FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti

Transkriptio

1 FYSA242 Statistinen fysiikka, Harjoitustentti Tehtävä 1 Selitä lyhyesti: a Mikä on Einsteinin ja Debyen kidevärähtelymallien olennainen ero? b Mikä ero vuorovaikutuksessa ympäristön kanssa on kanonisella ja suurkanonisella joukolla? c Miksi energiatilojen jatkumoapproksimaatio ei toimi ideaaliselle bosonikaasulle matalassa lämpötilassa? d Millä ehdoilla kaasua voidaan kuvata klassisena ideaalikaasuna? a Einsteinin mallissa yksittäiset atomit värähtelevät muista riippumattomasti tasapainoasemansa ympärillä. Debyen mallissa puolestaan atomien värähtelyt eivät ole riippumattomia vaan kidevärähtely kuvataan kiteessä etenevinä elastisina aaltoina. b Kanonisessa joukossa hiukkaslukumäärä on kiinnitetty, mutta suurkanonisessa joukossa sen annetaan fluktuoida. Toisin sanoen kanoninen järjestelmä ei voi vaihtaa hiukkasia ympäristönsä kanssa, mutta suurkanoninen voi. c Matalissa lämpötiloissa bosonikaasun alin energiatila on makroskooppisesti miehitetty, joten jatkumoapproksimaatio, joka olettaa yksittäisen tilan miehitysluvun odotusarvon olevan pieni, ei toimi. d Klassista ideaalikaasua voidaan käyttää kuvaamaan järjestelmää, joka koostuu (lähes vuorovaikutuksettomista hiukasista, ja on tarpeeksi harva ja tarpeeksi kuuma. Tämä ehto voidaan muotoilla siten, että hiukkasten keskimääräisen etäisyyden tulee olla paljon suurempi kuin niiden de Broglie aallonpituus.

2 Tehtävä 2 Tarkastellaan kaksiatomisista molekyyleistä muodostuvaa ideaalikaasua. Kaksiatomisen molekyylin värähtelyjä voidaan pitää harmonisina siten, että niiden energia saadaan lausekkeesta ( ɛ r = r + 1 hω r =, 1, 2,... 2 Johda lauseke tällaisten värähtelyjen entropialle ja niiden osuudelle kaasun lämpökapasiteetista. Esitä tulokset vibraatiolämpötilan T vib = hω/k B avulla. Mikä on johtava käytös suuren lämpötilan T T vib rajalla? Arvioi tämän perusteella laskitko oikein. Sijoitetaan energian lauseke partitiofunktioon ja käytetään geometrista sarjaa e βɛ j = j= e β hω(1/2+j = j= e β hω/2 1 e β hω. Helmholtzin vapaa energia on nyt (N atomia F = k B T ln Z N 1 = Nk B T ( ln(1 e β hω + β hω/2. Entropia saadaan derivoimalla S = ibraatiolämpötilan avulla esitettynä ( F Lämpökapasiteetti saadaan entropiasta = Nk B (ln(1 e β hω + S = Nk B (ln(1 e T vib/t + C = T Kun T T vib voidaan approksimoida ja sijoittamalla saadaan ( S hω k B T (1 e β hω. T vib T (1 e Tvib/T. ( 2 Tvib e T vib/t = Nk B T (e Tvib/T 1 2. e T vib/t 1 + T vib T ( 2 ( Tvib 1 + T vib /T C Nk B T (T vib /T 2 = Nk B 1 + T vib T Tämä vastaa klassista ekvipartitiota, joten olemme laskeneet oikein. T Nk B.

3 Tehtävä 3 a Laske energian yksihiukkastilojen lukumäärä energiavälillä [ɛ, ɛ + dɛ] vapaalle klassiselle hiukkaselle kolmessa ulottuvuudessa. Aloita kirjoittamalla tilavuuselementti k avaruudessa ja muista dispersiorelaatio vapaalle hiukkaselle ɛ(k = h2 k 2 2m sekä k tilojen tiheys yhdessä ulottuvuudessa L/π. b Ideaalikaasun yhden hiukkasen partitiofunktio on e βɛ j. j= Osoita, että jatkumoapproksimaatiossa kolmessa ulottuvuudessa ( mkb T 2π h 2 3/2. Oktantin tilavuuselementti k avaruudessa välillä [k, k + dk] on d = 1 [ 4π 8 3 (k + dk3 4π ] 3 k3 = π 2 k2 dk. Tilojen lukumäärä on siis Jatkumoapproksimaatiossa eli dn = d π 3 = 2π 2 k2 dk = π 2 π 2 e βɛ j j= ( m 3/2 ɛ h 2 2 e βɛ dɛ = 2π 2 Integraalin voimme laskea käyttäen annettua kaavaa ja saamme mikä on haluttu tulos. 2π 2 ( m 3/2 ɛ h 2 dɛ = f(ɛdɛ. 2 ( m h 2 e βɛ f(ɛdɛ, 3/2 ɛ e βɛ dɛ. ( m 3/2 ( π h 2 2β 3/2 = mkb T 3/2 2π h 2,

4 Tehtävä 4 Osoita, että ideaalikaasun tilanyhtälö on voimassa kaikille identtisistä vuorovaikuttamattomista hiukkasista muodostetuille järjestelmille, riippumatta hiukkasten partitiofunktiosta Z 1. Olkoon hiukkasia N kappaletta järjestelmässämme. Tällöin järjestelmän kanoninen partitiofunktio on Z = ZN 1 N!. Suurkanoninen partitiofunktio saadaan eksponentiaalisesti painotettuna summana kanonisista partitiofunktiosta Z = N= e βµn ZN 1 N!. Järjestelemällä uudestaan ja käyttämällä eksponenttifunktion sarjakehitelmää (e βµ Z 1 N Z = N! N= = e e βµ Z 1. Käyttämällä Gibbsin Duhemin yhtälöä saamme nyt p = k B T ln Z = k B T ln e e βµ Z 1 = k B T e βµ Z 1. Lisäksi huomaamme, että jolloin N = ( ΩG µ T, = µ k BT e βµ e βµ Z 1, p = e βµ Z 1 k B T = Nk B T.

5 Tehtävä 5 Tarkastellaan ideaalista elektronikaasua, jossa on N hiukkasta. Elektronien lukumäärä energiavälillä [ɛ, ɛ + dɛ] on puolestaan 4π ɛdɛ h 3 (2m3/2 e β(ɛ µ + 1. Laske tällaisen kaasun fermienergia? Fermienergia on määritelmän mukaan kemiallinen potentiaali nollalämpötilassa eli ɛ F ensin hiukkaslukumäärän lauseke N = 4π h 3 (2m3/2 ɛ n dɛ. Nollalämpötilassa miehitysluvun odotusarvo µ(t =. Kirjoitetaan n = 1 e β(ɛ µ + 1 on joko tai 1 sen mukaan onko ɛ µ positiivinen vai negatiivinen. Siis tilojen, joiden energia on suurempi kuin µ eli ɛ µ >, yli ei tarvitse integroida hiukkaslukumäärää laskettaessa, koska niille miehitysluku on ja tilojen, joiden energia on pienempi kuin µ miehitysluku on puolestaan 1. oimme siis kirjoittaa hiukkaslukumäärän integraalin siten, että N = 4π h 3 (2m3/2 µ ɛdɛ = 8π 3h 3 (2m3/2 µ 3/2, missä viimeinen yhtäsuuruus on saatu suorittamalla integraali. Nyt voimme ratkaista kemiallisen potentiaalin nollalämpötilassa ( µ = h2 3N 2/3 ɛ F, 8m π joka oli määritelmän mukaan fermienergia.

6 Tehtävä 6 a Alla on kolme tilanyhtälöä, joissa pystyakselilla lämpötila T, vaaka akselilla tilavuus ja syvyysakselilla paine P. Hiukkaslukumäärä on kiinnitetty. Mikä kuvista vastaa klassista ideaalikaasua, ideaalista bosonikaasua ja ideaalista fermikaasua? Perustele vastauksesi. b Alla on kolme partitiofunktiota, jotka kuvaavat kahden hiukkasen järjestelmää, jossa hiukkasilla on neljä mahdollista tilaa. Kahden tilan energia on, yhden ɛ ja yhden 2ɛ. Mikä partitiofunktioista (a, b, c kuvaa klassisia ei identtisiä hiukkasia, identtisiä fermioneja ja identtisiä bosoneita? Perustele vastauksesi. Z a = 1 + 2e βɛ + 2e 2βɛ + e 3βɛ Z b = 4 + 4e βɛ + 5e 2βɛ + 2e 3βɛ + e 4βɛ Z c = 3 + 2e βɛ + 3e 2βɛ + e 3βɛ + e 4βɛ asen kuva vastaa bosonikaasua. Tämän näkee esimerkiksi siitä, että, kun järjestelmää puristetaan kokoon ( pienenee vakiolämpötilassa, jossain vaiheessa paine ei enää kasva, vaikka puristusta jatketaan. Tämä on merkki siitä, että bosonit alkavat kondensoitua alimmalle energiatilalle. Keskimmäinen kuva vastaa ideaalikaasua. Tämän näkee siitä, että vakiolämpötilassa P on vakio, tai siitä, että P tai kasvaa lineaarisesti lämpötilan T funktiona, mikäli toinen on kiinnitetty vakioarvoon. Oikea kuva vastaa fermionikaasua. Tämän voi päätellä vaikka siitä, että nollalämpötilassa kaasun kokoon puristuvuus on rajoitettu eli tilavuus ei voi mennä nollaan. Tämä johtuu siitä, että Paulin kieltosääntö estää fermioneja pakkautumasta alimmalle energiatilalle. Partitiofunktio Z a vastaa fermionisia hiukkasia. Fermioneille nollaenergia voidaan nimittäin saavuttaa vain yhdellä tavalla, kun toinen fermioni on toisessa nollaenergiatilassa ja toinen toisessa. Partitiofunktio Z b vastaa klassisia ei identtisiä hiukkasia. Näille nollaenergia voidaan saavuttaa neljällä tavalla. Molemmat hiukkaset voivat olla samassa nollaenergiatilassa, joita on kaksi eli tästä tulee kaksi konfiguraatiota. Sen lisäksi hiukkaset voivat olla eri nollaenergiatiloissa ja, riippuen siitä kumpi on kummassa, konfiguraatioita on tässäkin tapauksessa kaksi. Partitiofunktio Z c vastaa bosoneja. Tilanne on samankaltainen kuin klassisisille hiukkasille molemmat hiukkaset ovat samassa nollaenergiatilassa, mutta tilanteessa, jossa hiukkaset ovat eri nollaenergiatiloissa konfiguraatioita on vain yksi sillä, hiukkasten vaihdolla ei ole tässä tapauksessa väliä. Siten nollaenergiakonfiguraatioita on bosoneille kolme.

7 Mahdollisesti hyödyllisiä kaavoja ( F S =, C = xe ax dx = = 4πr3 3, ex = n= x n n! F = E T S = k B T ln Z Ω G = F µn = k B T ln Z = p Z = e βe N,r, Z = e β(µn E N,r r N= r ( ( E S = T, N = n= π 2a 3/2, ɛ = β ln Z 1 x n = 1 1 x, kun 1 < x < 1 e ax2 dx = π 2a 1/2, ( ΩG µ T, x 2 e ax2 dx = π 4a 3/2