PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016

Transkriptio

1 PHYS-C0240 Materiaalifysiikka (5op), kevät 2016 Prof. Martti Puska Emppu Salonen Tomi Ketolainen Ville Vierimaa Luento 7: Hilavärähtelyt tiistai

2 Aiheet tänään Hilavärähtelyt: johdanto Harmoninen approksimaatio 1D-ketjun värähtely: yksiatominen kanta 1D-ketjun värähtely: kaksiatominen kanta Kokeellisten dispersiorelaatioiden tulkintaa

3 Tavoitteet Osaat antaa esimerkkejä tiiviiseen aineeseen liittyvistä ominaisuuksista ja ilmiöistä, joiden ymmärtämiseksi täytyy ottaa huomioon ionien värähtely Osaat selittää, miten hilan värähtelyjen täydellinen kuvaus saadaan vain 1. Brillouinin vyöhykettä tarkastelemalla. Osaat kuvata minkälaista ionien värähtelyä yksinkertaisen 1D-ketjumallin dispersiorelaation eri osat vastaavat Osaat tulkita yksinkertaisia kokeellisesti määritettyjä dispersiorelaatioiden kuvaajia: värähtelyjen polarisaatiot, akustiset ja optiset haarat, värähtelymoodeihin liittyvät vaihe- ja ryhmänopeudet

4 Hilavärähtelyt: johdanto

5 Ominaislämpö Miten energiaa varastoituu hilavärähtelyihin? Miten lämpötila vaikuttaa ominaislämpöön? Huomaa merkittävä ero johteiden ja eristeiden välillä matalilla lämpötiloilla

6 Lämmönjohtavuus Miten hilavärähtelyt kuljettavat energiaa? Mitkä tekijät vaikuttavat tähän?

7 Dispersiorelaatiot kalium Minkälaisia ominaisvärähtelymoodeja materiaaleissa esiintyy (ω vs. K)? Miten näitä voidaan määrittää kokeellisesti, ennustaa ja tulkita?

8 Tilatiheys g(ω) Minkälainen on värähtelymoodien jakauma taajuuden (energian) suhteen? hilavärähtelyn energia, ominaislämpö Stedman et al., Phys. Rev. 162 (1967) 549

9 Dispersiorelaatioiden mittaaminen Valon sironta Erityisesti röntgensäteet ja näkyvä valo, vuorovaikutus ensisijaisesti elektronien kanssa. Neutronisironta Vuorovaikutus ensisijaisesti ytimien kanssa, erittäin hyvä energian erotuskyky Näistä aiheista lisää luennolla 9 (ti 19.4.)

10 Harmoninen approksimaatio

11 Ionit liikeessä Ionien liike hilassa värähtelyn ominaisvärähtelyjen (normaalimoodien) Superpositio (vrt. Fourier-analyysi) Ionit kiinnitettyjä hilapaikoilleen (vrt. sulaminen) Poikkeamat hilapaikoilta hyvin pieniä, suuruusluokkaa ~0.1 Å

12 Harmoninen approksimaatio Ionin potentiaalienergia sen Bravais-hilapaikan R läheisyydessä = 0, koska u(r) on tasapainoaseman energia harmoninen termi korkeamman asteen anharmoniset termit Koska a on pieni, valitaan vain nollannen ja toisen asteen termit

13 1D-tapaus jousivakio, C Ioniin kohdistuva voima Hooken laki, vrt. Sidebottom, yhtälö (10.1)

14 Energia Anharmonisuus Esimerkkejä Lämpölaajeneminen Ominaislämpökapasiteetti korkeilla lämpötiloilla T 2 > T 1 Lämmönjohtuminen (terminen resistiivisyys) T 1 Etäisyys r Fononi-fononi vuorovaikutukset Dispersiorelaation riippuvuus lämpötilasta

15 1D-ketjun värähtely: yksiatominen kanta

16 1D-ketju D ω B C A: Minkälaista ionien liikettä piste K = 0 vastaa? B: Mitä tämä viiva kuvaa (dispersiokäyrän tangentti pisteessä K = 0 tai lineaarinen sovitus, kun K 0) C: Mikä on tämän pisteen fysikaalinen merkitys? Minkälaista ionien liikettä se vastaa? -π/d A K π/d 2π/d D: Mitkä näistä viivalla olevista pisteistä kuvaavat samaa ionien värähtelyä?

17 1D-ketju ω max ω Suuruusluokka-arvio ionien värähtelyn ylärajataajuudelle (K = ±π/d). -π/d K π/d 2π/d

18 1D-ketju ω max ω Suuruusluokka-arvio ionien värähtelyn ylärajataajuudelle (K = ±π/d). Esim. lyijylle [100]-suunnassa v o = 1158 m/s 2d = 4.95 Å -π/d K π/d 2π/d

19 1. Brillouinin vyöhyke Vierekkäisten ionien välinen vaihe-ero Sininen käyrä: K - 2π/d Punainen käyrä: K + 2π/d

20 1. Brillouinin vyöhyke Ajanhetkellä t. Mustan aallon siirtymä ajanhetkellä t + δt Otetaan sitten huomioon myös sinisen aallon siirtymä ajanhetkellä t + δt (huomioi aaltojen eri vaihenopeudet dispersiorelaation mukaisesti, v p = ω/k).

21 Ominaisvärähtelymoodit Periodiset reunaehdot, sallitut moodit Kuinka monta erilaista värähtelymoodia systeemissä on? Mistä tämä seuraa? Määritä n max Brillouinin 1. vyöhykkeen rajan avulla. Muista sitten huomioida sekä positiivinen että negatiivinen suunta

22 Värähtelyn eteneminen v v p v g Mikä erityinen arvo vastaa pistettä K = 0? K

23 1D-ketjun värähtely: kaksiatominen kanta

24 Kaksiatominen kanta optinen haara akustinen haara K

25 Kaksiatominen kanta D C C B Minkälaista ionien liikettä vastaavat pisteet A-D? Minkälaista tämä liike on pitkittäisessä värähtelyssä? A A Mitä voit sanoa värähtelyn ryhmänopeudesta eri haaroissa? K

26 Kaksiatominen kanta Analyyttinen lähestymistapa, Sidebottom, yhtälö (10.27): D C C B Määritä ionien amplitudien suhde kummassakin haarassa pisteissä K = 0 ja K = ±π/d, kun taajuuden arvot näissä pisteissä ovat dispersiorelaation avulla jo tunnetut A K A Huom! Jos muutamme ionien massat samoiksi ja kaikkien vierekkäisten ionien väliset etäisyydet ovat samat (d), saamme jälleen monatomisen ketjun dispersiorelaation, mutta tällöin 1. Brillouinin vyöhykkeen rajat ovat pisteissä K = ±2π/d

27 Yleisesti 3D-tapauksessa Si 3 akustista haaraa 3(p -1) optista haaraa (p = kannan ionien lukumäärä)

28 Kokeellisten dispersiorelaatioiden tulkintaa

29 Kalium (BCC) 1. Brillouinin vyöhyke (FCC) Notaatiosta: kreikkalaiset kirjaimet = suunta K-avaruudessa latinalaiset kirjaimet = piste Brillouinin vyöhykkeessä Cowley et al., Phys. Rev. 150 (1966) 487

30 Lyijy (FCC) q = Ka/2π Miksi taajuudet ovat pitkittäisissä suunnissa suurempia kuin poikittaisissa suunnissa? Mieti ionitasojen välistä vuorovaikutusta poikittais- ja pitkittäissuunnissa: voimakas vuorovaikutus, korkea taajuus Brockhouse et al., Phys. Rev. 128 (1962) 1099

31 Lyijy (FCC) q = Ka/2π Pystytkö selittämään FCC-hilan (tai sen käänteishilan) perusteella poikittaisen värähtelyn degeneraation [100]-suunnassa? Entä miten on [110]-suunnan tapauksessa? Brockhouse et al., Phys. Rev. 128 (1962) 1099

32 Pii (timanttirakenne) Optiset haarat mikä on näiden alkuperä? Ovatko piin optiset haarat oikeasti optisesti aktiivisia? Eivät. Piin (kaksiatomisen) kannan ionit/atomit ovat samanlaiset, joten niiden muodostamalla parilla ei ole dipolimomenttia, eikä tällöin kytkentää sähkömagneettiseen kenttään

33 Ensi kerralla (to 14.4.) Fononin käsite Fononien energia ja (kide)liikemäärä Fononien tilatiheys Sidebottom (ei magnoneita), ,