7. Aliavaruudet. Lineaariset yhtälöryhmät

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "7. Aliavaruudet. Lineaariset yhtälöryhmät"

Transkriptio

1 7 7 Aliavaruudet Lieaariset yhtälöryhmät Tässäki luvussa kerrataa ja täydeetää jo kurssilla Laaja matematiikka esiityeitä asioita Erityisesti yhtälöryhmie teoriaa ja ratkaisemisee paeudutaa perusteellisesti Aliavaruudet Havaiollise maailma geometrisia malleia voidaa pitää suoraa, tasoa ja kolmiulotteista avaruutta, jotka ovat koordiaattiavaruuksia R, R ja R 3 Koska sovelluksissa esiityy muuttujia luotevasti "mielivaltaie" määrä, o huomattu edulliseksi tarkastella asioita silloi "-ulotteisessa avaruudessa" R Tämä tarjoaa mahdollisuude kuvitella ilmiöitä havaiollisi geometrisi käsittei, jotka o laiattu, tai 3-ulotteisesta havaitomaailmasta Tiettyje olioide väliset suhteet säilyvät samakaltaisia kaikissa ulottuvuuksissa ja pystymme ymmärtämää iitä paremmi havaiolliste miellekuvie avulla Tästä syystä laiaamme ja yleistämme avaruuksista R, R ja R 3 geometrisia käsitteitä ja siirrämme e yleisee -ulotteisee avaruutee R Tällaisia käsitteitä ovat piste, vektori, suora, taso, pituus, etäisyys, kulma, pistetulo, kohtisuoruus, projektio, ulottuvuus je Kaikki käsitteet eivät yleisty, esimerkiksi vektoritulo eli ristitulo o sellaie, jolla ei ole vastietta yleisessä R :ssä Algebrallisella puolella otamme matriisit käyttöö perusolioia Avaruus R eli -ulotteie euklidie avaruus määritellää tässä kurssissa -matriisie ("vektorie") joukoksi, jossa o matriisialgebrasta periytyvät laskutoimitukset: vektorie yhteelasku ja skalaarilla kertomie, sekä vektorie välie sisätulo R T = { xx = [ x, x,, x], xi R, i=,, } Laskutoimitukset oudattavat seuraavia lakeja, jotka seuraavat jo todeetuista matriisialgebra sääöistä Luettelemme e kuiteki uudestaa tässä, koska saatuje ehtoje kokoelma määrittelee yleisemmä käsittee vektoriavaruus Avaruus R o siis esimerkki vektoriavaruudesta Muita vektoriavaruuksia ovat mm erilaiset fuktioista koostuvat fuktioavaruudet

2 8 Avaruudessa R toteutuvat seuraavat (reaalise) vektoriavaruude aksioomat: VA Joukossa R o määritelty vektoreide xy, yhteelasku: x + y R x, y R VA ( x + y) + z= x+ ( y + z), x, y R VA3 O olemassa ollavektori: x+ = + x= x, x R VA4 Jokaisella vektorilla o vastavektori: x+ ( x) =, x R VA5 x + y= y+ x, x R VA6 Joukossa R o määritelty skalaarilla kertomie: ax R, x R, a R VA7 a( x + y) = ax + ay, x, y R, a R VA8 ( a+ b) x= ax+ bx, x R, a, b R VA9 ab ( x) = ( ab) x, x R, ab, R VA x= x, x R Nämä otetaa yleisessä tapauksessa siis aksioomiksi vektoriavaruudelle, yt e ovat seurauksia matriisialgebrasta Lisäomiaisuuksia (jotka sitte ovat yleisessä tapauksessa lauseia johdettavissa yllä olevista aksioomista) ovat mm seuraavat: - a=, a R - x=, x R - ax= a= tai x=, x R, a R - ( ) x= x, x R

3 9 Sisätuloa koskevia omiaisuuksia tarkastelemme myöhemmi ortogoaalisuude yhteydessä Yleisesti vektoriavaruuksia, joissa o määritelty sisätulo, saotaa sisätuloavaruuksiksi, joista R o siis yksi esimerkki Kolmiulotteisessa avaruudessa R 3 o osajoukkoia tasoja ja suoria, jotka muistuttavat geometrisesti hyvi paljo avaruuksia R ja R Jos taso kulkee origo kautta, huomataa, että se vektoreide yhteelasku ja skalaarilla kertomie johtaa vektoreihi, jotka edellee ovat samalla tasolla Siis ämä vektorit toteuttavat vektoriavaruude aksioomat VA ja VA6, ja koska vektorit ovat toisaalta R 3 : vektoreita, laskulait VA-VA5, VA7-VA toteutuvat myös Siis origo kautta kulkeva R 3 : taso o itseki vektoriavaruus Avaruude R osajoukko H o aliavaruus, jos seuraavat ehdot ovat voimassa kaikille xy, ja kaikille skalaareille a: AA xy, H x+ y H AA AA3 a R& x H ax H H Kaksi esimmäistä ehtoa vaativat, että laskutoimituste lopputulos pysyy H:ssa, eli että yhteelasku ja skalaarilla kertomie "eivät vie ulos H:sta" Ehdot AA-AA3 voidaa esittää myös tiivistetyssä muodossa ehtoa: xy, R, ab, R: xy, H a x+ b y H ja lisäksi o vaadittava, että H o epätyhjä Avaruus R itse ja {} ovat triviaaleja aliavaruuksia Tapauksessa R ei muita aliavaruuksia olekaa Tasossa R epätriviaaleja aliavaruuksia ovat origo kautta kulkevat suorat Avaruudessa R 3 epätriviaaleja aliavaruuksia ovat origo kautta kulkevat suorat ja origo kautta kulkevat tasot Yleisessä R :ssä eri tyyppisiä aliavaruuksia o sitte eemmä

4 Huomattakoo, että esimerkiksi kolmiulotteise avaruude tasot, jotka eivät kulje origo kautta, eivät voi olla aliavaruuksia (vaatimus AA3) Ne voidaa ajatella kuiteki aliavaruuksie siirtoia eli traslaatioia Esim H = x R x + x = o R : aliavaruus { } H = x R x + x = ei ole R : aliavaruus 3 { 4} H = x R x x + x = o R 3 : aliavaruus 3 { 3 3 } Kahde taso leikkaus o suora (kuha tasot eivät ole yhdesuutaisia) ja kulkee origo kautta, jos tasotki tekevät ii Näyttää siis ilmeiseltä, että aliavaruuksie yhteisistä osista muodostuu aliavaruuksia: Aliavaruuksie H, H leikkaus H H o aliavaruus Edellä o ollut moessa kohdi jo puhetta "ulottuvuudesta", mutta käsitettä ei ole vielä tarkasti määritelty Esimerkiksi R 3 o kolmiulotteie, koska sillä o kolme katavektoria i, j, k Mutta mitä tarkoitetaa esimerkiksi edellä oleva aliavaruude H 3 kaalla? Kaalla i, j, k o seuraavat kaksi omiaisuutta ) Vektorit i, j, k "virittävät" koko avaruude R 3 : x 3 x= x = xi+ xj+ x3k, x R x 3 ) Vektoreide i, j, k joukossa ei ole yhtää turhaa, jos yhdeki jättää pois, ii loput eivät eää pysty virittämää koko avaruutta R 3

5 Tästä saadaa malli yleisee tapauksee Vektori v o vektoreide v, v,, vk lieaarikombiaatio, jos v= cv + c v + + c v k k joillaki kertoimilla (reaaliluvuilla) c, c,, c k Vektorit v, v,, vk virittävät avaruude H, jos jokaie H: vektori v voidaa esittää lieaarikombiaatioa äistä vektoreista joillaki kertoimilla c, c,, c k Esim Vektorit i ja j virittävät R : Vektori v=[,3] T o lieaarikombiaatio v=i+3j Vektorijoukkoa S = { v, v,, vk }, joka virittää H: saotaa avaruude H virittäjistöksi ja merkitää H = spas = spa{ v, v,, v } k Ilmeisesti jokaisee virittäjistöö voidaa lisätä vektoreita, ja äi laajeettu joukkoki o edellee sama tai laajemma avaruude virittäjistö Mutta voidaako virittäjistöstä poistaa vektoreita, ii että joukko säilyy edellee sama avaruude virittäjistöä? Jos voidaa, ii silloi tällaie ylimääräiste vektorie karsita yleesä tehdääki Virittämise kaalta tarpeettomia S: vektoreita ovat ilmeisesti sellaiset, jotka ovat itse joideki muide S: vektoreide lieaarikombiaatioita Jos vektorijoukossa S o tällaisia (edes yksi), ii vektorijoukkoa S = { v, v,, vk }saotaa lieaarisesti riippuvaksi (eli se vektoreita v, v,, vk lieaarisesti riippuviksi) Jos vektorit v, v,, vk ovat lieaarisesti riippuvia, ii siis aiaki yksi iistä, esimerkikis v m, o muide lieaarikombiaatio: v = av + + a v + a v + a v m m m m+ m+ k k

6 Siirtämällä kaikki vasemmalle puolelle saadaa yhtälö cv + + c v =, k k missä kertoimista c i aiaki yksi o ollasta eroava (sillä yt aiaki c = ) Tämä otetaa usei lieaarise riippuvuude määritelmäksi m Edellee voidaa todeta, että vektorijoukko S o lieaarisesti riippuva, jos ja vai jos sillä o sellaie aito osajoukko S', että spa( S') = spa( S) Toivottava omiaisuus virittäjistölle o, että siellä ei ole turhia vektoreita mukaa, eli että se ei ole lieaarisesti riippuva Vektorijoukko S = { v, v,, vk } o lieaarisesti riippumato (eli vektorit v, v,, vk lieaarisesti riippumattomia), jos ja vai jos S ei ole lieaarisesti riippuva Lieaariselle riippumattomuudelle saadaa siis seuraavia karakterisoiteja: Jouko S = { v, v,, v k } vektorit ovat lieaarisesti riippumattomia täsmällee silloi, ku alla olevat keskeää yhtäpitävät ehdot ovat voimassa: - Mikää vektoreista v, v,, vk ei ole muide lieaarikombiaatio - Ehto c v + + c k v k = toteutuu vai kaikkie kertoimie c i ollessa ollia - cv+ + c v = c= = c = k k k - S' S, S' S spa( S') spa( S)

7 3 Erityisesti ähdää, että -vektori ei voi olla mukaa missää lieaarisesti riippumattomassa vektorijoukossa Koska lieaarista riippumattomuutta pidetää toivottua ilmiöä, o hyvä olla laskeallie keio, jolla riippumattomuus tai riippuvuus voidaa selvittää Tällaise tarjoaa redusoituu riviporrasmuotoo muutamie Ajatellaa vektorit v, v,, vk laitetuksi matriisi A pystyvektoreiksi: Silloi A = v v v k [,,, ] A T = v T T v v T k, joka o muokattavissa vaakarivimuuoksilla Olkoo vektoreista joki, esimerkiksi v m, muide lieaarikombiaatio: v = a v + + a v + a v + a v T T T T T m m m m+ m+ k k T Silloi saadaa muuoksilla Em ( a),, Emk( ak ) rivi v m ollattua Käätäe, jos rref(a T ):ssä o ollarivi, se o saatu aikaa maiitu kaltaisilla muuoksilla, jote kyseie rivi o muide lieaarikombiaatio Siis vektorit v, v,, vk ovat lieaarisesti riippumattomia täsmällee T T silloi, ku matriisi A = [ v, v,, v k ] redusoitu riviporrasmuoto rref(a T ) ei sisällä ollarivejä Jos k matriisissa o k > eli vaakarivejä o eemmä kui pystyrivejä, ii matriisi redusoidussa riviporrasmuodossa o ilmeisesti porrasmaisuude takia pakko olla ollarivejä:

8 4 Tästä ähdää, että R :ssä jokaie vektorijoukko, jossa o eemmä kui vektoria, o lieaarisesti riippuva Esimerkiksi R 3 :ssa jokaie eljä vektori joukko o lieaarisesti riippuva Esim 3 Tutkitaa, ovatko R 4 : vektorit u=, v =, w = lieaarisesti riippuvia vai riippumattomia A =, T A = T Koska matriisissa rref ( A ) o ollarivi, vektorit ovat siis lieaarisesti riippuvia Ja todella äi o, sillä w = u v

9 5 Huomattakoo vielä, että kaksi ollasta eroavaa vektoria uv, R ovat lieaarisesti riippuvia täsmällee silloi, ku toie saadaa toisesta vakiolla kertomalla: uv, lieaarisesti riippuvia c R: u= cv Vektorijoukko S o avaruude H kata, jos S o H: lieaarisesti riippumato virittäjistö Silloi siis H = spa(s) ja S: vektorit ovat lieaarisesti riippumattomia eli siellä ei ole tarpeettomia vektoreita mukaa Jokaisella avaruude H vektorilla v o silloi yksikäsitteie esitysmuoto kaassa S= { v, v,, vk }: v = c v + + c k v k Jos imittäi olisi v = cv+ + ckvk = c' v+ + c' k vk, ii siirtämällä kaikki vasemmalle puolelle saataisii ( c c' ) v+ + ( ck c ' k) vk =, josta seuraa vektoreide lieaarise riippumattomuude ojalla ( c c' ) = = ( ck c ' k) = eli c = c ',, c = c ' k k Nämä yksikäsitteiset luvut c i ovat vektori v koordiaatit kaassa S Silloi vektori v voidaa esittää koordiaattivektoria c c v= v S = ck S, missä S korostaa, että o kyse kaasta S Koska vektori v o tässä kurssissa aia myös joki R : vektori, sillä o oletusarvoa esitys R : luoollisessa kaassa { e,, e }:

10 6 v v v ve v e v = = + missä e =,, e = Avaruude H jokaisessa kaassa o yhtä mota vektoria Tämä seuraa siitä, että jos jossaki kaassa o k vektoria, ii jokaie joukko, jossa o eemmä kui k vektoria, o lieaarisesti riippuva Päättely o sama kui R : yhteydessä tehtii redusoidu riviporrasmuodo avulla Nyt matriisi rakeetaa kyseise kaa koordiaattivektoreista Kaa alkioide lukumäärä o siis avaruudelle omiaie vakio Avaruude H ulottuvuus eli dimesio dim(h) o kaa vektorie lukumäärä Avaruude R dimesio o siis Triviaali avaruude {} dimesioksi sovitaa (Se o sikäli luotevaa, että {} o aioa avaruus, jolla ei ole kataa, koska -vektori o lieaarisesti riippuva Siis katavektoreide lukumäärä o ) Tasot avaruudessa R 3 ovat -ulotteisia ja suorat -ulotteisia aliavaruuksia (silloi ku kulkevat : kautta) Oheisessa kuvassa taso kaa muodostavat vektorit v, v ja iide avulla tasolle muodostuu koordiaatisto

11 7 Katoja o avaruudella erilaisia, ääretö määrä Jokaie lieaarisesti riippumato vektorijoukko, jossa o dimesio ilmoittama määrä vektoreita, käy kaaksi: Jos dimh = k, ii jokaie k: vektori lieaarisesti riippumato H: osajoukko kelpaa H: kaaksi Tämä todistamiseksi oletetaa, että U = { u,, u k } o H: lieaarisesti riippumato osajoukko Kaa vaatimuksista lieaarie riippumattomuus o siis jo kuossa, jote o äytettävä vielä, että U virittää H: Olkoo v mielivaltaie H: vektori Silloi joukko {, vu,, u k } o lieaarisesti riippuva, koska siiä o alkioita eemmä kui k kappaletta Siis o olemassa sellaiset kertoimet c, c,, ck, että c v+ cu + + c u =, ja kertoimet eivät kaikki ole ollia Myöskää ei voi olla k k c =, koska vektorit ui ovat lieaarisesti riippumattomia Siis c ck v = u uk, jote v o esitettävissä U: vektoreide c c lieaarikombiaatioa

12 8 Lieaariset yhtälöryhmät Matriisilaskea keskeisimpiä käyttökohteita ovat lieaariset yhtälöryhmät Sellaisia esiityy sovelluksissa rusaasti, esimerkiksi elemettimeetelmä (FEM) ja reuaelemettimeetelmä (BEM) lujuus-, virtaus-, akustiikka- ja mageettikettälaskeassa palauttavat lasketaogelmat lopulta suurte lieaariste yhtälöryhmie umeerisee ratkaisemisee Myös tilastotieteessä ja optimoiissa käytetää paljo lieaarisia yhtälöryhmiä Jopa epälieaariste yhtälöryhmie umeerie ratkaisu perustuu lieaariste yhtälöryhmie iteroitii Lieaarise yhtälöryhmä yleie muoto o ax + ax + + a x = b a x + a x + + a x = b a x + a x + + a x = b m m m m missä muuttujat ovat x,, x ja kertoimet a,, am ja sekä oikea puole luvut b,, b m Muuttujie lukumäärällä ja yhtälöide lukumäärällä m osoittautuu jatkossa oleva tärkeä rooli Matriisimuodossa lieaarie yhtälöryhmä o Ax = b,, missä kerroimatriisi o A = muuttujavektori x = x x x a a a a a a a a a m m, b b bm m, ja oikea puoli b =

13 9 Yhtälöryhmä Ax = b o homogeeie, jos b = ja epähomogeeie, jos b Tarkastellaa esi lieaariste yhtälöryhmie geometriaa Aluksi todetaa, että homogeeise yhtälöryhmä ratkaisuje joukko V={ x R Ax= } o avaruude R aliavaruus: AA xy, V A( x+ y) = Ax+ Ay= + = x+ y V AA a R& x V A( ax) = aa( x) = a= ax V AA3 V Tätä aliavaruutta saotaa matriisi A olla-avaruudeksi ja merkitää N(A) tai N A : N(A) = { x R Ax= } Voidaa osoittaa, että muita aliavaruuksia ei sitte olekaa: Avaruude R aliavaruuksia ovat m -matriisie olla-avaruudet (m=,, 3, ) ja vai e Epähomogeeise yhtälö Ax = b, missä siis b, ratkaisujoukko ei ole aliavaruus, koska ei kuulu siihe Mutta se voidaa ajatella ollaavaruude N(A) siirroksi eli traslaatioksi vektori x p verra: { x R Ax= b} = N( A) + x p, missä x p o joki epähomogeeise yhtälö ratkaisujouko piste eli joki yksityisratkaisu Jos siis x h o homogeeise yhtälö yleie ratkaisu, ii epähomogeeise yhtälö yleie ratkaisu x o x= x + x h p

14 3 Esim 4 Lieaarise yhtälö x x = ratkaisujoukko eli matriisi A=[ -] olla-avaruus o R : suora x = x Epähomogeeise yhtälö x x = ratkaisujoukko o suora x = + x Vektorimuodossa esitettyä: xh = t, p, t x = = + x Toie matriisii A liittyvä avaruus o se arvoavaruus eli kuvaavaruus eli sarakeavaruus R(A): m RA ( ) = { y R y = Ax, x R } Se koostuu siis imesä mukaisesti arvoista Ax ku x käy läpi kaikki R : vektorit Arvoavaruus o avaruude R m aliavaruus, kute helposti todetaa Nimitys sarakeavaruus selittyy yhteydellä x x y= Ax y= [ a, a,, a ] = xa + x a + + x a x Tästä äkyy, että matriisi A sarakkeet virittävät arvoavaruude R(A): RA= ( ) spa{ a, a,, a} Lieaarisella yhtälöllä Ax = b o siis olemassa ratkaisuja täsmällee silloi, ku b RA ( ) eli ku o olemassa sellaiset luvut x i, että xa + x a + + x a b= Sarakeavaruude dimesio o tärkeä matriisii liittyvä luku: Matriisi A aste eli ragi o rak( A) = dim RA ( )

15 3 Matriisi aste rak(a) kertoo se, kuika mota lieaarisesti riippumatota saraketta A:lla o Jos esimerkiksi rak(a)=k<, ii joukosta { a, a,, a} löytyy k: vektori osajoukko, joka riittää virittämää R(A): ja käy siis se kaaksi Voidaa osoittaa, että aste ilmoittaa myös lieaarisesti riippumattomie vaakarivie lukumäärä Siis m -matriisi A asteelle pätee rak(a) m ja rak(a) Esimerkiksi 3 5-matriisi aste voi olla korkeitaa 3 Matriisi aste rak(a) ähdää redusoidusta riviporrasmuodosta rref(a) ollasta eroavie rivie lukumäärää eli siis johtavie ykköste lukumäärää Esim 5 Matriisi M 3 = aste rak(m)= Jos A o eliömatriisi kokoa, ii se ragi o täysi eli täsmällee silloi, ku deta eli ku se o käätyvä Lieaarise yhtälöryhmä Ax=b ratkaisemie perustuu kokoaismatriisi [A b] käsittelyy Kute yllä todettii, yhtälöllä o olemassa ratkaisu(ja) täsmällee silloi, ku oikea puoli b kuuluu sarakeavaruutee Kokoaismatriisi o sarakkeittai esitettyä [ A b] = [ a, a,, a b] Jos siis b kuuluu sarakeavaruutee, se o vektoreide a, a,, a lieaarikombiaatio, eikä lieaarisesti riippumattomie sarakkeide lukumäärä kasva siitä, mitä se o A:ssa Siis rak[a b]=raka Jos taas b ei kuluu sarakeavaruutee, se o lieaarisesti riippumato A: sarakkeista, ja ragi kasvaa yhdellä Lieaarisella yhtälöryhmällä Ax = b o olemassa ratkaisuja, jos ja vai jos rak[a b]=raka

16 3 Tätä ehtoa saotaa myös lyhyesti "ragiehdoksi" Tarkastellaa sitte ratkaisuje hakemista, homogeeie ja epähomogeeie tapaus eriksee Homogeeise yhtälö ratkaisemie Ragiehdosta ähdää heti, että homogeeisella yhtälöryhmällä o aia ratkaisu, sillä ei pysty muuttamaa ragia Tämä o tietysti itsestää selvää, koska triviaali ratkaisu eli o aia homogeeise yhtälö ratkaisu Vaakarivimuuokset kokoaismatriisii [A ] eivät ilmeisesti muuta yhtälöryhmä ratkaisuje joukkoa, toisi saoe yhtälöryhmillä Ax= ja (rrefa)x= o samat ratkaisut Jos raka=, ii homogeeisella yhtälöllä Ax= o vai triviaali ratkaisu Tämä seuraa siitä, että silloi A: sarakkeet ovat lieaarisesti riippumattomia, jote yhtälö Ax= eli xa+ xa+ + xa= ei voi toteutua kui muuttujie xi ollessa= Redusoidusta riviporrasmuodosta katsomalla asia o myös selvä: rref [A ]=, joka vastaa yhtälöä x = x = x3 = Koska eliömatriisi tapauksessa täyde ragi tilae voidaa ilmaista determiatilla, saadaa: Jos A o eliömatriisi ja deta, ii homogeeisella yhtälöllä Ax= o vai triviaali ratkaisu

17 33 Tämä ähdää myös kääteismatriisilla kertomalla: A A A A A x= & käätyvä x= x= = Redusoitu riviporrasmuoto o yt seuraavaäköie: Jos sitte raka <, ii matriisi A sarakkeet ovat lieaarisesti riippuvia, jote yhtälö xa+ xa+ + xa= toteutuu ollasta eroavillaki kertoimilla Koska yhtälö voidaa kertoa mielivaltaisella luvulla, ratkaisuja o siis ääretö määrä Koska redusoidussa riviporrasmuodossa o johtavia ykkösiä raka=k kappaletta, voidaa iitä vastaavat muuttujat ratkaista muide ollessa parametreia Näitä vapaita parametreja o silloi -k kappaletta Jos raka=k<, ii homogeeisella yhtälöllä Ax= o äärettömä mota ratkaisua Ratkaisujoukossa o -k vapaata parametria Erityisesti äi käy aia, ku m< Jos m< eli yhtälöitä o vähemmä kui muuttujia, ii homogeeisella yhtälöllä Ax= o äärettömä mota ratkaisua

18 34 Redusoidusta riviporrasmuodosta katsottua (raka==k<=3, -k=) a b, eli x x ax =, josta + bx = 3 3 x = at x = bt x3 = t a eli x = t b, t R Tapaus m< (m=, =3): a b, eli sama ratkaisu kui yllä Edellä maiittu parametrie lukumäärä tarkoittaa myös sitä, että yhtälöryhmä kerroimatriisi A olla-avaruude dimesio o -k Tämä tosiasia tuetaa imellä Dimesiolause: Jos A o m -matriisi, ii se olla-avaruude dimesio ja astee summa o : dim N( A) + rak( A) = Epähomogeeise yhtälöryhmä ratkaisemie Nytki ratkaisemie perustuu kokoaismatriisi [A b] käsittelyy Vaakarivimuuokset eivät muuta ratkaisujoukkoa, jote yhtälöillä Ax=b ja (rrefa)x=b o samat ratkaisut Tässä b o kokoaismatriisi redusoidu riviporrasmuodo rref[a b] viimeie sarake eli se vektori, joksi b o muuttuut (Tässä kohtaa o eroa homogeeisee yhtälöö, siellähä oikea puoli o eikä muutu vaakarivimuuoksissa) Ragiehdo mukaisesti saadaa: Jos raka<rak[a b], ii epähomogeeisella yhtälöllä Ax=b ei ole ratkaisua

19 35 Redusoidu riviporrasmuodo kautta tilae o esimerkiksi seuraava: a b rref[a b]=[rrefa b ]= c d, eli äkyy x ax3 = b x + cx3 = d x3 = josta ristiriita = Geometrisesti tilae o oheise kuva kaltaie Kuki taso edustaa yhtä ryhmä yhtälöä, ja tasoilla ei ole yhteistä pistettä Toie mahdollisuus o, että b ei osta ragia, eli että raka=rak[a b] Silloi ratkaisuja siis o olemassa, ja tilae jakaatuu kahtee eri tapauksee: ratkaisuja o tasa yksi tai sitte ratkaisuja o äärettömä mota (Lieaarisilla yhtälöryhmillä ei siis voi esiityä tilateita, joissa ratkaisuja olisi esimerkiksi tai 3 Tämä o yksi huomattava ero lieaariste ja epälieaariste yhtälöide välillä) Jos raka=rak[a b]=, ii epähomogeeisella yhtälöllä Ax=b o täsmällee yksi ratkaisu

20 36 Sillä A: pystyrivit ovat yt kaikki lieaarisesti riippumattomia, jote e muodostavat R : kaa, jossa b: esitys xa+ xa+ + xa=b o yksikäsitteie Redusoidu riviporrasmuodo avulla: Tapaus, jossa m>: a b rref[a b]=[rrefa b ]=, eli c x = a x = b x3 = c Tapaus, jossa m=: a rref[a b]=[rrefa b ]= b, eli c x = a x = b x3 = c Geometrisesti: Tasot leikkaavat yhdessä pisteessä:

21 37 Jos A o eliömatriisi eli m=, ii silloi raka= merkitsee, että deta eli matriisi o käätyvä Silloi yllä oleva lause voidaa ilmaista myös seuraavasti: Jos A o eliömatriisi ja deta, ii epähomogeeisella yhtälöllä Ax=b o täsmällee yksi ratkaisu x= A b Jäljellä o tapaus, jossa raka=rak[a b]< Silloi b o matriisi A sarakkeista lieaarisesti riippuva, mutta ämä sarakkeet a, a,, a eivät ole lieaarisesti riippumattomia Siis esitys b= x a + x a + + x a ei ole yksikäsitteie Jos raka=k<, ii A:lla o k lieaarisesti riippumatota saraketta, jolloi loput ovat äide lieaarikombiaatioita Esimerkiksi jos A=[ a, a, a 3 ] ja a3 = a+ a, ii b= xa+ xa + x3( a+ a) = ( x+ x3) a+ ( x+ x3) a = b a + b a Tässä b ja b ovat yksikäsitteisiä Siis jos x3 otetaa parametriksi t, ii yhtälö ratkaisuja ovat kaikki vektorit x, joilla x = b t, x = b t, t R Helpommi ratkaisuje äärettömä määrä äkee homogeeise yhtälö kautta Tapauksessa raka< homogeeisella yhtälöryhmällä o äärettömä mota ratkaisua Silloi myös vastaavalla epähomogeeisella o, koska x= xh + x p o epähomogeeise yhtälö ratkaisu aia, ku x h o homogeeise yhtälö ratkaisu ja x p o epähomogeeise yhtälö ratkaisu: Ax= A( x + x ) = A( x ) + A( x ) = + b= b h p h h O siis voimassa: Jos raka=rak[a b]=k<, ii epähomogeeisella yhtälöllä Ax=b o äärettömä mota ratkaisua Ratkaisujoukossa o -k vapaata parametria

22 38 Parametrie lukumäärä ja ratkaisu rakee selviää redusoidusta riviporrasmuodosta: a b c d rref[a b ]=, eli x + ax3 = b x + cx3 = d eli x = b at x = c dt, josta saadaa x3 = t b a x = c + t d, t R (Kyseessä o siis suora avaruudessa R 3 ) Geometrisesti tilae äyttää seuraavakaltaiselta: Tasoilla o yhteiseä leikkauksea suora Esim 6 Yhtälöryhmä o x+ x = x+ x = 3x+ 3x =

23 39 Viimeisestä matriisista ähdää jo, että yhtälöryhmä o ristiriitaie, koska toie ja kolmas rivi vastaavat yhtälöitä -3x = ja -3x = Siis ratkaisua ei ole (Redusoituu riviporrasmuotoo laittamie voitii myös keskeyttää) Esim 7 x+ y = x + y + z = 3x y + z = 3 /3 / /3 /3 /3 /3 3/ /3 /3 /3 /3 3/ /3 /3 / / Siis yksikäsitteie ratkaisu o x=-3/, y=3/, z=/ Esim 8 x x3 = x 3x3 = x 3x3 = 3 3, jota vastaa yhtälöryhmä 3 x x3 = x 3x3 = x = + t Siis ratkaisu o x = + 3t x3 = t Kyseessä suora eli vektorimuodossa x = + t 3, t parametri

24 4 Esim Ax = b, A= 3, b = =rref[a b] 3 3 Tästä ähdää, että yhtälö voidaa esittää muodossa x - x3 x5 = x + x3 x5 = 4 x4 + x5 = 3 Siis x 3 ja x 5 voidaa ottaa parametreiksi ja loput ratkeavat iide avulla Siitä ähdää ratkaisu myös vektorimuodossa x = + s -t x = -4 - s + t x3 = s x4 = 3 - t x5 = t x = s + t, s,t R

25 4 Lopuksi yhteeveto, jossa eri tapaukset o luokiteltu muuttujie lukumäärä ja yhtälöide lukumäärä m mukaisesti: Lieaarise yhtälöryhmä ratkaisuje lukumäärä: yhteeveto Lieaarie yhtälöryhmä Ax = b, A = a a am a a a m a a a m x b x b, x =, b = x b m o homogeeie, jos b = ja epähomogeeie, jos b Ratkaisuje lukumäärät määräytyvät silloi oheise tauluko mukaisesti muuttujie lukumäärä ja yhtälöide lukumäärä m perusteella Neliömatriisi tapauksessa ( = m) ehto rak(a) = voidaa ilmaista determiattiehdolla det(a) ja vastaavasti rak(a) < ehdolla det(a) = Ku ratkaisuja o määrä, e riippuvat vapaista muuttujista (parametreista), joide lukumäärä o - rak(a) Homogeeie yhtälöryhmä Muuttujat yhtälöt Ragiehto Ratkaisuje lukumäärä < m rak(a) = < m rak(a) < 3 = m rak(a) = 4 = m rak(a) < 5 > m (ei ehtoa) Yllä ratkaisuje lukumäärä tarkoittaa, että yhtälöllä o vai triviaali ratkaisu x =

26 4 Epähomogeeie yhtälöryhmä Muuttujat yhtälöt Ragiehto Ratkaisuje lukumäärä 6 < m rak(a) < rak[a b] 7 < m rak(a) = rak[a b] = 8 < m rak(a) = rak[a b] < 9 = m rak(a) = rak[a b] = = m rak(a) = rak[a b] < = m rak(a) < rak[a b] > m rak(a) = rak[a b] 3 > m rak(a) < rak[a b] Yllä ratkaisuje lukumäärä tarkoittaa, että yhtälöllä o täsmällee yksi eli yksikäsitteie ratkaisu Harjoitustehtävä Mihi tapauksii sivuilla -3 lasketut esimerkit -4 kuuluvat?

27 43 Esimerkkitilateet jokaisesta tapauksesta -3: Homogeeise yhtälö tapauksissa oletetaa kaoie muoto rref(a) lasketuksi (oikea puole ollasaraketta ei ole merkitty) Epähomogeeise yhtälö tapauksissa oletetaa rref [A b] lasketuksi:

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Mat Lineaarinen ohjelmointi

Mat Lineaarinen ohjelmointi Mat-2.340 Lieaarie ohjelmoiti 20.9.2007 Lueto 2 Lieaarialgebraa ja geometriaa (kirja.5, 2.) S ysteemiaalyysi Tekillie korkeakoulu Lieaarie ohjelmoiti - Syksy 2007 / Lieaarialgebraa Notaatiota Kääteismatriisi

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut

2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut 2.5. Matriisin avaruudet ja tunnusluvut m n-matriisi A Lineaarikuvaus A : V Z, missä V ja Z ovat sopivasti valittuja, dim V = n, dim Z = m (yleensä V = R n tai C n ja Z = R m tai C m ) Kuva-avaruus ja

Lisätiedot

5. Lineaarisen optimoinnin perusprobleemat

5. Lineaarisen optimoinnin perusprobleemat 2 5. Lieaarise optimoii perusprobleemat Optimoitiprobleema o lieaarise optimoii tehtävä, jos kohdefuktio o lieaarie fuktio ja rajoitusehdot ovat lieaarisia yhtälöitä tai lieaarisia epäyhtälöitä. Yleisessä

Lisätiedot

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla.

( ) k 1 = a b. b 1) Binomikertoimen määritelmän mukaan yhtälön vasen puoli kertoo kuinka monta erilaista b-osajoukkoa on a-joukolla. Kombiatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotuksia (RT) (5 sivua) Käytä tehtävissä 1-3 kombiatorista päättelyä. 1. Osoita, että kaikilla 0 b a pätee ( ) a a ( ) k 1 b b 1 kb Biomikertoime määritelmä

Lisätiedot

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h

3x + y + 2z = 5 e) 2x + 3y 2z = 3 x 2y + 4z = 1. x + y 2z + u + 3v = 1 b) 2x y + 2z + 2u + 6v = 2 3x + 2y 4z 3u 9v = 3. { 2x y = k 4x + 2y = h HARJOITUSTEHTÄVIÄ 1. Anna seuraavien yhtälöryhmien kerroinmatriisit ja täydennetyt kerroinmatriisit sekä ratkaise yhtälöryhmät Gaussin eliminointimenetelmällä. { 2x + y = 11 2x y = 5 2x y + z = 2 a) b)

Lisätiedot

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP)

Esimerkki 2 (Kaupparatsuongelma eli TSP) 10 Esimerkki 2 (Kaupparatsuogelma eli TSP) Kauppamatkustaja o kierrettävä kaupukia site, että hä lähtee kaupugista 1 ja palaa sie sekä käy jokaisessa muussa kaupugissa täsmällee kerra. Matka kaupugista

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /141 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/141 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on

4 KORKEAMMAN KERTALUVUN LINEAARISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT. Kertaluvun n lineaarinen differentiaaliyhtälö ns. standardimuodossa on 4 4 KORKEAAN KERTAUVUN INEAARISET DIFFERENTIAAIYHTÄÖT Kertalukua olevassa differetiaalihtälössä F(x,,,, () ) = 0 esiit :e kertaluvu derivaatta () = d /dx ja mahdollisesti alempia derivaattoja, :tä ja x:ää.

Lisätiedot

Luku 1. Euklidinen avaruus

Luku 1. Euklidinen avaruus 1 MA-13440 LAAJA MAEMAIIKKA 4 amperee tekillie liopisto Risto Silveoie Helmi-maaliskuu 010 Luku 1 Euklidie avaruus 1 Avaruus sisätuloavaruutea Kertaamme sks puolelta vektoreide ja -ulotteise avaruude peruskäsitteitä

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 2009 Laskuharjoitus 1 ( ) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II Syksy 29 Laskuharjoitus (9. - 3..29) Ratkaisuehdotuksia Vesa Ala-Mattila Tehtävä. Olkoon V vektoriavaruus. Todistettava: jos U V ja W V ovat V :n aliavaruuksia, niin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo

Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Kertausta: avaruuden R n vektoreiden pistetulo Määritelmä Vektoreiden v R n ja w R n pistetulo on v w = v 1 w 1 + v 2 w 2 + + v n w n. Huom. Pistetulo v w on reaaliluku! LM2, Kesä 2012 227/310 Kertausta:

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka IA

Insinöörimatematiikka IA Isiöörimatematiikka IA Harjoitustehtäviä. Selvitä oko propositio ( p q r ( p q r kotradiktio. Ratkaisu: Kirjoitetaa totuustaulukko: p q r ( p q r p q r ( p q r ( p q r 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44

Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Laskuharjoitus 1 / vko 44 Tehtävät 1-3 lasketaan alkuviikon harjoituksissa, verkkotehtävien dl on lauantaina aamuyöllä. Tehtävät 4 ja 5 lasketaan loppuviikon harjoituksissa.

Lisätiedot

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus

1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1 Lineaariavaruus eli Vektoriavaruus 1.1 Määritelmä ja esimerkkejä Olkoon K kunta, jonka nolla-alkio on 0 ja ykkösalkio on 1 sekä V epätyhjä joukko. Oletetaan, että joukossa V on määritelty laskutoimitus

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1

Päättelyn voisi aloittaa myös edellisen loppupuolelta ja näyttää kuten alkupuolella, että välttämättä dim W < R 1 R 1 Lineaarialgebran kertaustehtävien b ratkaisuista. Määritä jokin kanta sille reaalikertoimisten polynomien lineaariavaruuden P aliavaruudelle, jonka virittää polynomijoukko {x, x+, x x }. Ratkaisu. Olkoon

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 28. lokakuuta 2014 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus....................................

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 16 R. Kangaslampi Vektoriavaruudet Lineaarikuvaus

Lisätiedot

Ortogonaalisuus ja projektiot

Ortogonaalisuus ja projektiot MA-3450 LAAJA MAEMAIIKKA 5 amperee teillie yliopisto Risto Silveoie Kevät 2007 äydeämme Lama 2: lieaarialgebraa oheisella Ortogoaalisuus ja projetiot Olemme aiaisemmi jo määritelleet, että asi vetoria

Lisätiedot

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1

1. osa, ks. Solmu 2/ Kahden positiivisen luvun harmoninen, geometrinen, aritmeettinen ja + 1 u v 2 1 Epäyhtälötehtävie ratkaisuja. osa, ks. Solmu 2/200. Kahde positiivise luvu harmoie, geometrie, aritmeettie ja kotraharmoie keskiarvo määritellää yhtälöillä H = 2 +, G = uv, A = u + v 2 u v ja C = u2 +

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Lineaarikuvaukset Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Lineaarikuvaukset Lineaarikuvaus Olkoot U ja V

Lisätiedot

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim.

****************************************************************** ****************************************************************** 7 Esim. 8.3. Kombiaatiot MÄÄRITELMÄ 6 Merkitä k, joka luetaa yli k:, tarkoittaa lause- ketta k = k! ( k)! 6 3 2 1 6 Esim. 1 3 3! = = = = 3! ( 3)! 3 2 1 3 2 1 3 2 1 Laskimesta löydät äppäime, jolla kertomia voi

Lisätiedot

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo

Talousmatematiikan perusteet: Luento 8. Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Talousmatematiikan perusteet: Luento 8 Vektoreista ja matriiseista Vektorien peruslaskutoimitukset Lineaarinen riippumattomuus Vektorien sisätulo Motivointi Esim. Herkkumatikka maksaa 50 /kg. Paljonko

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a 21

Lisätiedot

Laaja matematiikka 2 Kertaustehtäviä Viikko 17/ 2005

Laaja matematiikka 2 Kertaustehtäviä Viikko 17/ 2005 7303045 Laaja matematiikka Kertaustehtäviä Viikko 7/ 005 Tehtävät ovat Laaja matematiikka : ja : alueelta olevia etisiä välikoe- ja tettitehtäviä. Alkupää tehtävät liittyvät yleesä kurssii ja loppupää

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 1, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus, ratkaisut Maaatai..05. (Lämmittelytehtävä.) Oletetaa, että op = 7 tutia työtä. Kuika mota tutia Oili Opiskelija työsketelee itseäisesti kurssilla, joka laajuus o 4 op, ku

Lisätiedot

8. Ortogonaaliprojektiot

8. Ortogonaaliprojektiot 44 8 Ortogoaaliprojetiot Avaruus R o eemmäi ui pelä vetoriavaruus, osa siiä o mahdollisuus määritellä vetoreide pituus, välie ulma ja erityisesti ohtisuoruus ähä päästää ottamalla äyttöö vetoreide välie

Lisätiedot

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0.

Vapaus. Määritelmä. jos c 1 v 1 + c 2 v c k v k = 0 joillakin c 1,..., c k R, niin c 1 = 0, c 2 = 0,..., c k = 0. Vapaus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,..., v k R n, missä n {1, 2,... }. Vektorijono ( v 1, v 2,..., v k ) on vapaa eli lineaarisesti riippumaton, jos seuraava ehto pätee: jos c 1 v 1 + c 2 v 2 +

Lisätiedot

4.3 Signaalin autokorrelaatio

4.3 Signaalin autokorrelaatio 5 4.3 Sigaali autokorrelaatio Sigaali autokorrelaatio kertoo kuika paljo sigaali eri illä korreloi itsesä kassa (josta imiki). Se o Fourier-muuokse ohella yksi käyttökelpoisimmista sigaalie aalysoitimeetelmistä.

Lisätiedot

Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ,, x1 x. Matriiseihin perehtyminen voidaan perustella useilla järkisyillä.

Matriisi on suorakulmainen lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: ,, x1 x. Matriiseihin perehtyminen voidaan perustella useilla järkisyillä. Vaasa yliopisto julkaisuja 71 4 MATRIISIT JA MATRIISILASKUT Ch:Matrix Sec:MatLaskut 4.1 Matriisi ja matriisilaskut Matriisi o suorakulmaie lukukaavio. Matriiseja ovat esimerkiksi: 2 0.4 8 0 a b,, x1 x

Lisätiedot

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos:

Kannan vektorit siis virittävät aliavaruuden, ja lisäksi kanta on vapaa. Lauseesta 7.6 saadaan seuraava hyvin käyttökelpoinen tulos: 8 Kanta Tässä luvussa tarkastellaan aliavaruuden virittäjävektoreita, jotka muodostavat lineaarisesti riippumattoman jonon. Merkintöjen helpottamiseksi oletetaan luvussa koko ajan, että W on vektoreiden

Lisätiedot

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua)

Algebra I Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksiin 5 (6 sivua) Algebra I Matematiika ja tilastotietee laitos Ratkaisuehdotuksia harjoituksii 5 (6 sivua) 14.2. 17.2.2011 1. Määritellää kuvaus f : S 3 S 3, f(α) = (123) α. Osoita, että f o bijektio. Mikä o se kääteiskuvaukse

Lisätiedot

Vektoreiden virittämä aliavaruus

Vektoreiden virittämä aliavaruus Vektoreiden virittämä aliavaruus Määritelmä Oletetaan, että v 1, v 2,... v k R n. Näiden vektoreiden virittämä aliavaruus span( v 1, v 2,... v k ) tarkoittaa kyseisten vektoreiden kaikkien lineaarikombinaatioiden

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 1 Iduktiotodistus Iduktiotodistukse logiikka Tutkitaa tapausta, jossa haluamme todistaa joki väittee P() site, että se pätee kaikilla luoollisissa luvuilla. Eli halutaa

Lisätiedot

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät

Matriisi-vektori-kertolasku, lineaariset yhtälöryhmät Matematiikan peruskurssi K3/P3, syksy 25 Kenrick Bingham 825 Toisen välikokeen alueen ydinasioita Alla on lueteltu joitakin koealueen ydinkäsitteitä, joiden on hyvä olla ensiksi selvillä kokeeseen valmistauduttaessa

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57

Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 Lineaarialgebra (muut ko) p. 1/88 Alkeismuunnokset matriisille, sivu 57 AM1: Kahden vaakarivin vaihto AM2: Vaakarivin kertominen skalaarilla c 0 AM3: Vaakarivin lisääminen toiseen skalaarilla c kerrottuna

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiika tukikurssi Kurssikerta 3 1 Lisää iduktiota Jatketaa iduktio tarkastelua esimerki avulla. Yritetää löytää kaava : esimmäise (positiivise) parittoma luvu summalle eli summalle 1 + 3 + 5 + 7 +...

Lisätiedot

S Laskennallinen systeemibiologia

S Laskennallinen systeemibiologia S-4250 Laskeallie systeemibiologia Harjoitus Mittaustuloksea o saatu havaitoparia (x, y ),, (x, y ) Muuttuja y käyttäytymistä voidaa selittää muuttuja x avulla esimerkiksi yksikertaise lieaarise riippuvuude

Lisätiedot

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009

Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Viidennen viikon luennot Suorista ja tasoista LaMa 1 syksyllä 2009 Perustuu kirjan Poole: Linear Algebra lukuihin I.3 - I.4 Esko Turunen esko.turunen@tut.fi Aluksi hiukan 2 ja 3 ulotteisen reaaliavaruuden

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 13.6.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/12 Käytännön asioita Kesäkuun tentti: ke 19.6. klo 17-20, päärakennuksen sali 1. Anna palautetta kurssisivulle ilmestyvällä

Lisätiedot

Seuraavat peruslauseet 1-8 voidaan helposti todistaa integraalin määritelmästä. Integroimisjoukko R oletetaan rajoitetuksi Jordanmitalliseksi

Seuraavat peruslauseet 1-8 voidaan helposti todistaa integraalin määritelmästä. Integroimisjoukko R oletetaan rajoitetuksi Jordanmitalliseksi Laaja matematiikka 5 Kevät 200 2. Itegraali omiaisuuksia Seuraavat peruslauseet -8 voidaa helposti todistaa itegraali määritelmästä. Itegroimisjoukko oletetaa rajoitetuksi Jordamitalliseksi joukoksi. Lause

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 27. marraskuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Vektoriavaruuksien R 2 ja R 3 vektorit........................

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa I Jokke Häsä, Lotta Oinonen, Johanna Rämö 9 heinäkuuta 2013 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 1 Avaruuksien R 2 ja R 3 vektorit 4 11 Kaksiulotteisen

Lisätiedot

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan

RATKAISUT x 2 3 = x 2 + 2x + 1, eli 2x 2 2x 4 = 0, joka on yhtäpitävä yhtälön x 2 x 2 = 0. Toisen asteen yhtälön ratkaisukaavalla saadaan RATKAISUT 8 17 8 a) Paraabelie y x ja y x + x + 1 leikkauspisteet saadaa määritettyä, ku esi ratkaistaa yhtälö x x + x + 1, eli x x, joka o yhtäpitävä yhtälö x x. Toise astee yhtälö ratkaisukaavalla saadaa

Lisätiedot

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta

Tehtäviä neliöiden ei-negatiivisuudesta Tehtäviä epäyhtälöistä Tehtäviä eliöide ei-egatiivisuudesta. Olkoo a R. Osoita, että 4a 4a. Ratkaisu. 4a 4a a) a 0 a ) 0.. Olkoot a,, R. Osoita, että a a a. Ratkaisu. Kerrotaa molemmat puolet kahdella:

Lisätiedot

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007

Ville Turunen: Mat Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Ville Turunen: Mat-1.1410 Matematiikan peruskurssi P1 1. välikokeen alueen teoriatiivistelmä 2007 Materiaali: kirjat [Adams R. A. Adams: Calculus, a complete course (6th edition), [Lay D. C. Lay: Linear

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I. LM1, Kesä /218 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I LM1, Kesä 2012 1/218 Avaruuden R 2 vektorit Määritelmä (eli sopimus) Avaruus R 2 on kaikkien reaalilukuparien joukko; toisin sanottuna R 2 = { (a, b) a R ja b R }.

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät

Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät 11 Taso Avaruuden kolme sellaista pistettä, jotka eivät sijaitse samalla suoralla, määräävät tason. Olkoot nämä pisteet P, B ja C. Merkitään vaikkapa P B r ja PC s. Tällöin voidaan sanoa, että vektorit

Lisätiedot

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims

Äärettämän sarjan (tai vain sarjan) sanotaan suppenevan eli konvergoivan, jos raja-arvo lims 75 4 POTENSSISARJOJA 4.1 ÄÄRETTÖMÄT SARJAT Lukujoo { a k } summaa S a a a a a k 0 1 k k0 saotaa äärettömäksi sarjaksi. Summa o s. osasumma. S a a a a a k 0 1 k0 Äärettämä sarja (tai vai sarja) saotaa suppeeva

Lisätiedot

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0

Matriisialgebra harjoitukset, syksy x 1 + x 2 = a 0 MATRIISIALGEBRA, s, Ratkaisuja/ MHamina & M Peltola 22 Virittääkö vektorijoukko S vektoriavaruuden V, kun a V = R 3 ja S = {(1,0, 1,(2,0,4,( 5,0,2,(0,0,1} b V = P 2 (R ja S = {t1,t 2 1,t 2 t} ( ( 1 0 c

Lisätiedot

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä

3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä 1 3 Lineaariset yhtälöryhmät ja Gaussin eliminointimenetelmä Lineaarinen m:n yhtälön yhtälöryhmä, jossa on n tuntematonta x 1,, x n on joukko yhtälöitä, jotka ovat muotoa a 11 x 1 + + a 1n x n = b 1 a

Lisätiedot

Tarkastelemme sitten epähomogeenista toisen kertaluvun yhtälöä

Tarkastelemme sitten epähomogeenista toisen kertaluvun yhtälöä 45. Epähomogeeiset yhtälöt Tarkastelemme sitte epähomogeeista toise kertaluvu yhtälöä (8) Ly= y + ay + ay= b. Kute edellä olevasta teoriasta o selviyt, riittää yleise ratkaisu löytämiseksi tutea vastaava

Lisätiedot

1. Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi

1. Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi I LINEAARISET YHTÄLÖRYHMÄT 1 Lineaarinen yhtälöryhmä ja matriisi Tällä kurssilla käytämme kirjainta K tarkoittamaan reaalilukuja R, kompleksilukuja C tai rationaalilukuja Q (aluksi K = R) Nämä lukujoukot

Lisätiedot

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto

Matematiikka B2 - Avoin yliopisto 6. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

Matematiikka B2 - TUDI

Matematiikka B2 - TUDI Matematiikka B2 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Kurssin sisältö (1/2) Matriisit Laskutoimitukset Lineaariset yhtälöryhmät Gaussin eliminointi Lineaarinen riippumattomuus

Lisätiedot

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT

5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT 5 OMINAISARVOT JA OMINAISVEKTORIT Ominaisarvo-ongelma Käsitellään neliömatriiseja: olkoon A n n-matriisi. Luku on matriisin A ominaisarvo (eigenvalue), jos on olemassa vektori x siten, että Ax = x () Yhtälön

Lisätiedot

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin

Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaisten tehtäviin Epäyhtälöoppia matematiikkaolympialaiste tehtävii Jari Lappalaie ja Ae-Maria Ervall-Hytöe 0 Johdato Epäyhtälöitä reaaliluvuille Cauchy epäyhtälö Kaikille reaaliluvuille a, a,, a ja b, b,, b pätee Cauchy

Lisätiedot

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3

110. 111. 112. 113. 114. 4. Matriisit ja vektorit. 4.1. Matriisin käsite. 4.2. Matriisialgebra. Olkoon A = , B = Laske A + B, 5 14 9, 1 3 3 4 Matriisit ja vektorit 4 Matriisin käsite 42 Matriisialgebra 0 2 2 0, B = 2 2 4 6 2 Laske A + B, 2 A + B, AB ja BA A + B = 2 4 6 5, 2 A + B = 5 9 6 5 4 9, 4 7 6 AB = 0 0 0 6 0 0 0, B 22 2 2 0 0 0 6 5

Lisätiedot

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi

SMG-4200 Sähkömagneettisten järjestelmien lämmönsiirto Ehdotukset harjoituksen 6 ratkaisuiksi SMG-400 Sähkömageettiste järjestelmie lämmösiirto Ehdotukset harjoitukse 6 ratkaisuiksi Tarkastellaa suljetu järjestelmä tehotasaaioa joka o P + P P = P i g out st Oletetaa että verkotetussa alueessa jossa

Lisätiedot

3 Skalaari ja vektori

3 Skalaari ja vektori 3 Skalaari ja vektori Määritelmä 3.1 Skalaari on suure, jolla on vain suuruus, jota mitataan jossakin mittayksikössä. Skalaaria merkitään reaaliluvulla. Esimerkki 3.2 Paino, pituus, etäisyys, pinta-ala,

Lisätiedot

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k =

Diskreetin Matematiikan Paja Ratkaisuja viikolle 4. ( ) Jeremias Berg. n(n + 1) 2. k = Diskreeti Matematiika Paja Ratkaisuja viikolle 4. (7.4-8.4) Jeremias Berg. Osoita iduktiolla että k = ( + ) Ratkaisu: Kute kaikissa iduktiotodistuksissa meidä täytyy siis osoittaa asiaa. Ns. perustapaus,

Lisätiedot

Johdatus lineaarialgebraan

Johdatus lineaarialgebraan Johdatus lineaarialgebraan Osa II Lotta Oinonen, Johanna Rämö 25. lokakuuta 2015 Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Sisältö 15 Vektoriavaruus... 111 16 Aliavaruus... 117 16.1 Vektoreiden

Lisätiedot

Yleiset lineaarimuunnokset

Yleiset lineaarimuunnokset TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Kari Tuominen Yleiset lineaarimuunnokset Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Toukokuu 29 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja

MS-C1340 Lineaarialgebra ja MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt QR-hajotelma ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Kevät 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto PNS-ongelma PNS-ongelma

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt ja pienimmän neliösumman menetelmä Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 18 R. Kangaslampi QR ja PNS PNS-ongelma

Lisätiedot

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio.

Bijektio. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin jokaiselle alkiolle kuvautuu tasan yksi lähdön alkio. Määritelmä Bijektio Oletetaan, että f : X Y on kuvaus. Sanotaan, että kuvaus f on bijektio, jos se on sekä injektio että surjektio. Huom. Voidaan päätellä, että kuvaus on bijektio, jos ja vain jos maalin

Lisätiedot

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit

Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaariset yhtälöryhmät ja matriisit Lineaarinen yhtälöryhmä a 11 x 1 + a 12 x 2 + + a 1n x n = b 1 a 21 x 1 + a 22 x 2 + + a 2n x n = b 2. a m1 x 1 + a m2 x 2 + + a mn x n = b m, (1) voidaan esittää

Lisätiedot

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5.

Yhtälöryhmä matriisimuodossa. MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta. Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia. 2x1 x 2 = 1 x 1 + x 2 = 5. 2. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 2. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 5.9.25 Tarkastellaan esimerkkinä lineaarista yhtälöparia { 2x x 2 = x + x 2

Lisätiedot

Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja 1 3 ja 9. Tarvitset myös luvusta 4 määritelmän 4.1.

Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja 1 3 ja 9. Tarvitset myös luvusta 4 määritelmän 4.1. HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I, kesä 2015 Harjoitus 2 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 25.5.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Kertaa tarvittaessa materiaalin lukuja

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo

HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina klo HY / Avoin yliopisto Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II, kesä 2015 Harjoitus 1 Ratkaisut palautettava viimeistään maanantaina 10.8.2015 klo 16.15. Tehtäväsarja I Tutustu lukuun 15, jossa vektoriavaruuden

Lisätiedot

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi

Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lineaarikuvauksen R n R m matriisi Lauseessa 21 osoitettiin, että jokaista m n -matriisia A vastaa lineaarikuvaus L A : R n R m, jolla L A ( v) = A v kaikilla v R n. Osoitetaan seuraavaksi käänteinen tulos:

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I 29.5.2013 HY / Avoin yliopisto Jokke Häsä, 1/26 Kertausta: Kanta Määritelmä Oletetaan, että w 1, w 2,..., w k W. Vektorijono ( w 1, w 2,..., w k ) on aliavaruuden

Lisätiedot

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45

MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus 2 / vko 45 MS-A0003/A0005 Matriisilaskenta Laskuharjoitus / vko 5 Tehtävä 1 (L): Hahmottele kompleksitasoon ne pisteet, jotka toteuttavat a) z 3 =, b) z + 3 i < 3, c) 1/z >. Yleisesti: ehto z = R, z C muodostaa kompleksitasoon

Lisätiedot

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij.

Liittomatriisi. Liittomatriisi. Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä. 1) i+j det A ij. Liittomatriisi Määritelmä 16 Olkoon A 2 M(n, n). Matriisin A liittomatriisi on cof A 2 M(n, n), missä (cof A) ij =( 1) i+j det A ij kaikilla i, j = 1,...,n. Huomautus 8 Olkoon A 2 M(n, n). Tällöin kaikilla

Lisätiedot

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta.

3 Suorat ja tasot. 3.1 Suora. Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3 Suorat ja tasot Tässä luvussa käsitellään avaruuksien R 2 ja R 3 suoria ja tasoja vektoreiden näkökulmasta. 3.1 Suora Havaitsimme skalaarikertolaskun tulkinnan yhteydessä, että jos on mikä tahansa nollasta

Lisätiedot

Ryhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät

Ryhmän osajoukon generoima aliryhmä ja vapaat ryhmät Ryhmä osajouko geeroima aliryhmä ja vapaat ryhmät LuK-tutkielma Joose Heioe Matemaattiste tieteide tutkito-ohjelma Oulu yliopisto Kevät 2017 Sisältö Johdato 2 1 Ryhmät ja aliryhmät 2 1.1 Ryhmä.................................

Lisätiedot

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora

Taso 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste, suora Taso 1/5 Sisältö Taso geometrisena peruskäsitteenä Kolmiulotteisen alkeisgeometrian peruskäsitteisiin kuuluu taso pisteen ja suoran lisäksi. Intuitiivisesti sitä voidaan ajatella joka suunnassa äärettömyyteen

Lisätiedot

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015

Stokastiikan perusteet Harjoitukset 1 (Todennäköisyysavaruus, -mitta ja -funktio) 2.11.2015 Stokastiika perusteet Harjoitukset (Todeäköisyysavaruus, -mitta ja -fuktio) 2..205. Määritä potessijoukko 2,ku (a) {0, } (b) {(0, ]} ja ku (c) (0, ]. Ratkaisu: (a) 2 {;, {0}, {}, {0, }} (b) 2 {;, {(0,

Lisätiedot

2.3.1. Aritmeettinen jono

2.3.1. Aritmeettinen jono .3.1. Aritmeettie joo -joo, jossa seuraava termi saadaa edellisestä lisäämällä sama luku a, a + d, a+d, a +3d, Aritmeettisessa joossa kahde peräkkäise termi erotus o aia vakio: Siis a +1 a d (vakio Joo

Lisätiedot

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta

MS-A0004/A0006 Matriisilaskenta 4. MS-A4/A6 Matriisilaskenta 4. Nuutti Hyvönen, c Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto..25 Tarkastellaan neliömatriiseja. Kun matriisilla kerrotaan vektoria, vektorin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 29.3.2016 4. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut 1. Olkoon u (4,0,4,2) ja v ( 1,1,3,5) vektoreita vektoriavaruudessa R 4. Annetun sisätulon (x,y) indusoima normi on x (x,x) ja

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET

2. REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 30 REAALIKERTOIMISET VEKTORIAVARUUDET 1 Koordinaattiavaruus R n Olkoon n N = {1,, 3, } positiivinen kokonaisluku (luonnollisten lukujen joukko on tällä kurssilla N = {0, 1,, 3, }) Merkitään R n = R n 1

Lisätiedot

Oppimistavoitematriisi

Oppimistavoitematriisi Oppimistavoitematriisi Lineaarialgebra ja matriisilaskenta I Esitiedot Arvosanaan 1 2 riittävät Arvosanaan 3 4 riittävät Arvosanaan 5 riittävät Yhtälöryhmät (YR) Osaan ratkaista ensimmäisen asteen yhtälöitä

Lisätiedot

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa

1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt, kevät 2006 Luennot 27.-28.2.2006 Samuli Siltanen 1 Avaruuksien ja lineaarikuvausten suora summa Tämä asialöytyy myös Hirschin ja Smalen kirjasta, luku 3, pykälä 1F. Olkoon

Lisätiedot

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310

Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II. LM2, Kesä /310 Lineaarialgebra ja matriisilaskenta II LM2, Kesä 2012 1/310 Kertausta: avaruuden R n vektorit Määritelmä Oletetaan, että n {1, 2, 3,...}. Avaruuden R n alkiot ovat jonoja, joissa on n kappaletta reaalilukuja.

Lisätiedot

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA

YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA YKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Normaalijäits N N Leikkausjäits Q Q KAKSIULOTTEINEN JÄNNITYSTILA Lerakee STRE SS CONTOURS OF SE 4.4483 8.8966 4.345 65.793 7.4 48.69 9.38 33.586 373.35 Ma 45.4 At Node 438 Mi.9

Lisätiedot

Matriisilaskentaa tilastotieteilijöille

Matriisilaskentaa tilastotieteilijöille Matriisilasketaa tilastotieteilijöille Matriisilasketaa tilastotieteilijöille Ilkka Melli.. Vektorit.. Vektoriavaruudet ja vektorialiavaruudet.3. Lieaarie riippuvuus ja riippuattouus.4. Lieaariset yhtälöt.5.

Lisätiedot

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste

Suora 1/5 Sisältö ESITIEDOT: vektori, koordinaatistot, piste Suora 1/5 Sisältö KATSO MYÖS:, vektorialgebra, geometriset probleemat, taso Suora geometrisena peruskäsitteenä Pisteen ohella suora on geometrinen peruskäsite, jota varsinaisesti ei määritellä. Alkeisgeometriassa

Lisätiedot