1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria

Transkriptio

1 Kvanttimekaniikka I, tentti tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p. Asetetaan ensin δ = 0. Mitkä ovat Hamiltonin operaattorin ominaistilat? Mitä tarkoittaa degeneeraatio? (b (p. Olkoon sitten δ 0. Mitkä ovat nyt energian ominaisarvot ja näitä vastaavat ominaistilat? (c (p. Olkoon järjestelmä hetkellä t = 0 tilassa ψ(0 = 1, ja annetaan systeemin kehittyä häiritsemättä. Mikä on systeemin tila ψ(t hetkellä t > 0? (d (4p. Systeemiä tarkastellaan hetkellä t = τ > 0. Laske millä todennäköisyydellä systeemi havaitaan tilassa 1 tai tilassa. Millä ajanhetkellä τ todennäköisyys havaita systeemi tilassa 1 on yksi?. Tarkastellaan Hamiltonin operaattoria missä H = H 0 + H 1, E ξe H 0 = 0 E 0 0, H 1 = 0 0 ξe E 0 0 ξe 0 0 Häiritsemättömän järjestelmän ominaiskanta on siis { 1,, }, s.e. H 0 1 = E 0 1, H 0 = E 0, H 0 = E 0, ja yllä olevat matriisiesitykset on annettu tässä kannassa. Oletetaan, että ξ 1 ja tarkastellaan operaattorin H 1 vaikutusta systeemin ominaisenergioihin ja -tiloihin käyttäen häiriöteoriaa. (a (p. Osoita, että ensimmäisen kertaluvun korjaus degeneroitumattomaan ominaisarvoon häviää. Laske toisen kertaluvun korjaus. (b (5p. Laske häiriöteorian mukaiset ensimmäisen kertaluvun korjaukset degeneroituneeseen ominaisarvoon. Selitä energiatasokaavion avulla miten häiriö muuttaa systeemin energiatilojen degeneraatiota. (c (p. Ratkaise Hamiltonin operaattorin H ominaisarvot tarkasti. Kehitä saamasi tulos parametrin ξ funktiona ja vertaa häiriöteoreettisiin tuloksiin. (Kehitelmästä / +... saattaa olla apua.

2 . Tarkastellaan spinitöntä hiukkasta -ulotteisessa, pallosymmetrisessä potentiaalissa V (r (a (p. Separoi stationaarinen Schrödingerin yhtälö ( h m + V (r ψ nlm (r = ɛ nlm ψ nlm (r yritteellä ψ nlm (r = R nl (ry lm (θ, φ, ja johda radiaalinen Schrödingerin yhtälö. (b (4p. Redusoi radiaaliyhtälö edelleen yksiulotteisen liikkeen Schrödingerin yhtälöksi efektiivisessä potentiaalissa V eff (r. (Vinkki: R(r = u(r/r. Oleta Coulombin potentiaali V (r = e /(4πɛ 0 r ja piirrä efektiivisen potentiaalin V eff (r kuvaaja kun l = 0, 1 ja. (c (4p. Oleta edelleen Coulombin potentiaali V (r = e /(4πɛ 0 r, ja johda aaltofunktion u(r asymptoottinen käytös sidottujen tilojen tapauksessa kun r ja kun r 0. Perustele, miksi perustilan aaltofunktio on u(r = Are rc ja laske tämän perusteella vakio c ja perustilan energia. 4. Sironta-amplitudi elastiselle sironnalle potentiaalista V (r on f k (θ, φ = π d r Φ k f (r U(r Ψ ki (r, missä k f on sironneen hiukkasen aaltovektori ja k i on hiukkasen aaltovektori ennen sirontaa, k f = k i = k = µe/ h, ja Φ kf (r = 1 e ik (π / f r, ja U(r = µ V (r. h Aaltofunktio Ψ ki (r toteuttaa integraaliyhtälön Ψ k (r = Φ k (r + d r G k (r r U(r Ψ k (r, missä G k (r r on operaattorin +k Greenin funktio (jonka eksplisiittistä muotoa ei tarvita tässä tehtävässä. (a (6p. Selitä miten sironta-amplitudin Bornin kehitelmä muodostetaan ja kirjoita kehitelmän kolme ensimmäistä termiä eksplisiittisesti. Osoita, että Bornin approksimaatiossa (eli Bornin kehitelmän alimmassa kertaluvussa sirontaamplitudi on oleellisesti potentiaalin Fourier-muunnos: f B (θ, φ = 1 µ 4π h d re i(k f k i r V (r. (b (4p. Sovella Bornin approksimaatiota ja laske sironta-amplitudi f(θ, differentiaalinen vaikutusala dσ/dω ja kokonaisvaikutusala σ sironnalle potentiaalista V (r = V 0 e λ r, λ > 0.

3 Hyötytietoa: i h d ψ(t = H ψ(t dt U(t = e iht/ h A = A A A B 1 [A, B] a = p h E t h d A = ī A dt h [A, H] + t H = P m + V ( [X, P ] = i h ψ( = ψ X = P = i h d d ψ(, t i h t = h ψ(, t + V (ψ(, t m h d ψ( + V (ψ( = Eψ( m d mω 1 mω 1 h X + i mω h P, a = h X i mω h P a n = n n 1, a n = n + 1 n + 1 [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B σ = ( 0 1 σ y = ( 0 i i 0 σ z = ( 0 1 Fouriermuunnos: f(p = d (π e ip f( f( = d p (π eip f(p Sopivin oletuksin funktioille f( ja g( pätee: d d (π f( g( = (π ( f(g(. g( = 1 /(σ (πσ / e σk g(k = e

4 Pallokoordinaatit ja palloharmoniset funktiot: = 1 r r (r r 1 h r ˆL d r = r drdω = r dr sin θdθdϕ dω = 4π Y 0 (θ, ϕ = R 10 = ˆL = h [ 1 sin θ Y lm (θ, ϕ = ( 1 m+ m ˆL Y lm (θ, ϕ = h l(l + 1Y lm (θ, ϕ ˆLz Y lm (θ, ϕ = hmy lm (θ, ϕ θ (sin θ θ + 1 ] sin θ ϕ l + 1 4π dω Y l m (θ, ϕy lm(θ, ϕ = δ ll δ mm (l m! (l + m! P m l (cos θe imϕ Y l, m (θ, ϕ = ( 1 m Y l,m(θ, ϕ Pl k (z = (1 z k/ dk dz P l(z P k l (z = 1 l l! dz l (z 1 l Y 00 (θ, ϕ = 1 Y 10 (θ, ϕ = 4π 4π cos θ Y 1±1(θ, ϕ = sin θe±iϕ 8π 5 ( cos θ Y ±1 (θ, ϕ = 16π 8π cos θ sin θe±iϕ Y ± (θ, ϕ π sin θe ±iϕ Vetyatomin(kaltaisen ionin elektronin aaltofunktiot: R nl (r = Ψ nlm ( = R nl (ry lm (θ, ϕ κ = Z na (n l 1! (κ n(n + l! (κrl e κr L l+1 n l 1 (κr Lq p( = d l a = 4πɛ 0 h µe ( / Z e Zr/a R 0 = 1 ( / ( Z 1 Zr e Zr/a R 1 = 1 a a a 6 Besselin ja von Neumannin pallofunktiot: p ( 1 k (p + q! k (p k!(q + k!k! k=0 ( 5/ Z re Zr/a a r d R(r dr + r dr(r dr j l ( = l l j 0 ( = sin s=0 + [ (kr l(l + 1 ] R(r = 0 R(r = Aj l (kr + Bn l (kr ( 1 s (s + l! s!(s + l + 1! s j 1 ( = sin cos n l ( = ( 1l+1 l l+1 n 0 ( = cos s=0 ( 1 s (s l! s!(s l! s n 1 ( = cos sin

5 Integrointiapuja: C dzf(z = πi Trigonometriaa: 0 d n e a = n! a n+1, n Resf(z z=zj, j=1 de a = π a. Resf(z 1 ( d n 1[(z z=z0 = lim z0 n f(z]. z z0 (n 1! dz cos = cos sin, cos + sin = 1 Pyörimismäärä: Ĵ j, m = h j(j + 1 j, m, Ĵ z j, m = hm j, m Ĵ ± = Ĵ ± iĵy, Ĵ ± j, m = h (j m(j ± m + 1 j, m ± 1 Sarjoja: [Ĵi, Ĵj] = i h ɛ ijk Ĵ k, [Ĵ, Ĵi] = 0 k=1 e = Paulin matriisit: n n! σ = ( 0 1 cos = ( 1 n n (n! σ y = ( 0 i i 0 sin = σ z = ( 1 n n+1 (n + 1! ( 0 1 [σ i, σ j ] = iɛ ijk σ k {σ i, σ j } = δ ij 1 ( σ a( σ b = ( a b1 + i( a b σ Häiriöteoria: E n (1 = n V n, E n ( = m n n V m E n (0 E m (0 Sirontateoria: dσ dω = f(θ, φ, σ = dω dσ dω. c = m/s h = Js q e = C