3. Statistista mekaniikkaa

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "3. Statistista mekaniikkaa"

Transkriptio

1 Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl Statistista mekaniikkaa 1

2 Mikrotilojen laskenta Kvanttimekaniikka: diskreetit tilat voidaan laskea, numeroida Makrotilan statistinen paino Ω on sitä vastaavien mikrotilojen lukumäärä. Kiinnitetään E, V, N: Statistisen fysiikan peruspostulaatit 1. SM1: Kaikki saman makrotilan kaikki Ω mikrotilaa ovat yhtä todennäköisiä 2. SM2: termodynaaminen tasapainotila on se makrotila, jolla on suurin Ω Kuvataan järjestelmää muuttujilla E, V, N, α 1,... α n Tässä α i =muut järjestelmää kuvaavat makroskooppiset muuttujat Tietyillä E, V, N, termodynaamisessa tasapainotilassa α i saa arvot, joilla Ω on suurin. Mikrokanoninen joukko (ensemble) Tällaista eristettyä systeemiä kutsutaan mikrokanoniseksi joukoksi Ransk. ensemble =yhdessä, joukko. Myös engl. ensemble =joukko, orkesteri. 2

3 Boltzmannin entropia Ominaisuuksia: S k B ln Ω Nyt TD2 (S max) SM 2. postulaatti (Ω max) Ekstensiivinen: kahden riippumattoman järjestelmän Ω = Ω 1 Ω 2 S = S 1 + S 2 Siksi määritelmässä tarvitaan logaritmi! Entropia=informaation puute. Jos T = 0, tiloja on vain yksi, eli Ω = 1 S = 0 Termodynamiikan 3. pääsääntö on suora seuraus! Termodynamiikassa määritellään ensin T ja sen avulla S. Statistisessa mekaniikassa määritellään ensin S ja sen avulla T. Suureet S ja T ovat samat, esim. termodynamiikan T on sama kuin statistisen mekaniikan T. Yksiköt: ln Ω dimensioton entropian yksikkö sama kuin k B :n. Luonnollisissa yksiköissä k B = 1, jolloin S on dimensioton. (SI-yksiköissä [S] =J/K, koska T ja E on määritelty eri yksiköissä.) 3

4 Terminen tasapaino E 1, V 1, N 1 E 2, V 2, N 2 Jaetaan eristetty järjestelmä lämpöä johtavalla väliseinällä kahteen osaan. E = E 1 + E 2 =vakio, E 1 ja E 2 voivat muuttua V 1, V 2 vakioita, V = V 1 + V 2 N 1, N 2 vakioita, N = N 1 + N 2 S = S 1 + S 2 Tässä E 1, V 1, N 1 ovat aiemmin mainittuja muita makroskooppisia muuttujia (α i ). Tasapainossa entropia on maksimissa, eikä energiaa ei enää siirry seinän läpi ( ) S(E, V, N; E1, V 1, N 1 ) 0 = E 1 ( S1 (E, V, N; E 1, V 1, N 1 ) = E 1 ) + ( S2 ) (E,V,N;E 1,V 1,N 1 ) E 2 ({}} ){ S2 (E, V, N; E 1, V 1, N 1 ) E 1 Tästä seuraa tasapainoehto (N 1, N 2, V 1 ja V 2 vakioita) ( S1 (E, V, N; E 1, V 1, N 1 ) ) = ( S2 (E, V, N; E 1, V 1, N 1 ) ) 4

5 Lämpötilan määritelmä E 1, V 1, N 1 E 2, V 2, N 2 systeemit 1 ja 2 termisessä ovat tasapainossa, jos: Statistinen mekaniikka: ( ) ( ) S1 S2 E 1 V 1,N 1 = E 2 V 2,N 2 Termodynamiikka: T 1 = T 2 Jotta seuraisi sama terminen tasapaino, annetaan Lämpötilan määritelmä statistisessa mekaniikassa: ( ) 1 S T E V,N 5

6 Tasapainon tilastollinen luonne: fluktuaatioteoreema Kaikki (E, V, N)-makrotilaa vastaavat mikrotilat ovat yhtä todennäköisiä (postulaatti 1). Tasapainotilassa systeemi on todennäköisimmin sellaisissa mikrotiloissa, joiden entropia on suurin, muttei pelkästään niissä tasapainoehto on tulkittava statistisesti, se koskee tyypillistä mikrotilaa. On siis mahdollista, että eristetyn systeemin entropia fluktuoi pois tasapainoentropiasta, eli poikkeaa satunnaisesti hiukan alempaan entropiaan; Fluktuaatioteoreema kertoo tämän todennäköisyyden. Käännetään Bolztmannin entropian lauseke, W = e S/k B. Pienikin entropian kasvu vastaa hurjaa mikrotilojen määrän lisäystä! ( Bowley ja Sanchez esittävät seuraavan esimerkin. Jos samaa ainetta (lämpökapasiteetti 1 J/K) olevat kappaleet, ovat aluksi lämpötiloissa 300 K ja K ja lopuksi termodynaamisessa tasapainossa lämpötilassa K, niin entropia kasvaa vaatimattoman määrän S = J/K. Tämä vastaa Boltzmannin entropian mukaan saavutettavien tilojen lukumäärän kasvamista tekijällä W tasapaino = e W alkutila Kääntäen, todennäköisyys, että kappaleet fluktuoivat takaisin lämpötiloihin 300 K ja K on verrannollinen käsittämättömän pieneen lukuun e ! ) 6

7 Mekaaninen tasapaino E 1, V 1, N 1 E 2, V 2, N 2 Lämpöä johtava, liikkuva väliseinä E = E 1 + E 2 =vakio, E 1 ja E 2 voivat muuttua V = V 1 + V 2 =vakio, V 1 ja V 2 voivat muuttua N 1, N 2, N = N 1 + N 2 kiinteitä Tasapainoehdot: ( ) S(E, V, N E1, V 1, N 1 ) E 1 ( ) S(E, V, N E1, V 1, N 1 ) V 1 S = S 1 + S 2 = 0 lämpötila = 0 ( ) S1 V 1 E 1,N 1 = ( ) S2 V 2 E 2,N 2 Mekaaninen tasapaino Määritellään paine Mekaaninen tasapainoehto P 1 = P 2. P T ( ) S V E,N 7

8 Kemiallinen tasapaino E 1, V 1, N 1 E 2, V 2, N 2 Lämpöä johtava, liikkuva ja hiukkaset läpäisevä väliseinä E = E 1 + E 2 kiinteä, E 1, E 2 voivat muuttua V = V 1 + V 2 kiinteä, V 1, V 2 voivat muuttua N = N 1 + N 2 kiinteä, N 1, N 2 voivat muuttua Tasapainoehto ( ) S(E, V, N E1, V 1, N 1 ) N 1 S = S 1 + S 2 = 0 ( ) S1 N 1 E 1,V 1 = ( ) S2 N 2 E 2,V 2 Kemiallinen tasapaino Määritellään kemiallinen potentiaali Kemiallinen tasapainoehto µ 1 = µ 2. µ T ( ) S N E,V 8

9 Yhteys TD1:n yleiseen muotoon Kertaus, yhteenveto Määriteltiin eristetyn E, V, N-systeemin entropia S = k B ln Ω Statistisen mekaniikan peruspostulaatti: Termodynaaminen tasapainotila on tila, jossa S on suurin Termodynaaminen tasapaino systeemin osien välillä tasapainoehdot T 1 = T 2, P 1 = P 2, µ 1 = µ 2, missä T, P, µ on määritelty: 1 T ( ) S E V,N P T ( ) S V E,N µ T ( ) S N E,V Yhteys TD1:n yleiseen muotoon Statistisen mekaniikan suureet ovat samat kuin termodynamiikan. Samat osittaisderivaatat TD1:stä de = TdS PdV + µdn TdS = de + PdV µdn 9

10 Esimerkki mikrotilojen laskennasta: kidevirheet Frenkelin kidevirhe kiinteässä aineessa: yksi atomi hyppää pois hilapisteestään. vs. Kuinka monta kidevirhettä on lämpötilassa T? Oletetaan kidehila, jossa N atomia ja Ñ = qn välisijapaikkaa. Oletetaan: lisäenergia ε välisija-atomia kohti. Laskun eteneminen mikrokanonisessa joukossa on nurinkurista Oletetaan, että käytössä energia E kiinteä määrä n kidevirheitä Lasketaan tilan statistinen paino Ω(n) = Ω(E/ε) entropia Lasketaan lämpötila 1/T (n) = S(E)/ E Käännetään tulos: saadaan n(t ) Muita kidevirheitä mm. Schottkyn virheet BS, Mandl atomi puuttuu hilasta 10

11 Kidevirheet: lasku Atomin siirto hilapisteestä näiden väliin vaatii energian ε Valitaan (i) N atomista n hyppäämään ja (ii) Ñ = qn välipaikasta n uutta sijoituspaikkaa. statistinen paino ( ) N )(Ñ Ω(n) = n n Oletus: 1 n N Ñ (monta vakanssia, mutta kide ei ole niitä täynnä) Stirlingin approksimaatio kelpaa Entropia S(E) = k B ln Ω(n), missä E = nε (valitaan energian nollataso) S(E) = k B ln Ω(n) k B {[N ln N N] [(N n) ln(n n) (N n]) + [Ñ ln Ñ Ñ] [(Ñ n) ln(ñ n) (Ñ n)] 2[n ln n n]} 1 T = S(E) E = 1 S(E = nε) = = k B (Ñ n)(n n) ln k B ÑN ln ε n ε n 2 ε n 2 Lopputulos: n N = { q exp ε } 2k B T 11

12 Lamp okylpy Mikrokanoninen joukko (ensemble) Paramagneettinen kide Partitiofunktio Sovelluksia Lamp okylpy o: lamp Ymparist okylpy (heat bath), lamp otila T vakio Systeemi: lamp otila T vakio I Eb Es Energiat: systeemi Es, lamp okylpy Eb I E = Es + Eb vakio I Statistiset painot Ωs ja Ωb I o (3)) lamp okylvyn entropia on (yhtal Sb Sb = kb ln(ωb ) Ωb = e kb. (Systeemi+lamp okylpy) statistinen paino: Sb Ω = Ωs Ωb = Ωs e kb Sb riippuu lamp okylvyn energiasta Eb = E Es. 12

13 Lämpökylpy; jatkuu Systeemi on paljon pienempi kuin lämpökylpy: E s E, joten Taylorin sarja suppenee nopeasti: joten ja S b S b (E b ) = S b (E) T 1 {}}{ S b (E) E E s + O( ET 1 E2 s ) {}}{ S b (E) E 2 E 2 s +... ( ) S b = S b (E b ) = S b (E) Es E 2 T + O s. ET S b k Ω b = e B ( ) S b (E) k = e B e Es k B T +O E s 2 Ek B T 13

14 Lämpökylpy; jatkuu Edellä saatiin kokonaisuuden systeemi+lämpökylpy statistinen paino S b (E) k Ω e B Ω se Es k B T Ω b (E) Ω se Es k B T Tämä antaa painon sille, että systeemin energia on E s: p(e s) Ω se Es k B T Normittamalla tämä saadaan energian E s todennäköisyys. Tulkinta: Tekijä Ω s on energialla E s saavutettavissa olevien systeemin tilojen lukumäärä. Merkitään Ω s = g(e s) = degeneraatio. Kasvaa, kun E s kasvaa. Tekijä e Es k B T on ympäristön vaikutus systeemiin. Kun systeemin energia E s kasvaa, niin lämpökylvyn energia E b = E E s pienenee. joten vaikutus riippuu lämpökylvyn käytössä olevien tilojen lukumäärästä. Tekijä pienenee eksponentiaalisesti, joten suuri E s on harvinainen (lämpökylpy ei mielellään luovuta systeemille suurta energiaa). Lämpökylvyn energialla E saavutettavissa olevien tilojen lukumäärää Ω b (E) ei tarvitse tuntea. Normitettu tulos on systeemin energian Boltzmann-jakauma. 14

15 Boltzmann-jakauma Boltzmann-jakauma energian E todennäköisyydelle Systeemin energian E todennäköisyysjakauma on p(e) = 1 Z g(e)e E k B T Z = E g(e)e E k B T Normitustekijä Z on partitiofunktio. Summa on yli energioiden, mutta saman tuloksen saa ottamalla summan yli mikrotilojen; Tämä on vain kirjanpidollinen muutos. Olkoon ν mikrotila, jonka energia on E ν. Degeneraatio on g(e) ν δ E,E ν E g(e) = ν Boltzmann-jakauma mikrotilojen ν todennäköisyydelle p(ν) = 1 Eν k e B T Z Z = ν e Eν k B T Tämä eksponentiaalinen riippuvuus on kurssin tärkein asia! 15

16 Partitiofunktio tilatiheyden avulla Usein tiloja on hyvin tiheässä tai jatkumona, jolloin partiotiofunktion laskeminen summana on epäkäytännöllistä. Käytetään hyväksi Diracin deltaa, jolla on ominaisuus (funktio F(x) on jatkuva) b a dxδ(x x 0 )F(x) = F(x 0 ), a x 0 b. Tämän avulla saadaan partitiofunktio integraaliksi, Z = e βeν = deδ(e E ν)e βe ν ν = de[ δ(e E ν)]e βe def (E)e βe, ν Tilatiheys (Density of States, DOS) f (E) = ν δ(e E ν), summa yli mikrotilojen ν. Tilatiheys kertoo montako tilaa on energioiden E ja E + de välillä. 16

17 Lamp okylpy Mikrokanoninen joukko (ensemble) Paramagneettinen kide Partitiofunktio Sovelluksia Yksinkertainen malli paramagneettiselle materialle B β Merkita an Yksi dipoli 1 I N kvanttimekaanista spinia I Ulkoinen magneettikentta B, suunta ylos I Tilat,, energiat ε, = ±µb I Lamp okylpy lamp otilassa T I spinit vuorovaikuta keskena an Oletetaan, etteivat - siis joukko vapaita spineja. I Spinit riippumattomia lasketaan yhden spinin all a. tulos ja kerrotaan lopuksi spinien lukuma ar 1 kb T p = p βε e = eβµb p = e βε = e βµb Z Z Z Z Normitustekija on partitiofunktio: Z = e βµb + eβµb = 2 cosh(βµb) p 1/2 p 0 βµb p, = e 2βµB suuren entropian tilaa. ) (T kasvaa kohti symmetrista, 17

18 Magnetoituma Todennäköisyydet p = e ±βµb /(2 cosh(βµb)) Keskimääräinen magnetoituma µ = +µp µp = µ tanh(βµb) Keskimääräinen energia ε = µbp + µbp = B µ N spinin magnetoituma tilavuusyksikköä kohti M M V = N V µ, Ideaalisen paramagneetin tilayhtälö M = N V µ tanh(βµb) M N V µ βµb Raja-arvot: korkea T ; βµb 1 M N V µ(βµb) = N V Tulos M B T µ 2 B k B T on Curien laki matala T ; βµb 1 M N V µ 18

19 Suskeptiivisuus Responssifunktio: systeemin vaste ulkoiseen muutokseen. ( Käytännössä tilamuuttujan osittaisderivaatta, esim. κ T = 1 V ) V P T,N Vastaavuudet: paine magneettikenttä B; tilavuus magnetoituma M. Magneettinen suskeptiivisuus vakiolämpötilassa Aineen magnetoitumista kuvaa vastefunktio χ T kenttävoim. dm = χ T dh χ permitt. 1 µ 0 vuontih. db χ T ( ) M H T ( ) M µ 0 B T Curie n laki T χ T 1 T suoraan tilayhtälöstä kun βµb 1 T µb/k B Pätee melko hyvin monille materiaaleille. 19

20 Partitiofunktio Boltzmann-jakauma: p(ν) = 1 Z e βeν, β 1 k B T. Termodynaamiset suureet voidaan johtaa partitiofunktiosta Z : Z (T, V, N) = ν βeν (V,N) e Luonnolliset muuttujat: Z (T, V, N). Nyt E ei ole kiinteä, vaan fluktuoi, koska systeemi vaihtaa energiaa lämpökylvyn kanssa. Tästä tilojen todennäköisyysjakaumasta käytetään termiä kanoninen joukko (ensemble) Energian odotusarvo saadaan partitiofunktiosta: E = 1 E ν exp{ βe ν} = 1 Z Z β ν ν exp{ βe ν} = ln Z β 20

21 Energian fluktuaatiot makroskooppisessa systeemissä Energian fluktuaatio ( E) 2 määritellään ( E) 2 E 2 E 2 ja partitiofunktion avulla saadaan odotusarvot joten energian fluktuaatio on E = ln Z β E 2 = 1 (E ν) 2 exp{ βe ν} = 1 2 Z Z β Z 2 Kuinka suuri tämä fluktuaatio on? ν ( E) 2 = 2 β 2 ln Z 21

22 Energian fluktuaatiot makroskooppisessa systeemissä Energian fluktuaatio ( E) 2 määritellään ( E) 2 E 2 E 2 ja partitiofunktion avulla saadaan odotusarvot joten energian fluktuaatio on E = ln Z β E 2 = 1 (E ν) 2 exp{ βe ν} = 1 2 Z Z β Z 2 Kuinka suuri tämä fluktuaatio on? ν ( E) 2 = 2 β 2 ln Z 21

23 Energian fluktuaatio Verrataan lämpökapasiteettiin C V = E T ( E) 2 = 2 β 2 ln Z = β E T β = 1 2 ( E)2 ln Z = k B T 2 β2 k B T 2 Lämpökapasiteetti liittyy siis energian fluktuaatioihin! Kokoluokka-arvio: E N ja C V N (molemmat ekstensiivisiä) E E 1 N Tyypillisesti N E E Energia fluktuoi käytännössä hyvin vähän. Voidaan hyvin tarkkaan identifioida termodynaaminen energia E TD E SM 22

24 Energian fluktuaatio Verrataan lämpökapasiteettiin C V = E T ( E) 2 = 2 β 2 ln Z = β E T β = 1 2 ( E)2 ln Z = k B T 2 β2 k B T 2 Lämpökapasiteetti liittyy siis energian fluktuaatioihin! Kokoluokka-arvio: E N ja C V N (molemmat ekstensiivisiä) E E 1 N Tyypillisesti N E E Energia fluktuoi käytännössä hyvin vähän. Voidaan hyvin tarkkaan identifioida termodynaaminen energia E TD E SM 22

25 Gibbsin entropia Tarkastellaan M identtistä systeemiä, M. (Kussakin kuvan laatikossa on samanlainen systeemi, muttei välttämättä samassa tilassa.) Kullakin N mahdollista tilaa, i = 1,..., N, kussakin tilassa on vakioenergia. Olkoon n i systeemiä tilassa i, N i=1 n i = M Kokoelman statistinen paino M! Ω ({n i }) = n 1! n N! Kokonaisuus on mikrokanoninen (eristetty), sen entropia tunnetaan: S M = k B ln Ω Stirling = k B ( M ln M i n i ln n i ) = Mk B i p i {}}{ n i M ln p i {}}{ n i M Gibbsin entropia S = k B p i ln p i i 23

26 Ergodisuushypoteesi Termodynamiikan ja statistisen mekaniikan yhteys vaatii tarkkaan ottaen vielä, että systeemi on ergodinen, eli että ajan kuluessa se käy läpi kaikki kyseistä makrotilaa vastaavat mikrotilat. Mikrotilojen määrä on usein käsittämättömän suuri, joten tämä pitää tulkita niin, että jos odotettaisiin äärellinen mutta hirvittävän pitkä aika, niin systeemi olisi käynyt läpi kaikki kyseistä makrotilaa vastaavat mikrotilat. Kukin makrotilaa vastaava mikrotila on siis ergodisuushypoteesin mukaan ainakin periaatteessa saavutettavissa yksittäisessä systeemissä, kunhan odotetaan kyllin kauan. Oleellisesti ergodisuus tarkoittaa sitä, että aikakeskiarvo = mikrotilakeskiarvo. Ergodisuushypoteesi ei kuulu statistisen mekaniikan perustukseen, statistinen mekaniikka pätee ilman sitä. Ergodisuushypoteesi ainoastaan kertoo, millä oletuksilla statistinen mekaniikan tulokset pätevät yksittäiseen systeemiin, eikä vain suureen joukkoon identtisiä systeemejä eli statistiseen ensembleen. Statistinen ensemble eli todennäköisyysavaruus tarkoittaa hyvin suurta kuviteltua joukkoa saman systeemin kopioita, joista kukin edustaa systeemin mahdollista tilaa. 24

27 TD1 kanonisessa joukossa Voidaanko Gibbsin entropiasta johtaa TD1? TD1: de = TdS PdV (oletus: dn = 0) Mikrokanonisessa joukossa määriteltiin T ja P niin, että TD1 pätee Kanoninen joukko (lämpökylpy) johdettiin mikrokanonisesta TD1 pätee edelleen Varmistetaan kuitenkin miten se toimii E = ν E νp ν p ν = 1 Z e βeν de = ν E νdp ν + ν de νp ν Verrataan näitä termejä TdS:ään ja PdV :hen. 25

28 TD1 kanonisessa joukossa; jatkuu de = (1) ν E νdp ν + (2) ν de νp ν ( ) TdS = k B Td p ν ln p ν d ν pν =d 1=0 ν ( ) ({}} ){ dp ν = k B T ln p νdp ν k B T p ν E νdp ν = (1) p ν ν Johtopäätös: entropian muutos todennäköisyysjakauman p ν muutos. Ehrenfestin teoreema: ulkoisen parametrin (V ) muuttuessa hitaasti (reversiibeli muutos, ds = 0!) järjestelmä pysyy samassa tilassa, ainoastaan tilan energia muuttuu. Ts. p ν ei muutu, E ν muuttuu: p ν V rev. = 0, V E rev. = ν p ν E ν V = ν de = P (2) = PdV dv joten TD1 seuraa Gibbsin entropian kaavasta. 26

29 Lamp okylpy Mikrokanoninen joukko (ensemble) Paramagneettinen kide Partitiofunktio Sovelluksia Adiabaattinen demagnetointi spineja ja ahdytykseen. Kaytet a an I I TD3: limt 0 S(T ) = 0 Halutaan pienenta a entropiaa ja ja ahdytt a a systeemia kohti perustilaa. B µb S = S( k I I BT B S oisyydet ) (paramagneetin todennak p, B< dt = 0 ds = 0 B> T = 1/(1 + e 2βµB )) Nuoli alas: a an kasvattamalla magneettikentta a Matalampaan entropiaan pa ast ja S pienenee lamp okylvyss a spinit ka antyv at Nuoli vasemmalle: Eristetyssa systeemissa ds = 0 B:n pienentyessa adiabaattisesti T laskee 27

30 Lamp okylpy Mikrokanoninen joukko (ensemble) Paramagneettinen kide Partitiofunktio Sovelluksia Adiabaattinen demagnetointi T, S-tasossa S Absoluuttinen nollapisteen saavuttamattomuus B< dt = 0 ds = 0 B> T all a toistoja ei pa ast a A arellisell a ma ar lamp otilaan T = 0. Yksi tapa esitta a TD3: mika an a syklinen prosessi ei voi pa ast absoluuttiseen nollapisteeseen. ann oss a ja ahdytet kappaletta ja lammitet ymparist o a Kayt a an a an S A Kasvatetaan kentta a eristyksissa B< B> A D kentta a eristyksissa C Pienenneta an ast a D Otetaan lamp o a ja ahdytett av aineesta B C Tc Th B Luovutetaan lamp o a kylpyyn T 28

31 Sekoitusentropia Kaasujen sekoitusentropia: mikroskooppinen tulkinta Entropian muutos N A + N B = N hilapaikkaa, n A + n B = n kaasumolekyyliä Alussa erotettu väliseinällä, sitten annetaan liikkua vapaasti. Statistiset painot Ω ennen = Ω A Ω B = Ω jälkeen = ( N A n A ( )( ) N n A N n B )( N B n B ) S = k B (ln Ω jälkeen ) ln(ω ennen) = ( k B n A ln N + n B ln N ) = k B n A ln N A N A... = ( 1 + N B N A Stirling, N n Jos hilapaikkoja on samat määrät, N A = N B, saadaan S = k B (n A + n B ) log 2 ) ( + k B n B ln 1 + N ) A N B sama kuin ideaalikaasun sekoitusentropia. 29

3. Statistista mekaniikkaa

3. Statistista mekaniikkaa Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Kvanttimekaniikka: diskreetit

Lisätiedot

3. Statistista mekaniikkaa

3. Statistista mekaniikkaa FYSA241, kevät 2012 Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Muistelua johdanto-osasta: Kvanttimekaniikassa

Lisätiedot

6. Yhteenvetoa kurssista

6. Yhteenvetoa kurssista Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 6. Yhteenvetoa kurssista 1 Keskeisiä käsitteitä I Energia TD1, siirtyminen lämpönä

Lisätiedot

Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1

Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1 76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset

Lisätiedot

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 1: Lämpötila ja Boltzmannin jakauma Ke 24.2.2016 1 YLEISTÄ KURSSISTA Esitietovaatimuksena

Lisätiedot

4. Termodynaamiset potentiaalit

4. Termodynaamiset potentiaalit Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) uomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 4. ermodynaamiset potentiaalit 1 asapainotila Mikrokanoninen ensemble Eristetty

Lisätiedot

4. Termodynaamiset potentiaalit

4. Termodynaamiset potentiaalit FYSA241, kevät 2012 uomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 4. ermodynaamiset potentiaalit 1 asapainotila Mikrokanoninen ensemble Eristetty järjestelmä

Lisätiedot

infoa tavoitteet E = p2 2m kr2 Klassisesti värähtelyn amplitudi määrää kokonaisenergian Klassisesti E = 1 2 mω2 A 2 E = 1 2 ka2 = 1 2 mω2 A 2

infoa tavoitteet E = p2 2m kr2 Klassisesti värähtelyn amplitudi määrää kokonaisenergian Klassisesti E = 1 2 mω2 A 2 E = 1 2 ka2 = 1 2 mω2 A 2 infoa tavoitteet Huomenna keskiviikkona 29.11. ei ole luentoa. Oppikirjan lukujen 12-13.3. lisäksi kotisivulla laajennettu luentomateriaali itse opiskeltavaksi Laskarit pidetään normaalisti. Ymmärrät mitä

Lisätiedot

8. Klassinen ideaalikaasu

8. Klassinen ideaalikaasu Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 8. Klassinen ideaalikaasu 1 Fysikaalinen tilanne Muistetaan: kokeellisesti

Lisätiedot

1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta

1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 5, ratkaisut syyslukukausi 204). Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta E n n + ) ω, n 0,, 2,... 2 a) Oskillaattorin partitiofunktio

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 7: Ekvipartitioteoreema, partitiofunktio ja ideaalikaasu Ke 16.3.2016 1 KURSSIN

Lisätiedot

1. Johdanto. FYSA241, kevät Tuomas Lappi kl Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja.

1. Johdanto. FYSA241, kevät Tuomas Lappi kl Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. FYSA241, kevät 2012 Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 1. Johdanto 1 Ajat, paikat Luennot: 20h ma, ke klo 10.15, FYS1,, 9.1.-22.2 Demot: 10h, ke

Lisätiedot

1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit

1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian

Lisätiedot

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241)

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 0. Käytännön asioita 1 Ajat, paikat Ajan tasalla olevat tiedot kurssin kotisivulta

Lisätiedot

Luento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit

Luento 8 6.3.2015. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Luento 8 6.3.2015 1 Entrooppiset voimat Vapaan energian muunoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Entrooppiset voimat 3 2 0 0 S k N ln VE S, S f ( N, m) 2 Makroskooppisia voimia, jotka syntyvät pyrkimyksestä

Lisätiedot

Suurkanoninen joukko

Suurkanoninen joukko Suurkanoninen joukko Suurkanonisessa joukossa systeemi on kanonisen joukon tavoin yhdistettynä lämpökylpyyn, mutta nyt systeemin ja kylvyn väliset (kuvitellut) seinät läpäisevät energian lisäksi myös hiukkasia

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 8: Kemiallinen potentiaali, suurkanoninen ensemble Pe 18.3.2016 1 AIHEET 1. Kanoninen

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]

= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ] 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan

Lisätiedot

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241)

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Käytännön asioita Taustaa Mikrotiloja Todennäköisyyslaskentaa Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone YN212 kl 2017 1 Käytännön asioita Taustaa Mikrotiloja Todennäköisyyslaskentaa

Lisätiedot

4. Termodynaamiset potentiaalit

4. Termodynaamiset potentiaalit Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2015 4. ermodynaamiset potentiaalit 1 ermodynaaminen tasapaino kanonisessa joukossa Mikrokanoninen

Lisätiedot

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241)

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 1 Ajat, paikat 0. Käytännön asioita Ajan tasalla olevat tiedot kurssin kotisivulta

Lisätiedot

Entrooppiset voimat. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunnoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit

Entrooppiset voimat. Entrooppiset voimat Vapaan energian muunnoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Entrooppiset voimat Entrooppiset voimat Vapaan energian muunnoksen hyötysuhde Kahden tilan systeemit Entrooppiset voimat 3 2 0 0 S k N ln VE S, S f ( N, m) Makroskooppisia voimia, jotka syntyvät pyrkimyksestä

Lisätiedot

TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko

TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko 1 TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä

Lisätiedot

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Touko Herranen Luento 1: lämpötila, Boltzmannin jakauma Ke 22.2.2017 1 Richard Feynmanin miete If,

Lisätiedot

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Touko Herranen Luento 4: entropia Pe 3.3.2017 1 Aiheet tänään 1. Klassisen termodynamiikan entropia

Lisätiedot

2. Termodynamiikan perusteet

2. Termodynamiikan perusteet Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 2. Termodynamiikan perusteet 1 TD ja SM Statistisesta fysiikasta voidaan

Lisätiedot

2. Termodynamiikan perusteet

2. Termodynamiikan perusteet Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 2. Termodynamiikan perusteet 1 Termodynamiikka ja Statistinen Mekaniikka Statistisesta

Lisätiedot

TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko

TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä

Lisätiedot

KLASSISET TASAPAINOJOUKOT (AH 4.3, , 7.2) Yleisesti joukoista

KLASSISET TASAPAINOJOUKOT (AH 4.3, , 7.2) Yleisesti joukoista KLASSISET TASAPAINOJOUKOT (AH 4.3, 6.1-6.7, 7.2) 1 Yleisesti joukoista Seuraavaksi tarkastelemme konkreettisella tasolla erilaisia termodynaamisia ensemblejä eli joukkoja, millä tarkoitamme tiettyä makrotilaa

Lisätiedot

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 6: Faasimuutokset Maanantai 5.12. Kurssin aiheet 1. Lämpötila ja lämpö 2. Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö 3. Lämpövoimakoneet

Lisätiedot

5. Faasitransitiot. Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi kl Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja.

5. Faasitransitiot. Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi kl Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 5. Faasitransitiot 1 Olomuodonmuutokset eli faasitransitiot Arkinen määritelmä

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Touko Herranen Toni Mäkelä Luento 11: Faasitransitiot Ke 29.3.2017 1 AIHEET 1. 1. kertaluvun transitioiden (esim.

Lisätiedot

Z 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2

Z 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2 766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.

Lisätiedot

Ekvipartitioteoreema. Entropia MB-jakaumassa. Entropia tilastollisessa mekaniikassa

Ekvipartitioteoreema. Entropia MB-jakaumassa. Entropia tilastollisessa mekaniikassa Ekvipartitioteoreema lämpötilan ollessa riittävän korkea, kukin molekyylin liikkeen vapausaste tuo energian ½ kt sekä keskimääräiseen liike-energiaan ja kineettiseen energiaan energian lisäys ja riittävän

Lisätiedot

Ekvipartitioteoreema

Ekvipartitioteoreema Ekvipartitioteoreema lämpötilan ollessa riittävän korkea, kukin molekyylin liikkeen vapausaste tuo energian ½ kt sekä keskimääräiseen liike-energiaan ja kineettiseen energiaan energian lisäys ja riittävän

Lisätiedot

Suurkanoninen joukko

Suurkanoninen joukko Suurkanoninen joukko Suurkanonisessa joukossa systeemi on kanonisen joukon tavoin yhdistettynä lämpökylpyyn, mutta nyt systeemin ja kylvyn väliset (kuvitellut) seinät läpäisevät energian lisäksi myös hiukkasia

Lisätiedot

TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)

TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta

Lisätiedot

7 Termodynaamiset potentiaalit

7 Termodynaamiset potentiaalit 82 7 ermodynaamiset potentiaalit 7-1 Clausiuksen epäyhtälö Kappaleessa 4 tarkasteltiin Clausiuksen entropiaperiaatetta, joka määrää eristetyssä systeemissä (E, ja N vakioita) tapahtuvien prosessien suunnan.

Lisätiedot

Lämmityksen lämpökerroin: Jäähdytin ja lämmitin ovat itse asiassa sama laite, mutta niiden hyötytuote on eri, jäähdytyksessä QL ja lämmityksessä QH

Lämmityksen lämpökerroin: Jäähdytin ja lämmitin ovat itse asiassa sama laite, mutta niiden hyötytuote on eri, jäähdytyksessä QL ja lämmityksessä QH Muita lämpökoneita Nämäkin vaativat työtä toimiakseen sillä termodynamiikan toinen pääsääntö Lämpökoneita ovat lämpövoimakoneiden lisäksi laitteet, jotka tekevät on Clausiuksen mukaan: Mikään laite ei

Lisätiedot

Molaariset ominaislämpökapasiteetit

Molaariset ominaislämpökapasiteetit Molaariset ominaislämpökapasiteetit Yleensä, kun systeemiin tuodaan lämpöä, sen lämpötila nousee. (Ei kuitenkaan aina, kannattaa muistaa, että työllä voi olla osuutta asiaan.) Lämmön ja lämpötilan muutoksen

Lisätiedot

Muita lämpökoneita. matalammasta lämpötilasta korkeampaan. Jäähdytyksen tehokerroin: Lämmityksen lämpökerroin:

Muita lämpökoneita. matalammasta lämpötilasta korkeampaan. Jäähdytyksen tehokerroin: Lämmityksen lämpökerroin: Muita lämpökoneita Nämäkin vaativat ovat työtälämpövoimakoneiden toimiakseen sillä termodynamiikan pääsääntö Lämpökoneita lisäksi laitteet,toinen jotka tekevät on Clausiuksen mukaan: laiteilmalämpöpumppu

Lisätiedot

Luento 4. Termodynamiikka Termodynaamiset prosessit ja 1. pääsääntö Entropia ja 2. pääsääntö Termodynaamiset potentiaalit

Luento 4. Termodynamiikka Termodynaamiset prosessit ja 1. pääsääntö Entropia ja 2. pääsääntö Termodynaamiset potentiaalit Luento 4 Termodynamiikka Termodynaamiset prosessit ja 1. pääsääntö Entropia ja 2. pääsääntö Termodynaamiset potentiaalit Luento 4 Termodynamiikka Termodynaamiset prosessit ja 1. pääsääntö Entropia ja 2.

Lisätiedot

Faasitasapaino Ferromagneetti, Ising Clausius-Clapeyron Vesi Yhteenvetoa kurssista. FYSA241, kevät Tuomas Lappi

Faasitasapaino Ferromagneetti, Ising Clausius-Clapeyron Vesi Yhteenvetoa kurssista. FYSA241, kevät Tuomas Lappi FYSA241, kevät 2012 Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 5. Faasitransitiot 1 Olomuodonmuutokset eli faasitransitiot Arkinen määritelmä terävä muutos

Lisätiedot

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017 PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 5: Termodynaamiset potentiaalit Maanantai 27.11. ja tiistai 28.11. Kotitentti Julkaistaan ti 5.12., palautus viim. ke 20.12.

Lisätiedot

IX TOINEN PÄÄSÄÄNTÖ JA ENTROPIA...208

IX TOINEN PÄÄSÄÄNTÖ JA ENTROPIA...208 IX OINEN PÄÄSÄÄNÖ JA ENROPIA...08 9. ermodynaamisen systeemin pyrkimys tasapainoon... 08 9. ermodynamiikan toinen pääsääntö... 0 9.3 Entropia termodynamiikassa... 0 9.3. Entropian määritelmä... 0 9.3.

Lisätiedot

= 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6,

= 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6, S-435, Fysiikka III (ES) entti 43 entti / välikoeuusinta I Välikokeen alue Neljän tunnistettavissa olevan hiukkasen mikrokanonisen joukon mahdolliset energiatasot ovat, ε, ε, 3ε, 4ε,, jotka kaikki ovat

Lisätiedot

kertausta edellisestä seuraa, että todennäköisimmin systeemi löydetään sellaisesta mikrotilasta, jollaisia on

kertausta edellisestä seuraa, että todennäköisimmin systeemi löydetään sellaisesta mikrotilasta, jollaisia on tavoitteet kertausta Tiedät mitä on Boltzmann-jakauma ja osaat soveltaa sitä Ymmärrät miten päädytään kaasumolekyylien nopeusjakaumaan Ymmärrät kuinka voidaan arvioida hiukkasen vapaa matka Kaikki mikrotilat,

Lisätiedot

ln2, missä ν = 1mol. ja lopuksi kaasun saama lämpömäärä I pääsäännön perusteella.

ln2, missä ν = 1mol. ja lopuksi kaasun saama lämpömäärä I pääsäännön perusteella. S-114.42, Fysiikka III (S 2. välikoe 4.11.2002 1. Yksi mooli yksiatomista ideaalikaasua on alussa lämpötilassa 0. Kaasu laajenee tilavuudesta 0 tilavuuteen 2 0 a isotermisesti, b isobaarisesti ja c adiabaattisesti.

Lisätiedot

Biofysiikka Luento Entropia, lämpötila ja vapaa energia. Shannonin entropia. Boltzmannin entropia. Lämpötila. Vapaa energia.

Biofysiikka Luento Entropia, lämpötila ja vapaa energia. Shannonin entropia. Boltzmannin entropia. Lämpötila. Vapaa energia. Biofysiikka Luento 7 1 6. Entropia, lämpötila ja vapaa energia Shannonin entropia Boltzmannin entropia M I NK P ln P S k B j1 ln j j Lämpötila Vapaa energia 2 Esimerkkiprobleemoita: Miten DNA-sekvenssistä

Lisätiedot

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 4: Entropia Pe 4.3.2016 1 AIHEET 1. Klassisen termodynamiikan entropia 2. Entropian

Lisätiedot

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen

Lisätiedot

FYSA241/K1. Juha Merikoski ja Sami Kähkönen (1999,2005) Janne Juntunen (2006) ja Vesa Apaja (2006-)

FYSA241/K1. Juha Merikoski ja Sami Kähkönen (1999,2005) Janne Juntunen (2006) ja Vesa Apaja (2006-) ISING-MALLIN MONTE CARLO -SIMULOINTI Statistinen fysiikka FYSA1/K1 Juha Merikoski ja Sami Kähkönen (1999,005) Janne Juntunen (00) ja Vesa Apaja (00-) Työssä tutustutaan magneettiseen järjestäytymiseen

Lisätiedot

kertausta Boltzmannin jakauma infoa Ideaalikaasu kertausta Maxwellin ja Boltzmannin vauhtijakauma

kertausta Boltzmannin jakauma infoa Ideaalikaasu kertausta Maxwellin ja Boltzmannin vauhtijakauma infoa kertausta Boltzmannin jakauma Huomenna itsenäisyyspäivänä laitos on kiinni, ei luentoa, ei laskareita. Torstaina laboratoriossa assistentit neuvovat myös laskareissa. Ensi viikolla tiistaina vielä

Lisätiedot

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 4: Entropia Maanantai 21.11. ja tiistai 22.11. Ideaalikaasun isoterminen laajeneminen Kaasuun tuodaan määrä Q lämpöä......

Lisätiedot

Ideaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua

Ideaalikaasulaki. Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua Ideaalikaasulaki Ideaalikaasulaki on esimerkki tilanyhtälöstä, systeemi on nyt tietty määrä (kuvitteellista) kaasua ja tilanmuuttujat (yhä) paine, tilavuus ja lämpötila Isobaari, kun paine on vakio Kaksi

Lisätiedot

Astrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut

Astrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut Astrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut 1 a Kaasuseoksen komponentin i vapaa energia voidaan kirjoittaa F i (N,T,V = ln Z i (T,V missä on ko hiukkasten lukumäärä tilavuudessa

Lisätiedot

Spontaanissa prosessissa Energian jakautuminen eri vapausasteiden kesken lisääntyy Energia ja materia tulevat epäjärjestyneemmäksi

Spontaanissa prosessissa Energian jakautuminen eri vapausasteiden kesken lisääntyy Energia ja materia tulevat epäjärjestyneemmäksi KEMA221 2009 TERMODYNAMIIKAN 2. PÄÄSÄÄNTÖ ATKINS LUKU 3 1 1. TERMODYNAMIIKAN TOINEN PÄÄSÄÄNTÖ Lord Kelvin: Lämpöenergian täydellinen muuttaminen työksi ei ole mahdollista 2. pääsääntö kertoo systeemissä

Lisätiedot

T H V 2. Kuva 1: Stirling kiertoprosessi. Ideaalisen Stirlingin koneen sykli koostuu neljästä osaprosessista (kts. kuva 1):

T H V 2. Kuva 1: Stirling kiertoprosessi. Ideaalisen Stirlingin koneen sykli koostuu neljästä osaprosessista (kts. kuva 1): 1 c 3 p 2 T H d b T L 4 1 a V Kuva 1: Stirling kiertoprosessi. Stirlingin kone Ideaalisen Stirlingin koneen sykli koostuu neljästä osaprosessista kts. kuva 1: 1. Työaineen ideaalikaasu isoterminen puristus

Lisätiedot

KULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta

Lisätiedot

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 10, ratkaisut (syyslukukausi 2014)

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 10, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 7668A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 4). Johdetaan yksiatomisen klassisen ideaalikaasun kemiallisen potentiaalin µ(t,, N) lauseke. (a) Luentojen yhtälön mukaan kemiallinen potentiaali

Lisätiedot

Faasitasapaino Ferromagneetti ja Isingin malli Clausius-Clapeyron Lisää faasimuunnoksista. Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241)

Faasitasapaino Ferromagneetti ja Isingin malli Clausius-Clapeyron Lisää faasimuunnoksista. Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 5. Faasitransitiot 1 Olomuodonmuutokset eli faasitransitiot Arkisesti: kvalitatiivinen

Lisätiedot

Lämpöoppi. Termodynaaminen systeemi. Tilanmuuttujat (suureet) Eristetty systeemi. Suljettu systeemi. Avoin systeemi.

Lämpöoppi. Termodynaaminen systeemi. Tilanmuuttujat (suureet) Eristetty systeemi. Suljettu systeemi. Avoin systeemi. Lämpöoppi Termodynaaminen systeemi Tilanmuuttujat (suureet) Lämpötila T (K) Absoluuttinen asteikko eli Kelvinasteikko! Paine p (Pa, bar) Tilavuus V (l, m 3, ) Ainemäärä n (mol) Eristetty systeemi Ei ole

Lisätiedot

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017 PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 6: Faasimuutokset Maanantai 4.12. ja tiistai 5.12. Metallilangan venytys Metallilankaan tehty työ menee atomien välisten

Lisätiedot

Wien R-J /home/heikki/cele2008_2010/musta_kappale_approksimaatio Wed Mar 13 15:33:

Wien R-J /home/heikki/cele2008_2010/musta_kappale_approksimaatio Wed Mar 13 15:33: 1.2 T=12000 K 10 2 T=12000 K 1.0 Wien R-J 10 0 Wien R-J B λ (10 15 W/m 3 /sterad) 0.8 0.6 0.4 B λ (10 15 W/m 3 /sterad) 10-2 10-4 10-6 10-8 0.2 10-10 0.0 0 200 400 600 800 1000 nm 10-12 10 0 10 1 10 2

Lisätiedot

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Touko Herranen Luento 2: kineettistä kaasuteoriaa Pe 24.2.2017 1 Aiheet tänään 1. Maxwellin ja Boltzmannin

Lisätiedot

Ideaalikaasulaki johdettuna mikroskooppisen tarkastelun perusteella! Lämpötila vaikuttaa / johtuu molekyylien kineettisestä energiasta

Ideaalikaasulaki johdettuna mikroskooppisen tarkastelun perusteella! Lämpötila vaikuttaa / johtuu molekyylien kineettisestä energiasta HYS-A00 Termodynamiikka (TFM), Luentomuistiinpanot Luennot 7-8, kertaus, mitkä olivat oppimistavoitteet? Kineettinen kaasuteoria Oletukset: - kaasun tiheys on riittävän suuri - molekyylin koko on paljon

Lisätiedot

I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ

I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ 1.1 Tilastollisen fysiikan ja termodynamiikan tutkimuskohde... 2 1.2 Mikroskooppiset ja makroskooppiset teoriat... 3 1.3 Terminen tasapaino ja lämpötila... 5 1.4 Termodynamiikan

Lisätiedot

Luku 20. Kertausta: Termodynamiikan 2. pääsääntö Lämpövoimakoneen hyötysuhde

Luku 20. Kertausta: Termodynamiikan 2. pääsääntö Lämpövoimakoneen hyötysuhde Luku 20 Kertausta: Termodynamiikan 2. pääsääntö Lämpövoimakoneen hyötysuhde Uutta: Termodynamiikan 2. pääsääntö Jäähdytyskoneen hyötykerroin ja lämpöpumpun lämpökerroin Entropia Tilastollista termodynamiikkaa

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

P = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt

P = kv. (a) Kaasun lämpötila saadaan ideaalikaasun tilanyhtälön avulla, PV = nrt 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 2, ratkaisut (syyslukukausi 204). Kun sylinterissä oleva n moolia ideaalikaasua laajenee reversiibelissä prosessissa kolminkertaiseen tilavuuteen 3,lämpötilamuuttuuprosessinaikanasiten,ettäyhtälö

Lisätiedot

vetyteknologia Polttokennon termodynamiikkaa 1 DEE Risto Mikkonen

vetyteknologia Polttokennon termodynamiikkaa 1 DEE Risto Mikkonen DEE-5400 olttokennot ja vetyteknologia olttokennon termodynamiikkaa 1 DEE-5400 Risto Mikkonen ermodynamiikan ensimmäinen pääsääntö aseraja Ympäristö asetila Q W Suljettuun systeemiin tuotu lämpö + systeemiin

Lisätiedot

S , Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta

S , Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta S-114.45, Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta.11.4 1. välikokeen alue 1. Osoita, että hyvin alhaisissa lämpötiloissa elektronin FD systeemin energia on U = (3/ 5) ε F. Opastus: oleta, että kaikki tilat

Lisätiedot

. Veden entropiamuutos lasketaan isobaariselle prosessille yhtälöstä

. Veden entropiamuutos lasketaan isobaariselle prosessille yhtälöstä LH- Kilo vettä, jonka lämpötila on 0 0 asetetaan kosketukseen suuren 00 0 asteisen kappaleen kanssa Kun veden lämpötila on noussut 00 0, mitkä ovat veden, kappaleen ja universumin entropian muutokset?

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 9: Fotonit ja relativistiset kaasut Ke 30.3.2016 1 AIHEET 1. Fotonikaasun termodynamiikkaa.

Lisätiedot

Aikariippuva Schrödingerin yhtälö

Aikariippuva Schrödingerin yhtälö Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin

Lisätiedot

Termodynamiikka. Fysiikka III 2007. Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki

Termodynamiikka. Fysiikka III 2007. Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki Termodynamiikka Fysiikka III 2007 Ilkka Tittonen & Jukka Tulkki Tilanyhtälö paine vakio tilavuus vakio Ideaalikaasun N p= kt pinta V Yleinen aineen p= f V T pinta (, ) Isotermit ja isobaarit Vakiolämpötilakäyrät

Lisätiedot

Luento 8. Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli. Sähkönjohtavuus Druden malli

Luento 8. Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli. Sähkönjohtavuus Druden malli Luento 8 Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli Sähkönjohtavuus Druden malli Klassiset C V -mallit Termodynamiikka kun Ei ennustetta arvosta! Klassinen

Lisätiedot

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 5: Termodynaamiset potentiaalit Ke 9.3.2016 1 AIHEET 1. Muut työn laadut sisäenergiassa

Lisätiedot

Termodynamiikka. Termodynamiikka on outo teoria. Siihen kuuluvat keskeisinä: Systeemit Tilanmuuttujat Tilanyhtälöt. ...jotka ovat kaikki abstraktioita

Termodynamiikka. Termodynamiikka on outo teoria. Siihen kuuluvat keskeisinä: Systeemit Tilanmuuttujat Tilanyhtälöt. ...jotka ovat kaikki abstraktioita Termodynamiikka Termodynamiikka on outo teoria. Siihen kuuluvat keskeisinä: Systeemit Tilanmuuttujat Tilanyhtälöt...jotka ovat kaikki abstraktioita Miksi kukaan siis haluaisi oppia termodynamiikkaa? Koska

Lisätiedot

Fysiikan maailmankuva 2015 Luento 8. Aika ja ajan nuoli lisää pohdiskelua Termodynamiikka Miten aika ja termodynamiikka liittyvät toisiinsa?

Fysiikan maailmankuva 2015 Luento 8. Aika ja ajan nuoli lisää pohdiskelua Termodynamiikka Miten aika ja termodynamiikka liittyvät toisiinsa? Fysiikan maailmankuva 2015 Luento 8 Aika ja ajan nuoli lisää pohdiskelua Termodynamiikka Miten aika ja termodynamiikka liittyvät toisiinsa? Ajan nuoli Aika on mukana fysiikassa niinkuin jokapäiväisessä

Lisätiedot

Integroimalla ja käyttämällä lopuksi tilanyhtälöä saadaan T ( ) ( ) H 5,0 10 J + 2,0 10 0,50 1,0 10 0,80 Pa m 70 kj

Integroimalla ja käyttämällä lopuksi tilanyhtälöä saadaan T ( ) ( ) H 5,0 10 J + 2,0 10 0,50 1,0 10 0,80 Pa m 70 kj S-4.35 Fysiikka (ES) entti 3.8.. ääritä yhden haikaasumoolin (O) (a) sisäenergian, (b) entalian muutos tilanmuutoksessa alkutilasta =, bar, =,8 m3 loutilaan =, bar, =,5 m3. ärähtelyn vaausasteet voidaan

Lisätiedot

6. Entropia, lämpötila ja vapaa energia

6. Entropia, lämpötila ja vapaa energia 6. Entropia, lämpötila a vapaa energia 1 Luento 6 24.2.2017: Shannonin entropia M I NK P ln P 1 Boltzmannin entropia S k B ln Lämpötila Vapaa energia 2 Probleemoita: Miten DNA-sekvenssistä määräytyvän

Lisätiedot

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 6: Vapaaenergia Pe 11.3.2016 1 AIHEET 1. Kemiallinen potentiaali 2. Maxwellin

Lisätiedot

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille]

KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] KAASUJEN YLEISET TILANYHTÄLÖT ELI IDEAALIKAASUJEN TILANYHTÄLÖT (Kaasulait) [pätevät ns. ideaalikaasuille] A) p 1, V 1, T 1 ovat paine tilavuus ja lämpötila tilassa 1 p 2, V 2, T 2 ovat paine tilavuus ja

Lisätiedot

T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3

T F = T C ( 24,6) F = 12,28 F 12,3 F T K = (273,15 24,6) K = 248,55 K T F = 87,8 F T K = 4,15 K T F = 452,2 F. P = α T α = P T = P 3 T 3 76628A Termofysiikka Harjoitus no. 1, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Muunnokset Fahrenheit- (T F ), Celsius- (T C ) ja Kelvin-asteikkojen (T K ) välillä: T F = 2 + 9 5 T C T C = 5 9 (T F 2) T K = 27,15

Lisätiedot

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta.

4) Törmäysten lisäksi rakenneosasilla ei ole mitään muuta keskinäistä tai ympäristöön suuntautuvaa vuorovoikutusta. K i n e e t t i s t ä k a a s u t e o r i a a Kineettisen kaasuteorian perusta on mekaaninen ideaalikaasu, joka on matemaattinen malli kaasulle. Reaalikaasu on todellinen kaasu. Reaalikaasu käyttäytyy

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta

S Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,

Lisätiedot

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 8 /

ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 8 / ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 8 / 7.11.2016 v. 02 / T. Paloposki Tämän päivän ohjelma: Sisäenergia (kertaus) termodynamiikan 1. pääsääntö Entropia termodynamiikan 2. pääsääntö 1 Termodynamiikan

Lisätiedot

= 1 kg J kg 1 1 kg 8, J mol 1 K 1 373,15 K kg mol 1 1 kg Pa

= 1 kg J kg 1 1 kg 8, J mol 1 K 1 373,15 K kg mol 1 1 kg Pa 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 8, ratkaisut syyslukukausi 2014 1. 1 kg nestemäistä vettä muuttuu höyryksi lämpötilassa T 100 373,15 K ja paineessa P 1 atm 101325 Pa. Veden tiheys ρ 958 kg/m 3 ja moolimassa

Lisätiedot

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241)

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241 uomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi kl 2013 Käytännön asioita Ajat, paikat Ajan tasalla olevat tiedot kurssin kotisivulta http: //users.jyu.fi/ tulappi/fysa241kl13/.

Lisätiedot

Palautus yhtenä tiedostona PDF-muodossa viimeistään torstaina

Palautus yhtenä tiedostona PDF-muodossa viimeistään torstaina PHYS-A0120 Termodynamiikka, syksy 2018 Kotitentti Vastaa tehtäviin 1/2/3, 4, 5/6, 7/8, 9 (yhteensä viisi vastausta). Tehtävissä 1, 2, 3 ja 9 on annettu ohjeellinen pituus, joka viittaa 12 pisteen fontilla

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

kuonasula metallisula Avoin Suljettu Eristetty S / Korkealämpötilakemia Termodynamiikan peruskäsitteitä

kuonasula metallisula Avoin Suljettu Eristetty S / Korkealämpötilakemia Termodynamiikan peruskäsitteitä Termodynamiikan peruskäsitteitä The Laws of thermodynamics: (1) You can t win (2) You can t break even (3) You can t get out of the game. - Ginsberg s theorem - Masamune Shirow: Ghost in the shell Systeemillä

Lisätiedot

energian), systeemi on eristetty (engl. isolated). Tällöin sekä systeemiin siirtynyt

energian), systeemi on eristetty (engl. isolated). Tällöin sekä systeemiin siirtynyt 14 2 Ensimmäinen pääsääntö 2-1 Lämpömäärä ja työ Termodynaaminen systeemi on jokin maailmankaikkeuden osa, jota rajoittaa todellinen tai kuviteltu rajapinta (engl. boundary). Systeemi voi olla esimerkiksi

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 10: Reaalikaasut Pe 1.4.2016 1 AIHEET 1. Malleja, joissa pyritään huomioimaan

Lisätiedot

Tämän päivän ohjelma: ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 7 /

Tämän päivän ohjelma: ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 7 / ENY-C2001 Termodynamiikka ja lämmönsiirto Luento 7 / 30.10.2017 v. 03 / T. Paloposki Tämän päivän ohjelma: Entropia Termodynamiikan 2. pääsääntö Palautuvat ja palautumattomat prosessit 1 Entropia Otetaan

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

- Termodynamiikka kuvaa energian siirtoa ( dynamiikkaa ) systeemin sisällä tai systeemien kesken (vrt. klassinen dynamiikka: kappaleiden liike)

- Termodynamiikka kuvaa energian siirtoa ( dynamiikkaa ) systeemin sisällä tai systeemien kesken (vrt. klassinen dynamiikka: kappaleiden liike) KEMA221 2009 TERMODYNAMIIKAN 1. PÄÄSÄÄNTÖ ATKINS LUKU 2 1 1. PERUSKÄSITTEITÄ - Termodynamiikka kuvaa energian siirtoa ( dynamiikkaa ) systeemin sisällä tai systeemien kesken (vrt. klassinen dynamiikka:

Lisätiedot