Luento 8. Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli. Sähkönjohtavuus Druden malli

Koko: px

Aloita esitys sivulta:

Download "Luento 8. Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli. Sähkönjohtavuus Druden malli"

Risto Haavisto
8 vuotta sitten
Katselukertoja:

1 Luento 8 Lämpökapasiteettimallit Dulong-Petit -laki Einsteinin hilalämpömalli Debyen ääniaaltomalli Sähkönjohtavuus Druden malli

2 Klassiset C V -mallit Termodynamiikka kun Ei ennustetta arvosta! Klassinen statistinen mekaniikka Dulong-Petit laki, riippumaton T:stä

3 Dulong-Petit laki vs. koe 77 K (JK -1 ) 273 K (JK -1 ) classical value copper aluminium gold lead iron sodium silicon C V per mooli Korkeissa lämpötiloissa Dulong-Petit laki toimii hyvin myös metalleille.

4 Timantin lämpökapasiteetti

5 Einsteinin hilalämpömalli Einsteinin mallissa oletetaan, että kukin kiteen atomeista on itsenäinen harmoninen oskillaattori, joka voi absorboida lämpöenergiaa. Kukin atomi voi värähdellä x, y, ja z-suunnissa. Kunkin atomin värähtelyn perustaajuus on sama ω. E Atomeja on N kpl 1-ulotteisia värähtelijöitä on 3N kpl

6 Einsteinin malli Aineen lämpövärähtelyjä edustaa N kpl itsenäisiä oskillaattoreita, joilla on energiatilat 1 En n E 2 Keskimääräinen energia yhdellä moolilla ainetta (= N kpl oskillaattoreita) on 3 A 1 E 3N A n E 2 Käyttäen Bose-Einstein jakaumaa 1 n E kt B e E 3NA e E kt B 1 2 E

7 Einsteinin lämpökapasiteetti Lämpökapasiteetti on (1 moolille) Lasketaan Koska C V E T E kt B E E e 3N A E T k 2 BT e V N kbnt nrt N A n V 1 1 E 3NA E e E kt B 1 2 R k B 1 2 E kt B joten E kt B E e CV 3R kt E kt B B e 1 2 2

8 Äärilämpötilakäyttäytyminen Korkeissa lämpötiloissa Joten E kt B << 1 eli E 2 1 E kt B CV 3R 3R 2 kt B E 1 1 kt B e E kt B 1 E kt B Ekvipartitioperiaatteen mukainen tulos k B T / dimensiota + atomia kohden. Matalissa lämpötiloissa E kt B >> 1 eli e k T 1 e k T E B E B Joten 2 2 E kt B E e 2 E kt B kbt e kbt CV 3R 3R e E kt B Eksponentiaalinen pieneneminen

9 E kt B e CV 3R kt E kt B B e 1 Oikea Dulong-Petit arvo korkeissa lämpötiloissa. Lämpökapasiteetti menee nollaan absoluuttisessa nollassa. Einstein-taajuus / - lämpötila on sovitettava parametri. k Kokeelliset tulokset D D B 2 2

10 Ongelma matalissa lämpötiloissa Matalan lämpötilan käyttäytyminen ei ole todenmukaista. Einsteinin malli antaa eksponentiaalisen muodon CV R e kt B E B 3 kun kokeellinen muoto on T 3. 2 kt

11 Miksi Einsteinin malli toimii korkeissa lämpötiloissa, mutta ei matalissa? Korkeilla T energiatilojen väli on mitättömän pieni verrattuna termiseen energiaan. Matalissa lämpötiloissa energiatilojen erotus on pienempi kuin k B T. Loppujen lopuksi kaikki oskillaattorit jäätyvät perustilaan.

12 Debyen ääniaaltomalli Atomien kytketyt värähtelyt muodostavat seisovia ääniaaltoja (pitkittäisiä tai poikittaisia). Yksi seisova aalto merkitsee usean atomin yhtäaikaista tahdistettua liikettä. Näitä värähtelyjä on yhtä monta kuin on atomien paikkakoordinaatteja eli 3N kpl.

13 Kuva esittää toiseksi pisintä seisovaa aaltoa 1 - ulotteisessa kiteessä. Jos kiteen pituus on L toiseksi pisimmän aallon aallonpituus on L. Pisimmän aallon pituus 2 L. a Kiteen reuna Vierekkäisten atomien etäisyys = hilavakio Toiseksi pisin ääniaalto Lyhin mahdollinen aallonpituus ääniaallolle Mikä on aallonpituudeltaan lyhin mahdollinen ääniaalto? Se on sellainen, jossa vierekkäiset atomit ovat vaihe-erossa. Tämän lyhyempää aaltoa ei voi muodostua!

14 Kiteen akustisten värähtelyjen taajuus riippuu lineaarisesti k:sta. Energiatilojen väli on hyvin pieni pienillä k.

15 Suuri määrä oskillaattoreita, joilla ω on erilainen eri k:n arvoilla. Keskimääräinen energia yhdellä oskillaattorilla

16 Kolmiulotteisen aineen keskimääräinen energia (summa yli kaikkien fononeiden) Kaksi poikittaista, yksi pitkittäinen moodi Mitä ovat g ja? Strategia: D }

17 Värähtelyjen tilatiheys Jokaiseen pisteeseen liittyvä arvo: tilojen lkm maksimilla n tilojen lkm maksimilla k

18 tilojen lkm maksimilla k

19 Mikä on integroinnin yläraja? Värähtelyjä ei voi olla enempää kuin kolme kertaa atomien määrä Debye-kulmataajuus Debye-lämpötila

21 Korkea lämpötila, pieni yhdelle moolille

22 Matala lämpötila, suuri yhdelle moolille

23 Debye-malli vs. kokeellinen

24 Debye-malli vs. Einstein-malli Debye-malli kuvaa värähtelyjä paremmin etenkin matalissa lämpötiloissa.

25 Debye-lämpötiloja

26 Debye-mallin rajat (kupari)

27 Metallien sähkönjohtavuus Mikä metallin erottaa muista materiaaleista? Metalli johtaa sähköä (niin osa muista aineistakin). Metalli näyttää läpinäkymättömältä ja heijastavalta (niin osa muista aineistakin). Metalli johtaa hyvin lämpöä (niin osa muista aineistakin). 27

28 Druden malli Paul Druden teoria vuodelta 1900, kolme vuotta elektronin löytymisen jälkeen. Druden mallissa (vapaat) elektronit muodostavat klassisen ideaalikaasun, mutta elektronit voivat myös törmäillä aineen ionien kanssa, ei toisten elektronien. Keskimääräinen rms-nopeus Huoneenlämmössä 28

29 Relaksaatioaika Relaksaatioaika välillä). (keskimääräinen aika törmäysten Vapaa matka v t

30 Johtavuuselektronitiheys #atoms per volume calculate as #valence electrons per atom density atomic mass 30

31 Elektronit eivät vuorovaikuta keskenään. Miksi eivät? (Coulombin voima?, Paulin kieltosääntö?) Elektronit eivät vuorovaikuta voimakkaasti ionien kanssa. Miksi eivät? (taas Coulombin voima!) Klassinen statistiikka ei voi antaa oikeita tuloksia. Miksi? Klassista statistiikkaa voidaan käyttää, kun l missä l on elektronin de Broglie aallonpituus (huoneenlämpötilassa). l muutama Å h h h p 2mE 3mk T tr B m 31

32 Jos teoria antaa paljon oikeita vastauksia, siinä täytyy olla jotain oikein. Hendrik Antoon Lorentz Mikä Druden mallissa on oikein? Itse asiassa ei paljon mikään! 32

33 Tarkastellaan elektronia sähkökentässä. Liikeyhtälö on Intergointi antaa Jos on keskimääräinen aika törmäysten välillä, keskimääräinen ajautumisnopeus on 33

34 Elektronien lukumäärä, joka joka kulkee pinnan läpi aikayksikössä on Elektronien virta on Virrantiheys Ohmin laki Ja kun saadaan 34

35 Ohmin laki Ohmin laki Määritellään johtavuus ja resistiivisyys ja liikkuvuus 35

36 Toimii metalleille Toimii homogeenisille puolijohteille Ei toimi epähomogeenisille puolijohteille 36

37 Sähkönjohtavuuksia 37

38 38

39 Druden malli antaa kohtuullisen näkemyksen resistiivisyyden synnystä Druden malli antaa kvalitatiivisesti Ohmin lain (sähkökentän ja virratiheyden lineaarisen suhteeen). Se antaa myös kohtuullisen oikeita arvoja huoneenlämpötilassa. 39

Samankaltaiset tiedostot

Fononit. Värähtelyt lineaarisessa atomiketjussa Dispersiorelaatio Kaksi erilaista atomia ketjussa Fononit kolmessa dimensiossa

Fononit. Värähtelyt lineaarisessa atomiketjussa Dispersiorelaatio Kaksi erilaista atomia ketjussa Fononit kolmessa dimensiossa Fononit Värähtelyt lineaarisessa atomiketjussa Dispersiorelaatio Kaksi erilaista atomia ketjussa Fononit kolmessa dimensiossa Atomien lämpövärähtely Mikä on atomien värähtelyn taajuus ja amplitudi? Tarkastellaan