Optioiden hinnoittelu Pohjoisella sähkömarkkinalla. Minna Kauria-Kojo Pro gradu-tutkielma Matematiikan ja tilastotieteen laitos Helsingin yliopisto

Transkriptio

1 Opioiden hinnoielu Pohjoisella sähkömarkkinalla Minna Kauria-Kojo Pro gradu-ukielma Maemaiikan ja ilasoieeen laios Helsingin yliopiso

2 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFORS UNIVERSITET UNIVERSITY OF HELSINKI Tiedekuna/Osaso Fakule/Sekion Faculy Laios Insiuion Deparmen Maemaais-luonnonieeellinen Tekijä Förfaare Auhor Minna Kauria-Kojo Työn nimi Arbees iel Tile Maemaiikan ja ilasoieeen laios Opioiden hinnoielu Pohjoisella sähkömarkkinalla Oppiaine Läroämne Subjec Maemaiikka Työn laji Arbees ar Level Aika Daum Monh and year Sivumäärä Sidoanal Number of pages Pro gradu -ukielma Joulukuu s. Tiiviselmä Refera Absrac Pohjoinen sähkömarkkina-alue, Nord Pool, oimii usein esimerkkinä sähkömarkkinasa, joka on säänelysä vapaa ja vasaa eorian näkökulmasa useia muia hyödykemarkkinoia, joissa hinna määräyyvä kysynnän ja arjonnan mukaan. Pohjoinen sähkömarkkina jaeaan fyysiseen markkinaan ja finanssimarkkinaan, joisa finanssimarkkinalla käydään kauppaa sähkön hinaan liiyvillä rahoiusinsrumeneilla. Noeerau insrumeni on lisau NASDAQ OMX Commodiies-markkinapaikalla. Tässä yössä keskiyään noeerauisa insrumeneisa opioiden hinnoieluun analyyisen meneelmien avulla. Vaihoehoinen lähesymisapa olisi voinu olla esimerkiksi numeerisen meneelmien käyö sähköopioiden hinnoielussa, mua numeerise meneelmä on rajau ämän yön ulkopuolelle. NASDAQ OMX Commodiies-markkinapaikalla opioiden alla olevina arvopapereina ova sähköfuuuri. Tässä yössä käydään läpi sähköfuuurien dynamiikan mallinaminen ja ämän jälkeen siirryään Meronin-Blackin-Scholesin mallin käyöön opioiden hinnoielussa. Opioiden hinnoielun yheydessä ullaan ekemään oleukse markkinoiden arbiraasivapaudesa ja äydellisyydesä, kun ajaellaan, eä fuuureja on saaavilla jokaiselle ajanhekelle. Tukielma on jaeu viieen lukuun seuraavasi. Ensimmäinen luku on johdano, jossa esiellään yön ausa, moivaaio, avoiee ja yön rajaus. Lisäksi käydään läpi ukielman rakenne iiviselmää arkemmin. Toisessa luvussa kuvaaan yleisesi Pohjoisa sähkömarkkinaa ja sen rakennea. Sähkön finanssimarkkinalla arjolla olevisa insrumeneisa forwardi, fuuuri, aluehinauoee ja opio esiellään ässä luvussa. Seuraavassa eli kolmannessa luvussa muodoseaan käsiysä johdannaisen hinnoielun ausalla olevasa eoreeisesa viiekehyksesä. Omiksi kappaleikseen on eriyey Brownin liike, Lèvyprosessi, Iôn kaava ja mian vaiho ja mian vaihoon liiyen eriyisesi Esscherin ja Girsanovin muunnos. Lisäksi kolmannessa luvussa käydään läpi eoreeinen markkina-aseelma. Neljäs luku esielee maemaaisen yökalujen käyöä Pohjoisella sähkömarkkinalla. Kyseisessä luvussa keskiyään fuuurisopimusen hinnan dynamiikkaan ja hinnoieluun ja ämän jälkeen siirryään opioiden hinnoieluun Meron-Black-Scholes-mallin avulla. Viimeinen eli viides luku on varau pohdinnalle. Avainsana Nyckelord Keywords Johdannaise, hinnan dynamiikka, hinnoielu, sähkömarkkina, Nord Pool, Meron-Black-Scholes Säilyyspaikka Förvaringssälle Where deposied Kumpulan iedekirjaso Muia ieoja Övriga uppgifer Addiional informaion

3 Sisälö 1 Johdano Tausa ja moivaaio Tavoiee ja yön rajaus Rakenne Pohjoinen sähkömarkkina Markkinan rakenne Fyysinen markkina Finanssimarkkina Finanssiuoee sähkömarkkinalla Sähköjohdannainen Spo-hina ja forwardi Fuuuri Aluehinauoee Opio Eurooppalainen opio Aasialainen opio Swing-opio Teoreeinen viiekehys Brownin liike Brownin liikkeen maringaaliominaisuus Markov-ominaisuus Lévy-prosessi Iôn kaava Mian vaiho Esscherin muunnos Girsanovin muunnos Teoreeinen markkina-aseelma

4 4 Maemaaise yökalu sähkömarkkinoilla Spo-hina ja fuuuri-sopimukse Hinnan dynamiikka Hinnoielu Opioiden hinnoielun eoriaa Meronin - Blackin - Scholesin malli Black76-malli Oso-opio fuuurille Hinnoielu käyännössä Pohdina 32 2

5 Luku 1 Johdano Tämän yön arkoiuksena on keroa Pohjoisen sähkömarkkinan rakeneesa ja johdannaisen hinnoielusa kyseisellä sähkömarkkinalla eorian näkökulmasa. Tämän yön pohjaieoina ova Helsingin yliopison finanssi- ja vakuuusmaemaiikan syvenävisä kursseisa eriyisesi Dario Gasbarran odennäköisyys- ja rahoiuseorian kurssi[11, 12]. Johdannaisisa keskiyään sähköopioiden hinnoieluun, joiden alla olevana arvopaperina ällä markkinalla ova sähköjohdannaisisa fuuuri. Pohjoinen markkina-alue oimii usein esimerkkinä sähkömarkkinasa, joka on säänelysä vapaa ja siiä syysä vasaa hyvin useia muia hyödykemarkkinoia, joissa hinna määräyyvä kysynnän ja arjonnan mukaan. Pohjoisa sähkömarkkinaa pideään yleisesi oimivana ja inegroiuneena. Fyysinen sähkö eroaa muisa hyödykkeisä eriyisesi puuuvan varasoinimahdollisuuden vuoksi. Tällä on vaikuusa sähkön hinnan suureen vaiheluun, jolloin sähköjohdannaisen hinnoielussa urvauduaan myös keskimääräisiin hinoihin. Merkiävin yksiäinen ekijä kysynnän kasvuun on ulkoilman lämpöila. 1.1 Tausa ja moivaaio Sähkö on nyky-yheiskunnassa välämäön hyödyke. Sähköön liiyvä infrasrukuuri ja sähkömarkkina muodosava monimukaisen syseemin, joa arviaan sähkön arjoamiseksi loppukäyäjille. Sähkömarkkina ova syseemisä se kriiinen osa, jossa suurin osa päiviäisesä sähkösä oseaan ja myydään. Pohjoismaa vapauiva oma kansallise sähkömarkkinansa säänelysä 1990-luvun alkupuolella. Säänelysä vapauuminen arkoii valiojohoisuuden häviämisä sähkö- 3

6 markkinoila ja vapaan kilpailun muodosumisa. Yheinen Pohjoismainen sähkömarkkina, Nord Pool, inegroiui lopullisesi vuonna 2000, kun Tanska liiyi siihen. Vuosina Viro, Lavia ja Lieua liiyivä osaksi Nord Poolia vapaueuaan kansallise sähkömarkkinansa ensin säänelysä.[18] Nykyään Nord Pool oimii markkinapaikkana Pohjoismaiden ja Balian lisäksi Iso Brianniassa ja Saksassa. Nord Poolia pideään usein esimerkkinä, mien säänelysä vapaa, oimiva ja inegroiu sähkömarkkina voidaan muodosaa [1]. Toisaala haaseiakin yhenäisyydessä on ja kuluajan näkökulmasa selvimmin se näkyy sähkön alueellisissa hinaeroissa Nord Poolin sisällä. Siirokapasieein rajoiuneisuus eri maiden välillä ja myös Nord Pooliin kuuluvien maiden sisällä muodosava eron niin kusuujen sähkön aluehinojen ja syseemihinnan välille. Loppukäyäjän eli osajan sijaini määriää osohinnan. Pohjoinen sähkömarkkina saa kriiikkiä alousieeen näkökulmasa, koska voidaan ajaella, eä markkina eivä ole yhenäise, jos hyödykkeelle ei löydy yhä hinaa [4]. Ero aluehinnoissa verrauna syseemihinaan eivä näy opioiden hinnoielun ja hinariskilä suojauumisen eoriassa, joa ässä yössä pääasiassa käsiellään mukaillen muun muassa Iivo Vehviläisen Pohjoisa sähkömarkkinaa käsielevän väiöskirjan arikkeleia [22, 23]. Hinaero on kuienkin seurausa Pohjoisen sähkömarkkinan osiaisesa epäyhenäisyydesä hinnan muodosuksessa ja hinaero näkyy eriyisesi Suomen sisämarkkinalla. Edellä mainiuisa syisä johuen aluehina-syseemihina-ilmiöä käsiellään lyhyesi myös ässä yössä. 1.2 Tavoiee ja yön rajaus Tässä yössä käydään läpi sähkömarkkinalla enien käyössä oleva rahoiusinsrumeni eli ermiini ja opio ja niiden eriyispiiree. Lisäksi esiellään karkeasi Nord Poolin rakennea. Työssä ullaan käsielemään johdannaisen ja pääasiassa opioiden hinnoielua Pohjoisella sähkömarkkinalla eriyisesi eorian näkökulmasa. Työssä rajoiuaan hinnoieluun, johon on löydeävissä analyyinen kaava. Numeerisia meneelmiä vaaiva hinnoielu on rajau ämän yön ulkopuolelle. Opioiden hinnoielussa Black - Scholes n kaava on oleellinen myös Pohjoisella sähkömarkkinalla, kuen usein muidenkin opioiden analyyisessa hinnoielussa. Tässä yössä oleeaan yleisimmä odennäköisyyslaskennan ja -eorian peruskäsiee unneuiksi. Esimerkiksi David Williamsin [26] ja Parick Billingsleyn [5] eoksisa voi haluessaan arkisaa ja palauaa mieleen odennäköisyyseorian määrielmiä. Lisäksi yleisesi on saaavilla Dario Gasbarran laaima luenomuisiinpano [11, 12] Helsingin yliopisossa luennoiaviin odennäköisyyseorian ja rahoiuseorian kursseihin, joka ova ollee ukemassa myös ää yöä. 4

7 Tämä yö pyrkii vasaamaan seuraaviin kysymyksiin: Mikä ova Nord Poolissa yleisimmin käyössä oleva rahousinsrumeni ja mikä ova niiden ominaispiiree? Mien opioia eoriassa hinnoiellaan, kun alla olevana arvopaperina on sähköfuuuri? 1.3 Rakenne Tämä yö koosuu neljäsä luvusa. Ensimmäinen luku on johdano, joka kerroaan aiheen ausasa, moivaaiosa, yön avoieesa ja aiheen rajauksesa. Toisessa luvussa esiellään Pohjoisen sähkömarkkinan eli Nord Poolin rakenne ja markkinan jakauuminen fyysiseen markkinaan ja finanssimarkkinaan. Samalla kerroaan avoimen kilpailun, hinnan aseamisen ja niin kusuun "yhden hinnan lain"oeuumisesa Nord Poolin alueella. Luvussa esiellään sähköfinanssimarkkinalla käyössä oleva uoee ja käydään läpi finanssiuoeiden ominaispiireiä. Opio ullaan jakamaan eurooppalaiseen, aasialaiseen ja swing-opioon, mua myöhemmin keskiyään ennen kaikkea eurooppalaisen opion hinnoieluun. Kolmannessa luvussa esiellään ämän yön pohjana oleva eoreeinen viiekehys. Kyseessä olevassa luvussa käydään läpi Brownin liike ja sen ominaisuuksisa maringaali- ja Markov-ominaisuus. Lisäksi esiellään Lévy-prosessi, Lévyn-Khinchinenkaava Lévy-prosessille, Iôn kaava ja mian vaihdossa mahdollisesi käyeävä Esscherin ja Girsanovin muunnos. Kolmannen luvun pääää kuvaus eoreeisesa markkinaaseelmasa Pohjoisella sähkömarkkinalla. Neljännessä luvussa esiellään arkemmin Pohjoisella sähkömarkkinalla hinnoielussa käyössä olevia maemaaisia yökaluja. Käydään läpi spo-hinnan ja fuuuri-sopimusen hinnan dynamiikka ja insrumenien hinnoielu. Luvussa perehdyään arkemmin eurooppalaisen opioiden hinnoieluun ja ullaan esiämään Meronin-Blackin-Scholesin-malli, Black76-malli ja oso-opio forwardille. Lisäksi ullaan esiämään eoreeisen lähesymisavan keskellä pelkisey käyännön esimerkki opioden hinnoielusa sähkömarkkinalla. 5

8 Luku 2 Pohjoinen sähkömarkkina 2.1 Markkinan rakenne Yheinen pohjoismainen sähkömarkkina sai alkunsa Norjasa, kun Nord Pool alkujaan peruseiin 1993 kaamaan koko Norja, jonka sisämarkkina jakauui pienempiin markkinaalueisiin. Tammikuussa vuonna 1996 Nord Pooliin liiyi Ruosi ja kesäkuussa vuonna 1998 perässä seurasi Suomi. Tanskasa Juland ja Funen liiyivä Nord Pooliin heinäkuussa luvulla Nord Pool on äydenyny Balian mailla ja pohjoismaalaise ja balialaise siiro-operaaori omisava Nord Poolin. Käyännössä sähkön "fyysinen markkina"(elspot) arjoaan Nord Poolin oimesa. [15] Nord Poolissa on fyysisen sähkön lisäksi arjolla finanssiuoeia, joilla ehdään myyni- ja ososopimuksia Fyysinen markkina Fyysisellä sähkömarkkinalla kohde-euuena on aina sähkö oisin sanoen sopimukse fyysisellä sähkömarkkinalla liiyvä sähkön oimiukseen. Fyysisen sähkömarkkinan ylläpiäjä on Nord Pool Spo AS ja fyysinen sähkömarkkina jakauuu ELBAS- ja ELSPOTmarkkinaan. ELSPOT-markkinalla voidaan ajaella sähkön spo-hinnan määräyyvän parhaan näkemyksen mukaan, koska käyännössä hina määräyyy kaikkien markkinaosapuolen näkemyksesä. Kaikki oimija oimiava myyni- ai osoarjouksensa edellisenä päivänä ieämää oisensa arjouksisa ja näiden ehyjen arjousen peruseella syseemihina määräyyy. Syseemihina määräään vuorokauden jokaiselle unnille ja ällä avoin määräyä syseemihinaa käyeään referenssihinana finanssimarkkinalla. Vuorokauden syseemihina muodosuu 24 unnin syseemihinojen keskiarvosa. Jos jäeäisiin huomioimaa siirokapasieein rajoiukse voiaisiin ajaella, eä yhden hinnan laki, jossa 6

9 kaikki osava sähkönsä syseemihinnalla, oeuuu Nord Pool Spoissa. Yhden hinnan lailla arkoieaan, eä riippumaa sijainnisa, kaikkien ulee voida osaa hyödyke samalla hinnalla. [6] Syseemihina määräään arjona- ja kysynäkäyrien leikkauspiseen peruseella. Kuienkin kysynnän kasvaessa esimerkiksi sään kylmeessä ei yhden hinnan laki enää välämää oeudu siirokapasieein aiheuaessa rajoieia sähkönsiirrolle ja ällöin jouduaan määräämään alueellise hinna. Tämä johaa siihen, eä ylikysynnän alueella syseemihinaa ei käyeä, vaan markkinahinana käyeään ällöin korkeampaa aluehinaa. ELBAS-markkina eroaa ELSPOT-markkinasa siinä, eä se oimii jälleenmyynimarkkinana ja siellä sähkö voidaan myydä useaan keraan. Nord Pool Spo AS:n omisaa Svenska Krafnä, Sane SF, Fingrid Oyj ja Energine.dk Finanssimarkkina Sähkön johdannaissopimuskauppa käydään finanssimarkkinalla. Johdannaissopimusen avulla markkinaoimija haluava suojauua sähkön spo-hinnan vaiheluia vasaan. NAS- DAQ OMX Commodiies ylläpiää johdannaismarkkinoia. Toisin sanoen sähköön liiyvä johdannaisuoee on noeerau NASDAQ OMX Commodiies-pörssissä. Kauppaa käydään fuuureilla, opioilla ja aluehinauoeilla, joka perusuva aluehinnan ja syseemihinnan eroon. Nord Poolin oimina-alueella sähkön hinaan liiyvää kauppaa käydään myös niin kusuuilla OTC-markkinoilla. OTC ulee sanoisa "over he couner"ja OTC-markkinoilla käydään kauppaa pörssin ulkopuolella. OTC-markkinoilla kaupankäyniin liiyy enemmän riskejä, koska oisin kuin pörssissä, OTC-markkinoilla esimerkiksi vasapuoliriskiä ei ole eliminoiu. Sähkökauppaan liiyy riskejä, joia vasaan muun muassa finanssiuoeilla haluaan suojauua. Sähkökauppaan liiyviä riskejä ova a) hinariski, johon liieään hinojen suuri vaihelu ja pääsöoikeuksien hina b) kysynäriski eli asiakkaiden sähkön käyön vaihelu, mihin vaikuaa enien sääila c) luooriski eli vasapuolen vakavaraisuus ja luookelpoisuus d) valuuariski, jolloin pohjoisilla sähkömarkkinoilla puhuaan esimerkiksi eurojen ja kruunujen välisesä kurssisa e) aluehinariski, johon vaikuaa siiroverkon pullonkaula, jolloin kysynnän kasvaessa jouduaan syseemihinnasa siirymään aluehinaan ja d) operaiivise riski, joia halliaan sähkön hankinnan ja myynnin suunnielulla ja oeuuksella. Tässä yössä keskiyään finanssiuoeisiin, joilla halliaan hinariskiä. 7

10 2.2 Finanssiuoee sähkömarkkinalla Tässä osassa käydään läpi sähkömarkkinoiden finanssiuoee pääpiireiäin. Finanssiuoeissa ullaan keskiyään perusinsrumeneihin, joia on noeerau NASDAQ OMX Commodiies-markkinapaikalla. NASDAQ OMX Commodiiesin arjoamia johdannaissopimuksia ova fuuuri, opio ja hinaerosopimukse, joka nykyään unneaan nimellä EPAD. Fuuuri ova opioiden alla olevina kohde-euuksina Nord Poolissa ja äsä syysä niiden perusrakenne ja dynamiikka on ärkeää käydä läpi, vaikka yössä ullaankin keskiymään opioiden hinnoieluun. Tässä yössä Vehviläisen apaan [22] ei ehdä maemaaisa eroa forwardien ja fuuurien välille. Teoriaosassa jäljempänä ullaan puhumaan forwardeisa Vehviläisen apaan. Tässä yössä kuienkin kuvaaan forwardien ja fuuurien välillä oleva käyännön ero. Insrumeneihin liiyvä kuvaukse ova osiain lainau Energiaeollisuuden inernesivuila [10], koska kirjoiajan mielesä ne oliva sivuilla kuvaavasi muooilu. 2.3 Sähköjohdannainen Sähköjohdannainen on "sopimus, jolla soviaan hina ieylle sähkömäärälle (uoeelle), (sähkö-)johdannaissopimus ieylle ajalle ulevaisuudessa. Sopimushinaa verraaa soviuun verailuhinaan (referenssihinaan), joka sähkömarkkinoilla on yleensä Nord Poolin Elspo- markkinoiden syseemihina ai aluehina. Mikäli verailuhina on sopimushinaa alhaisempi, osaja maksaa myyjälle sopimushinnan ja verailuhinnan välisen eron, ja vasaavasi jos verailuhina on sopimushinaa korkeampi, myyjä maksaa osajalle verailuhinnan ja sopimushinnan välisen eron. Johdannaissopimukseen ei välämää liiy fyysisä sähkön oimiusa." 2.4 Spo-hina ja forwardi Tässä yössä ei ehdä eroa maemaaisessa mielessä forwardeille ja fuuureille, mua niiden ero käyännössä uodaan ässä ja seuraavassa osiossa esille. Forwardi ova sioumuksia eli ermiinejä, joka velvoiava sekä osajaa eä myyjää. Toisin kuin opioissa, osaja siouuu osamaan ja myyjä myymään sopimuksen kohde-euuden soviuna ajankohana. NASDAQ OMX Commodiies-pörssissä noeerau forwardi ova kuukausi-, vuosikvaraali- ja vuosisopimuksia. Pisimmä sopimukse ulouva kymmenen vuoden päähän. 8

11 2.5 Fuuuri Fuuuri samoin, kuin forward, on sopimus ulevaisuudessa ehäväsä kaupasa. Energiaeollisuus [10] oeaa fuuureisa seuraavaa: "Fuuurien neoarvon iliys alkaa sopimuksen ekemisen jälkeen ja jakuu päiviäin sopimuksen oeuusajan loppuun. Toimiusaikana sopimukse neoaan päiviäin syseemihinaa vasaan oimiusviikko kerrallaan. NASDAQ OMX Commodiies noeeraa fuuurisopimuksina päivä- ja viikkosopimuksia"nasdaq OMX Commodies-pörssissä noeerauja fuuureja ova DS fuuuri, keskiarvofuuuri ja kuukausi DS fuuuri. Pörssissä noeerauihin fuuureihin voi uusua haluessaan arkemmin NASDAQ:n laaimissa iedoeissa [16]. 2.6 Aluehinauoee EPAD eli Elecriciy Price Area Difference on johdannainen, joa aiemmin kusuiin CfD-sopimukseksi. CfD ulee sanoisa Conrac for Diffenrence. EPAD-johdannaisen referenssihina on syseemihinnan ja ieyn aluehinnan välinen erous. EPAD-sopimuksilla suojauduaan aiemmassa kappaleessa mainiua aluehinariskiä vasaan. 2.7 Opio Tässä osiossa käydään läpi opiolajeisa eurooppalainen, aasialainen ja swing-opio. Termisön inuiiivinen arkaselu helpoaa kirjoiajan mielesä hinnoieluun liiyvän maemaiikan ymmärämisä. Eri opioyypeisä kerovissa osioissa on uou esille niihin liiyvä hinnoielukaava. Niiden ausaan ei ässä osiossa kuienkaan paneudua, vaan enemmän ieoa eurooppalaisen opioiden hinnoielun ausasa löyyy myöhemmin eksisä käsieläessä Meronin-Blackin-Scholesin hinnoielumallia Määrielmä ermeille on oeu Cvianicin ja Zapaeron eoksesa [8] sekä Cuhbersonin ja Nizschen eoksesa [7]. Yleisesi opiosopimus oikeuaa kohde-euuden myymiseen ai osamiseen soviuna ajankohana, mua erouksena esimerkiksi fuuureihin, opiosopimus ei velvoia opion halijaa. Opiosopimus velvoiaa sopimuksen myyjää. NASDAQ OMX Commodiiesin opio ova eurooppalaisia sähköopioia, joissa kohde-euuena ova aiemmin mainiu fuuuri/ds fuuuri. 9

12 2.7.1 Eurooppalainen opio Eurooppalaise opioksi kusuaan sopimusa, jossa opion halija voi myydä ai osaa sopimuksen kohde-euuden vain sopimukseen ennala määrieynä päivänä. Eurooppalainen opio siis eroaa niin kusuusa amerikkalaisesa opiossa, jossa oikeus kohde-euuden myynnisä ai ososa soviaan johonkin päivään saakka sopimuksen ekohekesä lähien. Päivää, jolloin opio on mahdollisa oeuaa, kusuaan maurieeiksi (eng. mauriy) ai eräänymispäiväksi. Ennala määrieyä hinaa, jolla opio voidaan oeuaa maurieeina, kusuaan lunasushinnaksi (eng. srike price) ai oeuushinnaksi (eng. exercise price). Jos oleeaan, eä S() kuvaa kohde-euuden, esimerkiksi fuuurin, hinaa hekellä ja K on ennala määriey lunasushina, niin ällöin eurooppalaisesa oso-opiosa saaava uoo maurieeina T voidaan muooilla (2.1) max[0, S(T ) K] = [S(T ) K] +. Toisin sanoen, jos kohde-euuden hina maurieeina T on suurempi kuin ennala soviu lunasushina K, niin opion halijan voio on suurempi kuin nolla ja jos aas soviu lunasushina on korkeampi kuin kohde-euuden hina hekellä T, niin voioa ei ule. Opion omisusoikeudesa ulee maksaa preemio opion myyjälle. Johdannaissopimusen yheydessä puhuaan lyhyesä posiiosa ja pikäsä posiiosa. Sopimusosapuolen, joka hyväksyy velvoieen osaa, sanoaan olevan pikässä posiiossa ja oisaala osapuolen, joka hyväksyy velvoieen myydä, sanoaan olevan lyhyessä posiiossa. Eurooppalaisen opioiden hinnoieluun ullaan paneuumaan arkemmin kappaleessa 4, "Maemaaise yökalu sähkömarkkinoilla" Aasialainen opio Aasialainen opio kuuluu niin kusuuihin eksooisiin opioihin ja sen oeuushina määräyyy erikseen soviun ajan noeerausen keskiarvosa. Seuraava määrielmä uoolle ja hinnalle seuraa Vehviläisen arikkelia [22]. Referenssihina aasialaiselle opiolla on arimeeinen keskiarvo spo-hinnoisa x ave 0 (T, ω) jollain ajanjaksolla T := [ 1, 2 ]. Aasialaisen oso-opion uoo lunasushinnalla K, maurieeina ajanhekellä 2 voidaan lausua (2.2) A o (, ω; T, K) := ( 2 1 ) max[x ave 0 (T, ω) K, 0]. 10

13 Tuoo aasialaiselle myyniopiolle on vasaavasi (2.3) A m (, ω; T, K) := ( 2 1 ) max[k x ave 0 (T ), 0]. Hina aasialaiselle oso-opiolle a o (; T, K) ajanjaksona T ja lunasushinnalla K määriellään (2.4) a o (; T, K) := ( 2 1 ) E[e r( 2 ) max[x ave 0 (T ) K, 0]], missä odousarvo mielleään markkinoiden odoukseksi arvon kehiymisesä. Vasaavasi myyniopion hina voidaan määriellä (2.5) a m (; T, K) := ( 2 1 ) E[e r( 2 ) max[k x ave 0 (T ), 0]] Swing-opio Vehviläisen [22] mukaan swing-opio oliva laajali käyössä aiemmin säännellyllä pohjoismaisella sähkömarkkinalla vasaamaan haaseisiin, joka muodosuiva kyvyömyydesä varasoida sähköä. Molemmissa, sähkön kysynnässä sekä uoanannossa, esiinyi vaihelevuua, mua ällä vaihelevuudella oli apana lievenyä ajan kuluessa. Swing-opio sähkömarkkinoilla anaa omisajalleen oikeuden käyää energiaa ieyyn rajaan asi ennala soviuun hinaan kiinnieyllä ajanjaksolla. Se saaaa myös sisälää velvoieen käyää vähinään iey määrää energiaa ennala soviuun hinaan saman ajanjakson kuluessa. Merkiään ajanhekellä käyössä olevan kokonaisenergian ylärajaa u(). Joukko U kuvasaa swing-opion omisajan mahdollisia sraegioia. U piää sisällään kaikki u() F, joka oeuava seuraava ehdo (2.6) E min ja 2 1 u()d E max (2.7) u min () u() u max (), [ 1, 2 ]. Swing-opion uoo lunasushinnalla K on (2.8) M(ω; T, K, u ) := kun käyeään sraegiaa u U. 2 1 u ()[x 0 (, ω) K]d, 11

14 Luku 3 Teoreeinen viiekehys Maemaiikan näkökulmasa finanssimarkkina voidaan jakaa seuraavasi mukaillen Cviavicia & Zapaeroa [8, s ]. Jos on löydeävissä riskineuraali odennäköisyysmia, niin markkina ova arbiraasivapaa ja ämä päee myös oiseen suunaan. Toisin sanoen, jos markkina ova arbiraasivapaa, niin silloin on olemassa vähinään yksi riskineuraali mia ja arbiraasin olemassa olo johaa siihen, eä riskineuraalia miaa ei ole. Arbiraasivapaa markkina voiva olla äydellise (eng. complee) ai epääydellise (eng. incomplee). Jos markkina ova äydellise, niin silloin on olemassa äsmälleen yksi riskineuraali mia ja yksi hina. Tämä on voimassa myös oiseen suunaan. Epääydellisillä markkinoilla on olemassa mona riskineuraalia miaa ja mona mahdollisuua arbiraasivapaalle hinnalle. Täydellisillä markkinoilla hinnoielussa on mahdollisa käyää odousarvoja laskeuna riskineuraalin odennäköisyysmian suheen. Riskineuraalisa odennäköisyysmiasa käyeään myös nimiysä ekvivaleni maringaalimia. Täydellisillä markkinoilla voidaan hinnoielussa käyää myös osiaisdiffereniaaliyhälöiä (PDE). Seuraavaksi paneuduaan edellä esiinyneisiin sijoiusoiminnan maemaiikan käsieisiin ja uodaan esille määrielmiä. Todennäköisyyslaskennan perusee oleeaan kuienkin unneuiksi. Määrielmä 3.1. Todennäköisyysavaruus on kolmikko (Ω, F, P), missä Ω on oosavaruus, F on σ-algebra joukossa Ω ja P : F [0, 1] on odennäköisyysmia. Määrielmä 3.2. Arbiraasiksi kusuaan ilannea, jossa V (0) = 0 ja porfolio voidaan valia sien, eä (3.3) P(V (1) 0) = 1, P(V (1) > 0) > 0. 12

15 Tässä V () on varallisuus hekellä N. Markkina ova arbiraasivapaa, jollei niillä ole arbiraasimahdollisuua. Nyrhinen [17] muooilee arbiraasivapauden seuraavasi: "Arbiraasimahdollisuus on ymmärreävissä sien, eä voidaan hankkia riskiömäsi mahdollisuus voioihin ilman alkuvarallisuua. Markkinoila vaadiaan yleisesi arbiraasivapaua." Lisäksi hän oeaa luenomoniseessaan, eä "Arbiraasivapausvaaimus on luonevimmillaan ehokkailla markkinoilla, jossa kysynää ja arjonaa on siksi paljon, eä yksiäisen oimijan kannala arpeellinen operoini on aina mahdollisa." Määrielmä 3.4. Olkoon P ja Q odennäköisyysmioja. Jos (3.5) P(A) > 0 Q(A) > 0, A F, niin mia P ja Q ova ekvivaleni. Määrielmä 3.6. Olkoo X 1, X 2,... jono saunnaismuuujia odennäköisyysavaruudella (Ω, F, P) ja olkoo jono F 1, F 2,... F. Jono {(X n, F n ) : n = 1, 2,...} on maringaali, jos seuraava neljä ehoa ova voimassa: (i) F n F n+1 ; (ii) X n on F n miallinen; (iii) E[ X n ] < ; (iv) P(E[X n+1 F n ] = X n ) = 1. Määrielmä 3.7. Olkoo D() diskonausekijä ja S i () arvopaperin i hina hekellä 0.Todennäköisyysmian Q sanoaan olevan riskineuraali, jos (i) mia Q ja alkuperäinen mia P ova ekvivaleni ja (ii) diskonau arvopaperin hina D()S i () on maringaali mian Q suheen. Seuraavaksi määriellään Radon-Nikodýmin derivaaa. Radon-Nikodýmin derivaaaa käyeään mian vaihdossa ja käsie ulee esiinymään ässäkin eksissa Girsanovin ja Esscherin muunnosen yheydessä. 13

16 Määrielmä 3.8. Olkoon (Ω, F, P) odennäköisyysavaruus. Olkoon Q P:n kanssa ekvivaleni odennäköisyysmia määrielynä (Ω, F ):lla. Olkoon Z melkein varmasi posiiivinen saunnaismuuuja, jolle päee (3.9) Q(A) = Z(ω)dP, kun A F. Tällöin saunnaismuuujaa Z sanoaan mian Q Radon-Nikodýmin derivaaaksi mian P suheen ja kirjoieaan (3.10) Z = dq dp. 3.1 Brownin liike A Tässä osiossa on määriely Brownin liike ja sen perusominaisuuksia, joka liiyvä olennaisesi opioiden hinnoieluun. Tarkemmin Brownin liikkeen ja muiden saunnaiskulkujen käyöön finanssimaemaiikassa voi perehyä esimerkiksi Shreven eoksessa [20]. Määrielmä Olkoon (Ω, F, P) odennäköisyysavaruus ja olkoon 0. Jokaiselle ω Ω on olemassa jakuva funkio W (), jolle W (0) = 0 ja joka riippuu ω:sa. W () on Brownin liike, jos kaikilla 0 = 0 < 1 <... < m lisäykse (3.12) W ( 1 ) = W ( 1 ) W ( 0 ), W ( 2 ) W ( 1 ),..., W ( m ) W ( m 1 ) ova riippumaomia ja jokainen näisä lisäyksisä on normaalisi jakauunu odousarvonaan (3.13) E[W ( i+1 ) W ( i )] = 0, ja varianssinaan (3.14) Var[W ( i+1 ) W ( i )] = i+1 i. Määrielmä Olkoon kolmikko (Ω, F, P) odennäköisyysavaruus, jossa on määriely Brownin liike W (), 0. Filraaio Brownin liikkeelle on kokoelma σ-algebroia F (), 0, joka oeuava seuraava ehdo: (i) Kun 0 s <, kaikki jouko σ-algebrassa F (s) ova myös σ-algebrassa F (). Toisin sanoen saaavilla olevan informaaion määrä hekellä on vähinään yhä paljon kuin aiemmin hekellä s. 14

17 (ii) Jokaisella 0 Brownin liike W () on F ()-miallinen. Toisin sanoen saaavilla oleva informaaio hekellä riiää määriämään Brownin liikkeen W () kyseisellä hekellä. (iii) Kun 0 < u, lisäys W (u) W () on riippumaon σ-algebrasa F (). Toisin sanoen kaikki lisäykse ajan heken jälkeen ova riippumaomia hekellä saaavilla olevasa informaaiosa Brownin liikkeen maringaaliominaisuus Seuraavaksi odiseaan väie Brownin liikkeen maringaaliominaisuudesa. Lause Brownin liike on maringaali. Todisus. Olkoon 0 s anneu. Silloin E[W () F (s)] = E[(W () W (s)) + W (s) F (s)] = E[W () W (s) F (s)] + E[W (s) F (s)] = E[W () W (s)] + W (s) = W (s) Markov-ominaisuus Lause Olkoo W (), 0, Brownin liike ja F (), 0, filraaio kyseiselle Brownin liikkeelle. Tällöin W () on Markovin prosessi. Todisus sivuueaan ässä, mua sen voi arkisaa esimerkiksi Shreven eoksesa [20, s ]. 3.2 Lévy-prosessi Määrielmä Prosessi W = {W () : 0} määrielynä odennäköisyysavaruudella (Ω, F, P) on Lévy-prosessi, jos sille päee seuraava ehdo: (i) Prosessin W polu ova oikeala jakuva ja niillä on vasemmanpuoleise raja-arvo P melkein varmasi, (ii) P(W (0) = 0) = 1, 15

18 (iii) Kaikilla 0 s lisäyksen W () W (s) jakauma vasaa W ( s):n jakaumaa, (iv) Kaikilla 0 s, W () W (s) on riippumaon σ-algebrasa F u, kun u s. Toisin sanoen oikeala jakuvaa prosessia W (), > 0, jolla on saionaarise riippumaoma lisäykse, kusuaan Lévy-prosessiksi. Näisä ehdoisa seuraa myös, eä Lévyprosessi on Markov-prosessi [3.1.2]. 3.3 Iôn kaava Iôn kaava unneaan sokasisena muuujanvaihokaavana. Kirjallisuudessa ää kaavaa kusuaan myös Iôn lemmaksi, mua ässä se esieään lauseena. Lause Olkoon f = f(, x) C 1,2 (R 2 ). Tällöin (3.20) df(, W ) = f (, W )d + f x (, W )dw f 2 x (, W )d 2 eli oisin sanoen inegraalimuodossa f(, W ) f(s, W s ) = 1 2 s s f (u, W u)du + 2 f x (u, W u)du. 2 s f x (u, W u)dw u Tässä esieävä odisus on esiey myös Soisen luenomoniseessa ja odisus perusuu Taylorin kehielmään. [21, s ] Todisus. Taylorin kehielmän mukaan (3.21) f( k, x k ) = f ( k 1, x k 1 ) k + f x ( k 1, x k 1 ) x k f 2 x ( k 1, x 2 k 1 )( x k ) 2 + r ( k ; x k, x k 1 ) k + r x ( x k ; k, k 1 )( x k ) 2, missä f( k, x k ) := f( k ) f( k 1, x k 1 ) ja oeaessa supremun kompakin joukon yli saadaan lim k 0 sup r ( k ; x k, x k 1 ) = 0, x k,x k 1 16

19 ja lim x k 0 sup r x ( x k ; k, k 1 ) = 0. k, k 1 Olkoon Π n välin [s, ] dyadinen jako (ks.[21, s. 114]. Tällöin saunnainen lisäys f voidaan kirjoiaa seuraavasi. (3.22) f(, W ) f(s, W s ) = k Π n f( k, W k ) Käyämällä Taylorin kehielmää (3.21) edellä esieyn eleskooppisarjan (3.22) jokaiseen ermiin saadaan yhälö (3.23) missä f(, W ) f(s, W s ) = k Π n f ( k 1, W k 1 ) k + f x ( k 1, W k 1 ) W k k Π n x ( k 1, W 2 k 1 )( W k ) 2 + R k, k 1, k Π n k Π n 2 f R k, k 1 = r ( k ; W k, W k 1 ) k + r x ( W k ; k, k 1 )( W k ) 2. Osoieaan, eä sarja R k, k 1 menee nollaan. W :n jakuvuudesa seuraa, eä se on rajoieu välillä [s, ]. Tällöin (3.24) r ( k ) := sup W k,w k 1 r ( k ; W k, W k 1 ) 0, kun n. Lisäksi W on asaisesi jakuva samalla välillä, joen (3.25) w n := sup k Π n W k 0, kun n. Edellä olevisa seuraa, eä (3.26) rx(w n ) := sup sup r x ( W k ; k, k 1 ) 0, W k k, k 1 17

20 kun n. Näin ollen saadaan (3.27) R k, k 1 r ( k ; W k, W k 1 ) k k Π n k Π n + r x ( W k ; k, k 1 ) ( W k ) 2 k Π n Jäännössumman häviäminen ja ulos (3.28) r ( k ) k + rx(w n )( W k ) 2 k Π n k Π n = r (2 n ( s)) k + rx(w n ) ( W k ) 2 k Π n k Π n = r (2 n ( s))( s) + rx(w n ) ( W n k ) 2. k Π n 2 f x ( k 1, W 2 k 1 )( W k ) 2 k Π n s 2 f x 2 (u, W u)du seuraava alunperin uloksesa, jonka peruseella välin [s, ] dyadiselle jaolle Π n seuraa melkein varmasi (3.29) lim ( W k ) 2 = s. n k Π n Edellinen ulos oeaan ässä anneuna, mua sen odius löyyy läheesä [21, s.117]. Lisäksi Riemannin inegraalin määrielmäsä seuraa (3.30) k Π n f ( k 1, W k 1 ) k Näin ollen alkuperäinen väie on odiseu. 3.4 Mian vaiho s f (u, W u)du. Kyvyömyys varasoida sähköä, johaa siihen, eei sähkön hinaprosessi välämää ole maringaali aiemmin määriellyn riskineuraalin mian Q suheen. Riskineuraali odennäköisyysmia määrieliin aiemmin eksissä kohdassa 3.7. Seuraavassa osiossa 3.5 ullaan määrielemään markkinamalli, jossa markkinoilla on vain yksi riskineuraaliodennäköisyysmia, joa vasaan hinnoielu apahuu. Ny kiinnieään huomio ilaneeseen, jossa 18

21 oleusa uniikisa riskineuraalisa miasa ei ole, mua riskineuraalien miojen joukkoa on yrieävä hallia. Seuraavaksi ullaan esielemään Girsanovin muunnos, joka soveluu käyeäväksi Brownin liikkeelle ja Girsanovin muunnosa yleisempi Esscherin muunnos, joka soveluu hyppyprosesseille. Tässä esiinyvä Radon-Nikodymin derivaaa on määriely aiemmin kohdassa Esscherin muunnos Finanssimaemaiikassa ja akuaariieeissä unneu Esscherin muunnos on yleisempi kuin jäljempänä oleva Girsanovin muunnos. Esscherin muunnos päee kaikille Lévy-prosesseille 3.2. Esscherin muunnos määriellään seuraavasi. Määrielmä Olkoon µ odennäköisyysmia. Esscherin muunnos määriellään (3.32) E h (µ) = ehx µ(dx) e hy dµ(dy). Esscherin muunnoksen määrielmän peruseella voidaan johaa seuraava ominaisuude: (i) Kombinaaio: Esscherin muunnos Esscherin muunnoksesa on edelleen Esscherin muunnos eli E h1 E h2 = E h1 +h 2. (ii) Inversio: Kääneinen Esscherin muunnos on Esscherin muunnos negaiivisella paramerilla eli E 1 h = E h. (iii) Normaalijakauuneen saunnaismuuujan jakaumassa Esscherin muunnos näkyy odousarvon siirymisenä eli Girsanovin muunnos E h (N(µ, σ 2 )) = N(µ + hσ 2, σ 2 ) Esieään Girsanovin muunnos ässä koskemaan yhä ulouvuua. Tulos useampi uloieiselle apaukselle odisuksineen löyyy esimerkiksi Shreven eoksesa [20]. 19

22 Lause Olkoon B(), 0 T, Brownin liike odennäköisyysavaruudella (Ω, F, P) ja olkoon F (), 0 T, Brownin liikkeen filraaio. Olkoon Θ(), 0 T, adapoiunu prosessi eli kaikilla ässä määriellyillä, Θ() on F -miallinen ja äyää ehdon [ { 1 T }] (3.34) E exp Θ 2 (u)du <. 2 0 Määriellään (3.35) Z() = exp ja { (3.36) B () = B() + 0 Θ(u)dB(u) Θ(u)du } Θ 2 (u)du Aseeaan Z = Z(T ). Tällöin E Z = 1 ja Radon-Nikodymin-derivaaalla 3.8 saadun odennäköisyysmian Q suheen prosessi B (), 0 T, on Brownin liike. Girsanovin uloksen odisus sivuueaan, mua sen voi arkisaa haluessaan läheesä [20, s ]. 3.5 Teoreeinen markkina-aseelma Oleeaan, eä markkinoilla on paljon oimijoia, jolloin markkinoiden ajaellaan olevan likvidi ja oisaala ajaellaan, eä jokainen arbiraasimahdollisuus käyeään ällöin hyväksi. Tässä aseelmassa ullaan ohiamaan veroisa ja kaupankäynnisä aiheuuva kusannukse. Lisäksi korkoaso oleeaan vakioksi. Invesoinien ekeminen ja rahan lainaaminen oleeaan myös mahdolliseksi. Vehviläinen [22] määrielee väiöskirjassaan yhä sähkömarkkina-aluea ja valuuaa koskevan markkinamallin seuraavasi. Malli on joukko jakuva-aikaisessa odennäköisyysavaruudessa (Ω, F, P) ajanjaksolla [0, τ]. Ω:lla arkoieaan kaikkien mahdollisen apahumien perusjoukkoa, F on σ- algebra ja P on σ-algebralla F määriely odennäköisyysmia. Arvopapereiden hina markkinalla seuraa (n + 1)-uloieisa Iô-prosessia x(, ω) : [0, τ] Ω R n+1, (3.37) x(, ω) := (x 0 (, ω), x 1 (, ω),..., x n (, ω)). Epävarmuua markkinalla kuvaaan m-uloieisella Brownin liikkeellä, 20

23 (3.38) B(, ω) : [0, τ] Ω R m. Sandardifilraaio F Ω:lla on jakuvan Brownin liikkeen generoima ja äydellinen odennäköisyysmian P suheen. Markkinahinna saadaan kaavoisa (3.39) dx i (, ω) = µ i (, ω)d + ja m σ ij (, ω)db j (), j=i 0 i < n (3.40) dx n () = rx n ()d, missä µ i (, ω) : [0, τ] Ω R on lokaali poikkeama x i (, ω):sa ja σ ij (, ω) : [0, τ] Ω R on lokaali volailieei, joka johuu Brownin liikkeen sokasisesa komponenisa j arvopaperissa i. Oleeaan, eä edellä mainiu funkio oeuava jakuvuuden suheen Lipschiz-ehdo. Mallissa arvopaperin n hina x n () edusaa riskiömän arvopaperin hinaa ja riippuu vain riskiömäsä korkoasosa, joen hina voidaan eukäeen määrää. Muiden arvopapereiden hinna x i (, ω), 0 i < n ova riippuvaisia Brownin liikkeesä ja ova näin ollen sokasisia. Arbiraasivapailla markkinoilla kaikkien arvopapereiden hinna on määräy johdonmukaisesi. Arbiraasivapailla ja äydelllisillä markkinoilla on olemassa yksikäsieinen ekvivaleni maringaalimia Q. Mian Q olemassa olo merkisee, eä x(, ω) normalisoiuna riskiömällä invesoiniprosessilla on maringaali mian Q suheen. Miaa Q kusuaan myös riskineuraaliksi miaksi. Markkinoiden odoukse arvopapereiden hinnoiksi laskeaan ää riskineuraalia miaa vasaan arbiraasivapailla markkinoilla. [19] 21

24 Luku 4 Maemaaise yökalu sähkömarkkinoilla Tässä luvussa käsiellään Pohjoisella sähkömarkkinalla saaavilla olevien johdannaisen hinojen dynamiikkaa ja hinnoielua. Vehviläisen mukaan kyvyömyys varasoida sähköä eroaa sähkömarkkinan muisa hyödykemarkkinoisa. Puuee sähkönuoannossa ai äkillinen ja voimakas kasvu kysynnässä aiheuava odoamaomia hyppyjä, piikkejä ja volailieeia sähkön spo-hinaan. Samalla ajanhekellä uoeulle niin sanoulle fyysiselle spo-sähkölle ei ole olemassa oisavaa salkkua. Toisavan salkun olemassa olo on perusana arbiraasivapaalle hinnoielulle finanssimarkkinoilla. Analyyisä yheyä spo-hinojen ja fuuuri-hinojen välillä ei ole ollu löydeävissä. [22] Epääydellise sähkömarkkina äydenneään oleamalla, eä jokaiselle ajanhekelle on olemassa avallinen fuuuri-sopimus ja ällä avoin markkinan voidaan ajaella olevan äydellinen. Olennainen osa ukimuksisa, joka koskeva johdannaisen hinnoielua sähkömarkkinoilla, ova perusunee kilpailulliseen asapainomalliin. Sähkön hinna ukimuksissa on yleisesi saau mallisa, jossa sähkön uoannon marginaalikusannukse yhdiseään oleeuun sähkönkuluukseen. [22] Tässä yössä keskiyään vain opioiden hinnoieluun olemassa olevien analyyisen kaavojen avulla. Työssä käsiellään vain opiosopimuksia, joiden alla olevana arvopaperina ova sähköforwardi ja -fuuuri. Tässä yössä käsielävä spo- ja fuuuri-hinojen dynamiika ähäävä opioiden hinnoielussa Meronin-Blackin-Scholesin mallin käyöön. Kappaleessa on käsiely Black76- hinnoielukaava ja lopussa on esiely myös numeerinen esimerkki sähköfuuurien osoopioiden hinnoille. 22

25 4.1 Spo-hina ja fuuuri-sopimukse Hinnan dynamiikka Fuuurien ja forwardien hinojen dynamiikkaa voiaisiin mallinaa käyäen esimerkiksi Heahin-Jarrow n-moronin meneelmää. Koekebakker ja Ollmar ukiva vuonna 2001 [14] korkomarkkinoiden ja sähköforward-markkinoiden samankalaisuuksia ja uliva siihen loppupääelmään, eä Heahin-Jarrow n-moronin malli seliää paremmin korkomarkkinoiden dynamiikkaa kuin sähkömarkkinoiden forwardien dynamiikkaa. Siiä syysä unneu forwardien yheydessä käyey malli on jäey äsä yösä pois. Tässä esieävä dynamiikka spo- ja forward-hinnoille on käyy läpi arkemmin Benhin ja Schmeckin arikkelissa [3], joka käsieli opioiden hinnoielua ja suojaamisa energiamarkkinoilla. Ny ullaan esiämään dynamiikkojen pääkohda. Kiinnieään äydellinen odennäköisyysavaruus (Ω, F, {F } 0, P) ja oleeaan, eä sähkön spo-hina seuraa kahden ekijän mallia seuraavasi (4.1) S() = Λ() exp(x() + Y ()). Muuuva ekijä X on drifau Brownin liike (4.2) dx() = µd + σdb(), missä B on Brownin liike ja µ, σ > 0 ova vakioia. Saionaarinen eli muuumaon ekijä Y saadaan Ornseinin-Uhlenbeckin dynamiikasa (4.3) dy () = βy ()d + dl(), missä L on puhdas hyppivä Lévy-prosessi Lévy-Khinchine-hajoelmalla (4.4) L() = z(ds, dz) + zn(d, dz), 0 z <1 ja β > 0 on vakio. Deerminisinen funkio Λ() : R + R + oleeaan jakuvaksi. Λ:n avulla malliin saadaan mukaan kausiaisa vaihelua, mikä on ominaisa sähkön hinnalle. 0 z Hinnoielu Koska sähkömarkkinoilla on havaiavissa voimakkaia hinapiikkejä Benh ja Schmeck [3] käyävä saionaarisen ekijän Y () mallinamiseen mieluummin yleisempää Lévy prosessia Brownin liikkeen sijaan. Mallissa L ja B oleeaan riippumaomiksi. 23

26 Lause 4.5. Fuuurin hina f(, T ) hekellä 0 ja oimiushekellä T on (4.6) f(, T ) = h(, T ) exp(x() + e β(t ) Y ()), missä (4.7) h(, T ) = Λ(T ) exp ( µ(t ) + 1 T ) 2 σ2 (T ) + φ(e β(t s) )ds. Todisus. Huomaaan aluksi käyämällä Iôn kaavaa hyppyprosessille, eä (4.8) X(T ) = X() + µ(t ) + σ(b(t ) B()), ja (4.9) Y (T ) = e β(t ) Y () + T e β(t s) dl(s). Seuraavaksi käyeään ieoa, eä X() ja Y () ova F -adapoiuneia, Lévy-prosessin lisäykse ova riippumaomia ja riippumaomuus vallisee myös B:n ja L:n välillä. Tällöin f(, T ) = Λ(T ) E [exp(x(t ) + Y (T )) F ] = Λ(T ) exp ( µ(t ) + X() + e β(t ) Y () ) E[exp(σ(B(T ) B())] [ ( T )] E exp e β(t s) dl(s) = h(, T ) exp ( X() + e β(t ) Y () ). Siis ässä esiey väie päee. Koska edellä on määriely hina fuuurille, niin yössä voidaan siiryä opioiden hinnoieluun. Opion alla olevana arvopaperina NASDAQ OMX Commodiies-pörssissä on fuuuri-sopimus, kuen aiemmin on odeu. 4.2 Opioiden hinnoielun eoriaa Meronin - Blackin - Scholesin malli Idea Brownin liikkeen käyämisesä osakemarkkinoiden mallinamisessa juonaa juurensa jo 1900-luvun alkuun ja ranskalaisen maemaaikon Louis Bachalierin ukimusyöhön. Bachalier oli huomaavasi aikaansa edellä ja alousieeilijä ja maemaaiko sivuuiva hänen ukimuksensa, kunnes 1950-luvulla Paul Samuelson esieli alousieeen kirjallisuudessa Brownin liikkeen. Samuelsonin oppilas Rober C. Meron kehii ja uki 24

27 finanssieoriaa eeenpäin ja 1970-luvun vaiheessa ja samaan aikaan Fischer Black ja Myron Scholes julkaisiva ukimuksen, joka käsieli Meronin kanssa samaa mallia. Meron, Black ja Scholes ansaisiva Nobelin alousieeen palkinnon vuonna 1997 äsä kuuluisasa mallisa, joka ässä yössä ny esiellään. Vapaasi suomenneuna Cvianic ja Zapaero oeava kirjassaan [8] seuraavaa. Meronin, Blackin ja Scholesin malli (lyhenneään jakossa MBSM) on yksinkeraisus odellisesa hinadynamiikasa ja malli on riiävän inuiiivinen sovelleavaksi käyännönilaneisiin. Sen kauneus, ja samaan aikaan sen haiapuoli, on siinä, eä malli vaaii vain vähän paramerejä perusarvopapereiden hinnan ja perusarvopapereiden johdannaisen hinojen mallinamiseen. Malli, joka vaaiva enemmän paramerejä vasaava paremmin reaalimaailman hisoriasa saaua daaa. Kuienkin miä enemmän paramerejä, siä epäarkempia uloksia saadaan paramerejä arvioiaessa ja siä monimukaisempia ova mallien analyyinen ja numeerinen ukiminen sekä malleihin liiyvä hinaprosessi. Vielä pahempaa on, eä paramerien lisäänyessä lisäänyy myös epävarmuus mallien soveluvuudesa ulevaisuuden ennusamiseen. Käyeäessä riiäväsi paramerejä voidaan malli soviaa vasaamaan miä ahansa hisoriasa saaua daaa ilman, eä kyseise malli oimisiva ollenkaan ulevaisuudessa ja mallinaisi odellisia, daan akana olevia prosesseja. MBSM:n diskreeiaikainen vasine on unneu Cox-Ross-Rubinseinin malli. Brownin liikkeen käyö MBSM:ssa juonaa juurensa oleuksesa saunnaiskulusa, joka oleaa hinojen muuumisen äysin saunnaiseksi ajan kuluessa. Seuraavaksi käydään läpi malli kahden arvopaperin apauksessa ja lopuksi esieään moniuloeinen versio MBS-mallisa. Aluksi oleeaan riskiömän arvopaperin B olemassa olo. Lisäksi oleeaan, eä seuraava päee B:n prosessille (4.10) db() = rb()d (4.11) B(0) = 1. Edellä olevassa r > 0 on vakiokorkoaso. Hekellä nolla yhden euron sijoiuksella saadaan hekellä (4.12) B() = e r. "Riskiömyys"seuraa siis siiä, eä yhälösä 4.10 puuuu kokonaan sokasinen komponeni eli siihen ei liiy Brownin liikeä. 25

28 Oleeaan, eä meillä on myös riskillinen arvopaperi. Arvopaperin hina S hekellä noudaaa MBSM:a: (4.13) ds() = µs()d + σs()dw () (4.14) S(0) = s. Jos vakio σ > 0 olisi lähellä nollaa, niin arvopaperin hina S käyäyyisi lähes kuin riskiömän arvopaperin apauksessa aiemmin. σ on mallin hajonaermi. Koska σ: a käyeään arvopaperin riskillisyyden miana, niin siä kusuaan myös arvopaperin volailieeiksi. Yhälön 4.13 ja sokasisen inegraalin ominaisuuksien peruseella voidaan kirjoiaa formaalisi yhälö ( ) ds (4.15) σ 2 d = V ar. S µ edusaa odoeua uooasoa. Jos ajaellaan, eä ds/s on suheellinen uoo lyhyellä ajanjaksolla, niin voidaan formaalisi kirjoiaa (4.16) µd = E(dS/S). Eksplisiiiseksi kaavaksi hinnalle S() saadaan (4.17) S() = S(0)exp(σW () + (µ 1 2 σ2 )). Saunnaismuuuja S():n jakauma on lognormaalinen ja sanoaan, eä hinaprosessi seuraa geomerisa Brownin liikeä. Moniuloieisessa apauksessa, missä oleeaan olevan N kappalea arvopapereia ja d kappalea Brownin liikeä, arvopaperi voidaan mallinaa seuraavasi. (4.18) ds i () = µ i S()d + Σ d j=1σ ij S i ()dw j (), missä i = 1,..., N ja j = 1,..., d. Yhälössä esiinyvää σ-ermiä kusuaan volailieeimariisiksi. Eriyisesi sähkömarkkinoilla käyössä oleva Black76-malli on yksi variaaio Meronin- Blackin-Scholesin opioiden hinnoielumallisa. Käydään sen eriyispiiree läpi seuraavassa. 26

29 4.2.2 Black76-malli Oleeaan, eä on olemassa eurooppalainen oso-opio fuuuri-sopimukselle. Oso-opion eräpäiväksi oleeaan ajanheki T ja lunasushina oso-opiolle on K. Fuuuri-sopimuksen oimiusaika on ajanheki τ T. Eräpäivänä T opion arvoksi ulee (f(t, τ) K) +. Oleeaan riskineuraalin odennäköisyysmian Q olemassa olo ja fuuuri-sopimukselle Brownin liikkeen mukainen dynamiikka (4.19) df(, τ) f(, τ) = σ j(, τ)db(), missä Brownin liike B on riippumaon mian Q suheen. Lause (Black76, B 76 ) Edellä mainiuin oleuksin hekellä T oso-opion hina on (4.21) c(, T ; τ, f(, τ)) = e r(t ) (f(, τ)φ(d 1 ) KΦ(d 2 )), missä Φ on sandardinormaalisi jakauuneen saunnaismuuujan kerymäfunkio, m T (4.22) d 1 = d 2 + σj 2 (s, τ)ds, ja j=1 (4.23) d 2 = ln(f(, τ)/k) 1 2 j=1 T m T j=1 σj 2 (s, τ)ds σj 2 (s, τ)ds Todisus. Olkoon p = 1. Ny kyseessä on prosessi, joka ei sisällä hyppyjä, joen saadaan (4.24) ln f(t, ) = ln f(, τ) 1 T T σ 2 (u, τ)du + X σ 2 2 (u, τ)du, missä X on N(0, 1)-jakauunu saunnaismuuuja. Koska opioiden hina määräyyy yleisesi uoon odousarvona riskineuaalin odennäköisyysmian suheen, niin (4.25) C(, T ; τ, f(, τ)) = e r(t ) E [ (f(t, τ) K) + ] F = e r(t ) E exp ln f(, τ) 1 2 T + T σ 2 (u, τ)du + X σ 2 (u, τ)du K. 27

30 Huomaaan, eä hina on posiiivinen vain silloin, kun X d 2. Laskeaan edellisessä lausekkeessa 4.25 esiinyny odousarvo seuraavaksi: (4.26) d2 exp ln f(, τ) 1 2 d2 d2 = f(, τ) KΦ(d 2 ) d2 = f(, τ) T K 1 2π e x2 2 dx exp T σ 2 1 (u, τ)du + x σ 2 (u, τ)du e x2 2 dx 2π T 1 exp 2π d1 1 = f(, τ) e s2 2 ds KΦ(d2 ) 2π = f(, τ)φ(d 1 ) KΦ(d 2 ). σ 2 T (u, τ)du + 2x σ 2 (u, τ)du x 2 2 ( T x σ 2 (u, τ)du Ny on siis osoieu, eä esiey ulos opion hinnalle päee Oso-opio fuuurille 2 ) 2 dx KΦ(d 2 ) 1 2π dx Seuraavaksi käydään läpi ulos, joka määrielee hinnan fuuurin oso-opiolle. Tuloksen odisuksessa ullaan osoiamaan, eä hina lähesyy Black76-mallin avulla saaua hinaa 4.21, kun oimiusaika T. 28

31 Lause Oso-opion hina fuuurille, joka on hinnoielu kohdan 4.5 mukaan, on (4.28) C(, τ, T, x) [ { τ τ } ( τ ))] = x E exp e β(t s) dl(s) φ(e β(t s) )ds Φ (d 1 x, e β(t s) dl(s) [ ( τ ))] K E Φ (d 2 x, e β(t s) dl(s), missä φ(x) on L(1):n logariminen momeni generoiva funkio, joka unneaan myös nimellä kumulani generoiva funkio. Lisäksi lausekkeessa 4.28 (4.29) d 1 (x, v) = d 2 (x, v) + σ τ ja (4.30) d 2 (x, v) = ln( x ) + v τ φ(e β(t s) )ds 1 K 2 σ2 (τ ) σ. τ Todisus. Lauseen 4.5 peruseella saamme (4.31) f(τ, T ) = h(τ, T ) exp { X(τ) + e β(t τ) Y (τ) } Huomaaan, eä = f(, T ) h(τ, T ) h(, T ) exp { X(τ) X() + e β(t τ) Y (τ) e β(t ) Y () }. ja Edelleen Sien (4.32) e β(t τ) Y (τ) = e β(t ) Y () + β(t s) e dl(s) X(τ) X() = µ(τ ) + σ(b(τ) B()). { h(τ, T ) h(, T ) eµ(τ ) = exp 1 τ } 2 σ2 (τ ) φ(e β(t s) )ds. { f(τ, T ) = f(, T ) exp σ(b(τ) B()) 1 } 2 σ2 (τ ) { τ τ } exp e β(t s) dl(s) φ(e β(t s) )ds. 29

32 Määriellään saunnaismuuuja Z(x) seuraavasi { τ (4.33) Z(x) = x exp e β(t s) dl(s) τ } φ(e β(t s) )ds. Koska L on riippumaon B:sä, niin edellisessä kohdassa 4.33 määriely Z(x) on riippumaon lisäyksesä B(τ) B(). Ehdollisamalla saadaan (4.34) C(, τ, T, x) = E[max(f(τ, T ) K, 0) x = f(, T )] [ [ ( { = E E max Z(x) exp σ(b(τ) B()) 1 } 2 σ2 (τ ) ) ]] K, 0 Z(x). Sisempi odousarvo edellisesä lausekkeesa 4.34 voidaan laskea käyämällä aiemmin esieyä Black76-kaavaa 4.20, missä Z(x) vasaa muuujaa x. Sien on osoieu, eä ulos päee Hinnoielu käyännössä Tässä osiossa käydään läpi käyännön hinnoieluesimerkki. Käyännön hinnoielusa ja ämän esimerkin ausoisa voi ämän yön edellisen osioiden lisäksi lukea esimerkiksi Audein, Heiskasen, Kepon ja Vehviläisen arikkelisa [2]. Muisueaan, eä mone sähkömarkkinoiden opioisa ova eurooppalaisia opioia, joka oikeuava myymään ai osamaan forwardeja ai fuuureja ennala määrieynä ajankohana. Deerminisisen volailieein apauksessa Black-76-mallissa käyeään keskiarvoa opion elinajala. Siiä syysä fuuurien oso-opion hinnalle voidaan käyää aimmin esielyä ulosa Vasaavasi myyniopiolle voidaan kirjoiaa hina (4.35) p(, T ; τ, f(, τ)) = e r(t ) (KΦ( d 2 ) f(, τ)φ( d 1 )), missä T on opion maurieei, f on opion koheena olevan fuuurien hina, K on ennala soviu lunasushina, τ on fuuurin maurieei, on nykyheki ja Φ on normaalijakauman kerymäfunkio. Lisäksi ny määriellään kirjoiajan mielesä havainnollisemmin (4.36) d 1 = ja ln ( f(,τ) K ) ˆσ2 (, T, τ)(t ) ˆσ(, T, τ) T (4.37) d 2 = d 1 ˆσ(, T, τ) T, 30

33 missä ˆσ(, T, τ) on keskimääräinen volailieei fuuurin hinnalle f(., τ) ajalla T. Haase Black-76-mallin käyössä on löyää oikea keskimääräinen volailieei, kun maurieei on eri. Oleeaan, kuen arikkelissa [2], eä sähkön hinna ova lognormaalisi jakauunee eli ( (4.38) log(f(τ, τ)) log(f(, τ)) φ 1 2 ˆσ2 (τ ), ˆσ ) τ, missä φ on normaalijakauma odousarvolla 1 2 ˆσ2 (τ ) ja keskihajonnalla ˆσ τ. Tässä mallissa käyeään deerminisisä volailieeikäyrää, joen keskimääräiseksi volailieeiksi forwardin hinnalle ajanjaksolla τ saadaan (4.39) missä β > 0 on vakio. ˆσ(, T, τ) = σ2 (τ) T = σ2 (τ) 2β(T ) e 2βy dy T ( e 2β e ) 2βT, Volailieeiparameriksi β oliva Aude ym. arikkelissa [2, s. 9-11] arvioinee vuonna 1999 β = 2, 31 keskihajonnalla 0, 25, vuonna 2000 β = 6, 06 keskihajonnalla 0, 32 ja vuonna 2001 β = 3, 67 keskihajonnalla 0, 19. Näiden paramerien avulla laskeiin keskiarvoksi β = 4, 02, joa myös laskussa käyeään. Volailieei varioi vuoden aikana ja myös vuosiain. Yleensä forward- ja fuuurisopimusen volailieei pohjoisilla sähkömarkkinoilla on kesällä korkealla ja alvella maalalla johuen vesivarannoisa. Kesällä varanno ova yleensä vähissä ja siiä syysä piene muuokse kysynnässä voiva aiheuaa muuoksia sähkön uoanoavassa, mikä heijasuu sähkön uoannon rajakusannuksiin. Toisaala alvella käyeään yleensä paljon lauhdeveä vesivoiman uoannossa ja äsä syysä muuokse kysynnässä eivä aiheua suuria muuoksia sähkön uoannon rajakusannuksiin. Siä kaua myös alviajan volailieei on yleensä alhaisempi. Tässä esimerkissä voidaan valia riskiömäksi koroksi esimerkiksi 0, 05 oamaa kanaa, onko valiu riskiön korko änä päivänä arkaseluna liian korkea. Kun kaikki käyeävä parameri ova määriey, niin käyämällä kaavaa 4.21 voiaisiin ny laskea hina fuuurin oso-opiolle. Käyännössä fuuurien dynamiikkaa mallinneaan käyäen äärellisä määrää forwardkäyrän piseiä. Hyöynä ässä lähesymisavassa on, eä on helpompi analysoida yksiäisiä piseiä kuin koko käyrää. Toisaala meneeään piseiden välillä oleva informaaio. [14, 2] 31

34 Luku 5 Pohdina Yleisesi sähkömarkkina mallinneaan epääydellisinä ja suurimpana erona muiden hyödykkeiden markkinoille on kyvyömyys varasoida sähköä. Tässä yössä keskiyin opioiden hinnoieluun Pohjoisella sähkömarkkinalla. NASDAQ OMX Commodiies-markkinapaikalla opioiden alla olevana kohde-euuena ova fuuuri. Tässä apauksessa voiiin ehdä markkinoiden äydellisyysoleus opioiden hinnoielussa, koska fuuureja voidaan oleaa olevan saaavissa kaikille ajanhekille. Sähköopioiden hinnoielussa päädyiin käyämään yleisesi Blackin-Scholesin-Meronin mallia. Tämä yö pohjasi analyyisen meneelmien käyöön arvopapereiden hinnoielussa Pohjoisella sähkömarkkinalla. Vaihoehoisesi olisin voinu valia lähesymisavaksi numeerisen meneelmien käyön. Numeerisen meneelmien ja yleisesi hinnoieluperiaaeiden käyöön lukija voi uusua esimerkiksi Valeria Volpen loppuvuodesa 2009 hyväksyyssä väiöskirjassa "The Elecriciy price modelling and derivaives pricing in he Nord Pool marke"[25]. 32

35 Kirjallisuua [1] Amundsen, E. & Bergman, L: Why has he Nordic Elecriciy Marke Worked so Well?. Uiliies Policy Vol 14, sivu [2] Aude,N., Heiskanen, P., Keppo, J. & Vehviläinen, I.: Modelling of Elecriciy Forward Curve, The College of Informaion Sciences and Technology Dynamics, hp://cieseerx.is.psu.edu/viewdoc/download?doi= &rep=rep1&ype =pdf. [3] Benh, F.E. & Schmeck, M.D.: Pricing and Hedging Opions in Energy Markes by Black-76, Universiy of Oslo, 2012 [4] Bergman, L: European Elecriciy Marke Inegraion: The Nordic Experiences. Research Symposium European Elecriciy Markes. The Hague, [5] Billingsley, Parick: Probabiliy and Measure, 4. painos, John Wiley & Sons, [6] Bodie, Z., Kane, A., & Marcus, A. J.: Invesmens, 8. painos, The McGrow-Hill, Singapore, [7] Cuhberson, K. & Nizsche, D.: Financial Engineering: Derivaives and Risk Managemen, John Wiley & Sons, Chicheser, [8] Cvianic, J. & Zapaero, F.: Inroducion o he Economics and Mahemaics of Financial Markes, The MIT Press, [9] Duffie, D: Dynamic Asse Pricing Theory, 2. painos, Princeon Universiy Press, [10] Energiaeollisuus: Sähköpörssin ammaisanaso, hp://energia.fi/sahkomarkkina/ukkumarkkina/sahkoporssin-ammaisanaso, lueu [11] Gasbarra, Dario: Rahoiuseoria, luenomuisiinpano, Helsingin yliopiso,