Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa

Transkriptio

1 Potentiaalikuoppa Luento 9 Potentiaalikuopalla tarkoitetaan tilannetta, jossa potentiaalienergia U(x) on muotoa U( x ) = U U( x ) = 0 0 kun x < 0 tai x > L, kun 0 x L. Kuopan kohdalla hiukkanen on vapaa, ja siellä Schrödingerin yhtälön ratkaisu on funktioiden coskx ja sinkx jokin superpositio (ks. laatikkopotentiaalin tapaus). Hiukkasen energia kuopassa on E = p m = h k m eli k = me h, joten aaltofunktio on (A ja B ovat kompleksisia vakioita) me me ψ ( x ) = A cos x + Bsin x. h h Aaltofunktio kuopassa 1

2 Kuopan ulkopuolella Schrödingerin yhtälö on d ψ ( x ) dx m( U h 0 E ) ψ ( x ) = 0. Oletetaan, että kuopassa olevan hiukkasen energia E < U 0 (eli klassisen mekaniikan mukaan vankina kuopassa). Silloin aaltofunktion pitää olla reaaliargumenttinen eksponenttifunktio, jotta Sch-yhtälö toteutuu: κx κx 1 ψ ( x ) = Ce + De, κ = m( U 0 E ) h Aaltofunktio kuopan ulkopuolella Jotta aaltofunktio käyttäytyisi sävyisästi äärettömyyksissä xø, pitää alueessa x < 0 olla D = 0 ja alueessa x > L on C = 0. Aaltofunktioiden pitää olla jatkuvia rajakohdissa x = 0 ja x = L. Samoin pitää aaltofunktion derivaatan olla jatkuva, sillä muutoin Sch-yhtälössä oleva toinen derivaatta Ø eikä Sch-yhtälö toteutuisi näissä kohdissa. Nämä ehdot ja normittaminen kiinnittävät vakioiden A, B, C ja D sekä mahdollisten energioiden arvot. Emme käy tätä hiukan työlästä laskua läpi tässä. Kuvassa on eräs mahdollinen aaltofunktio: Kuopassa on oskilloiva aaltofunktio, kuopan ulkopuolella eksponentiaalisesti kuoleva aaltofunktio

3 Kuvassa on annettu kolmen alimman energiatilan aaltofunktiot ja energiatasot potentiaalikuopalle, jonka syvyys U 0 on 6 kertaa äärettömän syvän kuopan perustilan energia E (ks. luento 8, s. 10), π h E =. ml Potentiaalikuopassa sidottuja tiloja (diskreettejä tiloja, joiden energia on pienenpi kuopan syvyys U 0 ) on äärellinen määrä, kuvan tilanteessa kolme. Viereisessä kuvassa ovat paikan todennäköisyysjakautumat. Mitä suurempi energia, sitä pitemmällä seinämässä hiukkanen voi olla. Kun hiukkasen energia E > U 0, energiatilat eivät ole kvantittuneita vaan ne muodostavat jatkumon (kontinuumin). Sellainen hiukkanen voi olla missä tahansa x-akselilla. Sitä kuvaa kaikkialla sini-aalto, jonka aallonpituus on kuopan kohdalla pienempi kuin kuopan ulkopuolella. 3

4 Potentiaalivalli ja tunneloituminen Potentiaalivalli on alue, jossa potentiaalienergia on suurempi kuin ympäröivällä alueella. Kuvassa on esimerkki. Klassisen mekaniikan mukaan vasemmalta tuleva hiukkanen voi ohittaa potentiaalivallin vain, jos sen energia on suurempi kuin potentiaalienergia suurimmillaan eli E = K + U E. E K U U(x) Hiukkanen, jonka energia on E 1 ei voi edetä pistettä x = a pitemmälle, sillä se vaatisi K = p /m < 0, mikä on mahdotonta. Kvanttimekaniikassa tilanne on toinen: Hiukkanen, jonka energia on E voi tunkeutua potentiaalivallin sisään ja kulkea vallin läpi. Tätä kutsutaan tunneloitumiseksi. Tarkastellaan suorakulmaista potentiaalivallia, korkeus U 0 ja leveys L. Olkoon hiukkasella energia E < U 0. Vallin ulkopuolella hiukkanen on vapaa, joten aaltofunktio siniaalto. Jos hiukkanen on alun perin vallin vasemmalla puolella, on aaltofunktion amplitudi sillä puolella suurempi, koska valli estää vapaan pääsyn toiselle puolelle. Vasemmalta tulevat hiukkaset voivat tunkeutua vallin sisään, ja siellä aaltofunktio on laskeva eksponenttifunktio. A 1 A 4

5 Aaltofunktio saadaan (hieman työlään) laskun jälkeen, jossa käytetään reunaehtoina aaltofunktion ja sen derivaatan jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = L. Tunneloitumistodennäköisyys määritellään T = A A R L, jossa A L,R tarkoittavat sini-aallon amplitudeja vallin eri puolilla. Jos tämän laskee, saa tuloksen T = Ge κl, missä G = 16( E / U )(1 E / U ) 0 0 ja κ = m( U E) 0 / h. Esimerkki Elektroni (E =.0 ev) kohtaa potentiaalivallin, jonka korkeus on 5.0 ev ja leveys 1.00 nm. Millä todennäköisyydellä elektroni tunneloituu vallin läpi? Yllä olevasta kaavasta saadaan (mc = MeV). 0 ev. 0 ev G = ev 5. 0 ev = 3. 8, κ = ( = m 1. 6 ev/( m/s) ev s )(5.0 ev. 0 ev) 5

6 Sijoitetaan tunneloitumistodennäköisyyden lausekkeeseen: T = 3. 8 exp( ( = /m)( m)) Tunneloitumisen sovellutuksia Josephsonin liitos. Elektronit tunneloituvat kahden suprajohteen (virranvastus=0) väliin asetetun ohuen eristekerroksen läpi. Käytetään tarkkaan jännitteen ja magneettikentän mittaukseen (SQUID). Tunnelointimikroskooppi (STM). Terävä positiivisesti varattu kärki viedään lähelle aineen pintaa. Aineen elektronit tunneloituvat aineen pinnassa olevan potentiaalivallin läpi ja päätyvät neulaan. Syntyvän sähkövirran määrä mittaa neulan ja pinnan välimatkaa, ja sen avulla saadaan kuva pinnan rakenteesta atomien mittakaavassa. Natriumatomeja platinakiteen pinnalla. 6

7 Ytimien alfahajoaminen. Alfahiukkasta sitoo epästabiiliin ytimeen kuvan tapainen potentiaali. Hajoaminen tapahtuu, kun a tunneloituu vallin läpi. Tunneloitumisen todennäköisyys riippuu voimakkaasti vallin korkeudesta ja leveydestä, alfaaktiivisten ydinten puoliintumisajat vaihtelevat suuresti. Myös ydinten fuusioituminen eli ydinten yhdistyminen perustuu tunneloitumiseen. Vastassa on samanvarauksisten ydinten aiheuttama Coulombin potentiaali. Harmoninen värähtelijä Harmonin värähtelijä on hiukkanen, johon vaikuttaa harmoninen voima F x = k' x, jossa k jousivakio ja x on poikkeama tasapainoasemasta x = 0. Potentiaalienergia on U ( x ) = 1 k' x. 7

8 Harmonisen värähtelijän kvanttimekaanisella tarkastelulla on monia tärkeitä sovellutuksia atomaarisen tason ilmiöissä, kuten molekyylien värähtelyt, atomien värähtelyt kiteissä jne. Klassisen mekaniikan mukaan harmonisen potentiaalin vaikutuksessa liikkuva kappale värähtelee kulmataajuudella w = (k /m) 1/. Valistunut arvaus harmonisen värähtelijän mahdollisiksi energiatiloiksi voisi olla E h ω = hf = = h ω = h π π k' / m. Tämä osoittautuu erinomaiseksi arvaukseksi: energiat ovat hω, hω, hω,... Nämä saadaan selville ratkaisemalla Schrödingerin yhtälö h d ψ ( x ) + m dx 1 k' x ψ ( x ) = Eψ ( x ). Harmonisen värähtelijän Schrödingerin yhtälö 8

9 Yhtälö on liian työläs tässä ratkaistavaksi, mutta kuten aina, reunaehdot pakottavat energian kvantittumaan eli yhtölällä on reunaehdot täyttäviä ratkaisuja vain diskreeteillä energian arvoilla. Alimman tilan aaltofunktio on (Hermiten funktioita) ψ ( x ) = Ce mk' x / h ja vastaava energia on E 0 = Ñw/. Jos intoa piisaa, voi helposti tarkistaa, että näillä Sch-yhtälö toteutuu. Harmonisen värähtelijän sallitut energiat ovat E n 1 k' 1 = (n + ) h = (n + )hω. m Energiatasot ovat tasavälein, energiaero Ñw. 9

10 Harmonisen oskillaattorin aaltofunktioita ja vastaavia paikan todennäköisyysjakautumia. 10

11 Esimerkki Puupala, jonka massa on, 0.50 kg, roikkuu jousessa, jonka jousivakio on 110 N/m. Laske pienin energia, joka kappaleella voi olla sekä peräkkäisten energiatilojen energiaero. Jousi aiheuttaa kappaleeseen harmonisen voiman, joten kyseessä on harmoninen värähtelijä. Kulmataajuus on k 110 N/m ω = = = 1.0 rad/s m 0.50 kg joten alimman tilan energiaksi saadaan E ( J s)(1.0 rad/s) hω J(1 ev/1.60 = = = rad/s) = J(1 ev/ J) = ev Peräkkäisten energiatilojen ero on Ñw = E 0 = ev. Vaikka kvanttimekaniikan lait pätevät myös makroskooppisille kappaleille, esim energian kvantittumista on käytännössä mahdoton havaita. 11