10. Kvanttikaasu. Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi kl Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja.

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "10. Kvanttikaasu. Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi kl Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja."

Transkriptio

1 Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL24. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 26. Kvanttikaasu

2 Aaltofunktio ja hiukkasten vaihto Tunnettua kvanttimekaniikasta Bosonit Spin kokonaisluku:,,2,... Esim. fotoni, pioni, 4 He,... Monta identtistä bosonia: Aaltofunktio symmetrinen: Ψ(x,x 2 ) = Ψ(x 2,x ) Fermionit Spin puoliluku: /2,3/2,5/2,... Esim. e,p,n, 3 He,... Monta identtistä fermionia: Aaltofunktio antisymmetrinen: Ψ(x,x 2 ) = Ψ(x 2,x ) Bosonit yksihiukkastiloilla a,b: Fermionit yksihiukkastiloilla a,b: Ψ(x,x 2 ) Ψ(x,x 2 ) = 2 (ψ a(x )ψ b (x 2 ) + ψ a(x 2 )ψ b (x )) = 2 (ψ a(x )ψ b (x 2 ) ψ a(x 2 )ψ b (x )) Voi olla a = b = monta hiukkasta samalla tilalla Ei olla a = b = vain yksi hiukkanen samalla tilalla = Paulin kieltosääntö 2

3 Riippumattomat yksihiukkastilat: ei vuorovaikutuksia Oletetaan edelleen ideaalikaasu = ei vuorovaikutuksia Monihiukkastilat ovat yksihiukkastilojen tuloja Systeemin mikrotilan kuvaukseen riitävät Yksihiukkastilat r (tyypillisesti aaltotilat k, joiden luku tilatiheydellä) Tilalla olevien hiukkasten lukumäärä n r (Bosoneille,,2,... ; Fermioneille tai ) Tyypillisesti siis: = tilat s dkf (k) esim. kaasu: f (k) dk = V 2π 2 k 2 dk Esimerkiksi hiukkasten lukumäärä N = n r = tilat r dkf (k) n k 3

4 Suurkanoninen partitiofunktio Yksi tila jolla n hiukkasta = energia nε Yhden tilan tilasummat Z B = e β(ε µ)n = Z F = e β(ε µ) n= e β(ε µ)n = +e β(ε µ) Yhden tilan suuri potentiaali Ω G = k B T ln Z [ Ω B G = k B T ln e β(ε µ)] Ω F G = k B T ln [ + e β(ε µ)] n= Monelle tilalle r =, 2,... : Z = r Zr ja Ω G = r Ω G,r Ω B G = k B T [ ln e β(εr µ)] Ω F G = k B T β(εr ln [ + e µ)] r r ( ) ΩG Hiukkasten lukumäärä N = µ V,T N B = r e β[εr µ) N F = r β(εr + e µ) 4

5 Hiukkasten lukumäärä fluktuoi Huom: hiukkasten kokonaislukumäärä ei kiinteä N = r n r Jokainen n r saa fluktuoida erikseen kemiallisen potentiaalin mukaisesti Laskettiin Z = e β(e µn ) e β(er µnr ) n n r = = [{ ( }}{ δ N )] n r n n 2 r = N e βµn N ei osata laskea e s β(es µns) { (}}{ δ N ) n r e s βes r n n 2 = N e βµn ei osata laskea! {}}{ Z N (T,V ) 5

6 Harva kaasu: klassinen raja Fermi-Dirac [FD] n = exp {β(ε µ)} + Voi olla ε < µ tai ε > µ Bose-Einstein [BE] n MB BE n = Oltava ε > µ exp {β(ε µ)} FD (Jakaumat samalla µ, ei samalla N) β(ε µ) Harvalle kaasulle ε µ: molemmista Maxwell-Boltzmann [MB] n ε µ exp { β(ε µ)} (Miehitysluvut kasvavia µ:n funktioita: harva kaasu on siis pieni µ) Klassiselle ideaalikaasulle tiedettiin jo N = e βµ Z (T,V ) e βµ Pohdittavaa: mikä on suuren lämpötilan raja β? 6

7 Yhteenveto Käytännön laskuissa loppukurssissa tarvitsemme Ideaalisen bosoni- ja fermionikaasu Sallitut k-ominaistilat, laskenta f (k) dk = V 2π 2 gk 2 g = spindegeneraatio, elektronille 2 Dispersiorelaatio ε(k); esim. epärelativistinen kaasu ε(k) = 2 k 2 2m Fermi-Dirac ja Bose-Einstein-miehitysluvut n FD (k) = exp {β (ε k µ)} + n BE (k) = exp {β (ε k µ)} Kertovat kuinka monta hiukkasta tällä tilalla on. n FD (k) 7

8 Fermionikaasu nollalämpötilassa n r = exp {β(ε r µ)} + β θ(µ ε r ) n Tiedetään tilatiheys ja energia f (k) dk = 2 V 2π k 2 dk ε = 2 k 2 2 µ 2m Muuttujanvaihto m dk = ε dε k 2 = 2m V m 3/2 2 ε = f (k) dk = ε dε 2π 2 3 Saadaan hiukkasten lukumäärä N = 2 V m 3/2 2 2π 2 3 µ dε ε = m3/ π 2 µ3/2 V Muista: aina lasketaan N(µ), käännetään µ(n), sijoitetaan f (µ), missä f on muu fysikaalinen suure. Tarvitaan siis kemiallinen potentiaali ( ) 2/3 µ(t = ) = 2 3π 2 N 2m V ε 8

9 Fermiliikemäärä, -energia, -lämpötila,... Oletetaan fermionisysteemi, jolle tunnetaan N,V Nollalämpötilassa laskettiin ( ) 2/3 µ(t = ) = 2 3π 2 N 2m V Määritellään kylmille systeeille hyödylliset fermisuureet: Fermienergia Fermiliikemäärä ( ) 2/3 ε F (N.V ) = 2 3π 2 N = µ(t = ) 2m V ( ) /3 p F (N.V ) = 3π 2 N = ε F (N.V ) = p2 F V 2m Ferminopeus Fermilämpötila v F (N.V ) = p F /m T F (N.V ) = ε F /k B 9

10 Fermipallo ja fermipinta Tulkinta kun T =, hiukkasia on niillä ja vain niillä tiloilla, joiden ε ε F p p F v v F Nämä tilat p-avaruudessa muodostavat fermipallon ε p < ε F jonka pinta on fermipinta ε p = ε F. Kylmä kuuma T T F T T F Käytännössä usein fysiikka lähellä fermipintaa. Kidehila: ei rotaatiosymmetriaa: Fermipallo ei enää ole pallo, esim: Kromin johdinelektronien fermipinta T.-S. Choy, J. Naset, J. Chen, S. Hershfield, and C. Stanton, Bulletin of The American Physical Society, 45():L36 42, 2. [URL]

11 Paine n r T = = θ(µ ε r ) Ω G,r = k B T ln [ + exp { β(ε r µ)}] T = (µ ε r )θ(µ ε r ) Käyttäen samaa tilatiheyttä kuin N:lle n µ ε PV = Ω G T = = r (µ ε r )θ(µ ε r ) = m3/2 2V 3 π 2 Toisin sanoen T = -fermikaasun tilanyhtälö on: = 2 N 5 V µ = 2 (3π 2) 2/ m P T = µ dε ε(µ ε) = m3/2 2V 3 π µ5/2 = 2 5 Nµ ( ) 5/3 N V Kiinteällä N/V paine ei ole P T = ero klassiseen ideaalikaasuun! Paulin kieltosääntö toiminnassa: yritetään puristaa kaasua, tarvitaan energiaa... mihin?

12 Tähden stabiilius: paine ja gravitaatio P(r + dr) P(r) F G Mistä paine syntyy? Tarkastellaan pallokuorta [r,r + dr] Kuoren massa dm = 4πr 2 ρ(r) dr Kuoren sisällä oleva massa M(r): gravitaatiovoima df G = GM(r) dm/r 2 Tämän kompensoi paine-ero P(r) P(r + dr) = df G /4πr 2 = paine keskellä suurin, reunalla nolla Tavallinen tähti: kuuma, harva, klassinen plasma Valkoinen kääpiö: kylmä, tiheä R.R ( =Aurinko) Varauksen säilyminen: N e = N p, paine P (N/V ) 5/3 /m = P e P p Paineen aiheuttaa degeneroitunut (T T F ) elektronikaasu M.4M Chandrasekharin raja = elektronikaasun paine ei voita painovoimaa: supernovaräjähdys Neutronitähti: Vielä tiheämpi M M ja R km ( 5 R ) Paine: neutronikaasun degeneraatio + neutronien välinen ydinvoima Huom tässä kylmä T T F 2

13 Kylmän tähden massa-säde-suhde Suuruusluokka-arviota varten oletetaan tähdelle Tunnettu massa ja hiukkasten lukumäärä M N Tuntematon säde R = V R 3 Tiheys ρ = M/V sama kaikkialla tähdessä Gravitaatioenergia E G GM 2 /R Kaasun energia E g Nε F Epärelativistinen fermikaasu ε F 2 m ( ) 2/3 N = E g 2 V m N5/3 R 2 Minimoimalla E g + E G saadaan säde R M /3 Relativistinen: ε F (N/V ) /3 /( c)= E g N 4/3 R /( c) = ei ehtoa V :lle eli R:lle, sen sijaan vain yksi mahdollinen N tai M 3

14 Massa-sädesuhde.4 Radius (solar radii) Non-relativistic Fermi gas Relativistic Fermi gas Ultra-relativistic limit MCh Mass (solar masses) Lähde: Wikipedia Epärelativistinen kaasu; R M /3 Lähde: A&A 49, L5-L8 (24) Täysin relativistinen kaasu: kiinteä M Todellinen massa-säderelaatio interpoloi näiden välillä Iso R, pieni M: tiheys pieni, ε F m ec 2, v F c: epärelativistinen oikea Pieni R, iso M: tiheys suuri, ε F m ec 2, v F c: lähellä relativistista Täysin relativistinen tapaus antaa massan ylärajan; tämä on Chandrasekharin raja M.4M. 4

15 Pieni lämpötila n r = exp {β(ε r µ)} + Halutaan pienen T :n korjaukset T = -käytökseen T Tarvitaan ns. Sommerfeldin kehitelmää f (ε) µ dε exp {β(ε µ)} + dεf (ε) + π2 6 (k BT ) 2 df (ε) dε + O(T 4 ) µ n µ ε Kehitelmän johto: n(ε) = θ(µ ε) vain ε µ k B T Kehitetään f (ε) Taylorin sarjaksi ε = µ:n ympärillä ja integroidaan termeittäin. n θ(µ ε) ε T 5

16 Hiukkastiheys, energia N = V π 2 m 3/2 2 3 dεn FD (ε) ε = V π 2 m 3/2 2 3 = V π 2 m 3/ µ3/2 ( 2 3 µ3/2 + π2 ( + π2 8 6 (k BT ) 2 T 2 TF 2 (Korjaustermissä korvattu µ(t ) µ() = k B T F, virhe korkeampaa kertalukua T :ssä) Kääntäen ( ) µ(t ) = ε F + π2 T 2 2/3 ) +... ε 8 TF 2 F ( π2 T TF 2 Samoin energia E = V π 2 m 3/2 2 3 ) 2 µ +... ) +... dεn FD (ε) εε = V m 3/2 ) 2 2 ( π µ5/2 + 5π2 T TF 2 Tähän pitää vielä sijoittaa µ(t ), jotta saadaan (HT) E = 2 5 Nε F ( + # T ) 2 T = C V Nk B T F T 2 F 6

17 Sovellus: metallien johtavuuselektronit ε F ε aukko aukko Metalli Kiinteä aine: elektronien energiatilat ovat vöitä Seuraa jaksollisesta potentiaalista kiteessä Tarkemmin mat. fys. kurssilla Johde: ylin vyö osittain täytetty: johdinelektronit Malli: e-e-vuorovaikutukset merkityksettömiä = Johdinelektronit ideaalinen fermionikaasu Johdinelektronien tiheys = T F K = kylmä kaasu Johdinelektronien kylmä fermikaasu = johteiden C V (T ) γt ε F ε aukko Eriste Eriste: fermienergia aukossa Elektronin siirtäminen ylempään vyöhön vaatii liikaa energiaa = ei onnistu pienellä sähkökentällä, lämpötilalla tms. 7

18 Laboratoriotyö: terminen elektroninemissio vapaa ε F ε aukko eφ Irrotustyötyö: energiaero fermipinnalta vapaaksi Lämmitetään metallia: elektroneja pääsee vapaaksi: terminen elektroniemissio Lasketaan virta: tilatiheys = 2V d3 p (2π) 3 = 3 tilat 2 Vm3 (2π) 3 3 d3 v Irtoavat elektronit ε µ: hännässä n FD (ε) exp{β(µ ε)} v z Lasketaan virrantiheys elektroneista, joilla tarpeeksi suuri nopeus z-suuntaan: j = ( ) en e(r) v z θ mvz 2 /2 (µ + eφ) V tilat r 8

19 Richardson-Dusman-yhtälö: termisen elektroniemission virrantiheys j = V tilat r ( ) en e(r)v zθ 2 mv z 2 µ eφ = e 2m3 (2π) 3 3 eβµ 2(µ+eφ)/m dv zv ze βmv2 z /2 = 2 n dv xe βmv2 x /2 = ( d 3 ve βmv2 /2 θ v z ) 2(µ + eφ)/m 2(µ+eφ)/m 2πkB T m dv 2 z e βmv2 z /2 = k BT m e β(µ+eφ) = Richardson-Dusman: j = em 2π 2 3 (k BT ) 2 e eφ/(k B T ) µ µ + eφ ε Labratyössä määritetään eφ. Jakauman hännässä e eφ/k B T elektronia, joilla ε > µ + eφ 9

20 Fysikaalinen tilanne, Stefan-Boltzmann Kokeellisesti Stefan-Boltzmann 879 Energiatiheys u(t ) = at 4 Intensiteetti I(T ) = σt 4 Lämmitetään laatikko T Tarkkaillaan aukosta Seinät absorboivat ja emittoivat lämpösäteliyä (fotoneja) = Kaasu TDTP:ssä laatikon kanssa: Nykyaikaisin notaatioin a = π c k 4 3 B σ = ac/4 Historiallisesti: pitääkö käsitellä s.m. aaltoina, vai hiukkasina? Fotoneja syntyy ja tuhoutuu jatkuvasti: lukumäärä ei säily = ei voida määritellä kemiallista potentiaalia, fotoneille µ =. 2

21 Kvanttimekaaninen fotonikaasu Bosoneja, µ = : Fotonilla 2 spintilaa Lukumäärätiheys n BE (ε) = exp{βε} ε = ω f (k) dk = 2 V 2π 2 k 2 ω = ck = f (ω) dε = V π 2 c 3 ω2 dω dn(ω) = n BE (ω)f (ω) dω = Energiatiheys u dω = ω dn(ω)/v eli V ω 2 π 2 c 3 exp{β ω} dω u(t,ω) dω = ω 3 dω π 2 c 3 exp{β ω} Planckin säteilylaki (9) 2

22 Mustan kappaleen spektri u(t,ω) dω = u(ω) ω 3 dω π 2 c 3 exp{β ω} Lämpötila määrää tyypillisen aallonpituuden (värin) d u(t,ω) = dω = ω max 2.882k B T ω max ω max ω max ω Wienin siirtymälaki Sovelluksia Kuuman kappaleen lämpösäteily Aurinko: T 6K (näkyvä valo) Kosminen taustasäteily 3K (mikroaaltoja) Mustan aukon Hawking-säteily 22

23 Fotonikaasun termodynamiikka: Stefan-Boltzmann Energiatiheys u = dε = π 2 c 3 ω 3 dω π 2 c 3 exp{β ω} ω 3 dω exp{β ω} = Fotonien lukumäärätiheys N V = π 2 c 3 π 2 c 3 dn = V ω 2 dω π 2 c 3 exp{β ω} ( ) 4 kb T x 3 dx e x = (k BT ) 4 π2 6ζ(4) = 3 c 3 π2 5 3 c k BT 4 4 = Stefan-Boltzmann 3 ω 2 dω exp{β ω} = (k BT 3 ) π 2 3 c 3 x 2 dx e x = 2ζ(2) kb 3 π 2 3 c T 3 3 Energiassa kulmaintegraali π dθ sin θ = 2 Intensiteetissä (z-suunta) tämän tilalla c π/2 dθ sin θ cos θ = c/2 = Intensiteetti on I = cu/4. θ ϕ 23

24 Fotonikaasun termodynamiikka: paine ja entropia Tilatiheys Paine P = Ω G V = k BT π 2 c 3 Entropiatiheys S V = V = k BT V = tilat V π 2 c 3 ω2 dω ln [ exp{ β ω}] tilat ω 2 dω ln [ exp{ β ω}] = (k BT ) 4 ( ) ΩG T V,µ = P T k B T 2 d dβ tilat π 2 c 3 3 = (k BT ) 4 π 2 c dxx 2 ln [ e x] x 3 dx e x = 3 u ln [ exp{ β ω}] = = P + u T 24

25 Planck: klassiset rajat u(t,ω) dω = ω 3 dω π 2 c 3 exp{β ω} ω k B T /, Planckin vakio katoaa: u(t,ω) dω Oskillaattorien lukumäärä [{}} ]{ π 2 c 3 ω2 dω Energian ekvipartitio {}}{ [k B T ] Rayleigh-Jeans-laki Klassisten sähkömag. aaltojen klassinen termodynamiikka! Ei voida integroida ω = asti: ns. ultraviolettikatastrofi ω k B T /, ε = ω u(t,ε) dε = π 2 c 3 3 ε3 exp{ βε} dε Klassisten hiukkasten Maxwell-Boltzmann kaasu! Planckin vakio jää, niin kuin klassisessa ideaalikaasussakin Kvanttimekaniikassa hiukkaset aallot Planck: rajatapauksina sekä klassiset aallot että klassiset hiukkaset 25

26 Kvanttistatistiikat Kylma fermionikaasu Fermionikaasu: la mpo tilakorjaukset Musta kappale Bose-Einstein-kondensaatti Bosonit matalilla la mpo tiloilla supranestevideo He muuttuu 2K:ssa suprajuoksevaksi I I Faasitransitio, esim. la mpo kapasiteetti divergoi Kylma faasi supraneste: virtaa ilman vastusta. 4 He vahvasti vuorovaikuttava neste: Ideaalinen Bose-kaasu vain kvalitatiivinen kuvaus Muita suprailmio ita : I Myo s 3 He suprajuoksevaa! I Suprajohtavuus: johdinelektronien Cooperin parit era a nlainen supraneste Ideaalikaasun Bose-Einstein-kondensaatti Nobel 2 Cornell, Ketterle, Wieman url Achievement of Bose-Einstein condensation in dilute gases of alkali atoms p / bar T/K Faasidiagramma La hde: Wikipedia La mpo kapasiteetti La hde: Wikipedia 26

27 Kylmän bosonikaasun tiheys Lähdetään laskemaan tiheyttä (µ <, muuten summa Z n= eβµn ei konvergoi) N V = m 3/2 2 2π 2 3 ε dε exp {β(ε µ)}, N kasvaa, kun µ kasvaa N pienenee, kun β kasvaa, eli kun T = Jotta N vakio, on kasvatettava µ:ta kun T (Muistetaan myös fermioneille ( µ/ T ) N < ) Mitä tapahtuu, kun µ =? N max V = m 3/2 2 ε dε 2π 2 3 exp {βε} = (k B Tm) 3/2 2 2π 2 3 x dε e x Tarvitaan taas ζ-funktiota x dε e x = n= e nx x dx = π 2 Tunnistetaan terminen de Broglie-aallonpituus N max V = (k B Tm) 3/2 (2π) 3/2 3 n 3/2 = n= ζ(3/2) = ζ(3/2) λ 3 D (T ) π 2 ζ(3/2) 27

28 Kriittinen lämpötila Saatiin suurin mahdollinen tiheys N V N(µ = ) V (k B Tm) 3/2 = (2π) 3/2 3 ζ(3/2) = ζ(3/2) 3/2 T λ 3 D (T ) Fysikaalinen tilanne: kiinteä N/V, jäähdytetään. Nyt kuitenkin näennäisesti ( ) 2/3 2 T T c = 2π ζ(3/2) k B m ( ) 2/3 N V Mitä tapahtuu kun T T c? Tarkasteltava erikseen perustila ε =, joka ei mukana integraalissa. Perustilalla ε = on makroskooppinen määrä N hiukkasia = kondensaatti. Eli kun T T c, on N = N ζ(3/2) λ 3 D N ( ) 3/2 T N = T c 28

29 Tavalliset hiukkaset ja kondensaatti ( ) 2/3 2 T c = 2π ζ(3/2) k B m ( ) 2/3 N V Kun lämpötila T < T c, kaasussa kaksi komponenttia [ ( ) ] 3/2 T N = N T c ( ) 3/2 T N ε> = N T c Kondensaatti, N hiukkasta Tavallinen kaasu, loput N N ε> T Vrt. Nobel 962: Landaun 2-nestemalli suprajuoksevalle 4 He:lle. T c 29

30 Energia ja lämpökapasiteetti Kondensaatissa ei energiaa, entropiaa. Muualla E(µ = ) = V m 3/2 2π 2 3 = V m 3/2 2π 2 εε dε e βε = 3 (k B T ) 5/2 3 V m 3/2 2π 2 π 3 (k B T ) 5/2 4 ζ(5/2) = Vk BT λ 3 D Lämpökapasiteetti T < T c:llä on (E T 5/2 = T E = (5/2)E/T ) x 3/2 dx e x 3 2 ζ(5/2) C V = 5 Vk B 2 λ 3 D ζ(5/2) ζ(5/2) = 4 ζ(3/2) k BN ε> = C V (3/2)Nk B kun T tiedetään (T > T c poikkeama tästä on ylöspäin, voidaan laskea) C V, kun T : Bosonikaasulle hituja kondensaattiin ilman energiaa.,93 {}}{ ( 5 ζ(5/2) T 4 ζ(3/2) k BN C V /(k B N) 3/2 T c ) 3/2 T T c 3

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta

Lisätiedot

Statistinen fysiikka, osa B (FYSA2042)

Statistinen fysiikka, osa B (FYSA2042) Käytännön asioita Statistinen fysiikka, osa B (FYSA2042) Kimmo Kainulainen kimmo.kainulainen@jyu.fi Huone: FL220. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2018 Käytännön asioita 1 Käytännön asioita Ajat, paikat,

Lisätiedot

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella

Lisätiedot

Z 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2

Z 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2 766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.

Lisätiedot

8. Klassinen ideaalikaasu

8. Klassinen ideaalikaasu Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 8. Klassinen ideaalikaasu 1 Fysikaalinen tilanne Muistetaan: kokeellisesti

Lisätiedot

FERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9.1, 9.2) Metallien johtavuuselektronit

FERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9.1, 9.2) Metallien johtavuuselektronit FERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9., 9.) Metallien johtavuuselektronit Tyypillinen esimerkki lähes ideaalisesta fermionisysteemistä on metallin johtavuuselektronien muodostama järjestelmä. Metallissa atomien ulkokuorten

Lisätiedot

Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1

Mikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1 76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset

Lisätiedot

Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242)

Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Käytännön asioita Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 Käytännön asioita 1 Käytännön asioita Ajat, paikat, käytännöt

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 9: Fotonit ja relativistiset kaasut Ke 30.3.2016 1 AIHEET 1. Fotonikaasun termodynamiikkaa.

Lisätiedot

11 Kvantti-ideaalikaasu

11 Kvantti-ideaalikaasu 35 Kvantti-ideaalikaasu - Kvanttistatistiikka Kappaleessa 9 tarkasteltiin klassisissa olosuhteissa esiintyvää ideaalikaasua. Tällaisessa kaasussa molekyylien tavoitettavissa on niin paljon yksihiukkastiloja,

Lisätiedot

6. Yhteenvetoa kurssista

6. Yhteenvetoa kurssista Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 6. Yhteenvetoa kurssista 1 Keskeisiä käsitteitä I Energia TD1, siirtyminen lämpönä

Lisätiedot

BOSONIJÄRJESTELMÄT (AH 8.1, 8.2) Bosekondensaatio

BOSONIJÄRJESTELMÄT (AH 8.1, 8.2) Bosekondensaatio BOSONIJÄRJESTELMÄT (AH 8.1, 8.2) Bosekondensaatio Atomien aaltoluonne tulee parhaiten esiin matalissa lämpötiloissa, jossa niiden terminen de Broglien aallonpituus λ T = h2 2πmT lähestyy niiden keskimääräistä

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 7: Ekvipartitioteoreema, partitiofunktio ja ideaalikaasu Ke 16.3.2016 1 KURSSIN

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

Miksi tarvitaan tilastollista fysiikkaa?

Miksi tarvitaan tilastollista fysiikkaa? Miksi tarvitaan tilastollista fysiikkaa? cm 3 kaasua NTP ssä ~ 3 9 molekyyliä P, T? (paine ja lämpötila?) tarvitaan joitakin estimaatteja jokaisen hiukkasen dynaamisesta tilasta, todennäköisyysjakaumia

Lisätiedot

1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta

1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta 766328A Termofysiikka Harjoitus no. 5, ratkaisut syyslukukausi 204). Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta E n n + ) ω, n 0,, 2,... 2 a) Oskillaattorin partitiofunktio

Lisätiedot

Mustan kappaleen säteily

Mustan kappaleen säteily Mustan kappaleen säteily Musta kappale on ideaalisen säteilijän malli, joka absorboi (imee itseensä) kaiken siihen osuvan säteilyn. Se ei lainkaan heijasta eikä sirota siihen osuvaa säteilyä, vaan emittoi

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.

Lisätiedot

Fysiikka 8. Aine ja säteily

Fysiikka 8. Aine ja säteily Fysiikka 8 Aine ja säteily Sähkömagneettinen säteily James Clerk Maxwell esitti v. 1864 sähkövarauksen ja sähkövirran sekä sähkö- ja magneettikentän välisiä riippuvuuksia kuvaavan teorian. Maxwellin teorian

Lisätiedot

FERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9.1, 9.2) Metallien johtavuuselektronit

FERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9.1, 9.2) Metallien johtavuuselektronit FERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9., 9.) Metallien johtavuuselektronit Tyypillinen esimerkki lähes ideaalisesta fermionisysteemistä on metallin johtavuuselektronien muodostama järjestelmä. Metallissa atomien ulkokuorten

Lisätiedot

Luento 8. Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli. Sähkönjohtavuus Druden malli

Luento 8. Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli. Sähkönjohtavuus Druden malli Luento 8 Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli Sähkönjohtavuus Druden malli Klassiset C V -mallit Termodynamiikka kun Ei ennustetta arvosta! Klassinen

Lisätiedot

1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus

1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 8: Kemiallinen potentiaali, suurkanoninen ensemble Pe 18.3.2016 1 AIHEET 1. Kanoninen

Lisätiedot

ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4)

ψ(x) = A cos(kx) + B sin(kx). (2) k = nπ a. (3) E = n 2 π2 2 2ma 2 n2 E 0. (4) 76A KIINTEÄN AINEEN FYSIIKKA Ratkaisut 4 Kevät 214 1. Tehtävä: Yksinkertainen malli kovalenttiselle sidokselle: a) Äärimmäisen yksinkertaistettuna mallina elektronille atomissa voidaan pitää syvää potentiaalikuoppaa

Lisätiedot

3. Statistista mekaniikkaa

3. Statistista mekaniikkaa Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Kvanttimekaniikka: diskreetit

Lisätiedot

Tfy Fysiikka IIB Mallivastaukset

Tfy Fysiikka IIB Mallivastaukset Tfy-.14 Fysiikka B Mallivastaukset 14.5.8 Tehtävä 1 a) Lenin laki: Muuttuvassa magneettikentässä olevaan virtasilmukkaan inusoitunut sähkömotorinen voima on sellainen, että siihen liittyvän virran aiheuttama

Lisätiedot

TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko

TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko 1 TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä

Lisätiedot

TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko

TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä

Lisätiedot

1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria

1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.

Lisätiedot

Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242)

Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi kl 26 Ajat, paikat, käytännöt Ajan tasalla olevat tiedot kurssin kotisivulta http://users.jyu.fi/ tulappi/fysa242kl6/. Luennot:

Lisätiedot

J 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.

J 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z. FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,

Lisätiedot

kertausta Boltzmannin jakauma infoa Ideaalikaasu kertausta Maxwellin ja Boltzmannin vauhtijakauma

kertausta Boltzmannin jakauma infoa Ideaalikaasu kertausta Maxwellin ja Boltzmannin vauhtijakauma infoa kertausta Boltzmannin jakauma Huomenna itsenäisyyspäivänä laitos on kiinni, ei luentoa, ei laskareita. Torstaina laboratoriossa assistentit neuvovat myös laskareissa. Ensi viikolla tiistaina vielä

Lisätiedot

4. Termodynaamiset potentiaalit

4. Termodynaamiset potentiaalit Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) uomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 4. ermodynaamiset potentiaalit 1 asapainotila Mikrokanoninen ensemble Eristetty

Lisätiedot

Wien R-J /home/heikki/cele2008_2010/musta_kappale_approksimaatio Wed Mar 13 15:33:

Wien R-J /home/heikki/cele2008_2010/musta_kappale_approksimaatio Wed Mar 13 15:33: 1.2 T=12000 K 10 2 T=12000 K 1.0 Wien R-J 10 0 Wien R-J B λ (10 15 W/m 3 /sterad) 0.8 0.6 0.4 B λ (10 15 W/m 3 /sterad) 10-2 10-4 10-6 10-8 0.2 10-10 0.0 0 200 400 600 800 1000 nm 10-12 10 0 10 1 10 2

Lisätiedot

Osallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai

Osallistumislomakkeen viimeinen palautuspäivä on maanantai Jakso : Materiaalihiukkasten aaltoluonne. Teoriaa näihin tehtäviin löytyy Beiserin kirjasta kappaleesta 3 ja hyvin myös peruskurssitasoisista kirjoista. Seuraavat videot demonstroivat vaihe- ja ryhmänopeutta:

Lisätiedot

Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot

Nyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan

Lisätiedot

1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori

1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa

Lisätiedot

FYSA2031 Potentiaalikuoppa

FYSA2031 Potentiaalikuoppa FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali

Lisätiedot

Aikariippuva Schrödingerin yhtälö

Aikariippuva Schrödingerin yhtälö Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin

Lisätiedot

1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit

1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian

Lisätiedot

3. Statistista mekaniikkaa

3. Statistista mekaniikkaa FYSA241, kevät 2012 Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Muistelua johdanto-osasta: Kvanttimekaniikassa

Lisätiedot

Käyttämällä annettua kokoonpuristuvuuden määritelmää V V. = κv P P = P 0 = P. (b) Lämpölaajenemisesta johtuva säiliön tilavuuden muutos on

Käyttämällä annettua kokoonpuristuvuuden määritelmää V V. = κv P P = P 0 = P. (b) Lämpölaajenemisesta johtuva säiliön tilavuuden muutos on 766328A ermofysiikka Harjoitus no. 3, ratkaisut (syyslukukausi 201) 1. (a) ilavuus V (, P ) riippuu lämpötilasta ja paineesta P. Sen differentiaali on ( ) ( ) V V dv (, P ) dp + d. P Käyttämällä annettua

Lisätiedot

= 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6,

= 84. Todennäköisin partitio on partitio k = 6, S-435, Fysiikka III (ES) entti 43 entti / välikoeuusinta I Välikokeen alue Neljän tunnistettavissa olevan hiukkasen mikrokanonisen joukon mahdolliset energiatasot ovat, ε, ε, 3ε, 4ε,, jotka kaikki ovat

Lisätiedot

KULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta

Lisätiedot

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 10, ratkaisut (syyslukukausi 2014)

766328A Termofysiikka Harjoitus no. 10, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 7668A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 4). Johdetaan yksiatomisen klassisen ideaalikaasun kemiallisen potentiaalin µ(t,, N) lauseke. (a) Luentojen yhtälön mukaan kemiallinen potentiaali

Lisätiedot

1. Johdanto. FYSA241, kevät Tuomas Lappi kl Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja.

1. Johdanto. FYSA241, kevät Tuomas Lappi kl Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. FYSA241, kevät 2012 Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 1. Johdanto 1 Ajat, paikat Luennot: 20h ma, ke klo 10.15, FYS1,, 9.1.-22.2 Demot: 10h, ke

Lisätiedot

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 1: Lämpötila ja Boltzmannin jakauma Ke 24.2.2016 1 YLEISTÄ KURSSISTA Esitietovaatimuksena

Lisätiedot

m h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0,

m h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0, 76638A Termofysiikka Harjoitus no. 9, ratkaisut syyslukukausi 014) 1. Vesimäärä, jonka massa m 00 g on ylikuumentunut mikroaaltouunissa lämpötilaan T 1 110 383,15 K paineessa P 1 atm 10135 Pa. Veden ominaislämpökapasiteetti

Lisätiedot

kertausta edellisestä seuraa, että todennäköisimmin systeemi löydetään sellaisesta mikrotilasta, jollaisia on

kertausta edellisestä seuraa, että todennäköisimmin systeemi löydetään sellaisesta mikrotilasta, jollaisia on tavoitteet kertausta Tiedät mitä on Boltzmann-jakauma ja osaat soveltaa sitä Ymmärrät miten päädytään kaasumolekyylien nopeusjakaumaan Ymmärrät kuinka voidaan arvioida hiukkasen vapaa matka Kaikki mikrotilat,

Lisätiedot

Kvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi

Kvantittuminen. E = hf f on säteilyn taajuus h on Planckin vakio h = 6, Js = 4, evs. Planckin kvanttihypoteesi Kvantittuminen Planckin kvanttihypoteesi Kappale vastaanottaa ja luovuttaa säteilyä vain tietyn suuruisina energia-annoksina eli kvantteina Kappaleen emittoima säteily ei ole jatkuvaa (kvantittuminen)

Lisätiedot

S , Fysiikka III (S) I välikoe Malliratkaisut

S , Fysiikka III (S) I välikoe Malliratkaisut S-4.35, Fysiikka III (S) I välikoe 9.0.000 Malliratkaisut Tehtävä Kuution uotoisessa säiliössä, jonka särän pituus on 0,0, on 3,0 0 olekyyliä happea (O) 300 K läpötilassa. a) Kuinka onta kertaa kukin olekyyli

Lisätiedot

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241)

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 0. Käytännön asioita 1 Ajat, paikat Ajan tasalla olevat tiedot kurssin kotisivulta

Lisätiedot

TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)

TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on

Lisätiedot

4. Termodynaamiset potentiaalit

4. Termodynaamiset potentiaalit FYSA241, kevät 2012 uomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 4. ermodynaamiset potentiaalit 1 asapainotila Mikrokanoninen ensemble Eristetty järjestelmä

Lisätiedot

Aineaaltodynamiikkaa

Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit = kuinka hiukkasen fysikaaliset

Lisätiedot

1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV =

1240eV nm. 410nm. Kun kappaleet saatetaan kontaktiin jännite-ero on yhtä suuri kuin työfunktioiden erotus ΔV = S-47 ysiikka III (ST) Tentti 88 Maksimiaallonpituus joka irroittaa elektroneja metallista on 4 nm ja vastaava aallonpituus metallille on 8 nm Mikä on näiden metallien välinen jännite-ero? Metallin työfunktio

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta

S Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,

Lisätiedot

KVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA

KVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka KVANTTITEORIA Metso Tampere 13.11.2005 MODERNI

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241)

Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 1 Ajat, paikat 0. Käytännön asioita Ajan tasalla olevat tiedot kurssin kotisivulta

Lisätiedot

Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)

Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen) Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,

Lisätiedot

Shrödingerin yhtälön johto

Shrödingerin yhtälön johto Shrödingerin yhtälön johto Tomi Parviainen 4. maaliskuuta 2018 Sisältö 1 Schrödingerin yhtälön johto tasaisessa liikkeessä olevalle elektronille 1 2 Schrödingerin yhtälöstä aaltoyhtälöön kiihtyvässä liikkeessä

Lisätiedot

Kvanttifysiikan perusteet 2017

Kvanttifysiikan perusteet 2017 Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,

Lisätiedot

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 16. lokakuuta 2013 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan

Lisätiedot

Suurkanoninen joukko

Suurkanoninen joukko Suurkanoninen joukko Suurkanonisessa joukossa systeemi on kanonisen joukon tavoin yhdistettynä lämpökylpyyn, mutta nyt systeemin ja kylvyn väliset (kuvitellut) seinät läpäisevät energian lisäksi myös hiukkasia

Lisätiedot

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö

FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 13. lokakuuta 2014 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan

Lisätiedot

Suurkanoninen joukko

Suurkanoninen joukko Suurkanoninen joukko Suurkanonisessa joukossa systeemi on kanonisen joukon tavoin yhdistettynä lämpökylpyyn, mutta nyt systeemin ja kylvyn väliset (kuvitellut) seinät läpäisevät energian lisäksi myös hiukkasia

Lisätiedot

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017 PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 5: Termodynaamiset potentiaalit Maanantai 27.11. ja tiistai 28.11. Kotitentti Julkaistaan ti 5.12., palautus viim. ke 20.12.

Lisätiedot

Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.

Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

KLASSISET TASAPAINOJOUKOT (AH 4.3, , 7.2) Yleisesti joukoista

KLASSISET TASAPAINOJOUKOT (AH 4.3, , 7.2) Yleisesti joukoista KLASSISET TASAPAINOJOUKOT (AH 4.3, 6.1-6.7, 7.2) 1 Yleisesti joukoista Seuraavaksi tarkastelemme konkreettisella tasolla erilaisia termodynaamisia ensemblejä eli joukkoja, millä tarkoitamme tiettyä makrotilaa

Lisätiedot

780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op

780392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op 78392A/782631S Fysikaalinen kemia II, 5 op / 4 op Luennot: 5.9.-15.11.216 Ma klo 8-1 PR12 Ti klo 12-14 PR12 Risto Laitinen (22.2.-14.3.) Epäorgaanisen kemian tutkimusyksikkö (KE 313) PL 3 914 Oulun yliopisto

Lisätiedot

S Fysiikka III (Est), 2 VK Malliratkaisut (Arvosteluperusteita täydennetään vielä)

S Fysiikka III (Est), 2 VK Malliratkaisut (Arvosteluperusteita täydennetään vielä) S-.7 Fysiikka III (st), VK 8.5.008 Malliratkaisut (Arvosteluperusteita täydennetään vielä). Näytä, että sekä symmetrinen aaltofunktio ψn( x ) ψn ( x) + ψn( x) ψn, että antisymmetrinen aaltofunktioψn( x)

Lisätiedot

Tilat ja observaabelit

Tilat ja observaabelit Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ

Lisätiedot

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen

Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen KEMA221 2009 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET ATKINS LUKU 4 1 PUHTAAN AINEEN FAASIMUUTOKSET Esimerkkejä faasimuutoksista? Tässä luvussa keskitytään faasimuutosten termodynaamiseen kuvaukseen Faasi = aineen

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Touko Herranen Toni Mäkelä Luento 11: Faasitransitiot Ke 29.3.2017 1 AIHEET 1. 1. kertaluvun transitioiden (esim.

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / MS-A3x Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, IV/6 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Mallit laskuharjoitukseen 3 / 9..-.3. Avaruusintegraalit ja muuttujanvaihdot Tehtävä 3: Laske sopivalla muunnoksella

Lisätiedot

ja KVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA

ja KVANTTITEORIA MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA ja KVANTTITEORIA 1 MODERNI FYSIIKKA KVANTTITEORIAN SYNTY AALTO HIUKKAS-DUALISMI EPÄTARKKUUSPERIAATE TUNNELOITUMINEN ELEKTRONIRAKENNE UUSI MAAILMANKUVA Fysiikka WYP2005 ja KVANTTITEORIA 24.1.2006 WYP 2005

Lisätiedot

Puhtaan kaasun fysikaalista tilaa määrittävät seuraavat 4 ominaisuutta, jotka tilanyhtälö sitoo toisiinsa: Paine p

Puhtaan kaasun fysikaalista tilaa määrittävät seuraavat 4 ominaisuutta, jotka tilanyhtälö sitoo toisiinsa: Paine p KEMA221 2009 KERTAUSTA IDEAALIKAASU JA REAALIKAASU ATKINS LUKU 1 1 IDEAALIKAASU Ideaalikaasu Koostuu pistemäisistä hiukkasista Ei vuorovaikutuksia hiukkasten välillä Hiukkasten liike satunnaista Hiukkasten

Lisätiedot

Ydin- ja hiukkasfysiikka 2014: Harjoitus 5 Ratkaisut 1

Ydin- ja hiukkasfysiikka 2014: Harjoitus 5 Ratkaisut 1 Ydin- ja hiukkasfysiikka 04: Harjoitus 5 Ratkaisut Tehtävä a) Vapautunut energia saadaan laskemalla massan muutos reaktiossa: E = mc = [4(M( H) m e ) (M( 4 He) m e ) m e ]c = [4M( H) M( 4 He) 4m e ]c =

Lisätiedot

XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II

XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II XFYS4336 Havaitseva tähtitiede II Silja Pohjolainen Kaj Wiik Tuorlan observatorio Kevät 2014 Osa kuvista on lainattu kirjasta Wilson, Rohlfs, Hüttemeister: Tools of Radio astronomy XFYS4336 Havaitseva

Lisätiedot

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016

PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 6: Faasimuutokset Maanantai 5.12. Kurssin aiheet 1. Lämpötila ja lämpö 2. Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö 3. Lämpövoimakoneet

Lisätiedot

S Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe

S Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe S-114.1327 Fysiikka III (EST) (6 op) 1. välikoe 1.3.21 Ilkka Tittonen 1. Vastaa seuraaviin kysymyksiin perustellusti, mutta ytimekkäästi (esim. 5-1 lausetta) (2p per kohta). a) Mikä on sidottu tila? Anna

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ

I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ I PERUSKÄSITTEITÄ JA MÄÄRITELMIÄ 1.1 Tilastollisen fysiikan ja termodynamiikan tutkimuskohde... 2 1.2 Mikroskooppiset ja makroskooppiset teoriat... 3 1.3 Terminen tasapaino ja lämpötila... 5 1.4 Termodynamiikan

Lisätiedot

Astrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut

Astrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut Astrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut 1 a Kaasuseoksen komponentin i vapaa energia voidaan kirjoittaa F i (N,T,V = ln Z i (T,V missä on ko hiukkasten lukumäärä tilavuudessa

Lisätiedot

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA

PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 10: Reaalikaasut Pe 1.4.2016 1 AIHEET 1. Malleja, joissa pyritään huomioimaan

Lisätiedot

FYSA240/4 (FYS242/4) TERMINEN ELEKTRONIEMISSIO

FYSA240/4 (FYS242/4) TERMINEN ELEKTRONIEMISSIO FYSA240/4 (FYS242/4) TERMINEN ELEKTRONIEMISSIO Työssä tutkitaan termistä elektroniemissiota volframista, todetaan Stefanin - Boltzmannin lain paikkansapitävyys ja Richardsonin - Dushmanin yhtälön avulla

Lisätiedot

8. MONIELEKTRONISET ATOMIT

8. MONIELEKTRONISET ATOMIT 8. MONIELEKTRONISET ATOMIT 8.1. ELEKTRONIN SPIN Epärelativistinen kvanttimekaniikka selittää vetyatomin rakenteen melko tarkasti, mutta edelleen kokeellisissa atomien energioiden mittauksissa oli selittämättömiä

Lisätiedot

3. Statistista mekaniikkaa

3. Statistista mekaniikkaa Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Kvanttimekaniikka: diskreetit

Lisätiedot

Hiukkasfysiikka. Katri Huitu Alkeishiukkasfysiikan ja astrofysiikan osasto, Fysiikan laitos, Helsingin yliopisto

Hiukkasfysiikka. Katri Huitu Alkeishiukkasfysiikan ja astrofysiikan osasto, Fysiikan laitos, Helsingin yliopisto Hiukkasfysiikka Katri Huitu Alkeishiukkasfysiikan ja astrofysiikan osasto, Fysiikan laitos, Helsingin yliopisto Nobelin palkinto hiukkasfysiikkaan 2013! Robert Brout (k. 2011), Francois Englert, Peter

Lisätiedot

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016

PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 6: Vapaaenergia Pe 11.3.2016 1 AIHEET 1. Kemiallinen potentiaali 2. Maxwellin

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Suhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6

Suhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6 Suhteellisuusteorian perusteet, harjoitus 6 May 5, 7 Tehtävä a) Valo kulkee nollageodeettia pitkin eli valolle pätee ds. Lisäksi oletetaan valon kulkevan radiaalisesti, jolloin dω. Näin ollen, kun K, saadaan

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä

Lisätiedot

Jukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2

Jukka Tulkki 8. Laskuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 3.4 klo 12:00 mennessä. x 2 S 437 Fysiikka III Kevät 8 Jukka Tulkki 8 askuharjoitus (ratkaisut) Palautus torstaihin 34 klo : mennessä Assistentit: Jaakko Timonen Ville Pale Pyry Kivisaari auri Salmia (jaakkotimonen@tkkfi) (villepale@tkkfi)

Lisätiedot

Puolijohteet. luku 7(-7.3)

Puolijohteet. luku 7(-7.3) Puolijohteet luku 7(-7.3) Metallit vs. eristeet/puolijohteet Energia-aukko ja johtavuus gap size (ev) InSb 0.18 InAs 0.36 Ge 0.67 Si 1.11 GaAs 1.43 SiC 2.3 diamond 5.5 MgF2 11 Valenssivyö Johtavuusvyö

Lisätiedot

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt

Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoituskokoelmat 4 ja 5, kevät 2011 Palautus Eemeli Blåstenille to 23.6. klo 16.00 mennessä 1. Ratkaise Dirichlet ongelma u(x, y) = 0, x 2 + y 2 < 1, u(x, y) = y + x 2,

Lisätiedot

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö

Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö Esimerkki 1 Ratkaise differentiaaliyhtälö x 2 y xy =1/x. 1 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi MApu II 1/20 20 Esimerkki 2 Ratkaise differentiaaliyhtälö x(ln y)y y ln x =0. 2 / K. Tuominen kimmo.i.tuominen@helsinki.fi

Lisätiedot

S , Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta

S , Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta S-445, Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta 43 välikokeen alue ristetyssä astiassa, jonka lämötila idetään, kelvinissä, on nestemäistä heliumia tasaainossa helium kaasun kanssa Se on erotettu toisesta

Lisätiedot