Harjoitus 1, tehtävä 1

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Harjoitus 1, tehtävä 1"

Transkriptio

1 Heikki Kallasjoki, 66H, /34 Harjoitus, tehtävä Oletetaan, että f C(R) on π-jaksollinen funktio ja a R. Näytä, että f(t + a) dt f(t) dt a+π f(t) dt. a () () (3) Tarkastellaan ensin lauseketta (). Tehdään muuttujanvaihto t t+a t t a (integroimisrajat: t t a π, t π t a + π): f(t + a) dt Lausekkeet () ja (3) ovat siis yhtä suuret. a+π a f(t ) dt. Olkoon k π a π, jolloin a a k < π. Toisaalta koska f on π-jaksollinen funktio, f(t) f(t + k). Saadaan: a f(t + a) dt f(t + a) dt + f(t + a) dt (integroidaan kahdessa osassa) π a +a f(t + a a ) dt + f(t + a + π a ) dt (integroimisvälin muutos) +a +a f(t + k) dt + +a f(t) dt + f(t) dt +a +a f(t + k + π) dt (a a k a a k) f(t) dt (f(t) f(t + k) f(t + k + π)) (yhdistetään osat) Vastaus: Lausekkeet (), () ja (3) ovat siis yhtä suuret.

2 Heikki Kallasjoki, 66H, /34 Harjoitus, tehtävä -3 Oletetaan, että f L ([, π]). Kohta (a) Jos f(t) f( t) kaikilla t R (eli f on parillinen), niin näytä, että ˆf(j) ˆf( j) kaikilla j Z. Mikä on tällöin S n :n reaalinen muoto? Funktion f j. Fourier-kerroin ˆf(j) on ˆf(j) f, e j π Lasketaan vastaavasti j. kertoimen arvo: ˆf( j) f, e j π π π ˆf(j). π f(t)e ijt dt f( t )e ijt dt Osasumman S n reaalinen muoto yleisesti on f(t)e ijt dt, j Z. (muuttujanvaihto t t) f(t )e ijt dt (f parillinen, joten f( t ) f(t )) S n a n 0 + (a j cos(jt) + b j sin(jt)), j missä ja a j π b j π f(t) cos(jt) dt, j 0,,,... f(t) sin(jt) dt, j,,.... Koska f(t) on parillinen ja sin(t) pariton, lauseke f(t) sin(jt) on myös pariton. Tällöin b j 0 kaikille j,,..., ja S n :n reaaliseksi muodoksi jää jossa a j määritellään kuten yllä. S n a n 0 + a j cos(jt), j

3 Heikki Kallasjoki, 66H, 3/34 Kohta (b) Jos f(t) f( t) kaikilla t R (eli f on pariton), niin näytä, että ˆf(j) ˆf( j) kaikilla j Z. Mikä on tällöin S n :n reaalinen muoto? Päättely menee melkein täysin (a)-kohtaa vastaavasti. j. Fourier-kertoimen arvo saadaan seuraavasti: ˆf( j) f(t)e ijt dt π π π π f( t )e ijt dt (muuttujanvaihto t t) f(t )e ijt dt ˆf(j). (f( t ) f(t )) Koska f(t) on pariton ja cos(t) parillinen, lauseke f(t) cos(jt) on myös pariton, ja S n :n reaalisessa muodossa kertoimet a j 0 kaikille j 0,,,.... Tällöin S n :n reaaliseksi muodoksi tulee n S n b j sin(jt), jossa b j π j f(t) sin(jt) dt, j,,.... Kohta (c) Jos f(t + π) f(t) kaikilla t R, niin näytä, että ˆf(j) 0 kaikilla parittomilla j Z. ˆf(j) f(t)e ijt dt π ( 0 ) f(t)e ijt dt + f(t)e ijt dt π 0 ( ) f(t π)e ij(t ) dt + f(t)e ijt dt (muuttujanvaihto t t + π) π 0 0 ( ) f(t )e ijt e ijπ dt + f(t)e ijt dt (f(t π) f(t )) π 0 0 ( ) f(t )e ijt dt + f(t)e ijt dt 0. (j pariton, j Z e ijπ ) π 0 0

4 Heikki Kallasjoki, 66H, 4/34 Kohta (d) Jos f on reaaliarvoinen funktio, niin näytä, että ˆf(j) ˆf( j) kaikilla j Z. Suoraviivainen laskutoimitus: ˆf(j) π π π π ( ): Koska f(t) dt R(f(t)) dt + i viedä integraalin sisään. f(t)e ijt dt f(t)e ijt dt ( ) f(t)e ijt dt (f(t) R) f(t)e ijt dt ˆf( j) I(f(t)) dt, kompleksikonjugaatti voidaan näin

5 Heikki Kallasjoki, 66H, 5/34 Harjoitus, tehtävä 4-5 Kohta (a) Näytä käyttämällä kaavaa e iθ cosθ + i sin θ, että cosθ eiθ + e iθ ja sin θ eiθ e iθ i e iθ + e iθ cosθ + i sin θ + cos( θ) + i sin( θ) cosθ + i sin θ + cosθ i sin θ cosθ cos θ (cos x cosx, sin x sin x) e iθ e iθ i cosθ + i sin θ cos( θ) i sin( θ) cosθ + i sin θ cosθ + i sin θ i sin θ sin θ i (cos x cosx, sin x sin x)

6 Heikki Kallasjoki, 66H, 6/34 Kohta (b) Johda (a)-kohdan avulla kaavat cos(θ + γ) cosθ cosγ sin θ sin γ ja sin(θ + γ) sin θ cosγ + cos θ sin γ. cosθ cosγ sin θ sin γ eiθ + e iθ e iγ + e iγ eiθ e iθ i e iγ e iγ i (eiθ + e iθ )(e iγ + e iγ ) + (e iθ e iθ )(e iγ e iγ ) 4 ei(θ+γ) + e i(θ+γ) 4 ei(θ+γ) + e i(θ+γ) cos(θ + γ) (termit e i(θ γ) ja e i( θ+γ) sievenevät pois) sin θ cos γ + cosθ sin γ eiθ e iθ i e iγ + e iγ + eiθ + e iθ e iγ e iγ i (eiθ e iθ )(e iγ + e iγ ) + (e iθ + e iθ )(e iγ e iγ ) 4i ei(θ+γ) e i(θ+γ) 4i ei(θ+γ) e i(θ+γ) sin(θ + γ) (vastaavasti)

7 Heikki Kallasjoki, 66H, 7/34 Kohta (c) Johda (b)-kohdan avulla kaavat sin θ sin γ cos(θ γ) cos(θ + γ), sin θ cosγ sin(θ + γ) + sin(θ γ) ja cosθ cosγ cos(θ + γ) + cos(θ γ). cos(θ γ) cos(θ + γ) (cosθ cos( γ) sin θ sin( γ)) (cosθ cosγ sin θ sin γ) cosθ cosγ + sin θ sin γ cosθ cosγ + sin θ sin γ (cos x cosx, sin x sin x) sin θ sin γ sin(θ + γ) + sin(θ γ) (sin θ cos γ + cosθ sin γ) + (sin θ cos( γ) + cos θ sin( γ)) sin θ cosγ + cos θ sin γ + sin θ cosγ cosθ sin γ sin θ cosγ cos(θ + γ) + cos(θ γ) (cosθ cosγ sin θ sin γ) + (cosθ cos( γ) sin θ sin( γ)) cosθ cosγ sin θ sin γ + cosθ cosγ + sin θ sin γ cosθ cosγ

8 Heikki Kallasjoki, 66H, 8/34 Harjoitus, tehtävä 6 Näytä, että joukko { }, sin t, cost, sin(t), cos(t),... Olkoon on ortonormaali reaalisen sisätulon f, g π f(t)g(t) dt suhteen. Huomaa: Fourierin sarjan reaalinen muoto on paras approksimaatio tämän ortonormaalin joukon suhteen. a 0, a j sin(jt), j,,..., b j cos(jt), j,,..., a 0, kun j 0 α j, kun j, 3,...,, kun j, 4,..., a j+ b j jolloin alkuperäinen joukko on {a 0, a, b, a, b,... } {α j }. Eri tyyppisiä sisätuloja tässä joukossa on 6: a 0, a 0, a 0, a j, a 0, b j, a j, a k, a j, b k sekä b j, b k. Tarkastellaan kutakin erikseen. a 0, a 0 π π dt dt π π/ t a 0, a j π a 0, b j π πj sin(jt) dt 0 ( sin(jt) on pariton) cos(jt) dt j cos(jt) dt / π sin(jt) 0 (sin(jπ) 0) πj

9 Heikki Kallasjoki, 66H, 9/34 a j, a k π π π { π sin(jt) sin(kt) dt ( ) cos((j k)t) cos((j + k)t) dt (Harjoituksen tehtävän 4-5(c) kaavan perusteella) cos((j k)t) dt (Edellisen tapauksen perusteella cos((j + k)t) dt 0) dt, kun j k, 0, kun j k a j, b k π π sin(jt) cos(kt) dt ( ) sin((j + k)t) + sin((j k)t) dt 0 (4-5(c), sin(jt) on pariton, sin 0 0) b j, b k π π π { π cos(jt) cos(kt) dt ( ) cos((j + k)t) + cos((j k)t) dt cos((j k)t) dt dt, kun j k, 0, kun j k (4-5(c)) ( cos((j + k)t) dt 0) Vastaus: eli annettu joukko on ortonormaali. α i, α j {, kun j k, 0, kun j k,

10 Heikki Kallasjoki, 66H, 0/34 Harjoitus, tehtävä Oletetaan, että f L ([, π]). Näytä seuraavat lauseet kaikilla j Z. Kohta (a) ˆ f(j) ˆf( j) Tämä kohta on käytännössä lähes sama kuin harjoituksen tehtävän -3 kohta (d). Perustelu kompleksikonjugaatin viemiselle integraalin sisään löytyy sen vastauksesta. ˆf( j) π π π f(t)e ijt dt f(t)e ijt dt f(t)e ijt dt ˆf(j) Kohta (b) f(t + s)(j) e ijs ˆf(j), s R kiinteä Funktion f(t) tiedetään olevan määritelty välillä t [, π], jolloin funktio f (t) f(t + s) on varmasti määritelty vain välillä t [ s, π s]. Lasketaan siis Fourier-kertoimetkin kyseisellä välillä: f(t + s)(j) s f(t + s)e ijt dt π s f(t )e ij(t s) dt (t t + s, t t s) π e ijs f(t )e ijt dt π e ijs ˆf(j)

11 Heikki Kallasjoki, 66H, /34 Kohta (c) ˆf(j) π f(t) dt ˆf(j) π π π f(t)e ijt dt f(t)e ijt dt f(t) dt ( e iθ )

12 Heikki Kallasjoki, 66H, /34 Harjoitus, tehtävä Oletetaan, että f, g ja h ovat jatkuvia π-jaksollisia funktioita. Näytä seuraavat lauseet. Kohta (a) f (g + h) (f g) + (f h) (f (g + h))(t) f(t s)(g(s) + h(s)) ds f(t s)g(s) ds + (f g)(t) + (f h)(t) f(t s)h(s) ds Kohta (b) f g g f (f g)(t) t+π t (g f)(t) f(t s)g(s) ds f(s )g(t s ) ds (s t s) g(t s )f(s ) ds (g(t s )f(s ) on π-jaksollinen)

13 Heikki Kallasjoki, 66H, 3/34 Kohta (c) (f g) h f (g h) ((f g) h)(t) (f g)(t σ) h(σ) dσ f(s) f(s)g(t σ s) ds h(σ) dσ f(s)g(t σ s)h(σ) ds dσ f(s)g(t σ s)h(σ) dσ ds g(t s σ)h(σ) dσ ds f(s) (g h)(t s) ds (f (g h))(t)

14 Heikki Kallasjoki, 66H, 4/34 Harjoitus, tehtävä 3 Olkoot f ja g kuten tehtävässä (edellä). Näytä seuraavat lauseet. Kohta (a) f g on π-jaksollinen π-jaksollisille funktioille f ja g (yksi) konvoluution määritelmä on (f g)(t) f(s)g(t s) ds. Toisaalta funktio f on π-jaksollinen, jos f(t + π) f(t) kaikille t R. Lasketaan: (f g)(t + π) (f g)(t) f(s)g(t + π s) ds f(s)g(t s) ds (g on π-jaksollinen) Vastaus: f g on π-jaksollinen, sillä (f g)(t + π) (f g)(t).

15 Heikki Kallasjoki, 66H, 5/34 Kohta (b) (f g)(t) dt f(t) dt g(t) dt (f g)(t) dt f(τ) f(τ) f(τ) f(τ)g(t τ) dτ dt τ τ g(t τ) dt dτ g(t ) dt dτ (t t τ) g(t ) dt dτ (g(t ) on π-jaksollinen, joten integroimisvälin voi vaihtaa) f(t) dt g(t) dt Kohta (c) laske f g jos g(t) e ijt, j Z (f g)(t) f(s)g(t s) ds f(s)e ij(t s) ds (g(t) e ijt ) e ijt f(s)e ijs ds ijt ˆf(j)e

16 Heikki Kallasjoki, 66H, 6/34 Harjoitus 3, tehtävä Olkoon f L (R) sellainen funktio, että f( x) f(x) kaikilla x R. Näytä, että ˆf( ξ) ˆf(ξ) kaikilla ξ R. ˆf( ξ) R R R ˆf(ξ) f(x)e ixξ dx f( x )e ix ξ dx (x x) f(x )e ix ξ dx (f( x ) f(x ))

17 Heikki Kallasjoki, 66H, 7/34 Harjoitus 3, tehtävä Olkoon f : R R, f(x) Mikä on f:n Fourierin muunnos? ˆf(ξ) R π π f(x)e ixξ dx [ (cosx)e ixξ dx e ix + e ix e ixξ dx π ( ξ)i e ( ξ)ix dx + π π { cosx, x π, 0, x > π. e (+ξ)ix dx π / e ( ξ)ix ( + ξ)i π / π ] (f(x) 0 näiden rajojen ulkopuolella) e (+ξ)ix (cosθ eiθ +e iθ ) (ol. ξ ) [ ( e ( π π ξ)i e ( π + π ξ)i) ( e ( π π ξ)i e ( π + π ξ)i)] ( ξ)i ( + ξ)i [ ( ie π ξi + ie π ξi) ( + ie π ξi + ie π ξi)] (e π i i) ( ξ)i ( + ξ)i e π ξi + e π ξi + e π ξi + e π ξi cos(πξ) + cos(πξ) ξ + ξ ξ + ξ cos(πξ), ξ ξ ( π e ˆf() ix + e ix e ix dx π ) π dx + e ix dx π π π π ( π e ˆf( ) ix + e ix e ix dx π ) π dx + e ix dx π π π π Vastaus: ˆf(ξ) cos( π ξ) ξ, ξ π, ξ.

18 Heikki Kallasjoki, 66H, 8/34 Harjoitus 4, tehtävä Oletetaan, että f L (R) C(R) ja K a : R R, missä a > 0. K a (x) a χ [ a,a](x) Kohta (i) Näytä, että (f K a )(x) a x+a x a f(y) dy. (f K a )(x) R a a f(x y )K a (y ) dy f(x y ) a χ [ a,a](y ) dy R a a x+a x a f(x y ) dy (χ [ a,a] (y ) 0 välin y [ a, a] ulkopuolella) f(y) dy (y x y, dy dy, y a y x a)

19 Heikki Kallasjoki, 66H, 9/34 Kohta (ii) Osoita suoraan (käyttämättä demotehtävää!) jatkuvuuden määritelmän avulla, että kaikilla x R. Koska f on jatkuva funktio, lim a 0 lim a 0 ( a x+a x a f(y) dy f(x) sup f(y) f(x) y [x a,x+a] x a ) 0. Tehtävänannon väite voidaan esittää myös muodossa ( x+a ) lim f(y) dy f(x) 0. a 0 a Toisaalta: ( lim a 0 a x+a x a ) x+a f(y) dy f(x) lim a 0 x a 0, a f(y) f(x) dy }{{} 0 kun a 0 eli tehtävänannon väite on tosi.

20 Heikki Kallasjoki, 66H, 0/34 Harjoitus 4, tehtävä Kohta (i) Jos f, g L (R n ), niin näytä, että f g L (R n ) ja (f g)(x) dx f(x) dx g(x) dx. R n R n R n L (R n )-avaruus koostuu funktioista f : R n C joille pätee R n f(x) dx <, joten suoraan tehtävänannon integraaleja koskevan väitteen perusteella f g L (R n ). Perustellaan vielä ko. väite: (f g)(x) dx f(x y)g(y) dy dx R n R n R n f(x y)g(y) dy dx (luentomateriaali,.. väite ()) R n R n f(x y) g(y) dx dy (int.järj. vaihto, ab a b ) R n R n f(x y) dx g(y) dy R n R n f(z) dz g(y) dy (z x y, dz dx) R n R n f(x) dx g(x) dx R n R n

21 Heikki Kallasjoki, 66H, /34 Kohta (ii) Jos f, g : R R, f(x) g(x) x χ [,] (x), niin laske (f g)(0). Lasketaan: (f g)(0) R R R f(0 y)g(y) dy ( )( ) χ [,] ( y) χ [,] (y) y y dy y χ [,]( y)χ [,] (y) dy y dy (rajojen ulkopuolella χ [,](y) 0) Integraali dy ei suppene. y

22 Heikki Kallasjoki, 66H, /34 Harjoitus 4, tehtävä 3 Oletetaan, että f, g, h : R R, f(x), g(x) xe x, h(x) χ [0, ) (x). Kohta (i) Laske (f g) h. (f g)(x) ((f g) h)(x) f(x y)g(y) dy ye y dy 0 R (f g)(x y)h(y) dy 0 R Kohta (ii) Laske f (g h). (g h)(x) (f (g h))(x) R x g(x y)h(y) ze z dz lim a 0 (x y)e (x y) dy (z x y, dz dy, ( ) x/ e z lim e x e a a }{{} a 0 R f(x y) (g h)(y) dy y 0 z x y z ) e x π e y dy Kohta (iii) Miksi (f g) h f (g h) ei päde? Vastaus: Koska funktiot f, h L (R), joten integroimisjärjestystä ei voi noin vain mennä vaihtelemaan, kuten tehtiin harjoituksen tehtävän kohdassa (c), jossa osoitettiin (f g) h f (g h) sopivin rajoituksin.

23 Heikki Kallasjoki, 66H, 3/34 Harjoitus 5, tehtävä - Oletetaan, että Ω R n on rajoitettu avoin sileä joukko ja että u, v ovat riittävän sileitä. Kohta (i) Johda seuraavat Greenin kaavat Gaussin divergenssilauseesta: v u ν ds (v u + v u) dx ja Divergenssilause: Lasketaan: Ω Ω Ω Ω Ω Ω Ja vielä toinen esitetty väite: (v u u v) dx Ω Ω ( v u ) ν u v ds (v u u v) dx ν Ω Ω div F(x) dx (v u + v u) dx Ω F(x) ν(x) ds (v div ( u) + v u) dx ( f div ( f)) div (v u) dx v u ν ds Ω Ω Ω v u ν ds (v div ( u) u div ( v)) dx ( Ω Ω (div (ϕf) ϕ div F + F ϕ) div (v u) div (u v)+ u v v u }{{} 0 (v u ν u v ν) ds ( v u ) ν u v ds ν (divergenssilause) ) dx

24 Heikki Kallasjoki, 66H, 4/34 Kohta (ii) Näytä Greenin kaavojen avulla, että jos Neumannin ongelmalla { u 0 Ω:ssa u h ν Ω:ssa on ratkaisu, niin Ω h ds 0. Ω h ds Ω Ω u ν ds (tehtävänanto) ( u + u) ds (kohta (i) kaava, v ) 0 ( u 0 (tehtävänanto), 0) Kohta (iii) Oletetaan, että Ω on lisäksi yhtenäinen. Jos u 0 Ω:ssa ja lisäksi u 0 0 Ω:ssa, niin näytä, että u on vakio. tai u ν Tutkitaan ensin tapaus, jossa u 0 Ω:ssa. Koska u on harmoninen funktio ( u 0), se saavuttaa maksimi- ja minimiarvonsa reunassa Ω. u:n maksimi- ja minimiarvo on siis 0, joten u 0 on vakio koko joukossa Ω. Katsotaan sitten mitä seuraa ehdosta u 0 Ω:ssa. Kohdan (i) ensimmäisen kaavan nojalla ν mille tahansa (oletukset täyttävälle) funktiolle v pätee: v u Ω ν ds 0 (v u + v u) ds Ω v u ds ( u 0) Ω Koska v on mielivaltainen (riittävän sileä) funktio, täytyy u 0 (eli u on vakio) päteä, jotta integraalilause yllä saisi arvon 0 kaikille v.

25 Heikki Kallasjoki, 66H, 5/34 Kohta (iv) Näytä, että Dirichletin ongelmalla Ω:ssa on yksikäsitteinen ratkaisu Ω:ssa ja Neumannin ongelman ratkaisut poikkeavat toisistaan vain lisättävällä vakiolla. Oletetaan että u ja v ovat kaksi mielivaltaista ratkaisua Dirichletin ongelmalle: { u v 0 Ω:ssa u v f Ω:ssa Tarkastellaan ratkaisujen erotusta u v. Sille pätee (u v) u v (Ω:ssa), sekä u v f f 0 ( Ω:ssa), joten kohdan (iii) ensimmäisen tapauksen nojalla erotus on 0 koko Ω:ssa, eli ratkaisut ovat samat. Oletetaan seuraavaksi, että u ja v ovat kaksi mielivaltaista ratkaisua Neumannin ongelmalle: { u v 0 Ω:ssa u ν v ν f Ω:ssa Tarkastellaan taas erotusta u v. Tälläkin kertaa (u v) 0 Ω:ssa, ja toisaalta (u v) ν u v f f 0 Ω:ssa. Tällöin kohdan (iii) toisen tapauksen nojalla erotus on vakio ν ν Ω:ssa, eli ratkaisut eroavat toisistaan vain lisättävän vakion verran.

26 Heikki Kallasjoki, 66H, 6/34 Harjoitus 5, tehtävä 4 Näytä suoralla laskulla, että yksikköpallon Poissonin ydin K(x,y) n α(n) x x y n on harmoninen x:n funktiona B(0, ):ssä jokaiselle y B(0, ). Haluamme siis näyttää, että x K(x,y) n i K(x,y) x i 0. Olkoon i Z, i n. Lasketaan hieman osittaisderivaattoja: ( ) K(x, y) x x i n α(n) x i x y n n α(n) n α(n) x i n j x j ( n j (x j y j ) ) n/ x i ( n ) n/ j (x j y j ) ( x n(x i y i ) ( n ) n/+ j (x j y j ) ( n j x j ) j) n x j K(x,y) x i n α(n) x i n(x i y i ) ( n ) n/+ j (x j y j ) x i n(x i y i ) + ( n ) n/+ j (x j y j ) + ( n j x j [ 4nxi (x i y i ) n α(n) x y n+ ( n ) n/ j (x j y j ) ) ( n + ) n(x i y i ) ( n ) n/+ j (x j y j ) x y n + ( x ) n ( n ) n/+ j (x j y j ) ( (n + n)(x i y i ) x y n+4 )] n x y n+

27 Heikki Kallasjoki, 66H, 7/34 Nyt voimme laskea x -operaattorin tuloksen: x K(x,y) n K(x,y) i n α(n) x i [ 4n x 4n n i x iy i x y n+ n x y n ( 4n x 4n n n α(n) ( n α(n) n α(n) + ( ) ] x )( (n + n) x y n x y n+4 x y n+ ) i x iy i n x y + n + n n x (n + n n ) x y n+ n x 4n i x iy i n ( ) i (x i y i ) ) + n x y n+ (lyh. i n i ) ( n x 4n i x iy i n ( i x i i x iy i + i y i ) + n x y n+ Tässä vaiheessa on hyvä huomata, että i y i y, sillä y B(0, ). Saadaan: ( x K(x,y) n x n x 4n i x iy i + 4n ) i x iy i n + n n α(n) x y n+ 0 n+ 0. n α(n) x y ) Vastaus: x K(x,y) 0 kun x B(0, ), y B(0, ) joten K(x,y) on x:n funktiona harmoninen.

28 Heikki Kallasjoki, 66H, 8/34 Harjoitus 6, tehtävä Olkoon H(x, t) x e 4t (4πt) n/, x R n, t > 0, kohdan 4.4 lämpöydin. Näytä suoralla laskulla, että se on lämpöyhtälön ratkaisu R n (0, ):ssa. Haluamme siis näyttää, että H(x, t) t x H(x, t) 0 H(x, t) t n i H(x, t) x i kaikilla (x, t) R n (0, ). Laskeskellaan taas osittaisderivaattoja erikseen: H(x, t) ( ) x e 4t t t (4πt) n/ x x (4πt) n/ 4t e 4t πn x e 4t (4πt) n/+ H(x, t) x i (4πt) n/ P e j x j 4t x i (4πt) n/ x i t e P j x j 4t (i Z, i n, j n j, x j x j ) H(x, t) x i (4πt) n/ x i (4πt) n/ ( x i 4t e ( P ) xi j x j t e 4t P j x j 4t P j x j t e 4t )

29 Heikki Kallasjoki, 66H, 9/34 Nyt voimmekin jo yhdistää tulokset: H(x, t) t x H(x, t) 0 H(x, t) t i x x (4πt) n/ 4t e 4t ( x x e 4t (4πt) n/ H(x, t) x i πn (4πt) }{{ n/+ } n t (4πt) n/ ) 4t x 4t n t + n t }{{} 0 ( x x (4πt) n/ 4t e 4t n t x e 4t ) Vastaus: H(x,t) t x H(x, t) 0 kaikille (x, t) R n (0, ) joten H(x, t) on lämpöyhtälön ratkaisu.

30 Heikki Kallasjoki, 66H, 30/34 Harjoitus 6, tehtävä 4 Oletetaan, että u on lämpöyhtälön ratkaisu R n (0, ):ssa. Näytä, että u α (x, t) u(αx, α t) on myös lämpöyhtälön ratkaisu R n (0, ):ssa kaikilla α R. u α (x, t) t u α (x, t) u(αx, α t) α u(αx, α t) t α t t (ketjusääntö) u α (x, t) u(αx, α t) α u(αx, α t) x i αx i x i (i Z, i n) u α (x, t) αu(αx, α t) α u(αx, α t) x i αx i x i x u α (x, t) u α(x, t) n u α (x, t) t x i i ( ) α u(αx, α t) n u(αx, α t) t x i i }{{} 0, sillä u on lämpöyhtälön ratkaisu 0

31 Heikki Kallasjoki, 66H, 3/34 Harjoitus 7, tehtävä 5 Johda ratkaisukaava ongelmalle { u u + u 0 t Rn (0, ):ssä, u g R n {t 0}:ssa. Ratkaisun u Fourier-muunnos û x:n suhteen (kun t on vakio) on û(ξ, t) u(x, t)e ix ξ dx. R n Fourier-muunnoksen ominaisuuksien perusteella (kts. luentomateriaali, luku 4.4) saadaan osittaisderivaattojen Fourier-muunnokset: u x j u t Annetun ongelman perusteella siis: (ξ, t) ξjû(ξ, t), û (ξ, t) (ξ, t) t j,...,n ( ) u t u + u (ξ, t) u t (ξ, t) u(ξ, t) + û(ξ, t) u t (ξ, t) n u (ξ, t) + û(ξ, t) x j j û n t (ξ, t) + ξjû(ξ, t) + û(ξ, t) û(ξ, 0) ĝ(ξ) j û t (ξ, t) + ( ξ + ) û(ξ, t) 0 Fourier-muunnokselle saadaan siis tavallinen differentiaaliyhtälö muotoa y + ky 0, jonka ratkaisu on muotoa y(x) Ce kx. Tässä tapauksessa: û(ξ, t) C(ξ) e ( ξ +)t Funktio C(ξ) saadaan annetun alkuarvon perusteella: û(ξ, 0) C(ξ) ĝ(ξ) Eli ongelman ratkaisu Fourier-muunnosten puolella on: û(ξ, t) ĝ(ξ) e ( ξ +)t

32 Heikki Kallasjoki, 66H, 3/34 Käänteismuunnoksella saadaan ratkaisu u: u(x, t) (π) n R n e ( ξ +)t ĝ(ξ) e ix ξ dξ Lasketaan aputuloksena funktion f : R n R, f(x) e ( x +k), k R Fourier-muunnos: Rn ˆf(ξ) +k) e ix ξ dx e k e x e ix ξ dx Olkoon nyt funktio H(x, t) R n e ( x e kê x (ξ) π n/ e 4 ξ k (pruju, esim..6) «e x 4t +t. Lasketaan sen Fourier-muunnos x:n suhteen: (4πt) n/ «Ĥ(ξ, t) e x 4t +t (ξ) (4πt) n/» e x +t t (ξ) (t 0) (4πt) ( n/ ) n t e ( x +t) ( tξ) ( f( x (4πt) )(ξ) ˆf(aξ), a > 0) n/ a n a π n/ π n/ e 4 tξ t e ( ξ +)t Onnellisen sattuman johdosta saamme siis ratkaisun u muotoon: u(x, t) (π) n R n Ĥ(ξ, t)ĝ(ξ)e ix ξ dξ (yllä laskettu aputulos) (π) n R n Ĥ g(ξ, t)e ix ξ dξ ( f g(ξ) ˆf(ξ) ĝ(ξ)) (H g)(x, t) (käänteismuunnos) Vastaus: Ratkaisuksi u saadaan u(x, t) (H g)(xt) H(x y, t)g(y) dy, R n jossa H(x, t) «x 4t +t e. (4πt) n/

33 Heikki Kallasjoki, 66H, 33/34 Harjoitus 8, tehtävä Tarkastellaan yksiulotteista ongelmaa missä g : R R, u u 0, kun (x, t) R (0, ), t x u g, kun (x, t) R {t 0}, u t g(x) 0, kun (x, t) R {t 0}, { x, kun 0 x, 0, muuten. Kohta (a) Johda d Alembertin kaavan avulla ratkaisukaava u(x, t):lle. Yleisessä tapauksessa, jossa u t u(x, t) (x, 0) h(x), d Alembertin kaavan mukaan saadaan g(x + t) + g(x t) + x+t x t h(y) dy. Tehtävän ongelmassa h(x) 0, joten ratkaisuksi jää yksinkertaisesti: u(x, t) g(x + t) + g(x t) Kohta (b) Piirrä ratkaisun kuvaaja hetkillä t, t ja t 3. u(x, ) u(x, ) u(x, 3) g(x + ) + g(x ) g(x + ) + g(x ) g(x + 3) + g(x 3) ( x )/, kun x ( x )/, kun < x 3 0, muuten. ( x )/, kun x 0 ( 3 x )/, kun x 4 0, muuten. ( x )/, kun 3 x ( 4 x )/, kun 3 x 5 0, muuten.

34 Heikki Kallasjoki, 66H, 34/ t t t Kuva : Harjoitus 8, tehtävä, kohta (b): ratkaisun u(x, t) kuvaaja hetkillä t, t, t 3

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa! Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008

Mat / Mat Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 42, loppuviikko, syksy 2008 Mat-.3 / Mat-.33 Matematiikan peruskurssi C3-I / KP3-I Harjoitus 5 / vko 4, loppuviikko, syksy 8 Ennen malliratkaisuja, muistin virkistämiseksi kaikkien rakastama osittaisintegroinnin kaava: b a u(tv (t

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä

11. Poissonin yhtälö Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä . Poissonin yhtälö.. Perusratkaisu. Laplacen yhtälöön liittyvää epähomogeenista osittaisdifferentiaaliyhtälöä u = f kutsutaan Poissonin yhtälöksi ja siihen liittyvvää reuna-arvotehtävää { u = f :ssa, ja

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät

Numeeriset menetelmät Numeeriset menetelmät Luento 13 Ti 18.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 13 Ti 18.10.2011 p. 1/43 p. 1/43 Nopeat Fourier-muunnokset Fourier-sarja: Jaksollisen funktion esitys

Lisätiedot

= ( 1) 2 u tt (x, t) = u tt (x, t)

= ( 1) 2 u tt (x, t) = u tt (x, t) Harjoitukset 6, syksy 017 1. Osoita, ettei ajan suunnalla ole merkitystä aaltoyhtälössä: Jos u on ratkaisu, niin U(x, t) = u(x, t) on myös ratkaisu (toisin kuin lämpöyhtälön tapauksessa). Todistus. Funktion

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt

puolitasossa R 2 x e x2 /(4t). 4πt 8. Lämmönjohtumisyhtälö II 8.1. Lämpöydin. Tarkastellaan lämmönjohtumisyhtälöä reaaliakselilla, t.s. pyritään ratkaisemaan alkuarvotehtävä u (8.1) t u 2 u puolitasossa R 2 x 2 + R (, ), u(x, ) f(x) kaikille

Lisätiedot

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali:

F {f(t)} ˆf(ω) = 1. F { f (n)} = (iω) n F {f}. (11) BM20A5700 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus 10, viikko 46/2015. Fourier-integraali: BMA57 - INTEGRAALIMUUNNOKSET Harjoitus, viikko 46/5 Fourier-integraali: f(x) A() π B() π [A() cos x + B() sin x]d, () Fourier-muunnos ja käänteismuunnos: f(t) cos tdt, () f(t) sin tdt. (3) F {f(t)} ˆf()

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π

e int) dt = 1 ( 2π 1 ) (0 ein0 ein2π Matematiikan ja tilastotieteen laitos Funktionaalianalyysin peruskurssi Kevät 9) Harjoitus 7 Ratkaisuja Jussi Martin). E Hilbert avaruus L [, π]) ja gt) := t, t [, π]. Määrää funktion g Fourier kertoimet

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246

Osa VI. Fourier analyysi. A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta / 246 Osa VI Fourier analyysi A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 12. lokakuuta 2007 127 / 246 1 Johdanto 2 Fourier-sarja 3 Diskreetti Fourier muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 26. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( 9k 7 ) 3k + 2 4k 2, b) 5k + 7 k (4x + ) 3 dx, e) ( 2 ln(k 3 ) k 3e k ), c) cos(3πx) dx, f) k 3 9x 2 +

Lisätiedot

e ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0,

e ax, kun x > 0 f(x) = 0, kun x < 0, 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 e (a iω)x dx = a+iω = 1 a 2 +ω 2. e ax, x > 0 e ax, x < 0, Harjoitus 5 1. Olkoot a > 0. Laske vaimenevan pulssin e ax, kun x > 0 fx) = 0, kun x < 0, ja voimistuvan pulssin gx) = konvoluution g f Fourier-muunnos. 0, kun x > 0 e ax, kun x < 0 apa 1: Konvoluution

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle

Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Ortogonaaliprojektio äärellisulotteiselle aliavaruudelle Olkoon X sisätuloavaruus ja Y X äärellisulotteinen aliavaruus. Tällöin on olemassa lineaarisesti riippumattomat vektorit y 1, y 2,..., yn, jotka

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I Usean muuttujan funktiot MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta eli gradientti.

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu

2. Fourier-sarjoista. Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu 2. Fourier-sarjoista Fourier-analyysi: Aaltoliikkeen ja lämmöjohtumisen matemaattinen tarkastelu Matemaattisen analyysin täkein työväline "Jokainen funktio" voidaan esittää harmonisten värähtelyjen, so.

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista

Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista March 25, 21 versio 1.1 1 Yhteenveto Fourier-numeriikan luennoista 19.3.-25.3.21 Fourier-sarja f paloittain jatkuva funktio [, L]. Kosinisarja: jossa Sinisarja: jossa Esimerkki 1. Funktion sinisarja on

Lisätiedot

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).

(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa). NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II MTEMTIIKN PERUKURI II Harjoitustehtäviä kevät 17 1. Tutki, suppenevatko seuraavat lukujonot: a) d) ( k ) + 5 k, b) k 1 x 5 dx, e) ( ln(k + 1) k ), c) k 1 cos(πx) dx, f) k e x dx, 1 k e k k kx dx.. Olkoon

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

Fourier-sarjat ja -muunnos

Fourier-sarjat ja -muunnos 24. marraskuuta 2016 Jaksolliset funktiot, trigonometriset sarjat, parilliset ja p Jaksolliset funktiot Funktio f : R R on jaksollinen, jos on olemassa p > 0 siten, että f (x + p) = f (x) kaikilla x R

Lisätiedot

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai

MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.

Lisätiedot

u = 2 u (9.1) x + 2 u

u = 2 u (9.1) x + 2 u 9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 13 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 13 () Numeeriset menetelmät 8.5.2013 1 / 42 Luennon 13 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Moniaskelmenetelmien

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat

Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2007) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0;

u(0, t) = 0 kaikille t > 0: lämpötila pidetään vakiona pisteessä x = 0; 3. Lämmönjohtumisyhtälö I Yksiulotteisessa lämmönjohtumisyhtälössä u t = u γ x tuntematon funktio u = u(x, t) kuvaa lämpötilaa yksiulotteisen kappaleen (ohut sauva; x-akseli) kohdassa x hetkellä t. Kun

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I MS-C142 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 214 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C142 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 214 1 / 3 1 Johdanto 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos

Lisätiedot

f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1].

f(tx + (1 t)y) tf(x) + (1 t)f(y) jokaisella x, y A ja t [0, 1]. Tässä luvussa näytetään divergenssilause konveksin joukon tapauksessa. Määritelmä 4.5.1. 1. Joukko R m on konveksi, jos kaikilla x, y pisteet tx + (1 t)y jokaisella t [0, 1]. 2. Olkoon R m konveksi. Funktio

Lisätiedot

8. Avoimen kuvauksen lause

8. Avoimen kuvauksen lause 116 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 8. Avoimen kuvauksen lause Palautamme aluksi mieleen Topologian kursseilta ehkä tutut perusasiat yleisestä avoimen kuvauksen käsitteestä. Määrittelemme ensin avoimen

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I 1 Johdanto MS-C142 Fourier-analyysi osa I G Gripenberg 2 Fourier-integraali Fourier-muunnos ja derivaatta Konvoluutio Fourier-käänteismuunnos eliöintegroituvat funktiot Aalto-yliopisto 29 tammikuuta 214

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS f ( n) JYVÄSKYLÄN YLIOPISTO MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS n Funktionaalianalyysi Ei harjoituksia 1.4.2015 Funktionaalista viihdettä pääsiäistauolle: viikolla 14 (ma 30.3., ti 31.3. ja ke 1.4.)

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

= vakio = λ. V (x) V (0) = V (l) = 0.

= vakio = λ. V (x) V (0) = V (l) = 0. 6. Aatoyhtäö I 6.1. Ratkaisu Fourier-sarjojen avua. Oetetaan, että värähteevän angan muodon hetkeä t = määrää funktio u ja nopeuden funktio u 1. Otetaan tehtäväksi määrätä seuraavan akuarvo- reuna-arvotehtävän

Lisätiedot

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1

Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: b) 0 e x + 1 Tehtävä : Tehtävänanto oli ratkaista seuraavat määrätyt integraalit: a) a) x b) e x + Integraali voisi ratketa muuttujanvaihdolla. Integroitava on muotoa (a x ) n joten sopiva muuttujanvaihto voisi olla

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus

Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat. TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat TKK (c) Ilkka Mellin (2004) 1 Satunnaismuuttujien muunnokset ja niiden jakaumat Satunnaismuuttujien muunnosten jakaumat

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi osa I MS-C1420 Fourier-analyysi osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 29. tammikuuta 2014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-C1420 Fourier-analyysiosa I 29. tammikuuta 2014 1 / 29 Fourier-muunnoksia Jatkuva-aikaisen

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt

Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka

Lisätiedot

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M)

MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Analyysi I Harjoitus 7. 2. 2009 alkavalle viikolle Ratkaisuehdotuksia (7 sivua) (S.M) Luennoilla on nyt menossa vaihe, missä Hurri-Syrjäsen monistetta käyttäen tutustutaan

Lisätiedot

= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja

= X s + IE[X t X s ] = 0, s ja sitä, että ehdollinen odotusarvo on tavallinen odotusarvo silloin, kun satunnaismuuttuja 44 E. VALKEILA 6. Geometrinen Brownin liike 6.1. Brownin liike ja Iton kaava. Tavoitteena on mallintaa osakkeen tuottoa jatkuvassa ajassa. Jos (S t ) t T on osakkeen hintaprosessi, niin tuotolla tarkoitetaan

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I MS-C140 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 014 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C140 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta

Lisätiedot

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I

MS-C1420 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I MS-C14 Fourier-analyysi Esimerkkejä, perusteluja, osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 3. tammikuuta 14 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto MS-C14 Fourier-analyysiEsimerkkejä, perusteluja, osa3. I tammikuuta

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on

Lisätiedot

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali.

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 10: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. MS-A25/MS-A26 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Napa-, sylinteri- ja pallokoordinaatistot. Pintaintegraali. Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät

Lisätiedot

Äärettömät raja-arvot

Äärettömät raja-arvot Äärettömät raja-arvot Määritelmä Funktion f oikeanpuoleinen raja-arvo pisteessä x 0 on + mikäli kaikilla R > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) > R aina kun x 0 < x < x 0 + δ. Funktion f oikeanpuoleinen

Lisätiedot

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin.

Ratkaisu: (i) Joukko A X on avoin jos kaikilla x A on olemassa r > 0 siten että B(x, r) A. Joukko B X on suljettu jos komplementti B c on avoin. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Topologia I 1. kurssikoe 26.2.2013 Malliratkaisut ja tehtävien tarkastamiset Tehtävät 1 ja 2 Henrik Wirzenius Tehtävät 3 ja 4 Teemu Saksala Jos sinulla on kysyttävää

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12

Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 12 Matematiikan tukikurssi: kurssikerta 2 Tenttiin valmentavia harjoituksia Huomio. Tähän tulee lisää ratkaisuja sitä mukaan kun ehin niitä kirjoittaa. Kurssilla käyään läpi tehtävistä niin monta kuin mahollista.

Lisätiedot

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa

Lisätiedot

LUKU 6. Mitalliset funktiot

LUKU 6. Mitalliset funktiot LUKU 6 Mitalliset funktiot Määritelmistä 3. ja 3.0 seuraa, että jokainen Lebesgue-integroituva funktio on porrasfunktiojonon raja-arvo melkein kaikkialla. Kuitenkin moni tuttu funktio ei ole Lebesgue-integroituva.

Lisätiedot

Kompleksinen Laplace-muunnos

Kompleksinen Laplace-muunnos TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Päivikki Mäki Kompleksinen Laplace-muunnos Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Kesäkuu 212 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden yksikkö MÄKI, PÄIVIKKI:

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa.

Osoita, että täsmälleen yksi vektoriavaruuden ehto ei ole voimassa. LINEAARIALGEBRA Harjoituksia 2016 1. Olkoon V = R 2 varustettuna tavallisella yhteenlaskulla. Määritellään reaaliluvulla kertominen seuraavasti: λ (x 1, x 2 ) = (λx 1, 0) (x 1, x 2 ) R 2 ja λ R. Osoita,

Lisätiedot

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta. Osa 2: Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat. Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Ilkka Mellin Todennäköisyyslaskenta Osa : Satunnaismuuttujat ja todennäköisyysjakaumat Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (7) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) =

Lisätiedot

u 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja

u 2 dx, u A f siten, että D(u) = inf D(U). Tarkemmin: Tarkoitus on osoittaa seuraavat minimointitehtävä ja Dirichlet n tehtävä u A f ja 1. Dirichlet n periaatteesta 1.1. Periaate I. Dirichlet n periaate pohjautuu fysikaaliseen minimienergiaperiaatteeseen ja luo pohjaa osittaisdifferentiaaliyhtälöiden ja variaatiolaskennan välille). Yksinkertaisesti

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mat Matematiikan peruskurssi K2 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,

Lisätiedot

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1

H7 Malliratkaisut - Tehtävä 1 H7 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 7. lokakuuta 07 a) Palautellaan muistiin Maclaurin sarjan määritelmä (Taylorin sarja origon ympäristössä): f n (0) f(x) = (x) n Nyt jos f(x) = ln( + x) saadaan

Lisätiedot

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30

DI matematiikan opettajaksi: Täydennyskurssi, kevät 2010 Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle 11: ti klo 13:00-15:30 DI matematiikan opettajaksi: Tädennskurssi, kevät Luentorunkoa ja harjoituksia viikolle : ti 6 klo :-5: Kädään läpi: funktioita f : D f R n R m ja integrointia R n :ssä Oletetaan, että, R n ovat mielivaltaisia

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava

VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT. VI.1. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava VI. TAYLORIN KAAVA JA SARJAT VI.. Taylorin polynomi ja Taylorin kaava Olkoon n N ja x, c, c, c 2,..., c n R. Tehtävä: Etsittävä sellainen R-kertoiminen polynomi P, että sen aste deg P n ja P (x ) = c,

Lisätiedot

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2. 2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x

Lisätiedot

f(x) sin k x dx, c k = 1

f(x) sin k x dx, c k = 1 f ( n) n 3. Fourier n sarjoista I [1, 8.16, luku 11], [, luku 15], [3, luku IX, 8 9]. [5, luku I], [6, luku XII, 3], [7, luku 8], [8, luku 4], [9, luku 8] Trigonometrinen polynomi on muotoa a + ( ak cos

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo.

1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 01 Lisätetävät Ratkaisut 1. Määritä funktion f : [ 1, 3], suurin ja pienin arvo. f (x)= x 3 3x, Ratkaisu. Funktio f on jatkuva suljetulla

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 15.11.2016 Sisältö Alkeisfunktiot 1.1 Funktio I Funktio f : A! B on sääntö, joka liittää

Lisätiedot

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai

MATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =

Lisätiedot