Integroimalla ja käyttämällä lopuksi tilanyhtälöä saadaan T ( ) ( ) H 5,0 10 J + 2,0 10 0,50 1,0 10 0,80 Pa m 70 kj

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Integroimalla ja käyttämällä lopuksi tilanyhtälöä saadaan T ( ) ( ) H 5,0 10 J + 2,0 10 0,50 1,0 10 0,80 Pa m 70 kj"

Antti Lahtinen
7 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 S-4.35 Fysiikka (ES) entti ääritä yhden haikaasumoolin (O) (a) sisäenergian, (b) entalian muutos tilanmuutoksessa alkutilasta =, bar, =,8 m3 loutilaan =, bar, =,5 m3. ärähtelyn vaausasteet voidaan jättää huomioimatta. =, bar, =,8 m3, =, bar, =,5 m3. Hai (O) on kaksiatominen kaasu, joten translaatio- ja rotaatiovaausasteet huomioiden vaausasteiden lukumäärä on n =5. U U a) du = d + d U Käytetään ideaalikaasumallia =, sillä sisäenergia riiuu vain U 5 lämötilasta. du = d = νc d = ν nrd = ν Rd. Integroimalla ja käyttämällä louksi tilanyhtälöä saadaan ( ) ( ) U = U U = ν R d = ν R = ν R. ν R 5 5, 5,5, 5,8 Pa m 3 5 kj ( ) ( ) U = b) Entalian muutos H = U + H = U + ( ) ( ) H 5, J +,,5,,8 Pa m 7 kj. Osoita, a) että ilmakehän aine muuttuu korkeuden h funktiona yhtälön ln( / ) = gh/ R mukaisesti, jos lämötila oletetaan vakioksi ja b) että vastaavasti ln( / ) = ( g/ Rα)ln( αh/ ), jos lämötila ienenee lineaarisesti yhtälön = αh mukaisesti, missä α on vakio. Edellä on ilman keskimääräinen moolimassa. a) onvakioolkoon korkeudella x ( > ) olevan ohuen ilmakerroksen aksuus dx. ällöin ilmakerrokseen kohdistuvasta ainovoimasta aoheutuva aineen lisäys on d = ρgdx () missä ρ on ilman tiheys tällä korkeudella. Huomaa miinusmerkki - kun dx > siirrytään ylösäin ja aine ienenee. oisaalta tiheys voidaan esittää ideaalikaasun tilanyhtälön avulla

2 n ρ = = R () missä on keskimääräinen moolimassa ja n moolien määrä tilavuudessa. htälöistä () ja () saadaan d = gdx (3) R ja integroimalla tämä uolittain maan innalta korkeudelle h saadaan h d g gh = dx ln = R R. (4) b) = αh Sijoitetaan lämötilan lauseke yhtälöön (3) = α x d = gdx R ( α x) Puolittain integroimalla saadaan h d g dx g α h g = ln ln ln( h / ) R = = α α x Rα Rα (5) (6) 3. Carnot n koneen työaineena on ideaalikaasu, jonka c = 3R. Isotermisessä laajenemisessa kaasun tilavuus kaksinkertaistuu. Adiabaattisessa laajenemisessa loutilavuuden suhde alkutilavuuteen on 5,7. Kone tekee kierroksella työn,9 J. Laske lämövarastojen lämötilat, joiden välillä kone toimii. Kaasua on, kmol. Carnot n koneen isotermisessä laajenemisessa on / =, adiabaattisessa laajenemisessa 3on 3 / = 5,7, kokonaistyö kierroksen aikana on W =,9J ja ainemäärä ν =, kmol. Hyötysuhteen yleinen määritelmä lämövoimakoneelle on A Carnot n koneelle η C =. W η =. oisaalta Q 5 c = 3R f =3 γ = + = + =. f Adiabaattisille rosesseille saadaan (moniste, s.7): =. 4

3 γ γ γ 3 3 = A 3 = 5,7 A lämövarastosta ottama lämö on Q = ν R ln. Kokonaistyö on W = νr + = νr( ) Q ln Aln 4 A ln ν R ln 3 3 W W 5,7 W 5,7 W = = = = η C A 5,7 5, Kaasun ylemmästä 5,7 W 5,7,9 J = 3 5,7 3 J 3 ν Rln, mol 8,34 ln 5,7 molk 7,46 K 3 K ( ) 7,46 K A = 3 3 7,8 K 7K 5,7 5,7 4. ääritä entroian muutos, kun määrä m (massa) yksiatomista ideaalikaasua (lämötila, aine ) sekoitetaan määrään m kaksiatomista ideaalikaasua (lämötila,aine). ilanyhtälöstä: = νr, = νr, missä moolimäärät ovat ν = m, ν = m. Ajatellaan, että kaasujen sekoittuminen taahtuu kahdessa vaiheessa: ensin kumikin kaasu laajenee isotermisesti loutilavuuteen = + ja sitten lämötila tasaantuu louarvoon isokoorisesti. Lämötilan tasaantumisessa energian säilymislain mukaisesti: ( ) ν ( ) ν C = C, missä C ja C ovat mooliset ominaislämökaasiteetit. ästä saadaan loulämötila νc+ ν C =. νc+ νc htälössä

4 ds = du + d on isotermisessä rosessissa du =, sillä ideaalikaasun sisäenergia riiuu vain lämötilasta. Isokoorisessa rosessissa taas d =. äin saadaan entroian muutos kokonaisrosessissa alkutilasta loutilaan: d d d d S = ν R + ν C ν R ν C + + = ν Rln + ν Rln + ν C ln + ν C ln ässä on käytetty tilanyhtälöä ja yhtälöä du = ν C d. ilanyhtälöstä saadaan: =, =. Kun vielä sijoitetaan komonenttien ominaislämökaasiteetit (oletetaan, että kaksiatomisella kaasulla vain translaatio- ja rotaatiovaausasteet ovat virittyneet, ts. n 3 5 =5), C= R, C = R, saadaan 5 7 ln S R Rln ν ν = Eräässä axwell-boltzmann systeemissä hiukkasten sallitut energiat ovat, ε,ε,3ε,4ε,... a) Osoita, että systeemin artitiofunktio on ( g = ) / k e ε Z = ( ). b) Laske hiukkasten keskimääräinen energia, kun ε << k. i nε / k n () Z = e = x n= n= ε / k missä x= e, x. ämä on sueneva geometrinen sarja, jonka summa on /( x). Partitiofunktio voidaan siis kirjoittaa / k e ε Z = ( ) () Kuten aiemmin osoitettiin kokonaisenergia saadaan yhtälöstä d U = k (ln Z). (3) d Sijoittamalla

5 ε / k d ( ε/ k ) e ε ln Z = = d ε / k ε / k e k e (4) joten sisäenergiaksi saadaan U = ε e ε / k (5) Korkeissa lämötiloissa ε / k aylorin sarjaksi. on ieni, joten eksonenttifunktio voidaan kehittää Jos otamme kaksi ensimmäistä termiä energiaksi U Eave = k. e ε / k + ε / k saamme keskimääräiseksi 6. Laske noeuden itseisarvon keskiarvo v ave ja noeuden neliöllinen keskiarvo v rms seuraaville 6 molekyylien noeusjakaumille: a) kaikkien vauhti m/s, b) kolmen vauhti 5 m/s ja kolmen m/s, c) neljän vauhti 5 m/s ja kahden m/s, d) kolme molekyyliä on levossa ja kolmen vauhti m/s ja e) yhden vauhti 5 m/s, kahden vauhti 7 m/s, kahden 5 m/s ja yhden m/s? auhti = noeuden itseisarvo. oeuden itseisarvon keskiarvo :lle hiukkaselle määritellään yhtälöllä v ave i = = v () i ja noeuden neliöllinen keskiarvo yhtälöllä v rms / vi. () i = = Jaetaan hiukkaset aliryhmään. Olkoon hiukkasten lukumäärä aliryhmässä j =,,..,, jolloin j =. Kuhunkin aliryhmään kuuluvalla hiukkasella on sama noeus v j. j n htälöt () ja () voidaan tällöin kirjoittaa ainotettuina keskiarvoina; kutakin noeuden arvoa ainotetaan ao. ryhmään kuuluvien hiukkasten lukumäärällä: v ja nv j j ave = = njvj n j (3) n j,

6 v / nv j j rms = n = jvj n j (3) Sijoittamalla saadaan seuraavat tulokset: vave m/s vrms a),, b),5 4,6 c),, d), 4, e),5,7 m/s

Samankaltaiset tiedostot

ln2, missä ν = 1mol. ja lopuksi kaasun saama lämpömäärä I pääsäännön perusteella.

ln2, missä ν = 1mol. ja lopuksi kaasun saama lämpömäärä I pääsäännön perusteella. S-114.42, Fysiikka III (S 2. välikoe 4.11.2002 1. Yksi mooli yksiatomista ideaalikaasua on alussa lämpötilassa 0. Kaasu laajenee tilavuudesta 0 tilavuuteen 2 0 a isotermisesti, b isobaarisesti ja c adiabaattisesti.