Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot

Transkriptio

1 S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan elektronin transitio n = tasolta n = 1 tasolle, laske kuopan leveys L b) Miksi fotoniemissio tilalta n = tilalle n = 1 on kielletty sähködipoliapproksimaatiossa? h n a) Potentiaalikuopan energiatasot: En = 8mL joten transitiossa tilalta n + 1 tilaan n vapautuu energiaa E verran, mikä vastaa emittoituneen fotonin energiaa : h h hc E = En+ 1 En = ( n + n+ 1 n ) = (n+ 1) = 8mL 8mL λ Nyt n = 1 Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot λh λhc (694, nm)(140 ev nm) L= = = = 0795nm 6 8mc 8mc 8( ev ) b) Sähködipolisiirtymissä edellytetään aaltofunktion pariteetin vaihdes Tilat joilla n = 1 tai n = ovat molemmat parillisia (potentiaaliboksin keskipisteen suhteen), joten siirtymä niiden välillä on kielletty Olkoon l = Laske L + L :n (a) pienin arvo ja (b) suurin arvo (c) Jos lisäksi m = 1 laske y L+ Ly Voidaanko tästä määrittää L tai tilalle? (T&L) L y (d) Mikä on pienin mahdollinen n:n arvo tälle : Kulmaliikemäärän itseisarvon neliö voidaan kirjoittaa muodossa L = l( l+ 1), missä l = 0,1,, n 1 on kulmaliikemäärän kvanttiluku Vastaavasti voidaan kulmaliikemäärän z- komponentin itseisarvon neliö kirjoittaa muodossa L = m, missä m = 0, ± 1, ±,, ± l on z magneettinen kvanttiluku Näiden avulla voidaan kirjoittaa L = L + L + L y z L + L = L L = l( l+ 1) m = l( l+ 1) m L + L = 6 m (a)( L ) 6 + L y = = min y z y

2 (b) ( y) L + L = 6 0 = 6 ma + y = 6 1 = 5 (c) L L L :ää tai summa (d) Ratkaistaan pääkvanttiluku n l:n määritelmästä = l = 0,1,, n 1 n = + 1=, (b) ominaisfunktioita Mitkä ovat vastaavat ominaisarvot? Tutki ovatko funktiot (a) e ik min L y :tä ei voida ratkaista, vain niiden neliöiden e α ja (c) sin( k ) operaattoreiden / d ja d / : ψ ( ) on operaattorin  ominaisfunktio ominaisarvolla a, jos A ˆ Ψ ( ) = aψ ( ), tutkiaan voidaanko annetut funktiot kirjoittaa tähän muotoon (a) Derivoidaan d e ik ik = ike on ( a = ik ) d ik ik on ( ) e = ke a = k (b) Derivoidaan d e α e α = α on ( a = α) d e α e α = α a = α on ( ) (c) Derivoidaan d sin( k) = k cos( k) ei ole d sin( k) = k sin( k) on ( a= k ) välikokeen alue 4 a) Osoita (matemaattisesti), että tilalla n olevien elektronien maksimilukumäärä on n b) Litiumin perustilan elektronikonfiguraatio on 1ss Kirjoita aaltofunktio 1 determinanttimuodossa, kun kokonaisspinmagneettinen kvanttiluku on M S =

3 (a) Tiettyä ratakulmaliikemäärän kvanttilukua l kohti on l + 1 magneettisen kvanttiluvun ml arvoa sekä kutakin ml:n arvoa kohti kaksi spinmagneettisen kvanttiluvun ms arvoa eli kaikkiaan kutakin l:n arvoa kohti (l + 1) alitilaa Kutakin n:n arvoa vastaavat l:n arvot ovat l = 0,1,,, n 1 Elektronien lukumäärä täydellä n-kuorella on siis n 1 ( 1) 1 5 ( 1) N = l+ = n l= 0 Aritmeettiselle sarjalle pätee a1 am a1+ a + + am = m + Jolloin hakasulkujen sisällä olevan lausekkeen arvoksi tulee 1+ ( n 1) ( n 1) = n = n Näin ollen elektronitilojen määräksi saadaan n 1 ( 1) N = l+ = n l= 0 (b) Merkitään hiukkasen eri kvanttitiloja nlmlms alaindeksillä a, b, c, Voidaan osoittaa, että N:n elektronin (yleisemmin fermionin) systeemille Paulin periaatteen vaatima antisymmetrinen kokonaisaaltofunktio voidaan kirjoittaa determinanttimuotoon ψ abc = ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ψ ( ) ψ ψ ψ a a a 1 ψb ψb ψb, N! ψc c missä numerot 1,, jne tarkoittavat elektroneja Jos vaihdetaan kaksi elektronia keskenään, esim ja, se merkitsee kahden pystyrivin vaihtoa, mikä tunnetusti muuttaa determinantin merkin, eli ψ abc on antisymmetrinen Todetaan myös, että jos kaksi tilaa, esim a ja b ovat identtisiä, on determinantissa kaksi identtistä vaakariviä, jolloin se häviää (Paulin kieltosääntö) Li: perustilan konfiguraatio 1ss Elektroneja on kolme ja aaltofunktio on muotoa ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ψa ψa ψa 1 ψ = ψ 1s s b ψb ψb! ψ ψ ψ c c c Kukin determinantin alkio on orbitaalisen funktion ja spinfunktion tulo muotoa ψnlm χ l m 1stilassa on kaksi elektronia, joista toisella Paulin säännön mukaan tulee olla spin ylös, toisella s spin alas s-tilassa on vain yksi elektroni, nyt siis spin ylös (MS = 1/) Aaltofunktio on siis

4 1s s ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ( 1) ( ) ( ) ψ χ ψ χ ψ χ 1s + 1s + 1s + ψ = ψ χ ψ χ ψ χ, 1s 1s 1s ψ χ ψ χ ψ χ s + s + s + missä on merkitty lyhentäen χ+ 1 χ+ ; χ 1 χ 5 Happimolekyyli on aluksi alimmalla mahdollisella värähtely- ja rotaatiotasolla Tähän tasoon liittyvät kvanttiluvut ovat n = 0, l = 0, värähtelylle ja rotaatiolle vastaavasti Molekyyli absorboi aluksi fotonin, jonka energia on ev ja siirtyy n = 1, l = 1 tasolle Sen jälkeen se emittoi fotonin, jonka energia on ev siirtyen tasolle n = 0, l = Määrää a) värähtelyn perustaajuus ja b) rotaatioon liittyvät hitausmomentti Rotaatiotilojen energiat ovat E = l( l + 1) ( 1/) 0 Evib n ω = + rot ja värähelytilojen energiat Absorptiossa ( n 0, l 0 n 1, l 1) E rot = 11 ( + 1) 0 = = = = = on rotaatioenergian muutos ja värähtelyenergian muutos ( ) ω ω E vib = / 1/ = 0 Energian säilymislain perusteella absorboituvan fotonin energia on yhtä suuri kuin rotaatioenergian ja värähtelyenergian yhteenlaskettu muutos (rekyylienergia voidaan unohtaa ensimmäisessä approksimaatiossa): Erot + Evib = + ω0 = 0,1965 ev (1) n = 1, l = 1 n = 0, l = rotaaatio- ja värähtelyenergioiden muutokset ovat Emissiossa ( ) vastaavasti: Erot = ( 1) 1( 1 1) + + = Evib = 0 ( 0+ 1/) ( 1+ 1/) = 0 ω ω Energian säilymislaista saadaan nyt (elektronin energia pienenee fotonin energian verran)

5 Erot + Evib = ω0 = 0,19546 ev () Yhtälöistä (1) ja () saadaan yhtälöpari, josta ratkaisemalla 14 ω 0 =,98 10 rad/s -46 =1,95 10 kgm 6 Kuparilla on pintakeskinen kuutiollinen (FCC) kiderakenne Laske (a) konventionaalisen kuutiollisen hilakopin särmän pituus (hilavakio), (b) lähinaapurietäisyys, ja (c) lähinaapurien lukumäärä Kuparin tiheys on 890 kg/m ja atomimassa 6,54 u a) Kuparin FCC-yksikkökopissa on 4 atomia Atomien lukumäärä tilavuusyksikössä on 4 ρ siten n = Toisaalta n = Saadaa siis a M ρ 4M , kg = a = 0,6 nm a M ρ kg 890 m 1 b) FCC-kopin nurkkapisteessä sijaitsevan atomin lähin naapuri on pintakeskuksessa sijaitseva atomi Siis lähinaapurietäisyys on a a 0,6154 nm r o = = 0,56 nm c) Nurkkapisteessä sijaitsevalla atomilla on omassa kopissa lähinaapuria (sivutahojen keskipisteissä) Nurkkapisteessä koskettavat toisiaan 8 yksikkökoppia Jokaisessa niistä on kolme lähintä sivutahon keskipistettä, mutta jokainen niistä on yhteinen kahden kopin kanssa Siis kaikkiaan tarkasteltavalla nurkkapisteen atomilla on lähinaapureita Vakioita 8 = 1 kpl

6 m e = 9, kg m p = 1, kg m n = 1, kg amu = 1, kg e = 1, C c =, m/s = 1, Js µ B = 9,7 10 JT = 8, C N m K e = 1/4 0 0 = 1, mkgc K m = 0 /4 ε πε µ µ π γ = 6, Nm kg N = 6,05 10 mol R = 8,14JK mol k=1, JK A