Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Transkriptio

1 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään x i ; jonossa (1,, 3, 4, 5 ) esimerkiksi x 1 = 1 ja x 4 = 4, ja yleisesti x i = i Jonossa (1, 4, 9, 16, 5 ) taas x i = i Jonot voi määritellä ekplisiittisesti jolloin niiden jokainen jäsen on tiedossa, eli x n = f(n); esimerkiksi jono x n = n + 3n on näin määritelty Toisaalta jonon voi määritellä palautuskaavoilla, jolloin jonon jäsenet määritellään jonon muiden jäsenten avulla Esimerkiksi jono (x n ), x n+1 = x n + x n1 on näin määritelty Usein palautuskaavaisen jonon eksplisiittimuoto voidaan todistaa induktiolla Näin myös seuraavassa esimerkissä Esimerkki 1 Olkoon x 0 = 0 ja x 1 = 1 ja jono (x n ) on määritelty palautuskaavalla x n = x n1 + x n Kyseesä on siis jono (0, 1,, 3, 5, 8, 13, 1, ), jossa jokainen termi on kahden edellisen termin summa Jonon jäseniä kutsutaan Fibonaccin luvuiksi Todista induktiolla, että jonon n:s termi on x n = 1 {( ) n ( ) n } Ratkaisu Induktiotodistus etenee tuttuun tapaan kahdessa vaiheessa Ensin väite todistetaan arvolla 0 Tämän jälkeen oletetaan väite oikeaksi arvolla n, ja todistetaan, että väite pätee tälloin myös arvolla n+1 Seuraavalla tavalla: 1 Kun n = 0, on todistettava, että x 0 = 0, jossa x 0 on saatu yllä olevasta kaavasta Tmä vaihe on helppo sijoitamme ainoastaan nollan kyseiseen yhtälöön: x 0 = 1 { ( ) 0 ( ) 0 } } {{ } =1 1 } {{ } =1

2 Kyseinen termi on nolla, sillä y 0 = 1 kaikilla numeroilla y Joten väite pätee arvolla 0 Väite pätee myös arvolla 1, sillä x 1 = 1 { ( ) 1 ( ) 1 } = 1 5 }{{} = 5 Tehdään induktio-oletus: oletetaan väite x n = 1 {( ) n ( ) n } oikeaksi arvoilla n ja n 1 Nyt meidän pitää päätyä tulokseen, jossa väite on tosi arvolla n + 1 Se, että väite on tosi arvolla n + 1 tarkoittaa siis, että x n+1 = 1 {( ) n+1 ( ) n+1 } Kuinka edetä? Oletimme todeksi seuraavat kaksi väitettä: (1) x n1 = 1 {( ) n1 ( ) n1 } () x n = 1 {( ) n ( ) n } Induktiossa oletamme yleensä väitten todeksi vain arvolla n Nyt käytämme vahvaa induktiota, ja oletamme väitten todeksi arvoilla n ja n 1 Lisäksi voimme käyttää tehtävässä annettua palautuskaavaa x n = x n1 + x n Huomataan, että tämä kaava kertoo ainoastaan, että jokainen jonon termi on kahden edellisen termin summa, joten se voidaan kirjoittaa muotoon x n+1 = x n +x n1 Nyt voimme käyttää oletustamme x n :n ja x n1 :n lausekkeista (yhtälöitä (1) ja ()), ja sijoittaa nämä palautuskaavaan: x n+1 = x n + x n1

3 x n+1 = 1 {( ) n ( ) n } {( ) n1 ( ) n1 } x n+1 = 1 {( ) n ( ) n ( ) n1 ( ) n1 } x n+1 = 1 {( ) n1 ( ) ( ) n1 ( 1 5 )} +1 x n+1 = 1 {( ) n1 ( ) ( ) n1 ( )} x n+1 = 1 {( ) n1 ( ) ( ) n1 ( ) } x n+1 = 1 {( ) n+1 ( ) n+1 } Joten väite on vihdoin ja viimein todistettu Siis kertauksena: kun tehtävänä on todistaa jokin ominaisuus jostain jonosta (vaikkapa jonon ekplisiittinen kaava tai se, että jokainen termi on positiivinen ym) voidaan se tehdä induktiolla Induktiossa on tuttuun tapaan kaksi vaihetta: testaus, että kaava pätee jonon ensimäisellä termillä, ja induktiooletus, josta johdetaan haluttu tulos 3

4 Esimerkki Olkoon jono (x n ) määritelty palautuskaavalla x n = x n1 +, ja että x 0 = 1 Osoita induktiolla, että x n > 0 n Ratkaisu 1 Selvästi x 0 = 1 > 0 eli väite pätee arvolla 1 Oletetaan, että väite pätee arvolla n eli että x n > 0 Osoitetaan väite todeksi arvolla n + 1 : x n+1 = x n + > 0, koska x n > 0 Täten induktion nojalla väite on on tosi kaikilla n N Numero e Neperin luku eli e, on irrationaaliluku, joka on noin, 7 Se voidaan määritellä monella tavalla, mutta hyödyllisin lienee sarjan ( ) n n raja-arvona, kun n kasvaa rajatta Eli ( e = lim n n n) Myös e x on määritettävissä vastaavalla tavalla: Esimerkki 3 Etsi raja-arvo lim x ( ) x x Ratkaisu Muokataan lauseketta kunnes se palautuu e:n määritelmään: ( lim ) x ( = lim ) x = x x x x/100 (( lim x lim x/100 (( x/100 ) x/100 ) 100 = x/100 ) x/100 ) 100 = e 100 Tässä käytettiin myös tietoa x/100 kun x 4

5 3 Sarjoista Jos meillä on tietty jono (x n ) jonka i:s termi on jokin numero x i, voidaan sen termit laskea yhteen (eli lasketaan x 1 + x + x 3 + ), jolloin syntyy sarja Jos tämä summa on olemassa äärellisenä, sanotaan, että kyseinen sarja suppenee Jos sarja ei suppene, se hajaantuu Jos vaikkapa (x n ) on jono, jonka i:s termi x i = i, on siitä muodostuva sarja selvästi ääretönarvoinen Tämä sarja siis hajaantuu Jotta voidaan tarkasti määrittää, mitä hajaantuminen ja suppeneminen tarkoittavat on turvauduttava uuteen terminologiaan Oletataan edelleen että meillä on jono (x 1, x, x 3, ) Ajatellaan nyt sen jäsenten osasummia, eli: S i = n x i = x 1 + x + + x i i=1 Esimerkiksi jos jonon (1,, 3, 4, 5 ) kohdalla vaikkapa S 3 = = 6 Nyt saadaan suppenemisen ja hajaantumisen määritelmä: Määritelmä 1 Olkoon n a i = a 1 + a + + a i i=1 sarja Merkitään S n :llä sen n:tä osasummaa Eli esimerkiksi S 1 = a 1 S = a 1 + a S 3 = a 1 + a + a 3 S 4 = a 1 + a + a 3 + a 4 ja niin edelleen Muodostetaan näistä osasummista S 1, S, S 3 jono (S 1, S, S 3, S 4 ) Nyt sarja n a i = a 1 + a + a 3 + i=1 suppenee jos sen osasummien jono suppenee ja hajaantuu jos sen osasummien jono hajaantuu 5

6 Esimerkki 4 Sarja n i = i=1 hajantuu, sillä sen osasummien jono on muotoa (1, 3, 6, 10 ) eikä selvästi lähesty mitään tiettyä reaalilukua, joten sarja hajaantuu Yksi tärkeimmistä sarjatyypeistä on geometrinen sarja Tällaisia sajoja ovat esimerkiksi seuraavat sarjat: 1 + 1/10 + 1/ / e + e/ + e/4 + e/8 + e/ Huomataan, että geometrisessa sarjassa jokainen termi on aina edellinen termi kertaa jokin luku Merkitään tätä lukua q Yllä havaitaan, että ensimmäisessä kohdassa q = 1/10, toisessa q = 1/ ja kolmannessa q = Esimerkiksi ensimmäinen sarja voidaan kirjoittaa muodossa 1 + 1/10 + 1/ / /10 + 1/ / = ( ) i 1 10 Samoin sarja voidaan kirjoittaa e + e/ + e/4 + e/8 + e/16 + e + e/ + e/4 + e/8 + e/16 + = ( 1 e ) i Muodostetaan tästä geometrisen sarjan määritelmä Määritelmä Sarja joka voidaan kirjoittaa muodossa Aq i on geometrinen sarja A on sarjan ensimmäinen termi ja q on sarjan suhdeluku 6

7 Esimerkiksi sarjassa A = 1 ja q = Geometriset sarjat ovat helppoja käsitellä, sillä niiden osasummille ja summille on olemassa eksplisiittinen kaava Lause 1 Geometrinen sarja Aq i suppenee jos q < 1 ja hajaantuu muulloin Sarjan summa on Aq i A 1 q Esimerkki 5 Sarja / + 1/4 suppenee sillä q = 1/ Lisäksi A =, joten sarjan summa on A 1 q = 1 1/ = 4 Geometrisilla sarjoilla on valtava määrä sovelluksia Alla tapa ratkaista vanha kiista siitä onko 0, = 1 Esimerkki 6 Osoita, että 0, = 1 Ratkaisu: 0, voidaan muodostaa geometriseksi sarjaksi Kirjoitetaan se muotoon 0, = 0, 9 + 0, , 009 Tämän sarjan ensimmäimem termi on 0, 9 ja suhdeluku on 1/10 Koska suhdeluvun itseisarvo on pienempi kun yksi, sarja suppenee Summana on A 1 q = 0, 9 1 1/10 = 0, 9 0, 9 = 1 Esimerkki 7 Esitä 1, kahden kokonaisluvun osamääränä Ratkaisu: 1, = 1 + 0, 6 + 0, , ,

8 Tässä kolme ensimmäistä termiä eivät ole osa geometrista sarjaa Sen sijaan 0, , 0007 muodostaa geometrisen sarjan jonka summa on A 1 q Täten koko sarjan summa on = 0, /10 = 7/1000 9/10 = 7/900 1, = 1+0, 6+0, 05+7/900 = 900/ /900+45/900+7/900 = 1501/900 Yllä ollaan edetty geometristen sarjojen kohdalla muodosta A + Aq + Aq + Aq 3 muotoon A/(1q) (silloin kun kyseinen summa on ollut äärellisenä olemassa) Kuitenkin voimme edetä myös toiseen suuntaan: lähteä liikkeelle kaavasta, jonka voi muuntaa muotoon A/(1 q), ja avata tämä sarja muotoon A + Aq + Aq + Aq 3 = Aq i Esimerkki 8 Esitä summamuodossa 7 x Ratkaisu: Kaavaa pitää hieman muokata, jotta sen saa muotoon A/(1 q): 7 x = 7 x = 7/ 1 x / Nyt kyseessä on geometrisen sarjan summa, jossa ensimmäinen termi on 7/, ja suhdeluku on x / Tämä voidaan esittää muodossa Aq i = (7/)(x /) i 8