KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

Transkriptio

1 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on jatkuva kuvaus : [α, β] A. Piste (α) on alkupiste ja piste (β) on loppupiste tai päätepiste. Sanonta: Polku on pisteestä (α) pisteeseen (β). Polku on suljettu, jos (α) (β). Polun jälki on sen kuvajoukko {z A : z (t) jollain t [α, β]} ([α, β]) Esimerkki. a) Olkoot a ja b kompleksitason C pisteitä. Silloin : [, 1] C, (t) a + t(b a), t [, 1], on jana(polku) pisteestä a pisteeseen b. Janapolkua pisteestä a pisteeseen b merkitsemme [a,b]. Janapolulla : [, 1] C, (t) b + t(a b), t [, 1], on sama jälki kuin polulla, mutta sen suunta on pisteestä b pisteeseen a. Polku : [, 1] C, Date: (t) 1 + it, t 1, 1

2 2 Kompleksianalyysin kurssi/rhs on jana pisteestä 1 pisteeseen 1 + i. b) Olkoot a kompleksitason piste ja r >. Polun 1 : [, 2π] C, 1 (t) a + r exp(it), t [, 2π], jälki on positiivisesti (eli vastapäivään) suunnistettu a-keskinen r-säteinen ympyrä eli kiekon D(a, r) reuna D(a, r). Sitä merkitään S + (a, r) tai S + r (a). Polun 2 : [, 1] C, 2 (t) a + r(cos 2πt + i sin 2πt), jälki on sama positiivisesti suunnistettu a-keskinen, r-säteinen ympyrä. Polun 3 : [, 2] C, 3 (t) a + r exp(i 2πt) jälki antaa saman ympyrän kuin polut 1 ja 2, mutta nyt jokainen piste ympyrällä S + (a, r) on välin [, 2[ kahden eri pisteen kuva. Polun : [α, β] A vastapolku on : [α, β] A, jolle (t) (α + β t). Vastapolun alkupiste on (β) ja loppupiste (α). Polun ja sen vastapolun jäljet ovat samat,. Vastapolku kulkee siis saman jäljen kuin alkuperäinen polkukin, mutta vastakkaiseen suuntaan Esimerkki. Olkoon : [, 2π] C, Silloin : [, 2π] C, (t) exp(it). (t) exp(i(2π t)) exp( it). Olkoot 1 : [α 1, β 1 ] A ja 2 : [α 2, β 2 ] A polkuja, joille 1 (β 1 ) 2 (α 2 ). Silloin tulopolku on 1 2 : [α 1, β 2 + β 1 α 2 ] A, { 1 (t) t [α 1 2 (t) 1, β 1 ] 2 (t + α 2 β 1 ) t [β 1, β 2 + β 1 α 2 ].

3 6.4. Esimerkki. Olkoot 1 : [, π] C, Kompleksianalyysin kurssi/rhs 3 1 (t) cos t + i sin t, ja 2 : [, 1] C, 2 (t) 2t 1. Silloin 1 2 : [, 1 + π] C, { 1 (t), t [, π] 1 2 (t) 2 (t π) 2(t π) 1, t [π, 1 + π]. Polun 1 2 jälki on suljettu puoliympyrä C 1 -polut. Tämä on tärkeä asia! Olkoon : [α, β] C polku (eli jatkuva kuvaus). Merkitään x(t) : Re (t) y(t) : Im (t). Siis (t) x(t) + iy(t), missä x: [α, β] R ja y : [α, β] R ovat jatkuvia kuvauksia. Polku on derivoituva polku, jos x: [α, β] R ja y : [α, β] R ovat derivoituvia funktioita siten, että välin [α, β] päätepisteissä on toispuoleiset derivaatat. Polun derivaatta on (t) x (t) + iy (t). Polku on jatkuvasti derivoituva polku, jos funktiot x: [α, β] R ja y : [α, β] R ovat jatkuvasti derivoituvia, eli on olemassa (t) kaikilla t [α, β] ja on jatkuva välillä [α, β]. Tällöin sanotaan, että polku on C 1 -polku Esimerkki. Polku : [, π] C, (t) cos t+i sin t, on jatkuvasti derivoituva polku. Olkoon α t < t 1 <... < t n β välin [α, β] jako. Jos polku on jatkuvasti derivoituva jokaisella osavälillä [t k 1, t k ], 1 k n, niin polku on paloittain jatkuvasti derivoituva. Sanonta: Polku on paloittain C 1 -polku. Merkitsemme k [tk 1,t k ], k 1,..., n.

4 4 Kompleksianalyysin kurssi/rhs 6.7. Esimerkki. Tulopolkuesimerkin polku 1 2 : [, 1 + π] C on paloittain jatkuvasti derivoituva Parametrin vaihto. Polun uudelleen parametrisointi. Olkoon 1 : [α 1, β 1 ] C jatkuvasti derivoituva polku. Jatkuvasti derivoituva polku 2 : [α 2, β 2 ] C on saatu polusta 1 parametria vaihtamalla, jos on olemassa aidosti kasvava, jatkuvasti derivoituva bijektio ϕ: [α 2, β 2 ] [α 1, β 1 ] siten, että 2 (s) ( 1 ϕ)(s) kaikilla s [α 2, β 2 ]. Kuvaus ϕ on parametrinvaihtokuvaus. Sanonta: Polku 2 on polun 1 uudelleen parametrisointi Huomautus. Polulla 2 on samat alku- ja loppupiste kuin polulla 1. Poluilla on sama jälki ja ne kulkevat samaan suuntaan, mutta mahdollisesti eri nopeuksilla Esimerkki. Olkoot a C ja b C ja a b. Olkoon Määritellään 1 (t) a + t(b a), t [, 1]. 2 (s) a + s b a, s [, a b ]. a b Silloin, jos ϕ(s) s, s [, a b ], a b niin ( 1 ϕ)(s) 1 (ϕ(s)) a + s b a a b 2(s). Polku 2 on siis saatu C 1 -polusta 1 parametrin vaihdolla. Sanonta: Polulla 2 on polun/käyrän pituus parametrina Integrointi yli reaalisen välin. Olkoon f : [a, b] C jatkuva funktio, f(t) u(t) + iv(t), missä u(t) R ja v(t) R. Määritellään funktion f integraali yli reaalisen välin [a, b] asettamalla b a f(t)dt b a u(t)dt + i b a v(t)dt,

5 Kompleksianalyysin kurssi/rhs 5 missä integraalit funktioista u ja v ovat tavalliset reaaliset Riemannintegraalit. Näin määritelty integraali noudattaa tavallisia Riemann-integraalin ominaisuuksia. Funktion f integraalin arvo yli välin [a, b] on kompleksiluku Integraali yli käyrän. Olkoon A kompleksitason avoin joukko. Olkoon : [a, b] A jatkuvasti derivoituva polku kompleksitason avoimessa joukossa A. Määritellään jatkuvan funktion f : A C integraali yli käyrän asettamalla b f(z)dz f((t)) (t)dt. a Olkoon a t < t 1 <... < t n b välin [a, b] jako. Jos polku on jatkuvasti derivoituva jokaisella osavälillä [t k 1, t k ], 1 k n, niin polku on paloittain jatkuvasti derivoituva. Kun merkitsemme k [tk 1,t k ], niin määrittelemme n f(z)dz f(z)dz. k1 k Esimerkki. Olkoon 1 janapolku pisteestä 1 pisteeseen 1 + i. Silloin (esimerkiksi) ja siis 1 z dz 1 (1 + it)i dt 1 (t) 1 + it, t [, 1], 1 (i t) dt 1/ (it 12 ) t2 i 1 2. Jos me parametrisoimme janapolun 1 eri tavalla, esimerkiksi [ 2 (s) 1 + 2is, s, 1 ], 2 niin 2 zdz 1/2 Yleisemmin pätee: (1 + 2is)2i ds 2 1/2 (i 2s)ds 2 / 1/2 (is s 2 ) i 1 2.

6 6 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Lause (Integraalin invarianssi). Olkoot 1 : [a, b] A jatkuvasti derivoituva polku ja polku 2 : [c, d] A polun 1 uudelleen parametrisointi. Silloin f(z)dz 1 f(z)dz. 2 Todistus: Koska 2 on polun 1 uudelleen parametrisointi, niin on olemassa jatkuvasti differentioituva funktio φ: [c, d] [a, b] siten, että φ (t) > kaikilla t [c, d], φ(c) a, φ(d) b ja 2 1 φ. Tällöin muuttujanvaihdon t φ(s), dt φ (s)ds avulla b d f(z)dz f( 1 (t)) 1 (t)dt f( 1 (φ(s))) 1 (φ(s)) φ (s)ds 1 a c d f(( 1 φ)(s)) D( 1 φ)(s)ds c f(z)dz. 2 d c f( 2 (s)) 2 (s)ds Integraalin lineaarisuus seuraa välittömästi Riemann-integraalin lineaarisuudesta: Lause (Integraalin lineaarisuus). Olkoon jatkuvasti derivoituva polku kompleksitason avoimessa joukossa A. Jos funktiot f : A C ja g : A C ovat jatkuvia kompleksitason avoimessa joukossa A, niin (λf + µg)(z) dz λ f(z)dz + µ g(z)dz kaikilla kompleksisilla vakioilla λ ja µ Lause (Tulopolun käyräintegraali). Olkoot : [α 1, β 1 ] A ja ν : [α 2, β 2 ] A jatkuvasti derivoituvia polkuja kompleksitason avoimessa joukossa A. Jos tulopolku ν on määritelty, niin f(z)dz f(z)dz + f(z)dz. ν ν Esimerkki. Jos otamme janapolun pisteestä 1 pisteeseen 1 + i, ja sen vastapolun pisteestä eli 1 : [, 1] C, 1 (t) 1 + it, t [, 1], 1 : [, 1] C, 1 (t) 1 + i(1 t), t [, 1],

7 niin eli zdz Yleisemmin pätee: Kompleksianalyysin kurssi/rhs 7 (1 + i(1 t))( i)dt ( i + 1 t)dt 1/ [(1 i)t 12 ] t2 1 i i zdz zdz Lause (Vastapolun käyräintegraali). f(z)dz f(z)dz. Huomaa, että vaikka, niin polun suunnistus eli se mihin suuntaan polkua kuljetaan vaikuttaa integraalin arvoon. Vastapolun käyräintegraalilauseen todistus: Invarianssilauseen nojalla voimme valita polun määrittelyväliksi yksikkövälin [, 1]. Silloin : [, 1] A, (t) ( + 1 t) (1 t). Tällöin muuttujanvaihdolla s 1 t saadaan 1 f(z)dz f( (t)) ( ) (t)dt 1 f((1 t)) (1 t)( 1)dt ( 1) f((s)) (s)ds 1 f(z)dz. Muistutus: Integraalin f(z)dz 1 1 f((1 t)) (1 t)dt f((s)) (s)ds arvo riippuu vain polun suunnistuksesta ja funktion arvoista polulla, mutta ei polun uudelleen parametrisoinnista.

8 8 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Seuraava esimerkki on tärkeä. Tarvitsemme sitä myöhemmin Esimerkki. Olkoon polun jälki positiivisesti suunnistettu r- säteinen a-keskinen ympyrä; (t) a + r exp(it), t [, 2π]. Määrätään dz z a. Koska (t) ri exp(it), niin dz 2π z a ri exp(it) a + r exp(it) a dt Määrätään Kun n Z \ { 1}, niin (z a) n dz koska 2π (z a) n dz, kun n Z \ { 1}. 2π r n+1 i idt 2πi. (a + r exp(it) a) n ri exp(it)dt 2π irn+1 i(n + 1) / 2π exp ( i(n + 1)t ) dt exp ( i(n + 1)t ), exp z exp(z + 2πni), z C, n Z. Merkintä: Jos polku on a-keskisen r-säteisen ympyrän positiivisesti suunnistettu parametrisointi, niin voimme merkitä f(z)dz f(z)dz f(z)dz. S + (a;r) Siis edellisestä esimerkistä (z a) n dz S + (a;r) D(a,r) { 2πi, n 1,, n Z \ { 1} Huomautus. Polun käyräintegraalissa dz tarkoittaa intuitiivisesti lisäystä, kun z (t) muuttuu. Jos otamme huomioon vain luvun z modulin muutoksen pitkin polkua, niin saamme käsitteen integraali yli polun kaarenpituuden suhteen.

9 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Integraali yli polun kaarenpituuden suhteen. Olkoon : [a, b] A jokin C 1 -polku kompleksitason avoimessa joukossa A ja olkoon f : A C jatkuva funktio. Funktion f integraali polun kaarenpituuden suhteen määritellään asettamalla b f(z) dz f((t)) (t) dt. Muistutus: Jatkuvasti derivoituvan polun : [a, b] C pituus on b length() dz (t) dt. a Esimerkki. Olkoon (t) z + r exp(it), t [, 2π]. Polun jälki on z -keskinen r-säteinen ympyrä. Polun pituus eli r-säteisen ympyrän kehän pituus on length() 2π a ri exp(it) dt 2π rdt 2πr. Integraalilla polun kaarenpituuden suhteen on seuraavat ominaisuudet: (1) Integraalin lineaarisuus: (λf + µg)(z) dz λ f(z) dz + µ g(z) dz kompleksisille vakioille λ ja µ. (2) Vastapolun integraali kaarenpituuden suhteen: f(z) dz f(z) dz. (3) Tulopolun integraali kaarenpituuden suhteen: f(z) dz f(z) dz + f(z) dz. ν Todistus: Integraalin lineaarisuuden todistaminen ja tulopolun integroinnin todistaminen menevät kuten edellä. Todistamme väitteen f(z) dz f(z) dz. Kuten edellä voimme valita parametriväliksi yksikkövälin [, 1], jolloin (t) (1 t). ν

10 1 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Nyt f(z) dz f( (t)) ( ) (t) dt 1 f((1 t)) (1 t) dt s1 t f((s)) (s) ds f(z) dz. f((1 t)) (1 t)( 1) dt Seuraava lemma on tärkeä ja erittäin käyttökelpoinen! 1 f((s)) (s) ( ds) Arviolemma. Jos on paloittain jatkuvasti differentioituva C 1 -polku ja f on polun ympäristössä määritelty jatkuva funktio ja f(z) M polulla, niin f(z)dz f(z) dz M length() Esimerkki. Olkoot f : z exp(iz 2 ) ja [ :, π ] [ C, (t) r exp(it), t, π ]. 4 4 Väite: π(1 e r2) f(z)dz. 4r Todistus: Arviolemman nojalla exp(iz 2 )dz exp(iz 2 ) π/4 dz exp(i(t) 2 ) (t) dt π/4 exp(i(t) 2 ) rdt. Jos z x + iy, missä x R ja y R, niin koska Jos niin exp(iz 2 ) exp(re(iz 2 )) exp( 2xy), iz 2 i(x + iy) 2 2xy + i(x 2 y 2 ). z (t) r exp(it) r(cos t + i sin t), exp(i(t) 2 ) exp( r 2 2 cos t sin t) exp( r 2 sin 2t).

11 Kompleksianalyysin kurssi/rhs 11 Muuttujanvaihdolla s 2t ja arviota sin s 2s π käyttämällä saadaan π/4 exp(iz 2 )dz e r2 sin 2t rdt 1 2 Siis väite pätee. r 2 π/2 e 2r2 π s ds π 4r kaikilla s π/2, π/2 e r2 sin s rds ( 1 e r2) Integraalifunktiot (primitiivit, kantafunktiot, antiderivaatat). Olkoon A kompleksitason avoin osajoukko. Olkoon f : A C jatkuva kuvaus. Joukossa A määritelty analyyttinen funktio F on funktion f integraalifunktio (primitiivi, kantafunktio, antiderivaatta), jos Esimerkki. Funktio F (z) f(z), kaikilla z A. F (z) z4 4 on funktion f(z) z 3 integraalifunktio; funktio G(z) z on myös funktion f(z) z 3 integraalifunktio. Funktio z sin z on funktion z cos z integraalifunktio. Funktio z sinh(z) on funktion z cosh(z) integraalifunktio Huomautus. Jos funktio F on funktion f integraalifunktio, niin myös funktio F + C, missä C C on vakio, on funktion f integraalifunktio Lause (Käyräintegraalin peruslause 1.). Olkoon A kompleksitason avoin osajoukko. Olkoon analyyttinen funktio F jatkuvan funktion f : A C integraalifunktio. Silloin jokaisella paloittain C 1 -polulla, missä : [a, b] A, f(z) dz F ((b)) F ((a)). Todistus: 1 Olkoon : [a, b] A jokin C 1 -polku. Silloin (F ) (t) F ((t)) (t) f((t)) (t)

12 12 Kompleksianalyysin kurssi/rhs ja siis f(z) dz b a b a f((t)) (t)dt d ( ) (F )(t) dt F ((b)) F ((a)). dt 2 Olkoon : [a, b] A paloittain C 1 -polku. Olkoon a t < t 1 <... < t n b välin [a, b] jako siten, että k : [t [tk,t k+1 ] k, t k+1 ] A, k, 1,..., n 1, ovat C 1 -polkuja. Silloin n 1 n 1 ( f(z)dz f(z)dz F ((tk+1 )) F ((t k )) ) k k k F ((t 1 )) F ((t )) + F ((t 2 )) F ((t 1 )) F ((t n )) F ((t n 1 )) F ((t n )) F ((t )) F ((b)) F ((a)) Esimerkki. Olkoon : [, π] C, (t) t + i t2 π. Olkoon f : C C \ {}, f(z) exp(z). Silloin funktion f integraalifunktio on F (z) exp(z), sillä exp (z) exp(z). Siis exp(z)dz exp(π + iπ) exp() Peruslauseen 1 korollaari: exp(π) exp(iπ) exp() e π( cos π + i sin π ) 1 e π Korollaari 1. Olkoon A kompleksitason avoin joukko. Jos jatkuvalla funktiolla f : A C on integraalifunktio (primitiivi, antiderivaatta) avoimessa joukossa A, niin f(z)dz kaikilla suljetuilla paloittain C 1 -poluilla avoimessa joukossa A Huomautus. Muistutus: [z1,z 2 ] on janapolku pisteestä z 1 pisteeseen z 2.

13 Kompleksianalyysin kurssi/rhs 13 Polku : [a, b] C on murtoviiva, jos on olemassa välin [a, b] jako siten, että a t < t 1 <... < t n b [(t ),(t 1 )]... [(tn 1 ),(t n)]. Kompleksitason avoin ja yhtenäinen joukko on alue. Avoimelle joukolle A seuraavat ovat yhtäpitävät: (1) A on yhtenäinen (2) A on polkuyhtenäinen (3) A on murtoviivayhtenäinen. Erityisesti siis alueessa mielivaltaisesti valitut kaksi pistettä voidaan yhdistää toisiinsa jatkuvalla murtoviivalla, joka kulkee kokonaisuudessaan joukossa. Peruslauseen toinen korollaari : Korollaari 2. Alueessa analyyttinen funktio on vakio, jos ja vain jos sen derivaatta on nolla. Todistus: selvä. Olkoon A kompleksitason alue ja F : A C analyyttinen. Olkoon F (z) f(z) kaikilla z A. Joukko A on alue ja siten yhtenäinen. Siis jokaiselle pisteparille z A ja w A on olemassa murtoviiva, joka yhdistää pisteet z ja w alueessa A. Murtoviivalle on olemassa paloittain lineaarinen parametrisointi ja se on paloittain C 1 -polku. Kiinnitetään z A. Kun z A, niin voidaan valita jokin pisteestä z pisteeseen z kulkeva murtoviiva. Peruslauseen 1 nojalla F (z) F (z ) f(z)dz F (z)dz. Siis F (z) F (z ) kaikilla z A Korollaari 3. Olkoon A kompleksitason alue. Jos funktiot F ja G ovat jatkuvan funktion f : A C integraalifunktioita alueessa A, niin erotus F G on vakio. Todistus: Jos F ja G ovat jatkuvan funktion f : A C integraalifunktioita, niin (F G) (z) F (z) G (z) f(z) f(z) kaikilla z A. Siis edellisen Korollaarin nojalla F G on vakio Käyräintegraalin peruslause 2. [Integraalifunktion karakterisaatiolause] Olkoon f jatkuva kompleksiarvoinen funktio

14 14 Kompleksianalyysin kurssi/rhs alueessa A. Tällöin funktiolla f on integraalifunktio, jos ja vain jos alueen A jokaisella suljetulla paloittain C 1 -polulla pätee f(z)dz. Havainto: Funktiolla f : C \ {} C, f(z) 1, ei ole z integraalifunktiota alueessa C \ {}, sillä aikaisemmin osoitimme, että kun : [, 2π] C \ {}, (t) exp (it), niin f(z)dz 2πi. Integraalifunktion karakterisaatiolauseen todistus: Olkoon funktiolla f integraalifunktio. Jos paloittain C 1 -polku : [a, b] A on suljettu, niin (a) (b), ja väite seuraa Peruslauseen 1 korollaarista. Olkoon siis funktio f jatkuva ja f(z)dz jokaisella suljetulla paloittain C 1 -polulla. On osoitettava, että funktiolla f on integraalifunktio. Olkoon z A mielivaltaisesti valittu kiinteä piste. Jos z A, niin, koska joukko A on alue, on olemassa jatkuva murtoviiva z alueessa A siten, että murtoviivan alkupiste on z ja loppupiste on z. Jos on jokin toinen paloittain C 1 -polku pisteestä z pisteeseen z, niin z on alueessa A paloittain derivoituva suljettu polku ja oletuksen nojalla f(ξ)dξ f(ξ)dξ + f(ξ)dξ f(ξ)dξ + f(ξ)dξ. z z z Määritellään integraali (1) F (z) : z f(ξ)dξ. Kun z on kiinnitetty, niin integraalin arvo ei riipu polun z valinnasta. Osoitamme, että yhtälön (1) määrittelemä funktio F on funktion f integraalifunktio. Osoitamme, että kaikilla ɛ > on olemassa luku δ ɛ > siten, että F (z + h) F (z) f(z) h < ɛ,

15 Kompleksianalyysin kurssi/rhs 15 kunhan h < δ ɛ. Olkoon siis nyt ɛ > annettu. Tulopolku z [z,z+h] on polku pisteestä z pisteeseen z + h; ensin kuljetaan polulla z pisteeseen z ja sitten janapolulla [z,z+h] pisteeseen z + h. Silloin F (z + h) F (z) f(z) h ( ) 1 f(ξ)dξ f(ξ)dξ f(z) h h h z [z,z+h] z ( ) 1 f(ξ)dξ + f(ξ)dξ f(ξ)dξ f(z)dξ h z [z,z+h] z [z,z+h] ( ) 1 f(ξ)dξ f(z)dξ h [z,z+h] [z,z+h] ( ) 1 f(ξ) f(z) dξ h. [z,z+h] Olkoon ξ [z,z+h]. Funktion f jatkuvuuden nojalla f(ξ) f(z) < ɛ, kunhan ξ z < δ ɛ eli kunhan h < δ ɛ. Nyt arviolemman nojalla F (z + h) F (z) f(z) 1 h h ɛ h ɛ, kunhan h < δ ɛ. Siis F (z) f(z) kaikilla z A Esimerkki. (1) Olkoon : [, 2π] C, (t) exp(it). Silloin 2π 2π zdz exp(it) i exp(it) dt exp(it) idt 2πi. }{{} }{{} (t) 1 Funktiolla z z ei siis voi olla antiderivaattaa missään alueessa, jossa on yksikkökiekon kehä. (Itse asiassa, funktiolla z z ei ole antiderivaattaa missään.) (2) Koska funktiolla z z 2 on antiderivaatta, nimittäin 1 3 z3, niin z 2 dz jokaisella suljetulla C 1 -polulla.

16 16 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Merkintää joskus käytetään merkinnän tilalla, kun integroidaan yli suljetun polun Huomautus. Jos integroitavana funktiona on z exp(z 2 ), niin näyttäisi olevan vaikea selvittää päteekö exp(z 2 )dz jokaisella suljetulla C 1 -polulla. Seuraavassa luvussa osoittautuu, että riittää tietää integroitavan funktion analyyttisyys.