Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242)

Transkriptio

1 Käytännön asioita Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl 2016 Käytännön asioita 1

2 Käytännön asioita Ajat, paikat, käytännöt Ajan tasalla olevat tiedot kurssin kotisivulta tulappi/fysa242kl16/. Luennot: 20h ma, ke klo 10.15, FYS1, huom pääsiäistauko Opettajat: Tuomas Lappi, luennot Huone FL240 (toimiston vieressä) Harjoitukset: Henri Hänninen, Toni Ikonen Kurssin arvostelu: Loppukoe tai tai myöhemmin 48 pistettä Harjoitukset: 12 pistettä (tämän kurssin pisteet voimassa kevääseen 2017) 1 Laboratoriotyö: ei arvostelua Max 60 pistettä. 2

3 Käytännön asioita Laskuharjoitukset Laskuharjoitustehtävät jaetaan maanantain luennolla Saatavilla myös kotisivulla ja aulan lokerossa Demotilaisuus ke (FYS5) heti samalla viikolla. Tilaisuus toimii laskupajana, assistentin avustuksella tehdään tehtäviä yhdessä Poikkeus saleihin: ensimmäisellä kerralla ke 2.3. klo alakerrassa FL140 Laskupajaan saa tulla ja mennä klo aikana kuten haluaa, ilmoittautumisilla ei merkitystä Palautus seuraavan viikon aluksi: ma klo 10 aulan laatikkoon Epäselväksi jääneitä edellisen viikon tehtäviä saatetaan käsitellä (demota) lyhyesti maanantain luennolla Pyynnöt käsiteltävistä tehtävistä assistenttien kautta tai suoraan luennoitsijalle Assistenttien ratkaisuehdotukset tulevat saataville koppaan. 3

4 Käytännön asioita Materiaali Virallinen kurssimateriaali Kirja: Bowley & Sanchez, Introductory Statistical Mechanics. Nämä kalvot ja kalvoja hieman laajempi luentomoniste: tulappi/fysa242kl16/ Luentomonistetta jaetaan luennolla, ylim. kappaleet laskuharjoitustehtävien lokerossa. Kalvojen ja monisteen teksti on hyvin suppea, ja muun kirjallisuuden lukeminen on tärkeää. Muita kirjoja: F. Mandl: Statistical Physics, Wiley (entinen kurssikirja) J. Arponen & J. Honkonen: Statistinen fysiikka, Limes (laajempi) Muuta materiaalia (Luennot luultavasti seuraavat näitä aika läheltä) J. Merikosken luentomuistiinpanot merikosk/statistinen-fysiikka-2002-jm.pdf J. Timosen muistiinpanot edellisten vuosien kursseilta. 4

5 Käytännön asioita Sisältöä [BS]= Bowley, Sanchez, [M] = Mandl 7. Kidevärähtelyt, kiinteän aineen lämpökapasiteetti [M 6], [BS ] Dulongin-Petit n laki Einsteinin malli Tilatiheys, Debyen malli 8. Klassinen ideaalikaasu [M 7], [BS 7] Kineettinen kaasuteoria, Translaatioliike, Maxwellin nopeusjakauma Sisäiset vapausasteet, lämpökapasiteetti Sovellukset: hilakaasu, liuos, Sackur-Tetrode-yhtälö Klassinen statistinen mekaniikka, energian ekvipartitio 9. Muuttuva hiukkasluku [BS 9] [M ] Ensemblet, Gibbsin entropia, yhteys termodynaamisiin potentiaaleihin Suurkanoninen joukko, kemiallinen potentiaali Rajapinnat, kemiallinen reaktio 10. Kvanttimekaaninen ideaalikaasu [BS , 10] [M 9,10, ] Fermionit ja bosonit Bosonikaasuja; kuuma: musta kappale, kylmä: Bose-Einstein-kondensaatti Kylmiä fermionikaasuja: johtavuuselektronit, neutronitähti Laboratoriotyö: terminen elektroniemissio 11. Kertausta 5

6 Käytännön asioita Contents of the course [BS]= Bowley, Sanchez, [M] = Mandl 7. Week 1: Heat capacity of solids [M 6], [BS ] Dulong-Petit law Einsteinin model Density of states, Debye model 8. Week 2: Classical ideal gas [M 7], [BS 7] Kinetic theory of gases Translational movement, Maxwell velocity distribution Internal degrees of freedom, heat capacity Applications: lattice gas, solution, Sackur-Tetrode equations Classical statistical mechanics 9. Week 3: Variable number of particles [BS 9] [M ] Ensembles, Gibbs entropy, connection to thermodynamic potentials Grand canonical ensemble Surfaces, chemical reactions 10. Weeks 4 & 5: The ideal quantum gas [BS , 10] [M 9,10, ] Fermions and bosons Bose gases, hot: black body, cold: Bose-Einstein-condensate Cold Fermi gases: conduction electrons, neutron star Laboratory work: thermal electron emission 11. Summary 6

7 Statistinen fysiikka, osa B (FYSA242) Tuomas Lappi tuomas.v.v.lappi@jyu.fi Huone: FL240. Ei kiinteitä vastaanottoaikoja. kl Kidevärähtelyt 7

8 Dulongin ja Petit n laki Petit, Dulong, Annales de Chimie et de Physique 10 (1819) Kokeellinen havainto: ominaislämpökapasiteetti moolimassa aineesta riippumaton vakio Nykykielellä Dulongin ja Petit n laki C V 3Nk B Ominaislämpökapasiteetti riippuu vain hiukkasten lukumäärästä Tämä pitäisi statistisen fysiikan kyetä selittämään! 8

9 Matalissa lämpötiloissa Muistetaan TD3:sta seuraava C V (T ) 0, kun T 0, jotta S(T ) S(0) = Kokeellisesti pienillä lämpötiloilla: Selitys: Eristeille Johteille C V (T ) = αt 3 C V (T ) = γt + αt 3 T 0 dt C V (T ) T αt 3 kaikille kiinteille aineille: liittyy atomien liikkeeseen kiteessä γt vain johtimille: liittyy jotenkin johdinelektroneihin < Lähdetään etsimään selitystä T 3 -käytökselle. TD3 ja siten C V (T ) 0 liittyvät kvanttimekaaniseen tilojen diskreettiyteen. = Rakennetaan kvanttistatistinen malli atomien liikkeelle hilassa. 9

10 Einsteinin malli Ensimmäinen yritys mallin rakennukseen: Kiinteä aine: kide, jossa N atomia Kukin liikkuu toisista riippumatta kemiallisten sidosten muodostamassa potentiaalissa Atomien poikkeamat pieniä: kukin atomi 3D harmoninen oskillaattori Harmoninen potentiaali sama kaikille atomeille, joka suunnassa U({x i }) = N i=1 ( u ) 2 mω2 Ex 2 i +... Nyt osataan tehdä kvanttimekaaninen tarkastelu, energiatilat ( ) 1 ε n = 2 + n ω E 10

11 Einsteinin malli: lämpökapasiteetin lasku Yhdelle 1-ulott. värähtelijälle partitiofunktio geometrisen sarjan summana { ( ) } 1 Z 1 = e βεn = exp β 2 + n ω E n=0 n=0 = exp { β ω/2} (exp { β ω}) n n=0 = exp { β ω/2} 3N riippumatonta 1-ulotteistä värähtelijää (joka atomille x,y,z- suunnat) Z 3N = [Z 1 ] 3N = ln Z 3N = 3N ln Z exp { β ω} Energia ja lämpökapasiteetti ε = d dβ Z 1 = ω E C V = [ ] exp {β ω} 1 E = 3N ε ( ) E x 2 e x = = 3Nk B T V (e x 1), x ω E 2 k B T 11

12 Einsteinin malli: matalan ja korkean lämpötilan raja x 2 e x C V (T ) = 3Nk B (e x 1), x ω E 2 k B T θ E T Korkea lämpötila: T θ E ω E /k B = x 1 Dulongin ja Petit n laki C V (T ) 3Nk B x 2 (1 + x +... ) (1 + x + 1) 2 3Nk B Matala lämpötila: T θ E = x 1 ( ) 2 θe C V (T ) 3Nk B e θ E /T T Tulkintaa C V (T ) 0 = Kvanttimekaaninen malli: sopusoinnussa TD3:n kanssa Mutta käytös ei ole kokeellinen T 3 = Jossain mallin oletuksista fysiikka väärin, mikä? 12

13 Yksiulotteinen seisova aalto Aaltoyhtälö Reunaehdot d 2 dx 2 φ(x) + k 2 φ(x) = 0 φ(0) = φ(l) = 0 Diskreetit ratkaisut φ(x) = A sin(kx), k = π L n, n = 0,1,2,... 0 L x π/l π/l 0 π L 2 π L 3 π L 4 π L Rajalla L tilat tiheässä: 1 tila k-avaruuden välillä π/l dk = π/l n 0 k 13

14 Kolme ulottuvuutta Aaltoyhtälö 2 φ(x) + k 2 φ(x) = 0 Diskreetit ratkaisut k 2 = k 2 k = π {nx,ny,nz}, nx = 0,1,2,..., ny = 0,1,2,... nz = 0,1,2,... L Yksi tila = k-avaruuden koppi : tilavuus (π/l) 3 = π 3 /V Summa yli tilojen = integraali k-avaruuden jaettuna kopin tilavuudella: n x,n y,n z k x,k y,k z >0 d 3 k π 3 /V 14

15 Aaltovektorin itseisarvon avulla θ Pallokoordinaatit: d 3 k = k 2 dk dϕ d(cos θ) Integroidaan oktantin yli: ϕ [0,π/2] dϕ = π/2 θ [0,π/2] d(cos(θ)) = 1 ϕ Eli kulmaintegraali = π/2 (1/8 pallon pinta-alasta 4πR 2 ) n x,n y,n z k x,k y,k z >0 d 3 k π 3 /V = dk V π π 3 2 k 2 = V 2π 2 dkk 2 15

16 Tilatiheys Tilatiheys f (k) dk = [ ] n x,n y,n z V 2π k 2 dk 2 kmax 0 f (k) dk [ ] Tulkinta: näin monta tilaa pallokuorella k [k,k + dk] Rajoituksia (eivät haittaa tällä kurssilla, paitsi Bose-Einstein kondensaatio.) Käyttö: Pätee suuren V :n rajalla, korvattiin summa tilojen yli integraalilla Oletettiin rotaatioinvarianssi: integroitiin kulmien yli Jos tunnetaan dispersiorelaatio eli energia/taajuus k:n funktiona: muuttujanvaihto k ω (muista myös dω = ( dω(k)/ dk) dk) 16

17 Debyen malli lämpökapasiteetille: tilat Oletus: vapausasteet kimmoaaltoja: 2 poikittaista ja 1 kpl pitkittäinen Dispersiorelaatiot ω(k) = v k ja ω(k) = v k Tilatiheys ( ) f (k) dk k 2 dk = f (ω) dω ω dω v 2 v 2 Määritellään keskimääräinen v: 3 v v 2 v 2 Lyhin mahdollinen λ = suurin taajuus ω D Moodien lukumäärästä λ = 2a ωd 0 dω 3C D v 2 ω2 = 3N = C D = 3v 2 N/ω 3 D = f (ω) dω = 9N ω 2 dω ωd 3 0 a 2a 3a 4a aallon lyhin aallonpituus x 17

18 Debyen malli: partitiofunktio ja energia Elastiset aallot ovat kvanttimekaanisia harmonisia oskillaattoreita. Yhden oskillaattorin partitiofunktio ( Z 1 (ω) = exp β ω n + 1 ) = = e 1 2 β ω 2 1 e β ω n=0 Yhden oskillaattorin energia E = d ( ) 1 dβ ln Z 1(ω) = ω e β ω Kaikkien oskillaattorien energia E = E tilat ωd 0 dω f (ω) {}}{ 9N ω 2 ω ωd 3 ( ) e β ω = 9 8 N ω D + 9N (θ D ) 3 k BT 4 θd /T 0 x 3 dx e x 1 Tässä määriteltiin Debyen lämpötila θ D ω D /k B 18

19 Debyen malli: lämpökapasiteetti C V (T ) = [ 9 T 8 N ω D + 9N θd k θd 3 B T 4 /T dx 0 ( ) 3 T θd /T 9Nk B [4 dx θ D 0 x 3 e x 1 x 3 ] e x 1 = = ( ) ] 4 θd 1 T e θ D /T 1 Rajat: T θ D : C V (T ) 3Nk B : Dulong-Petit (θ D /T 1: kehitetään integrandi sarjaksi) ( ) 3 T θ D : C V (T ) 12π4 T Nk 5 B θ T 3 D = kokeellisesti havaittu käytös! (θ D /T 1: korvataan θ D /T, kehitetään sarjaksi ja integroidaan) Tarvitaan Riemannin zeta-funktio ζ(4) = n=1 1 n 4 = π4 90 C V (T )/(3Nk B ) T /θ D :n funktiona, sekä pienen lämpötilan T 3 -käytös 19

20 Tulkintaa: kidevärähtelyt ja lämpökapasiteetti Keskeinen ero: Einstein: kaikilla oskillaattoreilla sama omega, Debyellä jakauma tilatiheyden mukaan Einsteinin mallissa kaikki oskillaattorit antavat e βθ E matalalla lämpötilalla Debyen mallissa pienelläkin lämpötilalla jotkut oskillaattorit ω k B T eivätkä ole eksponentiaalisesti suppressoituja Dulong-Petit suurillä lämpötiloilla väkisin: kun k B T θ E & k B T θ D jokainen oskillaattori antaa k B Tilatiheys f (ω) = 9N ω2 ω 3 D = 3 V 2π 2 ω 2 v 3 = ω 3 D = 6π 2 N V v 3 Voidaan mitata lämpökapasiteetista ω D ja suoraan kimmoaalloista v ja verrata; toimii ok. Johteiden C V T jäi vielä selittämättä 20

21 Statistisen fysiikan koneisto toiminnassa Molemmissa malleissa toimintatapa oli: 1. Identifioidaan keskeiset vapausasteet/fysikaaliset ainekset: Atomit värähtelevät hilassa Kimmoaallot etenevät aineessa 2. Tehdään sopiva yksinkertaistava oletus Riippumattomat värähtelijät Kimmoaalloilla sama nopeus 3. Väännetään kammesta ja lasketaan joku makroskooppien ominaisuus 4. Verrataan kokeellisiin havaintoihin Oliko tärkein fysiikka tunnistettu oikein (1)? Oliko malli liian yksinkertainen (2)? 21