KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012"

Transkriptio

1 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 212 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 6.1. Poluista. 6. Kompleksinen integrointi Olkoon [α, β] suljettu reaaliakselin väli, α < β, ja olkoon A kompleksitason avoin joukko. Polku on jatkuva kuvaus : [α, β] A. Piste (α) on alkupiste ja piste (β) on loppupiste tai päätepiste. Sanonta: Polku on pisteestä (α) pisteeseen (β). Polku on suljettu, jos (α) (β). Polun jälki on sen kuvajoukko {z A : z (t) jollain t [α, β]} ([α, β]) Esimerkki. a) Olkoot a ja b kompleksitason C pisteitä. Silloin : [, 1] C, (t) a + t(b a), t [, 1], on jana(polku) pisteestä a pisteeseen b. Janapolkua pisteestä a pisteeseen b merkitsemme [a,b]. Janapolulla : [, 1] C, (t) b + t(a b), t [, 1], on sama jälki kuin polulla, mutta sen suunta on pisteestä b pisteeseen a. Polku : [, 1] C, Date: (t) 1 + it, t 1, 1

2 2 Kompleksianalyysin kurssi/rhs on jana pisteestä 1 pisteeseen 1 + i. b) Olkoot a kompleksitason piste ja r >. Polun 1 : [, 2π] C, 1 (t) a + r exp(it), t [, 2π], jälki on positiivisesti (eli vastapäivään) suunnistettu a-keskinen r-säteinen ympyrä eli kiekon D(a, r) reuna D(a, r). Sitä merkitään S + (a, r) tai S + r (a). Polun 2 : [, 1] C, 2 (t) a + r(cos 2πt + i sin 2πt), jälki on sama positiivisesti suunnistettu a-keskinen, r-säteinen ympyrä. Polun 3 : [, 2] C, 3 (t) a + r exp(i 2πt) jälki antaa saman ympyrän kuin polut 1 ja 2, mutta nyt jokainen piste ympyrällä S + (a, r) on välin [, 2[ kahden eri pisteen kuva. Polun : [α, β] A vastapolku on : [α, β] A, jolle (t) (α + β t). Vastapolun alkupiste on (β) ja loppupiste (α). Polun ja sen vastapolun jäljet ovat samat,. Vastapolku kulkee siis saman jäljen kuin alkuperäinen polkukin, mutta vastakkaiseen suuntaan Esimerkki. Olkoon : [, 2π] C, Silloin : [, 2π] C, (t) exp(it). (t) exp(i(2π t)) exp( it). Olkoot 1 : [α 1, β 1 ] A ja 2 : [α 2, β 2 ] A polkuja, joille 1 (β 1 ) 2 (α 2 ). Silloin tulopolku on 1 2 : [α 1, β 2 + β 1 α 2 ] A, { 1 (t) t [α 1 2 (t) 1, β 1 ] 2 (t + α 2 β 1 ) t [β 1, β 2 + β 1 α 2 ].

3 6.4. Esimerkki. Olkoot 1 : [, π] C, Kompleksianalyysin kurssi/rhs 3 1 (t) cos t + i sin t, ja 2 : [, 1] C, 2 (t) 2t 1. Silloin 1 2 : [, 1 + π] C, { 1 (t), t [, π] 1 2 (t) 2 (t π) 2(t π) 1, t [π, 1 + π]. Polun 1 2 jälki on suljettu puoliympyrä C 1 -polut. Tämä on tärkeä asia! Olkoon : [α, β] C polku (eli jatkuva kuvaus). Merkitään x(t) : Re (t) y(t) : Im (t). Siis (t) x(t) + iy(t), missä x: [α, β] R ja y : [α, β] R ovat jatkuvia kuvauksia. Polku on derivoituva polku, jos x: [α, β] R ja y : [α, β] R ovat derivoituvia funktioita siten, että välin [α, β] päätepisteissä on toispuoleiset derivaatat. Polun derivaatta on (t) x (t) + iy (t). Polku on jatkuvasti derivoituva polku, jos funktiot x: [α, β] R ja y : [α, β] R ovat jatkuvasti derivoituvia, eli on olemassa (t) kaikilla t [α, β] ja on jatkuva välillä [α, β]. Tällöin sanotaan, että polku on C 1 -polku Esimerkki. Polku : [, π] C, (t) cos t+i sin t, on jatkuvasti derivoituva polku. Olkoon α t < t 1 <... < t n β välin [α, β] jako. Jos polku on jatkuvasti derivoituva jokaisella osavälillä [t k 1, t k ], 1 k n, niin polku on paloittain jatkuvasti derivoituva. Sanonta: Polku on paloittain C 1 -polku. Merkitsemme k [tk 1,t k ], k 1,..., n.

4 4 Kompleksianalyysin kurssi/rhs 6.7. Esimerkki. Tulopolkuesimerkin polku 1 2 : [, 1 + π] C on paloittain jatkuvasti derivoituva Parametrin vaihto. Polun uudelleen parametrisointi. Olkoon 1 : [α 1, β 1 ] C jatkuvasti derivoituva polku. Jatkuvasti derivoituva polku 2 : [α 2, β 2 ] C on saatu polusta 1 parametria vaihtamalla, jos on olemassa aidosti kasvava, jatkuvasti derivoituva bijektio ϕ: [α 2, β 2 ] [α 1, β 1 ] siten, että 2 (s) ( 1 ϕ)(s) kaikilla s [α 2, β 2 ]. Kuvaus ϕ on parametrinvaihtokuvaus. Sanonta: Polku 2 on polun 1 uudelleen parametrisointi Huomautus. Polulla 2 on samat alku- ja loppupiste kuin polulla 1. Poluilla on sama jälki ja ne kulkevat samaan suuntaan, mutta mahdollisesti eri nopeuksilla Esimerkki. Olkoot a C ja b C ja a b. Olkoon Määritellään 1 (t) a + t(b a), t [, 1]. 2 (s) a + s b a, s [, a b ]. a b Silloin, jos ϕ(s) s, s [, a b ], a b niin ( 1 ϕ)(s) 1 (ϕ(s)) a + s b a a b 2(s). Polku 2 on siis saatu C 1 -polusta 1 parametrin vaihdolla. Sanonta: Polulla 2 on polun/käyrän pituus parametrina Integrointi yli reaalisen välin. Olkoon f : [a, b] C jatkuva funktio, f(t) u(t) + iv(t), missä u(t) R ja v(t) R. Määritellään funktion f integraali yli reaalisen välin [a, b] asettamalla b a f(t)dt b a u(t)dt + i b a v(t)dt,

5 Kompleksianalyysin kurssi/rhs 5 missä integraalit funktioista u ja v ovat tavalliset reaaliset Riemannintegraalit. Näin määritelty integraali noudattaa tavallisia Riemann-integraalin ominaisuuksia. Funktion f integraalin arvo yli välin [a, b] on kompleksiluku Integraali yli käyrän. Olkoon A kompleksitason avoin joukko. Olkoon : [a, b] A jatkuvasti derivoituva polku kompleksitason avoimessa joukossa A. Määritellään jatkuvan funktion f : A C integraali yli käyrän asettamalla b f(z)dz f((t)) (t)dt. a Olkoon a t < t 1 <... < t n b välin [a, b] jako. Jos polku on jatkuvasti derivoituva jokaisella osavälillä [t k 1, t k ], 1 k n, niin polku on paloittain jatkuvasti derivoituva. Kun merkitsemme k [tk 1,t k ], niin määrittelemme n f(z)dz f(z)dz. k1 k Esimerkki. Olkoon 1 janapolku pisteestä 1 pisteeseen 1 + i. Silloin (esimerkiksi) ja siis 1 z dz 1 (1 + it)i dt 1 (t) 1 + it, t [, 1], 1 (i t) dt 1/ (it 12 ) t2 i 1 2. Jos me parametrisoimme janapolun 1 eri tavalla, esimerkiksi [ 2 (s) 1 + 2is, s, 1 ], 2 niin 2 zdz 1/2 Yleisemmin pätee: (1 + 2is)2i ds 2 1/2 (i 2s)ds 2 / 1/2 (is s 2 ) i 1 2.

6 6 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Lause (Integraalin invarianssi). Olkoot 1 : [a, b] A jatkuvasti derivoituva polku ja polku 2 : [c, d] A polun 1 uudelleen parametrisointi. Silloin f(z)dz 1 f(z)dz. 2 Todistus: Koska 2 on polun 1 uudelleen parametrisointi, niin on olemassa jatkuvasti differentioituva funktio φ: [c, d] [a, b] siten, että φ (t) > kaikilla t [c, d], φ(c) a, φ(d) b ja 2 1 φ. Tällöin muuttujanvaihdon t φ(s), dt φ (s)ds avulla b d f(z)dz f( 1 (t)) 1 (t)dt f( 1 (φ(s))) 1 (φ(s)) φ (s)ds 1 a c d f(( 1 φ)(s)) D( 1 φ)(s)ds c f(z)dz. 2 d c f( 2 (s)) 2 (s)ds Integraalin lineaarisuus seuraa välittömästi Riemann-integraalin lineaarisuudesta: Lause (Integraalin lineaarisuus). Olkoon jatkuvasti derivoituva polku kompleksitason avoimessa joukossa A. Jos funktiot f : A C ja g : A C ovat jatkuvia kompleksitason avoimessa joukossa A, niin (λf + µg)(z) dz λ f(z)dz + µ g(z)dz kaikilla kompleksisilla vakioilla λ ja µ Lause (Tulopolun käyräintegraali). Olkoot : [α 1, β 1 ] A ja ν : [α 2, β 2 ] A jatkuvasti derivoituvia polkuja kompleksitason avoimessa joukossa A. Jos tulopolku ν on määritelty, niin f(z)dz f(z)dz + f(z)dz. ν ν Esimerkki. Jos otamme janapolun pisteestä 1 pisteeseen 1 + i, ja sen vastapolun pisteestä eli 1 : [, 1] C, 1 (t) 1 + it, t [, 1], 1 : [, 1] C, 1 (t) 1 + i(1 t), t [, 1],

7 niin eli zdz Yleisemmin pätee: Kompleksianalyysin kurssi/rhs 7 (1 + i(1 t))( i)dt ( i + 1 t)dt 1/ [(1 i)t 12 ] t2 1 i i zdz zdz Lause (Vastapolun käyräintegraali). f(z)dz f(z)dz. Huomaa, että vaikka, niin polun suunnistus eli se mihin suuntaan polkua kuljetaan vaikuttaa integraalin arvoon. Vastapolun käyräintegraalilauseen todistus: Invarianssilauseen nojalla voimme valita polun määrittelyväliksi yksikkövälin [, 1]. Silloin : [, 1] A, (t) ( + 1 t) (1 t). Tällöin muuttujanvaihdolla s 1 t saadaan 1 f(z)dz f( (t)) ( ) (t)dt 1 f((1 t)) (1 t)( 1)dt ( 1) f((s)) (s)ds 1 f(z)dz. Muistutus: Integraalin f(z)dz 1 1 f((1 t)) (1 t)dt f((s)) (s)ds arvo riippuu vain polun suunnistuksesta ja funktion arvoista polulla, mutta ei polun uudelleen parametrisoinnista.

8 8 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Seuraava esimerkki on tärkeä. Tarvitsemme sitä myöhemmin Esimerkki. Olkoon polun jälki positiivisesti suunnistettu r- säteinen a-keskinen ympyrä; (t) a + r exp(it), t [, 2π]. Määrätään dz z a. Koska (t) ri exp(it), niin dz 2π z a ri exp(it) a + r exp(it) a dt Määrätään Kun n Z \ { 1}, niin (z a) n dz koska 2π (z a) n dz, kun n Z \ { 1}. 2π r n+1 i idt 2πi. (a + r exp(it) a) n ri exp(it)dt 2π irn+1 i(n + 1) / 2π exp ( i(n + 1)t ) dt exp ( i(n + 1)t ), exp z exp(z + 2πni), z C, n Z. Merkintä: Jos polku on a-keskisen r-säteisen ympyrän positiivisesti suunnistettu parametrisointi, niin voimme merkitä f(z)dz f(z)dz f(z)dz. S + (a;r) Siis edellisestä esimerkistä (z a) n dz S + (a;r) D(a,r) { 2πi, n 1,, n Z \ { 1} Huomautus. Polun käyräintegraalissa dz tarkoittaa intuitiivisesti lisäystä, kun z (t) muuttuu. Jos otamme huomioon vain luvun z modulin muutoksen pitkin polkua, niin saamme käsitteen integraali yli polun kaarenpituuden suhteen.

9 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Integraali yli polun kaarenpituuden suhteen. Olkoon : [a, b] A jokin C 1 -polku kompleksitason avoimessa joukossa A ja olkoon f : A C jatkuva funktio. Funktion f integraali polun kaarenpituuden suhteen määritellään asettamalla b f(z) dz f((t)) (t) dt. Muistutus: Jatkuvasti derivoituvan polun : [a, b] C pituus on b length() dz (t) dt. a Esimerkki. Olkoon (t) z + r exp(it), t [, 2π]. Polun jälki on z -keskinen r-säteinen ympyrä. Polun pituus eli r-säteisen ympyrän kehän pituus on length() 2π a ri exp(it) dt 2π rdt 2πr. Integraalilla polun kaarenpituuden suhteen on seuraavat ominaisuudet: (1) Integraalin lineaarisuus: (λf + µg)(z) dz λ f(z) dz + µ g(z) dz kompleksisille vakioille λ ja µ. (2) Vastapolun integraali kaarenpituuden suhteen: f(z) dz f(z) dz. (3) Tulopolun integraali kaarenpituuden suhteen: f(z) dz f(z) dz + f(z) dz. ν Todistus: Integraalin lineaarisuuden todistaminen ja tulopolun integroinnin todistaminen menevät kuten edellä. Todistamme väitteen f(z) dz f(z) dz. Kuten edellä voimme valita parametriväliksi yksikkövälin [, 1], jolloin (t) (1 t). ν

10 1 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Nyt f(z) dz f( (t)) ( ) (t) dt 1 f((1 t)) (1 t) dt s1 t f((s)) (s) ds f(z) dz. f((1 t)) (1 t)( 1) dt Seuraava lemma on tärkeä ja erittäin käyttökelpoinen! 1 f((s)) (s) ( ds) Arviolemma. Jos on paloittain jatkuvasti differentioituva C 1 -polku ja f on polun ympäristössä määritelty jatkuva funktio ja f(z) M polulla, niin f(z)dz f(z) dz M length() Esimerkki. Olkoot f : z exp(iz 2 ) ja [ :, π ] [ C, (t) r exp(it), t, π ]. 4 4 Väite: π(1 e r2) f(z)dz. 4r Todistus: Arviolemman nojalla exp(iz 2 )dz exp(iz 2 ) π/4 dz exp(i(t) 2 ) (t) dt π/4 exp(i(t) 2 ) rdt. Jos z x + iy, missä x R ja y R, niin koska Jos niin exp(iz 2 ) exp(re(iz 2 )) exp( 2xy), iz 2 i(x + iy) 2 2xy + i(x 2 y 2 ). z (t) r exp(it) r(cos t + i sin t), exp(i(t) 2 ) exp( r 2 2 cos t sin t) exp( r 2 sin 2t).

11 Kompleksianalyysin kurssi/rhs 11 Muuttujanvaihdolla s 2t ja arviota sin s 2s π käyttämällä saadaan π/4 exp(iz 2 )dz e r2 sin 2t rdt 1 2 Siis väite pätee. r 2 π/2 e 2r2 π s ds π 4r kaikilla s π/2, π/2 e r2 sin s rds ( 1 e r2) Integraalifunktiot (primitiivit, kantafunktiot, antiderivaatat). Olkoon A kompleksitason avoin osajoukko. Olkoon f : A C jatkuva kuvaus. Joukossa A määritelty analyyttinen funktio F on funktion f integraalifunktio (primitiivi, kantafunktio, antiderivaatta), jos Esimerkki. Funktio F (z) f(z), kaikilla z A. F (z) z4 4 on funktion f(z) z 3 integraalifunktio; funktio G(z) z on myös funktion f(z) z 3 integraalifunktio. Funktio z sin z on funktion z cos z integraalifunktio. Funktio z sinh(z) on funktion z cosh(z) integraalifunktio Huomautus. Jos funktio F on funktion f integraalifunktio, niin myös funktio F + C, missä C C on vakio, on funktion f integraalifunktio Lause (Käyräintegraalin peruslause 1.). Olkoon A kompleksitason avoin osajoukko. Olkoon analyyttinen funktio F jatkuvan funktion f : A C integraalifunktio. Silloin jokaisella paloittain C 1 -polulla, missä : [a, b] A, f(z) dz F ((b)) F ((a)). Todistus: 1 Olkoon : [a, b] A jokin C 1 -polku. Silloin (F ) (t) F ((t)) (t) f((t)) (t)

12 12 Kompleksianalyysin kurssi/rhs ja siis f(z) dz b a b a f((t)) (t)dt d ( ) (F )(t) dt F ((b)) F ((a)). dt 2 Olkoon : [a, b] A paloittain C 1 -polku. Olkoon a t < t 1 <... < t n b välin [a, b] jako siten, että k : [t [tk,t k+1 ] k, t k+1 ] A, k, 1,..., n 1, ovat C 1 -polkuja. Silloin n 1 n 1 ( f(z)dz f(z)dz F ((tk+1 )) F ((t k )) ) k k k F ((t 1 )) F ((t )) + F ((t 2 )) F ((t 1 )) F ((t n )) F ((t n 1 )) F ((t n )) F ((t )) F ((b)) F ((a)) Esimerkki. Olkoon : [, π] C, (t) t + i t2 π. Olkoon f : C C \ {}, f(z) exp(z). Silloin funktion f integraalifunktio on F (z) exp(z), sillä exp (z) exp(z). Siis exp(z)dz exp(π + iπ) exp() Peruslauseen 1 korollaari: exp(π) exp(iπ) exp() e π( cos π + i sin π ) 1 e π Korollaari 1. Olkoon A kompleksitason avoin joukko. Jos jatkuvalla funktiolla f : A C on integraalifunktio (primitiivi, antiderivaatta) avoimessa joukossa A, niin f(z)dz kaikilla suljetuilla paloittain C 1 -poluilla avoimessa joukossa A Huomautus. Muistutus: [z1,z 2 ] on janapolku pisteestä z 1 pisteeseen z 2.

13 Kompleksianalyysin kurssi/rhs 13 Polku : [a, b] C on murtoviiva, jos on olemassa välin [a, b] jako siten, että a t < t 1 <... < t n b [(t ),(t 1 )]... [(tn 1 ),(t n)]. Kompleksitason avoin ja yhtenäinen joukko on alue. Avoimelle joukolle A seuraavat ovat yhtäpitävät: (1) A on yhtenäinen (2) A on polkuyhtenäinen (3) A on murtoviivayhtenäinen. Erityisesti siis alueessa mielivaltaisesti valitut kaksi pistettä voidaan yhdistää toisiinsa jatkuvalla murtoviivalla, joka kulkee kokonaisuudessaan joukossa. Peruslauseen toinen korollaari : Korollaari 2. Alueessa analyyttinen funktio on vakio, jos ja vain jos sen derivaatta on nolla. Todistus: selvä. Olkoon A kompleksitason alue ja F : A C analyyttinen. Olkoon F (z) f(z) kaikilla z A. Joukko A on alue ja siten yhtenäinen. Siis jokaiselle pisteparille z A ja w A on olemassa murtoviiva, joka yhdistää pisteet z ja w alueessa A. Murtoviivalle on olemassa paloittain lineaarinen parametrisointi ja se on paloittain C 1 -polku. Kiinnitetään z A. Kun z A, niin voidaan valita jokin pisteestä z pisteeseen z kulkeva murtoviiva. Peruslauseen 1 nojalla F (z) F (z ) f(z)dz F (z)dz. Siis F (z) F (z ) kaikilla z A Korollaari 3. Olkoon A kompleksitason alue. Jos funktiot F ja G ovat jatkuvan funktion f : A C integraalifunktioita alueessa A, niin erotus F G on vakio. Todistus: Jos F ja G ovat jatkuvan funktion f : A C integraalifunktioita, niin (F G) (z) F (z) G (z) f(z) f(z) kaikilla z A. Siis edellisen Korollaarin nojalla F G on vakio Käyräintegraalin peruslause 2. [Integraalifunktion karakterisaatiolause] Olkoon f jatkuva kompleksiarvoinen funktio

14 14 Kompleksianalyysin kurssi/rhs alueessa A. Tällöin funktiolla f on integraalifunktio, jos ja vain jos alueen A jokaisella suljetulla paloittain C 1 -polulla pätee f(z)dz. Havainto: Funktiolla f : C \ {} C, f(z) 1, ei ole z integraalifunktiota alueessa C \ {}, sillä aikaisemmin osoitimme, että kun : [, 2π] C \ {}, (t) exp (it), niin f(z)dz 2πi. Integraalifunktion karakterisaatiolauseen todistus: Olkoon funktiolla f integraalifunktio. Jos paloittain C 1 -polku : [a, b] A on suljettu, niin (a) (b), ja väite seuraa Peruslauseen 1 korollaarista. Olkoon siis funktio f jatkuva ja f(z)dz jokaisella suljetulla paloittain C 1 -polulla. On osoitettava, että funktiolla f on integraalifunktio. Olkoon z A mielivaltaisesti valittu kiinteä piste. Jos z A, niin, koska joukko A on alue, on olemassa jatkuva murtoviiva z alueessa A siten, että murtoviivan alkupiste on z ja loppupiste on z. Jos on jokin toinen paloittain C 1 -polku pisteestä z pisteeseen z, niin z on alueessa A paloittain derivoituva suljettu polku ja oletuksen nojalla f(ξ)dξ f(ξ)dξ + f(ξ)dξ f(ξ)dξ + f(ξ)dξ. z z z Määritellään integraali (1) F (z) : z f(ξ)dξ. Kun z on kiinnitetty, niin integraalin arvo ei riipu polun z valinnasta. Osoitamme, että yhtälön (1) määrittelemä funktio F on funktion f integraalifunktio. Osoitamme, että kaikilla ɛ > on olemassa luku δ ɛ > siten, että F (z + h) F (z) f(z) h < ɛ,

15 Kompleksianalyysin kurssi/rhs 15 kunhan h < δ ɛ. Olkoon siis nyt ɛ > annettu. Tulopolku z [z,z+h] on polku pisteestä z pisteeseen z + h; ensin kuljetaan polulla z pisteeseen z ja sitten janapolulla [z,z+h] pisteeseen z + h. Silloin F (z + h) F (z) f(z) h ( ) 1 f(ξ)dξ f(ξ)dξ f(z) h h h z [z,z+h] z ( ) 1 f(ξ)dξ + f(ξ)dξ f(ξ)dξ f(z)dξ h z [z,z+h] z [z,z+h] ( ) 1 f(ξ)dξ f(z)dξ h [z,z+h] [z,z+h] ( ) 1 f(ξ) f(z) dξ h. [z,z+h] Olkoon ξ [z,z+h]. Funktion f jatkuvuuden nojalla f(ξ) f(z) < ɛ, kunhan ξ z < δ ɛ eli kunhan h < δ ɛ. Nyt arviolemman nojalla F (z + h) F (z) f(z) 1 h h ɛ h ɛ, kunhan h < δ ɛ. Siis F (z) f(z) kaikilla z A Esimerkki. (1) Olkoon : [, 2π] C, (t) exp(it). Silloin 2π 2π zdz exp(it) i exp(it) dt exp(it) idt 2πi. }{{} }{{} (t) 1 Funktiolla z z ei siis voi olla antiderivaattaa missään alueessa, jossa on yksikkökiekon kehä. (Itse asiassa, funktiolla z z ei ole antiderivaattaa missään.) (2) Koska funktiolla z z 2 on antiderivaatta, nimittäin 1 3 z3, niin z 2 dz jokaisella suljetulla C 1 -polulla.

16 16 Kompleksianalyysin kurssi/rhs Merkintää joskus käytetään merkinnän tilalla, kun integroidaan yli suljetun polun Huomautus. Jos integroitavana funktiona on z exp(z 2 ), niin näyttäisi olevan vaikea selvittää päteekö exp(z 2 )dz jokaisella suljetulla C 1 -polulla. Seuraavassa luvussa osoittautuu, että riittää tietää integroitavan funktion analyyttisyys.

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY exp z., k = 1, 2,... Eksponenttifunktion z exp(z) Laurent-sarjan avulla KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 11. Integrointi erillisen erikoispisteen ympäri Olkoot f analyyttinen punkteeratussa kiekossa D(z 0.r\{z 0 }. Funktiolla f on erikoispiste z 0.

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 4

Kompleksianalyysi, viikko 4 Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä,

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 2. Kompleksitason topologiaa Kompleksianalyysi on kompleksiarvoisten kompleksimuuttujien funktioiden teoriaa. Tällä kurssilla käsittelemme vain

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

3.3 Funktion raja-arvo

3.3 Funktion raja-arvo 3.3 Funktion raja-arvo Olkoot A ja B kompleksitason joukkoja ja f : A B kuvaus. Kuvauksella f on pisteessä z 0 A raja-arvo c, jos jokaista ε > 0 vastaa δ > 0 siten, että 0 < z z 0 < δ ja z A f(z) c < ε.

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18

Lisätiedot

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus

Mat-1.1331 Matematiikan pk KP3-i - kertaus Mat-.33 Matematiikan pk KP3-i - kertaus J.v.Pfaler TKK 24. lokakuuta 2007 Kurssin ensimmäisen puoliskon selkäranka on Kompleksitason funktioiden teoria, sisältäen analyyttiset funktiot, auchy integraali

Lisätiedot

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012

KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 01 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 5. Eksponenttifunktio ja sini- ja kosinifunktiot Kertausta. (1 Reaaliselle eksponenttifunktiolle e x : R R + pätee e x x k = kaikilla x R. k! (

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

1 Analyyttiset funktiot

1 Analyyttiset funktiot Analyyttiset funktiot. Kompleksimuuttujan kompleksiarvoinen funktio Olkoot A ja B kompleksitason C osajoukkoja. Kuvausta f : A B sanotaan kompleksimuuttujan kompleksiarvoiseksi funktioksi. Usein on B C..Vakiokuvaus.

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun.

Kompleksiluvut Kompleksitaso Kompleksifunktiot ja kuvaukset Funktioiden raja-arvo, jatkuvuus ja derivaatta Eräitä kompleksifun. 17. lokakuuta 2016 Kompleksiluvut Kompleksiluku Kompleksiluku z on järjestetty reaalilukupari missä x ja y ovat reaalilukuja. z = (x, y), Lukuparin reaaliosa on x ja imaginaariosa on y. Lukuparin reaaliosa

Lisätiedot

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1)

a) z 1 + z 2, b) z 1 z 2, c) z 1 z 2, d) z 1 z 2 = 4+10i 4 = 10i 5 = 2i. 4 ( 1) Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Osoita, että kompleksilukujen yhteenlasku määriteltynä tasopisteiden kautta koordinaateittain on liitännäinen, so. z + (z + z ) = (z + z )

Lisätiedot

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause

F dr = F NdS. VEKTORIANALYYSI Luento Stokesin lause 91 VEKTORIANALYYI Luento 13 9. tokesin lause A 16.5 tokesin lause on kuin Gaussin lause, mutta yhtä dimensiota alempana: se liittää toisiinsa kentän derivaatasta pinnan yli otetun integraalin ja pinnan

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause.

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 8: Divergenssi ja roottori. Gaussin divergenssilause. Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015

Lisätiedot

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa

1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa 1 Kompleksitason geometriaa ja topologiaa Tavallisessa analyyttisessä geometriassa käyrien yhtälöt esitetään x-koordinaattien ja y-koordinaattien avulla, esimerkiksi y = 1 x esittää tasasivuista hyperbeliä,

Lisätiedot

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto

LUKU 10. Yhdensuuntaissiirto LUKU hdensuuntaissiirto Olkoot (M, N) suunnistettu pinta, p M ja v p R 3 p annettu vektori pisteessä p (vektorin v p ei tarvitse olla pinnan M tangenttivektori). Tällöin vektori (v p N(p)) N(p) on vektorin

Lisätiedot

u = 2 u (9.1) x + 2 u

u = 2 u (9.1) x + 2 u 9. Poissonin integraali 9.. Poissonin integraali. Ratkaistaan Diriclet n reuna-arvotehtävä origokeskisessä, R-säteisessä ympyrässä D = {(x, y) R x +y < R }, t.s. kun f : D R on annettu jatkuva funktio,

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 6: Vektorikentän viivaintegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 6: Vektorikentän viivaintegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 6: Vektorikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 27 Esimerkki: funktion

Lisätiedot

Kompleksianalyysi viikko 3

Kompleksianalyysi viikko 3 Kompleksianalyysi viikko 3 Jukka Kemppainen Mathematics Division Derivaatta Oletetaan seuraavassa, että joukko A C on avoin, eli jokaista z 0 A kohti on olemassa sellainen ǫ > 0, että z z 0 < ǫ z A. f

Lisätiedot

RIEMANNIN KUVAUSLAUSE. Sirpa Patteri

RIEMANNIN KUVAUSLAUSE. Sirpa Patteri RIEMANNIN KUVAUSLAUSE Sirpa Patteri 2 RIEMANNIN KUVAUSLAUSE Johdanto Georg Bernhard Riemann (826-866) esitti kuvauslauseen väitöskirjassaan vuonna 85. Hän käytti todistuksessaan Dirichlet n periaatetta,

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue.

(a) avoin, yhtenäinen, rajoitettu, alue. 1. Hahmottele seuraavat tasojoukot. Mitkä niistä ovat avoimia, suljettuja, kompakteja, rajoitettuja, yhtenäisiä, alueita? (a) {z C 1 < 2z + 1 < 2} (b) {z C z i + z + i = 4} (c) {z C z + Im z < 1} (d) {z

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 5: Kaarenpituus ja skalaarikentän viivaintegraali Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 /

Lisätiedot

Kompleksianalyysi. Tero Kilpeläinen

Kompleksianalyysi. Tero Kilpeläinen Kompleksianalyysi Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja keväälle 2005 26. huhtikuuta 2006 Alkusanat Seuraavilla sivuilla on luentomuistiinpanoja kompleksianalyysin laudatur-kurssille. Toivoakseni kirjoitus

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1. Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x

Lisätiedot

Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali

Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Määritelmä 1 Olkoon f(t) = u(t) + jv(t) jatkuva funktio välillä [a, b]. Tällöin (1) b b b f(t)dt = u(t)dt + j v(t)dt. a a a Jatkossa oletetaan, että

Lisätiedot

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.

Funktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 10: Stokesin lause Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 2016 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy

Lisätiedot

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1

Ratkaisu: Tutkitaan derivoituvuutta Cauchy-Riemannin yhtälöillä: f(x, y) = u(x, y) + iv(x, y) = 2x + ixy 2. 2 = 2xy xy = 1 1. Selvitä missä tason pisteissä annetut funktiot ovat derivoituvia/analyyttisiä. Määrää funktion derivaatta niissä pisteissä, joissa se on olemassa. (a) (x, y) 2x + ixy 2 (b) (x, y) cos x cosh y i sin

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto

LUKU 7. Perusmuodot Ensimmäinen perusmuoto. Funktiot E, F ja G ovat tilkun ϕ ensimmäisen perusmuodon kertoimet ja neliömuoto LUKU 7 Perusmuodot 7 Ensimmäinen perusmuoto Määritelmä 7 Olkoon ϕ: U R 3 tilkku Määritellään funktiot E, F, G: U R asettamalla (7) E := ϕ ϕ, F := ϕ, G := ϕ u u u u Funktiot E, F G ovat tilkun ϕ ensimmäisen

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

Cantorin joukko LUKU 8

Cantorin joukko LUKU 8 LUKU 8 Cantorin joukko 8.. Cantorin 3 -joukko Merkitään J = J 0, = [0, ]. Poistetaan välin J keskeltä avoin väli I,, jonka pituus on /3; siis I, = (, 2). Olkoot jäljelle jäävät suljetut välit J 3 3, ja

Lisätiedot

Riemannin kuvauslause

Riemannin kuvauslause TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Veli-Matti Ek Riemannin kuvauslause Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Tammikuu 2008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Ek,

Lisätiedot

Harmoniset funktiot kompleksialueessa ja konformikuvaukset

Harmoniset funktiot kompleksialueessa ja konformikuvaukset Harmoniset funktiot kompleksialueessa ja konformikuvaukset Hanna-Kaisa Karttunen Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Syksy 2014 Tiivistelmä: Hanna-Kaisa Karttunen,

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

Kompleksiluvut Kompleksitaso

Kompleksiluvut Kompleksitaso . Kompleksiluvut.. Kompleksitaso 8. Todista kompleksilukujen yhteen- ja kertolaskun (lukuparien avulla annettuihin) määritelmiin perustuen osittelulaki: z (z + z ) = z z + z z. 8. Todista kompleksilukujen

Lisätiedot

Konformikuvauksista. Lotta Jokiniemi Ohjaaja: Jouni Parkkonen. Sivuainetutkielma

Konformikuvauksista. Lotta Jokiniemi Ohjaaja: Jouni Parkkonen. Sivuainetutkielma Konformikuvauksista Lotta Jokiniemi 23.5.2016 Ohjaaja: Jouni Parkkonen f z 0 B D 0 Sivuainetutkielma Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2016 i Tiivistelmä Jokiniemi, Lotta

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia

Mat Matematiikan peruskurssi KP3-i. Osa I. Kompleksiluvut. TKK lokakuuta Määritelmä ja perusominaisuuksia Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i A.Rasila J.v.Pfaler TKK27 19. lokakuuta 27 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331 Matematiikan peruskurssi KP3-i 19. lokakuuta 27 1 / 353 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-1.1331

Lisätiedot

Käyrän kaarevuus ja kierevyys

Käyrän kaarevuus ja kierevyys Käyrän kaarevuus ja kierevyys LuK-tutkielma Recardt Jua Opiskelijanumero 2435589 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Kevät 2017 Sisältö 1 Jodanto 2 2 Esitietoja 3 2.1 Derivointi polulla.........................

Lisätiedot

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa!

Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin (yo-kirjoituksissa hyväksytty) on sallittu apuväline tässä kokeessa! Aalto yliopiston teknillinen korkeakoulu Mat-1.1040 L4 Tentti ja välikokeiden uusinta 21.5.2010 Gripenberg, Arponen, Siljander Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi ym. tiedot! Laskin

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio

Integroimistekniikkaa Integraalifunktio . Integroimistekniikkaa.. Integraalifunktio 388. Vertaa funktioiden ln ja ln, b) arctan ja arctan + k k, c) ln( + 2 ja ln( 2, missä a >, derivaattoja toisiinsa. Tutki funktioiden erotusta muuttujan eri

Lisätiedot

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1)

z Im (z +1) 2 = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän yhtälön? ( 1) 0 z ( 1) z ( 1) arg = arg(z 0) arg(z ( 1)), z ( 1) z ( 1) . Osoita geometrisesti, että jos = ja niin pätee Im +) = 0. Mitkä muut kompleksitason pisteet toteuttavat tämän htälön? Kirjoitetaan +) = 0 ) ), ) 0 jossa, ja 0 vastaavat kolmion pisteitä kompleksitasossa.

Lisätiedot

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida:

Fr ( ) Fxyz (,, ), täytyy integroida: 15 VEKTORIANALYYSI Luento Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin ja voima

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo.

1. Määritä funktion f : [ 1, 3], f (x)= x 3 3x, suurin ja pienin arvo. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 01 Lisätetävät Ratkaisut 1. Määritä funktion f : [ 1, 3], suurin ja pienin arvo. f (x)= x 3 3x, Ratkaisu. Funktio f on jatkuva suljetulla

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7

1 Kompleksiluvut. Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 Kompleksiluvut 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 7 1 Kompleksiluvut Lukualueiden laajennuksia voi lähestyä polynomiyhtälöiden ratkaisemisen kautta. Yhtälön x+1 = 0 ratkaisemiseksi tarvitaan negatiivisia lukuja.

Lisätiedot

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle 13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien

Lisätiedot

Kierrosluku ja yhdesti yhtenäiset alueet

Kierrosluku ja yhdesti yhtenäiset alueet Kierrosluku ja yhdesti yhtenäiset alueet Kimmo Luhtavaara Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2011 Sisältö Johdanto 1 Luku 1. Cauchyn lauseen yleinen

Lisätiedot

Analyyttinen jatke ja Riemannin pinnat

Analyyttinen jatke ja Riemannin pinnat Analyyttinen jatke ja Riemannin pinnat Eero Hakavuori Matematiikan pro gradu Jyväskylän yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Kevät 2014 Tiivistelmä: Eero Hakavuori, Analyyttinen jatke ja Riemannin

Lisätiedot

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi.

Potenssisarja, suppenemissäde. Potenssisarja ja derivointi. Potenssisarja ja analyyttiset funktiot. Potenssisarja ja integrointi. Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 4: Taylorin sarja, residymenetelmä A.Rasila J.v.Pfaler 26. syyskuuta 2007 Kompleksista sarjoista Jono, suppeneminen, summasarja Potenssisarja, suppenemissäde ja analyyttiset

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 5. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 5. joulukuuta 2016 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujonot Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia

Lisätiedot

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2

LUKU 4. Pinnat. (u 1, u 2 ) ja E ϕ 2 (u 1, u 2 ) := ϕ u 2 LUKU 4 Pinnat 4.. Määritelmiä ja esimerkkejä Määritelmä 4.. Epätyhjä osajoukko M R 3 on sileä (kaksiulotteinen) pinta, jos jokaiselle pisteelle p M on olemassa ympäristö V p R 3, avoin joukko U p R 2 ja

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa

MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa MS-A24 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 9: Muuttujanvaihto taso- ja avaruusintegraaleissa Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 216 Antti Rasila

Lisätiedot

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset

MS-C1350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset 5, syksy Mallivastaukset MS-C350 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Haroitukset 5, syksy 207. Oletetaan, että a > 0 a funktio u on yhtälön u a u = 0 ratkaisu. a Osoita, että funktio vx, t = u x, t toteuttaa yhtälön a v = 0. b Osoita,

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 1: Moniulotteiset integraalit MS-A35 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento : Moniulotteiset integraalit Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Syksy 26 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A35 Syksy

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 9: Greenin lause Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 19 Esimerkki Olkoon F : R 3 R 3 vakiofunktio

Lisätiedot

Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin

Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Mervi Paavola Reaalisten funktioiden integrointia kompleksianalyysin keinoin Informaatiotieteiden yksikkö Matematiikka Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos

Lukujonot Z-muunnos Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt. Z-muunnos. 1. joulukuuta Z-muunnos Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt 1. joulukuuta 2015 Lukujonot Z-muunnoksen ominaisuuksia Z-käänteismuunnos Differenssiyhtälöt Lukujono Lukujono on diskreetti funktio

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Analyysin peruslause

Analyysin peruslause LUKU 10 Analyysin peruslause 10.1. Peruslause I Aiemmin Cantorin funktion ψ kohdalla todettiin, että analyysin peruslause II ei päde: [0,1] ψ (x) dm(x) < ψ(1) ψ(0). Kasvavalle funktiolle analyysin peruslauseesta

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k

LUKU 3. Ulkoinen derivaatta. dx i 1. dx i 2. ω i1,i 2,...,i k LUKU 3 Ulkoinen derivaatta Olkoot A R n alue k n ja ω jatkuvasti derivoituva k-muoto alueessa A Muoto ω voidaan esittää summana ω = ω i1 i 2 i k dx i 1 dx i 2 1 i 1

Lisätiedot

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin

=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)

Lisätiedot

MS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0202 Di erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit MS-A22 i erentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 8: Taso- ja avaruusintegraalit Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 25 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A22 Syksy 25 / 8 Tasointegraali Olkoon R

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x

x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

KVASIKONVEKSISUUS TASOSSA. 1. Johdanto

KVASIKONVEKSISUUS TASOSSA. 1. Johdanto KVASIKONVEKSISUUS TASOSSA MATTI-PETTERI RAJAHONKA Tiivistelmä. Kvasikonveksit alueet osoitetaan Jordan-käyrä-alueiksi. Kvasikonvekseille alueille, joilla on äärellinen määrä reunan komponentteja, saadaan

Lisätiedot

1 Sisätulo- ja normiavaruudet

1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1 Sisätulo- ja normiavaruudet 1.1 Sisätuloavaruus Määritelmä 1. Olkoon V reaalinen vektoriavaruus. Kuvaus : V V R on reaalinen sisätulo eli pistetulo, jos (a) v w = w v (symmetrisyys); (b) v + u w = v

Lisätiedot

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 4: Taso- ja avaruuskäyrät

MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 4: Taso- ja avaruuskäyrät MS-A0305 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Luento 4: Taso- ja avaruuskäyrät Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0305 Syksy 2015 1 / 24 Motivaatio Tässä tutustutaan

Lisätiedot

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1

x (t) = 2t ja y (t) = 3t 2 x (t) + + y (t) Lasketaan pari käyrän arvoa ja hahmotellaan kuvaaja: A 2 A 1 BM2A582 Integraalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Kevät 26 Kaikissa tehtävissä tärkeintä ja riittävää on saada oikea lauseke aikaiseksi. Useissa tehtävissä integraalit eivät tosin ole niin vaikeita

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 6 Mikko Salo 6.9.2017 Sisältö 1. Kompleksitaso 2. Joukko-oppia Kompleksiluvut Edellisellä luennolla huomattiin, että toisen asteen yhtälö ratkeaa aina, jos ratkaisujen annetaan

Lisätiedot

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2

1 Kompleksiluvut 1. y z = (x, y) Kuva 1: Euklidinen taso R 2 Sisältö 1 Kompleksiluvut 1 1.1 Määritelmä............................ 1 1. Kertolasku suorakulmaisissa koordinaateissa.......... 4 1.3 Käänteisluku ja jakolasku..................... 9 1.4 Esimerkkejä.............................

Lisätiedot

Tasokäyrän kaarevuus LUKU 1

Tasokäyrän kaarevuus LUKU 1 LUKU Tasokäyrän kaarevuus.. Käyrät Määritelmä.. Polku (eli parametrisoitu käyrä) on jatkuva kuvaus α: I R n, missä I R on väli. Polku α = (α,..., α n ) on (jatkuvasti) derivoituva, jos jokainen α j, j

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit MS-A25/MS-A26 ifferentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 8: Newtonin iteraatio. Taso- ja avaruusintegraalit Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 216 1 Perustuu

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa

1 Määritelmä ja perusominaisuuksia. 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla. 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut. 4 Kompleksilukujen algebraa 1 ja perusominaisuuksia 2 Laskutoimitukset kompleksiluvuilla 3 Reaaliluvut ja kompleksiluvut Matematiikan peruskurssi KP3 I OSA 1: Johdatus kompleksilukuihin 4 Kompleksilukujen algebraa 5 Kompleksitaso

Lisätiedot

= ( F dx F dy F dz).

= ( F dx F dy F dz). 17 VEKTORIANALYYSI Luento 2 3.4 Vektorikentän käyräintegraali Voiman tekemä työ on matka (d) kertaa voiman (F) projektio liikkeen suunnassa, yksinkertaisimmillaan W Fd. Jos liike tapahtuu käyrää pitkin

Lisätiedot

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain

Matriisilaskenta, LH4, 2004, ratkaisut 1. Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot, jotka sisältävät vain Matriisilaskenta LH4 24 ratkaisut 1 Hae seuraavien R 4 :n aliavaruuksien dimensiot jotka sisältävät vain a) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit joilla d a + b b) Kaikki muotoa (a b c d) olevat vektorit

Lisätiedot

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali

4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali 4.3 Moniulotteinen Riemannin integraali Tässä luvussa opitaan miten integroidaan usean muuttujan reaaliarvoista tai vektoriarvoista funktiota, millaisten joukkojen yli jatkuvaa funktiota voi integroida,

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) =

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017

Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 2017 MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Harjoitus 4/ Syksy 217 Alkuviikon harjoituksissa ratkaistaan kolme tehtävää assistentin avustuksella (läsnäololaskarit).

Lisätiedot

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko.

peitteestä voidaan valita äärellinen osapeite). Äärellisen monen nollajoukon yhdiste on nollajoukko. Esimerkki 4.3.9. a) Piste on nollajoukko. Suoran rajoitetut osajoukot ovat avaruuden R m, m 2, nollajoukkoja. Samoin suorakaiteiden reunat koostuvat suoran kompakteista osajoukoista. b) Joukko = Q m [0,

Lisätiedot