6. Yhteenvetoa kurssista

Transkriptio

1 Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl Yhteenvetoa kurssista 1

2 Keskeisiä käsitteitä I Energia TD1, siirtyminen lämpönä ja työnä. Kaasun kierrot PV -tasossa, ideaalikaasu Entropia TD2, määritelmä mikrotilojen avulla (Boltzmann). Entropian muutokset: sekoitusentropia, kaasuprosessit Mikrokanoninen lasku: E S T kidevirheet Lämpökylpy Eristetystä kylpyyn; luonnollinen muuttuja S T. Käsitteet: Boltzmannin todennäköisyysjakauma, partitiofunktio, Gibbsin entropia TD potentiaalit Legendren muunnos. Potentiaali fysikaalisen tilanteen mukaan: E, F, H, G Maxwellin relaatiot, osittaisderivaattojen pyörittelyä (JT- ja lämpökapasiteeti/kokoonpuristuvuusesimerkkejä ei tarvitse muistaa ulkoa, kylläkin ymmärtää!) Faasitransitiot Järjestysparametri muuna makroskooppisena muuttujana, tasapainoehto Gibbsin funktion/kemiallisen potentiaalin yhtäsuuruutena. Landaun ja Isingin mallit ferromagneetille 2

3 Keskeisiä käsitteitä II Latentti lämpö, entropian muutos transitiossa Höyrynpainekäyrän yhtälö (CCY), soveltaminen 3

4 Statistiset joukot (ensemble) Statistinen joukko (ensemble) on kuviteltu kokoelma saman systeemin kopioita, kukin jossakin systeemille mahdollisessa tilassa; kopioita on yleensä hyvin monta, jopa ääretön määrä. Kolme statistisen mekaniikan joukkoa: Mikrokanoninen joukko: E, N vakioita. Systeemi on suljettu, eikä vaihda energiaa eikä hiukkasia ympäristönsä kanssa. T on vakio ja sen määrää systeemin sisäinen dynamiikka. Kanoninen joukko: T, N vakioita, E fluktuoi. Systeemi vaihtaa energiaa ympäristönsä kanssa, joka on lämpökylpy. Suurkanoninen joukko: T vakio, N ja E fluktuoivat. Systeemi on avoin ja vaihtaa energiaa ja hiukkasia ympäristönsä kanssa, joka on lämpö- ja hiukkaskylpy. 4

5 Prosessien luokittelu Prosessit: Adiabaattinen: lämpöä ei siirry systeemin ja ympäristön välillä. Prosessi eristetyssä systeemissä. Reversiibeli: osien entropioiden muutosten summa on nolla, paluu täsmälleen vanhaan tilaan on mahdollinen. Entropiaa saa siirrellä, mutta sen kokonaismäärä ei muutu. Irreversiibeli: entropia kasvaa, paluuta täsmälleen vanhaan tilaan ei ole. Minkä tahansa osasysteemin voi palauttaa vanhaan tilaansa, mutta vain sen ympäristön entropian kustannuksella. Entropia voi pienentyä joissakin osissa vain jos se muualla kasvaa tätä enemmän. Isentrooppinen: entropia ei muutu. Jokainen reversiibeli, adiabaattinen prosessi on isentrooppinen. 5

6 Entropian laskeminen I Termodynamiikassa: Vain entropian muutokset tunnetaan ja vain reversiibelille prosessille: ds = δqrev. T Osasysteemien alku- ja lopputilan välille voi löytyä reversiibeli prosessi. Sovella kaavaa kullekin osalle erikseen. Entropia on tilasuure, alku- ja lopputilan välinen entropiaero on yksikäsitteinen. Yhdessä osassa löydetty (kuviteltu) reversiibeli prosessi ei yleensä ole reversiibeli toisessa osassa. (Jos olisi, voisit laskea S:n y.o. kaavalla molemmille osille yhtaikaa :). Esim. Laitetaan kaksi erilämpöistä kappaletta termiseen kontaktiin. Prosessi on irreversiibeli, mutta kummallekin kappaleelle voi laskea erikseen entropian muutoksen käyttäen reversiibeliä prosessia. Silti kappaleen 1 reversiibeli prosessi ei ole kappaleen 2 reversiibeli prosessi ja kääntäen. Ei ole olemassa reversiibeliä prosessia molempien kappaleiden systeemissä. 6

7 Entropian laskeminen II Statistisessa mekaniikassa: 1) Suljettu systeemi eli mikrokanoninen joukko: Saavutettavien tilojen lukumäärästä Ω, Boltzmannin entropia S = k B ln(ω). 2) Systeemi lämpökylvyssä eli kanoninen joukko: mikrotilojen todennäköisyyksistä p ν, Gibbsin entropia S = k B ν pν ln(pν). 7

8 Boltzmann-jakauma Mikrotilan ν todennäköisyys termodynaamisessa tasapainossa on p ν = 1 Z e βeν β 1 k B T, missä E ν on mikrotilan energia ja normitus on partitiofunktio Z = ν e βeν. Mitä korkeampi lämpötila, sitä todennäköisemmin systeemi on suuren energian mikrotilassa. Hyvin matalassa lämpötilassa systeemi on suurella todennäköisyydellä perustilassa E 0. Korkea tai matala lämpötila on ajateltava mikrotilojen energioiden suhteen. Energiaero 1 ev (elektronivoltti) vastaa lämpötilaa T K, joten huonelämpötila on tällaiselle systeemille erittäin matala lämpötila. 8

9 Merkkisopimus Jos työ W < 0 niin systeemi tekee työtä Jos työ W > 0 niin systeemiin tehdään työtä Tällä sopimuksella de = δq + δw = TdS PdV. Tarkistus: laajeneva kaasu tekee työtä. Koska δw = PdV, paine P > 0 ja kaasu laajenee dv > 0 δw < 0 OK. Yleispätevä muistisääntö: jos systeemi tekee työtä, sen sisäenergia pienenee (Merkin voi määritellä näinkin: δw = PdV ja de = δq δw = TdS PdV. Fysiikka ei muutu, vain merkkisopimus on toisinpäin. Mm. Wikipedia määrittelee merkin näin.) 9