Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten)

Transkriptio

1 Noste Ympyräliike I

2 Luennon tavoitteet Kerrataan harmoninen värähtelijä Noste, nesteen ja kaasun aiheuttamat voimat Noste ja harmoninen värähtelijä (laskaria varten) Aloitetaan ympyräliikettä Keskeisvoiman käsite Kulmanopeuden, ratanopeuden, säteen ja keskeisvoiman yhteydet Miksi Tarzanin liaani ei kestä?

3 Pallo roikkuu pystysuorasta jousesta. Vedät palloa alaspäin ja päästät irti, niin että se alkaa d Ԧp värähdellä. Mikä on -suureen suunta, kun dt pallo on alimmassa pisteessä?

4 KERTAUS Harmoninen värähtelijä: differentiaaliyhtälön ratkaisu Muodostetaan liikeyhtälö, ja havaitaan, että toinen puoli on toisen aikaderivaatta m dv dt = m d2 x dt 2 = kx Ongelma: ei osata (vielä) ratkaista, mutta voidaan tietää tai arvata, että esimerkiksi yrite A sin ωt toteuttaa yhtälön, sillä d 2 dt 2 A sin ωt = Aω2 sin ωt d 2 dt 2 A cos ωt = Aω2 cos ωt d 2 dt 2 C sin(ωt + φ) = Cω2 sin(ωt + φ)

5 KERTAUS m d2 x dt 2 = kx maω 2 sin ωt = k A sin ωt mω 2 = k ω = k m ω on kulmataajuus, joka liittyy jaksonaikaan: ω = 2π T

6 KERTAUS Nopeus on nolla, kun venymä on suurin Kiihtyvyys (ja voima) on suurin, kun venymä on suurin Paikka ja kiihtyvyys ovat eri suuntaiset Voima palauttaa

7 Mikä on ϕ? a) φ = π b) φ = π c) φ = π/2 d) φ = π 2 e) En tiedä

8 Noste

9 Kysymys Tarkastellaan vesiastiassa katkoviivoin merkittyä osatilavuutta. Tähän osatilavuuteen kohdistuu noste ԦF b1. Poistetaan seuraavaksi osatilavuuden vesi ja laitetaan tilalle täsmälleen samankokoinen kuparipalikka. Kuparipalikkaan kohdistuu noste ԦF b2. Mikä pitää tällöin paikkansa? A) F b1 < F b2 B) F b1 = F b2 C) F b1 > F b2 D) Ei voi ottaa kantaa

10 Noste Makroskooppiseen kappaleeseen vaikuttava noste F b on yhtä suuri kuin sen syrjäyttämän väliaineen (nesteen tai kaasun) tilavuuden paino (tämä on Arkhimedeen laki) F b = ρ neste V kpl g missä ρ neste on väliaineen tiheys ja V kpl on kappaleen tilavuus

11 Kysymys Pieni hiukkanen törmää isoon kappaleeseen. Hiukkasen liikemäärä ennen ja jälkeen törmäyksen on Ԧp 1 ja Ԧp 2. Mikä vaihtoehdoista vastaa isomman kappaleen liikemäärän muutosta? B Ԧp 1 Ԧp 2 A A B C D E: jokin muu

12

13 Harjoitustehtävä LH4-4 Suorakulmaisen särmiön muotoinen puupala kelluu vedessä. Puupalaa poikkeutetaan hieman, ja annetaan sen värähdellä. Määritä puupalan värähdysliikkeen kulmataajuus, kun väliaineen vastus oletetaan häviävän pieneksi.

14 Kysymys Tarkastele nostetta, kun kappale on niin pieni, että sen pinnan läheisyydessä on makroskooppiseen tilanteeseen verrattuna huomattavan paljon vähemmän vesimolekyylejä. Tällöin lausekkeesta F b = ρ vesi V kpl g laskettu noste on todellisuuteen verrattuna A) Liian pieni B) Edelleen oikein C) Liian suuri D) Jokin muu vastaus E) En tiedä

15 Brownin liike Kun kappaletta tönii rajallinen määrä molekyylejä, alkavat diskreetit törmäykset tulla havaittaviksi! kappaleeseen kohdistuvan voiman suuruus ja suunta fluktuoivat tasapainoaseman ympärillä Mikroskooppinen kappale vedessä alkaa kappale vaellella satunnaisesti Tätä satunnaisliikettä nesteessä (tai kaasussa) kutsutaan Brownin liikkeeksi => Osoittaa että neste (ja kaasu) koostuu erillisistä osasista (eli esim. vesimolekyyleistä)

16 Ympyräliike Eli miksi Tarzanin liaani ei kestä

17 Ympyräliikkeen kinematiikkaa Hiukkasen kuljettua matkan s pitkin r-säteistä ympyrärataa, pätee kulmalle: φ = s r Kulman yksikkönä on radiaani (vaikka määritelmän mukaan kulmalla ei ole yksikköä) 360 2πr r = 2π Positiivinen kiertosuunta = vastapäivään! r φ s

18 Ympyräliikkeen kinematiikkaa Suure, jolla mitataan kuinka nopeasti kulma muuttuu: kulmanopeus (angular velocity) ω = dφ(t) dt Kun kulmanopeus on vakio, ympyräliike on tasaista Huomaa analogia harmoniseen värähtelijään: kulmataajuus ja kulmanopeus Millainen kulma tai värähdyksen osa katetaan aikayksikössä

19 Ympyräliikkeen kinematiikkaa Kappaleen ratavauhdin (v) ja ympyräliikkeen kulmanopeuden välille voidaan johtaa relaatio: ω = d dt s r = 1 r ds dt = v r eli ω = v r

20 Ympyräliikkeen kinematiikkaa Vastaavasti kulmanopeuden muutosnopeutta mittaa kulmakiihtyvyys (angular acceleration) α = dω = d2 φ dt dt 2

21 Analogiaa: eteneminen vs pyöriminen eteneminen x v = dx dt a = dv dt pyöriminen φ ω = dφ dt α = dω dt

22 Jännitysvoima Tarzan kokeilee liaania roikkumalla siinä paikallaan. Liaani kestää. Tarzan heittäytyy tyytyväisenä liaanin varaan ylittääkseen joen, mutta kun hän on vauhdissa keskellä jokea, liaani katkeaa. തT mgҧ തT തT mgҧ p ҧ = 0 തT mgҧ pҧ തT pҧ mgҧ Miten pҧ muuttuu ajan funktiona? pҧ mgҧ

23 തT mgҧ pҧ തT mgҧ pҧ p ҧ = തF t തF = pҧ t p 1 ҧ p 2 ҧ pҧ Tarzanin liaaniin kohdistuu painovoiman lisäksi suunnan muutoksen aiheuttava voima! T = m g ҧ + d p ҧ dt

24 Kysymys Hiukkanen kiertää ympyräradalla tasaisella ratavauhdilla. Tällöin A) a = vakio (mutta ei 0) B) Ԧa = vakio C) a = 0 D) Ԧv =vakio E) Jokin muu vastaus F) En tiedä y Ԧv Ԧr x

25 Kysymys Kaksi kappaletta sijaitsee tasaisella kulmanopeudella pyörivän levyn pinnalla. Kappaleet sijaitsevat eri etäisyyksillä levyn pyörimisakselilta. Keskeiskiihtyvyys on A) suurempi akselilta kauempana olevalla kappaleella B) Yhtä suuri kummallakin kappaleella C) Suurempi akselia lähempänä olevalla kappaleella D) Kiihtyvyydet riippuvat kappaleiden massoista E) Jokin muu vastaus

26 Ympyräliikkeestä Ympyräliikkeessä oleva kappale on aina kiihtyvässä liikkeessä Ei tarkoita, että kappaleen vauhti muuttuu Nopeus (vektori) muuttuu Keskeisvoima: voima, joka vaaditaan kappaleen pitämiseen radallaan തF = m v2 r = mω2 r Tasaisessa ympyräliikkeessä suuntautuu kohti ympyrän keskustaa

27 Liikkeen yleinen käsittely ympyräliikkeen avulla Yleistys mielivaltaisen muotoiseen rataan Idea: yksittäinen kohta radasta voidaan kuvat pätkänä ympyränkaarta! ( Kissing circle ) Radan kohdan käyryys määrää, kuinka suuri on approksimoivan ympyrän säde R (kaarevuussäde) Ԧv Ԧv Ԧa Ԧa Hetkellinen kiihtyvyys saadaan tällöin kun hetkellinen nopeus tunnetaan: suuruus: a = v2 R suunta: ympyrän kp:ä kohti

28 Keskeisvoima: esimerkki Geostationaarinen satelliitti kiertää maapalloa niin, että se on koko ajan saman kohdan yläpuolella. Mikä on sen korkeus? G = γmm r 2 F = mω 2 r Kuva: Wikipedia

29 Keskeisvoima: Tarzan Tarzan roikkuu liaanissa paikallaan. Mikä on liaaniin kohdistuva jännitysvoima? Tarzan (massa m T ) kiitää liaanilla (pituus R) joen yli. Alimmassa kohdassa hänen nopeutensa on vi. Ƹ Mikä on liaaniin kohdistuva jännitysvoima? തT mgҧ തT pҧ mgҧ

30

31 Huomenna Näennäisvoimat Ympyräkoordinaatit Kaarreajo Kaltevat pinnat

32