infoa tavoitteet E = p2 2m kr2 Klassisesti värähtelyn amplitudi määrää kokonaisenergian Klassisesti E = 1 2 mω2 A 2 E = 1 2 ka2 = 1 2 mω2 A 2

Transkriptio

1 infoa tavoitteet Huomenna keskiviikkona ei ole luentoa. Oppikirjan lukujen lisäksi kotisivulla laajennettu luentomateriaali itse opiskeltavaksi Laskarit pidetään normaalisti. Ymmärrät mitä ovat mikrotilat ja makrotilat Tiedät mitä on entropia ja kuinka se liittyy lämpötilaan Tiedät mitä on Boltzmann-jakauma ja osaat soveltaa sitä harmoninen värähtelijä 1 harmoninen värähtelijä 2 E = p2 2m kr2 Klassisesti värähtelyn amplitudi määrää kokonaisenergian E = 1 2 ka2 = 1 2 mω2 A 2 Kvanttimekaaniikan mukaan harmonisen värähtelijän energia voi saada vain diskreettejä arvoja Klassisesti E = 1 2 mω2 A 2 Kvanttimekaniikan mukaan E = hω ( n + 1, 2) E = hω(n ), missä h = h/(2π) ja n = 0, 1, 2,

2 harmoninen värähtelijä Harmonisen värähtelijän energia, joka pääsee värähtelemään kolmessa ulottuvuudessa: E = 1 2 mv kr2 = 1 (v 2 m 2 x + v 2 y + v 2 z ( 1 = 2 mv2 x + 1 ) 2 kx2 + = E x + E y + E z ) k (x 2 + y 2 + z 2) ( 1 2 mv2 y + 1 ) ( 1 2 ky2 + 2 mv2 z + 1 ) 2 kz2 Mikäli eri akseleiden suuntaiset värähtelyt ovat riippumattomia, vastaa 3D harmoninen värähtelijä kolmea riippumatonta HV:ää. gallup 3D harmoninen värähtelijä on perustilassa. Värähtelijää voidaan mallintaa kolmena riippumattomana HV:nä, joiden energiat ovat E x = hω(n x ) E y = hω(n y ) E z = hω(n z ) Perustilassa n x = n y = n z = 0. Värähtelijälle syötetään ylimääräistä energiaa 1 hω verran. Minkä akselin suunnassa värähtelijä tämän jälkeen värähtelee? a) x b) y c) z d) muu vastaus e) ei osaa sanoa Vast: d) mikä tahansa gallup 5 statistista fyssaa 6 Mallinnetaan kolmessa ulottuvuudessa tasapainoasemansa ympärillä värähtelevää atomia kolmena riippumattomana HV:nä. Atomille syötetään energiaa 4 hω. Kuinka monella erilaisella tavalla nämä 4 energiakvanttia voidaan jakaa kolmen harmonisen värähtelijän kesken? a) 3 b) 4 c) 12 d) 15 e) muu vast. f) ei osaa sanoa Statistisen fysiikan perusoletus on, että kaikki MAKROTILAN mahdolliset MIKROTILAT yhtä todennäköisiä. Näin ollen kaikki 15 erilaista konfiguraatiota (=mikrotilaa) yhtä todennäköisiä, kun makrotila on sellainen, että systeemissä on yhteensä 4 energiakvanttia. Vast d) 7 8

3 gallup yhdistetyt systeemit Tarkastellaan kahta tasapainoasemansa ympäri värähtelevää atomia. Kumpikin atomi mallinetaan kolmella HV:llä. Yhdistetään atomit yhdeksi, 3+3 HV:n systeemiksi ja atomeille siirretään yhteensä 4 hω:n verran energiaa, eli neljä kvanttia. Lasketaan kaikki mahdolliset kombinaatiot: Kuinka nämä neljä kvanttia jakautuvat kahden osasysteemin kesken? a) = 0 ja q 2 = 4 b) = 1 ja q 2 = 3 c) = 2 ja q 2 = 2 d) = 3 ja q 2 = 1 e) = 4 ja q 2 = 0 f) muu vastaus g) ei osaa q 2 kpl 1 kpl 2 kpl 1 kpl gallup 9 yhdistetyt systeemit mikrotilojen jakauma Millä tavalla 4 kvanttia on todennäköisimmin jakautunut systeemien kesken? a) 0+4 b) 1+3 c) 2+2 d) 3+1 e) 4+0 f) ei osaa q 2 kpl 1 kpl 2 kpl 1 kpl mikrotilojen lkm Vast: c)

4 kombinatoriikkaa Mikrotilojen lukumäärä Ω, kun q kvanttia jaetaan N:n harmonisen värähtelijän kesken saadaan kombinatoriikasta Ω = (q + N 1)! q!(n 1)! (Siis kuinka monella tavalla q punaista palloa voidaan laittaa N:ään lootaan?) kombinatoriikkaa 1e+27 8e+26 6e+26 4e+26 2e e e e e Havaintoja Kahden identtisen systeemin kesken energiakvanttien lukumäärä jakautuu kaikkein todennäköisimmin tasan. Todennäköisyys, ettei kvanttien lukumäärä jakaudu tasan pienenee voimakkaasti kun siirrytään pois todennäköisimmästä arvosta. Voidaan osoittaa (HT), että jakauman leveys jakauman korkeus 1 todenn. arvo Makroskooppisissa systeemeissä, missä HV:n ja kvanttien lukumäärät ovat suuruusluokkaa on jakauma suhteellisesti erittäin kapea. Näin ollen makroskooppisissa systeemeissä havaitaan poikkeuksetta vain jakauman todennäköisin arvo gallup Osasysteemissä 1 on 300 kpl HV ja 90 kvanttia. Osasysteemissä 2 on 200 kpl HV ja vain 10 kvanttia. Näistä muodostetaan yhdistetty systeemi. Miten yhteensä 100 kvanttia ovat tasapainossa jakautuneet kahden osasysteemin kesken? a) noin b) suunnilleen c) kutakuinkin d) muu vastaus e) ei osaa sanoa Vast: d) *todennäköisimmin* 60+40, mutta myös muita mahdollisia tiloja 14 16

5 Yhdistetyn systeemin mikrotilojen lukumäärän jakauma 7e+114 6e+114 5e+114 4e+114 3e+114 2e+114 entropia Mikrotilojen määrä Ω muuttuu tähtitieteellisen suureksi jo varsin pienillä systeemeillä. Järjellisempiin suuruuksiin päästään käsittelemällä mikrotilojen lukumäärän logaritmia. Apusuure ENTROPIA määritellään S = k B ln Ω missä k B on Boltzmannin vakio k B 1, J/K. 1e todennäköisyydet ja termodynamiikka 18 7e+114 6e+114 5e+114 4e+114 3e+114 2e+114 1e Mikrotilojen lkm k B 100k B Entropia Tarkastellaan vielä samaa HV:n systeemiä johon heitetään 100 kvanttia. Osa kvanteista (vaikkapa 90) on isomassa osasysteemissä ja pieni osa (10 kpl) on pienessä systeemissä. Osasysteemit vuorovaikuttavat keskenään siten, että ne voivat vapaasti vaihdella kvantteja keskenään. Esim. pienen systeemin eräs HV potkaisee ison systeemin jonkin HV:n liikkeelle itse pysähtyen. Näin yhden kvantin verran energiaa siirtyy pienestä suurempaan osasysteemiin. Jonkin ajan kuluttua kurkataan systeemin ja tehdään mittauksia kvanttien jakautumisesta. Tulokseksi saadaan, että useimmissa mittauksissa kvantit ovat jakautuneet osasysteemien koon suhteessa, 3:

6 todennäköisyydet ja termodynamiikka Miksi näin? Koska kvantteja osasysteemit voivat jakaa täysin vapaasti. Tämä tarkoittaa että kaikki mikrotilat ovat yhtä todennäköisiä. Se, että kaikki kvantit ovat isossa osasysteemissä on yhtä todennäköinen, kuin kaikki ne konfiguraatiot, jossa isolla on 60 ja pienellä 40 kvanttia. Mutta tuota edellistä makrotilaa vastaa vain 1 mikrotila, kun taas jälkimmäistä makrotilaa vastaa n erillaista mikrotilaa. Joten jos valitaan umpimähkään jokin mikrotila, niin lähes poikkeuksetta tulee valituksi mikrotila jota on paljon ja siksi myös tätä vastaava makrotila. todennäköisyydet ja termodynamiikka Siis ihan sama, kuinka kvantit ovat aluksi jakautuneet. Kvanttien vapaasti vaihtamisen takia systeemi hakeutuu makrotilaan, jossa osasysteemien kvanttien lkm. ovat jakautuneet suhteessa 3:2, koska tämä vastaa tilaa, jossa koko systeemin mikrotilojen lkm on kaikken suurimmillaan. Tämä tarkoittaa myös, että entropia on tässä makrotilassa kaikkein suurimmillaan. Systeemi siis näyttää luonnollisesti päätyvän sellaiseen makrotilaan, jossa entropia saa maksiminsa. Vertaa tätä termodynamiikan II pääsääntöön: (jonka eräs muoto sanoo) suljetun systeemin entropia kasvaa (tai pysyy vakiona). Mikrotilojen lukumäärän laskeminen 21 Entropia on additiivinen suure 22 Kombinatoriikasta osasysteemien lukumäärät saadaan mikrotilojen Ω = Ω 1 Ω 2 S = k B ln Ω = k B ln ( ) Ω 1 Ω 2 S = k B ln Ω 1 + k B ln Ω 2 S = S 1 + S 2 Ω 1 = ( + 299)!!299! Ω 2 = (q )! q 2!199! 200k B S tot S 1 missä + q 2 = 100. Koko systeemin mikrotilojen lukumäärä on 100k B S 2 Ω = Ω 1 Ω

7 tasapainoehto Todennäköisimmässä tilassa mikrotilojen lkm:llä maksimi, joten myös entropialla on maksimi ds = d (S 1 + S 2 ) = 0 d d ds 1 d = ds 2 d S tot tasapainoehto Koska kvanttien kokonaismäärä oli vakio + q 2 = 100 saadaan d = dq 2. Näin ollen kun systeemi on kaikkein todennäköisimmässä tilassa (S:n maksimi) on ds 1 d = ds 2 dq 2 200k B 100k B S 1 S 2 Kummankin osasysteemin derivaatta kvanttiensa lkm:n suhteen on yhtä suuri. gallup lämpötila 26 Mikä fysikaalinen suure olisi kahdella osasysteemillä yhtä suuri, kun niiden yhdistelmä saavuttaa tasapainotilan? Tällöin molemmissa systeemeissä kvanttien lkm / värähtelijä on kutakuinkin yhtä suuri. Lämpötila määritellään a) tiedämme (ja haluamme kertoa) b) tiedämme (mutta emme kerro) c) ei tietoa 1 T = ds de 27 28

8 todennäköisyydet ja termodynamiikka 2 todennäköisyydet ja termodynamiikka 2 Lämpötila siis näyttää mittaavan sitä, kuinka paljon systeemin entropia muuttuu, kun systeemin energiasisältöä muutetaan. 1 T = ds de Tilassa, jossa yhdistetyn systeemin entropia on suurimmillaan on välttämättä osasysteemien lämpötilat samat, sillä ds 1 = ds 2 de 1 de 2 Systeemin kaikki mikrotilat yhtä todennäköisiä Systeemi havaitaan makrotilassa, jota vastaavia mikrotiloja eniten Systeemin entropia suurimmillaan tässä makrotilassa Entropian maksimi edellyttää, että osasysteemien lämpötilat ovat yhtä suuria Osasysteemien lämpötilat tasoittuvat lämpötasapaino Huomaa, että tätä päättelyketjua voi kulkea kumpaan suuntaan tahansa: Mikrotilojen yhtenäinen todennäköisyys ennustaa, että lämpötilat pitäisi tasoittua tai lämpötilojen havaittu tasaantuminen kertoo siitä, että mikrotasolla kaikki mikrotilat yhtä todennäköisiä. energian jakauma lämpötasapainossa 29 Pieni = 3 HV, Iso = 97 HV, yhteensä 1000 kvanttia Iso systeemi on eristetty ympäristöstään ja sen lämpötila on T. Tarkastellaan pientä osasysteemiä. Miten energia jakautuu pienen ja suuren systeemin kesken? Entropia / k S 3 HV S 97 HV Stot S 97HV approksimaatio Stot approksimaatio Pienen systeemin kvanttien lkm 31 32

9 energiajakauma lämpötasapainossa energiajakauma lämpötasapainossa Idea: Ison systeemin (=lämpökylpy) entropia riippuu lineaarisesti pienen systeemin energiasta E, kun E 0. Systeemin entropiassa S tot = S pieni (E) + S iso (E tot E) voidaan ison systeemin entropia kehittää Taylorin sarjaksi S tot = S pieni (E) + S iso (E tot ) S iso E E S tot = S pieni (E) + S iso (E tot ) E }{{} T vakio Esittämällä entropiatermit mikrotilojen lukumäärän avulla k B ln Ω = k B ln Ω pieni (E) + k B ln Ω iso (E tot ) E }{{} T vakio ln Ω = ln (vakio ) Ω pieni (E)e E/k BT Boltzmannin jakauma Näin päädytään tulokseen, jonka mukaan todennäköisyys, että lämpötilassa T pienen systeemin energia on E on p(e) = C Ω(E)e E/k BT missä C on vakio. Monesti Ω(E) on likipitäen vakio tai jokin polynomifunktio (riippuu systeemistä). Eksponenttifunktion ja Ω:n tulolla on maksimi, tämä on energian todennäköisin arvo. Todennäköisyys sille, että pienen osasysteemin energia E on paljon suurempi kuin k B T on hyvin pieni, sillä eksponenttifunktio on tällöin hyvin pieni. e E/k BT 0 kun E k B T Pieni = 3 HV, Iso = 97 HV, yhteensä 1000 kvanttia Omega 1e Omega_tot Omega_tot approksimaatio Pienen systeemin kvanttien lkm 34 36

10 gallup Happimolekyylit (=HV) ovat termisessä tasapainossa luokkahuoneessa. Luokkahuoneen lämpötilassa k B T 25 mev. Happimolekyylin värähtelytilojen energiat ovat E vib = hω ( n + 1 2), missä hω 190 mev. Valitset satunnaisen happimolekyylin tutkit sen värähtelyä. Havaitset, että happimolekyyli a) ei värähtele b) värähtelee vähän c) värähtelee paljon d) ei osaa sanoa Vast: b). Boltzmannin todennäköisyyden avulla voidaan arvioida perus- ja ensimmäisen viritystilan suhteellinen todennäköisyys p(e 1 )/p(e 0 ) e (E 1 E 0 )/k B T e 190/