Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242)

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242)"

Transkriptio

1 Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi kl 26 Ajat, paikat, käytännöt Ajan tasalla olevat tiedot kurssin kotisivulta tulappi/fysa242kl6/. Luennot: 2h ma, ke klo.5, FYS, huom pääsiäistauko Opettajat: Tuomas Lappi, luennot Huone FL24 (toimiston vieressä) Harjoitukset: Henri Hänninen, Toni Ikonen Kurssin arvostelu: Loppukoe tai 3.5. tai myöhemmin 48 pistettä Harjoitukset: 2 pistettä (tämän kurssin pisteet voimassa kevääseen 27) Laboratoriotyö: ei arvostelua Max 6 pistettä. Laskuharjoitukset Laskuharjoitustehtävät jaetaan maanantain luennolla Saatavilla myös kotisivulla ja aulan lokerossa Demotilaisuus ke (FYS5) heti samalla viikolla. Tilaisuus toimii laskupajana, assistentin avustuksella tehdään tehtäviä yhdessä Poikkeus saleihin: ensimmäisellä kerralla ke 2.3. klo 6-8 alakerrassa FL4 Laskupajaan saa tulla ja mennä klo 2-8 aikana kuten haluaa, ilmoittautumisilla ei merkitystä Palautus seuraavan viikon aluksi: ma klo aulan laatikkoon Epäselväksi jääneitä edellisen viikon tehtäviä saatetaan käsitellä (demota) lyhyesti maanantain luennolla Pyynnöt käsiteltävistä tehtävistä assistenttien kautta tai suoraan luennoitsijalle Assistenttien ratkaisuehdotukset tulevat saataville koppaan. Materiaali Virallinen kurssimateriaali Kirja: Bowley & Sanchez, Introductory Statistical Mechanics. Nämä kalvot ja kalvoja hieman laajempi luentomoniste: http: //users.jyu.fi/ tulappi/fysa242kl6/ Luentomonistetta jaetaan luennolla, ylim. kappaleet laskuharjoitustehtävien lokerossa. Kalvojen ja monisteen teksti on hyvin suppea, ja muun kirjallisuuden lukeminen on tärkeää. Muita kirjoja: F. Mandl: Statistical Physics, Wiley (entinen kurssikirja) J. Arponen & J. Honkonen: Statistinen fysiikka, Limes (laajempi) Muuta materiaalia (Luennot luultavasti seuraavat näitä aika läheltä) J. Merikosken luentomuistiinpanot merikosk/ Statistinen-fysiikka-22-JM.pdf J. Timosen muistiinpanot edellisten vuosien kursseilta. Sisältöä [BS]= Bowley, Sanchez, [M] = Mandl 7. Kidevärähtelyt, kiinteän aineen lämpökapasiteetti [M 6], [BS ] Dulongin-Petit n laki Einsteinin malli Tilatiheys, Debyen malli

2 8. Klassinen ideaalikaasu [M 7], [BS 7] Kineettinen kaasuteoria, Translaatioliike, Maxwellin nopeusjakauma Sisäiset vapausasteet, lämpökapasiteetti Sovellukset: hilakaasu, liuos, Sackur-Tetrode-yhtälö Klassinen statistinen mekaniikka, energian ekvipartitio 9. Muuttuva hiukkasluku [BS 9] [M. -.4] Ensemblet, Gibbsin entropia, yhteys termodynaamisiin potentiaaleihin Suurkanoninen joukko, kemiallinen potentiaali Rajapinnat, kemiallinen reaktio Surfaces, chemical reactions. Weeks 4 & 5: The ideal quantum gas [BS , ] [M 9,,.5-.8] Fermions and bosons Bose gases, hot: black body, cold: Bose-Einstein-condensate Cold Fermi gases: conduction electrons, neutron star Laboratory work: thermal electron emission. Summary. Kvanttimekaaninen ideaalikaasu [BS , ] [M 9,,.5-.8]. Kertausta Fermionit ja bosonit Bosonikaasuja; kuuma: musta kappale, kylmä: Bose-Einstein-kondensaatti Kylmiä fermionikaasuja: johtavuuselektronit, neutronitähti Laboratoriotyö: terminen elektroniemissio Contents of the course [BS]= Bowley, Sanchez, [M] = Mandl 7. Week : Heat capacity of solids [M 6], [BS ] Dulong-Petit law Einsteinin model Density of states, Debye model 8. Week 2: Classical ideal gas [M 7], [BS 7] Kinetic theory of gases Translational movement, Maxwell velocity distribution Internal degrees of freedom, heat capacity Applications: lattice gas, solution, Sackur-Tetrode equations Classical statistical mechanics 9. Week 3: Variable number of particles [BS 9] [M. -.4] Ensembles, Gibbs entropy, connection to thermodynamic potentials Grand canonical ensemble 2

3 Sisältö 7 Kiinteän aineen hilavärähtelyt 4 7. Kokeelliset havainnot Einsteinin malli Tilatiheys Debyen malli Klassinen kaasu 2 8. Kineettinen kaasuteoria Translaatioliike Sisäiset vapausasteet Sovelluksia Klassinen SM Muuttuva hiukkasluku 2 9. Suurkanoninen ensemble Termodynamiikka hiukkaskylvyssä Sovelluksia Kvanttikaasu 28. Kvanttistatistiikat Kylmä fermionikaasu Fermionikaasu: lämpötilakorjaukset Musta kappale Bose-Einstein-kondensaatti Yhteenveto 45. Kurssin keskeisiä asioita

4 Luku 7 Kiinteän aineen hilavärähtelyt 7. Kokeelliset havainnot Palautamme aluksi mieleen kurssin A-osalta keskustelun kaasujen lämpökapasiteetista. Muistamme, että klassisen ideaalikaasun lämpökapasiteetti (luku 2.6 monisteessa) on C V = 3 2 Nk B. (7.) Muutama keskeisin asia tästä tuloksesta Klassinen lämpökapasiteetti ei riipu lämpötilasta Tämä on ristiriidassa TD3:n (Nernstin laki) kanssa, josta seuraa, että C V (T ), kun T, Lämpökapasiteetti ei riipu esim. atomien massoista vaan ainoastaan niiden lukumäärästä. Oikea kvanttimekaaninen statistinen tarkastelu on sopusoinnussa TD3:n kanssa ja siis poikkeaa klassisesta tuloksesta ainakin pienillä lämpötiloilla. Kiinteän aineen tapauksessa käy aivan samoin sillä erotuksella, että verrannollisuuskerroin ei ole 3/2 vaan 3. Tämän kokeellisen havainnon julkaisivat ensimmäisenä Dulong ja Petit, Recherches sur quelques points importans de la théorie de la chaleur, Annales de Chimie et de Physique (89) Myöhemmin kurssilla: Energian ekvipartitio Ero vakioiden välillä johtuu siitä, että pistemäisellä ideaalikaasumolekyylillä energia riippuu kolmesta muuttujasta: liikemäärät x, y, ja z-suuntiin. Kiinteässä aineessa taas molekyylejä sitoo toisiinsa niiden välisistä kemiallisista sidoksista aiheutuva voima. Lähellä tasapainoa tätä voimaa voidaan pitää harmonisena potentiaalina. Tämän voiman potentiaalienergian ansiosta kiinteän aineen atomin energia riippuu myös kolmesta paikkavapausasteesta x,y ja z. Klassiselle systeemille lämpökapasiteetti yhtä vapausastetta kohti on k B/2: kaasulla vapausasteita on 3N ja kiinteällä aineella 6N. Tähän palataan kaasujen osalta luvussa 8.5. Dulongin ja Petit n laki Petit, Dulong, Annales de Chimie et de Physique (89) Kokeellinen havainto: ominaislämpökapasiteetti moolimassa aineesta riippumaton vakio Nykykielellä Dulongin ja Petit n laki C V 3Nk B (7.2) Ominaislämpökapasiteetti riippuu vain hiukkasten lukumäärästä Tämä pitäisi statistisen fysiikan kyetä selittämään! Taulukko on suoraan kopioitu Dulongin ja Petit n lähes 2 vuoden takaisesta artikkelista. Ensimmäisessä sarakkeessa on ominaislämpökapasiteetti (yksiköissä, joissa veden ominaislämpökapasiteetti on yksi), toisessa moolimassa (yksiköissä, joissa hapen moolimassa on yksi) ja kolmannessa näiden tulo. 4

5 Tarkemmin: ominaislämpökapasiteetti on lämpökapasiteetti massaa kohti, moolimassa taas massa moolia kohti. Kokeellinen havainto siis sanoo että kiinteän aineen ominaislämpökapasiteetti moolia kohti, t.s. atomia kohti, on aineesta riippumaton vakio. Se ei esimerkiksi riipu atomien massasta tai niitä yhdessä pitävien voimien lujuudesta. Jos ilmoitetaan ainemäärä mooleina, kirjoitettaisiin ominaislämpökapasiteetti moolia kohden C V /n 3R 24,9J/(K mol), missä n on ainemäärä. Kuten ideaalikaasun tapauksessa, myös kiinteälle aineelle lämpökapasiteetin on lähestyttävä nollaa pienillä lämpötiloilla. Kokeellisesti poikkeamia Dulongin ja Petit n laista havaintaan ns. Debyen lämpötilan alapuolella. Monille tavallisille metalleille Debyen lämpötilat ovat joitakin satoja kelvineitä. Täten huoneenlämmössä Dulong-Petit n laki pätee hyvin monille aineille. Matalissa lämpötiloissa Muistetaan TD3:sta seuraava C V (T ), kun T, jotta S(T ) S() = T Kokeellisesti pienillä lämpötiloilla: Eristeille Johteille Selitys: dt C V (T ) T < (7.3) C V (T ) = αt 3 (7.4) C V (T ) = γt + αt 3 (7.5) αt 3 kaikille kiinteille aineille: liittyy atomien liikkeeseen kiteessä γt vain johtimille: liittyy jotenkin johdinelektroneihin Lähdetään etsimään selitystä T 3 -käytökselle. TD3 ja siten C V (T ) liittyvät kvanttimekaaniseen tilojen diskreettiyteen. = Rakennetaan kvanttistatistinen malli atomien liikkeelle hilassa. Sähkönjohteen johdinelektronit muodostavat matalilla lämpötiloilla kvanttimekaanisen fermionikaasun. Tähän tutustumme kurssin loppuosassa, luvussa, jossa johdetaan mm. lämpökapasiteetin käytös pienellä lämpötilalla. 7.2 Einsteinin malli Lähdetään rakentamaan yksinkertaista mallia kiinteälle aineelle. Seuraavanlaisen mallin kehitti Einstein: Die Plancksche Theorie der Strahlung und die Theorie der spezifischen Wärme Annalen der Physik 327 (97) 8 9. Einsteinin malli Ensimmäinen yritys mallin rakennukseen: Kiinteä aine: kide, jossa N atomia Kukin liikkuu toisista riippumatta kemiallisten sidosten muodostamassa potentiaalissa Atomien poikkeamat pieniä: kukin atomi 3D harmoninen oskillaattori Harmoninen potentiaali sama kaikille atomeille, joka suunnassa U({x i }) = N i= ( u + ) 2 mω2 E x 2 i +... (7.6) Nyt osataan tehdä kvanttimekaaninen tarkastelu, energiatilat ( ) ε n = 2 + n ω E (7.7) Tarkempi perustelu oletukselle harmonisesta potentiaalista on seuraava: kiinteä aine on stabiili, eli atomeilla on kaikilla joku paikka, joka on niitä sitovan potentiaalin minimi. Potentiaali voidaan aina kehittää Taylorin sarjaksi tämän minimin ympärillä. Sarjan ensimmäinen termi on vakio, lineaarinen termi häviää (koska nollakohdaksi valittiin potentiaalin minimi) ja seuraava termi on verrannollinen poikkeaman neliöön. Jos atomit liikkuvat tarpeeksi lähellä minimiä, ovat sarjan seuraavat termit niin pieniä, että ne voidaan jättää tässä huomiotta. Mitä pienempi lämpötila on, sitä pienempi on myöskin atomin energia. Tällöin atomit ovat lähempänä tasapainoasemaansa. Toisin sanoen oletuksen harmonisesta potentiaalista pitäisi olla hyvä nimenomaan matalalla lämpötilalla. Jos atomit ovat vain yhtä alkuainetta ja muodostavat neliöllisen kidehilan, on potentiaalin kerroin oikeastikin sama kaikille molekyyleille ja joka suunnassa, muuten vain yksi parametri ω E on approksimaatio. Einsteinin malli: lämpökapasiteetin lasku Yhdelle -ulott. värähtelijälle partitiofunktio geometrisen sarjan summana Z = e βεn = exp n= n= = exp { β ω E /2} { β ( ) } 2 + n ω E (exp { β ω E }) n n= = exp { β ω E /2} exp { β ω E } 3N riippumatonta -ulotteistä värähtelijää (joka atomille x,y,z- suunnat) (7.8) Z 3N = [Z ] 3N = ln Z 3N = 3N ln Z (7.9) 5

6 Energia ja lämpökapasiteetti ε = d [ ] dβ ln Z = ω E 2 + exp {β ω E } E = 3N ε (7.) ( ) E x 2 e x C V = = = 3Nk B T V (e x ) 2, x ω E k B T (7.) Näin saimme laskettua Einsteinin mallin lämpökapasiteetin. Seuraavaksi tutkitaan, mitä siitä seuraa korkean ja matalan lämpötilan rajoilla. Einsteinin malli: matalan ja korkean lämpötilan raja x 2 e x C V (T ) = 3Nk B (e x ) 2, x ω E k B T θ E T (7.2) Korkea lämpötila: T θ E ω E /k B = x C V (T ) 3Nk B x 2 ( + x +... ) ( + x + ) 2 3Nk B (7.3) Dulongin ja Petit n laki Matala lämpötila: T θ E = x Tulkintaa ( ) 2 θe C V (T ) 3Nk B e θ E /T T C V (T ) = Kvanttimekaaninen malli: sopusoinnussa TD3:n kanssa (7.4) Mutta käytös ei ole kokeellinen T 3 = Jossain mallin oletuksista fysiikka väärin, mikä? Mikä mallin oletuksista sitten oli väärä? Potentiaalin harmonisuus pätee aina, kunhan poikkeamat tasapainoasemasta ovat riittävän pieniä. Ja nimenomaan matalalla lämpötilalla näin pitäisi olla. Kiinteän aineen hilarakenteen tiedetään (jos ei Einsteinin aikana niin ainakin nykyään) olevan hyvin säännöllinen, joten ainakin yhdestä alkuaineesta muodostuneille kiteille pitäisi olla hyvä approksimaatio olettaa, että kaikkien värähtelijöiden taajuudet ovat samoja. Einsteinin mallin olennaisin puute onkin se, että atomeja sitovan potentiaalin minimin oletetaan sijaitsevan kiinteässä paikassa, naapuriatomien sijainnista riippumatta. Toisiin sanoen Einsteinin mallissa sidoselektronien oletetaan muodostavan kiinteän periodisen (jaksollisen) hilan, jossa atomit liikkuvat toisistaan riippumatta. Realistisempi malli saadaankin olettamalla sen sijaan, että atomien välinen potentiaali on vierekkäisten atomien välinen ja pyrkii pitämään hilassa naapuripaikoilla sijaitsevat atomit samalla etäisyydellä toisistaan. Tällöin atomit eivät värähtele toisistaan riippumatta kaikki samalla taajuudella, vaan aineeseen muodostuu kimmoaaltoja. Näillä aalloilla voi olla eri aallonpituuksia ja kutakin aallonpituutta vastaava taajuus, eli energia. Jotta osaamme tarkastella tällaista systeemiä kvanttimekaanisena statistisen fysiikan järjestelmänä, meidän täytyy oppia laskemaan tiloja eli laskemaan diskreettejä aaltoyhtälön ratkaisuja, jotta voimme summata niiden yli. Kurssin A-osan alussa jo muistutettiin mieleen kvanttimekaniikasta hyvin samanlainen tilanne, kvanttimekaaninen hiukkanen äärettömän syvässä potentiaalikuopassa. Itse asiassa kysymys on nyt täsmälleen samasta asiasta, sillä kvanttimekaaniset hiukkaset laatikossa ovat Schrödingerin yhtälön aaltomaisia ratkaisuja. Kertaus: Energia ja taajuus Seuraavassa identifioidaan sujuvasti värähtelijän kulmataajuus ja energia. Muistamme kvanttimekaniikasta Schrödingerin yhtälön energian ominaistilalle tψ = ieψ, (7.5) jonka ratkaisu on energian ominaistilan aikakehitys ψ = e iet/ ψ(t = ). Kvanttimekaaniselle järjestelmälle värähtelytaajuus ja yhden kvantin energia ovat siis Planckin vakiota vaille sama asia. Toinen tapa muistaa sama asia on harmoninen oskillaattori, jonka energiatilat ovat ε n = ( + n) ω, missä ω on vastaavan klassisen 2 oskillaattorin värähtelyn kulmataajuus. 7.3 Tilatiheys Kuten muistamme tapauksesta kvanttimekaanisnen hiukkasen laatikossa, seuraa aaltoyhtälön ratkaisujen numeroituvuus (diskreetti luonne) siitä, että järjestelmän tilavuus on äärellinen. Yksinkertaisuuden vuoksi oletamme nyt, että tarkasteltava järjestelmä on kooltaan L d oleva laatikko, missä d on avaruuden dimensio. Tällaisessa laatikossa voi olla aaltoja, joiden aaltovektori on k, itseisarvoltaan k k. Tarkoituksenamme on nyt oppia laskemaan, kuinka monta tällaista aaltoa on kullakin k:n arvolla. Lopuksi haluamme sitten mennä äärettömän tilavuuden rajalle L. Tällä rajalla k:sta tulee jälleen diskreetin sijasta jatkuva muuttuja, ja k:n yli voidaan summaamisen sijasta integroida. Tässä jatkuvassa muotoilussa haluamme tietää, kuinka monta mahdollista aaltovektoria on välillä k [k,k + dk]. Laskun voi tehdä usealla tavalla. Luennoilla esitetään Merikosken ja Timosen luentoja seuraten tapaus, jossa aalloille asetetaan laatikon reunalla kiinteät reunaehdot. Tämä vastaa oikeasti äärellisen kokoista fysikaalista värähtelevää systeemiä. Vastaavaan tulokseen päästään matemaattisesti helpommin mutta fysikaalisesti ehkä vähemmän intuitiivisesti asettamalla laatikon reunoille periodiset reunaehdot. Tämä vastaa fysikaalista tilannetta, jossa systeemi on ääretön, mutta koostuu toisiinsa reunoilta kiinnitetyistä L d :n kokoisista osista, jossa kaikki fysiikka toistuu identtisenä; tai ekvivalentisti d-ulotteisesta toruksesta. Periodiset reunaehdot jätämme harjoitustehtäväksi. Yksiulotteinen seisova aalto 6

7 Aaltoyhtälö Reunaehdot Diskreetit ratkaisut d 2 dx 2 φ(x) + k2 φ(x) = (7.6) φ() = φ(l) = (7.7) φ(x) = A sin(kx), k = π n, n =,,2,... (7.8) L L x π/l π/l π L 2 π L 3 π L 4 π L Rajalla L tilat tiheässä: tila k-avaruuden välillä π/l dk = (7.9) π/l Kolme ulottuvuutta Aaltoyhtälö Diskreetit ratkaisut k 2 = k 2 k = π L {n x,n y,n z }, n 2 φ(x) + k 2 φ(x) = (7.2) k Summa yli tilojen = integraali k-avaruuden jaettuna kopin tilavuudella: n x,n y,n z k x,k y,k z > d 3 k π 3 /V (7.22) Huomattakoon, että summassa tilojen yli on lisäksi tietysti mukana joku funktio (tyypillisesti Boltzmannin paino e βε(k) ), jota summataan. Kvanttimekaniikasta muistamme, että aallon aaltovektori k liittyy kiinteästi aaltoa vastaavan kvantin liikemäärään p = k. Liikemäärästä taas useimmiten voidaan laskea energia. Tällä kurssilla tullaan tarkastelemaan muutamia hyvin yksinkertaisia esimerkkejä tällaisista aalloista/hiukkasista: Fotoni eli sähkömagneettinen aalto. Jo lukiosta muistamme, että fotonin energia E(k) = ω(k) = c k = c p. Muutkin klassisen fysiikan aallot ovat ainakin pienillä k:n arvoilla olennaisesti samanlaisia, mutta eivät etene valon nopeudella c vaan aineelle ominaisella (esim. äänen) nopeudella v: E(k) = ω(k) = v k = v p. Epärelativistiselle hiukkaselle tiedämme klassisesta mekaniikasta, että E(p) = p 2 /(2m). Aaltovektorin k = p/ avulla siis E(k) = 2 k 2 /(2m) Näissä yksinkertaisissa tapauksissa energia riippuu vain aaltovektorin itseisarvosta k k. Onkin hyödyllistä osata mennä k-avaruudessa pallokoordinaatistoon, jossa jäljelle jää kolmiulotteisen k-integraalin tilalle vain yksiulotteinen k-integraali. Materiaalifysiikassa läsnä on oikeasti kidehila, joka rikkoo rotaatioinvarianssin. Tällöin energia voi riippua myös vektorin k suunnasta hilatasoon nähden. Kiinteän aineen hilavärähtelyjen tapauksessa (ja yleensä muutenkin) pitkän aallonpituuden (eli pienen k:n) moodit eivät välitä hilarakenteesta, vaan noudattavat lineaarista dispersiorelaatiota ω(k) = v k. Aaltovektorin itseisarvon avulla θ n x =,,2,..., n y =,,2,... n z =,,2,... (7.2) Pallokoordinaatit: ϕ d 3 k = k 2 dk dϕ d(cos θ) (7.23) Yksi tila = k-avaruuden koppi : tilavuus (π/l) 3 = π 3 /V Integroidaan oktantin yli: ϕ [,π/2] θ [,π/2] dϕ = π/2 (7.24) d(cos(θ)) = (7.25) 7

8 Eli kulmaintegraali = π/2 (/8 pallon pinta-alasta 4πR 2 ) a 2a 3a 4a Tarkastellaan seuraavaksi parannusta Einsteinin malliin, jonka esitti Peter Debye 5 vuotta myöhemmin: Debye, Peter: Zur Theorie der spezifischen Wärmen, Annalen der Physik 344 (92) Olennaista Debyen mallissa on, että oletus riippumattomista harmonisista oskillaattoreista, joilla kaikilla on sama taajuus, korvataan oletuksella riippumattomista kimmoaalloista, joilla on eri aallonpituuksia ja taajuuksia. Kuinka monta tällaista kimmoaaltoa systeemissä on? Järjestelmässä on edelleen N atomia, jotka voivat värähdellä 3 eri suunnassa, eli vapaustasteiden lukumäärä on 3N. Nyt nämä oskillaattorit eivät enää ole toisistaan riippumattomia, mutta vapausasteita on edelleen yhtä paljon, eli voimme olettaa erillisiä aaltomoodeja olevan 3N kappaletta. Kimmoaaltojen tapauksessa nämä koostuvat N erillisestä aaltovektorin k arvosta. Jokaista aaltovektoria kohti on olemassa 2 poikittaista ja yksi pitkittäinen värähtelymoodi. Jos oletamme näiden olevan tavallisia pitkän aallopituuden aaltoja, ovat niiden dispersiorelaatiot poikittaisilx n x,n y,n z k x,k y,k z > = d 3 k π 3 /V dk V π π 3 2 k2 = V 2π 2 dkk 2 (7.26) Kuva 7.: Atomit yksiulotteisella hilalla le aalloille ω(k) = v k ja pitkittäisille ω(k) = v k Debyen malli lämpökapasiteetille: tilat Oletus: vapausasteet kimmoaaltoja: 2 poikittaista ja kpl pitkittäinen Tilatiheys Tilatiheys f (k) dk = V 2π 2 k2 dk (7.27) n x,n y,n z [ ] kmax f (k) dk [ ] (7.28) Tulkinta: näin monta tilaa pallokuorella k [k,k + dk] Rajoituksia (eivät haittaa tällä kurssilla, paitsi Bose-Einstein kondensaatio, luku.) Dispersiorelaatiot ω(k) = v k ja ω(k) = v k Tilatiheys f (k) dk k 2 dk ( = f (ω) dω ω 2 2 v 2 Määritellään keskimääräinen v: 3 v 2 2 v 2 + v 2 ) + v 2 dω (7.29) (7.3) Pätee suuren V :n rajalla, korvattiin summa tilojen yli integraalilla Lyhin mahdollinen λ = suurin taajuus ω D lukumäärästä Moodien Oletettiin rotaatioinvarianssi: integroitiin kulmien yli Käyttö: Jos tunnetaan dispersiorelaatio eli energia/taajuus k:n funktiona: muuttujanvaihto k ω (muista myös dω = ( dω(k)/ dk) dk) ωd dω 3C D v 2 ω2 = 3N = C D = 3v 2 N/ω 3 D = f (ω) dω = 9N ωd 3 ω 2 dω (7.3) λ = 2a 7.4 Debyen malli aallon lyhin aallonpituus a 2a 3a 4a Kiinteän aineen hilassa (kuva 7.) atomien välinen etäisyys (merkitään yleensä a) asettaa alarajan aineessa etenevän kimmoaallon aallonpituudelle. Lyhin mahdollinen aallonpituus vastaa tilannetta, jossa hilan vierekkäiset atomit oskilloivat täsmälleen vastakkaisissa vaiheissa. Lyhintä aallonpituutta vastaa suurin mahdollinen aaltovektorin k arvo. Mikä tämä tarkkaan on voi näyttää erilaiselta riippuen valituista reunaehdoista. Debyen mallissa tämä ongelma kierretään käyttämällä hyväksi sitä, että kun tidetään hilassa olevien atomien lukumäärä N, tiedetään myös mahdolliseten värähtelymoodien lukumäärä 3N. Tämän takia Debyen esittämä tapa on tässä hieman yleisempi. Lisätietoa: Lyhin aallonpituus hilalla eri reunaehdoilla Lyhytaaltoisimman moodin aaltovektori riippuu valituista reunaehdoista. Tämä on helpompi nähdä yksiulotteisessa tapauksessa. Tarkastelemme siis järjestelmää, jossa on N atomia rivissä etäisyyden a päässä toisistaan. Järjestelmän koko on siis L = Na. x 8

9 Kiinteillä reunaehdoilla L = Na-kokoisessa laatikossa: sallitut moodit ovat sin(nπx/l), n =,,2,... : mutta jos n = N +m, niin sin(nπx/l) = sin((n + m)πx/l) = sin(mπx/l + πx/a = sin(mπx/l) jokaisen hilapisteen x = a,2a,3a,... kohdalla = N + m ja m eivät enää ole erillisiä riippumattomia aaltoja. Toisin sanoen suurin aaltovektorin arvo on k max = (N )π/l π/a ja vastaava pienin aallonpituus λ max = 2π/k max = 2a. Periodisella hilalla sallitut moodit ovat e i2πnx/l, n =,,... (tai siis tämän reaaliosat eli sini ja kosini erikseen). Nyt suurin mahdollinen n:n arvo on N, koska tästä eteenpäin e i2π(n+n)x/l = e i2πnx/l e i2πx/a = e i2πnx/l, aina, kun ollaan varsinaisen atomin kohdalla x = a,2a,3a,.... Nyt suurin aaltovektori on k max = (N )2π/L 2π/a ja vastaavasti pienin aallonpituus λ max = 2π/k max = a eli puolta pienempi kuin kiinteiden reuhaehtojen tapauksessa. Koska e i2πx/a =, voidaan kuitenkin valita n =,,2,..., N :n sijasta yhtä hyvin n = N/2, N/2 +,...,,,2,..., N/2, jolloin sallitut k:n arvot ovat k [ π/a,π/a] ja pienin aallonpituus taas λ max = 2π/k max = 2a! Debyen malli: partitiofunktio ja energia C V (T ) = Rajat: [ 9 T 8 N ω D + 9N θ 3 D = = ( ) 3 T θd /T 9Nk B [4 θ D ( θd T k B T 4 θd /T x 3 dx e x ) 4 e θ D/T x 3 dx e x ] ] (7.35) T θ D : C V (T ) 3Nk B : Dulong-Petit (θ D /T : kehitetään integrandi sarjaksi) T θ D : C V (T ) 2π4 5 Nk B ( T θ D ) 3 T 3 = kokeellisesti havaittu käytös! (θ D /T : korvataan θ D /T, kehitetään sarjaksi ja integroidaan) Elastiset aallot ovat kvanttimekaanisia harmonisia oskillaattoreita. Yhden oskillaattorin partitiofunktio Z (ω) = n= Yhden oskillaattorin energia ( exp β ω n + ) = = e 2 β ω 2 e β ω (7.32) E = d dβ ln Z (ω) = ω ( 2 + ) e β ω (7.33) C V (T )/(3Nk B ) T /θ D :n funktiona, sekä pienen lämpötilan T 3 -käytös Tarvitaan Riemannin zeta-funktio ζ(4) = n= n 4 = π4 9 (7.36) Kaikkien oskillaattorien energia f (ω) E = {}}{ ωd ( ) 9N E dω tilat ωd 3 ω 2 ω 2 + e β ω = 9 8 N ω D + 9N θd /T (θ D ) 3 k BT 4 x 3 dx e x (7.34) Tässä määriteltiin Debyen lämpötila θ D ω D /k B Huomattakoon, että energian kaavan ensimmäinen termi 9 8 N ω D tulee harmonisten oskillaattorien nollapisteenergiasta. Tämä ei riipu lämpötilasta eikä siten vaikuta lämpökapasiteettiin. Yleisemminkin energiaan voidaan lisätä vakiotermi (kuten klassisessa mekaniikassa voidaan vapaasti valita potentiaalienergian nollakohta halutulla tavalla) ilman että tämä vaikuttaa fysiikkaan. Debyen malli: lämpökapasiteetti Lienee syytä katsoa hiukan tarkemmin, kuinka tällaisia rajaarvotarkasteluja tehdään. Suuri lämpötila T θ D on integraalin 4 Ensinnäkin suuren lämpötilan rajalla θd /T x3 dx e x (7.37) yläraja θ D /T ja täten x koko integroimisalueella. Tällöin voidaan eksponenttifunktio kehittää sarjaksi x = :n ympärillä e x +x+x 2 /2+ x jolloin integraaliksi tulee θd /T 4 dx x3 θd /T e x 4 dxx 2 = 4 ( ) θ 3 3 D. (7.38) 3 T Toisessa termissä edelleen θ D /T ja voidaan kehittää e θ D/T + θ D /T + (/2) (θ D /T ) 2 + T/θ D (7.39) 9

10 ja [ 4 θd /T x3 dx e x ( θd [ 4 3 ) ] 4 T e θ D/T ] ( ) 3 θd = ( ) 3 θd. (7.4) T 3 T Ottamalla huomioon lausekkeessa (7.35) yhteiseksi tekijäksi ( ) 3 T otettu 9Nk B θ D saadaan tästä suuren lämpötilan käytös 3Nk B. Pieni lämpötila Nyt T θ D eli θ D /T. Lämpökapasiteetin lausekkeen jälkimmäinen termi e θ D/T e θ D/T (7.4) on eksponentiaalisesti suppressoitu ensimmäiseen verrattuna, joten sitä ei pienellä lämpötilalla tarvitse huomioida. Lämpökapasiteetin ensimmäisessä termissä ( ) 3 T θd /T 9Nk B 4 θ D x3 dx e x (7.42) voimme korvata integraalin ylärajan θ D /T äärettömyydellä. Meidän tarvitsee nyt osata laskea integraali x3 dx e x Tämä tehdään erottelemalla tekijäksi e x : (7.43) e x = e x e x (7.44) ja huomaamalla että koska koko integroimisalueella x > ja siten e x <, murtolauseke on geometrisen sarjan summa Saamme siis e x = e nx. (7.45) dx x3 e x = n= n= dxx 3 e (n+)x (7.46) Nämä integraalit voi laskea osittaisintegroimalla tai hieman vähemmällä vaivalla huomaamalla että dxx 3 e (n+)x = ( ) 3 [ d 3 = ( ) 3 [ d 3 dα 3 dα 3 α ] α=n+ dxe αx ] α=n+ = ( ) 3 ( )( 2)( 3)α 4 α=n+ 6 = (n + ) 4. (7.47) Täten dx x3 e x = 6 (n + ) 4 = 6 n 4 = 6π4 9. n= n= (7.48) Tällaisia summia tulemme tällä kurssilla tarvitsemaan monessa paikassa. Summan arvo tunnetaan nimellä Riemannin ζ-funktio ζ(s) = n= n s (7.49) Riemannin ζ-funktion arvot ovat taulukkokamaa, niitä ei tarvite muistaa. Joitakin ζ-funktion arvoja: ζ(3/2) 2,6238 (7.5) ζ(2) = π2,64493 (7.5) 6 ζ(5/2),3449 (7.52) ζ(3),226 (7.53) ζ(7/2),2673 (7.54) ζ(4) = π4,8232 (7.55) 9 Lopputulokseksi saadaan yhdistämällä (7.42) ja (7.48) ( ) 3 ( ) 3 C V (T ) = 36 6π4 T 9 Nk B = 2π4 T θ D 5 Nk B θ D (7.56) Tulkintaa: kidevärähtelyt ja lämpökapasiteetti Keskeinen ero: Einstein: kaikilla oskillaattoreilla sama omega, Debyellä jakauma tilatiheyden mukaan Einsteinin mallissa kaikki oskillaattorit antavat e βθ E matalalla lämpötilalla Debyen mallissa pienelläkin lämpötilalla jotkut oskillaattorit ω k B T eivätkä ole eksponentiaalisesti suppressoituja Dulong-Petit suurillä lämpötiloilla väkisin: kun k B T θ E & k B T θ D jokainen oskillaattori antaa k B Tilatiheys f (ω) = 9N ω2 ω 3 D = 3 V 2π 2 ω 2 v 3 = ω 3 D = 6π 2 N V v 3 (7.57) Voidaan mitata lämpökapasiteetista ω D ja suoraan kimmoaalloista v ja verrata; toimii ok. Johteiden C V T jäi vielä selittämättä Huomattakoon, että jos poikittaisten ja pitkittäisten kimmoaaltojen nopeus on oikeasti merkittävästi erilainen, voitai-

11 siin mallia tarkentaa esimerkiksi ottamalla käyttöön kaksi erillistä Debye-taajuutta. Tämä tietenkin vaikuttaisi myös Debyetaajuuden, tiheyden ja kimmoaaltojen nopeuden väliseen yhteyteen (7.57). Ylipäätään ehdottomasti tärkein asia tilatiheydessä oli tässä nyt käytös f(k) k 2 ω 2. Tilatiheyden (7.27) kerrointa ja kimmoaaltojen nopeutta emme sen sijaan laskussa käyttäneet, vaan korvasimme ne normalisaatioehdolla (7.3) (3N oskillaattoria) ja ainetta kuvaavalla uudella parametrilla ω D. Wikipedia antaa seuraavia arvoja joidenkin alkuaineiden Debyen lämpötiloille: alumiini 428 K beryllium 44 K kadmium 29 K cesium 38 K hiili (grafiitti) 223 K kromi 63 K kupari 343,5 K kulta 7 K rauta 47 K lyijy 5 K mangaani 4 K nikkeli 45 K platina 24 K safiiri 47 K pii 645 K hopea 25 K tantaali 24 K tina (valkoinen) 2 K titaani 42 K volframi 4 K sinkki 327 K Statistisen fysiikan koneisto toiminnassa Molemmissa malleissa toimintatapa oli:. Identifioidaan keskeiset vapausasteet/fysikaaliset ainekset: Atomit värähtelevät hilassa Kimmoaallot etenevät aineessa 2. Tehdään sopiva yksinkertaistava oletus Riippumattomat värähtelijät Kimmoaalloilla sama nopeus 3. Väännetään kammesta ja lasketaan joku makroskooppien ominaisuus 4. Verrataan kokeellisiin havaintoihin Oliko tärkein fysiikka tunnistettu oikein ()? Oliko malli liian yksinkertainen (2)?

12 Luku 8 Klassinen kaasu 8. Kineettinen kaasuteoria Fysikaalinen tilanne Muistetaan: kokeellisesti havaittu klassinen ideaalikaasu PV = Nk B T Pätee kun Lämpötila korkea (T ongelma TD3:n kanssa) Kaasu on harva: hiukkasten etäisyys hiukkasen koko Huoneilmassa esim. (V /N) /3 ( (,4 23 J/K) 3K/Pa ) /3 3 9 m, vrt. tyypillinen molekyylin koko m Klassinen =? (Selviää pikku hiljaa: itse asiassa mikään SM systeemi ei ole täysin klassinen, vaan tässä efektiivisesti klassinen =kuuma) Tavoite: Mikroskooppinen malli klassiselle ideaalikaasulle Halutaan johtaa tilanyhtälö, yksiatomisen kaasun energia E = 3 2 Nk BT Mitä kuuma, harva, klassinen tarkoittavat mikroskooppisesti? Peruskursseilta pitäisi olla jollain tasolla mielessä kineettisen kaasuteorian alkeet. Kineettinen kaasuteoria Molekyylien liike-energia ( tr = translaatio) E tr = N i= Paine = törmäily astian seiniin 2 mv2 2 Nmv2 rms (8.) P = F /A = = N 3 V mv2 rms = 2 3 E tr/v (8.2) Jos PV = Nk B T, niin E tr = 3 2 Nk BT Tulkinta: lämpötila liike-energia atomia kohti (mutta yhteys vain kokeellisesti määritetyn tilanyhtälön kautta, koska ei ole käytetty SM lämpötilan määritelmää) Molekyylien törmäykset = muita kaasun ominaisuuksia (ei tällä kurssilla) Tässä siis lyhenne rms tarkoittaa root mean square eli v rms v 2. Muita kaasujen ominaisuuksia joiden laskemiseksi tarvitaan jotain tietoa kaasun hiukkasten törmäilyistä ovat varsinkin ns. kuljetuskertoimet: viskositeetti, lämmönjohtavuus, sähkönjohtavuus (elektronikaasulle) jne. Voimme tässä varmaan palauttaa mieleen, miten voidaan laskea kaasumolekyylien astian seiniin aiheuttama paine. Nyt molekyylien lukumäärätiheys on n = N/V. Tarkastellaan nyt pientä pintaa A ja sen viereistä osuutta kaasusta (paksuus x seinästä) astian seinän lähellä. Voimme olettaa tämän pienen seinän suoraksi, jolloin tarkastelemme kaasutilavuutta V = A x. Seinään kohdistuva paine koostuu näiden molekyylien törmäyksistä seinään ja on helpompi laskea, kun muistetaan että voima on liikemäärän muutos ajan yksikköä kohti: F = p/ t. Tarkastellaan nyt yhtä kaasumolekyyliä, jonka liikkuu seinää kohti siten, että seinää vastaan kohtisuora nopeuden komponentti on v. Tällaisten hiukkasten vuo (lukumäärä pintaalaa ja aikayksikköä kohti) on v n/2, missä /2 tulee siitä, että vain puolet hiukkasista liikkuu seinää kohti, puolet siitä poispäin. Molekyylien törmäysten seinään on oltava kimmoisia (muuten kaasun molekyylit menettäisivät energiaa ja kaasu jäähtyisi eikä kyse olisi termisestä tasapainosta). Tällöin yhden kaasumolekyylin törmäyksessä sen nopeus muuttuu v :istä v :iin, eli seinään siirtyy liikemäärä p = 2mv. Seinään kohdistuva paine [siirtyvä liikemäärä pinta-alaa ja aikayksikköä kohti] on nyt [hiukkasten vuo eli törmäysten lukumäärä pintaalaa ja aikayksikköä kohti] [yhdessä törmäyksessä siirtyvä liikemäärä] eli P = [nv /2] [2mv ] = nmv 2. Nyt rotaatioinvariantille hiukkasjakaumalle v 2 = vx 2 + v 2 y + v 2 z = 3 vx 2 = 3 v 2 y = 3 v 2 z ja täten v 2 = v 2 rms /3. Saimme siis P = 3 nmv2 rms = 2 3 E tr/v. 8.2 Translaatioliike Kuten on moneen otteeseen todettu kurssin A-osalla, osaamme hyvin harvoin ratkaista vuorovaikuttavia monihiukkassys- 2

13 teemejä tarkasti. Yleensä otetaan lähtökohdaksi approksimaatio, jossa hiukkaset ovat toisistaan riippumattomia. Tällöin ensi ratkaistaan yhden hiukkasen järjestelmä, ja johdetaan tulos N:lle hiukkaselle olettaen että nämä ovat toisistaan riippumattomia. Palautetaan ensin mieleen ja perustellaan hieman paremmin tapa, jolla tämä tehtiin kurssin A-osassa spinjärjestelmälle. Riippumattomat osasysteemit Oletetaan: järjestelmä koostuu kahdesta riippumattomasta osasta a ja b. Osat toisistaan riippumatta tiloissa s a, s b. Kokonaisenergia E = E a + E b = E a (s a ) + E b (s b ) Systeemin kokonaistila: pitää tietää molempien osien tilat s = (s a,s b ) Partitiofunktio Z = s e βe = s a Energian odotusarvo s b e βea(sa) βeb(sb) = s a e βea(sa) s b e βe b(s b ) = Z a Z b (8.3) E = d dβ ln Z = d dβ (ln Z a + ln Z b ) = E a + E b a,b = N samanlaista osasysteemiä: (8.4) Z N = Z N (8.5) Energia summa partitiofunktio tulo Kaasun tapauksessa luonteva ajatus olisi valita osa kaasun molekyyleistä osasysteemiksi a ja loput osasysteemiksi b. Kun kaasumolekyylit ovat identtisiä, tämä ei kuitenkaan ole mahdollista. Voimme vaihtaa keskenään yhden hiukkasen osasysteemistä a ja toisen osasysteemistä b, ja systeemin fysikaalinen tila pysyy ennallaan. Identtisten hiukkasten tilojen laskemisessa täytyykin olla tarkempi. Identtiset hiukkaset Esim. paramagneettinen kide, 5 spiniä Spinit ± 2 = 2 5 tilaa Z N = Z N (8.6) Vaihdetaan kahden spinin tilat: eri tila Kaasu Tilat liikemäärän ominaistiloja Hiukkaset identtisiä Vaihdetaan kaksi hiukkasta = tulos sama Identtisiä hiukkasia ei oikeasti voi nimetä/numeroida = Partitiofunktio laskettava eri tavalla a b c d e a p b p 2 c 3 & e 5 on sama tila kuin c 5 & e 3 < N hidun tilat e p 3 hidun tilat d p 4 c p 5 hidun N tilat (8.7) Eroa ja yhtäläisyyttä spinjärjestemän ja identtisten hiukkasten muodostaman kaasun välillä voi ajatella myös toisella tavalla. Spinsysteemille olemme laskeneet tapausta, jossa on kiinteä määrä N yhden spinin spin ylös -tiloja, joista osa on miehitettyjä (kyseinen spin on ylös) ja osa miehittämättömiä (kyseinen spin alas). Kaasun tapauksessa meillä on kiinteä määrä N hiukkasia. Yhden hiukkasen tiloja sen sijaan ovat liikemäärän ominaistilat, joita on ääretön määrä. Näistä osa on miehitettyjä (kyseisessä liikemäärätilassa on hiukkanen) ja osa ei. Ei siis pitäisikään olla mikään yllätys, että N hiukkasen partitiofunktiota ei saada yhden hiukkasen partitiofunktiosta samalla tavalla kuin N spinin partitiofunktio yhden spinin partitiofunktiosta: N ei tässä tilanteen matemaattisen käsittelyn kannalta tarkoita samaa asiaa. Spinien tapauksessa N oli riippumattomien yksihiukkastilojen lukumäärä, kaasun tapauksessa taas niiden hiukkasten lukumäärä, jotka pitää jollain tavalla jakaa äärettömän monelle yhden hiukkasen liikemäärätilalle. Spinien tapauksessa ei (lämpökylvyssä) mitenkään etukäteen kiinnitetä, kuinka moni N:stä spin ylös -tilasta on miehitettyjä, vaan sen määräävät tilan energia ja lämpökylvyn lämpötila. Kaasun tapauksessa taas asetetaan rajoite, että hiukkasia on tasan N, eli liikemäärätiloista korkeintaan N kappaletta on miehitettyjä ( korkeintaan siksi, että bosonien tapauksessa useampi hiukkanen voi olla samalla tilalla, jolloin miehitettyjä tiloja on vähemmän kuin hiukkasia). Tällaisen rajoitteen käsittely tekee tekee ideaalikaasusta (kiinteällä hiukkasten lukumäärällä N) vaikeamman käsitellä matemaattisesti kuin spinsysteemistä (kiinteällä spinien lukumäärällä N). Oikea käsittely muuttuukin helpommaksi kun luovumme kiinteästä hiukkasten lukumäärästä ottamalla käyttöön kemiallisen potentiaalin luvussa 9. Harva miehitysluku kuuma kaasu T : kaikki hiukkaset muutamalla alimman energian tilalla Kuuma kaasu : käytössä myös korkeamman energian tilat: N tilat N 3

14 Kuinka monta tilaa sitten laskettiin liikaa? Oletetaan, mitkään kaksi hiukkasta eivät ole samalla p-tilalla N hiukkasta voidaan vaihtaa keskenään N! tavalla Saadaan N hidun tilat = N! hidun tilat hidun N tilat Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio (8.8) Z N = N! [Z ] N, (8.9) missä Z on yhden hiukkasen partitiofunktio Pätee tarpeeksi korkeassa lämpötilassa (Paljonko on tarpeeksi : hetken päästä) Kertaus: Kertoma Kerrataan vielä miksi N hiukkasen permutaatioita on N!. Oletetaan, että meillä on jonossa hiukkaset,2,3,..., N ja sitten lokerot,2,...,n. Nyt hiukkaset on järjestettävä lokeroihin niin, että kuhunkin lokeroon tulee tasan yksi hiukkanen. Hiukkanen voinaan laittaa N eri lokeroon. Tämän jälkeen on vapaana enää N lokeroa, toinen hiukkanen voidaan laittaa N eri lokeroon, kolmas hiukkanen N 2 eri lokeroon jne., kunnes viimeiselle hiukkaselle on vapaana enää yksi lokero. Näin siis hiukkaset voidaan lajitella lokeroihin N(N )(N 2) 3 2 N! tavalla. Nyt on siis huomattava että oletimme tilojen miehitysluvun olevan pienen, josta saimme tekijän /N!. Tämä oletus oli keskeinen ero klassisen approksimaation ja oikean kvanttikaasun välillä. Tämä oli approksimaatio kahdellakin tavalla: Bosonikaasun tapauksessa useampi hiukkanen voi olla samalla tilalla. Matalan lämpötilan tapauksessa näin myös tapahtuu, koska useimmat hiukkaset haluavat vajota matalan energian tiloille. Tällöin samaa fysikaalista tilaa vastaavia N hiukkasen tiloja on vähemmän kuin N!, ja jakaminen N!:lla antaa väärän tuloksen. Ääriesimerkkinä: tapaus, jossa kaikki hiukkaset ovat perustilalla, esiintyy tulossa Z N tasan yhden kerran, aivan niin kuin pitäisikin. Tämän tapauksen osalta partitiofunktio on oikein jo tulossa Z N, jota ei pitäisikään jakaa tekijällä N!. Myöskin fermionikaasun tapauksessa tekemämme approksimaatio oli väärä, mutta hieman hienovaraisemmalla tavalla. Tarkastellaan yhtä matalan energian ε tilaa ε. Yksi hiukkanen on tällaisella tilalla todennäköisyydellä p = e βε /Z. Jos tarkastelemme N epäidenttistä hiukkasta, niin voimme arvioida, kuinka monta niistä on tilalla ε : Todennäköisyydellä p N kaikki ovat kyseisellä tilalla. Todennäköisyydellä ( p) N yksikään hiukkanen ei ole kyseisellä tilalla. Todennäköisyydellä Np( p) N tasan yksi hiukkanen on kyseisellä tilalla. ( N Yleisesti todennäköisyydellä n tällä tilalla on n hiukkasta. ) p n ( p) N n Kun lämpötila on pieni, on p matalan energian tilalle iso, ja todennäköisyys saada kaksi tai useampi hiukkasta samalle tilalle kasvaa. Identtisille hiukkasille partitiofunktion eteen laittamamme tekijä /N! ei muuta tilojen keskinäisiä suhteellisia todennäköisyyksiä, joten tekemässämme approksimaatiossa Z N = Z N /N! on edelleen mukana tapauksia, joissa samalla tilalla on useampi identtinen hiukkanen. Fermioneille tämä ei ole sallittua, joten voimme olettaa, että matalilla lämpötiloilla identtiset fermionit poikkeavat ideaalikaasun käytöksestä. Yhden hiukkasen partitiofunktio Nyt kvanttimekaniikasta p = k: tilatiheys f (k) dk = V 2π 2 k2 dk = f (p) dp = V 2π 2 3 p2 dp (8.) Hiukkasen energia E = 2m p2 saadaan partitiofunktio Z = tilat Tarvitaan integraali = exp { βe(tila)} = dxe ax 2 = = V 2π 2 3 π 2 a /2 dxx 2 e ax 2 = d da Z = V dpf (p) exp { p2 2mk B T dpp 2 exp { p2 2mk B T ( mkb T 2π 2 } (8.) π π 2 a /2 = 4 a 3/2 (8.2) ) 3/2 (8.3) Nyt kun yhden hiukkasen partitiofunktio on laskettu, voimme palata tekemäämme oletukseen, että kullakin tilalla on korkeintaan yksi hiukkanen. Partitiofunktiota käyttäen saamme tarkemman arvion sille, milloin tämä approksimaatio pätee. Terminen de Broglie-aallonpituus Z on summa tilojen yli tekijästä e βε, e βε, kun ε k B T = tilalla on hiukkasia e βε, kun ε k B T = tilalla ei hiukkasia = Z on lämpötilassa T käytössä olevien tilojen lukumäärä } 4

15 Z N Z N /N! päti, kun tiloja hiukkasia, eli: Z = V ( mkb T 2π 2 ) 3/2 N (8.4) Ekvivalentisti ehto kaasun klassisuudelle : kuuma harva klassinen V N 2π λ3 D, λ D = 2 mk B T = terminen de Broglie -aallonpituuus (8.5) Tulkinta: energia k B T = liikemäärä = aallonpituus (QM) E = p2 2m = πk BT = λ = 2π p = λ D (8.6) Kaasu on klassinen kun hiukkasten etäisyys aallonpituus Jälkikäteen saatu tulos on hyvinkin luonnollinen. Kvanttimekaniikan ero klassiseen on tässä yhteydessä se, että hiukkasilla on myös aaltoluonne. Tätä karakterisoidaan tässä termisellä de Broglie-aallonpituudella λ D, joka vastaa tyypillien hiukkasen (energia suuruusluokkaa k B T ) aallonpituutta. Jos hiukkasten tyypillinen etäisyys toisistaan on paljon suurempi kuin tämä aallonpituus, näyttäytyvät hiukkaset klassisina. Helpoin tapa arvioida tätä tyypillistä etäisyyttä on laskea tilavuus hiukkasta kohti V/N ja ottaa siitä kuutiojuuri: l = 3 V/N. Heisenbergin epätarkkuusperiaate sallii hiukkasten paikallistamisen aallonpituuden tarkkuudella. Jos siis l λ D, niin hiukkaset sijaitsevat selkeästi toisistaan erillään. Jos taas l λ D, menevät hiukkasten aaltopaketit päällekkäin. Tällöin niiden kvanttimekaaninen luonne tulee selvästi esille, ja lasku joudutaan tekemään bosoneille ja fermioneille erikseen. Energia ja vapaa energia Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio Z N = ( ) 3N/2 N! V N mkb T 2π 2 (8.7) Tästä energia E = d dβ ln Z N = d dβ Vapaa energia (Käyttäen Stirlingiä ln N! N(ln N ) = N ln(n/e) { F = k B T ln Z N = Nk B T ln [ 3N2 ln β +... ] = 3N 2β = 3 2 Nk BT (8.8) e V N ( mkb T 2π 2 ) 3/2 } (8.9) Huom! ilman N!:aa F ei olisi ekstensiivinen! Tunnettuja tuloksia ideaalikaasulle. Tässä kannattaa huomata, että identtisten hiukkasten permutaatioista tullut tekijä N! ei vaikuttanut saatuun energian arvoon eikä (tämä on helppo tarkistaa) myöskään ideaalikaasun tilanyhtälöön. Ilman tätä tekijää lasketaan väärin, kuinka monta mahdollista mikrotilaa järjestelmällä on. Virhe on kuitenkin vain vakiotekijä, joka ei vaikuta siihen, kuinka suuri osuus hiukkaista on milläkin energiatilalla ja mikä tämän seurauksena on systeemin kokonaisenergia. Muistamme, että de = T ds P dv + µ dn, eli energian luonnolliset muuttujat ovat S,V ja N. Jos tuntisimme energian luonnollisten muuttujiensa funtiona, voitaisiin tästä johtaa koko systeemin termodynamiikka. Näin ei kuitenkaan ole: tunnemme energian muuttujien T,V ja N funktiona, mistä emme voi johtaa entropiaa. Ja juuri entropia tietysti saadaan väärin, jos tilojen lasku ei mene oikein. Vapaa energia sen sijaan saadaan partitiofunktiosta luonnollisten muuttujiensa T,V ja N funktiona. Termodynamiikka ja erityisesti entropia saadaankin laskettua siitä. Saamamme vapaa energia ja siitä saatava entropia ( ) F S = (8.2) T V,N ovat ekstensiivisiä. Tämä tarkoittaa sitä, että jos pidetään V/N ja T vakiona, niin F ja S ovat verrannollisia N V :hen. Tällöin esimerkiksi kahden erillisen kaasusäiliön yhteenlaskettu entropia on sama kuin jos kasusäiliöitä käsitellään yhtenä systeeminä. Ilman tekijää N! (historiallisesti tämä tekijä tunnetaan termillä oikea Boltzmannin laskenta ) näin ei olisi, vaan vapaa energia skaalautuisi kuten F N ln N, eikä olisi ekstensiivinen. Paine, entropia Vapaa energia oli F = k B T ln Z N = Nk B T ln { e V N ( mkb T 2π 2 df = S dt P dv µ dn, joten paine ( ) F (T,V,N) P = = Nk BT V V T,N Entropia ( ) F (T,V,N) S = = T V,N { Nk B ln e V ( e mk ) } 3/2 BT N 2π 2 [ = Nk B ln V N + 3 ] 2 ln T + vakio Edelleen tunnettuja ideaalikaasutuloksia, tosin entropialle vakiotermin arvo on nyt uusi ) 3/2 } (8.2) (8.22) (8.23) 5

16 Nyt olemme siis lähteneet liikkeelle yksinkertaisesta mallista: vapaita hiukkasia laatikossa, tehneet yksinkertaistavan oletuksen ja tämän jälkeen johtaneet ideaalikaasun makroskooppiset ominaisuudet mikroskooppisesta teoriasta. Tässä taas statistisen mekaniikan koneisto on osoittanyt tehonsa. Sen lisäksi, että meillä on nyt mikroskooppinen selitys aiemmille puhtaasti empiirisille havainnoille, meillä on nyt myös (yhtälössä (8.5)) kvantitatiivinen käsitys siitä, milloin klassisen ideaalikaasun approksimaatio pätee. Maxwellin nopeusjakauma Tilatiheys Boltzmannin tekijä = todennäköisyysjakauma liikemäärille/nopeuksille/energioille Normalisaatio: = P(v) dv = e βe(p) f (p) dp P(v) dv (8.24) 2 π dvp(v) = Tästä on helppo johtaa vaikka Yleisin nopeus v max v rms (tiedetään jo) Keskimääräinen nopeus v ( ) 3/2 m v 2 exp { mv 2 } dv k B T 2k B T (8.25) Normalisaatiotekijän laskemiseen tarvitaan standardi Gaussinen integraali (8.2). 8.3 Sisäiset vapausasteet Rotaatio, vibraatio, eksitaatio Lisäksi kaasumolekyyleillä on sisäisiä vapausasteita: Rotaatiot: 3 pyörimismäärän komponenttia L Tyypillinen energia 2 ev k B K = merkittävä huoneenlämmössä Vibraatiot: 2-atominen: yksiulotteinen harmoninen oskillaattori Monimutkaisempi molekyyli: useita värähtelytaajuuksia Tyypillinen energia: ev k B K = voi olla merkittävä huoneenlämmössä Eksitaatiot: Elektronit viritystiloille Tyypillinen energia: ev k B K = Merkittävä vasta yli huoneenlämmön Käsittely: faktorisoidaan E = N i= [ ] p 2 i 2m + E i rot + Ei vib + Ei ex = Z = Z tr Z rot Z vib Z ex = ln Z = ln Z tr + ln Z rot + ln Z vib + ln Z ex (8.26) (Muistetaan E = d ln Z dβ ja F = k BT ln Z) Lisätietoa: Sisäisten vapausasteiden energiaskaalat Yritetään tehdä yksinkertaiset arviot kaasumolekyylien sisäisten vapausasteiden energiaskaaloista. Suuruusluokka-arvio vibraatioiden osalta seuraa tässä kirjaa Niskanen, Kvanttimekaniikka II (Limes, Helsinki, 997). Lähdetään liikkeelle kvanttimekaniikan kurssilta tutuimmasta eli elektronien eksitaatioista. Valon nopeuden c ja hienorakennevakion α = e 2 /(4πε c) = /37 avulla elektronin Hamiltonin operaattori atomiytimen Coulombin kentässä on H = p2 cα 2m e r. (8.27) Asetimme tässä varausluvuksi Z = : ajatuksena tässä on, että tätä suuruusluokka-arviota varten tarkastelemme yhtä uloimmalla kuorella olevaa elektronia, ja muut Z alempien kuorien elektronia varjostavat ytimen sähkövarausta. Tässä, niin kuin muissakin klassisissa mekaniikan ongelmissa, Hamiltonin operaattorin eri termien tyypilliset arvot ovat samaa suuruusluokkaa (tämä seuraa ns. viriaaliteoreemasta, joka antaa tarkemman matemaattisen määritelmän). Suuruusluokkaarviota varten voimme siis olettaa p 2 2m e α r. (8.28) Yhdistämällä tähän Heisenbergin epätarkkuusperiaatteen saamme r αm ec p r (8.29) p αm ec, E ex p2 2m e α r αmec2. (8.3) Kvanttimekaniikan kurssin vetyatomin ratkaisusta muistamme, että sen energiatilat ovat tarkkaan ottaen α2 2n 2 mec2, n =,2,... (8.3) joten suuruusluokka-arviomme osui aika hyvin kohdalleen. Muistamme, että nämä elektroniverhon eksitaatioiden energiatilojen arvot ovat elektronivoltin suuruusluokkaa. 6

17 αm ec Siirrytään seuraavaksi ehkä hankalimpaan eli vibraatiovapausasteisiin. Tarkastellaan suhteellisen kevyen alkuaineen kaksiatomista kaasua, jossa ytimen massa on m ja ytimen etäisyys molekyylin keskipisteestä on a. Molekyyliä pitää kasassa kovalentti sidos, joten atomien etäisyydet ovat samaa suuruusluokkaa kuin yksittäisen atomin elektroniverhon säde, eli a. Oletamme nyt, että kovalentti sidos muodostaa kaksiatomisen molekyylimme atomien välille harmonisen potentiaalin E = 2 mω2 vib(δr) 2, (8.32) missä δr on atomien poikkeama tasapainoasemastaan. Nyt haluamme tietää vibraatioiden energiaskaalan ω vib. Jos molekyylin koko on a, niin sidoselektronien energia on epätarkkuusperiaatteen nojalla E p2 2 (8.33) 2m e 2m ea 2 Suuruusluokkatarkastelyun hengessä oletamme, että jos atomeja poikkeutetaan tasapainoasemastaan niin paljon, että molekyyli hajoaa, eli δr a, niin energian muutos on samaa luokkaa kuin yhden sidoselektronin energia (8.33) josta voimme ratkaista 2 mω2 viba 2 2 m ea 2, (8.34) E vib ω vib me m 2 m ea 2. (8.35) Toisin samoen vibraatiotilojen energiat ovat pienempiä kuin elektroniverhon viritystilojen energiat tekijällä m/m e 2 Tarkastellaan lopuksi rotaatiotiloja. Nyt pyörivän kappaleen energia on E rot = L2 2I, (8.36) missä hitausmomentti I = 2ma 2. Kvanttimekaaniselle järjestelmälle pyörimismäärä (impulssimomentti) L 2 saa arvoja 2 l(l+), missä l =,,2,... on pyörimismäärän kvanttiluku. Tyypillinen energiaskaala on siis E rot 2 ma me 2 m 2 m ea 2 (8.37) Rotaatioiden energiaskaalat ovat siis tekijällä m/m e 4 pienempiä kuin elektroniverhon eksitaatioiden. Sijoittamalla esim atomin massaksi on m =u, ja ytimien etäisyydeksi molekyylin keskipisteestä a =Å= m saamme E rot 2 ma 2,4 4 ev 4,8Kk B. (8.38) Täten raskaampien alkuaineiden kaasuilla (joilla tekijä m e/m on pienempi), rotaatioiden ja vibraatioiden energiaskaalat ovat alempia kuin kevyillä. Siksi niiden lämpökapasiteetit ovat suurempia kuin kevyiden kaasujen sellaisilla lämpötiloilla, joilla kaikki vapausasteet eivät ole vielä mukana. Rotaation vaikutus lämpökapasiteettiin Kvanttimekaaninen pyörivä kappale, hitausmomentti I: E = L2 2I, L2 = 2 l(l + ), degeneraatio 2l + { } Z = (2l + ) exp 2 l(l + ) (8.39) 2k B T I l= CV /(NkB) Rotaatioiden lämpökapasiteetti 2k B T I Matala lämpötila: 2 termiä summasta riittää } Z + 3 exp { 2 k B T I = ln Z 3 exp E = d ln Z dβ C V (T ) = = 3 2 I { 2 exp 3 4 I 2 k B T 2 exp k B T I } { 2 }, k B T I } { 2 k B T I (8.4) Korkea lämpötila: korvataan summa integraalilla: Z { } dl(2l+) exp 2 l(l + ) = 2Ik BT 2k B T I 2 E = k B T, C V = k B (yhdelle molekyylille) (8.4) Integraali l:n yli lasketaan ottamalla uudeksi muuttujaksi y = l(l + ), jolle kätevästi dy = dl(2l + ). Oikea degeneraatiotekijä (2l + ) on siis aivan keskeinen suuren lämpötilan tuloksen saamiselle. Tämä tekijä vastaa tilatiheyttä kidevärähtelyjen tapauksessa, nyt kysymyksessä on vain tilojen tiheys l-avaruudessa. Kaasujen lämpökapasiteetteja Klassiselle ideaalikaasulle Yksiatominen/vain translaatio C V = 3 2 Nk B Kaksiatominen, rotaatioliike mukaan T K: C V = ( ) Nk B Vielä korkeammalla lämpötilalla vibraatiotilat mukaan. Energiaskaalat Sisäisillä vapausasteilla on tyypilliset enegiaskaalansa. Kun k B T E rot, vib,..., ne alkavat näkyä lämpökapasiteetissa. 7

18 Ω = ( M N ) = M! N!(M N)! mikrotilaa Entropia S = k B ln Ω =... M N k B N (ln MN ) + (8.42) Paine P = T ( ) S = k BT N V E,V a 3 M = k BTN/V = tuttu ideaalikaasu (8.43) Kaksiatomisten kaasujen ominasilämpökapasiteetteja C V /(k B N) Lähde: Wikipedia Muistamme, että kidevärähtelyjen lämpökapasiteetti suurella lämpötilalla oli 3Nk B, kaasun (pelkkä translaatioliike) 3 2 Nk B ja nyt kaksiatomisen kaasun translaatio- ja rotaatioliikemäärän yhteensä ( ) Nk B. Klassisessa statistisessa mekaniikassa nämä tulkitaan vapausasteiden lukumäärän avulla siten että jokaisen vapausasteen ominaislämpökapasiteetti on 3/2. Esim kidevärähtelyiden tapauksessa vapausasteita on 6: p x,p y,p z,x,y,z ja yksiatomisella kaasulla 3: p x,p y,p z. Koska kaksiatomisen kaasun rotaatiot lisäävät lämpökapasiteettia tekijällä Nk B T, voimme päätellä, että ne vastaavat kahta vapausastetta. Klassinen tulkita tälle on, että kaksiatominen molekyyli ei voi pyöriä ytimiä yhdistävän akselin ympäri, mutta kylläkin kahdessa muussa suunnassa, ja täten vapausasteita (sellaisia L.n komponentteja, jotka vaikuttavat energiaan) on kaksi. Tässä tapauksessa teimme kvanttimekaanisen tarkastelun rotaatiovapausasteille (8.39), joka antoi automaattisesti suuren lämpötilan rajalla saman tuloksen. Ei ole mitenkään selvää, että klassinen tarkastelu (mitä tuo termi sitten milloinkin tarkoittaa) olisi käytännössä helpompi kuin oikea kvanttimekaaninen. 8.4 Sovelluksia Jo kurssin A-osassa havainnollistimme sekoitusentropiaa hilakaasulla. Palataan vielä tässä samaan malliin ja osoitetaan, että hilakaasu toteuttaa ideaalikaasun tilanyhtälön. Tämä on siinä mielessä erikoista, että hilakaasumallissa hiukkaset vain makoilevat lokeroissaan, tai sitten hyppivät lokerosta toiseen ilman mitään selkeätä liikemäärää, joten paineen tulkinta astian seinään kohdistuvana voimana on hieman kyseenalainen. Sen sijaan paineen yleinen termodynaaminen määritelmä pätee toki tässäkin. Hilakaasu M hilapistettä, V = Ma 3. N atomia, M N Huom! Missään ei spesifioitu energiaa, vain entropia! Lämpökapasiteetti? Tämä hilakaasu on täysin entropian dominoima järjestelmä, jossa eri tilojen energioilla ei ole merkitystä. Tavallaan voidaan ajatella, että tämä on suuren lämpötilan raja: järjestelmällä kokonaisuutena niin paljon energiaa, että eri tilojen energioiden erotukset ovat sen rinnalla merkityksettömiä. Tosin, jotta voitaisiin antaa mielekäs tulkinta tilanyhtälössä esiintyvälle lämpötilalle, täytyy olla joku käsitys energiasta: muistetaan mikrokanoninen lämpötilan määritelmä T ( ) S. (8.44) E V,N Laimea liuos, osmoottinen paine Ideaalikaasun tilanyhtälö pätee myös nesteeseen liuonneelle aineelle (Perustelu sama kuin hilakaasulle) V,T : koko liuos P: liuennut aine PV = Nk B T (8.45) Liuoksen paine korkeampi kuin puhtaan liuottimen samassa lämpötilassa: P = N V k BT (8.46) 8

19 h Hamiltonin liikeyhtälöt: Esimerkkejä: q i = δh δp i ṗ i = δh δq i (8.5) N hiukkasen kaasu 3d avaruudessa: Puoliläpäisevä kalvo: paine-ero P = ρg h Kuten olemme huomanneet, myös tämä klassinen ideaalikaasu tietää jotain hyvin kvanttimekaanisesta suureesta eli Planckin vakiosta. Tämä johtaa mahdollisuuteen mitata Planckin vakion arvo makroskooppisella mittauksella sopivaa koejärjetelyä käyttämällä. Tässä hyödynnetään sitä, että faasitransitiossa voidaan oikeasti entropiaa mitata kokeellisesti: mittaamalla latenttilämpö ja lämpötila tiedetään entropian muutos. Sackur-Tetrode-yhtälö Saimme ideaalikaasun entropiaksi (8.23) { ( ) } 3/2 V mkb T S = Nk B ln N 2π (8.47) Koordinaatit x,... x N,y i,... y N, z,... z N, Liikemäärät p x,... px N,py i,... py N, pz,... pz N D = 3N, 6N-ulotteinen faasiavaruus Pyörivä kappale Koordinaatit Eulerin kulmat ϕ,θ,ψ, Liikemäärät: vektorin L 3 komponenttia p x Nesteen l ja kaasun g koeksistenssikäyrällä L = T (S g S l )= S g = L/T + S l (8.48) V N = k BT (8.49) P Näistä saadaan Sackur-Tetrode-yhtälö ln P = 5 2 ln k BT ln m 2π S l Nk B T L Nk B T (8.5) Kun S l tarpeeksi pieni, voidaan höyrynpainekäyrästä mitata! 8.5 Klassinen SM Käyttäen klassisen mekaniikan Hamiltonin formalismia voidaan klassisen ideaalikaasun statistinen mekaniikka yleistää klassiseksi statistiseksi mekaniikansi. Perehdymme tähän vain hyvin pintapuolisesti; tiedämmehän että fysikaalinen todellisuus ei ole klassinen vaan kvanttimekaaninen. Sitäpaitsi tulemme huomaamaan, että jollain tasolla tämä klassinen SM kuitenkin tietää kvanttimekaniikasta, koska siihen tarvitaan olennaisena osana Planckin vakio h; tästä lainausmerkit. Klassinen faasiavaruus Kertausta: klassinen aikakehitys on käyrä D+D-ulotteisessa faasiavaruudessa: Yleistetyt koordinaatit: q i (t), i =,2,... D Yleistetyt liikemäärät: p i (t), i =,2,... D Harmoninen oskillaattori ja vapaa hiukkanen +d faasiavaruudessa. Lisätietoa: Poissonin sulut ja kommutaattorit Formaalimmin faasiavaruus on parillisulotteinen avaruus, jossa on Poissonin sulkujen {u,v} = [ u v u ] v (8.52) q i p i p i q i i määrittelemä symplektinen rakenne. Suureen u liikeyhtälö saadaan sen Poissonin suluista Hamiltonin funktion H kanssa Muuttujaparia q i,p i, joille Poissonin sulku on u = {u,h} + u t. (8.53) {q i,p j} = δ ij (8.54) sanotaan kanonisiksi konjugaattimuuttujiksi. Juuri niitä vastaavien operaattorien välillä on kvanttimekaniikassa kommutaatiorelaatio [ˆq i,ˆp j] = i δ ij. (8.55) Tämän kanonisen kommutaatiorelaation normalisaatio on aina sama, i. Jos siis halutaan vaihtaa muuttujia ja ottaa esimerkiksi uudeksi koordinaatiksi Q = 2q, on vastaavaa konjugaattimuuttujaa pakko muuttaa täsmälleen käänteisellä tekijällä P = p/2, jotta uusia muuttujia vastaaville kvanttimekaniikan operaattoreille pätisi [ ˆQ, ˆP ] = i. (8.56) Koordinaatistomuutoksia jotka säilyttävät Poissonin sulut ja sen seurauksena Hamiltonin liikeyhtälöt sanotaan kanonisiksi muunnoksiksi. 9

20 Voidaan osoittaa, että kanonisessa muunnoksessa q i,p j Q i,p j myös integroimismitta faasiavaruuden yli säilyy, eli N i= dq i dp i = N i= dq i dp i. (8.57) Täten klassisessa mekaniikassa voidaan integroida faasiavaruuden yli tavalla, joka on invariantti kanonisissa muunnoksissa. Jos vain osataan tehdä tulosta dq dp dimensioton luku (lukumäärä), niin tätä voidaan käyttää tilojen laskemiseen. Tulon dq dp yksiköt ovatkin sopivasti samat kuin Planckin vakion... Faasiavaruusintegraali E =vakio = 2D -ulotteinen pinta faasiavaruudessa Ergodisuushypoteesi: pitkän ajan kuluessa järjestelmä on samalla todennäköisyydellä kaikkialla E-pinnalla Järjestelmä lämpökylvyssä: integraali faasiavaruuden yli Z = dγ exp { βh} (8.58) Mikä on mitta dγ? Tässä klassinen SM:kin tarvitsee Planckin vakion h Oikean Boltzmannin laskennan [ ] N dq i dp i dγ = [permutaatiot] h p i= q (8.59) Tämä on yleinen muoto, joka pätee mille tahansa klassisen Hamiltonin mekaniikan konjugaattimuuttujaparille q,p. Jos palaamme takaisin tällä kurssilla keskeiseen tapaukseen vapaista hiukkaista, saadaan tästä helposti johdettua tilatiheys yhdelle vapaalle hiukkaselle (7.27) tekemällä kulmaintegrointi: dγ = d 3 x d 2 p (2π) 3 3 = V dpp 2 4π (2π) 3 3 = V dp p2 2π 2 3 = V Energian ekvipartitio Klassisen mekaniikan systeemejä: Hiukkaset E = p2 2m dk k2 2π 2 (8.6) Harmoninen oskillaattori: E = p2 2m + 2 mω2 x 2 Pyörivä kappale E = L2 2I = Energia verrannollinen faasiavaruusmuuttujan neliöön Klassisesti: Z = dqe aq2 /(k B T ) T = E = d ln Z dβ Klassisen SM:n ekvipartitioteoreema Järjestelmän energia = 2 k BT per vapausaste Vapausasteet: kanoniset koordinaatit tai liikemäärät, joita vastaa Hamiltonin funktiossa neliötermi Klassinen raja: integroidaan faasiavaruuden yli (ei diskreettejä kvanttitiloja) = 2 k BT (8.62) Vakio E p q Lämpökylpy Faasiavaruusmitta dq dp/h kannattaa muistaa muodossa dq dp h = dq dp 2π. (8.6) 2

21 Luku 9 Muuttuva hiukkasluku 9. Suurkanoninen ensemble Tähän asti olemme enimmäkseen tarkastelleet systeemejä, joissa on kiinteä lukumäärä N hiukkasia. Monissa tilanteissa on kuitenkin käytännöllistä antaa hiukkasten lukumäärän fluktuoida, eli systeemin vaihtaa hiukkaisia ympäristönsä kanssa. Tilanne on täysin analoginen sen kanssa, miten kurssin A-osassa lähdimme liikkeelle eristetystä systeemistä (energia E vakio) ja siirrryimme systeemiin, joka voi vaihtaa energiaa lämpökylvyn kanssa. Siksi aloitetaankin palauttamalla mieleen, miten tämä siirtymä tapahtui. Kertaus: lämpökylpy Muistetaan kurssin A-osasta Mikrokanoninen ensemble: Kiinteä E,V,N T T, E Legendren muunnos; partitiofunktio Muistetaan: energian luonnolliset muuttujat S,V,N (mikrokanoninen): de = T ds P dv + µ dn (9.3) Legendren muunnos: uusi TD potentiaali vapaa energia (kanoninen): E = F = E TS; df = S dt P dv + µ dn (9.4) Tätä vastaa tilasumman Laplace-muunnos Mikrotilat yhtä todennäköisiä Lasketaan lämpötila T = ( ) S E V,N (9.) Ω(E); S(E) = k B ln Ω(E) = Z(T ) = deω(e)e βe ; F = T ln Z(T ) (9.5) Muistetaan Ω(E) =tilojen lukumäärä energialla E Kanoninen ensemble E,V,N tilat s = s = {}}{ deδ(e E s ) = Ω(E) { }}{ de δ(e E s ) = s de Ω(E) (9.6) Vaihdetaan energiaa ympäristön kanssa T,V,N Järjestelmän+ympäristön mikrotilat yhtä todennäköisiä = johdettiin P(E) = g(e) exp { βe} (9.2) Z = lasketaan energian odotusarvo E Lisätietoa: Tarkemmin Legendren muunnoksesta kanonisen ja mikrokanonisen ensemblen välillä Huomautettakoon että analogia mikrokanonisen ja kanonisen ensemblen välillä ei ole aivan täydellinen. Tarkemmin sanottuna terminologiaa ei tässä kohdassa ole historiallisista syistä valittu aivan symmetriseksi. Puhuttaessa Legendren muunnoksesta terminologia on yleensä, että energia on termodynaaminen potentiaali ja entropia tilanmuuttuja: E(S,V,N). Näistä tilanmuuttuja entropia on se, joka saadaan ti- 2

22 lasumman Ω(E) logaritmista. Kanonisessa ensemblessä teemme tilasumman Ω(E) Laplace-muunnoksen ja saamme lämpötilasta riippuvan uuden tilasumman Z(T ). Nyt tämän tilasumman logaritmista saatava suure on termodynaaminen potentiaali F, kun taas tilanmuuttuja T on muuttuja, josta tilasumma riippuu. Kun ajatellaan tilasumman ja termodynaamisen muuttujan yhteyttä pitäisikin siis ajatella, että energia on tilanmuuttuja ja entropia termodynaaminen potentiaali. Tällöin saadaan symmetrisempi yhteys: tilasumman (Ω tai Z) logaritmi on termodynaaminen potentiaali (S tai F ) joka riippuu tilasumman luonnollisesta muuttujasta (E tai T ). Tilasummat liittyvät toisiinsa Laplacemuunnoksen ja potentiaalit Legendre-muunnoksen välityksellä. Kaaviona: E vakio vakio Ω(E) Laplace E β Z(T ) ln S(E) = k B ln Ω(E) F (T ) = k BT ln Z(T ) lasketaan T ds = T de de = T ds T ln lasketaan S df = S dt Legendre F = E T S Symmetrisempään muotoon tämä saadaan ottamalla T :n sijaan muuttujaksi β = /(k BT ), vapaan energian sijaan potentiaaliksi F/(k BT ) = βf ja tietenkin jakamalla entropia muunnoskertoimella k B. Tarkastellaan M identtistä järjestelmää, M Statistinen paino tilanteelle, jossa p i M järjestelmää on tilalla i ( ) = S = k B p i ln p i p i = (9.7) i Nyt pääsemme vihdoinkin asiaan. Kaasujen tapauksessa huomasimme, että on yllättävän monimutkaista valita systeemiksi tietty kiinteä joukko identtisiä hiukkasia. Tällöin joudutaan murehtimaan, mitä tapahtuu jos hiukkaset ovat samalla yksihiukkastilalla vaikka eivät saisi, tai sitten miettimään miten lasketaan mikrotilojen lukumäärä oikein kun kahden hiukkasen vaihtaminen keskenään vastaakin samaa mikrotilaa. Onkin helpompi muuttaa ajattelutapaa niin, että otamme systeemimme määritelmäksi tietyn kiinteän tilavuuden, johon voi siirtyä hiukkasia ulkopuolelta ja josta hiukkaset voivat poistua. Jos tämä systeemi on termodynaamisessa (tarkemmin sanottuna kemiallisessa) tasapainossa ympäristönsä kanssa, hiukkasten keskimääräisen lukumäärän pitäisi olla aika lähellä vakiota. Voimme nyt toistaa saman tarkastelun, joka lämpökylvyn tapauksessa johti Boltzmannin todennäköisyysjakaumaan. Suurkanoninen joukko: hiukkaskylpy i E β N b,e b vakio Ω(E) ln S(E)/k B = ln Ω(E) lasketaan β ds/k B = β de Laplace E β Legendre βf = S/k B βe Z(β) vakio ln ( βf )(β) = ln Z(β) lasketaan E d( βf ) = E dβ Palautetaan vielä mieleen kolmas statistisen fysiikan peruskonstruktio, jossa voidaan laskea systeemin entropia kunhan vain tunnetaan millä todennäköisyydellä sen on missäkin tilassa. Tämän Gibbsin entropian voima on siinä, että nyt ei oletetan mitään erityistä eristetystä systeemistä, lämpökylvystä eikä muustakaan vuorovaikutuksesta järjestelmän jä ympäristön välillä. Näin saadaan lauseke, joka on yleistettävissä myös erilaisiin epätasapainosysteemeihin. Kertaus: Gibbsin entropia N s,e s Järjestelmä hiukkas- ja lämpökylvyssä: Järjestelmä ja ympäristö, hiukkasia N s + N b = N, energiaa E s + E b = E Kokonaismikrotilat yhtä todennäköisiä Ω(N s,n b ; E s,e b ) = Ω s (N s ; E s )Ω b (N N s ; E E s ) = Ω s (N s ; E s ) exp {S b (N N s ; E E s )/k B } (9.8) (Ympäristön entropian määritelmä S b k B ln Ω b ) Järjestelmä pieni, ympäristö suuri = Taylor S b (N N s ; E E s ) = S b (N; E) /T {}}{ S b (N; E) E E s µ/t {}}{ S b (N; E) N s (9.9) N Muistetaan kemiallisen potentiaalin määritelmä ( ) S µ T N V,N (9.) 22

23 Todennäköisyysjakauma, partitiofunktio Saatiin statistinen paino MK:lle (=järjestelmä + ympäristö) = t.n.-jakauma Ω(N s,n b ; E s,e b ) = Ω s (N s,e s ) { exp E s k B T + µn s k B T + O Tilojen lukumäärä ( Es E,N s N )} Ω b (E) (9.) Ω s (N s,e s ) = tilat r δ(e r E s )δ(n r N s ) (9.2) Tilan todennäköisyys, T,µ kylvyn suureet { p s exp E s k B T + µn } s k B T Suurkanoninen jakauma eli Gibbsin jakauma p tila s = { Z exp E s k B T + µn } s k B T Z = { exp E s k B T + µn } s k B T tilat s Normitus Z on suurkanoninen partitiofunktio (9.3) (9.4) (9.5) Toisin kuin esim Mandlin kirjassa, merkitsemme tässä tilalla r,s kaikkia systeemin mahdollisia tiloja, sisältäen eri lukumääriä hiukkasia. Summa r siis sisältää sekä summan hiukkasten lukumäärän N yli että jokaista N:n arvoa kohti summan eri N-hiukkastilojen yli. Samoin kuin partitiofunktio Z(β) voidaan ajatella tilojen lukumäärän Ω(E) Laplace-muunnoksena, myös suurkanoninen partitiofunktio Z on tavallisen partitiofunktion Laplacemuunnos muuttujasta N muuttujaan µ. Suurkanoninen partitiofunktio Laplace-muunnoksena Erotellaan tilasummasta erikseen tilat r(n), joissa on sama määrä hiukkasia Z = { exp E s k B T + µn } s = k B T tilat s { } µn { exp exp E } s k B T k B T N s(n) = { } µn exp Z(N,T ) (9.6) k B T N Isolle systeemillä korvataan N jatkuvalla muuttujalla: { } µ Z(µ,T ) = dn exp k B T N Z(N,T ) (9.7) Suurkanoninen partitiofunktio on siis tavallisen partitiofunktion Laplace-muunnos Muistamme, että partitiofunktio Z on eräänlainen tilojen todennäköisyyksien generoiva funktio, jota derivoimalla saa laskettua energian odotusarvon lisäksi myös fluktuaatiot. Samoin suurkanonisesta partitiofunktiosta voidaan laskea hiukkasten lukumäärän fluktuaatiot. Hiukkaslukumäärä: odotusarvot, fluktuaatiot p tila s = Z exp { β (E s µn s )} (9.8) Z = exp { β (E s µn s )} (9.9) E = ln Z β Toinen derivaatta 2 Z µ 2 = β2 s tilat s N = s N s p s = k B T ln Z µ N 2 s exp { β (E s µn s )} = β 2 Z N 2 = 2 ln Z µ 2 = µ = Z [ Z 2 Z µ 2 Z 2 ] Z µ ( Z µ ) 2 (9.2) = β 2 ( N 2 N 2) (9.2) Tiedämme: ln Z ja sen derivaatat ekstensiivisiä: E N = N = N 2 N 2 N = N N N (9.22) Periaatteessa N fluktuoi, käytännössä vakio: N TD = N SM Tämä tarkastelu on itse asiassa aivan samanlainen kuin se, jonka teimme kurssin A-osassa energialle, monisteen luku Termodynamiikka hiukkaskylvyssä Suuri potentiaali Muistetaan: Mikrokanoninen joukko = potentiaali S = k B ln Ω(E) 23

24 Kanoninen joukko = potentiaali F = k B T ln Z(T ) Vastaava potentiaali suurkanonisessa joukossa? Tiedetään todennäköisyydet = lähdetään laskemaan Gibbsin entropiaa: e β(es µns ) S = k B p s ln p s = k B p s ln Z s s k B p s (βµn s βe s ln Z) s = µ T N + T E + k B ln Z = k B T ln Z = E TS µn (9.23) Suuri potentiaali Tunnistetaan Legendren muunnokseksi, uusi suuri potentiaali Ω G (T,V,µ) = k B T ln Z = E T S µn dω G = S dt P dv N dµ (9.24) Kaavassa (9.23) ln Z-termissä käytettiin normitusta s p s =. Suuren potentiaalin differentiaalia (9.24) varten tarvitsee muistaa, että de = T ds P dv + µ dn. Muistamme kurssin A-osasta (monisteen luku 4.2) perusalgoritmin systeemin termodynamiikan laskemiseksi, jos mikrotilojen energiat tunnetaan. Tämä perusalgoritmi yleistyy nyt suoraan hiukkaskylvyn tapaukseen. Perusalgoritmi, uudestaan Tunnetaan systeemin energiatilat eri hiukkasten lukumäärillä: Lasketaan suurkanoninen partitiofunktio Z = exp { β (E r µn r )} (9.25) tilat r Tästä saadaan suuri potentiaali Ω G (T,V,µ) = k B T ln Z (9.26) Suurta potentiaalia derivoimalla termodynaamiset suureet dω G = S dt P dv N dµ (9.27) ( ) ΩG S = (9.28) T V,µ ( ) ΩG P = (9.29) V T,µ ( ) ΩG N = (9.3) µ V,T ( ) S edelleen esim. C V = T (9.3)... T V,µ = Lisäksi kannattaa muistaa (A-osasta) G = E TS + PV = µn = Ω G = PV (9.32) Kurssin A-osassa käytiin läpi tulokseen G = µn johtava ekstensiivisyysargumentti faasitransitioiden yhteydessä luvussa 5.. Olennaisesti tämä meni seuraavasti: tiedetään dg = S dt + V dp + µ dn, ja koska G:n luonnollisista muuttujista ainoastaan N on ekstensiivinen, on oltava G(T,P,N) = g(t,p )N, josta g = µ ja G = µn. Nämä ekstensiivisyysargumentit pätevät vain termodynaamisessa tasapainossa, vaikka termodynaamiset potentiaalit voidaan Gibbsin entropiasta laskea muillekin kuin tasapainojakaumille. Joissakin yhteyksissä (äärellisen lämpötilan kenttäteoria) näkeekin puhuttavan paineen laskemisesta, kun ollaan laskemassa suurta potentiaalia. Suuren potentiaalin luonnollinen muuttuja on kemiallinen potentiaali µ, joka on tullut tällä kurssilla vastaan jo monessa yhteydessä. Kemiallista potentiaalia on kuitenkin vaikea hahmottaa intuitiivisesti. Yritämme tässä esittää muutamia tapoja, joilla sen luonnetta voisi yrittää ymmärtää. Mitä tarkoittaa kemiallinen potentiaali?. Määritelmä: µ = T ( ) S N E,V Hieman hankala toteuttaa käytännössä, miten tuodaan systeemiin hiukkanen ilman että E,V muuttuvat? (9.33) 2. Muistetaan faasimuunnoksista Gibbsin vapaa energia G(T,P) µ = g(t,p) = (9.34) N Hiukkasia siirtyy faasista toiseen kunnes faasien µ sama. Analogia T lämmön johtuminen; µ hiukkasen siirtyminen faasien välillä 3. Idealisoitu hiukkaskylpy b: S b = vakio, kaikkien kylvyn hiukkasten energia ε. Nyt hiukkasten siirtyessä systeemiin: de = ε dn (9.35) TD2: S tot kasvaa, ol. lisäksi S b = vakio: ds = ( ) ( ) S S de + E V,N N V,E dn = de T µ T dn = ε µ dn (9.36) T ε > µ dn > : hiukkasia siirtyy järjestelmään ε < µ dn < : hiukkasia siirtyy pois µ: minimienergia, joka kylvyn hiukkasella pitää olla siirtyäkseen spontaanisti järjestelmään. 24

25 4. Lagrangen kerroin: olennaisesti matemaattinen temppu, jolla Annetaan N:n saada eri arvoja = helpompi laskea Valitsemalla µ saadaan kiinnitettyä N haluttuun arvoon. Käytännön laskuissa helpompi sallia energian vaihto lämpökylvyn kanssa kuin olettaa E =vakio. Kemiallinen potentiaali sallii saman hiukkasten vaihdolle: analoginen lämpötilan kanssa. Lisätietoa: Yleinen kemiallinen potentiaali Yleisemmin kemiallinen potentiaali tai kemiallisia potentiaaleja liittyy mihin tahansa säilyvään suureeseen, jota järjestelmä voi vaihtaa ympäristönsä kanssa. Tällä kurssilla tarkastellaan enimmäkseen epärelativistista fysiikkaa. Tällöin hiukkasten lukumäärä on säilyvä suure, ja käytännön sovelluksissa tärkein sellainen. Relativistisessa teoriassa voi syntyä hiukkas-antihiukkaspareja, ja säilyvä suure on itse asiassa hiukkasten lukumäärä miinus antihiukkasten lukumäärä. Yleisemmin systeemin symmetrioihin liittyy säilyviä varauksia (vaikkapa sähkövaraus), joiden vaihtoa ympäristön kanssa voidaan kuvata kemiallisella potentiaalilla. 9.3 Sovelluksia Klassisen ideaalikaasun suuri potentiaali Ω G on helppo laskea. Kun vielä oikaistaan hieman ja käytetään ekstensiivisyysargumenttia (9.32), saadaan tästä johdettua jälleen kerran klassisen ideaalikaasun tilanyhtälö. Klassinen ideaalikaasu Muistetaan klassisen ideaalikaasun partitiofunktio Z N (T,V,N) = N! [Z (T,V )] N = Z(T,V,µ) = e βµn Z N (T,V,N) N= Ω G (T,V,µ) = k B T ln Z = exp { e βµ Z (T,V ) } (9.37) = k B Te βµ Z (T,V ) (9.38) ( ) ΩG N = µ V,T = e βµ Z (T,V ) = Ω G (9.39) k B T = Ω G = PV = Nk B T = tilanyhtälö (9.4) Käyttämällä yhden hiukkasen klassista partitiofunktiota (8.3): Missä Z int = sisäisten vapausasteiden partitiofunktio Erityisen ihmeellistä tässä on se, että itse asiassa laskussa käytettiin vain tietoa Z N = N! [Z (T )] N, (9.42) eikä tilanyhtälön laskemiseen tarvittu lainkaan tietoa yhden hiukkasen partitiofunktiota Z. Täten tilanyhtälö ei siis riipu esimerkiksi hiukkasten massasta, vaan vaatii ainoastaan klassisen approksimaation (9.42) pätemistä. Nyt siis tiedämme periaatteessa klassisen ideaalikaasun kemiallisen potentiaalin. Tämä tulos antaa ensimmäisen kerran mahdollisuuden konkreettisesti käyttää kemiallista potentiaalia Lagrangen kertoimena, jolla kiinnitetään N haluttuun arvoonsa. Joskus lasku on helppoa tai luontevaa tehdä µ:n avulla. Kun nyt on saatu haluttu fysikaalinen suure klassiselle ideaalikaasulle ilmaistua µ:n funktiona, käyttämällä tunnettua yhteyttä (9.4) saadaan tämä suore suoraan ilmaistua N:n avulla. Tämä tietysti olettaen, että tunnetaan kaasun sisäisten vapausasteiden vaikutus Z int. Alkeishiukkasten kohdalla näin onkin, mutta atomien ja molekyylien osalta saadun tuloksen käytännön sovellettavuus on melko rajoitettu sisäisten vapausasteiden monimutkaisuuden vuoksi. Tarkastellaan lopuksi myös syytä, miksi kemiallinen potentiaali on nimenomaan kemiallinen, se nimittäin on hyvin käytännöllinen kemiallisten reaktioiden kuvailussa. Reaktiossa aineen hiukkasten lukumäärät muuttuvat, kunnes reaktio asettuu tasapainoon. Tasapainotilassa reagoivien aineiden kemiallisten potentiaalien välillä vallitsee yhteys. Kemiallinen reaktio ν A A ν B B ν C C +ν D D i Esim 2H 2 S + 3O 2 2H 2 O + 2SO 2 = ν(h 2 S) = 2 ν(o 2 ) = 3 ν i M i = (9.43) ν(h 2 O) = 2 ν(so 2 ) = 2 (9.44) (Yleistyy helposti eri määrille reagoivia aineita) Parametrisoidaan reaktion etenemistä reaktioasteella ξ: dn i = ν i dξ (9.45) Vakio P, T : minimoidaan Gibbsin funktiota G = i µ i N i dg = dξ i ν i µ i = = tasapainossa i Huom! Tämä vain yleistää faasitransitioiden ν i µ i = (9.46) exp {βµ} = N Z = N V ( 2π 2 mk B T ) 3/2 Z int (T ), (9.4) neste kaasu = tasapainossa µ neste = µ kaasu (9.47) 25

26 Reaktioasteen merkitys siis on tässä vain kirjanpidollinen. Kaikkien reaktioon osallistuvien aineiden lukumäärät muuttuvat, mutta nämä muutokset eivät ole riippumattomia vaan niitä sitoo ehto, että muutosten täytyy tapahtua reaktioyhtälön mukaisesti. Täten hiukkasten lukumäärien muutoksia kuvaamaan riittää yksi riippumaton muuttuja. Muistamme yhtälöstä (9.4), että ideaalikaasun kemiallinen potentiaali riippuu kombinaatiosta N/Z (T,V ), missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T,V ) on suoraan verrannollinen tilavuuteen. Tässä yhteydessä kannattaa tuo tilavuusriippuvuus ottaa erikseen ja määritellä vain lämpötilasta riippuva funktio, joka sisältää sekä translaatioliikkeen partitiofunktion ilman tekijää V että sisäisten vapausasteiden partitiofunktion Z int. Määrittelemme siis φ(t ) V/Z (T,V ). Kemiallinen reaktio ideaalikaasulle Z V ; määritellään φ(t ) V /Z (T,V ) = riippuu vain T :stä Klassiselle ideaalikaasulle tasapainoehto helppoon muotoon exp {βµ} = N = N Z V φ(t ) { = = exp β i ν i µ i } = [ Kirjoitetaan massavaikutuksen lakina konsentraatioille N i /V tai osapaineille P i i ( ) ] νi Ni φ ν i i (T ) V i (9.48) ( ) [ νi Ni = φ ν i i (T )] K c (T ) = tasapainovakio V i i (9.49) [ ( ) ] νi P ν i kb T N i i = = K c (T )(k B T ) i ν i K P (T ) V i i (9.5) Riippu vain lämpötilasta: ei paineesta, alkutilasta... Muistetaan: myös laimea liuos ideaalikaasu Jos tunnetaan sisäiset vapausasteet Z int (T ), osataan laskea φ(t ) ja tasapainovakio! Kemiassa K c (T ) määritetään kokeellisesti Yleensä kuitenkin kemiallisten reaktioiden tapauksessa molekyylien sisäiset vapausasteet ovat sen verran monimutkaisia, ettei niitä osata laskea. Kemiallisen reaktion tapauksessa tasapainovakio onkin määritettävä kokeellisesti kullekin reaktiolle erikseen. Sen sijaan fysiikassa joskus esiintyy yksinkertaisempia systeemejä, joissa sisäiset vapausasteet ymmärretään tarpeeksi hyvin, että reaktiovakio voidaan laskea. Harjoitustehtävänä käsitellään esimerkkinä vedyn ionisoitumisreaktiota, jossa hyvällä tarkkuudella ainoa tarvittava tieto on sidosenergia. Nyt sisäisten vapausasteiden partitiofunktio riippuu myös hiukkasten potentiaalienergiasta, esim. sidotun tilan tapauksessa. Tämä nollataso on valittava konsisentilla tavalla kaikille reaktioyhtälössä mukana oleville aineille. Tarkastellaan esimerkiksi sidotun tilan muodostumista (ionisoitumisreaktiota) A + B AB Jos valitaan energian nollataso niin, että vapaille hiukkasille A ja B potentiaalienergia on nolla, niin Z int A,B e β =, (9.5) ja koska sidotun tilan AB sidosenergia on ε AB <, niin sidotun tilan Z int AB e β ε AB >, (9.52) Nyt kannattaa miettiä etumerkkejä: kuten yhtälöstä (9.4) nähdään, suurempi Z int pienentää kemiallista potentiaalia (kiinteällä N,V ). Jotta reaktio voisi olla tasapainossa, on molempien puolien kemiallisten potentiaalien summien oltava sama, joten Z int > täytyy kompensoida suuremmalla N:llä, jotta saadaan sama µ. Täten sidottua tilaa (jonka energia on matalampi), on tasapainossa sitä enemmän, mitä suurempi sidosenergian itseisarvo; hyvin järkeenkäypä tulos. Vastaavasti lämpötilan kasvaessa Z int AB pienenenee. Jotta kemiallinen potentiaali pysyisi tasapainoarvossaan, on myös sidottujen tilojen AB lukumäärän pienennyttävä. Kuumentaminen saa siis sidotut tilat hajoamaan, taaskin yleisen fysikaalisen intuition mukaisesti. Reaktiolämpö ja tasapainovakio Gibbsin funktion muutos reaktion tapahtuessa: G = ξ ν i µ i i [ [ ] = ξ k B T ln (P i ) ν i i ] k B T K P (T ) Termodynaamista kikkailua: G = E + PV T S = H T S; S = ( ) G T ( ) ( ) G (G/T ) H = G T = T 2 T P,N T P,N P,N Entalpian H muutos on reaktiolämpö Q P, joten saadaan van t Hoffin yhtälö Q P = H ξ = T 2 ( i ν ) iµ i T T = T 2 ( kb T ln [ ) i Pν i i ] k B T ln K P (T ) T T (9.53) (9.54) P,N i = k B T 2 d dt ln K P(T ) (9.55) Yhtälö siis liittää toisiinsa kaksi erillistä (kokeellisesti mitattavissa olevaa) suuretta: reaktiovakion (kertoo mitkä ovat tasapainokonsentraatiot) lämpötilariippuvuuden ja reaktiolämmön 26

27 (kertoo kuinka paljon lämpöä reaktiossa sitoutuu tai vapautuu). Kannattaa miettiä etumerkkejä. Jos Q P > eli reaktioyhtälön oikean puolen entalpia on suurempi, reaktion tapahtuessa vasemmalta oikealle absorboidaan lämpöä (endoterminen reaktio). Tällöin K P (T ) kasvaa lämpötilan kasvaessa, eli korkeammassa lämpötilassa reaktion tasapaino siirtyy kohti reaktioyhtälön oikeaa puolta. Lämpötilan kasvattaminen toisin sanoen siirtää tasapainoa kohti reaktioyhtälön sitä puolta, joka absorboi lämpöä. Huomattakoon, että vaikka reaktiota kuvaa vain yksi reaktiovakio K c (T ), eri alkutilat johtavat erilaiseen tasapainoon riippuen alkutilan hiukkasten lukumääristä. Esimerkki: ideaalikaasureaktion tasapaino Oletetaan reaktio: 2A + B C + D (9.56) Tasapainovakio -hiukkaspartitiofunktioista [ ] / [ ( ) ] 2 NC N D NA N B = K c (T ) V V V V [ ] / [ ( ) 2 ZC Z D ZA Z B = V V V V Lähtötilanne Lopputilanne ] (9.57) N A = N (9.58) N B = N (9.59) N C = (9.6) N D = (9.6) N A = ( 2x)N (9.62) N B = ( x)n (9.63) N C = xn (9.64) N D = xn (9.65) Tasapaino: ratkaistaan x yhtälöstä x 2 ( 2x) 2 ( x) = K c(t ) N V = P k B T K c(t ) (9.66) x 2 ( 2x) 2 ( x) Tulkintaa: isommalla P tasapaino enemmän oikealla, jossa pienempi V. = Kokoonpuristuva systeemi! Translaatioliikkeen osuus K c (T ):sta osataan laskea (translaation Z ) 27

28 Luku Kvanttikaasu. Kvanttistatistiikat Oletamme muilta kursseilta tunnetuksi sen perusasian, että kvanttimekaaniset hiukkaset ovat joko bosoneita tai fermioneja. Kvanttimekaniikan kursseilla havaitaan keskeiseksi bosonien ja fermionien käyttäytymisen määrääväksi seikaksi aaltofunktion symmetrisyys/antisymmetrisyys kahden identtisen hiukkasen vaihdossa. Kaksi hiukkasta voidaan vaihtaa keskenään myös kiertämällä systeemiä kulmalla π niiden keskipisteen ympäri: täten hiukkasten vaihto on yhteydessä kiertoihin ja pyörimismäärään, erityisesti hiukkasten sisäiseen pyörimismäärään eli spiniin. Tällä kurssilla emme varsinaisesti näitä symmetrisyystarkasteluja tarvitse. Meille riittää tieto siitä, että identtisiä bosoneja voi samalla yksihiukkastilalla olla kuinka monta tahansa, kun taas fermioneja voi olla samalla tilalla korkeintaan yksi. Lisäksi meidän täytyy osata laskea hiukkasten sisäiset vapausasteet oikein eli tietää, että spin-/2-hiukkasella kuten elektronilla on kaksi mahdollista spin-tilaa. Tässä luvussa törmäämme myös fotoneihin mustan kappaleen säteilyn yhteydessä. Fotoni on spin--hiukkanen. Yleisesti ottaen spin- -hiukkasella on 3 spin-tilaa. Fotonilla näitä on kuitenkin vain kaksi johtuen siitä, että se on massaton. Tämä muistetaan myös sähkömagnetismin kurssilta, jossa on opittu että sähkömagneettisella säteilyllä on kaksi riippumatonta polarisaatiotilaa. Tällä kurssilla oletamme siis tunnetuksi, että fotonilla on kaksi spintilaa. Aaltofunktio ja hiukkasten vaihto Bosonit Spin kokonaisluku:,,2,... Esim. fotoni, pioni, 4 He,... Monta identtistä bosonia: Aaltofunktio symmetrinen: Bosonit yksihiukkastiloilla a,b: Ψ(x,x 2 ) Ψ(x,x 2 ) = Ψ(x 2,x ) (.) = 2 (ψ a (x )ψ b (x 2 ) + ψ a (x 2 )ψ b (x )) (.2) Voi olla a = b = monta hiukkasta samalla tilalla Fermionit Spin puoliluku: /2,3/2,5/2,... Esim. e,p,n, 3 He,... Monta identtistä fermionia: Aaltofunktio antisymmetrinen: Ψ(x,x 2 ) = Ψ(x 2,x ) (.3) Fermionit yksihiukkastiloilla a,b: Ψ(x,x 2 ) = 2 (ψ a (x )ψ b (x 2 ) ψ a (x 2 )ψ b (x )) (.4) Ei olla a = b = vain yksi hiukkanen samalla tilalla = Paulin kieltosääntö Lisätietoa: Luomis- ja tuhoamisoperaattorit Formaalimmin monihiukkastilojen kvanttimekaaninen käsittely tapahtuu luomis- ja tuhoamisoperaattorien avulla (kurssi Kvanttimekaniikka II). Bosoni- ja fermitilat saadaan operoimalla Fockin avaruuden (monihiukkasteorian Hilbertin avaruus) vakuumiin luomisoperaattoreilla s = a s (.5) s = b s. (.6) Bosoniset luomisoperaattorit a kommutoivat keskenään: [ ] a r, a s =, (.7) jolloin niillä luodut monihiukkastilat ovat symmetrisiä rs = a ra s = a sa r = sr. (.8) Fermioniset luomisoperaattorit b sen sijaan antikommutoivat keskenään: { } b r, b s = b rb s + b sb r =, (.9) jolloin niillä luodut monihiukkastilat ovat antisymmetrisiä rs = b rb s = b sb r = sr. (.) 28

29 Riippumattomat yksihiukkastilat: ei vuorovaikutuksia Oletetaan edelleen ideaalikaasu = ei vuorovaikutuksia Monihiukkastilat ovat yksihiukkastilojen tuloja Systeemin mikrotilan kuvaukseen riitävät Yksihiukkastilat r (tyypillisesti aaltotilat k, joiden luku tilatiheydellä) Tilalla olevien hiukkasten lukumäärä n r (Bosoneille,,2,... ; Fermioneille tai ) Tyypillisesti siis: = tilat s dkf (k) esim. kaasu: f (k) dk = V 2π 2 k2 dk (.) Esimerkiksi hiukkasten lukumäärä N = n r = dkf (k) n k (.2) tilat r Lisätietoa: Dekoherenssi, tiheysmatriisi Kvanttimekaniikka II:n kurssilla opitaan muodostamaan Slaterin determinantin avulla täydellisen antisymmetrinen N-hiukkastila N:lle fermionille. Tämä on kuitenkin vain yksi kvanttimekaaninen tila: se on kaukana termisestä tasapainosta ja sen entropia on nolla. Statistisessa fysiikassa tarkastellaan tasapainojärjestelmää, jossa järjestelmä voi olla eri todennäköisyyksillä eri tiloissa. Tässä näitä todennäköisyyksiä ei pidä ajatella samoin kuin kvanttimekaniikan todennäkösyysamplitudin neliönä saatavina todennäköisyyksinä, vaan matemaattisena käsittelynä sille, ettemme tiedä, missä kvanttimekaanisessa tilassa systeemi on. Formaalimmin kvanttistatistisessa fysiikassa tätä kuvataan ns. tiheysmatriisin avulla. Muistamme että kvanttimekaaniset tilat ovat vektoreita Hilbertin avaruudessa. Tiheysmatriisi on tässä avaruudessa operoiva lineaarinen operaattori, jolla kuvataan systeemin tilaa. Järjestelmälle, joka on yhdessä kvanttimekaanisessa tilassa Ψ, on tiheysmatriisi ˆρ = Ψ Ψ. (.3) Jos taas meillä on joku statistisen fysiikan jakauma, tätä kuvaa tiheysmatriisi ˆρ = s p s s s. (.4) Fysikaalisten suureiden ominaisarvoja lasketaan ottamalla Hilbertin avaruudessa jälki tiheysmatriisin ja observaabelia kuvaavan operaattorin tulosta: ] O = Tr [Ôˆρ. (.5) Puhtaalle tilalle (.3) tämä on tuttu kvanttimekaniikan odotusarvo ] Tr [Ô Ψ Ψ = Ψ Ô Ψ, (.6) kun taas sekatilalle (.4) se on klassinen (todennäköisyyksillä laskettu) odotusarvo kvanttimekaanisista odotusarvoista: Entropia on Tr [ Ô s p s s s ] = s S = Tr [ˆρ ln ˆρ] = s p s s Ô s. (.7) p s ln p s, (.8) mistä huomataan heti että puhtaalle tilalle (yksi p s = ja muut nollia) entropia on nolla. Dekoherenssi tarkoittaa sitä, että monimutkaiselle monihiukkasjärjestelmälle hyvinkin heikko vuorovaikutus ympäristön kanssa saa tiheysmatriisin kehittymään nopeasti puhtaasta tilasta (.3) sekatilaan (.4). Ideaalikaasulle, eli ilman vuorovaikutuksia, kaikkien kaasun hiukkastenenergia riippuu vain niiden liikemäärästä (tai yleisemmin siitä, millä yksihiukkastilalla ne ovat; tyypilliset yksihiukkastilat ovat liikemäärän ominaistilat). Hiukkasen energia ei siis riipu siitä, kuinka monta hiukkasta samalla yksihiukkastilalla on yhteensä, eikä siitä kuinka monta hiukkasta on muilla yksihiukkastiloilla. Tässä approksimaatiossa yksihiukkastilalla r (yhden tällä tilalla olevan hiukkasen energia ε r ) olevien hiukkasten yhteenlaskettu energia E r on tilalla olevien hiukkasten lukumäärä kertaa tilan energia E r = n r ε r. Tällöin suurkanonisessa partitiofunktiossa oleva tekijä β(e r n r µ), missä E r on kaikkien tilalla r olevien hiukkasten energia, yksinkertaistuu muotoon β(ε r µ)n r. Nyt voimme helposti summata tilalla olevein hiukkasten lukumäärien n r yli ja johtaa kvanttimekaanisen ideaalikaasun suuren partitiofunktion. Tehdään tämä samalla sekä fermioneille (F ) että bosoneille (B). Suurkanoninen partitiofunktio Yksi tila jolla n hiukkasta = energia nε Yhden tilan tilasummat Z B = Z F = e β(ε µ)n = (.9) e β(ε µ) n= e β(ε µ)n = + e β(ε µ) (.2) n= Yhden tilan suuri potentiaali Ω G = k B T ln Z [ ΩG B = k B T ln e β(ε µ)] (.2) [ ΩG F = k B T ln + e β(ε µ)] (.22) Monelle tilalle r =, 2,... : Z = r Z r ja Ω G = r Ω G,r ΩG B = k B T [ ln e β(εr µ)] (.23) r ΩG F = k B T [ ln + e β(εr µ)] (.24) r 29

30 ( ) Hiukkasten lukumäärä N = ΩG µ V,T N B = r N F = r e β[εr µ) (.25) + e β(εr µ) (.26) Tässä vaiheessa lienee hyödyllistä verrata, miten saadut tulokset poikkeavat klassisen ideaalikaasun (Maxwell- Boltzmann) approksimaatiosta. Muistetaan, että klassisen ideaalikaasun raja tarkoittaa harvan, kuuman kaasun rajaa. Tässä yhteydessä tätä on helpompi tarkastella harvan kaasun rajana kiiteällä lämpötilalla. Hiukkasen lukumäärä on kasvava kemiallisen potentiaalin funktio, joten harvan kaasun raja on sama kuin pienen kemiallisen potentiaalin raja. Partitiofunktiossa kemiallinen potantiaali esiintyy aina kombinaatiossa ε µ, joten harvan kaasun rajalle menemiseksi täytyy tarkastella miehityslukuja rajalla ε µ k B T. Harva kaasu: klassinen raja Fermi-Dirac [FD] Nyt siis tarkastelemme tilannetta, jossa järjestelmän kaikki yksihiukkastilat voivat vaihtaa hiukkasia hiukkaskylvyn kanssa. Meillä on siis kiinteä kemiallinen potentiaali, mutta hiukkasten lukumäärä fluktuoi. Jos kunkin yksihiukkastilan hiukkasten lukumäärä fluktuoi, niin tietenkin koko systeemin hiukkasten lukumäärä N fluktuoi myös. Käytännön laskun kannalta emme kuitenkaan missään vaiheessa laskeneet jotain suuretta ensin kiinteällä N ja antaneet sitten N:n fluktuoida kemiallisen potentiaalin mukana: itse asiassa emme näin olisi osanneet tehdä. Vain klassisen ideaalikaasun rajalla osasimme laskea (Boltzmannin tekijä /N!) kuinka monelle mikrotilalle N hiukkasta voidaan jakaa. Oikeilla kvanttimekaanisilla yksihiukkastilojen miehitysluvuilla emme olisi osanneet laskea tilojen lukumäärää oikein, jos olisimme etukäteen päättäneet laittaa systeemiin tasan N hiukkasta. n = Voi olla ε < µ tai ε > µ Bose-Einstein [BE] Oltava ε > µ n n = MB exp {β(ε µ)} + exp {β(ε µ)} BE (.29) (.3) Hiukkasten lukumäärä fluktuoi Huom: hiukkasten kokonaislukumäärä ei kiinteä N = r n r (.27) Jokainen n r saa fluktuoida erikseen kemiallisen potentiaalin mukaisesti Laskettiin Z = n e β(e µn) = { = [ ( }}{ δ N )] n r n n 2 r = N e βµn N ei osata laskea n r e β(er µnr ) e s β(es µns ) {}} ( { δ N ) n r e s βes r n n 2 = N e βµn ei osata laskea! {}}{ Z N (T,V ) (.28) FD (Jakaumat samalla µ, ei samalla N) Harvalle kaasulle ε µ: molemmista Maxwell-Boltzmann [MB] β(ε µ) n ε µ exp { β(ε µ)} (.3) (Miehitysluvut kasvavia µ:n funktioita: harva kaasu on siis pieni µ) Klassiselle ideaalikaasulle tiedettiin jo (kaava (9.39)) N = e βµ Z (T,V ) e βµ Pohdittavaa: mikä on suuren lämpötilan raja β? Fermionikaasun osalta saatu tulos n F D < n MB on hyvin helppo ymmärtää: MB-kaasussa ei suoranaisesti kielletty useampaa hiukkasta menemästä samalle tilalle, kun taas FDkaasussa näin ei koskaan tapahdu ja keskimääräinen miehitysluku on pienempi. Sen sijaan tulos n BE > n MB voi olla vähemmän intuitiivinen: miksi bosoneita on samalla tilalla enemmän kuin klassisessa kaasussa? Syy tähän löytyy klassisessa kaasussa tehdystä approksimaatiosta (sivu 4). Klassiselle kaasulle jaoimme kaikkien tilojen partitiofunktiot tekijällä N! permutaatiosymmetrian poistamiseksi. Bosonijärjestelmällä on kuitenkin yksi perustila, jossa kaikki hiukkaset ovat samalla alimman energian tilalla. Tämä tila esiintyy BE-kaasun suurkanonisessa partitiofunktiossa painolla yksi niin kuin kuuluukin. MB-kaasun partitiofunktiossa sekin on kuitenkin jaettu tekijällä N!, vaikka tämän tilan tapauksessa näin ei olisi kuulunut tehdä. Syy järjestykseen n BE > n MB on siis siinä, että MB-kaasun identtisten hiukkasten permutaatiotekijä /N! ei kohtele oikein matalan energian tiloja, jossa on matalalla lämpötilalla usein enemmän kuin yksi hiukkanen. 3

31 Lisätietoa: Suuren lämpötilan raja BE- ja FD-jakaumissa Suuren lämpötilan rajan ottaminen suoraan tässä on hieman kinkkisempää. Jos vain suoraviivaisesti ottaa FD- ja BE-jakaumissa rajan β, saa BE-jakaumalle tulokseksi n = k BT/(ε µ) (tämä on itse asiassa klassisen kenttäteorian raja eikä ole luontevasti tulkittavissa hiukkasten avulla, ks luku.4) ja FD-jakaumalle n = /2, joka on vaikeasti tulkittavissa. Ongelmana tässä on se, että fysikaalisesti klassisen ideaalikaasun raja tarkoittaa rajaa, jossa T on suuri kiinteällä N, tai sitten N pieni kiinteällä T. Klassiseen ideaalikaasuun pääsemiseksi pitäisi siis ottaa raja β kiinteällä N, ei kiinteällä µ. Tämä taas vaatisi sitä, että pitäisi ensin miehitysluvuista laskea N(µ,T ), tästä ratkaista µ(n,t ), sijoittaa näin saatu kemiallinen potentiaali µ(n,t ) jakaumiin (.29) ja (.3) ja vasta sitten ottaa raja β ottaen huomioon sekä jakaumissa (.29) ja (.3) suoraan esiintyvä β että kemiallisen potentiaalin T -riippuvuus kiinteällä N. Tämä on huomattavan hankalaa: on paljon helpompi ottaa klassisen ideaalikaasun raja tässä yhteydessä harvan kaasun rajana µ kuin kuuman kaasun rajana β eli kylmälle kaasulle. Tiheä ja kylmä ovat tässä yhteydessä sama asia, koska suureet joita verrataan ovat kaasuhiukkasten keskimääräinen etäisyys 3 V/N ja terminen de Broglieaallonpituus. Kylmällä kaasulla kaasuhiukkasten liike-energia ja liikemäärä ovat pieniä ja aallonpituus suuri, joten rajaa 3 V/N λd voi ajatella yhtä hyvin suuren tiheyden kuin pienen lämpötilankin rajana. Tarkastellaan ensin fermionikaasua..2 Kylmä fermionikaasu Nollalämpötilan rajalla β, ja Fermi-Diracmiehitysluvussa oleva eksponenttifunktio lähestyy joko nollaa tai ääretöntä riippuen siitä, mikä on tekijän ε r µ etumerkki. Tällöin miehitysluvusta tulee askelfunktio θ(µ ε r ) =, µ ε r > (.36) =, µ ε r < (.37) Yhteenveto Käytännön laskuissa loppukurssissa tarvitsemme Ideaalisen bosoni- ja fermionikaasu Sallitut k-ominaistilat, laskenta f (k) dk = V 2π 2 gk2 g = spindegeneraatio, elektronille 2 (.32) Dispersiorelaatio ε(k); esim. epärelativistinen kaasu ε(k) = 2 k 2 (.33) 2m Fermi-Dirac ja Bose-Einstein-miehitysluvut n F D (k) = n BE (k) = exp {β (ε(k) µ)} + exp {β (ε(k) µ)} Kertovat kuinka monta hiukkasta tällä tilalla on. n F D (k) (.34) (.35) Tässä ei siis ole kyseessä enää klassinen kaasu, mutta kylläkin ideaalinen. Toisin sanoen oletamme, että kaasun hiukkasten energiatilat ovat samat kuin yksittäisen hiukkasen tilat, eli että kaasumolekyylien vuorovaikutukset eivät niihin vaikuta. Toki kuitenkaan oikeasti täysin vapaat hiukkaset eivät koskaan päädy termiseen tasapainoon. Oletamme siis että hiukkaset vuorovaikuttavat tarpeeksi ollakseen termisessä tasapainossa, mutta kuitenkin niin vähän että energiatilat ovat käytännössä samat kuin ilman vuorovaikutuksia. Ryhdymme nyt tutkimaan tarkemmin miehityslukujakaumia (.34) ja (.35) ja soveltamaan niitä erilaisiin fysikaalisiin systeemeihin. Kuten muistamme, odotamme kaasujen kvanttimekaanisen luonteen tulevan selvimmin näkyville tiheälle Fermionikaasu nollalämpötilassa n r = exp {β(ε r µ)} + Tiedetään tilatiheys ja energia f (k) dk = 2 V 2π 2 k2 dk ε = 2 k 2 2m Muuttujanvaihto n m dk = ε dε 2 k 2 = 2m 2 ε β θ(µ ε r ) (.38) µ ε (.39) = f (k) dk = 2 V m 3/2 2 ε dε (.4) 2π 2 3 Saadaan hiukkasten lukumäärä N = 2 V m 3/2 2 µ 2π 2 3 dε ε = m3/ π 2 µ3/2 V (.4) Muista: aina lasketaan N(µ), käännetään µ(n), sijoitetaan f (µ), missä f on muu fysikaalinen suure. Tarvitaan siis kemiallinen potentiaali ( µ(t = ) = 2 3π 2 N ) 2/3 (.42) 2m V Tekijä 2 tilatiheydessä (.39) tulee siis siitä, että spin-/2- fermioneilla on kaksi spintilaa. 3

32 Muistutamme taas, että kemiallista potentiaalia tulee ajatella Lagrangen kertoimena, jolla asetetaan hiukkasten lukumäärä haluttuun arvoonsa. Toisin sanoen, vaikka laskemme N:n µ:n funktiona, ajattelemme aina, että N on tunnettu systeemin fysikaalinen ominaisuus, joka määrää µ:n. Yllä laskettiin relaatio µ N nollalämpötilassa; kun lämpötilaa muutetaan tämä suhde muuttuu. Usein kuitenkin tärkeissä fysikaalisissa systeemeissä ollan lähellä nollalämpötilaa. Siksi onkin tavanomaista määritellä uusi termi aineen tiheyteen liittuvälle suureelle µ(t = ): tätä kutsutaan fermienergiaksi. Kiinteällä hiukkasten lukumäärällä N kemiallinen potentiaali riippuu lämpötilasta, mutta fermienergia on vain hiukkasten tiheydestä riippuva vakio. Fermiliikemäärä, -energia, -lämpötila,... Oletetaan fermionisysteemi, jolle tunnetaan N,V Nollalämpötilassa laskettiin ( µ(t = ) = 2 3π 2 N ) 2/3 (.43) 2m V Fermipallo ja fermipinta Tulkinta kun T =, hiukkasia on niillä ja vain niillä tiloilla, joiden ε ε F p p F v v F Nämä tilat p-avaruudessa muodostavat fermipallon ε p < ε F jonka pinta on fermipinta ε p = ε F. Kylmä kuuma T T F T T F Käytännössä usein fysiikka lähellä fermipintaa. Kidehila: ei rotaatiosymmetriaa: Fermipallo ei enää ole pallo, esim: Määritellään kylmille systeeille hyödylliset fermisuureet: Fermienergia ( ε F (N.V ) = 2 3π 2 N ) 2/3 = µ(t = ) (.44) 2m V Fermiliikemäärä ( p F (N.V ) = 3π 2 N ) /3 = ε F (N.V ) = p2 F V 2m (.45) Ferminopeus Fermilämpötila v F (N.V ) = p F /m (.46) T F (N.V ) = ε F /k B (.47) Fermionikaasu on kuuma tai kylmä riippuen siitä, onko lämpötila pieni vai suuri fermilämpötilaan verrattuna. Esimerkiksi metallien johdinelektroneille fermienergiat ovat suuruusluokkaa ev eli fermilämpötilat luokkaa K: ne ovat siis huoneenlämmössä hyvin kylmiä fermionikaasuja. Tällöin näitä on käytännöllistä käsitellä ensimmäisessä approksimaatiossa nollalämpötilalla olevina fermionikaasuina, joihin lämpötila aiheuttaa vain pieniä korjauksia fermienergiaa lähellä olevilla energiatiloilla. Ensimmäisessä approksimaatiossa siis fermienergiaa alemmat energiatilat ovat täysin miehitettyjä, sen yläpuolella olevat miehittämättömiä ja kaikki äksön tapahtuu vain fermienergiaa lähellä olevilla tiloilla. Siksi materiaalifysiikassa aineen ominaisuuksien ymmärtämisen lähtökohtana on saada kuva siitä, missä päin p-avaruutta tämä fermienergiapinta eli fermipinta sijaitsee. Kromin johdinelektronien fermipinta T.-S. Choy, J. Naset, J. Chen, S. Hershfield, and C. Stanton, Bulletin of The American Physical Society, 45():L36 42, 2. [URL] Tässä on tärkeää huomata, että nollalämpötilassa fermionit tietenkin aina asettuvat mahdollisimman matalan energian tiloille. Kiinteän aineen johdinelektronit eivät ole lainkaan vapaita, vaan liikkuvat aineen atomiytimien muodostamassa jaksollisessa potentiaalissa. Niillä voi tämän takia olla hyvinkin monimutkainen dispersiorelaatio eli suhde liikemäärän ja energian välillä. Tämän takia pinta ω(k) = µ on k-avaruudessa monimutkaisen muotoinen. Paine n r T = = θ(µ ε r ) (.48) Ω G,r = k B T ln [ + exp { β(ε r µ)}](.49) T = (µ ε r )θ(µ ε r ) (.5) n µ ε 32

33 Käyttäen samaa tilatiheyttä kuin N:lle kaava (.4) PV = Ω G T = = r = m3/2 2V 3 π 2 (µ ε r )θ(µ ε r ) µ dε ε(µ ε) = m3/2 2V 4 3 π 2 5 µ5/2 = 2 Nµ (.5) 5 Toisin sanoen T = -fermikaasun tilanyhtälö on: = 2 N 5 V µ = 2 ( 3π 2 ) 2/ m P T = ( ) 5/3 N (.52) V Kiinteällä N/V paine ei ole P T = ero klassiseen ideaalikaasuun! Paulin kieltosääntö toiminnassa: yritetään puristaa kaasua, tarvitaan energiaa... mihin? Lausuttaessa painetta hiukkasten lukumäärän avulla käytetiin siis hiukkasten lukumäärän ja kemiallisen potentiaalin välistä yhteyttä (.4). Tässä siis käytettiin taas suurkanonisen joukon perusalgoritmia eli kemiallista potentiaalia Lagrangen kertoimena:. Lasketaan N(µ) (yhtälö (.4)) 2. Ratkaistiin tästä µ(n) (yhtälö (.42)) 3. Laskettiin muu fysikaalinen suure µ:n funktiona, tässä P (µ) (yhtälö (.5)) 4. Sijoitettiin tähän µ(n) jotta saatiin lopulta kyseinen fysikaalinen suure N:n funktiona P (N) (yhtälö (.52)). Kaasun energia saadaan helposti laskettua samalla tavalla kuin paine ilmaisemalla se integraalina energian yli: E = r ε r n r = m3/2 2V 3 π 2 µ dε εε = m3/2 2V 2 3 π 2 5 µ5/2 = 3 Nµ. (.53) 5 Kuriositeettina voidaan tarkistaa, että Legendren muunnosrelaatiot toimivat niin kuin pitää: 2 5 µn = P V = Ω G E T S µn = 3 µn µn, 5 (.54) missä nyt T S = koska T =. Paineen arvosta (.52) olisi näin voitu päätellä suoraan energia (.53) tai toisin päin. Kylmän fermionikaasun paine havainnollistaa Paulin kieltosääntöä hyvin konkreettisesti. Tilavuuden pienentyessä kaasun hiukkasilla on käytettävissään vähemmän yksihiukkastiloja (muistetaan, että tilatiheys on verrannollinen tilavuuteen). Tällöin hiukkasten on Paulin kieltosääntöä noudattaakseen noustava korkeamman energian tiloille. Puristuksessa tehdyn työn energia menee tähän hiukkasten siirtämiseen korkeamman energian tiloille. Kylmää fermionikaasua voidaan puristaa kasaan adiabaattisesti ilman, että lämpötila nousee, eli prosessi voi olla yhtä aikaa sekä adiabaattinen että isoterminen. Hiukkasten energia ei ole pelkästään lämpöliikkeessä, vaan Paulin kieltosäännön noudattamiseksi myös täysin perustilalla olevan, entropiattoman, kaasun hiukkasilla on oltava liike-energiaa. Myös klassisen kaasun paine kasvaa kokoonpuristettaessa. Tämä paineen kasvu on kuitenkin ymmärrettävissä kineettisen kaasuteorian avulla. Kaasua puristettaessa tehdään työtä. Jos puristus tehdään adiabaattisesti, tämä työ lisää kaasun hiukkasten keskimääräistä kineettistä energiaa, joka klassisesti liittyy niiden lämpötilaan. Jos taas puristus tehdään isotermisesti, on työnä siirtyvän energian johduttava pois lämpönä eikä prosessi voi olla adiabaattinen. Käsitellään seuraavaksi fysikaalista sovellusta, jossa kylmän fermikaasun paine hallitsee systeemin fysiikkaa aivan keskeisellä tavalla eli kylmiä tähtiä: valkoisia kääpiöitä tai neutronitähtiä. Tähden stabiilius: paine ja gravitaatio P(r + dr) P(r) F G Tarkastellaan pallokuorta [r,r + dr] Kuoren massa dm = 4πr 2 ρ(r) dr Kuoren sisällä oleva massa M(r): gravitaatiovoima df G = GM(r) dm/r 2 Tämän kompensoi paine-ero P(r) P(r + dr) = df G /4πr 2 keskellä suurin, reunalla nolla Mistä paine syntyy? = paine Tavallinen tähti: kuuma, harva, klassinen plasma Valkoinen kääpiö: kylmä, tiheä R.R ( =Aurinko) Varauksen säilyminen: N e = N p, paine P (N/V ) 5/3 /m = P e P p Paineen aiheuttaa degeneroitunut (T T F ) elektronikaasu M.4M Chandrasekharin raja = elektronikaasun paine ei voita painovoimaa: supernovaräjähdys Neutronitähti: Vielä tiheämpi M M ja R km ( 5 R ) Paine: neutronikaasun degeneraatio + neutronien välinen ydinvoima Huom tässä kylmä T T F 33

34 Mekaniikan peruskursseilta muistetaan, että pallokuoren sisällä olevan massan kuorelle aikaansaama putoamiskiihtyvyys ei riipu siitä, miten massa on kuoren sisälle jakautunut. Kuoreen kohdistuva painovoima df G = GM(r) dm/r 2 (.55) voidaan siis laskea kuoren sisällä olevasta massasta M(r), kuoren massasta dm ja kuoren säteestä r aivan kuin koko massa M(r) sijaitsisi pallon keskellä. Valkoisen kääpiön lämpötila voi hyvinkin olla kymmeniätuhansia kelvineitä. Tähti on kuitenkin kylmä siinä mielessä, että suuren tiheyden takia fermienergia (ja vastaavasti fermilämpötila) on vielä paljon suurempi. Tällöin tähden painetta hallitsee kylmän fermikaasun paine, eikä lämpöliikkeen aiheuttama (kineettisen kaasuteorian) paine niin kuin tavallisilla tähdillä. Valkoiset kääpiöt ovat, ainakin alkuvaiheessa, useinkin niin kuumia ja kirkkaita että niitä voidaan havaita. Energian lähteenä toimivat ydinreaktiot ovat niissä kuitenkin lakanneet polttoaineen loppuessa, ja vähitellen tähti jäähtyy ja himmenee kunnes sitä ei enää voida havaita. Neutronitähtiä taas ei käytännössä havaita termisen säteilyn avulla vaan ainoastaan silloin jos ne sattuvat olemaan pulsareita (jolloin niillä on oltava voimakas magneettikenttä) tai kiertämään toista tähteä, jolloin neutronitähden olemassaolo voidaan päätellä toisen tähden radasta. missä G on Newtonin gravitaatiovakio. Tästä päätellään dimensionaalisesti, että kokonaismassaltaan M olevan R-säteisen kappaleen painovoimaenergian on oltava joku vakio kertaa GM 2 /R. Tämän vakion tarkka arvo riippuu siitä, miten massa on jakautunut kappaleen sisälle. Jos nyt oletamme tähden palloksi, jolla on vakiotiheys, tämän verrannollisuuskertoimen voisi laskeakin. Vakiotiheys ei kuitenkaan ole välttämättä kovin hyvä approksimaatio ja olemme joka tapauksessa tekemässä vain suuruusluokka-arviota, joten emme yritä tätä verrannollisuuskerrointa laskea. Massa-sädesuhde Radius (solar radii) Lähde: Wikipedia Non-relativistic Fermi gas Relativistic Fermi gas MCh Mass (solar masses) Ultra-relativistic limit Kylmän tähden massa-säde-suhde Suuruusluokka-arviota varten oletetaan tähdelle Tunnettu massa ja hiukkasten lukumäärä M N Tuntematon säde R = V R 3 Tiheys ρ = M/V sama kaikkialla tähdessä Näiden avulla saadaan Gravitaatioenergia E G GM 2 /R Kaasun energia E g Nε F Epärelativistinen fermikaasu ( ) 2/3 ε F 2 N m V = E g 2 m N5/3 R 2 (.56) Minimoimalla E g + E G saadaan säde R M /3 Relativistinen: ε F (N/V ) /3 /( c)= E g N 4/3 R /( c) (.57) = ei ehtoa V :lle eli R:lle, sen sijaan vain yksi mahdollinen N tai M Muistetaan, että gravitaation potentiaalienergia kahdelle etäisyydellä R olevalle pistemäiselle kappaleelle, joiden massat ovat m ja m 2 on E = Gm m 2 R, (.58) Lähde: J. Madej, M. Nalezyty, L. G. Althaus A&A 49, L5-L8 (24) Saatiin siis Epärelativistinen kaasu; R M /3 Täysin relativistinen kaasu: kiinteä M Todellinen massa-säderelaatio interpoloi näiden välillä Iso R, pieni M: tiheys pieni, ε F m e c 2, v F c: epärelativistinen oikea Pieni R, iso M: tiheys suuri, ε F m e c 2, v F c: lähellä relativistista Täysin relativistinen tapaus antaa massan ylärajan; tämä on Chandrasekharin raja M.4M. Mittaustulokset ovat artikkelista Mass distribution of DA white dwarfs in the First Data Release of the Sloan Digital Sky Survey, J. Madej, M. Nalezyty, L. G. Althaus A&A 49, L5- L8 (24), jossa on analysoitu yli tuhannen valkoisen kääpiön 34

35 massoja ja säteitä. Nämä eivät itse asiassa ole aivan kylmiä tähtiä, vaan lämpötilaltaan yli 2K. Kaikki eivät ole samalla käyrällä: lämpötilan lisäksi tähän vaikuttaa muun muassa se, että tähtien alkuainekoostumukset eroavat sekä se, että tähden pyöriminen ja magneettikentät vaikuttavat myös tähden rakenteeseen..3 Fermionikaasu: lämpötilakorjaukset Pieni lämpötila n r = exp {β(ε r µ)} + Halutaan pienen T :n korjaukset T = -käytökseen n µ k B T Tarvitaan ns. Sommerfeldin kehitelmää µ ε (.59) f (ε) dε exp {β(ε µ)} + dεf (ε) + π2 6 (k 2 df (ε) BT ) dε + O(T 4 ) (.6) µ Kehitelmän johto: n(ε) θ(µ ε) vain ε µ k B T Kehitetään f (ε) Taylorin sarjaksi ε = µ:n ympärillä ja integroidaan termeittäin. n θ(µ ε) k B T Johdetaan Sommerfeldin kehitelmä hieman tarkemmin. Kehitelmän kertoimet ovat meille jo vanhoja tuttuja Riemannin ζ- funktion arvoja. Haluamme siis laskea integraalin [ ] I(µ,T ) = dεf(ε) θ(µ ε) (.6) e β(ε µ) + Ottamalla uudeksi muuttujaksi x = β(ε µ) saamme [ ] I(µ,T ) = k B T dxf(k B T x + µ) e x + θ(x) βµ ε (.62) Jaetaan integroimisväli kahteen osaamn: missä ja I (µ,t ) = k B T I(µ,T ) = I (µ,t ) + I + (µ,t ), (.63) = k B T I + (µ,t ) = k B T βµ [ dxf(k B T x + µ) βµ e x + e x dxf(k B T x + µ) e x + dxf(k B T x + µ) e x + ] (.64) (.65) Ottamalla I :ssa uudeksi alarajaksi βµ:n tilalle teemme virheen, joka on suppressoitu eksponentiaalisesti pienellä lämpötilalla O(e βµ ), koska integrandi on tällä alueella e βµ ; samanlaisen approksimaation teimme laskettaessa Debyen mallin lämpökapasiteettia pienellä lämpötilalla luvussa 7.4. Kehitämme nyt funktion f(k B T x + µ) Taylorin sarjaksi pisteen x = ympärillä: (k B T ) n x n f(k B T x + µ) = f(µ) + f (n) (µ), (.66) n! n= missä merkintä f (n) tarkoittaa funktion n:ttä derivaattaa. Taylorin sarjan vakiotermi kumoutuu, koska sijoittamalla sen kaavoihin (.64) ja (.65) saamme k B T f(µ) dx ex dx [ k B T f(µ) βµ e x + + k BT f(µ) e x + ] dx + e x + dx e x =, + (.67) missä viimeisen yhtäläisyyden näkemiseksi riittää ensimmäisessä integraalissa tehdä muuttujanvaihto x x. Meidän tarvitsee nyt osata laskea integraalit e x dxx n e x + = ( )n = ( ) n dxx n e x e x dxx n e x + m= ( ) m e mx = ( ) n ( ) k+ dxx n e kx k= = ( ) n ( ) k= k+ n! missä vaihdettiin summausindeksiä m + = k, sekä dxx n e x + = dxe x x n = ( ) k+ dxx n e kx = k= m= k n+ (.68) ( ) m e mx ( ) k= k+ n! k n+ (.69) 35

36 Saatu summa ( ) k+ k s = 2 s + 3 s 4 s +... (.7) k= muistuttaa jo Riemannin ζ-funktiota (7.49) arvolla s = n +, mutta sarjan etumerkit vuorottelevat kun ne ζ-funktiossa olivat samat. Summa voidaan lausua ζ-funktion avulla kirjoittamalla se seuraavalla tavalla: ( ) k+ k s = 2 s + 3 s 4 s +... k= = + 2 s + 3 s + 2 s + 2 [ 2 s + 4 s + 6 s +... ] Tätä käyttäen siis = ζ(s) 2 2 s [ s + 2 s + 3 s +... ] = [ 2 s] ζ(s) (.7) ( ) k+ k n+ = [ 2 n] ζ(n + ) (.72) k= Voimme nyt palata takaisin sarjaan: kerroin n! kumoutuu Taylorin sarjan (.66) ja integraalien (.68) ja (.69) välillä ja saamme I (µ,t ) = k B T I + (µ,t ) = k B T (k B T ) n f (n) (µ)( ) n [ 2 n] ζ(n + ) n= (.73) (k B T ) n f (n) (µ) [ 2 n] ζ(n + ). n= (.74) Nyt huomataan että parillisilla n sarjojen termit kumoutuvat: ( ) n + =, n 2N (.75) kun taas parittomilla ne ovat samanmerkkiset: ( ) n + = 2, n + 2N. (.76) Kirjoittamalla nyt nämä parittomat n:n arvot muotoon n = 2m +, saamme Sommerfeldin kehitelmän [ ] I(µ,T ) = dεf(ε) θ(µ ε) e β(ε µ) + [ = 2 2 2m ] ζ(2m + 2)(k B T ) 2m+2 f (2m+) (µ) m= (.77) Kaavan (.6) mystiseltä näyttävä kerroin on siis sarjan ensimmäinen m = -termi, jonka kerroin on [ 2 2 ] ζ(2) = ζ(2) = π2 6, (.78) missä käytettiin tunnettua ζ-funktion arvoa (7.5). Sommerfeldin kehitelmä on siitä ovela, että se on pienen lämpötilan kehitelmä T/µ:ssa, mutta ei varsinainen Taylorin sarja T = :n ympärillä. Fermi-Dirac-distribuution raja T = :ssa on ei-analyyttinen askelfunktio, joten sitä ei voida kehittää varsinaisesti Taylorin sarjaksi T = :n ympärillä. Tässä Sommerfeldin kehitelmän johdossa tämä ei-analyyttisyys eroteltiin termiksi e βµ joka heitettiin menemään ja askelfunktiotermiksi joka kirjoitettiin erikseen sarjan (.6) ensimmäisenä terminä. Pois heitetty termi on hyvin pieni rajalla T, mutta sisältää ei-analyyttisen käytöksen. Jäljelle jäävä Sommerfeldin sarja on sitten analyyttinen T :n funktio. Käytetään nyt Sommerfeldin kehitelmää ja lasketaan ensimmäiset pienen lämpötilan korjaukset fermikaasun hiukkaste lukumäärään ja energiaan. Taas muistamme suurkanonisen joukon perusajattelutavan: osaamme laskea asioita µ:n funktiona, joten lasketaan N(µ) ja E(µ) pienellä lämpötilalla. Se, mitä kuitenkin oikeasti haluamme, on E(N); tätä varten meidän täytyy lasketusta N(µ):sta ratkaista µ(n) ja sijoittaa energian lausekkeeseen. Helpointa tämä on tehdä kirjoittamalla korjaukset T/T F :n potenssisarjana. Lähtökohtana meillä on kolmiulotteisen epärelativistisen spin-/2-kaasun tilatiheys (.4) f(k) dk = 2 V m 3/2 2 ε dε, (.79) 2π 2 3 missä ensimmäinen tekijä 2 on spinvapausasteiden lukumäärä. Hiukkastiheys, energia N = V π 2 m 3/2 2 3 = V π 2 m 3/2 2 3 dεn F D (ε) ε ( 2 3 µ3/2 + π2 = V π 2 m 3/ µ3/2 6 (k BT ) 2 ( + π2 8 T 2 TF 2 ) 2 µ +... ) +... (.8) (Korjaustermissä korvattu µ(t ) µ() = k B T F, virhe korkeampaa kertalukua T :ssä) Kääntäen ( µ(t ) = ε F + π2 T 2 ) 2/3 8 TF ( ε F π2 T 2 ) 2 TF Samoin energia E = V π 2 m 3/2 2 3 = V π 2 m 3/ µ5/2 dεn F D (ε) εε ( + 5π2 8 T 2 TF 2 ) +... (.8) (.82) 36

37 Tähän pitää vielä sijoittaa µ(t ), jotta saadaan (HT) E = 3 5 Nε F ( + # T 2 ) T 2 F = C V Nk B T T F (.83) Johdinelektronien tiheys = T F K = kylmä kaasu Johdinelektronien kylmä fermikaasu = johteiden lämpökapasiteetti C V (T ) γt ε Yhtälöstä (.8) siirrytään yhtälöön (.8) suoraan ratkaisemalla µ: ε F aukko µ = [ 3 3 π 2 2 N 2m 3/2 V ] 2/3 ( + π2 8 T 2 TF ) 2/3 (.84) Tässä oleva monimutkainen kerroin voidaan joko tunnistaa vaivalloisesti suoraan fermienergiaksi vertaamalla yhtälöön (.44) tai, yksinkertaisemmin muistamalla että ε F = µ(t = ). Nyt huomattakoon, että Sommerfeldin kehitelmä antaa meille potenssisarjan T/µ:n funktiona, ei suoraan T/T F :n. Kuitenkin tämän sarjan ensimmäiselle korjaustermille voimme korvata µ(t ):n µ(t = ) = ε F = k B T F :llä, ja tehty virhe seuraavaa kertalukua T 4, joista emme kuitenkaan pidä tässä lukua: + π2 8 ( kb 2 T (kb 2 T µ 2 + O µ = + π2 8 = + π2 8 ) 4 ) ( kb 2 T (kb 2 ) ) 4 ε 2 F ( + O((T/T F ) 2 ) + O T µ ( kb 2 T (kb 2 ( + ε 2 O((T/TF ) 2) ) ) 4 T + O F µ ( ( = + π2 T 2 ) ) 4 T + O. (.85) 8 T 2 F Laskettaessaa pienen lämpötilan kehitelmän seuraavaa T 4 - termiä joutuu tässä olemaan paljon tarkempana. T F Eriste Eriste: fermienergia aukossa Elektronin siirtäminen ylempään vyöhön vaatii liikaa energiaa = ei onnistu pienellä sähkökentällä, lämpötilalla tms. Johtimen keskeinen ominaisuus on se, että siinä ulkoinen sähkökenttä saa aikaan sähkövirran, joka on suoraan verrannollinen sähkökentän voimakkuuteen. Virran aikaansaamiseksi virran suunnalle vastakkaisilla liikemäärätiloilla on oltava enemmän elektroneja kuin virran suuntaisilla liikemäärätiloilla. Nämä erot tapahtuvat helpoiten juuri fermipinnan lähellä: vektorin k suunnasta riippuen tilat ovat miehitettyjä myös fermipinnan yläpuolella, tai sitten tyhjiä vielä sen alapuolella. Tässä yhteydessä siis erityisesti myös infinitesimaalisen pienen sähkökentän on pystyttävä siirtämään elektroneja juuri fermipinnan yläpuolella olevalla hiukan korkeammalle tilalle. Eristeelle fermipinta on keskellä aukkoa energiavöiden välillä, ja elektronin siirtämiseen korkeammalle tilalle fermipinnan yläpuolelle vaatii paljon energiaa. Tähän ei pieni sähkökenttä riitä. Laboratoriotyö: terminen elektroninemissio ε Sovellus: metallien johtavuuselektronit ε vapaa eφ ε F aukko ε F aukko aukko Metalli Kiinteä aine: elektronien energiatilat ovat vöitä Seuraa jaksollisesta potentiaalista kiteessä Tarkemmin mat. fys. kurssilla Johde: ylin vyö osittain täytetty: johdinelektronit Malli: e-e-vuorovaikutukset merkityksettömiä = Johdinelektronit ideaalinen fermionikaasu Irrotustyötyö: energiaero fermipinnalta vapaaksi Lämmitetään metallia: elektroneja pääsee vapaaksi: terminen elektroniemissio Lasketaan virta: tilatiheys = 2V d3 p (2π) 3 3 = tilat Irtoavat elektronit ε µ: hännässä 2 V m3 (2π) 3 3 d3 v (.86) n F D (ε) exp{β(µ ε)} (.87) 37

38 v z Lasketaan virrantiheys elektroneista, joilla tarpeeksi suuri nopeus z-suuntaan: j = V en e (r) v z θ ( mvz 2 /2 (µ + eφ) ) (.88) tilat r Richardson-Dusman-yhtälö: termisen elektroniemission virrantiheys j = V tilat r 2m 3 = e (2π) 3 3 eβµ ( ) en e (r)v z θ 2 mv z 2 µ eφ ( d 3 ve βmv2 /2 v z θ v z ) 2(µ + eφ)/m Integraalit v:n komponenttien yli: dv x e βmv 2 x /2 2πkB T = m 2(µ+eφ)/m dv z v z e βmv 2 z /2 = 2 2(µ+eφ)/m dv 2 z e βmv 2 z /2 (.9) (.89) = k BT m e β(µ+eφ) (.9) = Richardson-Dusman: j = em 2π 2 3 (k BT ) 2 e eφ/(k B T ) n µ µ + eφ Labratyössä määritetään eφ. Jakauman hännässä e eφ/k B T elektronia, joilla ε > µ + eφ.4 Musta kappale Fysikaalinen tilanne, Stefan-Boltzmann ε (.92) Lämmitetään laatikko T Tarkkaillaan aukosta Seinät absorboivat ja emittoivat lämpösäteliyä (fotoneja) = Kaasu TDTP:ssä laatikon kanssa: Kokeellisesti Stefan-Boltzmann 879 Nykyaikaisin notaatioin Energiatiheys u(t ) = at 4 (.93) Intensiteetti I(T ) = σt 4 (.94) a = π c 3 k4 B (.95) σ = ac/4 Historiallisesti: pitääkö käsitellä sähkömagneettisina aaltoina vai hiukkasina? Fotoneja syntyy ja tuhoutuu jatkuvasti: lukumäärä ei säily = ei voida määritellä kemiallista potentiaalia, fotoneille µ γ = (.96) Kemiallinen potentiaali liittyy tilanteeseen, jossa hiukkasten lukumäärä systeemissä fluktuoi. Näiden fluktuaatioiden syynä on kuitenkin tähän asti aina ollut se, että hiukkasia siirtyy systeemistä hiukkaskylpyyn tai takaisin. Hiukkasten lukumäärä systeemissä ja hiukkaskylvyssä on koko ajan ajateltu vakioksi: itse asiassa koko Gibbsin todennäköisyysjakauman (9.4) johto perustui siihen, että kun järjestelmän hiukkasten lukumäärä N s muuttuu, niin samalla myöskin hiukkaskylvyn hiukkasten lukumäärä N N s muuttuu. Tämän tiedon yhdistimme kylvyn mikrotilojen lukumäärään (9.8), sitä kautta entropiaan ja hiukkaskylvyn kemialliseen potentiaaliin. Laskuteknisesti olemme käyttäneet kemiallista potentiaalina Legendren kertoimena; olemme halunneet tarkastella järjestelmää jossa on tietty kiinteä määrä hiukkasia N, ja valitsemalla µ:n arvon sopivasti olemme tämän saaneet aikaan. Fotonikaasun tapauksessa hiukkasten lukumäärä toki myös fluktuoi, mutta syynä ei ole se, että fotonejä siirtyisi järjestelmästä kylpyyn tai takaisin. Sen sijaan fotoneja syntyy (emittoituu) ja tuhoutuu (absorboituu) jatkuvasti: niiden lukumäärä ei ylipäätään ole säilyvä suure. Vastaavasti emme voi edes periaatteessa preparoida järjestelmää, jossa olisi kiinteä lukumäärä fotoneja, ja sitten olettaa että tämä lukumäärä säilyy samana esim. systeemiä lämmitettäessä. 38

39 Kvanttimekaaninen fotonikaasu Bosoneja, µ = : n BE (ε) = Fotonilla 2 spintilaa f (k) dk = 2 V 2π 2 k2 dk Lukumäärätiheys exp{βε} ω = ck dn(ω) = n BE (ω)f (ω) dω = Energiatiheys u dω = ω dn(ω)/v eli u(t,ω) dω = ε = ω (.97) = f (ω) dω = V π 2 c 3 ω2 dω (.98) ω 3 dω π 2 c 3 exp{β ω} V ω 2 π 2 c 3 exp{β ω} dω (.99) Planckin säteilylaki (9) (.) Tässä yhteydessä kannattaa palauttaa mieleen kiinteän aineen hilavärähtelyt ja Debyen malli. Vertaamalla Planckin säteilylakia Debyen kidevärähtelyjen energian lausekkeeseen (7.34) huomaamme, että ne ovat käytännössä lähes samat. Planck oli esittänyt säteilylakinsa vuonna 9 ( Planck, Max: Über eine Verbesserung der Wien schen Spectralgleichung Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2: ja Planck, Max: Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung im Normalspectrum, Verhandlungen der Deutschen Physikalischen Gesellschaft 2: ). Einsteinin 7 vuotta myöhemmin julkaiseman kidevärähteyjen lämpökapasiteettia käsittelevän artikkelin otsikko oli Planckin säteilyteoriasta ja ominaislämpökapasiteetin teoriasta. Sekä Debyen mallin kidevärähtelyt että mustan kappaleen säteilyn vapausasteet ovat kiinteässä tilavuudessa ilmenevät aallot, eli eri aallonpituuksilla/taajuuksilla olevat harmoniset oskillaattorit. Näiden kvanttimekaaninen käsittely johtaa molemmissa tapauksissa samaan energiatiheyden lausekkeeseen u dε vrt. yhtälöitä (7.34) ja (.). Eroina ovat: ε3 dε e βε, (.) Debyen mallin lausekkeessa (7.34) on maksimitaajuus ω D joka johtuu siitä, että kiinten aineen kimmoaalloilla on pienin mahdollinen aallonpituus eli maksimitaajuus. Sähkömagneettisella säteilyllä mitään tällaista rajaa ei ole, vaan fotonin energia voi olla mielivaltaisen suuri. Tämä näkyy erilaisena suuren lämpötilan käytöksenä: maksimitaajuutta suuremmilla lämpötiloilla T ω D /k B hilavärähtelyjen lämpökapasiteetti lähestyy Dulong-Petitlain mukaisesti vakiota C V 3k B N. Mustan kappaleen säteilyllä ei ole maksimitaajuutta ja lämpökapasiteetti on C V T 3 kaikilla lämpötiloilla. Aaltoliikkeen nopeus on eri: fotoneille se on valon nopeus c; kimmoaalloille äänen nopeus v. Fotoneilla on kaksi polarisaatiotilaa, kimmoaalloilla kolme Debyen mallissa otettiin mukaan kvanttimekaanisten harmonisten oskillaattorien nollapiste-energia (9/8)N ω D. Kun moodeja on äärellinen määrä 3N, tämä on äärellinen vakio, joka voidaan helposti absorboida potentiaalienergian nollakohdan valintaan. Se ei riipu lämpötilasta eikä siksi vaikuta lämpökapasiteettiin. Fotonikaasun tapauksessa mahdollisia aaltomoodeja on ääretön määrä ja harmonisten oskillaattorien nollapiste-energia on ääretön, mutta edelleen vakio. Tämän äärettömyyden käsittely on tarpeettoman työlästä, ja Planckin säteilylaista se on jätetty alunperinkin pois. Joka tapauksessa tämä vakiotermi energiassa, oli se sitten äärellinen tai ääretön, ei vaikuta tällä kurssilla tarkasteltaviin fysikaalisiin observaabeleihin. Kimmoaallon kvanttia nimitetään fononiksi analogisesti sähkömagneettisen aallon kvantin fotonin kanssa. Lisätietoa: Kosmologinen vakio Tällä nollapiste-energialla eli vakuumienergialla on havaittavia seurauksia ainoastaan painovoiman (eli yleisen suhteellisuusteorian yhteydessä. Siellä se esiintyy ns. kosmologisena vakiona eli tyhjiön energiatiheytenä, joka vuorovaikuttaa aineen kanssa gravitaation välityksellä. Kosmologisista havainnoista voidaan päätellä, että tyhjiöllä todellakin on tällainen energiatiheys, mutta tämän vakuumienergian havaittua arvoa ei ole osattu laskea mikroskooppisesta teoriasta käsin. Mustan kappaleen spektri u(t,ω) dω = ω 3 dω π 2 c 3 exp{β ω} Lämpötila määrää tyypillisen aallonpituuden (värin) (.2) d u(t,ω) = dω = ω max 2.882k B T / (.3) Tämä on Wienin siirtymälaki u(ω) Sovelluksia ω max ω max ω max ω Kuuman kappaleen lämpösäteily 39

40 Aurinko: T 6K (näkyvä valo) Kosminen taustasäteily 3K (mikroaaltoja) Mustan aukon Hawking-säteily Fotonikaasun termodynamiikka: Stefan-Boltzmann dε = ω 3 dω π 2 c 3 exp{β ω} Energiatiheys u = π 2 c 3 dn = ω 3 dω exp{β ω} ( ) 4 kb T = π 2 c 3 V ω 2 dω π 2 c 3 exp{β ω} (.4) x 3 dx e x = (k BT ) 4 π2 3 c 3 6ζ(4) = π2 5 3 c 3 k4 BT 4 = Stefan-Boltzmann (.5) Fotonien lukumäärätiheys N V = π 2 c 3 = (k BT 3 ) π 2 3 c 3 ω 2 dω exp{β ω} Energiassa kulmaintegraali π x 2 dx e x = 2ζ(3) kb 3 π 2 3 c 3 T 3 (.6) Intensiteetissä (z-suunta) tämän tilalla c π/2 dθ sin θ cos θ = c/2 Integraali I = θ dθ sin θ = 2 = Intensiteetti on I = cu/4. ϕ x3 dx e x (.7) lausutaan Riemannin ζ-funktion avulla jo tutulla tavalla kehittämällä se geometrisen sarjan summana I = = dx x3 e x e x dxx 3 n= = e nx = m= m= dxx 3 e mx 3!m 4 = 6ζ(4) = π4 5, (.8) käyttäen ζ-funktion arvoa (7.55). Samoin saadaan fotonien lukumäärätiheydessä oleva tekijä 2ζ(3). Perustellaan tässä myös peruskursseilta tutumman suureen eli intensiteetin arvo I = c/4u. Tarkastellaan fotonia, jolla on liikemäärä p. Tällaisen fotonin energia on ε = cp. Fotonikaasun energiatiheys on u = C d 3 pc p n( p ), (.9) missä C sisältää tilatiheydestä tulevat vakiot ja n( p ) on BEjakauma, josta tarvitsee tässä tietää vain, että se riippuu vain vektorin p pituudesta. Kirjoitetaan kulmaintegraali eksplisiittisesti pallokoordinaateissa 2π π u = C dpcp 3 n( p ) dϕ dθ sin θ. (.) Tarkastellaan sitten saman fotonisäteilyn intensiteettiä z- suuntaan. Intensiteetti on energia aikayksikköä ja pinta-alaa kohti. Tarkastellaan intensiteettiä z-akselia vastaan kohtisuoralla pinnalla A ja oletetaan että hiukkasten nopeus z-suuntaan on v z. Nyt ajassa t pinnalle ehtivät fotonit tilavuudesta v z ta tuoden mukanaan energian v z tau. Täten intensiteetti on v z u eli energiatiheyden ja nopeuden tulo. Tässä fotonin nopeuden z- suuntainen komponentti on v z = p z /E p = c cos θ, ja meidän pitää laskea ainoastaan fotonit, jotka etenevät positiiviseen z- suuntaan eli θ [,π/2]. Saamme intensiteetiksi I = C dpcp 3 n( p ) 2π dϕ π/2 dθ sin θc cos θ. (.) Voimme nyt tehdä molemmat θ-integraalit: energiatiheydelle saadaan tuttu u π dθ sin θ = kun taas intensiteetille meillä on I π/2 dθ sin θc cos θ = c josta nähdään että I = (c/4)u. d(cos θ) = 2, (.2) d(cos θ) cos θ = c/2, (.3) Fotonikaasun termodynamiikka: paine ja entropia Tilatiheys V = π 2 c 3 ω2 dω (.4) tilat 4

41 siin mittaustuloksiin. Arvaus osui oikeaan. Planck ei siis viela ajatellut fotoneita hiukkasina eika tuntenut valon kvantittumista. Tulkinta sa hko magneettisen sa teilyn kvantittuneen luonteen avulla selvisi vasta myo hemmin, varsinkin kun Einstein selitti sen avulla valosa hko isen ilmio n. Ta ssa johdimme Planckin sa teilylain bosonikaasun kvanttistatistisesta mekaniikasta. Bosonistatistiikkaa noudattavien hiukkasten ka sittelyn ymma rsi ensimma isena kunnolla intialainen Satyendra Bose 92-luvulla. Voidaankin ajatella, etta yksi kvanttifysiikan alkusysa yksista olivat yritykset ymma rta a, mista kokeellisiin havaintoihin hyvin sopiva Planckin sa teilylaki johtuu. Paine ΩG kb T X = ln [ exp{ β~ω}] V V tilat Z kb T 2 ω dω ln [ exp{ β~ω}] = 2 3 π c Z (kb T )4 = dxx 2 ln e x π c ~ Z (kb T )4 x 3 dx = = u (.5) x π c ~ 3 e 3 P= Entropiatiheys S = V V ΩG T.5 V,µ Olemme nyt tarkastelleet fermionikaasua matalalla la mpo tilalla seka fotonikaasua. Fotonikaasulle hiukkasten lukuma a ra ei sa ily, eika siis voida kokeellisesti preparoida systeemia jossa olisi kiintea hiukkasten lukuma a ra tiheys (ja siten tyypillinen hiukkasten va linen eta isyys) ja ja a hdytta a ta ta sitten niin kylma ksi, etta hiukkasten terminen de Broglie-aallopituus muuttuu pidemma ksi kuin hiukkasen va linen eta isyys. Atomaarisille bosoneille, kuten vaikka 4 He:lle na in voidaan kuitenkin tehda. Matalilla la mpo tiloilla bosoneille tapahtuukin ihmeellisia asioita. P d X = ln [ exp{ β~ω}] T kb T 2 dβ tilat = = P +u T (.6) Kaavassa (.5) osittaisintegrointi kertaalleen auttaa pa a sema a n eroon hieman hankalasta logaritmista. Planck: klassiset rajat u (T,ω) dω = ~ ω 3 dω π 2 c 3 exp{β~ω} Bosonit matalilla la mpo tiloilla (.7) supranestevideo ω kb T /~, Planckin vakio ~ katoaa: Oskillaattorien lukuma a ra z u (T,ω) dω } { ω 2 dω π2 c 3 He muuttuu 2K:ssa suprajuoksevaksi Energian ekvipartitio Faasitransitio, esim. la mpo kapasiteetti divergoi z } { [kb T ] Kylma faasi supraneste: virtaa ilman vastusta. 4 He vahvasti vuorovaikuttava neste: Ideaalinen Bose-kaasu vain kvalitatiivinen kuvaus Muita suprailmio ita : Rayleigh-Jeans-laki (.8) Klassisten sa hko mag. aaltojen klassinen termodynamiikka! Ei voida integroida ω = asti: ns. ultraviolettikatastrofi ω kb T /~, Myo s 3 He suprajuoksevaa! Suprajohtavuus: johdinelektronien Cooperin parit era a nlainen supraneste ε = ~ω u (T,ε) dε = π 2 c 3 ~3 Bose-Einstein-kondensaatti ε3 exp{ βε} dε Ideaalikaasun Bose-Einstein-kondensaatti (.9) Klassisten hiukkasten Maxwell-Boltzmann kaasu! Planckin vakio ja a, niin kuin klassisessa ideaalikaasussakin Kvanttimekaniikassa hiukkaset aallot Planck: rajatapauksina seka klassiset aallot etta klassiset hiukkaset Nobel 2 Cornell, Ketterle, Wieman url Achievement of Bose-Einstein condensation in dilute gases of alkali atoms... Planckin sa teilylaista on ja lkika teen tullut kvanttifysiikan keskeisimpia tuloksia. Planck esitti alunperin sa teilylakinsa olennaisesti arvauksena, joka na ytti sopivan hyvin kokeelli4

Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242)

Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Käytännön asioita Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 Käytännön asioita 1 Käytännön asioita Ajat, paikat, käytännöt

Lisätiedot

8. Klassinen ideaalikaasu

8. Klassinen ideaalikaasu Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 8. Klassinen ideaalikaasu 1 Fysikaalinen tilanne Muistetaan: kokeellisesti

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 7: Ekvipartitioteoreema, partitiofunktio ja ideaalikaasu Ke 16.3.2016 1 KURSSIN

Lisätiedot

Luento 8. Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli. Sähkönjohtavuus Druden malli

Luento 8. Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli. Sähkönjohtavuus Druden malli Luento 8 Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli Sähkönjohtavuus Druden malli Klassiset C V -mallit Termodynamiikka kun Ei ennustetta arvosta! Klassinen

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta

Lisätiedot

kertausta Boltzmannin jakauma infoa Ideaalikaasu kertausta Maxwellin ja Boltzmannin vauhtijakauma

kertausta Boltzmannin jakauma infoa Ideaalikaasu kertausta Maxwellin ja Boltzmannin vauhtijakauma infoa kertausta Boltzmannin jakauma Huomenna itsenäisyyspäivänä laitos on kiinni, ei luentoa, ei laskareita. Torstaina laboratoriossa assistentit neuvovat myös laskareissa. Ensi viikolla tiistaina vielä

Lisätiedot

Z 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2

Z 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2 766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.

Lisätiedot

Statistinen fysiikka, osa B (FYSA2042)

Statistinen fysiikka, osa B (FYSA2042) Käytännön asioita Statistinen fysiikka, osa B (FYSA2042) Kimmo Kainulainen kimmo.kainulainen@jyu.fi Huone: FL220. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2018 Käytännön asioita 1 Käytännön asioita Ajat, paikat,

Lisätiedot

6. Yhteenvetoa kurssista

6. Yhteenvetoa kurssista Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 6. Yhteenvetoa kurssista 1 Keskeisiä käsitteitä I Energia TD1, siirtyminen lämpönä

Lisätiedot

Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1

Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1 76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset

Lisätiedot

1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta

1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 5, ratkaisut syyslukukausi 204). Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta E n n + ) ω, n 0,, 2,... 2 a) Oskillaattorin partitiofunktio

Lisätiedot

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241)

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 0. Käytännön asioita 1 Ajat, paikat Ajan tasalla olevat tiedot kurssin kotisivulta

Lisätiedot

KULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241)

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 1 Ajat, paikat 0. Käytännön asioita Ajan tasalla olevat tiedot kurssin kotisivulta

Lisätiedot

1. Johdanto. FYSA241, kevät Tuomas Lappi kl Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja.

1. Johdanto. FYSA241, kevät Tuomas Lappi kl Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. FYSA241, kevät 2012 Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 1. Johdanto 1 Ajat, paikat Luennot: 20h ma, ke klo 10.15, FYS1,, 9.1.-22.2 Demot: 10h, ke

Lisätiedot

m h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0,

m h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0, 76638A Termofysiikka Harjoitus no. 9, ratkaisut syyslukukausi 014) 1. Vesimäärä, jonka massa m 00 g on ylikuumentunut mikroaaltouunissa lämpötilaan T 1 110 383,15 K paineessa P 1 atm 10135 Pa. Veden ominaislämpökapasiteetti

Lisätiedot

Fononit. Värähtelyt lineaarisessa atomiketjussa Dispersiorelaatio Kaksi erilaista atomia ketjussa Fononit kolmessa dimensiossa

Fononit. Värähtelyt lineaarisessa atomiketjussa Dispersiorelaatio Kaksi erilaista atomia ketjussa Fononit kolmessa dimensiossa Fononit Värähtelyt lineaarisessa atomiketjussa Dispersiorelaatio Kaksi erilaista atomia ketjussa Fononit kolmessa dimensiossa Atomien lämpövärähtely Mikä on atomien värähtelyn taajuus ja amplitudi? Tarkastellaan

Lisätiedot

ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)

ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4) 76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa

Lisätiedot

3. Statistista mekaniikkaa

3. Statistista mekaniikkaa Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Kvanttimekaniikka: diskreetit

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 9: Fotonit ja relativistiset kaasut Ke 30.3.2016 1 AIHEET 1. Fotonikaasun termodynamiikkaa.

Lisätiedot

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Touko Herranen Luento 2: kineettistä kaasuteoriaa Pe 24.2.2017 1 Aiheet tänään 1. Maxwellin ja Boltzmannin

Lisätiedot

Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)

Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen) Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,

Lisätiedot

kertausta edellisestä seuraa, että todennäköisimmin systeemi löydetään sellaisesta mikrotilasta, jollaisia on

kertausta edellisestä seuraa, että todennäköisimmin systeemi löydetään sellaisesta mikrotilasta, jollaisia on tavoitteet kertausta Tiedät mitä on Boltzmann-jakauma ja osaat soveltaa sitä Ymmärrät miten päädytään kaasumolekyylien nopeusjakaumaan Ymmärrät kuinka voidaan arvioida hiukkasen vapaa matka Kaikki mikrotilat,

Lisätiedot

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 10, ratkaisut (syyslukukausi 2014)

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 10, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 7668A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 4). Johdetaan yksiatomisen klassisen ideaalikaasun kemiallisen potentiaalin µ(t,, N) lauseke. (a) Luentojen yhtälön mukaan kemiallinen potentiaali

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta

S Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,

Lisätiedot

Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen

Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Voima ja potentiaalienergia II Energian kvantittuminen Mene osoitteeseen presemo.helsinki.fi/kontro ja vastaa kysymyksiin Tavoitteena tällä luennolla Miten määritetään voima kun potentiaalienergia U(x,y,z)

Lisätiedot

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta. K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy

Lisätiedot

Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot

Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan

Lisätiedot

Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa

Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa,

Lisätiedot

1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =

1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV = S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio

Lisätiedot

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 1: Lämpötila ja Boltzmannin jakauma Ke 24.2.2016 1 YLEISTÄ KURSSISTA Esitietovaatimuksena

Lisätiedot

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ] 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan

Lisätiedot

1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit

1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian

Lisätiedot

5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA

5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA 5.10. HIUKKANEN POTENTIAALIKUOPASSA eli miten reunaehdot ja normitus vaikuttavat aaltofunktioihin Yleensä Schrödingerin yhtälön ratkaiseminen matemaattisesti on hyvin työlästä ja edellyttää vahvaa matemaattista

Lisätiedot

infoa tavoitteet E = p2 2m kr2 Klassisesti värähtelyn amplitudi määrää kokonaisenergian Klassisesti E = 1 2 mω2 A 2 E = 1 2 ka2 = 1 2 mω2 A 2

infoa tavoitteet E = p2 2m kr2 Klassisesti värähtelyn amplitudi määrää kokonaisenergian Klassisesti E = 1 2 mω2 A 2 E = 1 2 ka2 = 1 2 mω2 A 2 infoa tavoitteet Huomenna keskiviikkona 29.11. ei ole luentoa. Oppikirjan lukujen 12-13.3. lisäksi kotisivulla laajennettu luentomateriaali itse opiskeltavaksi Laskarit pidetään normaalisti. Ymmärrät mitä

Lisätiedot

10. Kvanttikaasu. Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi kl Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja.

10. Kvanttikaasu. Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi kl Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL24. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 26. Kvanttikaasu Aaltofunktio ja hiukkasten vaihto Tunnettua kvanttimekaniikasta

Lisätiedot

Korkeammat derivaatat

Korkeammat derivaatat Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 8: Kemiallinen potentiaali, suurkanoninen ensemble Pe 18.3.2016 1 AIHEET 1. Kanoninen

Lisätiedot

TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)

TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on

Lisätiedot

1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus

1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,

Lisätiedot

E p1 = 1 e 2. e 2. E p2 = 1. Vuorovaikutusenergian kolme ensimmäistä termiä on siis

E p1 = 1 e 2. e 2. E p2 = 1. Vuorovaikutusenergian kolme ensimmäistä termiä on siis 763343A IINTEÄN AINEEN FYSIIA Ratkaisut 3 evät 2017 1. Tehtävä: CsCl muodostuu Cs + - ja Cl -ioneista, jotka asettuvat tilakeskeisen rakenteen vuoropaikoille (kuva). Laske tämän rakenteen Madelungin vakion

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

= 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6,

= 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6, S-435, Fysiikka III (ES) entti 43 entti / välikoeuusinta I Välikokeen alue Neljän tunnistettavissa olevan hiukkasen mikrokanonisen joukon mahdolliset energiatasot ovat, ε, ε, 3ε, 4ε,, jotka kaikki ovat

Lisätiedot

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille]

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] A) p 1, V 1, T 1 ovat paine tilavuus ja lämpötila tilassa 1 p 2, V 2, T 2 ovat paine tilavuus ja

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 7 Harmonisen värähdysliikkeen energia Jousen potentiaalienergia on U k( x ) missä k on jousivakio ja Dx on poikkeama tasapainosta. Valitaan

Lisätiedot

Miksi tarvitaan tilastollista fysiikkaa?

Miksi tarvitaan tilastollista fysiikkaa? Miksi tarvitaan tilastollista fysiikkaa? cm 3 kaasua NTP ssä ~ 3 9 molekyyliä P, T? (paine ja lämpötila?) tarvitaan joitakin estimaatteja jokaisen hiukkasen dynaamisesta tilasta, todennäköisyysjakaumia

Lisätiedot

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r

Luento 13: Periodinen liike. Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä F t F r Luento 13: Periodinen liike Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä θ F t m g F r 1 / 27 Luennon sisältö Johdanto Harmoninen värähtely Esimerkkejä 2 / 27 Johdanto Tarkastellaan jaksollista liikettä (periodic

Lisätiedot

Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.

Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu

Lisätiedot

FYSA2031 Potentiaalikuoppa

FYSA2031 Potentiaalikuoppa FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali

Lisätiedot

Kvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi

Kvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi Kvantittuminen Planckin kvanttihypoteesi Kappale vastaanottaa ja luovuttaa säteilyä vain tietyn suuruisina energia-annoksina eli kvantteina Kappaleen emittoima säteily ei ole jatkuvaa (kvantittuminen)

Lisätiedot

Shrödingerin yhtälön johto

Shrödingerin yhtälön johto Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe

S Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe S-114.1327 Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe 1.3.21 Ilkka Tittonen 1. Vastaa seuraaviin kysymyksiin perustellusti, mutta ytimekkäästi (esim. 5-1 lausetta) (2p per kohta). a) Mikä on sidottu tila? Anna

Lisätiedot

4. Termodynaamiset potentiaalit

4. Termodynaamiset potentiaalit Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) uomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 4. ermodynaamiset potentiaalit 1 asapainotila Mikrokanoninen ensemble Eristetty

Lisätiedot

Korkeammat derivaatat

Korkeammat derivaatat Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d df(x) dx dx = d2 f(x) dx 2 = f''(x) = f 2 (x) Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f n (x) Esimerkki: 2 atominen molekyyli

Lisätiedot

PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016

PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016 PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016 Prof. Martti Puska Emppu Salonen Tomi Ketolainen Ville Vierimaa Luento 7: Hilavärähtelyt tiistai 12.4.2016 Aiheet tänään Hilavärähtelyt: johdanto Harmoninen

Lisätiedot

Ideaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua

Ideaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua Ideaalikaasulaki Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua ja tilanmuuttujat (yhä) paine, tilavuus ja lämpötila Isobaari, kun paine on vakio Kaksi

Lisätiedot

TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko

TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko 1 TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä

Lisätiedot

3. Statistista mekaniikkaa

3. Statistista mekaniikkaa FYSA241, kevät 2012 Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Muistelua johdanto-osasta: Kvanttimekaniikassa

Lisätiedot

, m s ) täytetään alimmasta energiatilasta alkaen. Alkuaineet joiden uloimmalla elektronikuorella on samat kvanttiluvut n,

, m s ) täytetään alimmasta energiatilasta alkaen. Alkuaineet joiden uloimmalla elektronikuorella on samat kvanttiluvut n, S-114.6, Fysiikka IV (EST),. VK 4.5.005, Ratkaisut 1. Selitä lyhyesti mutta mahdollisimman täsmällisesti: a) Keskimääräisen kentän malli ja itsenäisten elektronien approksimaatio. b) Monen fermionin aaltofunktion

Lisätiedot

Chapter 3. The Molecular Dance. Luento Terminen liike Kineettinen kaasuteoria Boltzmann-jakauma Satunnaiskävely

Chapter 3. The Molecular Dance. Luento Terminen liike Kineettinen kaasuteoria Boltzmann-jakauma Satunnaiskävely Chapter 3. The Molecular Dance 1 Luento 15.1.016 Terminen liike Kineettinen kaasuteoria Boltzmann-jakauma Satunnaiskävely Chapter 3. The Molecular Dance Solut: Korkeasti järjestyneitä systeemeitä Terminen

Lisätiedot

Aikariippuva Schrödingerin yhtälö

Aikariippuva Schrödingerin yhtälö Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin

Lisätiedot

TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko

TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä

Lisätiedot

3. Statistista mekaniikkaa

3. Statistista mekaniikkaa Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Kvanttimekaniikka: diskreetit

Lisätiedot

Tfy Fysiikka IIB Mallivastaukset

Tfy Fysiikka IIB Mallivastaukset Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama

Lisätiedot

Ekvipartitioperiaatteen mukaisesti jokaiseen efektiiviseen vapausasteeseen liittyy (1 / 2)kT energiaa molekyyliä kohden.

Ekvipartitioperiaatteen mukaisesti jokaiseen efektiiviseen vapausasteeseen liittyy (1 / 2)kT energiaa molekyyliä kohden. . Hiilidioksidiolekyyli CO tiedetään lineaariseksi a) Mitkä ovat eteneisliikkeen, pyöriisliikkeen ja värähtelyn suuriat ekvipartitioperiaatteen ukaiset läpöenergiat olekyyliä kohden, kun kaikki vapausasteet

Lisätiedot

J 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.

J 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z. FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi

Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Pakotettu vaimennettu harmoninen värähtelijä Resonanssi Tällä luennolla tavoitteena Mikä on pakkovoiman aiheuttama vaikutus vaimennettuun harmoniseen värähtelijään? Mikä on resonanssi? Kertaus: energian

Lisätiedot

Korkeammat derivaatat

Korkeammat derivaatat Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk1o voidaan derivoida uudelleen. d dx! " # df(x) dx $ % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-

Lisätiedot

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 2: Kaasujen kineettistä teoriaa Pe 26.2.2016 1 AIHEET 1. Maxwellin-Boltzmannin

Lisätiedot

Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten)

Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten) Noste Ympyräliike I Luennon tavoitteet Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten) Aloitetaan ympyräliikettä Keskeisvoiman

Lisätiedot

1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria

1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.

Lisätiedot

Wien R-J /home/heikki/cele2008_2010/musta_kappale_approksimaatio Wed Mar 13 15:33:

Wien R-J /home/heikki/cele2008_2010/musta_kappale_approksimaatio Wed Mar 13 15:33: 1.2 T=12000 K 10 2 T=12000 K 1.0 Wien R-J 10 0 Wien R-J B λ (10 15 W/m 3 /sterad) 0.8 0.6 0.4 B λ (10 15 W/m 3 /sterad) 10-2 10-4 10-6 10-8 0.2 10-10 0.0 0 200 400 600 800 1000 nm 10-12 10 0 10 1 10 2

Lisätiedot

Tilat ja observaabelit

Tilat ja observaabelit Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ

Lisätiedot

Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus

Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus Kuva 1: Yksinkertainen siniaalto. Amplitudi kertoo heilahduksen laajuuden ja aallonpituus värähtelytiheyden. 1 Funktiot ja aallot Aiemmin käsiteltiin funktioita ja miten niiden avulla voidaan kuvata fysiikan

Lisätiedot

S , Fysiikka III (S) I välikoe Malliratkaisut

S , Fysiikka III (S) I välikoe Malliratkaisut S-4.35, Fysiikka III (S) I välikoe 9.0.000 Malliratkaisut Tehtävä Kuution uotoisessa säiliössä, jonka särän pituus on 0,0, on 3,0 0 olekyyliä happea (O) 300 K läpötilassa. a) Kuinka onta kertaa kukin olekyyli

Lisätiedot

kolminkertaisesti tehtäviä tavallisiin harjoituksiin verrattuna, voi sen kokonaan tekemällä saada suunnilleen kolmen tavallisen harjoituksen edestä

kolminkertaisesti tehtäviä tavallisiin harjoituksiin verrattuna, voi sen kokonaan tekemällä saada suunnilleen kolmen tavallisen harjoituksen edestä Matematiikkaa kemisteille, kevät 2013 Ylimääräisiä laskuharjoituksia Tällä laskuharjoituksella voi korottaa laskuharjoituspisteitään, mikäli niitä ei ole riittävästi kurssin läpäisemiseen, tai vaihtoehtoisesti

Lisätiedot

Luento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit

Luento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Luento 8 6.3.2015 1 Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Entrooppiset voimat 3 2 0 0 S k N ln VE S, S f ( N, m) 2 Makroskooppisia voimia, jotka syntyvät pyrkimyksestä

Lisätiedot

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 13. lokakuuta 2014 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan

Lisätiedot

Fysiikka 8. Aine ja säteily

Fysiikka 8. Aine ja säteily Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian

Lisätiedot

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 6: Faasimuutokset Maanantai 5.12. Kurssin aiheet 1. Lämpötila ja lämpö 2. Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö 3. Lämpövoimakoneet

Lisätiedot

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho

Luento 10: Työ, energia ja teho. Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho Luento 10: Työ, energia ja teho Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 1 / 23 Luennon sisältö Johdanto Työ ja kineettinen energia Teho 2 / 23 Johdanto Energia suure, joka voidaan muuttaa muodosta toiseen,

Lisätiedot

Ekvipartitioteoreema. Entropia MB-jakaumassa. Entropia tilastollisessa mekaniikassa

Ekvipartitioteoreema. Entropia MB-jakaumassa. Entropia tilastollisessa mekaniikassa Ekvipartitioteoreema lämpötilan ollessa riittävän korkea, kukin molekyylin liikkeen vapausaste tuo energian ½ kt sekä keskimääräiseen liike-energiaan ja kineettiseen energiaan energian lisäys ja riittävän

Lisätiedot

Ekvipartitioteoreema

Ekvipartitioteoreema Ekvipartitioteoreema lämpötilan ollessa riittävän korkea, kukin molekyylin liikkeen vapausaste tuo energian ½ kt sekä keskimääräiseen liike-energiaan ja kineettiseen energiaan energian lisäys ja riittävän

Lisätiedot

Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima

Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat Jousivoima Tämän luennon tavoitteet Liikemäärän säilyminen Vuorovesivoimat ja binomiapproksimaatio gravitaatio jatkuu viime viikolta Jousivoima: mikä se on ja miten

Lisätiedot

Osallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai

Osallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:

Lisätiedot

Integroimalla ja käyttämällä lopuksi tilanyhtälöä saadaan T ( ) ( ) H 5,0 10 J + 2,0 10 0,50 1,0 10 0,80 Pa m 70 kj

Integroimalla ja käyttämällä lopuksi tilanyhtälöä saadaan T ( ) ( ) H 5,0 10 J + 2,0 10 0,50 1,0 10 0,80 Pa m 70 kj S-4.35 Fysiikka (ES) entti 3.8.. ääritä yhden haikaasumoolin (O) (a) sisäenergian, (b) entalian muutos tilanmuutoksessa alkutilasta =, bar, =,8 m3 loutilaan =, bar, =,5 m3. ärähtelyn vaausasteet voidaan

Lisätiedot

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017 PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 5: Termodynaamiset potentiaalit Maanantai 27.11. ja tiistai 28.11. Kotitentti Julkaistaan ti 5.12., palautus viim. ke 20.12.

Lisätiedot

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 16. lokakuuta 2013 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme

(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät

Lisätiedot

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on?

4.0.2 Kuinka hyvä ennuste on? Luonteva ennuste on käyttää yhtälöä (4.0.1), jolloin estimaattori on muotoa X t = c + φ 1 X t 1 + + φ p X t p ja estimointivirheen varianssi on σ 2. X t }{{} todellinen arvo Xt }{{} esimaattori = ε t Esimerkki

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017

763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 2017 763306A JOHDATUS SUHTEELLISUUSTEORIAAN 2 Ratkaisut 2 Kevät 207. Nelinopeus ympyräliikkeessä On siis annettu kappaleen paikkaa kuvaava nelivektori X x µ : Nelinopeus U u µ on määritelty kaavalla x µ (ct,

Lisätiedot

Mekaniikan jatkokurssi Fys102

Mekaniikan jatkokurssi Fys102 Mekaniikan jatkokurssi Fys10 Kevät 010 Jukka Maalampi LUENTO 8 Vaimennettu värähtely Elävässä elämässä heilureiden ja muiden värähtelijöiden liike sammuu ennemmin tai myöhemmin. Vastusvoimien takia värähtelijän

Lisätiedot