Variaatiolaskentaa ja sen sovelluksia

Transkriptio

1 TAMPEREEN YLIOPISTO Pro grdu -tutkielm Luri Kumpulinen Vritiolskent j sen sovelluksi Informtiotieteiden yksikkö Mtemtiikk Lokkuu 2016

2 Tmpereen yliopisto Informtiotieteiden yksikkö KUMPULAINEN, LAURI: Vritiolskent j sen sovelluksi Pro grdu -tutkielm, 47 s. Mtemtiikk Lokkuu 2016 Tiivistelmä Tutkielmn iheen on vritiolskent, joss trkstelln funktionlien äärirvoj. Vritiolskent trkstelln funktionlinlyysin näkökulmst j iheeseen syvennytään tunnettujen vritio-ongelmien kutt joist tunnetuin lienee Brchistochrone, jost vritiolskennn ktsotn sneen lkuns. Tutkielmss esitellään vritiolskennn perusluseist usempi versio, tutustutn hyvin syvällisesti Eulerin yhtälöön, kuten myös Eulerin yhtälön invrinssiin. Osns tutkielmst svt myös funktionlin differentili eli vritio j vritionlinen derivtt. Lisäksi tutkielmss trkstelln yksinkertisint vritio-ongelm. Sovelluksin esitetään rtkisut vlon kululle epähomogeenisess ineess j geodeesille sylinterin pinnll. 2

3 Sisältö 1 Johdnto 4 2 Funktionlinlyysi Funktionlit Funktiovruudet Funktionlin jtkuvuus Linerinen funktionli Vritiolskent Ktenri j ktenoidi Brchistochrone Vritiolskennn perusluse Tylorin kehitelmä Ensimmäinen vritio Yksinkertisin vritio-ongelm Eulerin yhtälö Vritionlinen derivtt Eulerin yhtälön invrinssi Toinen vritio Legendren ehto Yksinkertisimmn vritio-ongelmn yleistys Kirjllisuutt 46 3

4 1 Johdnto Vritiolskent on mtemtiikn nlyysiin kuuluv l, joss pyritään rtkisemn funktionleille äärirvoj. Funktionlit ovt krkesti kuviltun funktioit funktioiden joukolt reliluvuille. Usein funktionlit ilmistn määrättyinä integrlein. Aluksi esitetään funktionlinlyysin perusteit j määritellään funktionli, funktiovruudet, funktionlin jtkuvuus j linerinen funktionli. Tämän jälkeen siirrytään itse iheeseen eli vritiolskentn. Ensimmäiseksi esitellään tunnettuj vritio-ongelmi kuten ktenri j Brchistochrone, joist jälkimmäisen esittämistä pidetään vritiolskennn lähtölukuksen. Vrsininen vritiolskennn käsittely loitetn esittelemällä vritiolskennn perusluse usempn eri version, jost edetään hyvin nopesti ensimmäiseen vritioon. Tämän jälkeen vuoross on yksinkertisimmn vritio-ongelmn esittely, jost jtketn Eulerin yhtälön muodoss. Eulerin yhtälöiden jälkeen määritellään vritionlinen derivtt, jonk vull todistetn, ettei ekstremlin olemssolo riipu käytettävästä koordintistost. Sitten trtutn toiseen vritioon j edetään Legendren ehdon kutt yksinkertisimmn vritio-ongelmn yleistykseen. Lopuksi rtkistn vlon reitti epähomogeenisess ineess j geodeesi sylinterin pinnll. Tutkielmss keskitytään vritiolskentn pitkälti kuten teoksess Clculus of Vritions [1], mutt esityksestä poiketn jossin määrin. Lukijlt oletetn ineopintokurssi vstvt perustiedot nlyysistä, differentili- j integrlilskennst j differentiliyhtälöistä. Merkinnöistä sen verrn, että useimmiten tässä tutkielmss funktio merkitään rgumenttins knss y(x), mutt joissin tpuksiss selkeyden vuoksi merkitään vin y. Lisäksi joissin tpuksiss merkitään y = y(x). 4

5 2 Funktionlinlyysi Esitetään luksi funktionlinlyysin perusteit. Funktionlin käsite on snut lkuns vritiolskennst. Näillä pin määriteltävillä funktionleill on tärkeä rooli monien lojen ongelmiss, kuten esimerkiksi nlyysissä, mekniikss j geometriss. 2.1 Funktionlit Määritelmä 2.1. (Ks. [2, s ]). Kolmikko (R, +, ) kutsutn linerivruudeksi, mikäli sille pätee yhteenlsku + : R R R j kertolsku : R R R j seurvt ksioomt: L1 x + y = y + x jokisell x, y R, L2 x + (y + z) = (x + y) + z jokisell x, y, z R, L3 on olemss lkio 0 R siten, että x + 0 = x jokisell x R, L4 jokisell x R on olemss lkio x siten, että x + ( x) = 0, L5 on olemss lkio 1 R siten, että 1 x = x jokisell x R, L6 α(βx) = (αβ)x jokisell α, β R, missä x R, L7 (α + β)x = αx + βx jokisell α, β R, missä x R j L8 α(x + y) = αx + αy jokisell α R, missä x, y R. Määritelmä 2.2. (Ks. [1, s. 1] j [2, s ]). Olkoot R linerivruus j K sklrikunt. Kuvust J : R K kutsutn funktionliksi. Funktionlinlyysissä sklrikunt K on joko R ti C. 2.2 Funktiovruudet Avruutt, jonk pisteet ovt funktioit, kutsutn funktiovruudeksi. Funktiovruus on siis tiettyjen joukkojen X j Y välillä määriteltyjen funktioiden muodostm joukko. Funktionlyysin tpuksess ei ole olemss mitään 5

6 yleistä vruutt, kuten R n relinlyysissä ti C n kompleksinlyysissä. Trksteltvn ongelmn luonne määrää tutkittvn funktiovruuden. Määritelmä 2.3. (Ks. [1, s. 6]). Olkoon R linerivruus. Kuvust, jok kuv jokisen lkion x R epänegtiiviselle luvulle x snotn normiksi. Linerivruuden R snotn olevn normeerttu, mikäli seurvt ehdot ovt voimss: N1 x = 0 jos j vin jos x = 0, N2 αx = α x j N3 x + y x + y. Määritelmä 2.4. (Ks. [1, s. 6]). Olkoon R normeerttu linerinen vruus. Olkoot x, y R, jolloin erotuksen x y snotn olevn lkioiden x j y välinen etäisyys. Trkstelln seurvksi muutmi tutkielmn knnlt olennisi normeerttuj linerivruuksi. Määritelmä 2.5. (Ks. [1, s. 6-7] j [2, s. 52]). Avruus C[, b] koostuu kikist välillä [, b] määritellyistä jtkuvist funktioist y(x). Avruuden C[, b] lskutoimitukset määritellään seurvsti: (y + ŷ)(x) = y(x) + ŷ(x) (αy)(x) = αy(x), missä α R. Normi määritellään settmll y 0 = mx x b y(x). Näin ollen vruudess C[, b] funktioiden y j ŷ välinen etäisyys on y ŷ 0 = mx y(x) ŷ(x). x b Toisin snoen funktion ŷ etäisyys funktiost y on pienempi kuin ε, mikäli funktion ŷ kuvj pysyy 2ε leveän lueen rjmll lueell. 6

7 Määritelmä 2.6. (Ks. [1, s. 6-7] j [2, s. 52]). Avruus D 1 [, b] koostuu niistä välillä [, b] määritellyistä funktioist, jotk ovt jtkuvi j joill on jtkuv ensimmäinen derivtt. Lskutoimitukset ovt smt kuin vruudess C[, b], mutt normi määritellään settmll y 1 = mx y(x) + mx x b x b y (x). Funktioiden y j ŷ välinen etäisyys vruudess D 1 [, b] on täten y ŷ 1 = mx y(x) ŷ(x) + mx x b x b y (x) ŷ (x). Kksi vruuden D 1 [, b] funktiot ovt lähellä toisin, jos funktiot j näiden ensimmäiset derivtt ovt lähellä toisin, kosk jos y ŷ 1 < ε, niin y(x) ŷ(x) < ε j y (x) ŷ (x) < ε, jokisell x [, b]. Tämä voidn yleistää vruuksiin D 1 [, b],..., D n [, b] j vieläkin pidemmälle usen muuttujn funktioihin j niiden derivttojen muodostmiin vruuksiin. Esimerkki 2.7. Esimerkiksi jos trkstelln väliä [ 1, 1] j ε = 1, niin tällöin vikkp funktiot x 2 j x ovt lähellä toisin vruudess C[ 1, 1], 10 mutt myöskin vruudess D 1 [ 1, 1], kosk molempien ensimmäinen derivtt on 2x. Määritelmä 2.8. (Ks. [8, s. 119]). Määritellään vruudess C[, b] joukko B 0 (ŷ(x), ε) = {y(x) C[, b] y(x) ŷ(x) 0 < ε}. j vruudess D 1 [, b] joukko B 1 (ŷ(x), ε) = {y(x) D 1 [, b] y(x) ŷ(x) 1 < ε}. Näitä joukkoj kutsutn pisteen y(x) B 0 -ympäristöiksi j B 1 -ympäristöiksi. Esimerkki 2.9. Määrätty integrli J[y] = missä y(x) D 1 [, b], on funktionli. F (x, y(x), y (x)) dx, 7

8 2.3 Funktionlin jtkuvuus Määritelmä (Ks. [1, s. 7]). Olkoon R normeerttu linerivruus. Funktionlin J[y] snotn olevn jtkuv pisteessä ŷ(x) R, jos jokisell ε > 0 on olemss δ > 0 siten, että J[y] J[ŷ] < ε in, kun y(x) ŷ(x) < δ. Huomutus. Funtionlin jtkuvuuden määritelmässä käytettävä normi vlikoituu tietenkin sen funktioiden luokn suhteen, jok on funktionlin määrittelyjoukkon. 2.4 Linerinen funktionli Määritelmä (Ks. [1, s. 8]). Olkoot R normeerttu linerivruus j J[h] vruudess R määritelty funktionli jokisell h R. Tällöin funktionlin J[h] snotn olevn linerinen funktionli, jos seurvt ehdot pätevät: F1 J[αh] = αj[h] jokisell h R j α R, F2 J[h 1 + h 2 ] = J[h 1 ]+J[h 2 ] jokisell h 1, h 2 R, F3 J[h] on jtkuv jokisell h R. Esimerkki (Ks. [1, s. 9]). Olkoot h(x) C[, b], x 0 [, b], α(x) C[, b] j α i (x) C[, b], missä i {1,..., n}. Tällöin kv J[h] = h(x 0 ), integrli j myöskin integrli J[h] = J[h] = h(x) dx α(x)h(x) dx 8

9 määrittelevät linerisen funktionlin vruudess C[, b]. Edelleen integrli J[h] = [α 0 (x)h(x) + α 1 (x)h (x) + + α n (x)h (n) (x)] dx määrittelee linerisen funktionlin vruudess D n [, b]. Nämä toteuttvt linerisen funktionlin määritelmän ehdot integrlin jtkuvuuden j linerisuuden nojll. Osoitetn esimerkiksi, että integrli on linerinen integrli. J[h] = F1: Olkoot α(x), h(x) C[, b]. Tällöin J[αh] = h(x) dx = α(x) α(x)h(x) dx = αj[h]. h(x) dx F2: Olkoot h 1 (x), h 2 (x) C[, b]. Täten J[h 1 + h 2 ] = = h 1 (x) + h 2 (x) dx h 1 (x) dx + = J[h 1 ] + J[h 2 ]. h 2 (x) dx F3: Olkoot h(x) C[, b]. Nyt integrli J[h] = on jtkuv, kosk h(x) on jtkuv. h(x) dx 9

10 Todistetn, että h(x) tosinkin on jtkuv. Olkoon ε > 0. Nyt in kunhn, J[h] J[ĥ] = h(x) dx h(x) ĥ(x) dx ĥ(x) dx h(x) ĥ(x) 0 b < ε, h(x) ĥ(x) 0 < ε b = δ. Siis määritelmän 2.10 nojll J[h] on jtkuv. 10

11 3 Vritiolskent Tutkielmn vrsininen ihe loitetn trkstelemll tunnettuj vritioongelmi. 3.1 Ktenri j ktenoidi Trkstelln köyttä, jok on setettu khden tolpn vrn. Etsitään käyrää, jok vst köyden muoto. Glilei Glileo tutki tätä ongelm j hänen mukns köyttä vstv käyrä [4, s. 217] oli prbeli [6, s. 12]. Hän oli kuitenkin väärässä. Mtemttisesti trkstellen köyttä voidn mllint funktioll y : [, b] [0, c[, j tolppien päissä olevi kiinnityspisteitä y() = y 0 j y(b) = y 1. Oletetn yksinkertisuuden vuoksi, että y 0 = y 1, jolloin tilnne vst kuv 3.1. Nyt ongelm voidn rtkist minimoimll funktionli J[y] = y 1 + y (x) 2 dx. y() y 0 y(b) y 1 b Kuv 3.1: Ktenri Vuonn 1691 mtemtikko Jkob Bernoulli esitti tämän ongelmn hsteeksi muille mtemtikoille [7, s. 124]. Heistä Gottfried Wilhelm Leibniz, 11

12 Christin Huygens j Jkobin veli Johnn Bernoulli rtkisivt ongelmn j vstv käyrä on hyperbolinen kosini. Tätä käyrää kutsutn ktenriksi. Ktenrin yhtälö nnetn yleensä muodoss ( ) x cosh, missä > 0 on vkio. Ktenrin pyörähdyskpple on ktenoidi, jok sdn, kun ktenri pyörähtää horisontlikselins ympäri [1, s. 21]. Ktenoidi on rtkisu ongelmn, joss etsitään minimlist pyörähdyskppleen pinnn pint-l, jonk khden pisteen kutt kulkev käyrä muodost pyörähtäessään horisontlikselins ympäri [1, s. 20]. Kuv 3.2: Ktenoidi 3.2 Brchistochrone Mtemtikko Johnn Bernoulli muotoili vuonn 1696 ongelmn nimeltä Brchistochrone [3, s ], jonk hän esitti hsteeksi hänen iklisille mtemtikoille. 12

13 Ongelmss trkstelln kht pistettä, jotk ovt vertiklisess tsoss. Hiukknen lähtee liukumn kitkttomsti pisteestä kohti pistettä b. Mikä on hiukksen nopein reitti pisteestä pisteeseen b? Kuv 3.3: Brchistochrone ongelm Tuntuisi luksi selvältä, että suor linj olisi nopein reitti, mutt näin ei ole. Myös Glilei Glileo tutki tätäkin ongelm vuonn 1683 j hvitsi, että suor linj ei ole nopein reitti. Hänen mukns nopein reitti on ympyrän kri, mutt tämäkään ei ole nopein reitti. Reitin kulkemiseen kuluv ik sdn reitin pituuden j hiukksen nopeuden suhteest. Reitti voidn ilmist käyränä y(x) j käyrän pituus sdn integrlin [3, s. 27] 1 + (y (x)) 2 dx. Hiukksen nopeuden selvittämiseksi trvitn energin säilymislki [5, s. 86]. Alkutilnteess kineettinen energi [5, s. 66] j potentilienergi [5, s. 67] ovt molemmt 0, kosk kokonisenergi on in 0, joten mv 2 mgy = 0, 2 missä v on hiukksen nopeus, m on hiukksen mss, j g on grvittiovkio. Ilmn yleisyyden menettämistä voidn olett, että m = 1 j g = 1 2. Tällöin edellinen yhtälö on yksinkertisesti v = y(x). Näin ollen Brchistochronen rtkiseminen redusoituu funktionlin 1 + (y (x)) 2 J[y] = dx, y(x) 13

14 minimoimiseen, missä y(x) on pisteet j b yhdistävä differentioituv käyrä ([?, s. 102]). Nopein reitti onkin siis itsesiss sykloidi [3, s. 31]. 3.3 Vritiolskennn perusluse Seurvksi käsitellään perustvnltuisi tuloksi, joill on suuri merkitys vritiolskennss. Vritiolskennn perusluseest on olemss useit eri versioit, joist tässä luvuss on muutm. Luse 3.1. Jos α(x) on jtkuv välillä [, b], j jos α(x)h(x) dx = 0 jokisell funktioll h(x) C[, b] siten, että h() = h(b) = 0, niin α(x) = 0 jokisell x [, b]. Todistus. (Vrt. [1, s. 9]). Oletetn vstoin väitettä, että funktio α(x) on positiivinen jossin pisteessä x [, b]. Tällöin α(x) on positiivinen myös jollin välillä [x 1, x 2 ] [, b]. Jos setetn h(x) = (x x 1 )(x 2 x), missä x [x 1, x 2 ] j h(x) = 0 muutoin, niin tällöin selvästi h(x) toteutt väitteen ehdot. Nyt, α(x)h(x) dx = x 2 x 1 α(x)(x x 1 )(x 2 x) dx > 0, kosk integrndi on positiivinen. Mutt tämä on ristiriit. Siis vst-oletus on väärä j väite α(x) = 0 pätee. Huomutus. Tämä luse pätee vikk korvmme vruuden C[, b] vruudell D n [, b]. Tämä osoitetn yksinkertisesti smnlisell todistuksell, joss missä x [x 1, x 2 ] j h(x) = 0 muutoin. h(x) = ((x x 1 )(x 2 x)) n+1 14

15 Luse 3.2. Jos α(x) on jtkuv välillä [, b], j jos α(x)h (x) dx = 0 jokisell funktioll h(x) D 1 [, b] siten, että h() = h(b) = 0, niin α(x) = c jokisell x [, b], missä c on vkio. Todistus. (Vrt. [1, s. 10]). Olkoon c vkio, jok on määritelty ehdon vull j olkoon h(x) = (α(x) c) dx = 0, x (α(ξ) c) dξ, joten h(x) selvästi kuuluu vruuteen D 1 j toteutt ehdon h() = h(b) = 0. Nyt pätee kun ts toislt (α(x) c)h (x) dx = (α(x) c)h (x) dx = αh (x) dx c(h(b) h()) = 0, (α(x) c) 2 dx. Tästä seur, että α(x) c = 0 eli α(x) = c jokisell x [, b]. Luse 3.3. Jos α(x) on jtkuv välillä [, b], j jos α(x)h (x) dx = 0 jokisell funktioll h(x) D 1 siten, että h() = h(b) = 0 j h () = h (b) = 0, niin α(x) = c 0 + c 1 x jokisell x [, b], missä c 0 j c 1 ovt vkioit. Todistus. (Vrt. [1, s ]). Olkoot c 0 j c 1 määritelty seurvien ehtojen vull: dx = x (α(x) c 0 c 1 x) dx = 0 (α(ξ) c 0 c 1 ξ) dξ = 0, 15

16 j olkoon h(x) = x dξ ξ (α(t) c 0 c1t) dt, jolloin nähdään, että h(x) D 1 [, b] j se toteutt ehdot h() = h(b) = 0, h () = h (b) = 0. Täten pätee = (α(x) c 0 c 1 x)h (x) dx α(x)h (x) dx c 0 (h (b) h ()) c 1 = c 1 (bh (b) h ()) c 1 (h(b) h()) = 0, xh (x) dx j toislt ts (α(x) c 0 c 1 x)h (x) dx = (α(x) c 0 c 1 x) 2 dx = 0. Joten α(x) c 0 c 1 x = 0 eli α(x) = c 0 + c 1 x jokisell x [, b]. Luse 3.4. Jos α(x) j β(x) ovt jtkuvi välillä [, b], j jos (3.1) (α(x)h(x) + β(x)h (x)) dx = 0 jokisell funktioll h(x) D 1 [, b] siten, että h() = h(b) = 0, niin β(x) on differentioituv, j β (x) = α(x) jokisell x [, b]. Todistus. (Vrt. [1, s. 11]). Asetetn A(x) = j integroidn osittin, jost sdn x α(x)h(x) dx = α(ξ) dξ, A(x)h (x) dx. Huomtn, että yhtälö 3.1 voidn kirjoitt uudess muodoss ( A(x) + β(x))h (x) dx = 0. 16

17 Mutt nyt luseen 3.2 nojll tästä seur, että β(x) A(x) = c, missä c on vkio, j funktion A(x) määritelmän nojll β (x) = α(x), jokisell x [, b], kuten väitettiin. 3.4 Tylorin kehitelmä Luse 3.5. Olkoon F (x, y, z) funktio, jonk osittisderivtt kertluokkn n + 1 skk ovt jtkuvi jossin pisteen (x, y, z) ympäristössä. Tällöin funktion F (x, y, z) Tylorin kehitelmä on F (x + k, y + j, z + k) = F (x, y, z) + missä θ [, b] ! ( h ( h x + j y + k z ) x + j y + k F (x, y, z) z ) 2 F (x, y, z) ( h n! x + y + k ) n F (x, y, z) z ( 1 + h (n + 1)! x + y + k ) n+1 F (x + θh, y + θj, z + θk), z Huomutus. Hyvä esitys yhden muuttujn tpuksest todistuksen ker löytyy Wlter Rudinin teoksest Principles of Mthemticl Anlysis [12] sivuilt 110 j 111. Tylorin kehitelmää sovelletn usess tämän tutkielmn kohdss. 3.5 Ensimmäinen vritio Määritelmä 3.6. (Ks. [1, s. 11]). Olkoot R normeerttu linerivruus j J[y] vruudess R määritelty funktionli. Olkoon J[h] = J[y + h] J[y] 17

18 sen lisäys, missä h(x) on lisäys muuttujn y(x) suhteen. Jos y(x) on kiinteä, niin J[h] on funktion h(x) funktionli, jok yleensä on epälinerinen funktionli. Oletetn, että J[h] = ϕ[h] + ε(h) h 1, missä ϕ[h] on linerinen funktionli j ε(h) 0, kun h 0. Tällöin funktionlin J[y] snotn olevn differentioituv. Edelleen lisäyksen J[h] pääsillist linerios ϕ[h] snotn funktionlin J[y] vritioksi (ti differentiliksi). Merkitään vritiot δj[h] = ϕ[h]. Huomutus. Pääsillinen linerios ϕ[h] ero lisäyksestä J[h] vin infinitesimlin verrn enemmän kuin 1 h 1. Toisin snoen (3.2) J[y] = ϕ[h] + ε(h) h 1 J[y] ϕ [h] = ε(h) h 1, joten lim J[y] ϕ[h] = 0. h 1 0 Luse 3.7. Differentioituvn funktionlin vritio on yksikäsitteinen. Todistus. (Vrt. [1, s. 12]). Aluksi hvitn, että jos ϕ[h] on differentioituv linerinen funktionli, j jos ϕ[h] lim = 0, h 1 0 h 1 niin ϕ[h] = 0 jokisell h(x). Oletetn sitten, että ϕ[h 0 ] 0 jollkin h 0 0. Tällöin settmll h n = h 0 n, λ = ϕ[h 0] h 0 1, näemme, että h n 1 0, kun n, mutt vstoin oletust. ϕ[h n ] nϕ[h 0 ] lim = lim n h n n = λ 0, 1 n h 0 1 Oletetn lopuksi, että funktionlin J[y] vritio ei ole yksikäsitteisesti määritelty. Toisin snoen, että pätee J[h] = ϕ 1 [h] + ε 1 (h) h 1, J[h] = ϕ 2 [h] + ε 2 (h) h 1, 18

19 missä ϕ 1 [h] j ϕ 2 [h] ovt linerisi funktionlej, j ε 1 (h), ε 2 (h) 0, kun h 1 0. Tästä seur, että ϕ 1 [h] ϕ 2 [h] = (ε 1 (h) + ε 2 (h)) h 1 = ε(h) h 1, missä ε 1 (h) + ε 2 (h) = ε(h) j siten erotus ϕ 1 [h] ϕ 2 [h] = ε(h) h 1 on in- 1 finitesimlin verrn suurempi kuin (ks. yhtälö 3.2). Mutt kosk erotus ϕ 1 [h] ϕ 2 [h] on jtkuv, todistuksen ensimmäisen osn nojll h 1 erotus ϕ 1 [h] ϕ 2 [h] kto identtisesti, kuten väitettiin. Määritelmä 3.8. (Ks. [1, s. 12]). Funktionlill J[y] snotn olevn ekstremli pisteessä ŷ(x), mikäli erotus J[y] J[ŷ] ei muut merkkiään jossin pisteen ŷ(x) ympäristössä. Ekstremlin snotn olevn minimi, mikäli J[y] J[ŷ] 0 j mksimi, mikäli J[y] J[ŷ] 0. Määritelmä 3.9. (Ks. [1, s. 13]). Funktionlill J[y] snotn olevn heikko ekstremli pisteessä ŷ(x), mikäli on olemss ε > 0 siten, että erotuksell J[y] J[ŷ] on sm merkki jokisess funktionlin määrittelyjoukon pisteessä y(x), joll pätee ehto y ŷ 1 < ε, missä 1 on vruuden D 1 normi. Määritelmä (Ks. [1, s. 13]). Funktionlill J[y] snotn olevn vhv ekstremli pisteessä ŷ(x), mikäli on olemss ε > 0 siten, että erotuksell J[y] J[ŷ] on sm merkki jokisess funktionlin määrittelyjoukon pisteessä y(x), joll pätee ehto y ŷ 0 < ε, missä 0 on vruuden C normi. Huomutus. Edellä olevist määritelmistä seur välittömästi, että jokinen vhv ekstremli on heikko ekstremli. Luse Välttämätön ehto differentioituvn funktionlin J[y] ekstremlin olemssololle pisteessä ŷ(x) on, että sen vritio kto pisteessä ŷ(x). Toisin snoen pisteessä ŷ(x) pätee δj[h] = 0 kikill h(x) D 1 [, b]. Todistus. (Vrt. [1, s. 13]). Oletetn, että funktionlill J[y] on minimi pisteessä ŷ(x). Vrition δj[y] määritelmän nojll (3.3) J[h] = δj[h] + ε(h) h 1, 19

20 missä ε 0, kun h 1 0. Siten, kunhn h 1 < ε, lisäyksen J[y] merkki on sm kuin vrition δj[h] merkki. Tehdään vstoletus, että δj[h 0 ] 0 jollin h 0 (x) D 1 [, b]. Tällöin jokisell α > 0 pätee funktionlin linerisuuden nojll, että δj[ αh 0 ] = δj[αh 0 ]. Näin ollen yhtälölle 3.3 on voimss, että jokisell ε > 0 pätee h 1 < ε, joten se voi sd kummn thns merkin. Mutt tämähän on mhdotont, kosk oletuksen nojll funktionlill J[y] on minimi pisteessä ŷ(x) eli J[h] = J[ŷ + h] J[ŷ] 0 kunhn h 1 < ε. Joten päädytään ristiriitn j lkuperäinen väite pätee. 3.6 Yksinkertisin vritio-ongelm Olkoon F (x, y, z) funktio, jonk jokisell rgumentill on jtkuv ensimmäinen j toinen derivtt. Tällöin, kikkien niiden funktioiden y(x) joukoss, jotk ovt jtkuvsti differentioituvi x b j toteuttvt rjehdot (3.4) y() = A, y(b) = B, etsi funktio, joll funktionlill (3.5) J[y] = on heikko ekstremli. F (x, y(x), y (x)) dx Yksinkertisimmss vritio-ongelmss täytyy siis löytää heikko ekstremli funktionlille 3.5, missä hyväksyttävien funktioiden joukko on kksi pistettä yhdistävien sileiden käyrien y [4, s. 419] joukko S = {y D 1 [, b] y() = A, y(b) = B}. Useimmiten puhutn kuitenkin vin käyristä. Luvuiss 3.1 j 3.2 esitellyt ongelmt ovt tätä yksinkertisint tyyppiä. 20

21 3.7 Eulerin yhtälö Jott luseen 3.11 välttämätöntä ehto voidn käyttää, täytyy kyetä lskemn funktionlin 3.5 vritio. Määritelmä (Ks. [1, s. 15]). Yhtälöä (3.6) F y d dx F y = 0. kutsutn Eulerin yhtälöksi. Luse Olkoon F (x, y, z) funktio, joll on jtkuv ensimmäinen derivtt j toinen derivtt. Olkoon lisäksi J[y] = F (x, y(x), y (x)) dx funktionli, jok on määritelty kikkien niiden funktioiden y(x) joukoss, joill on jtkuvt ensimmäiset derivtt välillä [, b] j jotk toteuttvt rjehdot y() = A j y(b) = B. Tällöin välttämätön ehto funktionlin J[y] ekstremlin olemssololle on, että y(x) toteutt Eulerin yhtälön F y d dx F y = 0. Todistus. (Vrt. [1, s ]). Oletetn, että h(x) on lisätty funktioon y(x). Jott funktio y(x) + h(x) täyttäisi rjehdot, täytyy oll h() = h(b) = 0. Tällöin funktionlin 3.5 lisäys on J[h] = J[y + h] J[y] = = F (x, y(x) + h(x), y (x) + h (x)) dx F (x, y(x), y (x)) dx (F (x, y(x) + h(x), y (x) + h (x)) F (x, y(x), y (x))) dx, jost edelleen luseen 3.5 nojll (3.7) J[h] = (F y (x, y(x), y (x))h(x) + F y (x, y(x), y (x))h (x)) dx +..., 21

22 missä lindeksit osittisderivtt kyseisen muuttujn suhteen, j jäännöstermi jätetään merkitsemättä, kuten tpn on. Yhtälön 3.7 oiken puolen integrli merkitsee lisäyksen J pääsillist linerios, j kosk funktionlin J[y] vritio on δj[h] = (F y (x, y(x), y (x))h(x) + F y (x, y(x), y (x))h (x)) dx Luseen 3.11 nojll, välttämätön ehto funktionlin J[y] ekstremlille pisteessä y on, että (3.8) δj[h] = (F y h + F y h ) dx = 0 Jokisell h S 0 = {ĥ D 1[, b] ĥ() = ĥ(b) = 0}. Mutt luseen 3.4 nojll yhtälö 3.8 implikoi, että (3.9) F y d dx F y = 0. Huomutus. Eulerin yhtälö on yleensä toisen kertluvun differentiliyhtälö j sen integrlikäyriä kutsutn [9, s. 39] ekstremleiksi. Toisen kertluvun differentiliyhtälön rtkisu riippuu khdest mielivltisest vkiost, jotk määritetään rjehtojen y() = A j y(b) = B vull. Moniss tpuksiss Eulerin yhtälö on itsessään riittävä täydellisen rtkisun löytämiseen. Usein ekstremlin olemssolo on selvää trksteltvn ongelmn luonteest. Muoto F (x, y(x), y (x)) dx olevn funktionlin Eulerin yhtälö on yleisesti toisen kertluvun differentiliyhtälö, mutt voi oll ettei ekstremlin olev käyrä ole khdesti differentioituv. 22

23 Esimerkki (Vrt. [1, s ]). Trkstelln esimerkin vuoksi funktionli missä J[y] = 1 1 y(x) 2 (2x y (x)) 2 dx, y( 1) = 0, y(1) = 1. Funktionlin J[y] minimi on yhtä kuin noll j se löydetään funktion 0, kun 1 x 0 y(x) = x 2, kun 0 < x 1 vull. Tällä funktioll ei ole toist derivtt, kun x = 0. Kuitenkin y(x) toteutt Eulerin yhtälön. Kosk niin funktiot F y = 2y(x)(2x y (x)) 2, F (x, y(x), y (x)) = y(x) 2 (2x y (x)) 2, F y = 2y(x) 2 (2x y (x)), d dx F y ktovt identtisesti, kun x [ 1, 1]. Siis vikk Eulerin yhtälö on toist kertluku j y (x) ei ole olemss välillä [ 1, 1], niin sijoittmll funktio y(x) Eulerin yhtälöön hvitn, että se toteutt sen. Luse Oletetn, että funktioll y(x) on jtkuv ensimmäinen derivtt j se toteutt Eulerin yhtälön F y d dx F y = 0. Tällöin, jos funktioll F (x, y(x), y (x)) on jtkuv ensimmäinen j toinen derivtt kikkien rgumenttiens suhteen, niin funktioll y(x) on jtkuv toinen derivtt kikiss pisteissä (x, y), missä F y y (x, y(x), y (x)) 0. Todistus. (Vrt. [1, s ]). Trkstelln erotust F y = F y (x + x, y(x) + y(x), y (x) + y (x)) F y (x, y(x), y (x)) = xf y x + yf y y + y F y y, 23

24 missä yläviiv indikoi sitä, että vstvt derivtt on lskettu tiettyjä välikäyriä pitkin. Kun jkjn on x, niin sdn rj-rvo lusekkeelle F y x = F y x + y(x) x F y y + y (x) x F y y, kun x 0. Kosk oletuksen nojll funktion F (x, y(x), y (x)) toiset derivtt ovt jtkuvi, niin tällöin pätee, että kun x 0, niin F y x suppenee kohti funktiot F y x. Tämä trkoitt, että F y x suppenee kohti osittisderivtn 2 F x rvo pisteessä x. y Funktion y(x) derivtn y (x) olemssolost j sen toisen derivtn F y y jtkuvuudest seur, että toinen termi y(x) F x y y on niin ikään rj-rvo, kun x 0. Mutt tällöinhän myös kolmnnell termillä on rj-rvo eli lim x 0 y (x) x F y y = C on olemss. Kun x 0, niin F y y suppenee kohti F y y, j kosk y (x) = C F y y, niin F y y 0. Siten rj-rvo on olemss. Lopuksi yhtälöstä y (x) lim x 0 x = y (x) d dx F y F y = 0, löydetään luseke funktiolle y (x). Näin ollen y (x) on jtkuv in, kun F y y 0. Huomutus. Tässä oletettiin, että ekstremlit ovt sileitä. Käydään seurvksi läpi muutmi esimerkkejä, joiss Eulerin yhtälö voidn redusoid ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälöksi ti joiss rtkisu sdn yksinkertisesti integroimll. 24

25 Esimerkki (Ks. [1, s. 18]). Trkstelln funktionli F (x, y (x)) dx, missä y ei esiinny eksplisiittisesti funktioss F. Tässä tpuksess Eulerin yhtälö s muodon d dx F y = 0, joll on selvästi ensimmäinen integrli (3.10) F y = C, missä C on vkio. Tämä on ensimmäisen kertluvun differentiliyhtälö, jok ei sisällä funktiot y(x). Rtkisemll yhtälö 3.10 muuttujn y (x) suhteen, sdn yhtälö, jok on muoto jost y(x) sdn integrlimuodoss. y (x) = f(x, C), Esimerkki (Ks. [1, s. 19]). Olkoon funktionli jolloin J[y] = F (y(x), y (x)) dx, (3.11) F y d dx F y = F y F y yy (x) F y y y (x). Nyt F ei ole riippuvinen muuttujst x. Kerrotn yhtälö 3.11 muuttujll y (x) j sdn F y y (x) F y yy (x) 2 F y y y (x)y (x) = d dx (F y (x)f y ). Tällöin Eulerin yhtälöllä on ensimmäinen integrli missä C on vkio. F y (x)f y = C, Aiemmin trksteltiin ktenrin pyörähdyskppleen ktenoidin muodostm minimlist pint, jok on itsesiss esimerkin 3.17 tpus. 25

26 Esimerkki (Ks. [1, s. 19]). Jos funktionli on muoto F (x, y(x)) dx, niin Eulerin yhtälö on muoto F y (x, y(x)) = 0, j siksi se ei ole differentiliyhtälö, vn lgebrllinen yhtälö, jonk rtkisu koostuu yhdestä ti usemmst käyrästä y(x). Esimerkki (Ks. [1, s. 19]). Useiss ongelmiss törmätään funktionliin, jok on muoto f(x, y) 1 + y (x) 2 dx, mikä esittää funktion f(x, y) integrli käyrän y = y(x) pituuden s suhteen (ds = 1 + y (x) 2 dx). Nyt Eulerin yhtälölle pätee F y d ( ) F = dx y f y (x, y) 1 + y (x) 2 d ( y ) (x) f(x, y) dx 1 + y (x) 2 y (x) f y 1 + y (x) 2 f x 1 + y (x) f y (x) 2 2 y 1 + y (x) f y (x) = 2 (1 + y (x) 2 ) 3 2 ( 1 f y f x y y ) (x) (x) f = y (x) y (x) 2 = Toisin snoen f y f x y y (x) (x) f 1 + y (x) = 0. 2 Esimerkki (Ks. [1, s ]). Oletetn, että J[y] = y (x) 2 x dx, y(1) = 0, y(2) = 1. Integrndi ei sisällä muuttuj y(x), j siten Eulerin yhtälö s muodon F y = C. Joten, y (x) x 1 + y (x) = C, 2 26

27 jolloin ti jost seur y(x) = y (x) 2 (1 C 2 x 2 ) = C 2 x 2 y (x) = Cx 1 C2 x 2 Cx dx 1 C2 x 2 = 1 C 1 C2 x 2 + C 1 j hiukn sievennettynä (y(x) C 1 ) 2 + x 2 = 1 C 2. Näin ollen rtkisu on ympyrä, jonk keskipiste on y-kselill. Alkuehdoist y(1) = 0, y(2) = 1, sdn lyhyehkön lskennn jälkeen, että C = 1 5, C 1 = 2, joten rtkisuksi sdn (y 2) 2 + x 2 = 5. Esimerkki (Ks. [1, s ]). Funktionlin (3.12) J[y] = (x y(x)) 2 dx, kohdll Eulerin yhtälö redusoituu esimerkin 3.18 tpukseen, kosk y (x y(x))2 = 2(x y(x)) = 2x 2y(x), jolloin rtkisu on suor y = x j integrli 3.12 kto tällä suorll. Trkstelln seurvksi esimerkein tilnteit, joiss Eulerin yhtälö ei toteudu ti toteutuu. Esimerkki Trkstelln funktionli (3.13) J[y] = joss rjehtoin ovt y(1) = 3 j y(2) = (3y (x) + 2y(x) + x) dx, 27

28 Välttämätön ehto sille, että funktionlill 3.22 on ekstremli nnettujen rjehtojen puitteiss on, että se toteutt Eulerin yhtälön F y d dx F y = 0. Mutt tässä tpuksess Eulerin yhtälö on 2 d dx 3 = 0, jok ei selvästikään toteudu. Näin ollen ekstremli ei ole olemss. Esimerkki Trkstelln funktionli (3.14) J[y] = π 2 0 ( y (x) y(x)2 2 + x ) dx, joll on rjehdot y(0) = 0 j y ( π 2 ) = 1. Lsketn luksi osittisderivtt Fy j F y, joiksi sdn F y = y(x) j F y = y (x). Näin ollen Eulerin yhtälö s muodon y(x) d dx ( y (x)) = 0, jok on toisen kertluvun differentiliyhtälö y (x) + y(x) = 0. Tämä on helppo rtkist j sen yleinen rtkisu on y(x) = C 1 cos x + C 2 sin x j rjehdot toteuttvt rtkisu sdn, kun C 1 = 0 j C 2 = 1. Kosk y(x) toteutt Eulerin yhtälön, niin funktionlill 3.14 on olemss ekstremli. 28

29 3.8 Vritionlinen derivtt Aivn kuten nlyysissä myös funktionlinlyysissä voidn määritellä differentilin lisäksi derivtt. Trkstelln muoto (3.15) J[y] = F (x, y(x), y (x)) dx, y() = A, y(b) = B olevi funktionlej, jotk vstvt yksinkertisint vritio-ongelm, jok esiteltiin luvuss 3.6. Menetelmänä on jk käyrä ensin äärelliseen määrään n j sitten nt n. Jetn väli [, b] tsisesti n+1 osväliin settmll välien päätepisteiksi x 0 =, x 1,..., x n, x n+1 = b, (x i+1 x i = x), j korvtn sileä käyrä y(x) polygonisuorll, jonk pisteitä ovt (x 0, y 0 ), (x 1, y 1 ),..., (x n, y n ), (x n+1, y n+1 ), missä y i = y(x i ). Nyt yhtälöä 3.15 voidn pproksimoid summll ( n (3.16) J(y 1,..., y b ) F x i, y i, y ) i+1 y i x, i=0 x mikä on n muuttujn funktio. Lsketn seurvksi osittisderivtt J(y 1,..., y n ) y k, j trkstelln, että mitä näille derivtoille tphtuu, kun osvälien lukumäärä ksv rjttomsti. Hvitn, että yhtälössä 3.16 jokinen muuttuj y k sijitsee vin khdess termissä, jotk ovt i = k j i = k 1, jolloin (3.17) ( J = F y x k, y k, y ) k+1 y k x y k x ( + F y x k 1, y k 1, y ) k y k 1 x F y ( x k, y k, y k+1 y k x Kun x 0 eli kun osvälien lukumäärä ksv rjtt, niin yhtälön 3.17 oike puoli menee nollksi. Jott voidn sd rj-rvo, jok ei ole yhtä kuin ). 29

30 noll, kun x 0, niin jetn yhtälö 3.17 jkjll x jolloin sdn ( J = F y x k, y k, y ) k+1 y k y k x (3.18) 1 ( ( F y x k, y k, y ) ( k+1 y k F y x k 1, y y 1, y )) k y k 1. x x x Kun x 0, niin luseke 3.18 suppenee kohti rj-rvo δj δy F y(x, y(x), y (x)) d dx F y (x, y(x), y (x)), Määritelmä (Ks. [1, s. 27]). Yllä olev rj-rvo snotn funktionlin 3.15 vritionliseksi derivtksi Huomutus. Vritionlinen derivtt δj on vin Eulerin yhtälön 3.9 vsen δy puoli, j siten Eulerin yhtälön merkitys on se, että trksteltvn funktionlin vritionlisen derivtn tulisi kdot jokisess pisteessä. 3.9 Eulerin yhtälön invrinssi Oletetn, että tvnomisen tsokoordintiston sijn trkstelln käyräviivist koordintisto, joss koordintit ovt u j v, missä (3.19) x = x(u, v), y = y(u, v), J = x u y u x v y v 0. Tällöin tvnomisess xy-tsoss yhtälöstä y = y(x) stu käyrä vst käyrää, jok sdn jollkin yhtälöllä v = v(u) uv-tsoss. Kun tehdään muuttujien vihto, niin funktionli muuntuu funktionliksi J 1 [v] = = F J[y] = F (x, y, y ) dx ( x(u, v), y(u, v), y u + y v v ) (x x u + x v v u + x v v ) du F 1 (u, v, v ) du, 30

31 missä F 1 (u, v, v ) = F ( x(u, v), y(u, v), y u + y v v ) (x x u + x v v u + x v v ). Osoitetn, että jos y = y(x) toteutt Eulerin yhtälön (3.20) F y d F = 0 dx y jok vst lkuperäisen funktionlin J[y] tpust, niin tällöin v = v(u) toteutt Eulerin yhtälön (3.21) F 1 v d F 1 = 0 du v jok vst uutt funktionli J 1 [v]. Todistetn tämä vritionlisen derivtn vull. Olkoon σ lue, jonk käyrät y = y(x) j y = y(x) + h(x) rjvt, j olkoon σ 1 lue, jok vstvsti on rjttu käyrien v = v(u) j v = v(u) + η(u) toimest uv-tsoss. Kun nyt σ, σ 1 0, niin suhde σ σ 1 lähestyy jkobini [4, s. 356] J = x u y u x v y v jok on oletuksen nojll eri kuin noll. Näin ollen, jos J[y + h] J[y] lim σ 0 σ = 0, niin myöskin J 1 [v + η] + J 1 [v] lim = 0. σ 1 0 σ 1 Tästä seur, että v(u) toteutt yhtälön 3.21, jos y(x) toteutt yhtälön Huomutus. Sillä, että onko käyrällä ekstremli, ei ole riippuvinen koordintistost. Kun rtkistn Eulerin yhtälöitä, koordinttimuunnoksist on usein hyötyä. Esimerkki (Ks. [13, s ]). Olkoon funktionli J[y] = x 2 + y 2 (x) 1 + y 2 dx, missä, b ovt jotkin rjehdot. Tästä sdn Eulerin yhtälöksi y(x) xy (x) (x2 + y 2 (x))y (x) 1 + y 2 (x) = 0, 31

32 jok on kmln vike rtkistvksi. Npkoordintti muunnoksen vull tästä kuitenkin päästään hyvin nopesti eteenpäin. Olkoot x = r cos(θ) j y = r sin(θ). Tällöin x 2 + y 2 (x) = r 2 (θ) j 1 + y 2 (x) dx = r 2 (θ) + r 2 (θ) dθ. Näin ollen lkuperäinen funktionli s muodon J[r] = β α r(θ) r 2 (θ) + r 2 (θ) dθ, missä α, β riippuvt rjehdoist, b. Hvitn, että integrdiss ei ole muuttuj θ, joten tilnne on sm kuin esimerkissä Täten Eulerin yhtälön ensimmäiseksi integrliksi sdn välittömästi f r f r = C, missä f on funktionlin J[r] integrndi j C on vkio Toinen vritio Määritelmä (Ks. [1, s. 98]). Olkoon R normeerttu linerivruus. Olkoon lisäksi B[x, y] funktionli, jok on vruudess R määritelty j vruuden R lkioist x, y riippuvinen. Funktionlin B[x, y] snotn olevn bilinerinen, jos se on linerinen funktionli muuttujn y suhteen jokist kiinteää lkiot x kohden j päinvstoin. Täten B[x + y, z] = B[x, z] + B[y, z], B[αx, y] = αb[x, y], j B[x, y + z] = B[x, y] + B[x, z], B[x, αy] = αb[x, y] jokisell x, y, z R j jokisell α R. Määritelmä (Ks. [1, s. 98]). Jos bilineriseen funktionliin setetn x = y, niin sdn neliömuotoinen funktionli. Neliömuotoisen funktionlin A(x) = B[x, x] snotn olevn positiivisesti definiitti, jos A[x] > 0 jokisell x 0. 32

33 Määritelmä (Ks. [1, s. 99]). Olkoot R normeerttu linerivruus j funktionli J[y] määritelty vruudess R. Funktionlin snotn olevn khdesti differentioituv, jos sen lisäys voidn kirjoitt muodoss J[h] = ϕ 1 [h] + ϕ 2 [h] + ε(h) h 2 2, missä linerinen funktionli ϕ 1 [h] on ensimmäinen vritio, linerinen funktionli ϕ 2 [h] on neliömuotoinen funktionli, j ε(h) 0, kun h 2 0. Neliömuotoist funktionli ϕ 2 [h] kutsutn funktionlin J[y] toiseksi vritioksi j sitä merkitään δ 2 J[y]. Huomutus. Toisen vrition olemssolo j yksikäsitteisyys todistetn kuten ensimmäisenkin tpuksess todistettiin luseess 3.7, joten se sivuutetn. Luse Välttämätön ehto sille, että khdesti differentioituvll funktionlill J[y] on minimi pisteessä ŷ(x) on, että δj[ŷ] = 0 j δ 2 J[ŷ] 0 pisteessä ŷ(x) j kikill h(x) D 2 [, b]. Mksimin tpuksess muuten smoin pitsi, että δ 2 J[ŷ] 0. Todistus. (Vrt. [1, s ]). Määritelmän nojll (3.22) J[h] = δj[h] + δ 2 J[h] + ε(h) h 2 2, missä ε(h) 0, kun h Luseen 3.11 nojll δj[h] = 0 pisteessä ŷ(x) j jokisell h(x) D 2 [, b], j siksi yhtälö 3.22 voidn sieventää muotoon (3.23) J[h] = δ 2 J[h] + ε(h) h 2 2. Siksi pätee, että kun h 2 2 on riittävän pieni, niin lisäyksen J[h] merkki on sm kuin toisen vrition δ 2 J[h] merkki on. Tehdään vstoletus, että δ 2 J[h 0 ] < 0 jollkin hyväksyttävällä h 0 D 2 [, b]. Tällöin millä thns α 0 pätee, riippumtt miten pienellä, että δ 2 J[αh 0 ] = α 2 δ 2 J[h 0 ] < 0. 33

34 Näin ollen yhtälö 3.23 on negtiivinen mielivltisen pienellä h 2. Mutt tämähän on mhdotont, kosk oletuksen nojll funktionlill J[y] on minimi pisteessä ŷ(x) eli J[y] = J[ŷ + h] J[ŷ] 0 joksell riittävän pienellä h 2. Tämä on ristiriit. Ehto δ 2 J[h] 0 on välttämätön, mutt ei riittävä ehto funktionlin J[y] minimille. Määritelmä (Ks. [1, s. 100]). Olkoon R normeerttu linerivruus. Olkoon lisäksi neliömuotoinen funktionli ϕ 2 [h] määritelty vruudess R. Neliömuotoisen funktionlin ϕ 2 [h] snotn olevn vhvsti positiivinen, mikäli on olemss vkio k > 0 siten, että ϕ 2 [h] k h 2 2 jokisell h(x). Luse Riittävä ehto funktionlin J[y] minimille pisteessä ŷ(x), kun ensimmäinen vritio δj[h] kto pisteessä ŷ(x), on, että toinen vritio δ 2 J[h] on vhvsti positiivinen pisteessä ŷ(x). Todistus. (Vrt. [1, s. 100]). Olkoon ŷ(x) R. Nyt δj[h] = 0 jokisell hyväksyttävällä h(x), j siten J[h] = δ 2 J[h] + ε h 2 2, missä ε 0, kun h 2 0. Edelleen pisteessä ŷ(x) pätee, että δj[h] k h 2 2, missä k > 0 on vkio. Siten, riittävän pienellä ε 1, ε < 1k, jos h 2 2 < ε 1. Tästä seur, että J[h] = δ 2 J[h] + ε h 2 2 > 1 2 k h 2 2 > 0, jos h 2 < ε 1 eli kun funktionlill J[y] on minimi pisteessä ŷ(x), kuten väitettiinkin. 34

35 3.11 Legendren ehto Olkoon F (x, y, z) funktio, jonk jokisell rgumentill on jtkuvt osittisderivtt kolmnteen kertlukuun skk. Etsitään toiselle vritiolle luseke yksinkertisimpn vritio-ongelmn eli funktionliin, jok on muoto (3.24) J[y] = F (x, y(x), y (x)) dx, j jotk ovt määritelty käyrille y(x), joill on kiinnitetyt päätepisteet y() = A, y(b) = B. Aluksi setetn funktiolle y(x) lisäys h(x), jok täyttää rjehdot (3.25) h() = 0, h(b) = 1. Nyt luseen 3.5 nojll funktionlin J[y] lisäys voidn kirjoitt muotoon (3.26) J[h] = J[y + h] J[y] = (F y h(x) + F y h (x)) dx missä jäännöstermi on mukn j (F yy h(x) 2 + 2F yy h(x)h (x) + F y y h (x) 2 ) dx, F = F yy (x, y(x) + θh(x), y (x) + θh (x)) (0 < θ < 1), j vstvsti F yy j F y y. Jos korvmme F yy, F yy j F y y pisteessä (x, y(x), y (x)) derivtoill F yy, F yy (3.27) J[h] = missä ε on itsesiss j F y y, niin yhtälö 3.26 voidn kirjoitt muodoss (F y h(x) + F y h (x)) dx (F yy h(x) 2 + 2F yy h(x)h (x) + F y y h (x) 2 ) dx + ε, (3.28) (ε 1 h(x) 2 + ε 2 h(x)h (x) + ε 3 h (x) 2 ) dx. 35

36 Kosk derivtt F yy, F yy j F y y ovt jtkuvi niin siitä seur, että ε 1 (h), ε 2 (h), ε 3 (h) 0, kun h 2 0. On ilmeistä, että ε on infitesimlin verrn suurempi kuin 1. Hvitn, että tässä on kyse smst sist kuin h 2 2 ensimmäisessä vritioss, jot on selvennetty yhtälössä 3.2. Yhtälön 3.27 oiken puolen ensimmäinen termi on vritio δ[h], j toinen termi on toinen vritio δ 2 J[h]. Näin ollen funktionlille 3.24 pätee, että toinen vritio on (3.29) δ 2 J[h] = 1 2 (F yy h(x) 2 + 2F yy h(x)h (x) + F y y h (x) 2 ) dx. Yhtälöä 3.29 voidn muokt edelleen käytännöllisempään muotoon. Osittisintegroimll j yhtälön 3.25 vull sdn yhtälö 2F yy h(x)h (x) dx = Joten yhtälö 3.29 voidn kirjoitt uudelleen (3.30) δ 2 J[h] = missä ( ) d dx F yy h(x) 2 dx. (P h (x) 2 + Qh(x) 2 ) dx, (3.31) P = P (x) = 1 2 F y y, Q = Q(x) = 1 2 ( F yy d ) dx F yy. Luse Välttämätön ehto sille, että neliömuotoinen funktionli (3.32) δ 2 J[h] = (P h (x) 2 + Qh(x) 2 ) dx, jok on määritelty kikill funktioill h(x) D 1 [, b] siten, että h() = h(b) = 0, on epänegtiivinen, on että (3.33) P (x) 0 ( x b). Todistus. (Vrt. [1, s. 103]). Tehdään vstoletus, että ehto 3.33 ei päde. Toisin snoen oletetn, että P (x 0 ) = 2β (β > 0) josskin pisteessä x 0 [, b]. Tällöin, kosk P (x) on jtkuv, niin on olemss α > 0 siten, että x 0 α, x 0 + α β, j P (x 0 ) < β (x 0 α x x 0 + α). 36

37 Muodostetn funktio h(x) D 1 [, b] siten, että funktionli 3.32 on negtiivinen. Olkoon sin 2 π(x x 0 ), kun x α 0 α x x 0 + α, (3.34) h(x) = 0, muutoin. Tällöin pätee, että (3.35) (P h (x) 2 + Qh(x) 2 ) dx = + x 0 +α x 0 α x 0 +α x 0 α P π 2 α 2 sin 2 2π(x x 0) α Q sin 4 π(x x 0) α dx dx < 2βπ2 α + 2Mα, missä M = mx x b Q(x). Kun α on riittävän pieni, yhtälön 3.35 oike puoli tulee negtiiviseksi j siten myös funktionli 3.32 on negtiivinen funktio h(x) on määritelty kuten Tästä päädytään ristiriitn. Luse Välttämätön ehto sille, että funktionlill J[y] = F (x, y(x), y (x)) dx, missä y() = A, y(b) = B, on minimi käyrällä y(x), on että epäyhtälö (Legendreen ehto) pätee käyrän jokisess pisteessä. F y y 0 j δj[h] = 0 Todistus. Käytetään ensin lusett 3.32, jolloin voidn sovelt lusett 3.31, j väite seur välittömästi Yksinkertisimmn vritio-ongelmn yleistys Trkstelln tutkielmn lopuksi yksinkertisimmn vritio-ongelmn yleistystä. Ennen sitä täytyy tutki funktionlej usen muuttujn tpuksiss. 37

38 Olkoon F (x, y, z, p, q) funktio, jonk ensimmäinen j toinen derivtt ovt jtkuvi kikkien funktion rgumenttien suhteen. Trkstelln funktionli, jok on muoto (3.36) J[z] = F (x, y, z, z x, z y ) dxdy, R missä R on jokin suljettu lue j z x, z y ovt funktion z = (x, y) osittisderivtt. Oletetn, että etsitään funktiot z(x, y), jok täyttää ehdot: 1. Funktio z(x, y), sen ensimmäinen derivtt j sen toinen derivtt ovt kikki jtkuvi lueess R. 2. Funktio z(x, y) on määritelty lueen R reunll Γ. 3. Funtkionlill 3.36 on ekstremli pisteessä z(x, y). Luse Jos α(x, y) on kiinteä funktio, jok on jtkuv suljetuss lueess R, j jos integrli (3.37) α(x, y)h(x, y) dxdy R kto jokisell funktioll h(x, y), joll on jtkuvt ensimmäinen j toinen derivtt lueess R j jonk rvo on yhtä kuin noll reunll Γ, niin tällöin α(x, y) = 0 kikkill lueess R. Todistus. (Vrt. [1, s ]). Tehdään vstoletus, että α(x, y) > 0 jossin lueen R pisteessä. Tällöin α(x, y) on myös positiivinen jossin ympyrässä (3.38) (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 ε 2, jok kirjoitetn joukkon (3.39) D = {(x, y) (x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 ε 2 }, j joukko D sisältyy lueeseen R, jonk keskipiste on (x 0, y 0 ) j säde on ε. Määritellään funktio h(x, y) siten, että h(x, y) = 0 ympyrän 3.38 ulkopuolell j sisäpuolell h(x, y) = ((x x 0 ) 2 + (y y 0 ) 2 ε 2 ) 3. 38

39 Tällöin h(x, y) täyttää väitteen ehdot. Mutt nyt huomtn, että α(x, y)h(x, y) dxdy = α(x, y)h(x, y) dxdy, R joten päädytään ristiriitn, kosk ylläolevn integrli on positiivinen. Lsketn funktionlin 3.36 vritio. Olkoon h(x, y) mielivltinen funktio, jonk ensimmäinen j toinen derivtt ovt molemmt jtkuvi lueess R j, jotk ktovt lueen R reunll Γ. Tällöin, jos z(x, y) kuuluu funktionlin 3.36 määrittelylueeseen, niin kuuluu myöskin z(x, y) + h(x, y). Kosk J = J[z + h] J[z] = (F (x, y, z + h, z x + h x, z y + h y ) (3.40) R D F (x, y, z, z x, z y ) dxdy, jost edelleen luseen 3.5 nojll J = (F z h + F zx + F zy h y ) dxdy +..., R missä jäännös on jätetty pois, kuten tpn on. Yhtälön oikell puolell olev integrli on lisäyksen J pääsillinen linerios, j siten funktionlin J[z] vritio on Nyt, hvitn, että (F zx h x + F zy h y ) dxdy R = R δj = (F z h + F zx + F zy h y ) dxdy. R ( x (F z x ) + ) y (F z y ) dxdy = (F zx h dy F zy h dx) Γ R R ( x F z x + y F z y ( x F z x + ) y F z y h dxdy ) h dxdy, missä viimeisessä skeleess sovellettiin Greenin lusett [4, s. 429 j s. 433] ( Q x P ) dxdy = (P dx + Q dy). y R Alueen R reunll Γ integrli on yhtä kuin noll, kosk h(x, y) kto reunll Γ, j siten, vertmll kht edellistä kv hvitn, että ( (3.41) δj = F z x F z x ) y F z y h(x, y) dxdy. R Γ 39

40 Näin ollen ehto sille, että vritio δj = 0 implikoi, että kksinkertinen integrli 3.41 kto kikill h(x, y), jotk täyttävät nnetut ehdot. Nyt luseen 3.34 nojll päädytään seurvn toisen kertluvun osittisdifferentiliyhtälöön, jok on jälleen Eulerin yhtälö: (3.42) F z x F z x y F z y = 0. Esimerkki (Ks. [1, s. 24]). Etsitään minimlinen pint-l nnetun ts-rvokäyrän [4, s. 87] rjmlt lueelt. Täytyy etsiä minimi funktionlille, jok on muoto Tästä sdn derivoimll, että j vstvsti myös x F z x = y F z y = Tästä päädytään yhtälöön J[z] = 1 + z 2 x + zy 2 dxdy. R F z = 0, z x F zx =, 1 + z 2 x + zy 2 ( ) 1 + z 2 x + zy(z 2 z xx ) z xz xx+z yz xy x 1+z 2 x +zy z 2 x + z 2 y ( ) 1 + z 2 x + zy(z 2 z yy ) z yz yy+z xz xy y 1+z 2 x +zy zx 2 + zy 2 (1 + z 2 x + z 2 y)z xx z 2 xz xx z x z y z xy + (1 + z 2 x + z 2 y)z yy z 2 yz yy z y z x z xy = 0, jolloin Eulerin yhtälöksi sdn (3.43) r(1 + q 2 ) 2spq + t(1 + p 2 ) = 0, missä p = z x, q = z y, r = z xx, s = z xy, t = z yy. Yhtälöllä 3.43 yksinkertinen geometrinen merkitys, jot voidn vt keskikrevuuden [10, luku 2] M = 1 2 ( 1 x x 2 ) = Eg 2F f + Ge 2(EG F 2 ) 40

41 vull, missä E, F, G j e, f, g ovt pinnn ensimmäisen j toisen perusmuodon kertoimi [11]. Jos pint on nnettu eksplisiittisenä funktion, jok on muoto z = (x, y), niin e = E = 1 + p 2, F = pq, G = 1 + q 2 r 1 + p2 + q 2, f = s 1 + p2 + q 2, g = t 1 + p2 + q 2, j siten M = (1 + p2 )t 2spq + (1 + q 2 )r 1 + p2 + q 2. Yllä osoittj vst Eulerin yhtälön 3.43 vsent puolt. Näin ollen yhtälö 3.43 implikoi, välttämätön ehto sille, että kyseessä on minimlinen pint on, että pinnn keskikrevuus on noll. Luse Välttämätön ehto sille, että käyrä y i (x) on funktionlin F (x, y 1 (x),..., y n (x), y 1(x),..., y n(x)) dx ekstremli on, että käyrät y i (x) toteuttvt Eulerin yhtälöt Todistus. (Vrt. [1, s. 35]). Olkoon F (x, y 1,..., y n, z 1,..., z n ) funktio, jonk jokisell rgumentill on jtkuv ensimmäinen j jtkuv toinen derivtt. Etsitään välttämätöntä ehto, jott muoto (3.44) J[y 1,..., y n ] = F (x, y 1 (x),..., y n (x), y 1(x),..., y n(x)) dx, olevlle funktionlille, jok riippuu n kppleest jtkuvsti differentioituvist funktioist y 1 (x),..., y n (x), jotk toteuttvt rjehdot (3.45) y i () = A i, y i (b) = B, (i = 1,..., n). Toisin snoen etsitään ekstremli funktionlille 3.44, jok on määritelty kikkien niiden sileiden käyrien joukoss, jotk yhdistävät kksi pistettä n + 1 ulotteisess euklidisess vruudess ε n+1. Kuten iemminkin, täytyy lske funktionlille 3.44 vritio, jott voidn löytää välttämätön ehto sen ekstremlille. Oletetn, että jokinen y 1 (x) korvtn funktioll y i (x)+h 1 (x). Tässä tpuksess funktionlin J[y 1,..., y n ] 41

42 vritioll δj trkoitetn lusekett, jok on linerinen pisteissä h i (x), h i(x), missä i = 1,..., n, j ero lisäyksestä J = J[y 1 + h 1,..., y n + h n ] J[y 1,..., y n ] infitesimlin verrn enemmän kuin 1 h i j 1, missä i = 1,..., n (ks. yhtälö h i 3.2). Kosk molemmt y i (x) j y i (x) + h i (x) toteuttvt rjehdot 3.45, niin jokisell i on selvää, että h i () = h i (b) = 0 (i = 1,..., n). Nyt luseen 3.5 nojll sdn J = (F (x,..., y 1 (x) + h i (x), y i(x) + h i(x),... ) dx F (x,..., y i (x), y i(x),... )) dx = n i=1 (F yi h i (x) + F y i h i(x)) dx +..., missä jäännöstermi on jätetty pois. Viimeinen integrli oikell puolen esittää lisäyksen J pääsillist linerios, j siten funktionlin J[y 1,..., y n ] vritio on n δj = (F yi h i (x) + F yi h i(x)) dx. i=1 Kosk kikki lisäykset h i (x) ovt riippumttomi, voidn niistä vlit mielivltisesti yksi, kunhn vin se täyttää rjehdot. Loput voidn sett nollksi. Näin ollen välttämätön ehto ekstremlille on (F yi h i (x) + F y i h i(x)) dx = 0 (i = 1,..., n). Luseen 3.4 nojll sdn seurv Eulerin yhtälöryhmä (3.46) F yi d dx F y i = 0 (i = 1,..., n). Kosk 3.46 on yhtälöryhmä, jok koostuu n kppleest toisen kertluvun differentiliyhtälöistä, niin sen yleinen rtkisu koostuu 2n kppleest mielivltisist vkioist, jotk määritetään rjehtojen 3.45 vull. 42

43 Huomutus. Juuri osoitettiin, että miten voidn löytää hyvin määritellyt Eulerin yhtälöt 3.46 jokiselle funktionlille, jok on muoto Kuitenkin kksi erilist integrndi F voi joht smn Eulerin yhtälöistä koostuvn joukkoon. Olkoon Φ = Φ(x, y 1,..., y n ) mikä thns khdesti differentioituv funktio, j olkoon (3.47) Ψ(x, y 1,..., y n, y 1,..., y n) = Ψ n x + Ψ y y i, i Nyt suorll lskutoimituksell löydetään, että Ψ d ( ) Ψ 0 jokisell i {1,..., n}, y i dx j siten funktionlit y i i=1 (3.48) j (3.49) F (x, y 1 (x),..., y n (x), y 1(x),..., y n(x)) dx (F (x, y 1 (x),..., y n (x), y 1(x),..., y n(x)) + Ψ(x, y 1 (x),..., y n (x), y 1(x),..., y n(x))) dx joht smn Eulerin yhtälöistä koostuvn yhtälöryhmään. Joten integrli Ψ(x, y 1 (x),..., y n (x), y 1(x),..., y n(x)) dx = dψ dx dx s smn rvon kikkien rjehdot 3.45 toteuttvien käyrien joukoss. Toisin snoen funktionlit 3.48 j 3.49, jotk ovt määritelty niiden funktioiden joukoss, jotk toteuttvt rjehdot 3.45, erovt vkion verrn. Erityisesti voidn vlit Ψ siten, että tämä vkio häviää, mutt Ψ 0. Huomutus. Khden funktionlin snotn olevn ekvivlentit, mikäli niillä on smt ekstremlit. Edellisen huomutuksen nojll, kksi muoto 3.44 olev funktionli ovt ekvivlentit, jos niiden integrndit erovt muoto 3.47 olevn funktion verrn. On myös selvää, että kksi tämän muotoist funktionli ovt ekvivlentit, mikäli niiden integrndit erovt vkiokertoimen c 0 verrn. Yleisesti muoto 3.48 olev funktionli on ekvivlentti muoto 3.49 olevn funktionlin knss, kun integrndi F korvtn integrndill cf. 43

44 Esimerkki (Vrt. [1, s ]). Trkstelln vlon etenemistä epähomogeenisess väliineess. Oletetn, että kolmiulotteinen vruus on täytetty optisesti epähomogeenisell väliineell siten, että vlon etenemisnopeus jokisess pisteessä sdn sijoittmll pisteen koordintit funktioon v(x, y(x), z(x)). Fermt n peritteen [5, s. 337] nojll, vlo kulkee käyrää pitkin pisteestä pisteeseen, missä vlon kulkemiseen kuluu lyhyin ik. Jos pisteitä A j B yhdistävä käyrä c : R R 3 on määritelty, kuten c(x) = (x, y(x), z(x)), niin ik, jok kuluu vlolt näiden pisteiden välin kulkemiseen, sdn integrlin 1 + y (x) 2 + z (x) 2 v(x, y(x), z(x)) Nyt Eulerin yhtälöistä koostuv yhtälöryhmä on v 1 + y (x) 2 + z (x) 2 y v(x, y(x), z(x)) 2 v z 1 + y (x) 2 + z (x) 2 v(x, y(x), z(x)) 2 dx. + d y (x) dx v 1 + y (x) 2 + z (x) = 0, 2 + d z (x) dx v 1 + y (x) 2 + z (x) = 0, 2 jonk vull sdn differentiliyhtälöt, jotk esittävät käyriä, joit pitkin vlo kulkee. Esimerkki (Vrt. [1, s ]). Oletetn, että σ on pint, jok määritellään (3.50) r = r(u, v). Lyhintä reittiä, jok kulkee khden pinnll σ olevien pisteiden välillä tätä pint σ pitkin, kutsutn geodeesiksi. Pinnn σ geodeesien yhtälöt ovt Eulerin yhtälöitä, jotk vstvt vritio-ongelm, joss pinnlt σ etsitään khden pinnll σ olevn pisteen minimlist etäisyyttä. Pinnll 3.50 kulkev käyrä voidn määritellä yhtälöillä u = u(t), v = v(t), 44

45 jolloin tämä käyrä voidn määritellä settmll c(t) = (u(t), v(t)). Pisteiden t 1 j t 2 välinen kren pituus prmetrin t suhteen on integrli (3.51) J[u, v] = t 1 t 0 Eu 2 + 2F u v + Gv 2, missä E = r u r u, F = r u r v, G = r v r v. Kirjoitetn funktionlille 3.51 Eulerin yhtälöt, joiksi sdn E u u 2 + 2F u u v + G u v 2 Eu 2 + 2F u v + Gv d 2(Eu + F v ) = 0, 2 dt Eu 2 + 2F u v + Gv 2 E v u 2 + 2F v u v + G v v 2 Eu 2 + 2F u v + Gv d 2(F u + Gv ) = 0. 2 dt Eu 2 + 2F u v + Gv 2 Etsitään ympyrän muotoiselle sylinterille (3.52) r = ( cos ϕ, sin ϕ, z) geodeesi, missä muuttujt ϕ j z ovt prmetrien u j v rooliss. Kosk sylinterin tpuksess kertoimet E, F j G ovt niin sylinterin geodeeseill on yhtälöt E = 2, F = 0, G = 1, d 2 ϕ d = 0, dt 2 ϕ 2 + z 2 jost integroimll z = 0, dt 2 ϕ 2 + z 2 2 ϕ 2 ϕ 2 + z 2 = C 1, z 2 ϕ 2 + z 2 = C 2. Kun jetn ensimmäinen näistä yhtälöistä toisell, sdn joll on rtkisu dz dϕ = c 1, z = c 1 ϕ + c 2, jotk esittävät heliksejä ti ympyröitä sylinterin 3.52 pinnll. 45

46 Kirjllisuutt [1] Gelfnd, I. M., Fomin, S. V. Clculus of Vritions. New Jersey: Prentice- Hll, [2] Kreyszig, E. Introductory Functionl Anlysis with Applictions. New York: John Wiley & Sons. Inc., [3] Liberzon, D. Clculus of Vritions nd Optiml Control Theory: A Concise Introduction. New Jersey: Princeton University Press, [4] Colley, S. J. Vector Clculus Fourth Edition. Boston: Person, [5] Benenson, W., Hrris, J. W., Stocker, H., Lutz, H. Hndbook of Physics. New York: Springer, [6] Ytes, R. C. A Hndbook on Curves nd Their Properties. Ann Arbor: Edwrds, [7] Lockwood, E. H. A Book of Curves. Lontoo: Cmbridge University Press, [8] Munkres, J.R. Topology (2nd Edition). Upper Sddle River: Prentice Hll Inc, [9] Tenenbum, M., Pollrd, H. Differentil Equtions: An Elementry Textbook for Students of Mthemtics, Engineering, nd the Sciences. New York: Dover Publictions, [10] Spivk, M. A Comprehensive Introduction to Differentil Geometry. Houston: Publish or Perish, [11] Kreyszig, E. Differentil Geometry. Toronto: University of Toronto Press, [12] Rudin, W. Principles of Mthemticl Anlysis. New York: McGrw-Hill,

47 [13] Sgn, H. Introduction to the Clculus of Vritions. New York: Dover Publictions,