Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ,, x1 x. Matriiseihin perehtyminen voidaan perustella useilla järkisyillä.

Transkriptio

1 Vaasa yliopisto julkaisuja 71 4 MATRIISIT JA MATRIISILASKUT Ch:Matrix Sec:MatLaskut 4.1 Matriisi ja matriisilaskut Matriisi o suorakulmaie lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: a b,, x1 x x 3 ja c d Matriiseihi perehtymie voidaa perustella useilla järkisyillä. 1. Matriisie avulla voidaa suuria lukujoukkoja esittää mahdollisimma pieellä vaivalla ja kokoaisille lukukaavioille voidaa ataa imiä A, B,... je. Tämä helpottaa suuresti asioide esittämistä. Eräissä tilateissa matriisi o hyvi oistuut ja havaiollie tapa esittää lukuryhmiä. Esimerkiksi yhtälöryhmä { 2x 5y 1 oleelliset osat tiivistyvät matriiseihi 2 5 A 3 7 3x + 7y 13, x x y 1, ja b Matriiseille voidaa määritellä yhtee- ja kertolasku. Matriiseilla voidaa siis laskea. Näide laskutoimituste avulla o kehitetty meetelmiä eräide matriisie avulla kuvattavie ogelmie ratkaisemisee. Esimerkkiä maiittakoo yhtälöryhmä ratkaisemie. 3. Vaikka itse et koskaa harrastaisikaa matriisilasketaa, ii varmaa o, että tietokoeesi harrastaa. Jos tietokoe esimerkiksi ei löydä ratkaisua yhtälöryhmälle se yleesä ataa virheilmoitukse, jossa se kertoo mitä vikaa oli kerroimatriisissa. Virheilmoitukse ymmärtämie edellyttää matriisilaskea perusteide osaamista. 4. Matematiikassa tarkastellaa struktuureja, jotka muodostuvat olioista ja iille määritellyistä laskutoimituksista. Struktuureja luokitellessa o tapaa saoa, että tietyt ehdot täyttävä struktuuri o ryhmä tarkemmi luvussa III, tietyt ehdot täyttävä ryhmä o regas ja tietyt ehdot täyttävä regas o kuta. Reaaliluvut muodostavat kua, ja kompleksiluvut muodostavat kua. Opiskelija o.

2 Vaasa yliopisto julkaisuja 72 peruskoulussa ja lukiossa harjoitellut laskutoimituste suorittamista reaalilukukuassa. Ku säätöä voidaa pitää, että reaalilukuja ja kompleksilukuja lukuuottamatta mikää mielekiitoie struktuuri ei ole kuta, saatta peruskoulussa hakittu sujuva laskutaito aiheuttaa kitkaa tutustuttaessa uusii matemaattisii struktuureihi. Neliömatriisit muodostavat rekaa mutta eivät kutaa. Niillä laskettaessa tulee muistaa, että matriisilla ei saa jakaa eikä supistaa sillä kertolasku kääteisalkiota ei aia ole olemassa ja kertolasku ei ole vaihdaaie AB BA. Tätä kautta matriisilasketa kehittää teoreettisessa ajattelussa tarvittavaa tarkkuutta ja joustavuutta. Määritelmä 56 Suorakulmaie lukukaavio, jossa o m vaakariviä ja pystysaraketta o m -matriisi. Tyyppiä m 1 oleva matriisi o pystyvektori ja tyyppiä 1 oleva matriisi o vaakavektori. Kaaviossa esiityviä lukuja saomme matriisialkioiksi. Merkitäsopimuksia: 1 Tulemme kirjoittamaa lukukaavio aia isoje sulkeide sisää. O myös luvallista käyttää hakasulkumerkitää, mutta tässä moisteessa käytämme systemaattisesti kaarisulkeita. 2 Matriisia merkitsemme kirjaimella iso, vahveettu ja kursiivi ja matriisissa olevia alkioita merkitsemme samalla kirjaimella piei, vahvetamato ja kursiivi varustettua alaideksei, jotka ilmaisevat millä rivillä ja missä sarakkeessa alkio o. Esimerkiksi a 12 o matriisi A rivillä 1 sarakkeessa 2 oleva alkio. a 11 a 12 a 1 a 21 a 22 a 2 A a m1 a m2 a m 3 Vaakavektoria merkitää samoi kui matriisia, mutta usei valitaa piei kirjai, ja rivi-ideksi voidaa jättää pois. Pystyvektori tapauksessa sarakeideksi voidaa jättää pois. r r 11 r 12 r 1 r1 r 2 r, s s 11 s 21. s m1 s 1 s 2. s m

3 Vaasa yliopisto julkaisuja 73 4 Fysiikassa ja tekiikassa o tapa merkitä vektoreita vahvetamattomalla, kursiivilla vektorilla, joka päällä o uoli. r s 2 r 1 r 2 r, s. s 1 s m 5 Tulemme käyttämää kumpaaki merkitää 3 ja 4 vektorille. O tärkeätä, että opiskelija tottuu siihe, että eri tilateissa käytetää hiema erilaisia merkitöjä. Määritelmä 57 Usei käytämme matriisille merkitää A a i j. Vastaavasti matriisi A alkiolle käytetää joskus merkitää A i j. Määritelmä 58 a Matriisit A a i j ja B b i j ovat samat idettiset, egl. equal, jos e ovat sama kokoiset ja, a i j b i j kaikilla i, j. Tällöi merkitää A B. b Kahde m -matriisi A a i j ja B b i j summa o matriisi A + B a i j + b i j c Reaaliluvu λ ja m -matriisi A a i j tulo λ A o m -matriisi λ a i j. Kaikki alkiot kerrotaa λ:lla. d Sovimme lisäksi merkitätavoista 1A A, A B A + 1B A + B Esimerkki Samakokoiste matriisie yhtee- ja väheyslasku ja väheyslasku ovat melko selviä asioita. Seuraavaksi määrittelemme matriisi kertomise matriisilla. Koulussa olet todeäköisesti oppiut kahde vektori pistetulo u v u 1 v 1 + u 2 v u v. Kertaamme asia esi

4 Vaasa yliopisto julkaisuja 74 Määritelmä 60 Kahde samamittaise vektori u u i ja v v i pistetulo o u v u 1 v 1 + u 2 v u v Määritelmä 61 m -matriisi A a i j ja p-matriisi B b jk matriisitulo AB o m p-matriisi AB i j a ik b k j a i b j k1 Siis: AB: rivillä i sarakkeessa j oleva luku o A: i:e rivi ja B: j:e sarakkee pistetulo. Esimerkki 62 Seuraavassa esimerkissä o lisätty sarakkeita ja rivejä erottavat viivat joihiki kaavioihi. Tämä ei ole kovi tavallista, mutta tässä tapauksessa saattaa helpottaa kaavio lukemista c3s1esim1 Huomaa tyyppie yhteesopivuus 3 2-matriisi2 3-matriisi3 3-matriisi! Edeltävä määritelmä ja esimerkki kaattaa tiivistää seuraavalla tavalla: Ku ollaa laskemassa matriisia C AB, ii laskettaessa lukua riville i sarakkeesee j, tarvitaa esimmäisestä matriisista i:s rivi ja toisesta matriisista j:s sarake. Rivi ja sarakkee pistetulo ataa alkio tulo-kaavio vastaavaa paikkaa.

5 Vaasa yliopisto julkaisuja 75 c3s1taulu1 Alla taulukossa 2 c3s1taulu1 sivu 75 c3s1taulu1 o esitetty edeltävä esimerki tulokaavio kaikkie alkioide lasku ja erityisesti mistä luvut tulevat?. Taulukko 2. Esimerkissä 62 c3s1esim1 sivu 74 c3s1esim1 laskettuje lausekkeide sisältämie lukuje sujaiti alkuperäisissä matriiseissa. mikä mitä? mistä luvut? c c c c c c c c c Esimerkki 63 Seuraavassa välimuotoja o vähemmä. Saatko sama tulokse? Huomaa taas tyyppie yhteesopivuus 4 3-matriisi3 2-matriisi4 2-matriisi!

6 Vaasa yliopisto julkaisuja 76 Esimerkki 64 Olkoo 2 0 A 1 3, B ja C Laskemalla tulot ähdää, että a tulo AB o hyvi määritelty ja laskettavissa, mutta tuloa BA ei voi laskea. b Tulot BC ja CB voidaa laskea, mutta iistä saadaa eri tulokset. Siis BC CB. Esimerkki 65 Huomaa, että vektoreide u 2 3 ja v 5 6 Matriisitulo ja pistetulo ovat tarkasti tulkittuia eri asiat uv u v Esimerkki 66 Luvu alussa esiityi yhtälöryhmä ja siihe liittyvät matriisit { 2x 5y 1 A x + 7y 13 x, x y 1, ja b 13 Matriisikertolasku määritelmästä ja matriisie yhtäsuuruude määritelmästä seuraa, että seuraavat kolme riviä saovat sama asia:. Ax b x y 13 { 2x 5y x + 7y 13 Määritelmä 67 Nollamatriisi O o matriisi, joka kaikki alkiot ovat ollia. Jos matriisissa o sarakkeita yhtä mota kui riviä, se o eliömatriisi. -eliömatriisi a i j päälävistäjä muodostuu alkioista a kk,1 < k <. Neliömatriisi o diagoaalie, jos se aioat ollasta eroavat alkiot ovat päälävistäjällä. Neliömatriisi I o yksikkömatriisi, joka päälävistäjä alkiot ovat ykkösiä ja muut alkiot ovat ollia.

7 Vaasa yliopisto julkaisuja 77 O , I , Seuraava määritelmä saattaa tutua keiotekoiselta, mutta määritelmäässä esitelty Kroeckeri delta o paljo käytössä tekisessa laskeassa. Asia o ulkoa opettelu arvoie. Määritelmä 68 Kroeckeri delta o { 1, ku i j δ i j 0, ku i j Siis I δ i j. Seuraavilla lauseilla o täsmällie matemaattisee käsitteistöö liittyvä merkitys, joho palataa opetuksessa myöhemmi. Lauseet 69 ja 70 luettelevat matriiseille voi- th_matplus:yhteelasku th_matkerto:kertolasku omiaisuudet omiaisuudet c3s1esim2:mik\iec {\"a} massa olevia tavallisesta laskemisesta tuttuja omiaisuuksia. Esimerkki 71 kertoo missä suhteessa matriiseilla laskemie poikkeaa reaaliluvuilla laskemisesta. Tässä c3s1esim2:mik\iec {\"a} matlaskussa o outoa vaiheessa o tärkeätä muistaa esimerki 71 atama viesti. Lauseet o koottu peräkkäi, jotta kaavat olisivat helposti silmäiltävissä. Todistukset o esitetty esimerki jälkee. Seuraavassa merkiät + m ja m tarkoittavat matriisie laskutoimituksia. omiaisuudet Lause 69 Olkoo A, B ja C m -matriiseja ja α, β R reaalilukuja. Silloi 1 A + B + C A + B + C 2 A + O A 3 A + A O 4 A + B B + A 5 1 A A 6 αβ A αβa 7 α + βa α A + β A 8 αa + B α A + α A Kommetteja: 1 + m o liitääie eli assosiatiivie, 2 ollamatriisi o + m : eutraalialkio, 3 A o A: kääteisalkio, 4 + m o vaihdaaie eli kommutatiivie

8 Vaasa yliopisto julkaisuja 78 omiaisuudet Lause 70 Olkoo A, B ja C matriiseja ja α R reaaliluku. Jos matriisie tyypit ovat sellaiset, että seuraavat tulot ovat olemassa, ii silloi 1 ABC ABC 2 AB + C AB + AC 3 A + BC AC + BC 4 αab α AB Aα B 5 IA AI A Kommetteja: 1 m o liitääie assosiatiivie, 2,3 + m ja m oudattavat osittelulakeja, 5 I o matriisikertolasku m eutraalialkio. ussa o outoa Esimerkki 71 Olkoo A, B ja C matriiseja. Jos matriisie tyypit ovat sellaiset, että seuraavat tulot ovat olemassa, ii o mahdollista, että 1 AB BA 2 AC BC vaikka A B 3 AB O vaikka A O ja B O th_matplus:yhteelasku th_matkerto:kertolasku omiaisuudet omiaisuudet Lauseide 69 ja 70 osalta todistamme vai muutama kohda ja esimerki 71 c3s1esim2:mik\iec väitteet osoitetaa oikeiksi atamalla esimerkki jokaisee kohtaa. th_matplus:yhteelasku omiaisuudet Todistuksia: Lause 69 väite 1 i, j : A + B + C i j a i j + B + C i j a i j + b i j + c i j A + B i j + c i j A + B + C i j th_matkerto:kertolasku omiaisuudet Lause 70 väite 1 Olkoot A, B ja C tyyppejä m, p ja p r olevia matriiseja. Silloi matriisit ABC ja ABC ovat kumpiki tyyppiä m r ja AB i j p a ik b k j ja BC st a sq b qt k1 q1

9 Vaasa yliopisto julkaisuja 79 jote ABC i j p q1 AB iq c q j p a ik b kq c q j q1 k1 a i1 b 11 + a i2 b a i b 1 c 1 j +a i1 b 12 + a i2 b a i b 2 c 2 j a i1 b 1p + a i2 b 2p + + a i b p c 1p a i1 b 11 c 1 j + b 12 c 2 j + + b 1p c p j +a i2 b 21 c 1 j + b 22 c 2 j + + b 2p c p j a i b 1 c 1 j + b 2 c 2 j + + b p c p j p ik b kq c q j k1a q1 ABC i j th_matkerto:kertolasku omiaisuudet Lause 70 väite 2 AB + C i j a ik B + C k j k1 a ik b k j + c k j k1 a ik BC k j k1 a i1 b 1 j + c 1 j + a i2 b 2 j + c 2 j + + a i b j + c j a i1 b 1 j + a i2 b 2 j + + a i b j + ai1 c 1 j + a i2 c 2 j + + a i c j k1 a ik b k j + k1 a ik c k j AB + AC i j th_matkerto:kertolasku omiaisuudet Lause 70 väite 5 Tutkitaa m -matriisi A a i j, m m-yksikkömatriisi I δ i j ja -yksikkömatriisi J δ i j tuloja. IA i j AJ i j m k1 δ ik a k j δ i1 a 1 j + δ i2 a 2 j + + δ im a m j a i j A i j a ik δ k j a i1 δ 1 j + a i2 δ 2 j + + a i δ j a i j A i j k1 c3s1esim2:mik\iec {\"a} matlaskussa o outoa Esimerkki 71 Olkoo A , B ,C , D , E 1 1

10 Vaasa yliopisto julkaisuja 80 Silloi suora lasku osoittaa, että: 1 AB BA, 2 AC BC, vaikka A B, 3 DE O, vaikka D O ja E O. sec:mattrasp 4.2 Traspooiti Seuraavassa määriteltävää traspoosimerkitää käytetää paljo. Vaikka asia o yksikertaie, se pitää tulla täydellise tutuksi. Määritelmä 72 m -matriisi A a i j traspooitu matriisi eli traspoosi o m-matriisi A T jolle A T i j a ji. Matriisi A T saadaa siis A:sta vaihtamalla vaakarivit pystysarakkeiksi. Esimerkki T , T x 1 x 2. x T x 1 x 2 x Huomaa: vase yläurkka pysyy paikallaa, esimmäisestä rivistä tulee esimmäie sarake, toisesta rivistä tulee toie sarake,... Lause 74 Jos matriisie A ja B väliset laskutoimitukset ovat määriteltyjä ja λ R, ii 1 A T T A 2 A + B T A T + B T 3 λ A T λ A T 4 AB T B T A T ««TÄRKEÄ!

11 Vaasa yliopisto julkaisuja 81 Todistus: Kohdat 1-3 ähdää välittömästi. 4: AB T i j AB ji Esimerkki 75 Olkoo A a jk b ki k k1 5 6, ja B 7 8 B T ik A T k j B T A T i j Lasketaa esi väittee 4 mukaiset lausekkeet T T AB T B T A T Seuraavaksi kirjaamme uudellee samat laskut, mutta yt merkitsemme erityisesti mistä tulevat e luvut joista laskemme tulosmatriisi rivillä yksi sarakkeessa kaksi oleva alkio AB T B T A T T T Määritelmä 76 Neliömatriisi A o symmetrie, jos A T A eli a i j a ji, i, j ja atisymmetrie, jos A T A eli a i j a ji, i, j Jokaie matriisi voidaa esittää symmetrise ja atisymmetrise matriisi summaa A A + + A missä A A + AT o symmetrie, ja A 1 2 A AT o atisymmetrie. Jos esimerkiksi 1 2 A, ii 3 4 A A , ja A + + A A

12 Vaasa yliopisto julkaisuja 82 Sec:MatIv 4.3 Kääteismatriisi Reaalilukuje tapauksessa luvu a kääteisluku a 1 o sellaie luku, että a 1 a a a 1 1 missä 1 kertolasku eutraalialkio. Matriisi kääteismatriisilta vaaditaa täsmällee sama omiaisuus. Asioita mutkistaa se, että kaikilla O:sta poikkeavilla matriiseilla ei ole kääteismatriisia. Määritelmä 77 Neliömatriisi A o sääöllie, jos o olemassa kääteismatriisi A 1 site, että A 1 A AA 1 I. ikasitteisyys Lause 78 Jos eliömatriisi A o sääöllie, ii 1 kääteismatriisi A 1 o yksikäsitteie ja 2 matriisiyhtälöllä A x b o yksikäsitteie ratkaisu x A 1 b. Todistus: Todistus perustuu kääteismatriisi määritelmää, matriisikertolasku liitääisyytee ja matriisilaskuje osittelulakeihi lause 701,2. th_matkerto:kertolasku omiaisuudet 1 Olkoot V ja W kaksi A: kääteismatriisia. Silloi V V I V AW V AW IW W 2 A 1 b o matriisiyhtälö A x b ratkaisu, sillä AA 1 b AA 1 b b Olkoot v ja w kaksi matriisiyhtälö A x b ratkaisua. Silloi v w A 1 A v w A 1 b b A v w Edellise lausee väite 2 merkitsee sitä, että ku yhtälöryhmässä o yhtä mota yhtälöä kui muuttujaa, ii ratkaisu saadaa helposti, jos kerroimatriisi kääteismatriisi o tiedossa. Tulemme seuraavassa kappaleessa esittelemää keio, jolla kääteismatriisi saadaa määritettyä. Myöhemmi tässä luvussa esitämme samaa tarkoituksee vielä toise keio.

13 Vaasa yliopisto julkaisuja 83 Kysymys siitä, milloi eliömatriisi o sääöllie saa seuraavissa kapaleissa yksikertaise vastaukse. Seuraavassa luvussa yleistämme sääöllisyyde käsittee matriiseille, joilla o rivejä eemmä kui sarakkeita. Yleistys auttaa käsittelemää yhtälöryhmiä, joissa o yhtälöitä eemmä kui muuttujia. Kaikesta edellä saotusta voimme todeta, että olemme yt saavuttaeet erää tämä kurssi ydi-asia: matriisi sääöllisyys ja kääteismatriisi määrittämie. Esimerkki 79 Tarkastellaa esimerkkiä lausee 78 th_c3s3a:kmatr_yksikasitteisyys väittesee 2 yhtälöryhmää { x + y x 4 2x + y y 1 Kerroimatriisi ja se kääteismatriisi ovat 1 1 A 2 1, A 1 1/3 1/3 2/3 1/3, sillä AA 1 A 1 A 1 1 1/3 1/3 1 0, ja 2 1 2/3 1/ /3 1/ /3 1/ Lausee mukaa yhtälöryhmä ratkaisu saadaa kaavalla x A 1 1/3 1/3 4 1 b y 2/3 1/3 1 3 Sijoittamalla alkuperäise yhtälöryhmää huomaa, että ratkaisu o oikea. Seuraavaksi listaamme jouko kääteismatriisi omiaisuuksia. Lause 80 Olkoot A ja B sääöllisiä -matriiseja. Silloi myös A 1, A T ja AB ovat sääöllisiä ja 1 A 1 1 A 2 λ A 1 1 λ A 1 3 AB 1 B 1 A 1 ««TÄRKEÄ! 4 A T 1 A 1 T

14 Vaasa yliopisto julkaisuja 84 Todistus: { A 1 A I AA 1 I { λ Aλ 1 A 1 λ λ 1 AA 1 I λ 1 A 1 λ A λ 1 λ A 1 A I { ABB 1 A 1 ABB 1 A 1 AA 1 I B 1 A 1 AB B 1 A 1 AB B 1 B I A T A 1 T T A A 1 I A 1 T A T AA 1 T I Lause 81 Jos matriisi A o sääollie, ii 1 AB AC B C 2 BA CA B C 3 AB O B O 4 BA O B O Todistus: 1 B A 1 AB A 1 AC C, 2 vastaavasti ja 3 seuraa 1:stä, ku C O. 4 vastaavasti. c3s1esim2:mik\"{a} c3s1esim2:mik\"{a} matlaskussa matlaskussa o outoa o outoa Siis esimerkissä 71 sivulla 78 maiitut ogelmat 2 ja 3 eivät koske sääöllisiä c3s1esim2:mik\"{a} matlaskussa o outoa eliömatriiseja. Esimerki 71 yhteydessä o tapaa saoa, että matriisilla ei saa jakaa, mutta kääteismatriisilla saa kertoa jos kääteismatriisi o olemassa. Sec:MVOct 4.4 Matriisit ja vektorit Octavessa keske Octavea o jo käytetty lieaariste yhtälöryhmie ratkaisemisessa. Nyt käytämme samaa ohjelmaa matriisi- ja vektori-laskuje laskemisee. Kappale keske