Fononit. Värähtelyt lineaarisessa atomiketjussa Dispersiorelaatio Kaksi erilaista atomia ketjussa Fononit kolmessa dimensiossa

Transkriptio

1 Fononit Värähtelyt lineaarisessa atomiketjussa Dispersiorelaatio Kaksi erilaista atomia ketjussa Fononit kolmessa dimensiossa

2 Atomien lämpövärähtely Mikä on atomien värähtelyn taajuus ja amplitudi? Tarkastellaan yhtä atomia ja sen naapureita. Mikä on jousivakio?

3 Hilavärähtelyt

4 Harmooninen oskillaattori Liikeyhtälö: Ratkaisu: M d x dt x cos x t A t missä harmoonisen värähtelyn kulmataajuus on M Suuret jousivakiot ja pienet etäisyydet tuottavat korkeita taajuuksia.

5 Värähdysamplitudin arviointi Klassisen ekvipartitioteoreema-mallin mukaan värähtelijän kokonaisenergia 1 1 E Mv x on yhtä suuri kuin k B T (kaksi vapausastetta). Kun liikeenergia on nolla, 1 xmax kbt xmax kt B Tämän suuruusluokka on muutama prosentti atomien välisestä etäisyydestä.

6 Monimutkaisempia malleja (1D) Ääretön ketju (yksi atomi/yksikkökoppi) Ääretön ketju (kaksi atomia/yksikkökoppi) Äärellinen ketju

7 Ääretön 1-dimensioinen ketju Liikeyhtälö, atomi n: Tasapainoetäisyys a dun M u u u u dt dun n1 n n1 M u u u dt n n1 n1 n Ratkaisuyrite: u t ue n i kant

8 Sijoitus liikeyhtälöön: dun ikant M M ue dt ika ikant ikant ika ikant ue e ue ue e M M ka i ka ka i ka cos sin cos sin e ika 1 cos e ika ka Tämä on siis voimassa millä tahansa amplitudin u arvolla.

9 Tällä on ratkaisu vain, kun 1 coska ka k sin M M Koska cos cos sin 1 sin, niin saadaan k ka sin ka sin M M Yleisesti ω riippuu k:sta. ω(k) on nimeltään dispersiorelaatio.

10 Ratkaisu Dispersiorelaatio Ääniaalto u t ue n i kant k sin M ka Seisova aalto k ak k M

11 Yleinen 1D-aalto Vaihenopeus ja ryhmänopeus Määritellään vaihenopeus ryhmänopeus Samat, jos

12 Esimerkkejä dispersiorelaatioista Värähtelyt 1D-ketjussa ka k sin M Kvanttimekaaninen partikkeli k

13 Valo tyhjössä Esimerkkejä dispersiorelaatioista Dispersiorelaatio on lineaarinen. Valon nopeus c ei riipu taajuudesta. Valo materiassa k

14 Esimerkkejä dispersiorelaatioista Lineaarinen dispersio k -dispersio k k Sinimuotoinen dispersio k

15 1 5 Ratkaisu Dispersiorelaatio Seisova aalto Ääniaalto

16 Dispersiorelaatio on periodinen ja periodi on yksi käänteishilavektori!

17 Jos k muutetaan yhdellä käänteishilavektorilla, atomien liike säilyy samana.

18 Ensimmäinen Brillouinin vyöhyke Ensimmäinen Brillouinin vyöhyke on k-avaruuden osa, joka on lähempänä tiettyä käänteishilan pistettä kuin mitään muuta käänteishilan pistettä (Wigner-Seitz koppi k-avaruudessa).

19 Ensimmäinen Brillouinin vyöhyke

20 Ensimmäinen Brillouinin vyöhyke

21 Reaaliavaruus Ensimmäinen Brillouinin vyöhyke Käänteisavaruus

22 Kaksiatominen kanta Liikeyhtälöt: Hilaperiodi b dun M u v v dt Ratkaisuyrite: n M vn un 1 un 1 n n n1 u t ue n i kbnt dv Kaksi lineaarista yhtälöä, kaksi tuntematonta (amplitudit u ja v). dt v t ve n i kbnt

23 Sijoitus liikeyhtälöihin: ikb M1u u v e v ikb M v v u e u Saadaan yhtälöpari: ikb 1 M u 1 e v 0 ikb 1 e u M v 0

24 Tällä on ei-triviaali ratkaisu vain, kun kerroinmatriisin determinantti on nolla: ikb M 1 1 e 0 ikb 1 e M Koska ikb ikb M 1 M e e ikb ikb M M M M 4 1 e 1 e e e kb cos 4sin ikb ikb kb :lle saadaan toisen asteen yhtälö kb M1M M1 M 4 sin 0

25 Toisen asteen yhtälö sievennettynä on kb M1M M1 M 4 sin kb sin 0 M1 M M1M joten saadaan kaksi ratkaisua kaikilla k:n arvoilla: kb M M M M M M sin

26 Kaksihaarainen dispersiorelaatio kb M M M M M M sin

27 Fononimoodit Poikittaiset moodit: TA = transverse acoustic TO = transverse optical Pitkittäiset moodit: LA = longitudinal acoustic LO = longitudinal optical

28 Äärellisen pituinen ketju Mitkä ovat reunaehdot? Kuinka ketjun päät käsitellään? Pituus l, kiinnitetyt päätyatomit Ratkaisut ovat seisovia aaltoja.

29 Periodiset reunaehdot Max Born - Theodore von Karman (191) N 1 Ketju, jossa N atomia: u nn u n Äärellinen ketju, jolla ei ole päätyä!

30 Periodiset reunaehdot Samalla tavalla päästään 3D-materiaalien pinnoista eroon (!). Jos kidettä siirretään L:n verran, kaiken täytyy säilyä samana.

31 Periodiset reunaehdot Ketju, jossa N atomia: u nn u Aalto on sama N yksikköä edempänä: e e ikan ikna e 1 n ika nn Tämä rajoittaa k:n arvoja: kna m k a m N N erilaista mahdollista värähtelymoodia (m=0...n-1).

32 Hila ilman kantaa, 10 yksikkökoppia k m a N N atomia antaa N värähtelyn normaalimoodia. Pitkille ketjuille pisteet ovat hyvin tiheässä.

33 1 atomi / yksikkökoppi, N yksikkökoppia => N vapausastetta Reunaehdot k m a N k-pisteiden lkm N x 1 moodia ominaisarvojen lkm per k-piste atomia / yksikkökoppi, N yksikkökoppia => xn vapausastetta k-pisteiden lkm N x moodia ominaisarvojen lkm per k-piste

34 Kvantisoidut värähtelyt Käsitellään kiteen atomeja kvanttimekaanisina harmonisina värähtelijöinä, joilla on ym. taajuudet.

35 Yksi harmooninen oskillaattori: kvanttimekaanien malli Energiatasot kvantittuneet ja tasavälein: 1 En n M

36 Aaltofunktiot: image source: wikimedia, author AllenMcC.

37 Pitkä ketju: kvanttimalli Koska k-arvot ovat kvantittuneet, k voidaan ymmärtää myös kvanttiluvuksi Näitä eksitaatioita kutsutaan fononeiksi. Dispersiota kutsutaan yleisesti fononien dispersiokäyräksi.

38 Fononit <-> Fotonit Vahva analogia: bosonisia eksitaatioita Molempia kuvaa kvanttimekaaninen harmooninen oskillaattori Aaltohiukkasdualismi

39 3D kiinteät aineet 1D Kuutiollinen kide, jonka hilavakio on a, kiteen sivun pituus L ja N yksikkökoppia joka suunnassa 3D Monta indeksiä, esim. liikeyhtälöstä M x m j n i n i m j m j Ratkaisujen lkm: 3 x atomeja per yksikkökoppi x yksikkökoppien lkm Ratkaisujen lkm per k-piste 1BZ:ssa: 3 x atomeja per yksikkökoppi x 0

40 Ensimmäinen Brillouinin vyöhyke Reaaliavaruus Käänteisavaruus

41 Fononit yhdessä dimensiossa haara Fononit 3D:ssä: 3D aaltovektori haara

42 Fononit 3D-kiteessä: alumiini Kokeellinen dispersiorelaatio epäelastisesta röntgensironnasta / neutronisironnasta.

43 Fononit 3D-kiteessä: alumiini

44 Fononit 3D-kiteessä: timantti Epäelastisesta röntgensironnasta / neutronisironnasta. Akustinen ja optinen haara erottuvat.