L p -keskiarvoalueista

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "L p -keskiarvoalueista"

Transkriptio

1 L p -keskiarvoalueista Jenni Alamehtä Matematiikan pro gradu Helsingin yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kesäkuu 4

2 HELSINGIN YLIOPISTO HELSINGFOS UNIVESITET UNIVESITY OF HELSINKI TiedekuntaOsasto FakultetSektion Faculty Laitos Institution Department Matemaattis-luonnontieteellinen Tekijä Författare Author Jenni Alamehtä Työn nimi Arbetets titel Title Matematiikan ja tilastotieteen laitos L p -keskiarvoalueista Oppiaine Läroämne Subject Matematiikka Työn laji Arbetets art Level Aika Datum Month and year Sivumäärä Sidoantal Number of pages Pro gradu -tutkielma Kesäkuu 4 49 s. Tiivistelmä eferat Abstract Tutkielmassa todistamme, että valitut alueet ovat L p -keskiarvoalueita. Aloitamme esittelemällä kvasihyperbolisen metriikan. Tarvitsemme metriikkaa koko tutkielman ajan. Kvasihyperbolinen metriikka on n-ulotteinen vastine standardille hyperboliselle metriikalle avaruudessa. Todistamme, että kvasihyperbolinen metriikka on todella metriikka ja esitämme lyhyesti erittäin käyttökelpoisen arvion kvasihyperboliselle metriikalle. Toisen luvun lopussa esitämme L p -keskiarvoalueen määritelmän, joka pohjautuu kvasihyperboliseen metriikkaan. Kolmannessa luvussa osoitamme, että pallo avaruudessa n on L p -keskiarvoalue. Pallossa kvasihyperbolinen metriikka on helppo laskea ja saammekin sille tarkan arvion. Kun siirrymme polaarikoordinaatteihin, induktiolla sekä dimension n että luvun p suhteen saamme osoitettua, että pallo on L p -keskiarvoalue. Neljännessä luvussa käsittelemme kolmiota tasossa. Kvasihyperboliselle metriikalle kolmiossa saamme laskettua hyvän arvion. Tutkielmassa laskemme ylärajan kvasihyperbolisen metriikan integraalille kolmiossa, kun potenssi p =, p = ja p = 3. Ennestään tiedämme, että kolmio on L p - keskiarvoalue. Viidennessä luvussa käsittelemme äärellistä piikkialuetta. Piikkiin olemme liittäneet kolmion, mutta se voisi olla mikä tahansa L p -keskiarvoalue, kuten pallo tai kuutio. Kuitenkin koko alueen mitan tulee olla äärellinen. Todistuksen jälkeen osoitamme tärkeän lauseen. Se antaa yhden mahdollisen funktion, jolla voimme muodostaa halutun piikin S. Lopuksi tutkimme äärettömyyteen jatkuvaa piikkiä. Piikki on jälleen rajattu kolmiolla, mutta se voisi olla pallo, kuutio tai kolmio jossain toisessa asennossa. Oleellista on, että koko alueen mitta on äärellinen. Laskut ovat vastaavat kuin rajoitetussa tapauksessa. Avainsanat Nyckelord Keywor L p -avaruus, kvasihyperbolinen metriikka, L p -keskiarvoalue Säilytyspaikka Förvaringsställe Where deposited Kumpulan tiedekirjasto Muita tietoja Övriga uppgifter Additional information

3 Hippulalle

4 Sisältö Johdanto 5 Johdatus L p -keskiarvoalueen määritelmään 6 3 Pallo 9 4 Kolmio 8 5 Äärellinen piikkialue 38 6 Äärettömyyteen jatkuva piikkialue 46

5 JOHDANTO 5 Johdanto Tutkielmassa todistamme, että valitut alueet ovat L p -keskiarvoalueita. Aloitamme esittelemällä kvasihyperbolisen metriikan. Tarvitsemme metriikkaa koko tutkielman ajan. Kvasihyperbolinen metriikka on n-ulotteinen vastine standardille hyperboliselle metriikalle avaruudessa. Todistamme, että kvasihyperbolinen metriikka on todella metriikka ja esitämme lyhyesti erittäin käyttökelpoisen arvion kvasihyperboliselle metriikalle. Toisen luvun lopussa esitämme L p -keskiarvoalueen määritelmän, joka pohjautuu kvasihyperboliseen metriikkaan. Kolmannessa luvussa osoitamme, että pallo avaruudessa n on L p -keskiarvoalue. Pallossa kvasihyperbolinen metriikka on helppo laskea ja saammekin sille tarkan arvion. Kun siirrymme polaarikoordinaatteihin, induktiolla sekä dimension n että luvun p suhteen saamme osoitettua, että pallo on L p - keskiarvoalue. Neljännessä luvussa käsittelemme kolmiota tasossa. Kvasihyperboliselle metriikalle kolmiossa saamme laskettua hyvän arvion. Tutkielmassa laskemme ylärajan kvasihyperbolisen metriikan integraalille kolmiossa, kun potenssi p =, p = ja p = 3. Ennestään tiedämme, että kolmio on L p -keskiarvoalue. Viidennessä luvussa käsittelemme äärellistä piikkialuetta. Piikkiin olemme liittäneet kolmion, mutta se voisi olla mikä tahansa L p -keskiarvoalue, kuten pallo tai kuutio. Kuitenkin koko alueen mitan tulee olla äärellinen. Todistuksen jälkeen osoitamme tärkeän lauseen. Se antaa yhden mahdollisen funktion, jolla voimme muodostaa halutun piikin S. Lopuksi tutkimme äärettömyyteen jatkuvaa piikkiä. Piikki on jälleen rajattu kolmiolla, mutta se voisi olla pallo, kuutio tai kolmio jossain toisessa asennossa. Oleellista on, että koko alueen mitta on äärellinen. Laskut ovat vastaavat kuin rajoitetussa tapauksessa.

6 JOHDATUS L P -KESKIAVOALUEEN MÄÄITELMÄÄN 6 Johdatus L p -keskiarvoalueen määritelmään Määritelmä.. Olkoon D avaruuden n aito osa-alue, n. Pisteiden x ja x välinen kvasihyperbolinen metriikka alueessa D on k D x, x = inf γ distx, D, missä γ : [, ] D on suoristuva polku alueessa D pisteiden x ja x välillä ja infimum otetaan kaikkien tällaisten polkujen yli. Osoitetaan, että etäisyys k D x, x on metriikka alueessa D. Lause.. Kvasihyperbolinen etäisyys k D x, x määrittelee metriikan alueessa D eli. k D x, x k D x, x 3 + k D x 3, x. k D x, x = k D x, x 3. k D x, x =, jos ja vain jos x = x kaikilla pisteillä x, x, x 3 D. Todistus. Oletetaan, että pisteet x, x, x 3 D. Olkoon γ ij : x i x j suoristuva polku pisteestä x i pisteeseen x j. Tulopolku γ ij γ jk : [, ] D määritellään asettamalla { γij t, kun t [, γ ij γ jk t = ] γ jk t, kun t [, ]. Kaikille pisteet x ja x 3 aluessa D yhdistäville suoristuville poluille γ 3 ja kaikille pisteet x 3 ja x alueessa D yhdistäville suoristuville poluille γ 3 on voimassa Siis k D x, x = inf γ γ distx, D = distx, D + distx, D. γ 3 γ 3 k D x, x = inf γ γ γ distx, D inf γ 3 γ 3 distx, D + inf γ 3 γ 3 = k D x, x 3 + k D x 3, x. γ 3 γ 3 distx, D distx, D

7 JOHDATUS L P -KESKIAVOALUEEN MÄÄITELMÄÄN 7. Pisteet x ja x yhdistävän suoristuvan polkun γ avulla saamme pisteet x ja x yhdistävän polun γ. Polku γ on polun γ vastapolku eli γ = γ. Tiedetään, että distx, D = distx, D. Näin ollen γ γ k D x, x = k D x, x. 3. Oletetaan, että x = x. Tällöin pisteet x ja x voidaan yhdistää alueessa D suoristuvalla polulla γ, jonka pituus lγ =. Nyt k D x, x = inf γ γ distx, D distx, D =. Siis k D x, x =. Oletetaan, että x x. Kaikilla x γ [, ] on voimassa distx, D x x + distx, D lγ + distx, D. Tästä saamme arvion distx, D = γ γ lγ + distx, D x x x x + distx, D γ lγ + distx, D = γ lγ lγ + distx, D kaikilla pisteiden x ja x välisillä suoristuvilla poluilla γ. Siis k D x, x = inf γ γ distx, D x x x x + distx, D >. Yhdistämällä molemmat tapaukset saamme, että k D x, x =, jos ja vain jos x = x. Lause.3. Jos D on avaruuden n aito osa-alue, niin k D x, x distx, D distx, D kaikilla x, x D.

8 JOHDATUS L P -KESKIAVOALUEEN MÄÄITELMÄÄN 8 Todistus. Todistus on esitetty kandidaatintutkielmassa [an] Lemmassa 3.. Todistuksen pohjana on käytetty Gehringin ja Palkan [GePa] Lemmaa.. Määritelmä.4. Olkoon p <. Alue D on L p -keskiarvoalue, jos ja vain jos kx, x dx <, jollakin x D. D

9 3 PALLO 9 3 Pallo Määritetään kvasihyperbolisen etäisyyden lauseke avaruuden n, n, pallossa B = B n x,, missä x on pallon keskipiste ja > säde. Oletetaan koko luvun ajan, että x =. Lasketaan nyt etäisyys pallon keskipisteen ja mielivaltaisen pallon pisteen x B välillä. Suoraan kvasihyperbolisen metriikan määritelmästä saadaan k B, x = k B, x γ disty, B, missä γt = t, t [, x ]. Tällöin distγt, B = t. Nyt k B, x x t. Tehdään muuttujanvaihto t = u ja du =. Tällöin Siis x x x t = du u = u = x + = x = Toisaalta epäyhtälön nojalla k B, x k B, x Yhdistämällä yllä lasketut tulokset saamme x. dist, B distx, B = x. k B, = x. x. Lause 3.. Olkoon p {,,...}, B = B n,, n {, 3,...} ja >. Tällöin k B, x dx = c n n n n, B missä c n riippuu vain dimensiosta n.

10 3 PALLO x x Kuva : Pallo B Todistus. Merkitään S n = {x n : x = }. Vaihtamalla polaarikoordinaatteihin saadaan k B, x dx = dx B B x = t n dσϕ S n tϕ = t n dσϕ S n t = σs n t n, t missä σ on pintamitta pallokuorella S n. Jätetään vakio c n = σs n ois koska se ei periaatteessa vaikuta seuraaviin tuloksiin. Osoitetaan, että t n = + t n n n.. Perusaskel: Oletetaan, että p = ja < < sekä n {, 3, 4,...} ovat kiinnitetty. Osoitetaan, että t n = + t n n n. 3 Todistamme väitteen induktiolla dimension n suhteen.

11 3 PALLO a Perusaskel: Oletetaan, että n = eli osoitetaan että t = + t. Tällöin = b t = lim t b t lim b b t t. t t Ensimmäinen integraali on helppo laskea. Siitä saadaan t = t =. Tehdään toiseen integraaliin muuttujan vaihto t = u ja = du. Tällöin t t = lim b b t t = lim u u du = lim u u du a = lim u du u u du. a a a a a a Jälleen ensimmäinen integraali on helppo ja siitä saadaan u du = lim u du = lim a a a =. u u u Jälkimmäinen integraali saadaan laskettua käyttämällä osittaisintegrointikaavaa b a f tgt = b ftgt a b a a g tft, 4

12 3 PALLO missä funktiot f ja g ovat derivoituvia sekä derivaatat f ja g ovat iemann-integroituvia välillä [a, b].valitaan f t = u ja gt = u. Nyt u u du = lim u u du a a = lim a u u lim a a u u du a = = 4. Yhdistetään lasketut integraalit, jolloin t = t u du = 4 u 4 = = 3 4 = +. b Induktioaskel: Oletetaan, että yhtälö 3ätee dimensiossa n. Tällöin t n = + t n n n. Osoitetaan, että väite on voimassa dimensiossa n +. Lasketaan integraali t n t osittaisintegroimalla käyttäen kaavaa 4. Valitaan gt = t n eli

13 3 PALLO 3 g t = nt n ja f t =. Lasketaan ft. t ft = t = t = t = t t t t = t + t t t. Sovelletaan osittaisintegrointi kaavaa 4. Tällöin = lim b b = lim b b b t n = lim t n t b t b t n t + t t t nt n t + t t t b n b + b n b b b n b nt n t + t t t Sijoituksen jäljiltä muut raja-arvot ovat helppoja paitsi keskimmäinen. L Hôpitalin sääntöä käyttämällä saadaan Edelleen t n t = n lim lim b b lim b bn b b =. b b nt n nt n t t + lim b b nt n t. Muunnetaan ensimmäinen termi integraalimuotoon ja hajotetaan.

14 3 PALLO 4 muita integraaleja lisää. Nyt t n t = lim + b b = n n + n nt n n t n nt n t + lim nt n t t n n lim t n + n lim t n n b b t n. b b b b Yhdistetään integraaleja sopivasti, jolloin t n t = n lim b b + n n tn n t n nt n t t n t t n t n lim t n + tn+. b b t n t Toinen integraali on sama kuin mitä yritämme laskea, joten siirretään se toiselle puolelle. n + t n t b = n lim t n + n+ n b t n + n+ = n t n t + n+ n n + n+. Jaetaan puolittain luvulla n + ja käytetään induktio-oletusta.

15 3 PALLO 5 Tällöin t n t = n + n n + n+ n n n + n n+ n + n + = n+ n n + + n + n+ n + n + n n+ n + n + = n+ n n + + n+ n + n + = n + n+ n + n +. Väite 3 on osoitettu kaikilla n {, 3, 4,...}. Osoitetaan nyt yhtälö kaikilla p {,, 3,...} kun n on kiinnitetty. Induktion perusaskel eli tapaus p = on laskettu edellä.. Induktioaskel: Oletetaan, että väite pätee vakiolla p eli t n Osoitetaan, että Nyt t n t n = + t n n n. = + t n + n n n. 5 = t n t t. t Integraali saadaan laskettua soveltamalla osittaisintegrointikaavaa 4. Valitaan f t = t n ja gt = t t. Tällöin funktio ft saadaan induktio-oletuksesta ft = t n n n

16 3 PALLO 6 ja g t voidaan laskea suoraan Nyt g t = t = t. t n b = lim t b [ b = lim t n b n n t b ] p t n t n n [ = lim b n b n n b + n n b t n t t n ]. t Tarkastellaan kiinteää lukua < b <. Jaetaan t n termillä t esimerkiksi jakokulmassa. Tällöin b t n b t t = n + t n n + n t b = n tn + n tn n t + n t = bn n + n bn n b + n b = bn n + n bn n b n + n b.

17 3 PALLO 7 Siis = lim b + n t n t [ b n n n p b n n n + n + n b ] b n bn n b [ = lim p b b n n n b n b ] + bn n + n bn n b n + n b = [ b n n + n n n bn n b lim b n + ] + b n n + n b n b = n + n n = n + n n n. n + n n Siis yhtälö 5 on todistettu ja näin ollen lause on todistettu.

18 4 KOLMIO 8 4 Kolmio Oletetaan koko luvun ajan, että n =. Merkinnällä γ x,y tarkoitamme pisteiden x ja y välistä janaa γ. Määritetään aluksi kvasihyperbolisen metriikan lauseke tasakylkisessä kolmiossa K. Olkoon kolmio suorien x =, y = ja x y = rajoittama. Olkoon z = x, y ja z kulmanpuolittajien leikkauspiste. Lause 4.. Kaikilla z K pätee: Kuva : Kolmio K koordinaatistossa. k K z, z 3 distz, K + 3. Todistus. Todistuksessa käytetään lähteenä pro gradua [a]. Lasketaan aluksi etäisyys distz, K. Pythagoraan lauseesta saadaan s = + = =. Kolmio K on tasakylkinen, joten α = π8 ja suorakulmaisen kolmion trigonometriasta saadaan distz, K = s tan α = tan π 8 = +. 6

19 4 KOLMIO 9 Kuva 3: Kolmio K, johon on merkitty kvasihyperbolisen metriikan laskemisessa tarvittavat pisteet sekä janat. Kiinnitetään piste z K. Olkoon γ pisteiden z ja z välinen jana ja olkoon t piste janalla. Olkoon u K piste, jolle t u = distt, K ja olkoon v K janan γ jatkeella oleva piste. Merkitään symbolilla β janan γ jatkeen ja kolmion sivun välistä kulmaa. Koska z on kulmanpuolittajien leikkauspiste, niin β [π8, π]. Nyt kaikilla t γ distt, K = t u = t v sin β 7 t z sin β t z sin π 8 Oletetaan, että on voimassa epäyhtälö t z. 3 t z distz, K. 8 Nyt käyttämällä kolmioepäyhtälöä, saadaan distz, K z u z t + t u = distt, K + t z.

20 4 KOLMIO Käyttämällä yllä olevaa epäyhtälöä sekä epäyhtälöä 8, saadaan Osoitetaan, että distt, K distz, K t z 9 distz, K distz, K = distz, K. k K z, z 3 distz, K + 3 kaikilla z K. Todistetaan epäyhtälö kahdessa osassa.. Oletetaan ensin, että on olemassa piste y γ[, ] jolle on voimassa y z = distz, K. Kun piste t on pisteiden y ja z välisellä polulla γ eli t γ y,z, niin t z distz, K. Kvasihyperbolisen metriikan määritelmän nojalla k K z, z γ distt, K = distt, K + distt, K. γ z,y Tutkitaan ensin ensimmäistä integraalia kaavariviltä. Arvion 9 ja oletuksen nojalla γ z,y distt, K γ z,y distz, K = distz, K γ z,y y z distz, K = = distz, K distz, K =. Tutkitaan seuraavaksi jälkimmäistä termiä kaavariviltä. Käytetään arviota 7 ja oletusta sekä aritmin tulokaavaa, jolloin distt, K 3 z z γ y,z t z = 3 dx y z x γ y,z = 3 z z y z γ y,z x = 3 z z y z = 3 z z y z = 3 z z distz, K = 3 distz, K + 3 z z.

21 4 KOLMIO Etäisyyden lausekkeen 6 ja arvion 7 nojalla jälkimmäisestä termistä saadaan Siis 3 z z 3 6 distz, K 6 = 3 tan π <. 8 γ y,z distt, K 3 distz, K +. Kun yhdistetään erikseen lasketut integraalit, niin k K z, z γ z,y distt, K + γ y,z distt, K + 3 distz, K + = 3 distz, K + 3. Epäyhtälö on voimassa ensimmäisessä tapauksessa.. Oletetaan nyt, että t z < distz, K 3 kaikilla t γ. Nyt arvion 9 nojalla saadaan k K z, z γ distt, K γ distz, K = = z z distz, K distz, K distz, K distz, K Käytetään etäisyyden lauseketta 6, jolloin γ =. Jälleen Olemme siis osoittaneet, että distz, K distz, K = tanπ8 >. k K z, z 3 k K z, z 3 distz, K + 3. distz, K + 3.

22 4 KOLMIO On varsin helppoa osoittaa, että kolmio on L p -keskiarvoalue, kun p [,. Seuraavaksi laskemme arviot kvasihyperbolisen metriikan potenssille p tapauksissa p =, p = sekä p = 3. Lause 4.. Osoitetaan seuraavat tulokset:. Oletetaan, että p =. Tällöin 5 k K z, z dz Oletetaan, että p =. Tällöin K K k K z, z dz Oletetaan, että p = 3. Tällöin k K z, z 3 dz K Todistus. Jaetaan kolmio kolmeen osaan kulmanpuolittajien mukaisesti ku-van 4 osoittamalla tavalla. Kulmanpuolittajien leikkauspiste on +, +. Lauseen 4. nojalla 3 I p := k K z, z dz 3 distz, K + 3 dz =: I p + I p + I3. p K j= K j Alueet K ja K ovat symmetriset joten niistä riittää laskea vain toinen. Lasketaan integraali ensin yli alueen K ja sitten yli alueen K 3.. Oletetaan, että p =. Aluessa K etäisyys distz, D = x. Tällöin integraali yli alueen K on I = = 3 = 3 x + x + x + x + x + x 3 x + 3 dy dx x + dy dx x dy dx..

23 4 KOLMIO 3 Kuva 4: Kolmio K, johon on merkitty integroinnissa käytettävät alueet K,K ja K 3. Integroidaan ensin muuttujan y suhteen. Tällöin I = 3 = 3 = 3 x + x y x dx x + x xdx + x x dx. Kerrotaan lausekkeet keskenään. I + = 3 x + x + + x x dx. 4 Ensimmäiset integraalit ovat helppoja. Lasketaan integraalin viimeinen termi osittaisintegroimalla käyttäen kaavaa 4. Valitaan f x = x eli fx = x ja gx = x eli g x = x.

24 4 KOLMIO 4 Tällöin = x x dx = x x x x x dx. x x dx Lasketaan nyt kaikki integraalit. I = 3 + x + x + + x x dx = 3 x x x + x + x x x x dx. Yhdistetään termejä ja lasketaan loput integraalit. I = = 3 x x x + x x x x x x + 4 x dx x + + x x + x. 4

25 4 KOLMIO 5 Lajitellaan termejä ja sijoitetaan rajat. + I = 3 x 3 + x + + x x x x 4 = = = Lasketaan vielä integraali yli alueen K 3. Siirretään alue K 3 koordinaatistossa samaan paikkaan kuin alue K. Kuva 5: Alkuperäinen alue K 3 integroida. siirrettynä kohtaan, jossa se on helpompi

26 4 KOLMIO 6 Merkitään laskevaa suoraa symbolilla y x ja alempana sijaitsevaa nousevaa suoraa symbolilla y x. Käytetään lukiosta tuttua pisteiden x, x ja y, y kautta kulkevan suoran kaavaa Tällöin ja y y = y y x x x x. y x = + x y x = + x. Nyt voimme laskea integraalin yli alueen K 3. Siis I 3 = = 3 = 3 + x x + x x + x x 3 x + 3 dy dx x + dy dx x dy dx. Integroidaan muuttujan y suhteen. Tällöin I3 = 3 = 3 = 3 + x x y x dx + x x + x x + x + x dx. dx Otetaan vakio yhteiseksi tekijäksi ja kerrotaan lausekkeet keskenään. I3 = x + x dx = 3 x + x + + x x dx.

27 4 KOLMIO 7 Huomaamme, että alin integraali on vakiota vaille sama kuin integraali 4 tapauksessa I. Yhdistämällä lasketut integraalit, saamme I = I + I + I3 = I + I + I = + I = = Oletetaan, että p =. Lasketaan ensin taas integraali yli alueen K joka on sama kuin integraali yli alueen K. Lopuksi lasketaan integraali yli alueen K 3. Nyt I = = 3 = 3 x + x x + x x + x 3 x + 3 dy dx x + dy dx x dy dx. Integroidaan ensin muuttujan y suhteen. I = 3 = 3 = 3 = 3 x + x y x dx x x + x x dx + x x dx + x x + x dx. Kerrotaan lausekkeet keskenään, jolloin I = x x + + x x dx 5 x + x x dx.

28 4 KOLMIO 8 Aloitetaan integrointi muuttujan x suhteen. Osa integraaleista on helppo laskea ja osa samanlaisia osittaisintegrointeja joita tehtiin tapauksessa p =. Nyt on kuitenkin laskettavana myös integraalit muotoa sekä x x dx x dx. Lasketaan ylempi integraali käyttämällä osittaisintegrointikaavaa 4 kaksi kertaa. Valitaan nyt että Tällöin f x = x eli fx = x ja gx = x eli g x = x. x x x dx = x x x x dx. Jäljelle jäänyt integraali saadaan laskemalla käyttäen osittaisintegrointikaavaa 4 kuten aiemmin. Lasketaan sitten integraali muotoa x dx. Kirjoitetaan integraali yhtäpitävästi muotoon x dx ja käytetään osittaisintegrointikaavaa 4. Valitaan Nyt f x = eli fx = x ja gx = x eli g x = x. x = x dx = x x dx x x dx x dx. x x dx x

29 4 KOLMIO 9 Nyt voimme laskea integraalin yli alueen K loppuun. Integroidaan muuttujan x suhteen, jolloin I = = x x + + x x dx x + x x dx x + x x x x + x x x dx 3 + x x x dx x x x x dx. Yhdistellään termejä ja lasketaan integraaleja. I = x + x x x + x x x 4 x x x x x + x x x x x x dx.

30 4 KOLMIO 3 Lasketaan sulkuja auki sekä viimeinen integraali. I = Lajitellaan termit. I = = x + x x x + x + + x x + x + x x x x + x + x x + + x + x + x + x + x x + x. 4 x + x 4 x x + + x x x x + + x x x x + x x 5x x 3 + x 4x x + 3 Sijoitetaan lopuksi integraalin rajat. 5 I = = x + x x.. +

31 4 KOLMIO 3 Lasketaan seuraavaksi integraali yli alueen K 3. I 3 = = 3 + x x + x x 3 x + 3 dydx x dydx. Integroidaan muuttujan y suhteen ja sijoitetaan rajat. I 3 = 3 = 3 = 3 + x x y x dx + x + x + x dx + x + x dx. Voimme ottaa vakion yhteiseksi tekijäksi, jolloin I3 = x x dx. Avataan toinen potenssi ja kerrotaan lausekkeet keskenään. Tällöin I3 = 3 = x x + x dx x + x + x dx + x x + x x dx. Nyt tämä on vakiota vaille sama integraali kuin tapauksen I kaava 5. Laskemalla integraalit yhteen, saamme I = I + I + I3 = I + I = + I =

32 4 KOLMIO 3 3. Lasketaan seuraavaksi tapaus p = 3. Tehdään kuten aiemminkin eli lasketaan ensin integraali yli alueen K ja sen jälkeen yli alueen K 3. Tällöin symmetrian nojalla olemme laskeneet integraalin yli koko kolmion K. Nyt I 3 = = x + x + x + x 3 x dydx 3 3 x 3 dydx. Integroidaan yhtälö ensin muuttujan y suhteen. Tällöin I 3 = 3 3 = 3 3 = 3 3 = 3 3 x + x x + x x 3 dydx y x 3 dx x + x + x 3 dx + x x 3 dx. Avataan kolmas potenssi ja kerrotaan lausekkeiden termit keskenään. I 3 = 3 3 = x 3 x + 3 x x 3 dx 3 x + 3 x x 3 + x dx x x 3 + x x + + x x 3 dx. Suurin osa integraaleista on jälleen tuttuja ja helppo laskea. Lasketaan kuitenkin integraalit sekä x 3 dx x x 3 dx.

33 4 KOLMIO 33 Lasketaan ensimmäinen integraali käyttäen osittaisintegrointikaavaa 4. Valitaan Tällöin f x = eli fx = x ja gx = x 3 eli g x = 3 x x. = = x 3 dx = x x 3 x x 3 x 3 dx 3 x x x dx 3 x dx. Jäljellä oleva integraali on laskettu jo aiemmin. Käyttämällä sitä, saamme = x x 3 3 x x dx x dx = = Lasketaan sitten alempi integraali x x 3 3x x + 6x x x x x 3 3x x + 6x x 6x. x x 3 dx. Käytetään jälleen osittaisintegraalikaavaa 4. Valitaan f x = x eli fx = x ja gx = x 3 eli g x = 3 x x.

34 4 KOLMIO 34 Lasketaan = x x 3 dx = x x 3 x x 3 3 x x dx. 3 x x x dx Jälkimmäisen integraalin olemme jo laskeneet, joten käytämme sitä. Tällöin = = = x x x x + 3 x x dx x x x x x x x x x x x x x x x x x x 3 8 x. Nyt voimme laskea integraalin I 3 loppuun. Nyt I 3 = x + 3 x x 3 + x dx 3 4 x x dx 3 4 x dx 3 + x x 3 + x x + + x x 3 dx

35 4 KOLMIO 35 = x 3x x + 3x + 3x x 6x x + 6x x x 3 + 3x x 6x x + 6x + x Yhdistetään termejä. Siis I 3 = = x x x x x x x 9 + x 5x x 8 x 3 + x x x + + x x 3 x x 3 + x x x x x + 6x x x x 6 + x x 8 x x x x 3 6x x 5x x x x + 6x x 8 x x x x x x 3.

36 4 KOLMIO 36 Sijoitetaan integraalin rajat. Tällöin 6 I 3 = = Sievennetään lauseketta lisää, jolloin saamme I 3 = Lasketaan vielä integraali I 3 3. Lasketaan kuten aiemminkin I 3 3 = = x x + x x Integroidaan ensin muuttujan y suhteen. I 3 3 = 3 3 = 3 3 = x x 3 x dydx y x 3 dx x 3 dydx. + x + x + + x x 3 dx x 3 dx + 3.

37 4 KOLMIO 37 = 3 3 = x 3 x + 3 x x 3 dx 3 x + 3 x x 3 + x dx 3 + x x 3 + x x + + x x 3 dx. Tämä on vakiota vaille sama integraali kuin tapauksen I 3 lauseke 6. Nyt voimme laskea integraalin yli kolmion K loppuun. Siis I 3 = I 3 + I 3 + I3 3 = I 3 + I 3 = + I 3 = = Lause 4.3. Kolmio on L p -keskiarvoalue kaikilla p <. Todistus. Tulos seuraa Susan Staplesin tuloksista [St].

38 5 ÄÄELLINEN PIIKKIALUE 38 5 Äärellinen piikkialue Lause 5.. Olkoon D = K S alue, missä K on kolmio ja S on piikki K = {x, y : x < y < x, x < } S = {x, y : y < gx, < x < } ja funktio g C [, ] toteuttaa seuraavat ehdot: A. g =, g = B. < g x M, kun < x, jollakin kiinteällä M C. g x, kun < x. Tällöin D on L p -keskiarvoalue jos ja vain jos gx x gt dx <. 7 Todistus. Aloitetaan todistus käymällä läpi geometriasta saatavat tarvittavat yhtälöt. Merkinnällä γ x,y tarkoitetaan pisteiden x ja y välisen janan pituutta ja merkinnällä γ x,y pisteiden x ja y välistä janaa. Pieni kolmio on kuvassa 8 vihreällä korostettu ja suuri kolmio on koko kolmio. Ehdon C. nojalla voimme valita etäisyyden b niin, että Pienestä kolmiosta saamme ga a b = g a. sin φ = γ c,z b ja suuresta kolmiosta saadaan yhtälö 8 tan φ = ga a. 9 b Käyttämällä Pythagoraan lausetta suuressa kolmiossa saadaan cos φ = b b + ga a = = + ga a b + g a.

39 5 ÄÄELLINEN PIIKKIALUE 39 y x Kuva 6: Äärellinen piikkialue kokonaisuudessan.

40 5 ÄÄELLINEN PIIKKIALUE 4 ga ga a gx z z z x Kuva 7: Kvasihyperbolisen metriikan lausekkeen laskemiseen tarvittava kolmio piikkialueen S sisällä. Kuva 8: Tarkka kuva piikkialueen S sisään piirretystä kolmiosta.

41 5 ÄÄELLINEN PIIKKIALUE 4 Kiinnitetään piste z =,. Arvioidaan etäisyyttä k D z, z, missä z = a, a S. Olkoon z = a, ja lasketaan yläraja etäisyydelle k D z, z käyttämällä leikkauskohtaa x = a piikissä S. Kvasihyperbolisen etäisyyden määritelmän nojalla k D z, z = inf γ γ distz, D γ z,z distz, D. Lasketaan seuraavaksi etäisyys distz, D. Käytetään yllä laskettuja yhtälöitä, ensin yhtälöä 8 ja seuraavaksi yhtälöä 9. Tällöin distz, D γ c,z = b sin φ = ga a tan φ sin φ. Kun käytetään yhtälöä sekä oletusta B., kaikille z S saadaan distz, D ga a + g a ga a. + M Nyt voimme laskea kvasihyperbolisen etäisyyden k D z, z loppuun. Käyttämällä laskettua etäisyyttä distz, D saadaan a + M k D z, z distz, D ga t. γ z,z Tehdään muuttujanvaihto ga t = u. Tällöin du = ja a + M k D z, z ga t ga a + M = du = ga a + M ga u u = + M ga a ga = + M ga ga a = + M ga ga ga a. Siis mille tahansa pisteelle z = x, etäisyys distz, D toteuttaa seuraavat epäyhtälöt gx distz, D gx cos φ, missä tan φ = g x.

42 5 ÄÄELLINEN PIIKKIALUE 4 Edellisen ja oletuksen B. nojalla gx distz, D g x + gx C gx. Nyt saadaan arviot sekä k D z, z C k D z, z a a gt 3 gt. 4 Tarvitsemme myös seuraavaa arviota. Olkoon c, d. Tällöin c + d maxc, d = p maxc, d p c p + d p. 5 Käytämme seuraavaksi epäyhtälöitä 3, 4 sekä arvioita c+d p c p + d p ja. Tarvitsemme lisäksi kolmioepäyhtälöä k D z, z k D z, z + k D z, z. Yhdistämällä kaikki yllä mainitut, saamme kaikille z S a k D z, z 6 gt p + M ga + C ga r a. gt Oletetaan ensin, että epäyhtälö 7 on voimassa. Integroidaan epäyhtälön 6 oikea puoli piikin S yli. Tällöin S k D z, z dz + M + p gx C dydx. x gt gx gx dydx gx r Viitteessä [St] on osoitettu kappaleen kolme lausetta 3. vastaava lause kaikille n ja p <. Tämän nojalla + M gx C 3 gx dx C 3 md. gx dydx gx r

43 5 ÄÄELLINEN PIIKKIALUE 43 Tutkitaan sitten jälkimmäistä integraalia. Integroidaan se ensin muuttujan y suhteen. Tällöin gx p C dydx = p gx C dx x gt x gt = C gx dx. gt Oletuksen nojalla integraali x on äärellinen ja k D z, z dx C S gx dx x gt gx x dx + C 3 md <. gt Koska kolmio K ja piikki S ovat L p -keskiarvoalueita, niin k D z, z dz k D z, z dz + k D z, z dz D K S k D z, ω k + k D ω k, z dz + k D z, ω s + k D ω s, z dz K S p k K z, ω k dz + C + p k S z, ω s dz + C <, K S missä ω k K ja ω s S ovat kiinnitettyjä. Siis alue D on L p -keskiarvoalue. Oletetaan nyt että D on L p -keskiarvoalue. Havaitaan, että gx dx 7 x gt gx = dydx = dx. x gt S a gt Koska D on L p -keskiarvoalue, niin k D z, z dz k D z, z dz + S S K k D z, z dz ja k D z, z. Tällöin epäyhtälön 6 ja laskun 7 nojalla gx dx = dx x gt S a gt k D z, z dx <. Siis integraali 7 on äärellinen. S D k D z, z dz <

44 5 ÄÄELLINEN PIIKKIALUE 44 Edellisestä lauseesta saadaan hyödyllinen seurauslause. Lause 5.. Olkoon D = K S alue, missä K on kolmio ja S on piikki K = {x, y : x < y < x, x < } S = {x, y : y < gx, < x < }. Olkoon funktio gx = x k, k >. Oletetaan, että p >. Tällöin D on L p - keskiarvoalue, jos ja vain jos x k t dx <. 8 k Yllä oleva integraali 8 suppenee, jos ja vain jos x k < p + p. Todistus. Lauseesta 5. seuraa suoraan, että yllä annettu alue on L p -keskiarvoalue, jos ja vain jos integraali kaavarivillä 8 on äärellinen. Yllä olevan lauseen todistamiseksi riittää osoittaa eksponentille asetettu ehto. Osoitetaan lyhyesti että funktio x k toteuttaa lauseen ehdot. A. g = k = g = k = B. < kx k k M, kun < x C. kk x k, kun < x. Osoitetaan, että integraali kaavarivillä 8 on äärellinen, kun k < p+ p. Suoraan laskemalla sekä käyttämällä arviota 5 saadaan x k x = x k = p x k dx = x k t k+ dx t k k + x k x k dx < p x k k k xp k dx p k k xk+p k k dx

45 5 ÄÄELLINEN PIIKKIALUE 45 Edellä oleva integraali on äärellinen, kun k+p k+ = k p+p+ >. Suoraan laskemalla saadaan k p + p + > k p > p + p + k < p k < p + p. Oletetaan nyt, että 8 on äärellinen ja osoitetaan, että k < p+ p. Nyt = x k x t dx = x k t k dx k k x dx x k x k k k Koska yllä oleva integraali on äärellinen, niin k + p k > ja kp >. Tästä seuraa, että k < p+ p. Siis alue D on L p -keskiarvoalue, jos ja vain jos k < p+ p.

46 6 ÄÄETTÖMYYTEEN JATKUVA PIIKKIALUE 46 6 Äärettömyyteen jatkuva piikkialue Osoitetaan seuraavaksi, että on olemassa äärettömyyteen jatkuva piikki, joka on L p -keskiarvoalue. Lause 6.. Olkoon D = K S alue, missä K on kolmio ja S on piikki K = {x, y : x >, y < x, y > x, < x } S = {x, y : y < gx, < x < } ja funktio g toteuttaa seuraavat ehdot: A. g =, lim x gx =, g x <, kun x [, B. M g x <, kun < x <, jollakin kiinteällä M C. g x, kun < x <. Tällöin D on L p -keskiarvoalue jos ja vain jos x gx gt dx <. 9 Todistus. Trigonometriset yhtälöt saadaan täysin samalla tavalla kuin äärellisessä piikissä, kolmiot vain on peilattu y-akselin suhteen. Merkinnällä γ x,y tarkoitetaan pisteiden x ja y välisen janan pituutta ja merkinnällä γ x,y tarkoitetaan pisteiden x ja y välistä janaa. Ehdon C. nojalla voimme valita etäisyyden b niin, että ga a = g a. b Nyt pienestä kolmiosta saadaan ja suuresta kolmiosta saadaan yhtälö sin φ = γ c,z b 3 tan φ = ga a. 3 b Pythagoraan lausetta käyttämällä suuresta kolmiosta saadaan cos φ = + g a. 3

47 6 ÄÄETTÖMYYTEEN JATKUVA PIIKKIALUE 47 y gx x Kuva 9: Äärettömyyteen jatkuva piikkialue. z gx z z x Kuva : Kolmio äärettömyyteen jatkuvassa piikissä.

48 6 ÄÄETTÖMYYTEEN JATKUVA PIIKKIALUE 48 Kiinnitetään piste z =, ja olkoon z = a, a S mielivaltainen piste piikissä S ja olkoon z = a, iste x-akselilla. Lasketaan nyt yläraja etäisyydelle k D z, z käyttämällä piikissä S olevaa leikkauskohtaa x = a. Kvasihyperbolisen etäisyyden määritelmän nojalla k D z, z = inf γ distz, D distz, D. γ Lasketaan seuraavaksi etäisyys distz, D. Käytetään edellä annettuja yhtälöitä, ensin yhtälöä 3 ja sen jälkeen yhtälöä 3. Tällöin γ z,z distz, D γ c,z = b sin φ = ga a tan φ sin φ. Käytetään yhtälöä 3 sekä oletusta B.. Tällöin kaikille z S saamme distz, D ga a + g a ga a. + M Lasketaan kvasihyperbolinen etäisyys k D z, z loppuun. Käytetään laskettua etäisyyttä, jolloin a + M k D z, z distz, D ga t. γ z,z Tehdään muuttujanvaihto ga t = u. Tällöin du = ja a = + M ga t ga a ga + M du = + M u = + M ga a ga = + M ga ga a = + M ga a ga u ga ga a. 33 Siis mille tahansa pisteelle z = x, etäisyys distz, D toteuttaa seuraavat epäyhtälöt gx distz, D gx cos φ, missä tan φ = g x.

49 6 ÄÄETTÖMYYTEEN JATKUVA PIIKKIALUE 49 Edellisen ja oletuksen B. nojalla Tästä saamme arviot sekä gx distz, D k D z, z C k D z, z g x + a a gx gt C gx gt. 36 Kolmioepäyhtälön nojalla k D z, z k D z, z + k D z, z. Käyttämällä lisäksi epäyhtälöitä 35, 36 ja 5 sekä arviota 33 saamme kaikille z S a k D z, z 37 gt S p + M ga a + C ga r. gt Oletetaan ensin, että epäyhtälö 9 on voimassa. Integroidaan epäyhtälön 37 oikea puoli piikin S yli. Tällöin k D z, z dz gx gx + M dydx gx r + p gx x C gt dydx. Viitteessä [St] on osoitettu kappaleen kolme lausetta 3. vastaava lause kaikille n ja p <. Tämän nojalla gx gx + M dydx gx r C 3 gx dx C 3 md. Siirrytään sitten toiseen integraaliin. Integroidaan se ensin muuttujan y suhteen. Tällöin gx x p x C dydx = p gx C dx gt gt x = C gx dx. gt

50 6 ÄÄETTÖMYYTEEN JATKUVA PIIKKIALUE 5 Oletuksen nojalla integraali on äärellinen ja k D z, z dm C S x gx dx gt x gx dx + C 3 md <. gt Koska kolmio K ja piikki S ovat L p -keskiarvoalueita, niin k D z, z dz k D z, z dz + k D z, z dz D K S k D z, ω k + k D ω k, z dz + k D z, ω s + k D ω s, z dz K S p k K z, ω k dz + C + p k S z, ω s dz + C <, K S missä ω k K ja ω s S ovat kiinnitettyjä. Siis alue D on L p -keskiarvoalue. Oletetaan nyt että D on L p -keskiarvoalue. Tällöin x gx dx 38 gt gx x a = dydx = dz. gt S gt Koska D on L p -keskiarvoalue, niin epäyhtälöiden 37 ja 38 nojalla x gx dx = a dz k D z, z dz <. gt S gt S Siis integraali 9 on äärellinen.

51 VIITTEET 5 Viitteet [GeOs] Gehring, F. W. and B. G. Osgood, Uniform domains and quasihyperbolic metric. J. Analyse Math , 5-74 [GePa] Gehring, F. W. and B. P. Palka, Quasiconformally homogenous domains. J. Analyse Math. 3976, [an] antanen, Paula, Uniformisista alueista. Kandidaatin tutkielma. Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto, 9. [a] antanen, Paula, Uniformiset alueet ja kvasihyperbolinen reunaehto. Pro Gradu. Matematiikan ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto, 9. [St] Staples, Susan, Domains with a local to global norm condition. Dissertation. University of Michigan, 988.

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)

MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015

Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 2015 Lukion matematiikkakilpailun alkukilpailu 015 Avoimen sarjan tehtävät ja niiden ratkaisuja 1. Olkoot a ja b peräkkäisiä kokonaislukuja, c = ab ja d = a + b + c. a) Osoita, että d on kokonaisluku. b) Mitä

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ.0.08 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 6.3.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden, sisältöjen ja pisteitysten luonnehdinta ei sido ylioppilastutkintolautakunnan arvostelua. Lopullisessa

Lisätiedot

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu.

RATKAISUT a + b 2c = a + b 2 ab = ( a ) 2 2 ab + ( b ) 2 = ( a b ) 2 > 0, koska a b oletuksen perusteella. Väite on todistettu. RATKAISUT 198 197 198. Olkoon suorakulmion erisuuntaisten sivujen pituudet a ja b sekä neliön sivun pituus c. Tehtävä on mielekäs vain, jos suorakulmio ei ole neliö, joten oletetaan, että a b. Suorakulmion

Lisätiedot

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain

Lisätiedot

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut

33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 33. pohjoismainen matematiikkakilpailu 2019 Ratkaisut 1. Kutsutaan (eri) positiivisten kokonaislukujen joukkoa merkitykselliseksi, jos sen jokaisen äärellisen epätyhjän osajoukon aritmeettinen ja geometrinen

Lisätiedot

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta: MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön

Lisätiedot

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat

Matematiikan olympiavalmennus 2015 helmikuun helpommat Matematiikan olympiavalmennus 05 helmikuun helpommat tehtävät Ratkaisuja. Määritä kolmiot, joiden kulmille α, β, γ pätee cos α cos β +sinαsin β sin γ =. Ratkaisu. Koska 0 < sin γ, täytyy olla cos(α β)

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen

Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 2009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen Johdatus diskreettiin matematiikkaan (syksy 009) Harjoitus 3, ratkaisuja Janne Korhonen 1. Väite: Funktio f : [, ) [1, ), missä on bijektio. f(x) = x + 4x + 5, Todistus: Luentomateriaalissa todistettujen

Lisätiedot

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II

802320A LINEAARIALGEBRA OSA II 802320A LINEAARIALGEBRA OSA II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 LINEAARIALGEBRA 1 / 64 Sisätuloavaruus Määritelmä 1 Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus on reaalinen

Lisätiedot

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Pro gradu -tutkielma Meteorologia SUOMESSA ESIINTYVIEN LÄMPÖTILAN ÄÄRIARVOJEN MALLINTAMINEN YKSIDIMENSIOISILLA ILMAKEHÄMALLEILLA. Karoliina Ljungberg

Pro gradu -tutkielma Meteorologia SUOMESSA ESIINTYVIEN LÄMPÖTILAN ÄÄRIARVOJEN MALLINTAMINEN YKSIDIMENSIOISILLA ILMAKEHÄMALLEILLA. Karoliina Ljungberg Pro gradu -tutkielma Meteorologia SUOMESSA ESIINTYVIEN LÄMPÖTILAN ÄÄRIARVOJEN MALLINTAMINEN YKSIDIMENSIOISILLA ILMAKEHÄMALLEILLA Karoliina Ljungberg 16.04.2009 Ohjaajat: Ari Venäläinen, Jouni Räisänen

Lisätiedot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot

1 2 x2 + 1 dx. (2p) x + 2dx. Kummankin integraalin laskeminen oikein (vastaukset 12 ja 20 ) antaa erikseen (2p) (integraalifunktiot Helsingin yliopisto, Itä-Suomen yliopisto, Jyväskylän yliopisto, Oulun yliopisto, Tampereen yliopisto ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe (Ratkaisut ja pisteytys) 500 Kustakin tehtävästä saa maksimissaan

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1)

x 4 e 2x dx Γ(r) = x r 1 e x dx (1) HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Todennäköisyyslaskenta IIA, syksy 217 217 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I 1. Laske numeeriset arvot seuraaville integraaleille: x 4 e 2x dx ja 1

Lisätiedot

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r

r > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i

Tehtävä 1. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) = 1. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on. p 2j i. p j i JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 8, MALLIRATKAISUT Tehtävä. Oletetaan että uv on neliö ja (u, v) =. Osoita, että kumpikin luvuista u ja v on neliö. Ratkaisu. Olkoon p i alkuluku, joka jakaa luvun

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1).

, on säännöllinen 2-ulotteinen pinta. Määrää T x0 pisteessä x 0 = (0, 1, 1). HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotukset 4.1. Osoita, että tasa-arvojoukko S F (0), F : R 3 R, F (x) = 3x 1 x 3 + e x + x e x 3, on säännöllinen

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 2 Matematiikan tukikurssi kurssikerta 1 Relaatioista Oletetaan kaksi alkiota a ja b. Näistä kumpikin kuuluu johonkin tiettyyn joukkoon mahdollisesti ne kuuluvat eri joukkoihin; merkitään a A ja b B. Voidaan

Lisätiedot

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120

= 5! 2 2!3! = = 10. Edelleen tästä joukosta voidaan valita kolme särmää yhteensä = 10! 3 3!7! = = 120 Tehtävä 1 : 1 Merkitään jatkossa kirjaimella H kaikkien solmujoukon V sellaisten verkkojen kokoelmaa, joissa on tasan kolme särmää. a) Jokainen verkko G H toteuttaa väitteen E(G) [V]. Toisaalta jokainen

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa

Cantorin joukon suoristuvuus tasossa Cantorin joukon suoristuvuus tasossa LuK-tutkielma Miika Savolainen 2380207 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Cantorin joukon esittely 2 2 Suoristuvuus ja

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Harjoitusten 8 ratkaisut Topologiset vektoriavaruudet 2010 8.1. Olkoon P n = {f : K K p on enintään asteen n 1 polynomi} varustettuna

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ

MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on

Vektorien pistetulo on aina reaaliluku. Esimerkiksi vektorien v = (3, 2, 0) ja w = (1, 2, 3) pistetulo on 13 Pistetulo Avaruuksissa R 2 ja R 3 on totuttu puhumaan vektorien pituuksista ja vektoreiden välisistä kulmista. Kuten tavallista, näiden käsitteiden yleistäminen korkeampiulotteisiin avaruuksiin ei onnistu

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle / MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät

Lisätiedot

Joukot metrisissä avaruuksissa

Joukot metrisissä avaruuksissa TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Saara Lahtinen Joukot metrisissä avaruuksissa Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Elokuu 2013 Sisältö 1 Johdanto 1 2 Metriset avaruudet 1 2.1 Tarvittavia

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Tilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R,

Tilavuus puolestaan voidaan esittää funktiona V : (0, ) (0, ) R, Vektorianalyysi Harjoitus 9, Ratkaisuehdotuksia Anssi Mirka Tehtävä 1. ([Martio, 3.4:1]) Millä suoralla sylinterillä, jonka tilavuus on V > on pienin vaipan ja pohjan yhteenlaskettu pinta-ala? Ratkaisu

Lisätiedot

Sarjoja ja analyyttisiä funktioita

Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 varuusintegraali iemmin laskimme yksiulotteisia integraaleja b a f (x)dx, jossa integrointialue on x-akselin väli [a, b]. Lisäksi laskimme kaksiulotteisia integraaleja

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ

MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 1 YLIOPPILASTUTKINTO- LAUTAKUNTA 25.9.2017 MATEMATIIKAN KOE PITKÄ OPPIMÄÄRÄ A-osa Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät 1 4. Tehtävät arvostellaan pistein 0 6. Kunkin tehtävän ratkaisu kirjoitetaan tehtävän

Lisätiedot

LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN!

LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT KOKEEN JÄLKEEN JA ANNA PISTEESI RUUTUUN! Matematiikan TESTI 4, Maa7 Trigonometriset funktiot ATKAISUT Sievin lukio II jakso/017 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TAKISTA TEHTÄVÄT

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta.

isomeerejä yhteensä yhdeksän kappaletta. Tehtävä 2 : 1 Esitetään aluksi eräitä havaintoja. Jokaisella n Z + symbolilla H (n) merkitään kaikkien niiden verkkojen joukkoa, jotka vastaavat jotakin tehtävänannon ehtojen mukaista alkaanin hiiliketjua

Lisätiedot

Ratkaise tehtävä 1 ilman teknisiä apuvälineitä! 1. a) Yhdistä oikea funktio oikeaan kuvaajaan. (2p)

Ratkaise tehtävä 1 ilman teknisiä apuvälineitä! 1. a) Yhdistä oikea funktio oikeaan kuvaajaan. (2p) Matematiikan TESTI 3, Maa7 Trigonometriset funktiot RATKAISUT Sievin lukio II jakso/07 VASTAA JOKAISEEN TEHTÄVÄÄN! MAOL/LIITE/taulukot.com JA LASKIN ON SALLITTU ELLEI TOISIN MAINITTU! TARKISTA TEHTÄVÄT

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

4 Matemaattinen induktio

4 Matemaattinen induktio 4 Matemaattinen induktio Joidenkin väitteiden todistamiseksi pitää näyttää, että kaikilla luonnollisilla luvuilla on jokin ominaisuus P. Esimerkkejä tällaisista väitteistä ovat vaikkapa seuraavat: kaikilla

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2018 Insinöörivalinnan matematiikan koe, 2952018, Ratkaisut (Sarja A) 1 Anna kaikissa kohdissa vastaukset tarkkoina arvoina Kohdassa d), anna kulmat

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 215 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy 215 1 / 24 Skalaarikenttä Olkoon R

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30 DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa?

Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? Todistusmenetelmiä Miksi pitää todistaa? LUKUTEORIA JA TO- DISTAMINEN, MAA11 Todistus on looginen päättelyketju, jossa oletuksista, määritelmistä, aksioomeista sekä aiemmin todistetuista tuloksista lähtien

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016

BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 BM20A5800 Funktiot, lineaarialgebra ja vektorit Harjoitus 4, Syksy 2016 1. Hahmottele karkeasti funktion f : R R 2 piirtämällä sen arvoja muutamilla eri muuttujan arvoilla kaksiulotteiseen koordinaatistoon

Lisätiedot

Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa

Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa määritelty kuvaus B(0, 1) := x R 2 : x

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57

Kompleksiluvut., 15. kesäkuuta /57 Kompleksiluvut, 15. kesäkuuta 2017 1/57 Miksi kompleksilukuja? Reaaliluvut lukusuoran pisteet: Tiedetään, että 7 1 0 x 2 = 0 x = 0 1 7 x 2 = 1 x = 1 x = 1 x 2 = 7 x = 7 x = 7 x 2 = 1 ei ratkaisua reaalilukujen

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot