. b) Etsi differetiaaliyhtälöryhmä x'( t) = Ax ( t) yleie ratkaisu, ku 3 4 A= (Voit käyttää seuraavia tietoja matriisista A: omiaisarvot ovat λ = 8, λ = λ 3 = - ja omiaisarvoa λ vastaava omiaisvektori o v =[ ] T. Laske loput tarvittavat.)