Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241)

Transkriptio

1 Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl

2 Ajat, paikat 0. Käytännön asioita Ajan tasalla olevat tiedot kurssin kotisivulta veapaja/statistical_physics/. Luennot: 20h ma, ke klo 10.15, FYS1, Demot: alkavat viikolla 3 (20.1.); kolme demoryhmää, ajat Korpissa Opettajat: Luennot: Vesa Apaja YN212 (Nanotalo) Harjoitukset: Toni Ikonen ja Henri Hänninen Kurssin arvostelu: Loppukoe tai tai myöhemmin: 48 pistettä Harjoitukset (demot): 12 pistettä Laboratoriotyöt: 12 pistettä Max 72 pistettä. Arvostelu: Kurssin läpäisyyn vaaditaan puolet tentin ja laskuharjoituspisteiden summasta sekä hyväksytysti suoritetut laboratoriotyöt. Arvosanaan 5 tarvitaan vähintään 64 pistettä, arvosanaan 1 riittää 36 pistettä. 2

3 Materiaali Ensisijainen kurssimateriaali Kirja: Bowley & Sanchez, Introductory Statistical Mechanics. Luennot: veapaja/statistical_physics/ Kalvot ja moniste antavat vain suppean kuvauksen, muun kirjallisuuden lukeminen auttaa täyttämään aukkoja. Muita kirjoja: F. Mandl: Statistical Physics, Wiley (entinen kurssikirja) J. Arponen & J. Honkonen: Statistinen fysiikka, Limes (laajempi) Luentoja netissä: David Tong: Lectures on Statistical Physics The Feynman Lectures on Physics (sisältää paljon muutakin asiaa) Tuomas Lapin luentomateriaali tulappi/fysa241kl13 Juha Merikosken luentomuistiinpanot merikosk/statistinen-fysiikka-2002-jm.pdf Jussi Timosen muistiinpanot edellisten vuosien kursseilta. 3

4 Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl Johdanto 4

5 Motivaatio Luonnon peruslait kuvaavat vuorovaikutuksia hiukkasten välillä. Käytännön tilanteissa yleensä suuri määrä hiukkasia, Esim 1 mooli = N A hiukkasta. Liian monimutkainen, ei voida seurata kaikkien liikeyhtälöitä, voimia jne. Järjestelmän osien keskinäinen vuorovaikutus Vuorovaikutus ulkopuolisen maailman kanssa Joudutaan keskiarvoistamaan hiukkasjoukon ominaisuuksia statistinen fysiikka Käytännön kannalta tärkeät suureet ovat makroskooppisia, termodynaamisia muuttujia: lämpötila T, paine P... 5

6 Kurssin aihemaailmaa Kiinteä aine tiheää, järjestäytynyt kiderakenne. Esim. magnetismi, kidevirheet, hilavärähtelyt, johtavuuselektronit... Fluidi Virtaava aine. Neste Epäjärjestynyt, tiheä. Mikroskooppinen teoria monimutkainen Kaasu Epäjärjestynyt, harva. Kokoonpuristuvuus, lämpeneminen tärkeitä sovelluksissa. Muita Mustan kappaleen säteily (= fotonikaasu), alkeishiukkasaine, suprajohtavuus, plasma, polymeerit, lasit... Ylivoimaisesti tärkein uusi asia tällä kurssilla on entropian käsite ja se miten se liittyy systeemin tiloihin. Myös lämpötila ja lämpö määritellään tarkasti. Laskutekniikkana osittaisderivaatat tulevat rutiiniksi, ja osittaisderivaatan arvojen riippuminen vakiona pidettävistä suureista hiotaan useissa esimerkeissä. 6

7 Termodynamiikka ja statistinen mekaniikka statistinen fysiikka Tällä kurssilla esitetään rinnakkain kaksi erilaista lähestymistapaa: Termodynamiikka TD (Termo lämpö, dynamiikka liikeoppi) Luonnon kuvaus makroskooppisilla suureilla, joiden välillä empiirisiä lakeja: Postulaatit: termodynamiikan pääsäännöt 0 3. ( TD0... TD3 ) Kaikille aineille yhteisiä Aineelle/systeemille ominainen tilayhtälö (Esim. kaasulle P = P(T, V, N)) Perinteiset sovellukset: olomuodon muutokset, lämpövoimakoneet ( lähes kaikki energian tuotto ja käyttö!) Statistinen mekaniikka SM Termodynamiikan johtaminen mikroskooppisesta kuvauksesta tilastollisena keskiarvona Sovellukset perinteistä termodynamiikkaa laajempia, voivat olla myös fysiikan ulkopuolella (biologia, talous, tietojenkäsittely) 7

8 Historiaa 1800-luvun alku Kuinka rakennetaan mahdollisimman tehokas höyryveturi? Klassinen termodynamiikka, mystinen entropian käsite Clausius, Kelvin 1800-luvun loppupuoli Voidaanko termodynamiikka ja entropia selittää mikroskooppisten ominaisuuksien avulla? klassinen statistinen mekaniikka Boltzmann (Tuolloin atomi oli vielä spekulatiivinen teoreettinen rakenne, ei todellisuutta) 1900-luku Klassinen statistinen mekaniikka on epäkonsistentti, miten se voidaan korjata? Kvanttimekaniikka oikea mikroskooppinen teoria oikea, toimiva, ristiriidaton statistinen mekaniikka. Nyt Laaja kirjo tutkimuskohteita: epätasapainoilmiöt, kompleksiset systeemit, sovellukset perinteisen fysiikan ulkopuolelle, laskennallinen fysiikka, biologiset systeemit... Hyvin matalan lämpötilan räätälöidyt systeemit, kuten spinsysteemit ja kylmät kvanttikaasut, mahdollistavat termodynamiikan ja statistisen mekaniikan perusolettamusten tarkan verifioinnin. 8

9 Terminologiaa Tarkastelukohteena järjestelmä = systeemi = kasa ainetta, jossa on suuri määrä (10 n ) atomeja sekä ympäristö eli muu maailmankaikkeus. Avoin systeemi voi vaihtaa ainetta ja lämpöä ympäristön kanssa (Esim. kuutiometri ilmaa keskellä huonetta, vesilasi pöydällä) Suljettu systeemi voi vaihtaa lämpöä, muttei ainetta, ympäristön kanssa (Esim. suljettu pullo vettä pöydällä) Eristetty systeemi ei vaihda ainetta eikä lämpöä (ideaalinen termospullo) Makrotila ja mikrotila Systeemin Tila joukko tunnuslukuja, jotka riittävät systeemin kuvaamiseen. Makrotila termodynaamisten suureiden arvot Kvanttimekaniikan avulla: makrotilassa hiukkasten jakautuminen energiatiloille on määritelty. Mikrotila täydellinen atomitason kuvaus, usein kvanttimekaniikan tunnuslukuja (Esim A: kaasu: 3N koordinaattia, 3N liikemäärää. B: Kestomagneetti: N spinin suunnat.) Kvanttimekaniikan avulla: mikrotilassa kaikki systeemin kvanttiluvut on määritelty. Usein puhutaan tilasta abstraktina otuksena, joka määritellään tarvittaessa tunnusluvuilla. (Vrt. geometria: abstrakti vektori ja sen komponenttiesitys) 9

10 Miksi kvanttimekaniikka on tärkeä termodynamiikassa? Ludwig Boltzmann huomasi, ettei termodynamiikan statistisia perusteita voi esittää olettamatta, että mikrotiloja pitää pystyä laskemaan ja niiden pitää olla diskreettejä. Jos mikrotiloja on aina ääretön määrä ja ne ovat äärettömän tiheässä (eli tunnusluvut ovat äärettömän tiheässä), kuten klassinen fysiikka ennustaa, putoaa koko statistiselta mekaniikalta pohja. Boltzmann sivuutti puutteen ylimalkaisesti ja vasta Planck teki oleellisen pohjatyön kvanttimekaniikan avulla. Tilojen kvantittuminen mahdollistaa statistisen mekaniikan formalismin. 10

11 Esimerkkejä mikrotiloista Hiukkanen laatikossa Vapaita kvanttimekaanisia hiukkasia laatikossa Schrödingerin yhtälö ) ( 2 2m 2 + U(x) ψ(x) = εψ(x), U(x, y, z) = laatikkoa kuvaa potentiaali { 0, kun 0 < x < L, 0 < y < L, 0 < z < L muuten ( ψ(x) = 0 tässä alueessa) Ratkaisu: ε k = 2 k 2 2m, k = π (nx, ny, nz), nx, ny, nz N L Harmoninen oskillaattori Yksiulotteinen Schrödinger Ratkaisuna energiatilat E = ( 2 d 2 2m d 2 x + 1 ) 2 mω2 x 2 ψ(x) = Eψ(x) ( n + 1 ) ω, n = 0, 1,

12 Lisää esimerkkejä mikrotiloista Magneettinen dipoli Elektroneilla on magneettinen momentti µ, Ulkoisessa magneettikentässä B dipolin energia on µ B. Kvanttimekaniikassa magneettisen momentin B:n suuntainen komponentti riippuu hiukkasen spinistä. Se ei voi olla mikä tahansa, vaan voi saada vain kaksi arvoa ±µ. Nyt hiukkasella on kaksi mahdollista energiatilaa ja. E = µb E = µb Kvanttimekaniikassa tilat voidaan laskea Diskreetit makrotilat (mahdolliset kokonaisenergiat), äärellinen ( 1) määrä mikrotiloja vastaa yhtä makrotilaa. 12

13 Monen hiukkasen tilat Oletetaan nyt N hiukkasta / värähtelijää / spiniä. Mikrotila voidaan kuvata antamalla kaikkien hiukkasten / värähtelijöiden / spinien tilat. Jos nämä eivät vuorovaikuta keskenään on tämä N hiukkasen systeemin energian ominaistila Esim. 8 vuorovaikuttamatonta spiniä Mahdollisia mikrotiloja: E = 8µB E = 2µB E = 2µB Yhteensä 2 8 tilaa, mutta vain 9 mahdollista kokonaisenergian arvoa, eli 9 makrotilaa. 13

14 Todennäköisyys Määritelmiä Klassinen: satunnaiskoe, N mahdollista tulosta, kaikki yhtä todennäköisiä Todennäköisyys p i = 1 N, i = 1,... N Tilastollinen: satunnaiskoe, N mahdollista tulosta i = 1... N. Toistetaan koe M N kertaa, saadaan tulos i n i kertaa: ( n N ) i Todennäköisyys p i = lim M M, i = 1,... N n i = M i=1 Ominaisuuksia Normitusehto i p i = 1 0 p i 1 kaikille tuloksille i Poissulkevat tapahtumat i ja j: P(i tai j) = p i + p j 2 riippumatonta satunnaiskoetta: P(i kokeessa 1 ja j kokeessa 2) = p i p j 14

15 Jakauma, odotusarvo ja keskihajonta Jakauma Kaikkien tulosten todennäköisyydet p i, i = 1... N ovat todennäköisyysjakauma. (Jakauma on siis normitettava niin, että i p i = 1.) Satunnaismuuttuja, jakauman tunnuslukuja Jos jokaiseen satunnaiskokeen lopputulokseen i liittyy joku mitattava suure x i eli satunnaismuuttuja, voidaan laskea jakauman tunnuslukuja, esim. Odotusarvo x = i p ix i (Usein merkitään x x ) Varianssi ( x) 2 (x x ) 2 = i p i(x i x ) 2 Sama kuin neliöllinen keskipoikkeama Eri merkintöjä, esim. ( x) 2 σ 2 (x) Varianssin neliöjuuri on keskihajonta x σ(x) (x x ) 2 = x 2 x 2 15

16 Kolikon heitto Yksi heitto Kaksi mahd. lopputulosta, p(klaava +) = p(kruuna ) = 1 2 Määritellään satunnaismuuttuja x klaavojen lukumäärä x =0, x +=1 Odotusarvo x = 1 2, varianssi σ2 (x) = 1 4 Suhteellinen keskihajonta σ(x)/ x = 1 Kaksi heittoa Neljä lopputulosta: ++, +, +,, kaikkien p = 1 4 Klaavojen lukumäärät x ++ = 2, x + = x + = 1, x = 0. Odotusarvo x = 1, varianssi σ 2 (x) = 1 2, Suhteellinen keskihajonta σ(x)/ x = 1 2 Suhteellisesta keskihajonnasta nähdään, että suuremmalla heittojen määrällä tulos heilahtelee vähemmän keskiarvon ympärillä. 16

17 Kertoma Laskettaessa monen toiston todennäköisyyksiä tarvitaan kertomaa: Kertoma n! n (n 1)... 1 n erilaista oliota voidaan järjestää riviin n! tavalla N oliosta voidaan valita n:n olion järjestetty osajoukko N oliosta voidaan valita n:n olion järjestämätön osajoukko N! ( N n!(n n)! n) tavalla N! (N n)! tavalla Statistisessa fysiikassa tarvitaan usein suurten lukujen kertomaa, jonka laskemiseen käytetään Stirlingin approksimaatiota: Stirling ln N! N ln N N, kun N 1. 17

18 N kolikon heittoa 2 mahd. tapausta/heitto, yhteensä 2 N tapausta Kuinka monessa näistä on n klaavaa? Ensimmäinen klaava joku N:stä heitosta, toinen joku muista N 1:stä... n:s klaava joku N n + 1:stä N (N n + 1) = N!/(N n)! tapaa. n klaavaa eivät oikeasti ole numeroituja laskettiin n(n 1) 1 = n! kertaa sama tapaus N! Johtopäätös: ( N n!(n n)! n) tapaa saada n klaavaa. Tarkistus: N ( N n=0 n) = (1 + 1) N = 2 N (binomikaavasta, x = y = 1) ) Todennäköisyys saada n klaavaa on p n = 1 ( N 2 N n suotuisat tapaukset ( kaikki tapaukset N n) tapaa saada n klaavaa 2 N on kaikkien tapausten lukumäärä (ja normitus) Yksi tulkinta: p n = Binomikaava (x + y) n = ( ) n n x n k y k k k=0 18