TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko
|
|
- Veikko Oksanen
- 6 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä mikrokanoninen joukko eli ensemble. Sen tiheysoperaattori rakennetaan vaatimalla, että systeemiä vastaavien mahdollisten mikrotilojen energia on välillä [E, E + E] ja maksimoimalla tilastollinen entropia tällä reunaehdolla. Analogisesti klassisen faasiavaruuden todennäköisyystiheyden kanssa määrittelemme nyt tiheysoperaattorin 1 ϱ E = 1 Z E [θ(e + E Ĥ) θ(e Ĥ)], missä normitusvakio eli mikrokanoninen partitiofunktio (tilasumma) saa selvästi tilakertymäfunktion avulla muodon Z E = J(E + E) J(E). Kapealla energiaviipaleella voidaan kirjoittaa myös Z E = ω(e) E, missä ω(e) on tilatiheys. On helppo tehtävä tarkistaa, että yo. operaattori täyttää kaikki tiheysoperaattorilta vaadittavat aksioomat, vaikka ei olekaan eksplisiittisesti muotoa ϱ = α p α Ψ α Ψ α. Aivan kuten klassisessa tapauksessa, saadaan mikrokanoniselle entropialle helposti muoto S = Tr ϱ E ln ϱ E = ln Z E = ln[j(e + E) J(E)] = ln[ω(e) E] ln ω(e), missä olemme toisen yhtäsuuruusmerkin kohdalla käyttäneet hyväksi sitä, että funktio x ln x käviää kun x = 0 tai 1, ja aivan lopussa termi ln E on jätetty suhteellisesti vähäpätöisenä pois (tämän oikeutus osoitetaan tarkemmin myöhemmin). Yhteys termodynamiikkaan saadaan puolestaan samaistamalla S tilastollinen = S termo, jolloin 1 T = ( S E ) V,N = E ln Z E = ln ω(e, V, N). E
2 Käänteinen lämpötila voidaan siis samaistaa tilatiheyden logaritmin kasvunopeuden kanssa, mikä on varsin epätriviaali ja mielenkiintoinen tulos. Esimerkki: N:n vapaan hiukkasen systeemin entropia Käyttämällä edellisellä luennolla johdettua tilatiheyden kaavaa, saadaan S = ln ω N (E) E = ln ( (C 2V) N E 3N 2 1 N! Γ ( 3N 2 ) E) = N ln(c 2 VE 3/2 ) ln (N! Γ ( 3N 2 )) + ln E E, C 2 = g(2πm)3/2 h 3. Suurille N:n arvoille pätee Stirlingin approksimaatio (harjoitustehtävä 2/4): ln Γ(N + 1) = ln N! = N ln N N + O(ln N), missä N on oletettu suureksi positiiviseksi reaaliluvuksi (kokonaislukuisuudella ei merkitystä). Näin saadaan S = N ln(c 2 VE 3/2 ) N(ln N 1) 3N 2 joten tällä tarkkuudella (ln 3N 2 1) + ln E E + O(ln N) S = N { ln ( C 2 VE 3 2 N ( 3N 3 2 ) 2 ) } + ln E E + O(ln N). Kaksi viimeistä termiä ovat pieniä (logaritmisia) termodynaamisella rajalla. Siispä Käyttämällä tässä relaaatiota S N (ln gv 3/2 h 3 N (4πmE 3N ) ). T = 1 1 = ( S E) V,N 3N/2E = 2E 3N 2
3 saadaan edelleen S = N (ln V N ln T + 3 2πm ln 2 h ), joka yhtyy täsmälleen Statistisen mekaniikan kurssilla tehdyn klassisen laskun tulokseen. Huomaa kuitenkin, että kun klassisessa tapauksessa Planckin vakion esiintyminen tuloksessa perustui (periaatteessa mielivaltaiseen) klassisen faasiavaruuden integroimismitan valintaan, niin nyt h:n esiintyminen tuloksessa on luonnollinen seuraus tilatiheyden lausekkeesta. Yllä suoritettu esimerkkilasku osoittaa: Energiaviipaleen paksuudella ei ole oleellista merkitystä entropian kaavassa (sen kontribuutio ei ole ekstensiivinen), vaan entropia voidaan laskea suoraan relaatiosta S(E) = ln ω(e). Ilman tekijää 1 tilatiheydessä ei entropiasta tule ekstensiivistä suuretta N! (S ~ N) termodynaamisella rajalla. Kanoninen joukko Jälleen täysin analogisesti klassisen tilastollisen mekaniikan kanssa määrittelemme kanonisen joukon todennäköisyysjakauman ρ operaattorina, joka maksimoi tilastollisen entropian lausekkeen reunaehtojen H = Tr ρ H = E ja Tr ρ = 1 vallitessa, mikä vastaa sitä, että systeemi on ns. lämpökylvyssä eli vaihtaa lämpöä ympäristönsä kanssa. Minimoitavaksi variaatiofunktionaaliksi saadaan Lagrangen kertoimien λ ja λ avulla nyt jonka differentiaalin haluamme häviävän. Lasketaan ensin entropian differentiaali Φ = S λ(tr ρ H E) λ (Tr ρ 1), δs = δ(tr ρ ln ρ ) = [Tr(ρ + δρ ) ln(ρ + δρ ) Tr ρ ln ρ ] + = [Trρ ln(ρ + δρ ) + Tr δρ ln ρ Tr ρ ln ρ ] +, 3
4 missä olemme jättäneet toisen kertaluvun differentiaalit huomiotta. Oletetaan nyt, että on olemassa sellainen tiheysoperaattorin käänteisoperaattori ρ 1, jolle ρ ρ 1 = 1 (tämä ei ole itsestäänselvää, mutta nähdään myöhemmin tässä tapauksessa paikkansapitäväksi). Tällöin voimme selvästi kirjoittaa ρ + δρ = ρ (1 + ρ 1 δρ ) ja edelleen ln(1 + ρ 1 δρ ) = ρ 1 δρ +, joiden avulla saamme δs = [Trρ ln ρ + Trρ ln(1 + ρ 1 δρ ) + Trδρ ln ρ Tr ρ ln ρ ] + Toisaalta johdetaan helposti = Tr(1 + ln ρ )δρ. δ[λ(tr ρ H E) + λ (Trρ 1)] = Tr(λH + λ )δρ, joten kaikkiaan saamme ekstremointiehdoksi δφ = δ[s λ( H E) λ (Trρ 1)] = Tr( ln ρ 1 λh λ )δρ = 0 ln ρ = 1 λh λ ρ = e 1 λ e λh. Merkitsemällä nyt λ β, ja e 1 λ 1/Z olemme saaneet lopputulokseksi kanonisen ensemblen tiheysoperaattorin muodon ρ = 1 Z e βh, missä β tullaan pian identifioimaan käänteisen lämpötilan kanssa. Normitusvakio Z on puolestaan kanoninen partitiofunktio (tilasumma) joka energiakannassa lausuttuna on Z = Tr e βh, Z = e βe n n = de δ(e E n ) e βe = deω(e)e βe n Kanoninen tilasumma on siis tilatiheyden ω(e) Laplace-muunnos. 4
5 Yleisen tilan Ψ esiintymistodennäköisyys kanonisessa joukossa saa nyt muodon p Ψ = P Ψ = Tr ρ P Ψ = 1 Z Ψ e βh Ψ, ja erityisesti energian ominaistilojen n todennäköisyydet ovat p n = 1 Z e βe n. Yhden hiukkasen kanonista jakaumaa sanotaan Boltzmannin jakaumaksi; jos yhden hiukkasen energiat ovat E n, niin Z 1 = e βe n n ja p n = 1 Z 1 e βe n. Kanoninen joukko: entropia, lämpötila ja vapaa energia Kanonisen joukon tiheysoperaattorissa esiintyvän parametrin β yhteys lämpötilaan johdetaan samaan tapaan kuin klassisessa kanonisessa ensemblessä. Entropialle ja sen variaatiolle (lämpötilan ja siitä riippuvien parametrien suhteen) saadaan helposti jossa toisaalta S = Tr ρ ln ρ = Tr ρ ( ln Z βh ) = ln Z + β H = ln Z + βe ds = βde + Edβ + dz Z, dz = d(tr e βh ) = dβ Tr H e βh = dβ Z H = ZE dβ. Sijoittamalla tämä ds:n kaavaan saadaan nyt ds = βde + Edβ Edβ = βde 1 β = ( E S ), V,N mikä on täsmälleen lämpötilan määritelmä. Siispä identifioimme 1 β = T. 5
6 Entropian relaatiosta S = ln Z + E T nähdään puolestaan, että Helmholtzin vapaalle energialle F pätee F = E TS = E T (ln Z + E ) = T ln Z, T joten kanonisen joukon tiheysoperaattori voidaan lausua myös muodossa ρ = 1 Z e βh = e ln Z βh = e β(f H ). Klassisen kanonisen joukon tapauksesta muistamme myös relaatiot E = 1 Z S = ln Z + E T Z = ln Z = T2 ln Z β β T = ln Z + T ln Z = T ln Z, T T jotka luonnollisesti pätevät yhtä lailla kvanttimekaanisessa tapauksessa johdon ollessa täysin analoginen. Esimerkki: Vapaan pistehiukkasen kanoninen tilasumma Aivan kuten viime luennon vastaavassa mikrokanonisessa ongelmassa, lähdemme liikkeelle Hamiltonin funktion H = p 2 /(2m) ominaisarvoista ja -tiloista (k = p /ħ ) E k = ħ2 k 2 2m ; Ψ k (r ) = 1 V eik r ; k = 2π L (n x, n y, n z ) ; n i = 0, ±1, ±2, Yhden hiukkasen tilasumma on nyt (asetetaan tässä yksinkertaisuuden vuoksi degeneraatiotekijä g = 1) Z 1 = Z(N = 1, T, V) = Tre βh k 2 = e βħ2 2m eli jatkumorajalla (L 3 = V, E = ħ2 k 2 2m ) n 1,n 2,n 3 6
7 Z 1 = V (2π) 3 dk e β ħ 2 k 2 2m = V (2π) 3 4π 0 dk k2 e β ħ 2 k 2 2m = V 3/2 4π (2m (2π) 3 ħ 2 ) de E 1/2 e βe 0 = V (2πmT)3/2 h 3 = V λ T 3, missä λ T = h/ 2πmT on ns. terminen de Broglien aallonpituus, ts. tietyssä lämpötilassa olevan kaasun hiukkasten keskimääräinen kvanttimekaaninen aallonpituus (yksiköissä joissa valonnopeus c = 1). Jälleen kerran tunnistamme tuloksen yhtäpitäväksi klassisen yhden hiukkasen kanonisen partitiofunktion kanssa. Esimerkki: Klassisen idealikaasun termodynamiikka Klassisessa tapauksessa N:n vapaan identtisen hiukkasen tilasumman lasku vaati integraalien suorittamista valtavan moniulotteisessa, kaikkien hiukkasten yhteisessä impulssiavaruudessa. Kvanttimekaanisessa tapauksessa lasku on huomattavasti helpompi: koska hiukkaset oletetaan täysin korreloitumattomiksi, kanoninen partitiofunktio faktoroituu N:ksi yhden hiukkasen partitiofunktioksi, jolloin klassisen permutaatiotekijän kanssa tulokseksi jää Z = 1 N! Z 1 N. Tästä saadaan suoraan Helmholtzin vapaaksi energiaksi ottamalla mukaan spin-degeneraatiotekijä g F = T ln Z = T ln [ 1 N (2πmT)3/2 (gv N! h 3 ) ] = T( N ln N + N) NT (ln g + ln V ln T + 3 2πm ln 2 h 2 ) Edelleen saadaan paineeksi kuten ideaalikaasulle pitääkin olla. = NT (ln N V 3 2 ln T + 3 h2 ln 1 ln g). 2 2πm p = ( F V ) T,N = NT V 7
8 Entropialle ja sisäiselle energialle saadaan puolestaan S = ( F T ) = F V,N T NT ( T ) = F T N, U = F + TS = 3 2 TN, mikä on N kertaa yhden hiukkasen kineettinen energia (vrt. ekvipartitioteoreema). Gibbsin vapaalle energialle pätee edelleen G = F + pv = μn, joten kemialliseksi potentiaaliksi saadaan μ = G N = 1 N (F + pv) = 1 (F + NT) N = T (ln N V 3 2 ln T + 3 h2 ln ln g) 2 2πm = T (ln p 5 ln T ξ) = μ(p, T), 2 missä ξ = ln g 3 h2 ln on ns. kemiallinen vakio. Harjoitustehtäväksi 2/1 jätetään 2 2πm näiden tulosten vertaaminen mikrokanonisen ensemblen tapaukseen. Fluktuaatioista Energian todennäköisyysjakauma statistisessa systeemissä voidaan määrittää muodossa P(E) = δ(h E), sillä selvästi tällöin de P(E)E n = Tr ρ de E n δ(h E) = Tr ρ H n = H n. Tästä saadaan kanoniselle joukolle yksinkertainen tulos 8 P(E) = Tr 1 Z e βh δ(h E) = 1 Z e βe Tr δ(h E) = ω(e) Z e βe = 1 Z e βe+ln ω(e).
9 Suuren systeemin rajalla jakauma on oletettavasti voimakkaasti piikittynyt energian odotusarvon ympärille, sillä eksponenttifunktion argumentti on ekstensiivinen eli verrannollinen hiukkasten lukumäärään. Tutkitaan seuraavaksi yo. väittämää konkreettisesti laskemalla kanonisen joukon tilasumma (joko yltä tai suoraan määritelmästä) Z = de ω(e)e βe βe+ln ω(e) = de e = dee βe+s mikro(e), missä S mikro merkitsee energiaa E vastaavan ω(e)e βe mikrokanonisen joukon entropiaa. Kehitetään siis eksponenttifunktion argumenttia stationaarisuus- E pisteen E ympäristössä, jossa funktion ensimmäinen energiaderivaatta häviää: βe + S mikro (E) = βe + S mikro (E ) + ( β + E Smikro(E )) (E E ) E 2 S mikro(e )(E E ) ! E 3 S mikro(e )(E E ) E E Stationaarisuuspisteen olemassaolosta seuraava ehto on selvästi sopusoinnussa mikrokanonisen lämpötilan määritelmän kanssa T(E ) = E S(E ) = 1 β, joskin kanonisessa ensemblessa on luonnollisempaa ajatella, että tästä yhtälöstä ratkaistaan energian odotusarvo E lämpötilan funktiona. Toisen kertaluvun termissä voimme puolestaan kirjoittaa 9
10 2 E 2 S mikro(e ) = E S mikro (E ) E = 1 E T = 1 T T 2 E = 1 T 2, C v missä C v on (isokoorinen) lämpökapasiteetti. Kaikkiaan olemme siis johtaneet kanoniselle partitiofunktiolle tuloksen Z = e βe +S mikro (E ) de e 1 2T 2 (E E ) C n 3 v n! n S mikro (E ) E n (E E ) n. Merkitään nyt x = E E. Tällöin saamme saman tien C v Z = e βe +S mikro (E) C v dx e x2 jossa E:n, S:n ja C v :n ekstensiivisyyden perusteella 2T 2+ 1 n! C n/2 n S mikro (E ) n 3 v x E n n, C v n/2 n S mikro (E ) E n ~ N n/2 N 1 n = N 1 n/2. Näemme siis, että suurilla N:n arvoilla n 3 termien vaikutus integraalin arvoon on pieni, ja johtavassa kertaluvussa voimme neglikoida ne kokonaan. Tällöin yo. Gaussinen integraali voidaan suorittaa, mistä tulokseksi saadaan N:stä riippumaton (epäkiinnostava) normalisaatiotekijä. Kaikkiaan olemme nähneet, että kanonisessa joukossa energian todennäköisyysjakauma todella on approksimatiivisesti gaussinen keskihajonnalla E = T 2 C v. Kanoninen entropia voidaan puolestaan kirjoittaa muodossa S ln Z + βe = βe + S mikro (E ) + ln C v + βe = S mikro (E ) ln C v S mikro (E ), missä olemme viimeisessä vaiheessa jälleen heittäneet pois epäekstensiivisen logaritmitermin. Käytännössä kanoninen entropia lämpötilassa T siis yhtyy tätä lämpötilaa vastaavan energian odotusarvolla laskettuun mikrokanoniseen 10
11 entropiaan. Jälleen kerran olemme osoittaneet mikrokanonisen ja kanonisen joukon yhtäpitävyyden ison hiukkasmäärän rajalla. Suurkanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, kvanttimekaaninen suurkanoninen joukko saadaan, kun entropia maksimoidaan reunaehdoin H = E, N = N, 1 = 1. Vastaavaa kanonisen jakauman johtoa varsin tarkkaan seuraava lasku tuottaa tulokseksi tiheysoperaattorin ρ G = 1 Z G e β(h μn ) sekä tilasumman Z G = Tr e β(h μn ), jossa on kuitenkin oltava tarkkana jäljen laskemisen kanssa. Hiukkaslukuoperaattori N nimittäin operoi aiemmin määrittelemässämme Fockin avaruudessa, joten myös jälki on määriteltävä siten, että kaikki N :n ominaisarvot ovat mahdollisia. Helpoin tapa edetä suurkanonisen partitiofunktion laskussa on suorittaa ensin jälki kokonaishiukkasmäärän N :n ominaistilojen kannassa. Tämä antaa tulokseksi Z G = e βμn Tr N e βh N, N=0 missä Tr N ja H N ovat N:n hiukasen Hilbertin avaruudessa määritellyt jälki ja Hamiltonin operaattori, ja e βμ z. Koska määrittelimme aiemmin kanonisen tilasumman muodossa Z N = Tr N e βh N, näemme nyt, että aivan kuten klassisessakin tapauksessa suurkanoninen tilasumma saa muodon 11
12 Z G = z N Z N. N=0 On helppoa nähdä, että tämän summan termit antavat (normitusta vaille) suoraan kunkin hiukkaslukumäärän todennäköisyyden systeemissä, sillä P(N ) = δ N,N = Tr Nρ Gδ N,N N=0 = zn Z N Z G. Klassista tapausta vastaavasti suurkanonisen joukon entropia voidaan kirjoittaa muodossa S = ln ρ G = βe βμn + ln Z G = T (T ln Z G). Vertaamalla suuren potentiaalin määritelmään havaitaan jälleen, että Ω = U TS μn Ω = T ln Z G, eli tiheysoperaattori voidaan kirjoittaa muotoon ρ G = e Ω βh +μn. Suoraviivainen ja täysin klassisen tapauksen kanssa analoginen lasku osoittaa lisäksi, että vakiot β sekä μ voidaan samaistaa käänteiseksi lämpötilaksi sekä kemialliseksi potentiaaliksi. Hiukkasluvun ja energian odotusarvoille saadaan viimein N = N = T ln Z G μ, E = H = T 2 ln Z G T + Tμ ln Z G μ. Lopuksi todettakoon, että aivan kuten klassisessa tapauksessa aiemmin, myös nyt saadaan hiukkaslukumäärän hajonnalle johdettua helposti tulos 12
13 N = N 2 N 2 = T ( N μ ). T,V Koska N on ekstensiivinen ja T ja μ intensiivisiä, on siis jälleen kerran N N ~ 1 N 0 kun N. Esimerkki: Vapaiden klassisten hiukkasten suurkanoninen tilasumma voidaan selvästi lausua muodossa Z G = e βμn Z N N=0 = e βμn N! = 1 (Z N! 1 e βμ ) N N=0 Z 1 N N=0 josta suureksi potentiaaliksi saadaan = e Z 1e βμ = e Vg(2πmT)3/2 e βμ /h 3, Ω = T ln Z G = TVg (2πmT)3/2 h 3 e βμ. Tästä saadaan välittömästi laskettua esim. systeemin entropia sekä hiukkaslukumäärän ja energian odotusarvot lämpötilan ja kemiallisen potentiaalin funktioina. 13
TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko
1 TASAPAINOJAKAUMAT KVANTTIMEKAANISISSA SYSTEEMEISSÄ (AH 5.4, 6.1, 6.4, 6.5) Mikrokanoninen joukko Aivan kuten klassisessa tapauksessa, myös kvanttimekaanisille monihiukkassysteemeille voidaan määritellä
LisätiedotTILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta)
TILASTOLLISEN KVANTTIMEKANIIKAN PERUSTEITA (AH 5.1-5.3) Mikrotilat (kertausta Kvanttimekaniikan kurssilta) Kvanttimekaniikassa yhden hiukkasen systeemin täydellisen kuvauksen antaa tilavektori, joka on
LisätiedotKLASSISET TASAPAINOJOUKOT (AH 4.3, , 7.2) Yleisesti joukoista
KLASSISET TASAPAINOJOUKOT (AH 4.3, 6.1-6.7, 7.2) 1 Yleisesti joukoista Seuraavaksi tarkastelemme konkreettisella tasolla erilaisia termodynaamisia ensemblejä eli joukkoja, millä tarkoitamme tiettyä makrotilaa
LisätiedotSuurkanoninen joukko
Suurkanoninen joukko Suurkanonisessa joukossa systeemi on kanonisen joukon tavoin yhdistettynä lämpökylpyyn, mutta nyt systeemin ja kylvyn väliset (kuvitellut) seinät läpäisevät energian lisäksi myös hiukkasia
LisätiedotSuurkanoninen joukko
Suurkanoninen joukko Suurkanonisessa joukossa systeemi on kanonisen joukon tavoin yhdistettynä lämpökylpyyn, mutta nyt systeemin ja kylvyn väliset (kuvitellut) seinät läpäisevät energian lisäksi myös hiukkasia
LisätiedotFYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti
FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella
LisätiedotMikrotila Makrotila Statistinen paino Ω(n) 3 Ω(3) = 4 2 Ω(2) = 6 4 Ω(4) = 1
76628A Termofysiikka Harjoitus no. 4, ratkaisut (syyslukukausi 204). (a) Systeemi koostuu neljästä identtisestä spin- -hiukkasesta. Merkitään ylöspäin olevien spinien lukumäärää n:llä. Systeemin mahdolliset
Lisätiedot6. Yhteenvetoa kurssista
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 6. Yhteenvetoa kurssista 1 Keskeisiä käsitteitä I Energia TD1, siirtyminen lämpönä
LisätiedotZ 1 = Np i. 2. Sähkömagneettisen kentän värähdysliikkeen energia on samaa muotoa kuin molekyylin värähdysliikkeen energia, p 2
766328A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 24). Klassisen ideaalikaasun partitiofunktio on luentojen mukaan Z N! [Z (T, V )] N, (9.) missä yksihiukkaspartitiofunktio Z (T, V ) r e βɛr.
Lisätiedot8. Klassinen ideaalikaasu
Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 8. Klassinen ideaalikaasu 1 Fysikaalinen tilanne Muistetaan: kokeellisesti
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 7: Ekvipartitioteoreema, partitiofunktio ja ideaalikaasu Ke 16.3.2016 1 KURSSIN
LisätiedotAstrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut
Astrokemia Kevät 2011 Harjoitus 1, Massavaikutuksen laki, Ratkaisut 1 a Kaasuseoksen komponentin i vapaa energia voidaan kirjoittaa F i (N,T,V = ln Z i (T,V missä on ko hiukkasten lukumäärä tilavuudessa
Lisätiedot1. Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 5, ratkaisut syyslukukausi 204). Yksiulotteisen harmonisen oskillaattorin energiatilat saadaan lausekkeesta E n n + ) ω, n 0,, 2,... 2 a) Oskillaattorin partitiofunktio
Lisätiedot1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit
1 PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Eksergia ja termodynaamiset potentiaalit 1.1 Suurin mahdollinen hyödyllinen työ Tähän mennessä olemme tarkastelleet sisäenergian
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 8: Kemiallinen potentiaali, suurkanoninen ensemble Pe 18.3.2016 1 AIHEET 1. Kanoninen
Lisätiedot3. Statistista mekaniikkaa
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Kvanttimekaniikka: diskreetit
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 1: Lämpötila ja Boltzmannin jakauma Ke 24.2.2016 1 YLEISTÄ KURSSISTA Esitietovaatimuksena
LisätiedotPHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA
PHYS-C0220 TERMODYNAMIIKKA JA STATISTINEN FYSIIKKA Kevät 206 Emppu Salonen Lasse Laurson Arttu Lehtinen Toni Mäkelä Luento 2: BE- ja FD-jakaumat, kvanttikaasut Pe 5.4.206 AIHEET. Kvanttimekaanisesta vaihtosymmetriasta
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 6: Faasimuutokset Maanantai 5.12. Kurssin aiheet 1. Lämpötila ja lämpö 2. Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö 3. Lämpövoimakoneet
LisätiedotKLASSISISTA REAALIKAASUISTA (AH 10.1)
KLASSISISTA REAALIKAASUISTA (AH 10.1) Palaamme kurssin lopuksi vielä hetkeksi tasapainosysteemien pariin, mutta tarkastelemme nyt todellisten systeemien kannalta realistisempaa tilannetta, jossa hiukkasten
LisätiedotMaxwell-Boltzmannin jakauma
Maxwell-Boltzmannin jakauma Homogeenisessa tasapainotilassa redusoidut yksihiukkastodennäköisyydet f voivat olla vain nopeuden funktioita, f = f(v ), ja H-funktio ei toisaalta voi riippua ajasta, eli dh
Lisätiedotm h = Q l h 8380 J = J kg 1 0, kg Muodostuneen höyryn osuus alkuperäisestä vesimäärästä on m h m 0,200 kg = 0,
76638A Termofysiikka Harjoitus no. 9, ratkaisut syyslukukausi 014) 1. Vesimäärä, jonka massa m 00 g on ylikuumentunut mikroaaltouunissa lämpötilaan T 1 110 383,15 K paineessa P 1 atm 10135 Pa. Veden ominaislämpökapasiteetti
Lisätiedot3. Statistista mekaniikkaa
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Kvanttimekaniikka: diskreetit
Lisätiedot766328A Termofysiikka Harjoitus no. 10, ratkaisut (syyslukukausi 2014)
7668A Termofysiikka Harjoitus no., ratkaisut (syyslukukausi 4). Johdetaan yksiatomisen klassisen ideaalikaasun kemiallisen potentiaalin µ(t,, N) lauseke. (a) Luentojen yhtälön mukaan kemiallinen potentiaali
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 5: Termodynaamiset potentiaalit Maanantai 27.11. ja tiistai 28.11. Kotitentti Julkaistaan ti 5.12., palautus viim. ke 20.12.
Lisätiedot3. Statistista mekaniikkaa
FYSA241, kevät 2012 Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 3. Statistista mekaniikkaa 1 Mikrotilojen laskenta Muistelua johdanto-osasta: Kvanttimekaniikassa
LisätiedotEkvipartitioteoreema. Entropia MB-jakaumassa. Entropia tilastollisessa mekaniikassa
Ekvipartitioteoreema lämpötilan ollessa riittävän korkea, kukin molekyylin liikkeen vapausaste tuo energian ½ kt sekä keskimääräiseen liike-energiaan ja kineettiseen energiaan energian lisäys ja riittävän
LisätiedotEkvipartitioteoreema
Ekvipartitioteoreema lämpötilan ollessa riittävän korkea, kukin molekyylin liikkeen vapausaste tuo energian ½ kt sekä keskimääräiseen liike-energiaan ja kineettiseen energiaan energian lisäys ja riittävän
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 6: Vapaaenergia Pe 11.3.2016 1 AIHEET 1. Kemiallinen potentiaali 2. Maxwellin
LisätiedotBOSONIJÄRJESTELMÄT (AH 8.1, 8.2) Bosekondensaatio
BOSONIJÄRJESTELMÄT (AH 8.1, 8.2) Bosekondensaatio Atomien aaltoluonne tulee parhaiten esiin matalissa lämpötiloissa, jossa niiden terminen de Broglien aallonpituus λ T = h2 2πmT lähestyy niiden keskimääräistä
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotTilat ja observaabelit
Tilat ja observaabelit Maksimaalinen informaatio systeemistä tietyllä ajanhetkellä sisältyy tilaan ψ (ket). Tila = vektori Hilbertin avaruudessa sisätulo ψ ψ C ψ c 1 ψ 1 + c 2 ψ 2 = c 1 ψ ψ 1 + c 2 ψ ψ
Lisätiedot4. Termodynaamiset potentiaalit
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) uomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2013 4. ermodynaamiset potentiaalit 1 asapainotila Mikrokanoninen ensemble Eristetty
LisätiedotAikariippuva Schrödingerin yhtälö
Aineaaltodynamiikka Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit Aikariippuva Schrödingerin
Lisätiedotkertausta edellisestä seuraa, että todennäköisimmin systeemi löydetään sellaisesta mikrotilasta, jollaisia on
tavoitteet kertausta Tiedät mitä on Boltzmann-jakauma ja osaat soveltaa sitä Ymmärrät miten päädytään kaasumolekyylien nopeusjakaumaan Ymmärrät kuinka voidaan arvioida hiukkasen vapaa matka Kaikki mikrotilat,
LisätiedotCh7 Kvanttimekaniikan alkeita. Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset.
Ch7 Kvanttimekaniikan alkeita Tässä luvussa esitellään NMR:n kannalta keskeiset kvanttimekaniikan tulokset. Spinnittömät hiukkaset Hiukkasta kuvaa aineaaltokenttä eli aaltofunktio. Aaltofunktio riippuu
Lisätiedotkertausta Boltzmannin jakauma infoa Ideaalikaasu kertausta Maxwellin ja Boltzmannin vauhtijakauma
infoa kertausta Boltzmannin jakauma Huomenna itsenäisyyspäivänä laitos on kiinni, ei luentoa, ei laskareita. Torstaina laboratoriossa assistentit neuvovat myös laskareissa. Ensi viikolla tiistaina vielä
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 7 Harjoitus 3: ratkaisut Tehtävä Tarkastellaan äärettömän syvässä laatikossa (väli [, L) olevaa hiukkasta. Kirjoita energiatiloja E n vastaavat aaltofunktiot muodossa ψ n (x,
LisätiedotS Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta
S-437 Fysiikka III (EST) Tentti ja välikoeuusinta 65007 Välikoeuusinnassa vastataan vain kolmeen tehtävään Kokeesta saatu pistemäärä kerrotaan tekijällä 5/3 Merkitse paperiin uusitko jommankumman välikokeen,
Lisätiedot= P 0 (V 2 V 1 ) + nrt 0. nrt 0 ln V ]
766328A Termofysiikka Harjoitus no. 7, ratkaisut (syyslukukausi 2014) 1. Sylinteri on ympäristössä, jonka paine on P 0 ja lämpötila T 0. Sylinterin sisällä on n moolia ideaalikaasua ja sen tilavuutta kasvatetaan
Lisätiedot1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria
Kvanttimekaniikka I, tentti 6.. 015 4 tehtävää, 4 tuntia 1. Tarkastellaan kaksiulotteisessa Hilbert avaruudessa Hamiltonin operaattoria ( { ( ( } E iδ H =, E, δ R, kannassa B = 1 =, =. iδ E 0 1 (a (p.
Lisätiedot4. Termodynaamiset potentiaalit
FYSA241, kevät 2012 uomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 4. ermodynaamiset potentiaalit 1 asapainotila Mikrokanoninen ensemble Eristetty järjestelmä
LisätiedotAineaaltodynamiikkaa
Aineaaltodynamiikkaa Aineaaltokenttien riippuvuus ajasta aikariippuva Schrödingerin yhtälö Stationääriset ja ei-stationääriset tilat Aaltopaketit Kvanttimekaniikan postulaatit = kuinka hiukkasen fysikaaliset
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 5: Termodynaamiset potentiaalit Maanantai 28.11. ja tiistai 29.11. Kotitentti Julkaistaan to 8.12., palautus viim. to 22.12.
Lisätiedot4. Termodynaamiset potentiaalit
Statistinen fysiikka, osa A (FYSA241) Vesa Apaja vesa.apaja@jyu.fi Huone: YN212. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2015 4. ermodynaamiset potentiaalit 1 ermodynaaminen tasapaino kanonisessa joukossa Mikrokanoninen
LisätiedotVapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen)
Vapaan hiukkasen Schrödingerin yhtälö (yksiulotteinen Vapaaseen hiukkaseen ei vaikuta voimia, joten U(x = 0. Vapaan hiukkasen energia on sen liike-energia eli E=p /m. Koska hiukkasella on määrätty energia,
LisätiedotS , Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta
S-114.45, Fysiikka III (Sf) tentti/välikoeuusinta.11.4 1. välikokeen alue 1. Osoita, että hyvin alhaisissa lämpötiloissa elektronin FD systeemin energia on U = (3/ 5) ε F. Opastus: oleta, että kaikki tilat
LisätiedotIlkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio
LisätiedotJohdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1
Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita
LisätiedotStatistinen fysiikka, osa B (FYSA2042)
Käytännön asioita Statistinen fysiikka, osa B (FYSA2042) Kimmo Kainulainen kimmo.kainulainen@jyu.fi Huone: FL220. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2018 Käytännön asioita 1 Käytännön asioita Ajat, paikat,
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2016 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Arttu Lehtinen Luento 5: Termodynaamiset potentiaalit Ke 9.3.2016 1 AIHEET 1. Muut työn laadut sisäenergiassa
LisätiedotJ 2 = J 2 x + J 2 y + J 2 z.
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. Tarkastellaan pyörimismääräoperaattoria J, jonka komponentit toteuttavat kommutaatiorelaatiot [J x, J y ] = i hj z, [J y, J z ] = i hj x,
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5
Kvanttifysiikan perusteet, harjoitus 5 February 4, 07 Tehtävä Oletetaan energian ominaisfunktiot φ n ortonormitetuiksi, dxφ nφ m = δ nm, jossa δ nm on Kroneckerin delta. Määritetään ensin superpositiotilan
LisätiedotMuita lämpökoneita. matalammasta lämpötilasta korkeampaan. Jäähdytyksen tehokerroin: Lämmityksen lämpökerroin:
Muita lämpökoneita Nämäkin vaativat ovat työtälämpövoimakoneiden toimiakseen sillä termodynamiikan pääsääntö Lämpökoneita lisäksi laitteet,toinen jotka tekevät on Clausiuksen mukaan: laiteilmalämpöpumppu
LisätiedotKuljetusilmiöt ja relaksaatioaika-approksimaatio
Kuljetusilmiöt ja relaksaatioaika-approksimaatio Tyypillinen kuljetusteoriassa tarkasteltava systeemi on sellainen, että hiukkastiheyden, hiukkasten keskimääräisen nopeuden ja siten lämpötilan arvot riippuvat
Lisätiedotkolminkertaisesti tehtäviä tavallisiin harjoituksiin verrattuna, voi sen kokonaan tekemällä saada suunnilleen kolmen tavallisen harjoituksen edestä
Matematiikkaa kemisteille, kevät 2013 Ylimääräisiä laskuharjoituksia Tällä laskuharjoituksella voi korottaa laskuharjoituspisteitään, mikäli niitä ei ole riittävästi kurssin läpäisemiseen, tai vaihtoehtoisesti
Lisätiedot1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus
S-114.1427 Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä
Lisätiedoty x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1
1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y
LisätiedotKvanttimekaniikan tulkinta
Kvanttimekaniikan tulkinta 20.1.2011 1 Klassisen ja kvanttimekaniikan tilastolliset formuloinnit 1.1 Klassinen mekaniikka Klassisen mekaniikan systeemin tilaa kuvaavat kappaleiden koordinaatit ja liikemäärät
Lisätiedot6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI
MAA0 6*. MURTOFUNKTION INTEGROINTI Murtofunktio tarkoittaa kahden polynomin osamäärää, ja sen yleinen muoto on P() R : R(). Q() Mikäli osoittajapolynomin asteluku on nimittäjäpolynomin astelukua korkeampi
LisätiedotT H V 2. Kuva 1: Stirling kiertoprosessi. Ideaalisen Stirlingin koneen sykli koostuu neljästä osaprosessista (kts. kuva 1):
1 c 3 p 2 T H d b T L 4 1 a V Kuva 1: Stirling kiertoprosessi. Stirlingin kone Ideaalisen Stirlingin koneen sykli koostuu neljästä osaprosessista kts. kuva 1: 1. Työaineen ideaalikaasu isoterminen puristus
LisätiedotLämmityksen lämpökerroin: Jäähdytin ja lämmitin ovat itse asiassa sama laite, mutta niiden hyötytuote on eri, jäähdytyksessä QL ja lämmityksessä QH
Muita lämpökoneita Nämäkin vaativat työtä toimiakseen sillä termodynamiikan toinen pääsääntö Lämpökoneita ovat lämpövoimakoneiden lisäksi laitteet, jotka tekevät on Clausiuksen mukaan: Mikään laite ei
Lisätiedotx 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1
LisätiedotF dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause
91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan
Lisätiedot2 exp( 2u), kun u > 0 f U (u) = v = 3 + u 3v + uv = u. f V (v) dv = f U (u) du du f V (v) = f U (u) dv = f U (h(v)) h (v) = f U 1 v (1 v) 2
HY, MTO / Matemaattisten tieteiden kandiohjelma Todennäköisyyslaskenta IIa, syksy 208 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I. Satunnaismuuttuja U Exp(2) ja V = U/(3 + U). Laske f V käyttämällä muuttujanvaihtotekniikkaa.
Lisätiedot7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi
7. Olemassaolo ja yksikäsitteisyys Galois n kunta GF(q) = F q, jossa on q alkiota, määriteltiin jäännösluokkarenkaaksi Z p [x]/(m), missä m on polynomirenkaan Z p [x] jaoton polynomi (ks. määritelmä 3.19).
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Touko Herranen Luento 1: lämpötila, Boltzmannin jakauma Ke 22.2.2017 1 Richard Feynmanin miete If,
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 4: Entropia Maanantai 21.11. ja tiistai 22.11. Ideaalikaasun isoterminen laajeneminen Kaasuun tuodaan määrä Q lämpöä......
Lisätiedotinfoa tavoitteet E = p2 2m kr2 Klassisesti värähtelyn amplitudi määrää kokonaisenergian Klassisesti E = 1 2 mω2 A 2 E = 1 2 ka2 = 1 2 mω2 A 2
infoa tavoitteet Huomenna keskiviikkona 29.11. ei ole luentoa. Oppikirjan lukujen 12-13.3. lisäksi kotisivulla laajennettu luentomateriaali itse opiskeltavaksi Laskarit pidetään normaalisti. Ymmärrät mitä
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan
LisätiedotKvanttifysiikan perusteet 2017
Kvanttifysiikan perusteet 207 Harjoitus 2: ratkaisut Tehtävä Osoita hyödyntäen Maxwellin yhtälöitä, että tyhjiössä magneettikenttä ja sähkökenttä toteuttavat aaltoyhtälön, missä aallon nopeus on v = c.
LisätiedotPHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017
PHYS-C0220 Termodynamiikka ja statistinen fysiikka Kevät 2017 Emppu Salonen Lasse Laurson Toni Mäkelä Touko Herranen Luento 4: entropia Pe 3.3.2017 1 Aiheet tänään 1. Klassisen termodynamiikan entropia
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotLUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k
LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 6: Faasimuutokset Maanantai 4.12. ja tiistai 5.12. Metallilangan venytys Metallilankaan tehty työ menee atomien välisten
LisätiedotClausiuksen epäyhtälö
1 Kuva 1: Clausiuksen epäyhtälön johtaminen. Clausiuksen epäyhtälö otesimme Carnot n koneelle, että syklissä lämpötiloissa H ja L vastaanotetuille lämmöille Q H ja Q L pätee Q H H oisin ilmaistuna, Carnot
LisätiedotMS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
LisätiedotTodennäköisyyslaskun kertaus. Vilkkumaa / Kuusinen 1
Todennäköisyyslaskun kertaus Vilkkumaa / Kuusinen 1 Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Vilkkumaa / Kuusinen 2 Motivointi Kokeellisessa tutkimuksessa tutkittaviin ilmiöihin liittyvien havaintojen
LisätiedotKorkeammat derivaatat
Korkeammat derivaatat Jo kerran derivoitu funk6o voidaan derivoida uudelleen. d! df(x) $ dx " # dx % & = d2 f(x) = f''(x) = f (2) (x) dx 2 Yleisemmin merkitään: d n f(x) dx n = f (n) (x) Esimerkki: 2-
LisätiedotTeddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011
Teddy 7. harjoituksen malliratkaisu syksy 2011 1. Systeemin käyttäytymistä faasirajalla kuvaa Clapeyronin yhtälönä tunnettu keskeinen relaatio dt = S m. (1 V m Koska faasitasapainossa reaktion Gibbsin
LisätiedotP (X B) = f X (x)dx. xf X (x)dx. g(x)f X (x)dx.
Yhteenveto: Satunnaisvektorit ovat kuvauksia tn-avaruudelta seillaiselle avaruudelle, johon sisältyy satunnaisvektorin kaikki mahdolliset reaalisaatiot. Satunnaisvektorin realisaatio eli otos on jokin
Lisätiedot(1) (2) Normalisointiehdoksi saadaan nytkin yhtälö (2). Ratkaisemalla (2)+(3) saamme
S-446 Fysiikka IV (Sf) Tentti 3934 Oletetaan, että φ ja φ ovat ajasta riippumattoman Scrödingerin yhtälön samaan ominaisarvoon E liittyviä ominaisfunktioita Nämä funktiot ovat normitettuja, mutta eivät
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotFERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9.1, 9.2) Metallien johtavuuselektronit
FERMIONIJÄRJESTELMÄT (AH 9., 9.) Metallien johtavuuselektronit Tyypillinen esimerkki lähes ideaalisesta fermionisysteemistä on metallin johtavuuselektronien muodostama järjestelmä. Metallissa atomien ulkokuorten
LisätiedotNyt n = 1. Tästä ratkaistaan kuopan leveys L ja saadaan sijoittamalla elektronin massa ja vakiot
S-1146 Fysiikka V (ES) Tentti 165005 1 välikokeen alue 1 a) Rubiinilaserin emittoiman valon aallonpituus on 694, nm Olettaen että fotonin emissioon tällä aallonpituudella liittyy äärettömän potentiaalikuopan
LisätiedotMS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät
MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 3: Vektorikentät Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2016
Lisätiedotja λ 2 = 2x 1r 0 x 2 + 2x 1r 0 x 2
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 4, 7.10.2015 1. Olkoot c 0, c 1 R siten, että polynomilla r 2 c 1 r c 0 on kaksinkertainen juuri. Määritä rekursioyhtälön x n+2 = c 1 x n+1 + c 0 x n, n N,
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
Lisätiedot1. (a) (2p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori
FYSA5 Kvanttimekaniikka I, Osa B 7.. tentti: 4 tehtävää, 4 tuntia. a) p.) Systeemin infinitesimaalista siirtoa matkan ɛ verran esittää operaattori T ɛ) = iɛ h P. Osoita tämän avulla, että äärellistä siirtoa
LisätiedotMatriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain
Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit
Lisätiedot1. Johdanto. FYSA241, kevät Tuomas Lappi kl Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja.
FYSA241, kevät 2012 Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL249. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2012 1. Johdanto 1 Ajat, paikat Luennot: 20h ma, ke klo 10.15, FYS1,, 9.1.-22.2 Demot: 10h, ke
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2017 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 2: Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö Maanantai 6.11. ja tiistai 7.11. Pohdintaa Mitä tai mikä ominaisuus lämpömittarilla
LisätiedotLIITTEET Liite A Stirlingin kaavan tarkkuudesta...2. Liite B Lagrangen kertoimet...3
LIITTEET... 2 Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta...2 Liite B Lagrage kertoimet... 2 Liitteet Liitteet Liite A Stirligi kaava tarkkuudesta Luoollista logaritmia suureesta! approksimoidaa usei Stirligi
LisätiedotMoniulotteisia todennäköisyysjakaumia
Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 3: Todennäköisyysjakaumia Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia TKK (c) Ilkka Mellin (007) 1 Moniulotteisia todennäköisyysjakaumia >> Multinomijakauma Kaksiulotteinen
LisätiedotFysikaalinen kemia II kaavakokoelma, osa 1
Fysikaalinen kemia II kaavakokoelma, osa 1 Wienin siirtymälaki: T λ max = 0.2898 cm K (1) Stefan Boltzmanin laki: M = σt 4 σ = 5.67 10 8 W m 2 K 4 (2) Planckin jakauma ρ = 8πkT λ 4 ( 1 ) e hc/λkt 1 (3)
Lisätiedot10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen
Lisätiedot(c) Kuinka suuri suhteellinen virhe painehäviön laskennassa tehdään, jos virtaus oletetaan laminaariksi?
Tehtävä 1 Vettä (10 astetta) virtaa suorassa valurautaisessa (cast iron) putkessa, jonka sisähalkaisija on 100 mm ja pituus 70 m. Tilavuusvirta on 15 litraa minuutissa. (a) Osoita, että virtaus on turbulenttia.
Lisätiedot1 Clausiuksen epäyhtälö
1 PHYS-C0220 ermodynamiikka ja statistinen fysiikka, kevät 2017 Emppu Salonen 1 Clausiuksen epäyhtälö Carnot n koneen syklissä lämpötilassa H ja L vastaanotetuille lämmöille Q H ja Q L pätee oisin ilmaistuna,
LisätiedotPHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016
PHYS-A0120 Termodynamiikka syksy 2016 Emppu Salonen Prof. Peter Liljeroth Viikko 2: Työ ja termodynamiikan 1. pääsääntö Maanantai 7.11. ja tiistai 8.11. Kurssin aiheet 1. Lämpötila ja lämpö 2. Työ ja termodynamiikan
Lisätiedot