Johda jakauman momenttiemäfunktio ja sen avulla jakauman odotusarvo ja varianssi.

Transkriptio

1 / Raaisu Aihee: Avaisaa: Momeiemäfuio Sauaismuuujie muuose ja iide jaauma Kovergessiäsiee ja raja-arvolausee Biomijaauma, Espoeijaauma, Geomerie jaauma, Jaaumaovergessi, Jauva asaie jaauma, Kolmiojaauma, Kovergessiäsiee, Masimi, Miimi, Momei, Momeiemäfuio, Muuos, Odousarvo, Poisso-jaauma, Soasie overgessi, Summa jaauma, Variassi 6.. Geomerise jaauma Geom(p) piseodeäöisyysfuio o x f( x) Pr( x) q p,< p<, q p, x,,3, Johda jaauma momeiemäfuio ja se avulla jaauma odousarvo ja variassi. Sauaismuuuja oudaaa geomerisa jaaumaa Geom(p), jos se piseodeäöisyysfuio o muooa x f( x) Pr( x) q p,< p<, q p, x,,3, Sauaismuuuja momeiemäfuio o x m () E( e ) e f( x) x x x e pq x x x pe e q pe x x pe qe ( qe ) x Sauaismuuuja. origomomei α E( ) saadaa määräämällä momeiemäfuio m (). derivaaa piseessä : dm() α E( ),,,3, d Ila Melli (4) /8

2 Geomerise jaauma asi esimmäisä origomomeia ova dm () α E( ) d p ja α pe ( qe ) pe ( qe ) ( qe ) pe ( qe ) dm E( ) () d pe qe pe qe qe 4 ( qe ) ( ) ( )( ) pe ( + qe ) 3 ( qe ) + q p Sie geomerise jaauma odousarvo o µ E( ) α p ja variassi o σ Var( ) E[( µ ) ] E( ) µ α α + q p p q p Ila Melli (4) /8

3 6.. Poisso-jaauma Poisso(λ) piseodeäöisyysfuio o x e λ λ f( x) Pr( x), λ >, x,,, x! Johda jaauma momeiemäfuio ja se avulla jaauma odousarvo ja variassi. Sauaismuuuja oudaaa Poisso-jaaumaa Poisso(λ), jos se piseodeäöisyysfuio o muooa x e λ λ f( x) Pr( x), λ >, x,,, x! Sauaismuuuja momeiemäfuio o x m () E( e ) e f( x) x x e e e e x λ x e λ λ λ ( e ) λ x e λ x! e ( λe ) x! x Sauaismuuuja. origomomei α E( ) saadaa määräämällä momeiemäfuio m (). derivaaa piseessä : dm() α E( ),,,3, d Poisso-jaauma asi esimmäisä origomomeia ova ja dm () α E( ) d α e λ e λ λ ( e ) λe + λ ( e ) dm E( ) () d + λ ( e ) λe ( + λe ) λ + λ Ila Melli (4) 3/8

4 Sie Poisso-jaauma odousarvo o µ E( ) α λ ja variassi o σ Var( ) E[( µ ) ] E( ) µ α α λ + λ λ λ 6.3. Jauva asaise jaauma Uiform(a, b) iheysfuio o f ( x), a b a x b Johda jaauma momeiemäfuio ja se avulla jaauma odousarvo ja variassi. Sauaismuuuja oudaaa jauvaa asaisa jaaumaa Uiform(a, b), jos se iheysfuio o muooa f ( x), a b a x b Sauaismuuuja momeiemäfuio o x m () E( e ) e f( x) + b a e x b a x e b a b a e e b ( a) b a Sauaismuuuja. origomomei α E( ) saadaa määräämällä momeiemäfuio m (). derivaaa piseessä : dm() α E( ),,,3, d Ila Melli (4) 4/8

5 Jauva asaise jaauma asi esimmäisä origomomeia ova ja dm () α E( ) d b a b a ( be ae ) ( b a) ( e e )( b a) ( b a) b a b a ( be ae ) ( e e ) ( b a) a+ b α dm E( ) () d + 4 ( b a) b a b a b a [( b e a e ) ( be ae ) ( be ae )] ( b a) b a b a b a ( be ae ) ( be ae ) ( e e ) 3 ( b a) a + ab+ b 3 Sie jauva asaise jaauma odousarvo o a+ b µ E( ) α ja variassi o σ Var( ) E[( µ ) ] E( ) µ α α b a b a [( be ae ) ( e e )] ( b a) 4 ( b a) + a ab b a b ( b a) Ila Melli (4) 5/8

6 6.4. Espoeijaauma Exp(λ) iheysfuio o λx f( x) λe, λ >, x Johda jaauma momeiemäfuio ja se avulla jaauma odousarvo ja variassi. Sauaismuuuja oudaaa espoeijaaumaa Exp(λ), jos se iheysfuio o muooa λx f( x) λe, λ >, x Sauaismuuuja momeiemäfuio o () E( x m e ) e f( x) + x λx e e λ e λ ( λ ) x ( λ ) x e λ λ λ λ Sauaismuuuja. origomomei α E( ) saadaa määräämällä momeiemäfuio m (). derivaaa piseessä : dm() α E( ),,,3, d Espoeijaauma asi esimmäisä origomomeia ova ja dm () α E( ) d λ ( λ ) λ Ila Melli (4) 6/8

7 α dm E( ) () d λ ( λ ) 3 λ Sie jauva asaise jaauma odousarvo o a+ b µ E( ) α ja variassi o σ Var( ) E[( µ ) ] E( ) µ α α λ λ λ 6.5. Jauva asaise jaauma Uiform(,) iheysfuio o f ( x), x Oleeaa, eä sauaismuuuja ja Y ova riippumaomia ja ~ Uiform(,) Y ~ Uiform(,) Määrää sauaismuuuja U + Y iheysfuio. Oloo, Y riippumaomia sauaismuuujia, joide iheysfuio ova f (x), f Y (y) Ila Melli (4) 7/8

8 Tällöi summa iheysfuio o U + Y + f ( u) f ( u x) f ( x) U Y Tämä ähdää seuraavalla avalla: Kosa sauaismuuuja ja Y ova riippumaomia, iide yheisjaauma iheysfuio f Y (x, y) voidaa esiää sauaismuuujie ja Y iheysfuioide uloa: Oloo f ( xy, ) f ( xf ) ( y) Y Y U + Y V Muodoseaa sauaismuuujie U ja V yheisjaauma. Tarasellaa sisi muuosa ( ) u x+ y v x joa ääeismuuos o y u v x v Muuose ( ) Jacobi deermiai o ( uv, ) u v u v ( x, y) x y y x Sie sauaismuuujie U ja V yheisjaauma iheysfuio o ( uv, ) fuv ( u, v) fy ( x, y) ( x, y) f ( x) f ( y) f () v f ( u v) Y Y Ila Melli (4) 8/8

9 Summamuuuja U + Y iheysfuio saadaa sauaismuuujie U ja V yheisjaauma iheysfuio lauseeesa sauaismuuuja U reuajaauma iheysfuioa: + + f ( u) f ( u, v) dv f ( v) f ( u v) dv U UV Y + f ( x) f ( u x) Y Ny joe Oloo ~ Uiform(,) Y ~ Uiform(,) f ( x), x f ( y), y Y U + Y V O selvää, eä summa U + Y voi saada arvoja vai välillä [, ]. Sauaismuuujie U ja V yheisjaauma iheysfuio o f ( uv, ) f ( v) f ( u v), v x, u x+ y, x, y UV Y u Sauaismuuujie U ja V yheisjaauma iheysfuio saa siis arvo ysi yo. uvio vioeliössä ja arvo olla muualla. Summa U + Y iheysfuio o v + f ( u) f ( u x) f ( x) U Y u u Tämä seuraa siiä, eä f f ( u x) Y ( x) u < u x< miä o yhäpiävää se assa, eä u < x< u Ila Melli (4) 9/8

10 Tiheysfuio lauseeesi saadaa välillä < u < : u u f ( u) f ( x) x U u [ ] u u Tiheysfuio lauseeesi saadaa välillä < u < : Sie summamuuuja u [ ] f ( u) f ( x) x u + U u u u U + Y iheysfuio o muooa f U u, u ( u) u +, u Sauaismuuuja U + Y jaauma o eräs olmiojaaumisa. Se iheysfuio uvaaja o oiealla. f (x) x 6.6. Biomijaauma Bi(, p) piseodeäöisyysfuio o x x f ( x) Pr( x) p q, < p<, q p, x,,,, x ja se momeiemäfuio o m () ( q+ pe ) Oleeaa, eä sauaismuuuja ja ova riippumaomia ja ~ Bi(, p) ~ Bi(, p) Määrää sauaismuuuja jaauma. + Oloo, riippumaomia sauaismuuujia, joide momeiemäfuio ova m (), m () Ila Melli (4) /8

11 Tällöi summa + momeiemäfuio o sauaismuuujie ja momeiemäfuioide ulo: m () m ()m () Kosa ~ Bi(, p) ~ Bi(, p) ii m () ( q+ pe ) m () ( q+ pe ) Sie summa + momeiemäfuio o m () m () m () ( q+ pe ) ( q+ pe ) ( q+ pe ) + Kosa m () o biomijaauma Bi( +, p) momeiemäfuio, voimme pääellä, eä + ~ Bi( +, p) 6.7. Jauva asaise jaauma Uiform(,) iheysfuio o f ( x), x Oleeaa, eä sauaismuuuja ja ova riippumaomia ja ~ Uiform(,) Y ~ Uiform(,) Oloo () mi{, } Määrää sauaismuuuja () iheysfuio. Oloo sauaismuuuja ja riippumaomia ja i ~ Uiform(,), i, Tällöi iide yheie iheysfuio o muooa, x f( x), muulloi Ila Melli (4) /8

12 ja yheie erymäfuio o muooa, x < F( x) x, x, x > Sauaismuuuja () mi{, } iheysfuio o f ( x ) [ F ( x )] f ( x ) ( x ), x () 6.8. Jauva asaise jaauma Uiform(,) iheysfuio o f ( x), x Oleeaa, eä sauaismuuuja ja ova riippumaomia ja ~ Uiform(,) Y ~ Uiform(,) Oloo () max{, } Määrää sauaismuuuja () iheysfuio. Oloo sauaismuuuja ja riippumaomia ja i ~ Uiform(,), i, Tällöi iide yheie iheysfuio o muooa, x f( x), muulloi ja yheie erymäfuio o muooa, x < F( x) x, x, x > Sauaismuuuja () max{, } iheysfuio o f ( x ) [ F ( x )] f ( x ) x, x () f () (x) f () (x) Ila Melli (4) /8

13 6.9. Oloo,, 3, joo riippumaomia sauaismuuujia, joilla o aiilla sama iheysfuio Oloo, < x < θ f( x) θ, muulloi () max{,,, } Todisa, eä sauaismuuujie (), (), (3), muodosama joo overgoi jaaumalaa ohi sauaismuuujaa, joa erymäfuio o, x < θ Gx ( ), x θ Riippumaomie sauaismuuujie,, 3, yheie iheysfuio o muooa, < x < θ f( x) θ, muulloi Kosa välillä < x < θ päee x x d [] x θ θ θ sauaismuuujie,, 3, yheie erymäfuio o muooa, x F( x) x,< x< θ θ, θ x Oloo () max{,,, } Ila Melli (4) 3/8

14 Sauaismuuuja () iheysfuio o u < x < θ ja muulloi. f x F x f x ( ) ( ) [ ( )] ( ) x θ x θ f ( ) ( ) x θ Sauaismuuuja () erymäfuio o Jos ii, x < x F( ) ( x), x< θ θ, θ x, x < θ F( ) ( x) G( x), θ x jossa G(x) o disreei jaauma erymäfuio., x θ gx ( ) Pr( x), muulloi Sie sauaismuuujie (), (), (3), muodosama joo overgoi jaaumalaa ohi sauaismuuujaa : ( ) L Ila Melli (4) 4/8

15 6.. Oloo,, 3, joo riippumaomia sauaismuuujia, joide piseodeäöisyysfuio ova muooa, x f( x) Pr( x), x Todisa, eä sauaismuuujie,, 3, muodosama joo overgoi soasisesi ohi vaioa : P Riippumaomie sauaismuuujie,, 3, piseodeäöisyysfuio ova muooa Sie Selväsi u., x f( x) Pr( x), x Pr( ), < ε < Pr( > ε ), ε Pr( > ε ) Soasise overgessi määrielmä muaa sauaismuuujie,, 3, muodosama joo overgoi soasisesi ohi vaioa : P Ila Melli (4) 5/8

16 Momeiemäfuio Sauaismuuuja momeiemäfuio o m () E( e ) Sauaismuuuja. origomomei α E( ),,,3, saadaa määräämällä momeiemäfuio m (). derivaaa piseessä : dm() α E( ),,,3, d Sauaismuuuja odousarvo ja variassi saadaa aavoisa µ E( ) α Var( ) E[( ) ] E( ) α σ µ µ α Oloo sauaismuuuja disreei ja se piseodeäöisyysfuio f ( x) Pr( x ) Tällöi sauaismuuuja momeiemäfuio saadaa aavasa x m () E( e ) e f( x) Oloo sauaismuuuja jauva ja se iheysfuio f ( x ) x Tällöi sauaismuuuja momeiemäfuio saadaa aavasa Oloo + x m () E( e ) e f( x),,, riippumaomia sauaismuuujia, joide momeiemäfuio ova Tällöi summa m (), m (),, m () momeiemäfuio o sauaismuuujie,,, momeiemäfuioide ulo: m () m ()m () m () Ila Melli (4) 6/8

17 Kasiuloeise sauaismuuujie muuose jaauma Oloo sauaismuuujie ja Y yheisjaauma iheysfuio f Y (x, y) Määriellää sauaismuuuja U g(, Y) V h(, Y) Oleeaa, eä muuosella u g( x, y) ( ) v h( x, y) o seuraava omiaisuude: (i) Muuuja x ja y voidaa raaisa yhälöryhmäsä ( ). (ii) Fuioilla g ja h o jauva osiaisderivaaa muuujie x ja y suhee. (iii) Muuose ( ) Jacobi deermiai ( uv, ) u v u v + ( xy, ) x y y x aiille x ja y, joille f Y (x, y) Tällöi sauaismuuujie U ja V yheisjaauma iheysfuio o f ( u, v) f ( x, y) UV Y ( uv, ) ( x, y) jossa x ja y raaisaa yhälöryhmäsä ( ). Sauaismuuujie summa jaauma Oloo ja Y riippumaomia sauaismuuujia, joide iheysfuio ova f (x), f Y (y) Tällöi summa U + Y iheysfuio o + f ( u) f ( u x) f ( x) U Y Ila Melli (4) 7/8

18 Sauaismuuujie miimi ja masimi jaauma Oloo sauaismuuuja,,, riippumaomia ja samaa jaaumaa oudaavia sauaismuuujia. Oloo sauaismuuujie,,, yheie iheysfuio f ( x ) ja yheie erymäfuio F( x) Tällöi sauaismuuuja iheysfuio o ja sauaismuuuja iheysfuio o () mi{,,, } f x F x f x ()( ) [ ( )] ( ) () max{,,, } f x F x f x ( ) [ ( )] ( ) ( ) Soasie overgessi Sauaismuuujie,, 3, muodosama joo overgoi soasisesi ohi sauaismuuujaa, jos aiille ε > päee lim Pr( > ) Meriää ää P Jaaumaovergessi Oloo,, 3, joo sauaismuuujia, joide erymäfuio ova F (x), F (x), F 3 (x), Sauaismuuujie,, 3, muodosama joo overgoi jaaumalaa ohi sauaismuuujaa, joa erymäfuio o F (x), jos lim F ( x) F ( x) joaisessa piseessä x, jossa F (x) o jauva. Meriää ää L Ila Melli (4) 8/8