Transkriptio

1

2

3

4

5

6

7

8 KULJETUSSUUREET Kuljetussuureilla tai -ominaisuuksilla tarkoitetaan kaasumaisen, nestemäisen tai kiinteän väliaineen kykyä siirtää ainetta, energiaa, tai jotain muuta fysikaalista ominaisuutta paikasta toiseen. Esimerkiksi diffuusiossa on kyse aineen molekyylien termisestä satunnaisliikkeestä, jonka nettovaikutus on molekyylien, massan tai ainemäärän, kulkeutuminen korkean konsentraation alueelta matalan konsentraation alueelle, kunnes jakauma on tasainen. Prosessin nopeutta kuvaava diffuusiovakio D on aineelle ominainen kuljetussuure. lämmönjohtumisessa energiaa siirtyy korkeamman lämpötilan alueelta matalan lämpötilan alueelle. Ao. kuljetussuure on lämmönjohtavuus κ. sähkönjohtavuus σ on kuljetussuure joka kuvaa sähkövarauksen kulkeutumista korkean sähköpotentiaalin alueelta matalan potentiaalin alueelle. viskositeetti η on kuljetussuure joka kuvaa liikemäärän kulkeutumista kaasuissa ja nesteissä

9 Vuo Fysikaalisen ominaisuuden kulkeutumisen käsittelyssä hyödyllinen käsite on ao. ominaisuuden vuo J, eli yksikköpinta-alan läpi kulkevan ominaisuuden määrä aikayksikköä kohti. Nettokuljetus on verrannollinen kulkeutuvaan suureeseen liittyvän ominaisuuden P gradienttiin dp dz tarkasteltavassa systeemissä: Diffuusiossa, yksiulotteisessa tapauksessa nk. Fickin I diffuusiolaki kuuluu J z (aine) = D dn dz, (1) missä J z on molekyylien lukumäärän vuo z-suunnassa [yksikkö m 2 s 1 ], N on asianomaisen molekyylin lukumäärätiheys [m 3 ] ja D on positiivinen diffuusiovakio tai diffuusiokerroin [m 2 s 1 ]. 3D-tapauksessa, anisotrooppisessa väliaineessa kuten nestekiteissä ja monissa kiinteissä aineissa, D on diffuusiotensori, koska diffuusionopeus riippuu tällöin suunnasta.

10 Lämmönjohtumisessa energiaa kulkeutuu alas lämpötilan T gradienttia J z (energia) = κ dt dz, (2) missä J z on nyt energian vuo z-suunnassa [J m 2 s 1 ] ja κ on positiivinen lämmönjohtavuus [J K 1 m 1 s 1 ]. Kolmiulotteisessa, anisotrooppisessa tapauksessa myös κ on tensorisuure.

11 Keskustellaksemme viskositeetista tarkastelemme fluidin, nesteen tai kaasun laminaarista virtausta paikoillaan pysyvän, xy-tason suuntaisen seinämän suhteen. Jollakin ajan hetkellä fluidin voidaan ajatella koostuvan seinän suuntaisista kerroksista, joiden x-suuntainen nopeus kasvaa nollasta ylöspäin seinämän vierestä oikealle siirryttäessä. Kerroksien välillä siirtyvät molekyylit kuljettavat mukanaan x-suuntaista liikemäärää. Molekyylin siirtyessä nopeammasta hitaampaan kerrokseen jälkimmäisen kerroksen x-suuntainen liikemäärä kasvaa. Molekyylin siirtyessä hitaammasta nopeampaan kerrokseen jälkimmäisen kerroksen x-suuntainen liikemäärä pienenee. Kerroksien nopeusero pyrkii siis pienenemään. Viskositeetissa on siis kyse x-suuntaisen liikemäärän vuosta z-suuntaan, alas nopeuskentän v x gradienttia: J z (x suuntainen liikemäärä) = η dv x dz, (3) missä J z :n yksikkö on kg m 1 s 2, v x on x-suuntainen nopeus nesteessä, ja η on (positiivinen) viskositeetti [kg m 1 s 1, usein käytetty yksikkö poise P = 10 1 kg m 1 s 1 ].

12 Kuljetussuureet ideaalikaasulle Tarkastellaan ideaalikaasun molekyylien vuota läpi pinta-alan A, joka sijaitsee kohdassa z = 0 ja jonka normaali on z-akselin suuntainen. Keskimäärin A:n vasemmalta läpäisevä molekyyli on kulkenut vapaan matkan λ, nopeudella joka on yleisesti kulmassa θ A:n normaalia vastaan. Voidaan osoittaa tarkastelemalla kulmassa θ etenevien molekyylien lukumäärää että keskimääräinen etäisyys josta ao. molekyylit ovat lähtöisin, on 2 3 λ.

13 Molekyylien lukumäärätiheyttä niiden keskimääräisellä lähtöetäisyydellä z = 2 3λ voidaan approksimoida kohdan z = 0 ympärillä kehitetyn Taylorin sarjan 1. termillä N 23 «λ N (0) 2 3 λ dn dz. N «2 3 λ N (0) λ dn dz. Vastaavasti oikealta, matalamman konsentraation puolelta tuleva molekyyli on keskimäärin törmännyt viimeksi etäisyydellä z = λ, missä

14 Vasemmalta puolelta tulevien molekyylien lukumäärä aika- ja pinta-alayksikköä kohti, diffuusioon liittyvä aineen vuo, on kurssissa aiemmin ideaalikaasulle johdetun tuloksen perusteella J(V O) = 1 ( 4 N 2 ) 3 λ c, missä c on molekyylien keskimääräinen vauhti. Vastaavasti J(V O) = 1 4 N ( 2 3 λ ) c, jolloin nettovuolle saadaan J z = J(V O) J(V O) 1 {[ N (0) λ dn ] dz = 1 dn λ c 3 dz. [ N (0) λ dn dz ]} c

15 Saatiin Fickin I lain (1) muotoinen yhtälö, josta on luettavissa diffuusiokerroin ideaalikaasulle D = 1 λ c. (4) 3 Diffuusiolle tyypillisiä piirteitä ideaalikaasussa: 1. Aiemman perusteella tiedetään että λ = kt/ ( 2σp ) 1 p, joten D pienenee paineen p kasvaessa. 2. Koska c = [8RT/ (πm)] 1 2 T (ja λ T/p = V m /R ei riipu lämpötilasta vakiotilavuudessa), on myös D T. 3. Koska λ 1 σ, missä σ on molekyylien törmäyspinta-ala (vaikutusala), on pienten molekyylien diffuusiovakio suurempi kuin suurten.

16 Lämmönjohtumisen tarkastelemiseksi ajatellaan kunkin molekyylin energian olevan yhtäsuuri kuin keskimääräinen terminen energia, energian tasanjakautumisen periaatteen mukaisesti ε = νkt, (5) missä ν on molekyylin vapausasteitten lukumäärä jaettuna kahdella (atomeille ν = 3 2 ). Kun oletetaan että lukumäärätiheys on sama kaikkialla systeemissä, ovat vasemmalta (korkeammasta lämpötilasta) ja oikealta (matalammasta) tulevien molekyylien tuoman energian vuot J(V O) = 1 4 N cε ( 2 3 λ ) ; J(V O) = 1 4 N cε ( 2 3 λ ) ja energiat keskimääräisellä lähtöetäisyydellä ε ( 23 ) λ νk ( T 2 3 dt dz ) ( ) 2 ; ε 3 λ νk ( T dt dz )

17 ja energian nettovuo siten J z = J(V O) J(V O) 1 dt νλ ckn 3 dz. Vertaamalla yhtälöön (2) saadaan lämmönjohtavuus ideaalikaasulle κ = 1 3 νλ ckn = 1 3 λ cc V [A]. (6) Toisessa yhtäsuuruudessa käytettiin ideaalikaasutulosta C V = νr = νn A k sekä yhteyttä N = N V = nn A V = N A [A], missä [A] on ao. konsentraatio [mol m 3 ]. Koska aiemman perusteella ideaalikaasulle λ [A] 1, nähdään että κ cc V tai konsentraatiosta. ei riipu kaasun paineesta Kun [A] on suuri, on energian kuljetukseen käytettävissä paljon molekyylejä. Suurilla konsentraatioilla molekyylien vapaa matka laskee. Efektit kumoavat toisensa. Kokeet: kun hyvin pieni paine, vapaa matka voi ylittää astian dimensiot. Tällöin κ [A] p.

18 Analogisesti edellä esitetyn kanssa, A:n oikealle ja vasemmalle läpäisevien, x-suuntaista liikemäärää kuljettavien molekyylien keskimääräisillä lähtöetäisyyksillä mv x ( 2 3 λ ) mv x ( 2 3 λ ) = mv x (0) 2 3 λm dv x dz = mv x (0) λm dv x dz, ja x-suuntaisen liikemäärän nettovuo J z = 1 {[ 4 N c mv x (0) 2 3 λm dv ] x dz = 1 3 N mλ c dv x dz. [ mv x (0) λm dv ]} x dz

19 Vertaamalla tulosta yhtälöön (3) voimme identifioida ideaalikaasun viskositeetin η = 1 3 N mλ c = 1 3 mλ cn A [A]. (7) Koska λ 1 p, [A] p ja c ei riipu paineesta, ei ideaalikaasun η myöskään riipu paineesta. Koska c T, kasvaa η lämpötilan funktiona. Ideaalikaasun kuljetusominaisuudet esitetään kootusti taulukossa 24.3.

20

21