1 WKB-approksimaatio. Yleisiä ohjeita. S Harjoitus

Transkriptio

1 S Harjoitus 3 29 Yleisiä ohjeita Ratkaise tehtävät MATLABia käyttäen. Kirjoita ratkaisut.m-tiedostoihin. Tee tuloksistasi lyhyt seloste, jossa esität laskemasi arvot sekä piirtämäsi kuvat (sekä nimesi ja opiskelijanumerosi). Liitä selosteeseen myös MATLABkoodit. Kiinnitä humiota selkeyteen. Palauta seloste pdf-muotoisena osoitteeseen tihayryn@lce.hut.fi. Kirjoita selosteeseen myös arvio ajasta, joka tehtävän ratkaisemiseen kului. Nimeä tiedostosi nimelläsi sekä harjoituksen numerolla esim. Nimi harjoitus x.pdf. Laita lisäksi selosteeseen nimesi ja opiskelijanumerosi. Johdatusluento tehtävään pidetään keskiviikkona ja tehtävän ratkaisua käsittelevä laskuharjoitus torstaina Tehtävä tulee palauttaa viimeistään WKB-approksimaatio WKB (Wenzel, Kramers, Brillouin) -menetelmän avulla voidaan laskea approksimaatiivinen ratkaisu ajasta riippumattomalle yksiuloitteiselle Schrödingerin yhtälölle. Menetelmä on erityisen käyttökelpoinen mm. transmissiotodennäköisyyksien laskemiseen. Olkoon hiukkasen energia E ja oletetaan, että hiukkanen liikkuu alueessa, jonka potentiaalienergia V < E on vakio. Tällöin hiukkasen aaltofunktio on muotoa Ψ(x) = Ae ±ikx (1) k = 2m(E V )/ 2, (2) missä plusmerkki kuvaa oikealle liikkuvaa hiukkasta ja miinusmerkki vasemmalle liikkuvaa hiukkasta. Yleinen ratkaisu on näiden kahden ratkaisun summa. Hiukkasen aaltofunktio siis oskilloi vakioamplitudilla A ja vakioaallonpituudella λ = 2π/k. Jos taas V > E (V on vakio), saadaan exponentiaalisesti kasvava tai vaimeneva aaltofunktio Ψ(x) = Ae ±κx (3) κ = 2m(V E)/ 2. (4) 1

2 S Harjoitus Klassinen alue (E > V ) Kirjoitetaan Schrödingerin yhtälö muodossa missä p(x) = p on reaalinen. 2 d 2 Ψ(x) + V (x)ψ(x) = EΨ(x) (5) 2m dx 2 d 2 Ψ(x) dx 2 = p2 2Ψ(x), (6) 2m(E V ) on klassinen yhtälö liikemäärälle. Koska E > V, Yleisessä tapauksessa V (x) ei ole vakio, joten myös A ja p riippuvat paikasta. Oletetaan kuitenkin, että hiukkasen de Broglie aallonpituus sen liikkuessa potentiaalivallissa on sellainen, että potentiaalienergia muuttuu vain vähän yhden de Broglie aallonpituuden matkalla. Tällöin voidaan osoittaa, että on edullista etsiä Schrödingerin yhtälön tarkaisua muodossa Ψ(x) = A(x)e iφ(x), (7) missä A(x) on paikkariippuva amplitudi ja φ(x) paikkariippuva vaihe. Sijoittamalla ratkaisu yhtälöön (6), saadaan d 2 Ψ(x) dx 2 = ( A (x) + 2iA (x)φ (x) + ia(x)φ (x) A(x)(φ (x)) 2) e iφ(x) = p2 2A(x)eiφ(x) (8) Yllä olevasta yhtälöstä saadaan kaksi reaalista yhtälöä: toinen reaaliosalle ja toinen imaginääriosalle A (x) A(x)(φ (x)) 2 = p2 2A(x) ( ) A (x) = A(x) (φ (x)) 2 p2 2 (9) 2A (x)φ (x) + A(x)φ (x) = ( A 2 (x)φ (x) ) =. (1) Jälkimmäisestä yhtälöstä (1) saadaan ratkaisuksi A 2 (x)φ (x) = C 2 eli A(x) = C/ φ (x), missä C on vakio. Olettamalla nyt, että A(x) muuttuu hitaasti, 2

3 S Harjoitus 3 29 voidaan approximoida A (x)/a(x) ja ensimmäisestä yhtälöstä saadaan [φ (x)] 2 = p 2 / 2 eli φ (x) = ±p/, jonka ratkaisu on φ(x) = ± 1 x p(x )dx. (11) Aaltofunktion approximatiiviseksi ratkaisuksi ns. WKB-ratkaisuksi saadaan siis Ψ(x) = p(x) C i x e± p(x )dx. (12) Yleisessä tapauksessa vakio C voi olla myös kompleksinen. Integrointirajat on valittu siten, että potentiaalivallin etureunan oletetaan sijaitsevan pisteessä x = (vrt. kuva 1). Rajojen valitseminen toisin muuttaa vain vakion C arvoa. 1.2 Tunnelointi (E < V (x)) Kun E < V (x), saadaan p(x) = i p(x), joilloin aaltofunktio voidaan kirjoittaa muodossa C 1 x Ψ(x) = p(x) e± p(x ) dx. (13) Olkoon suorakulmion mallinen potentiaalivalli alueessa x a (ks kuva 1). Alueissa x < ja x > a aaltofunktiot voidaan kijoittaa muodoissa Ψ x< (x) = Ae ikx + Be ikx (14) Ψ x>a (x) = Fe ikx, (15) missä k = 2mE/. Transmissiokerroin saadaan potentiaalivallin läpäisseen hiukkasen aaltofunktion amplitudin ja potentiaalivalliin tulevan hiukkasen aaltofunktion amplitudin avulla T = F 2 A 2. (16) Potentiaalivallin alueessa ( x a) WKB-approksimaation mukainen aaltofunktio on Ψ x a (x) = C p(x) e 1 x p(x ) dx + p(x) D e 1 x p(x ) dx. (17) 3

4 ). S Harjoitus 3 29 Exponentiaalisesti kasvavan termin kerroin voidaan olettaa nollaksi (C ) tilanteissa, joissa potentiaalivalli on hyvin korkea ja/tai leveä. Amplitudien itseisarvojen suhteeksi saadaan F A e eli transmissionkertoimeksi saadaan 1 a p(x) dx, (18) T = e 2γ (19) γ = 1 a p(x) dx = 1 a 2m(V (x) E)dx. (2) 2 J A J E = = E L = E = Kuva 1: Kuvassa on esitetty aaltofunktion vaimeneminen potentiaalivallissa (valli sijaitsee alueessa x a), kun hiukkasen energia E < V. Tulevan aaltofunktion amplitudi on A ja läpäisseen F. 2 Terminen emissiovirta Metallin vapaat elektronit sijaitsevat potentiaalikuopassa (ks. kuva 2), jonka syvyys on fermienergian (E F ) ja irrotustyön eli työfunktion (φ ) summa (kertaa valosähköinen ilmiö opetusmonisteesta). Energian nollakohdaksi on valittu taso, jossa metallista tyhjiöön irrotetun elektronin liike-energia on nolla. 4

5 S Harjoitus 3 29 E φ E F vapaat elektronit x Kuva 2: Metallin vapaat elektronit sijaitsevat potentiaalikuopassa. Termisellä emissiovirralla tarkoitetaan lämpöenergian synnyttämää elektronivirtausta metallista tyhjiöön. Termiselle emissiovirralle saadaan kaavaa J T = CT 2 e φ /(k B T), (21) missä vakio C on Richardsonin vakio ja sen arvo on 3 Kenttäemissiovirta C = em ek 2 B 2π Acm 2 K 2. (22) Kuvan 2 tilanne muuttuu kuvan 3 kaltaiseksi, kun tyhjiöön kytketään sähkökenttä (E s ) negatiivisen x-akselin suuntaan. Tällöin elektronien potentiaalienergia tyhjiöalueella on E p = E F + φ ee S x. (23) Elektroneja sitoo metalliin siis kolmion muotoinen potentiaalivalli. Virta on verrannollinen elektronien läpäisykertoimeen (transmissiokertoimeen) potentiaalivallin läpi. Virrantiheys on J F = ev R nt, (24) missä elektronitiheys on n = (2mE F ) 3/2 3π 2 ja ns. Richardsonin nopeus on v 3 R = kb T. Transmissiokertoimen edessäolevaksi lämpötilariippuvaksi kertoimeksi 2πm saadaan 2, A cm 2 K 1/2 T 1/2 eli J F = 2, T T 1/2 A cm 2 K 1/2. (25) 5

6 S Harjoitus Tehtävät Tarkastellaan kuvan 3 mukaista tilannetta. Oletetaan, että metalli on kuparia, jossa työfunktio ja Fermienergia ovat φ = 4.45 ev ja E F = 7.5 ev. Laske kenttäemissiovirrantiheys sähkökentän (E s ) funktiona kolmessa lämpötilassa T = 3 K, T = 5 K, ja T = 2 K. Transmissiokertoimen laskemiseksi on ensin laskettava numeerisesti integraali γ = 2m φ /(ee S ) E p (x) Edx, (26) missä E p (x) = E F +φ ee S x ja E = E F. Laske trasmissiokertoimen avulla kenttäemissiovirrantiheys (25) ja piirrä samaan kuvaan terminen emissiovirta (21). E φ E p = E F + φ ee S x Vapaat elektronit E F x = φ /(ee S ) x Kuva 3: Valitse potentiaalienergian nollataso kuten kuvassa. Elektronin energia on E F. Potentiaalienergian profiili muuttuu sähkökentän funktiona: mitä suurempi sähkökenttä on, sitä kapeampi on kolmiovalli. 6