PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

Transkriptio

1 PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe

2 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta seuraava kvanttistatistiikka: Fermin-Diracin ja Bosen- Einsteinin jakaumat. 2. Fermikaasu. 3. Bosonikaasu, Bosen-Einsteinin kondensaatio. 2

3 OSAAMISTAVOITTEET. Tunnet bosoni- ja fermionistatistiikat, ja osaat soveltaa niitä yksinkertaisiin ongelmiin. Ymmärrät myös missä tapauksissa voidaan käyttää klassista kuvausta, ja milloin kvanttiefekteistä tulee merkittäviä. 2. Tunnet fermikaasun ja bosonikaasun keskeiset ominaisuudet (mm. Bosen-Einsteinin kondensaatio), ja osaat ratkaista niihin liittyviä yksinkertaisia ongelmia. 3

4 IDENTTISTEN HIUKKASTEN VAIHTO & SYMMETRIA Kaksi identtistä hiukkasta (paikat r ja r 2 ), joita kuvaa aaltofunktio (r, r 2 ). Määritellään vaihto-operaattori ˆP 2 s.e. ˆP2 (r, r 2 )= (r 2, r ). Koska hiukkaset ovat identtisiä, on oltava (r, r 2 ) 2 = (r 2, r ) 2. (r, r2) 2 r r 2 ˆP 2 :n ominaisarvot ovat reaalisia - kaksi mahdollisuutta: on symmetrinen vaihdon suhteen (bosonit): on antisymmetrinen vaihdon suhteen (fermionit): (r 2, r )= (r, r 2 ) (r 2, r )= (r, r 2 ) ˆP 2 4

5 IDENTTISTEN HIUKKASTEN VAIHTO & SYMMETRIA Yleisemmin: kaksi tilaa 0i ja i. Mahdollisia kaksihiukkastiloja: Ei-identtiset hiukkaset: 0i 0i, i 0i, 0i i, i i. Klassiset identtiset hiukkaset: 0i 0i, i 0i, i i. Identtiset bosonit: 0i 0i, i i, / p 2( i 0i+ 0i i). ˆP 2 / p 2( i 0i+ 0i i) =/ p 2( 0i i+ i 0i) =+/ p 2( i 0i+ 0i i) Identtiset fermionit: / p 2( i 0i 0i i). ˆP 2 / p 2( i 0i 0i i) =/ p 2( 0i i i 0i) = / p 2( i 0i 0i i) Paulin kieltosääntö: 0i 0i ja i i eivät sallittuja fermioneille. 5

6 PARTITIOFUNKTIO Suurkanoninen partitiofunktio ( N :n ei tarvitse olla vakio): Z = X e (µn E ) Tarkastellaan tilannetta, jossa systeemillä on joukko mahdollisia (yksihiukkas)kvanttitiloja ( i =, 2,... ), joiden energiat ovat E i ja miehitysluvut n i (jolloin tilan i kokonaisenergia on n i E i ): Z = X {n } X X e n i (µ E i ) = {n 2 } {n } 0 koko systeemin tila X e n (µ E ) X e n 2 (µ E 2 ) A {n} {n2} sallitut miehitysluvut = Y i X {n i } e n i (µ E i ). Tulos riippuu sallituista miehitysluvuista {n i } (bosonit vs fermionit). 6

7 PARTITIOFUNKTIO Kaksi fermionia ei voi olla samassa tilassa ( {n i } = {0, } ): Z = Y X e ni (µ Ei) = Y +e (µ E i) i {n i } i ) ln Z = X i ln( + e (µ E i) ). Bosonien miehitysluvuilla ei rajoituksia ( {n i } = {0,, 2, 3,...} ): Z = Y i X {n i } e ni (µ Ei) = Y i = Y i +e (µ E i) +e 2 (µ E i) +... e (µ E i) ) ln Z = X i ln( e (µ E i) ). 7

8 FD- JA BE-JAKAUMAT Saadaan siis ln Z = ± X ln( ± e (µ Ei) ). i Tilan i keskimääräinen miehitysluku: hn i i ln = e (E i µ) ±. + fermionit bosonit Nämä voidaan suoraan tulkita energiajakaumiksi f(e) (= energiaa vastaava keskimääräinen miehitysluku): Fermin-Diracin jakauma: f(e) = e (E µ) + Bosen-Einsteinin jakauma: f(e) = e (E µ) E 8

9 FD- JA BE-JAKAUMAT Boltzmannin jakauma (E µ) f(e) =e Fermin-Diracin -jakauma: f(e) = e (E µ) + Kuva: Blundell & Blundell Bosen-Einsteinin -jakauma: f(e) = e (E µ) Divergoi, jos µ = E. Miten ymmärrät rajan (E µ) klassiseksi rajaksi? 9

10 FD- JA BE-JAKAUMAT Boltzmannin jakauma (E µ) f(e) =e Fermin-Diracin -jakauma: f(e) = e (E µ) + Kuva: Blundell & Blundell Bosen-Einsteinin -jakauma: f(e) = e (E µ) Divergoi, jos µ = E. (E µ) µ = k B T ln(n 3 th) ) E k B T ln(n 3 th), n 3 th missä. 0

11 IDEAALISET KVANTTIKAASUT Jos siis kaasun tiheys on riittävän suuri (s.e. bosoni- ja fermionistatistiikat huomioitava. N = X k n k = Z 0 g(e)de e (E µ) ± n 3 th ei päde), on Lisäksi: jos hiukkasilla on spin S, on huomioitava spindegeneraatio g =2S + (spintilat S, S +,...S). Jos vuorovaikutuksia ei ole, saadaan Z = Y Z 2S+ k = Y ± e k k (E k ±(2S+) µ). Tästä saadaan termodynamiikka esim. laskemalla suuri potentiaali G (kts. B&B esimerkki 30.). Toisaalta miehityslukujen n k = k ln Z k = e (E k µ) ± avulla voidaan kirjoittaa esim. ja n k E k =. U = X k Z 0 Eg(E)dE e (E µ) ±

12 IDEAALISET KVANTTIKAASUT g(e) :lle lauseke klassisen ideaalikaasun g(k) :sta, käyttämällä relaatiota E = ~ 2 k 2 /2m, ja huomioimalla g =2S +(B&B 30.): g(e)de = (2S + )VE/2 de (2 ) 2 N:n ja U:n lausekkeista tulee siis N = " (2S + )V (2 ) 2 # 3/2 Z 2m ~ 2 0 3/2 2m. ~ 2 E /2 de z e E ± = (2S + )V 3 th polylogaritmi Li n (x) (kts B&B C.5) [ Li 3/2 ( z)] ja U = " (2S + )V (2 ) 2 # 3/2 Z 2m ~ 2 0 th putkahtaa taas esiin! E 3/2 de z e E ± = 3 2 Nk BT Li 5/2( z) Li 3/2 ( z). Näissä esiintyy z =e µ, eli fugasiteetti. 2

13 FERMIKAASU Nollalämpötilassa fermionit miehittävät alimmat energiatilat ( 2S +hiukkasta/energiatila) fermienergiaan E F asti. Rajalla!miehitysluvut n k = e (E k µ) +! (µ E k). Kuva: Blundell & Blundell Nähdään siis, että E F = µ(t = 0). Tätä vastaa aaltovektori, s.e. N = Z kf 0 g(k)dk = (2S + )V 2 2 k 3 F 3. Tästä voidaan ratkaista k F ja E F tiheyden n = N/V funktioina: k F k F = apple 6 2 n 2S + /3, E F = ~2 2m apple 6 2 n 2S + 2/3. 3

14 FERMIKAASU Äärellisissä lämpötiloissa askelfunktio pehmenee. Elektronit metallissa ~ ideaalinen elektronikaasu ( ). S =/2 Määritellään fermilämpötila T F = E F /k B. Tämä on tuhansia kelvineitä useimmille metalleille T =0-raja (askelfunktio) hyvä approksimaatio. lukumääräjakauma Kuva: Blundell & Blundell 4

15 FERMIKAASU Korjauksia T =0-käytökseen voidaan arvioida Sommerfeldin kehitelmällä (kts. B&B esimerkki 30.4): Z Z µ (E)f(E)dE = (E)dE + 2 d 6 (k BT ) de 0 Esim. n = 2 2 n = N/V S =/2 3/2 Z 2m ~ 0 -hiukkasille: E /2 f(e)de 3 2 3/2 2m µ "+ 3/2 2 ~ 8 E=µ kb T µ # Toisaalta tiedetään, että T =0:ssa n =[(2m) 3/2 /(3 2 ~ 3 )]E 3/2 F : µ(t ) µ(0) " # 2 2/3 " kb T +... µ(0) µ(0) kb T +...#. µ(0) µ(t ) µ(0) = E F on hyvä approksimaatio. ( + x) 2 2/3 3 x, x 5

16 FERMIKAASU Lasketaan vielä elektronikaasun ( S =/2) lämpökapasiteetti: U = V 3/2 Z 2m 2 2 ~ 2 E 3/2 f(e)de 0 = V 3/2 2 2m 5 2 ~ 2 [µ(t )] "+ 5/2 5 2 kb T +...# 8 µ(0) " = 3 5 Nµ(T ) Sommerfeld = 3 5 Nµ(0) " kb T +...# µ(0) 2 kb T +...# µ(0). / T matalissa lämpötiloissa ) C V = 3 2 Nk B 2 3 k B T µ(0) + O(T 3 ) 6

17 BOSONIKAASU Bosoneista koostuvaa kaasua. Tarkastellaan tapausta, jossa E = ~ 2 k 2 /2m (ei siis fotoneja). Tällaisen kaasun µ :n on oltava negatiivinen, muuten perustilan ( E =0) miehitysluku divergoi. Siispä 0 <z=e µ <. Mutta mitä voidaan sanoa µ :n arvosta? Kuvat: Blundell & Blundell Bosonikaasulle pätee n 3 th 2S + = Li 3/2(z). Yhtälön vasen puoli kasvaa n:n kasvaessa ja/tai T :n pienetessä. Jos n 3 th 2S + > Li 3/2() = (3/2) = 2.62, yhtälöllä ei ole ratkaisua! (koska z =e µ < ) 7

18 BOSEN-EINSTEININ KONDENSAATIO Syy: jatkumoapproksimaatio (summa integraali) ei enää toimi perustilan miehitysluvun kasvaessa makroskooppiseksi ( T<T c ): n 3 2/3 th 2S + =2.62 ) T c = 2 ~2 n mk B 2.62(2S + ) Tarkastellaan siis erikseen perustilaa ja muita tiloja, kun T<T c : N = N 0 + N N = Kun T = T c, (2S + )V [ th(t c )] 3 Li 3/2() perustila N = muut tilat (2S + )V 3 th Li 3/2 () n 0 n = N 0 N = N N N = T T c 3/2 Kuva: Blundell & Blundell 8

19 BOSEN-EINSTEININ KONDENSAATIO Hajahuomiota: Bosen-Einsteinin kondensaatio (toisin kuin klassisen reaalikaasun kondensoituminen nesteeksi) ei seuraa hiukkasten välisistä vuorovaikutuksista (tässä on tarkasteltu ideaalista kvanttikaasua!), vaan puhtaasti bosonien kvanttistatistiikasta ( exchange symmetry ). BE-kondensaatio on kondensaatiota k-avaruudessa (hiukkasia kondensoituu alimpaan energiatilaan), eikä välttämättä ole lokalisoitunut paikka-avaruudessa. Atomien nopeusjakauma loukussa eri lämpötiloissa: kun T T c, suurin osa atomeista on nollanopeuden piikissä. Kuva: Blundell & Blundell 9

20 BOSEN-EINSTEININ KONDENSAATIO Bosonikaasun sisäenergia U(T ), kun T apple T c (riippuu vain viritystiloista!): N /N =(T/T c ) 3/2 U = 3 2 N k B T (5/2) (3/2) = 3 2 Nk BT (5/2) (3/2) T T c 3/2 Kuva: Blundell & Blundell =0.77Nk B T c T T c 5/2. Kun T>T c, saadaan (tämä nähtiin jo aiemmin) U = 3 2 Nk BT Li 5/2(z) Li 3/2 (z). Vertaa ekvipartitiotulokseen U =3/2Nk B T. 20

21 BOSEN-EINSTEININ KONDENSAATIO Fugasiteetille ( N = vakio, T>T c ) saadaan n = 2S + 3 th Li 3/2 (z) = 2S + [ th(t c )] 3 (3/2) Kuva: Blundell & Blundell ) T T c = apple (3/2) Li 3/2 (z). Kun T<T c, z =. C V Lämpökapasiteetti :llä on integroituva singulaarisuus, cusp, kohdassa T = T c (harjoitus?). 2