3 Lukujonon raja-arvo
|
|
- Juho-Matti Haapasalo
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n = 6n 5 2n + 5 n Z +, (n Z + ) Määritä jokin sellainen n 0 Z +, että x n 3 < 0,0 aina, kun n n 0 3 Olkoon x n = 3n 5 (n Z + ) 9n + 4 Määritä jokin sellainen n 0 Z +, että xn 3 < 0,00 aina, kun n n0 4 Olkoon x n = 2n + 3 n + ja y n = 2n + 7 n + (n Z + ) Määritä jokin sellainen n 0 Z +, että x n 2 < 0,0 aina, kun n n 0, ja jokin sellainen n Z +, että y n 2 < 0,0 aina, kun n n 5 Olkoon x n = 3n + 2 n + (n Z + ) Määritä jokin sellainen n 0 Z +, että x n 3 < ε aina, kun n n 0 ja ε = 0,, (b) ε = 0,0, (c) ε = 0,00 6 Osoita suoraan lukujonon raja-arvon määritelmään nojautuen, että = 0, (b) n2 n n =, (c) 2n 2n 2n =, (d) 2n + =
2 7 Osoita suoraan lukujonon raja-arvon määritelmään nojautuen, että 3 n + 5 n = 3 8 Osoita suoraan lukujonon raja-arvon määritelmään nojautuen, että ( ) ( ) n2 + 3 n = 0, (b) n2 + 4n n 9 Osoita suoraan lukujonon raja-arvon määritelmään nojautuen, että = 2 n 2 + 7n + 2 2n 2 + 3n + 5 =, (b) 2 n 3 + n + 2n 3 n = 2, (c) 2n 2 + n n 2 + n + 2 = 2, (d) 6n 4 + n n 4 n + = 3, (e) 4n + 3 3n 4 = 4, (f) 3 3n 2 + 2n n 2 2n + 4 = 3 0 Olkoon A R sellainen epätyhjä joukko, että sup A = 5 Osoita täsmällisesti perustellen, että on olemassa sellainen lukujono (a n ), että a n A kaikilla n Z + ja a n = 5 32 Perusominaisuuksia Olkoot (x n ) ja (y n ) sellaisia lukujonoja, että y n = x n n Z + Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos lukujono (y n ) suppenee, niin myös lukujono (x n ) suppenee, ja (b) jos lukujono (x n ) suppenee ja niin myös lukujono (y n ) suppenee ja x n = x, y n = x 2 Olkoon x n = ( n ) +( )n (n Z + ) Osoita, että lukujono (x n ) hajaantuu
3 3 Tutki, suppeneeko lukujono (x n ), kun x n = sin(nπ) + cos(nπ), nπ sin (b) x n = n 2 4 Olkoot (x n ), (y n ) ja (z n ) sellaisia lukujonoja, että x n y n z n n Z + Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos lukujonot (x n ) ja (z n ) suppenevat, myös lukujono (y n ) suppenee 5 Olkoot (x n ) ja (y n ) rajoitettuja lukujonoja Osoita, että myös lukujonot (x n + y n ) ja (x n y n ) ovat rajoitettuja 6 Tutki, suppeneeko lukujono (x n ), kun x n = n + ( ) n n, (b) x n = + n ( )n 7 Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos lukujono (x n ) ei ole rajoitettu, niin kaikki lukujonon (x n ) osajonot hajaantuvat 8 Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jokaisella lukujonolla on ainakin yksi suppeneva osajono 9 Oletetaan, että x n = 2 Osoita, että vain äärellinen määrä jonon (x n ) jäseniä voi kuulua väliin [,,999] 0 Osoita, että jos 0 < t < ja x n = 5, niin vain äärellinen määrä lukujonon (x n ) jäseniä voi kuulua väliin [4, 5 t] Lukujonosta (x n ) oletetaan, että x = 3 ja x n = Osoita täsmällisesti perustellen, että lukujonon (x n ) termien joukossa on suurin luku 2 Anna esimerkki sellaisesta lukujonosta (x n ), että x = ja x n =, mutta lukujonon (x n ) termien joukossa ei ole suurinta lukua Tässä tehtävässä tuloksia ei tarvitse perustella täsmällisesti (eli riittää antaa vaadittu esimerkki)
4 3 Lukujonosta (x n ) oletetaan, että x = 0 ja x n = 7 Osoita täsmällisesti perustellen, että lukujonon (x n ) termien joukossa on pienin luku 4 Anna esimerkki sellaisesta lukujonosta (x n ), että jonon (x n ) termien joukossa ei ole pienintä lukua ja x n = 7 Tässä tehtävässä tuloksia ei tarvitse perustella täsmällisesti (eli riittää antaa vaadittu esimerkki) 5 Oletetaan, että lukujono (x n ) suppenee ja < x n < 2 Osoita, että on olemassa sellainen n 0 Z +, että < x n < 2 kaikilla n > n 0 6 Anna esimerkki sellaisesta lukujonosta (x n ), että x n < 3 n Z + ja x n = 3 Tässä tehtävässä tuloksia ei tarvitse perustella täsmällisesti (eli riittää antaa vaadittu esimerkki) 7 Todista täsmällisesti perustellen, että jos x n = x 0, niin on olemassa sellainen n 0 Z +, että x n > x n > n Osoita täsmällisesti perustellen, että jos x n = 4, niin on olemassa sellainen n 0 Z +, että x n > 3 n > n 0 33 Laskusääntöjä Osoita suoraan lukujonon raja-arvon määritelmään perustuen, että jos x n = x, niin x 3 n = x 3 2 Anna esimerkki sellaisista lukujonoista (x n ) ja (y n ), että x n < y n kaikilla n Z + ja x n = y n = 3
5 3 Olkoot A R ja B R sellaisia epätyhjiä joukkoja, että a b kaikilla a A ja kaikilla b B Oletetaan lisäksi, että on olemassa sellaiset lukujonot (a n ) ja (b n ), että a n A, b n B kaikilla n Z + ja Todista täsmällisesti perustellen, että a n = b n sup A = inf B 4 Anna esimerkki sellaisista lukujonoista (x n ) ja (y n ), että x n 0, y n 0 ja x n /y n 0, (b) x n 0, y n 0 ja x n /y n 3 Huom Riittää määrittää kyseiset raja-arvot Suppenemistuloksia ei tarvitse perustella nojautumalla suoraan lukujonon raja-arvon määritelmään 5 Osoita suoraan lukujonon raja-arvon määritelmään perustuen, että jos x n > 0 kaikilla n Z + ja x n = x > 0, niin + x n = + x 2x n 2x 6 Määritä raja-arvo ( ) n 2 n 3 +, (b) 3n 2 + 2n + 7 n n2 + n + 2 tai osoita, että lukujono hajaantuu 7 Määritä raja-arvo n + (n + ) cos(nπ) 2n + n cos(nπ + π), (b) n 3n + tai osoita, että lukujono hajaantuu 8 Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos lukujono (x n ) hajaantuu ja y n = x n n n Z +, niin myös lukujono (y n ) hajaantuu 9 Määritä a n a n + 2 (a R)
6 0 Määritä 2 n+ + 3 n+, (b) 2 n + 3 n π n, (c) + 22n (n + 2)! + (n + )! (n + 2)! (n + )! Määritä ( n + ) ( n 5) n, (b) 9n 3 n2 + 2 Määritä n ( n n ), (b) ( n2 + n n 2 n ) 3 Määritä sellainen vakio b R, että ( n2 + bn n 2 + n ) = 3 4 Määritä 5 Määritä n (, (b) n ) 2 n 2 + cos(π + sin(n + π)), (b) 3n3 + ( ) n + sin(n + π) n n Määritä (n!) 2, (b) (2n)! n k= 2n + sin k 7 Olkoot (x n ) ja (y n ) sellaisia lukujonoja, että (x n ) suppenee ja x n y n < n n Z + Osoita suppiloperiaatetta käyttäen, että lukujono (y n ) suppenee 8 Tarkastellaan seuraavaa päättelyä: Olkoon (z n ) sellainen lukujono, että ε > 0: + ε < z n < + 3ε Valitsemalla luvut ε sopivasti (esimerkiksi ε n = /n) voidaan muodostaa sellaiset lukujonot (x n ) ja (y n ), että x n z n y n kaikilla n Z + ja Siis suppiloperiaatteen nojalla myös Mikä ongelma päättelyssä on? x n = y n = z n =
7 34 Monotonisista jonoista Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos (x n ) ja (y n ) ovat kasvavia lukujonoja, niin myös lukujono (x n + y n ), (b) (x n y n ) on kasvava 2 Olkoon lukujono (x n ) kasvava Osoita todeksi tai (vastaesimerkillä) epätodeksi, että jos y n = x n + x n+, (b) y n = x n x n+ (n Z + ), niin myös lukujono (y n ) on kasvava 3 Olkoon x n = n 2 8n (n Z + ) Tutki, onko olemassa sellaista lukua k Z +, että lukujono x k, x k+, x k+2, on kasvava 4 Olkoon x n = 4n (n Z + ) n Osoita monotonisten jonojen peruslausetta käyttäen, että lukujono (x n ) suppenee 5 Olkoon x n = n k= Osoita, että lukujono (x n ) suppenee 3 k + k (n Z + ) 6 Oletetaan, että lukujono (x n ) on vähenevä, lukujono (y n ) on kasvava ja y n x n kaikilla n Z + Osoita, että lukujonot (x n ) ja (y n ) suppenevat 7 Olkoon (x n ) kasvava ja (y n ) suppeneva lukujono Oletetaan lisäksi, että on olemassa sellainen n 0 Z +, että x n y n kaikilla n n 0 Osoita täsmällisesti perustellen, että lukujono (x n ) suppenee 8 Olkoon (x n ) sellainen kasvava lukujono, että sen osajono (x 5n ) suppenee Osoita täsmällisesti perustellen, että lukujono (x n ) suppenee 9 Joukko S R on avoin, jos jokaista joukon S pistettä s kohti on olemassa sellainen postiiviluku ε > 0, että U ε (s) S Osoita täsmällisesti perustellen, että jos (x n ) on aidosti kasvava ja ylhäältä rajoitettu lukujono ja A = {x, x 2, x 3, }, niin joukko R \ A ei ole avoin
8 0 Osoita käyttämättä täydellisyysaksioomaa, että jos kasvava ja ylhäältä rajoitettu lukujono (x n ) suppenee, niin joukolla on pienin yläraja (eli on olemassa sup A) A = {x n n Z + } Olkoon A R + jokin epätyhjä ylhäältä rajoitettu joukko ja m n = min { m Z + m 0 n on joukon A yläraja } (n Z + ) Osoita, että lukujono (x n ) suppenee, kun x n = m n 0 n 2 Olkoon (x n ) tehtävän lukujono Osoita, että x n = sup A 3 Olkoon x = ja x n+ = 7x n + 8 n Z + Osoita, että lukujono (x n ) on kasvava jono, joka suppenee Mikä on kyseisen jonon raja-arvo? 4 Olkoon x = ja x n+ = 2x n + 3 n Z + Osoita, että lukujono (x n ) on vähenevä jono, joka suppenee Mikä on kyseisen jonon raja-arvo? 5 Olkoon x = ja x n+ = 3x n n Z + + x n Osoita, että lukujono (x n ) suppenee ja määritä x n x 6 Olkoon x n = cos ( n 2 + ) + sin ( n 2 ) (n Z + ) Osoita, että lukujonolla (x n ) on suppeneva osajono 7 Olkoon π = 3,x x 2 x 3 luvun π desimaaliesitys ja y n = x n + cos(n + x n ) n Z + Osoita, että lukujonolla (y n ) on suppeneva osajono 8 Osoita, että lukujonolla (x n ) on suppeneva osajono sekä käyttämällä Bolzano-Weierstrassin lausetta että muodostamalla jokin lukujonon (x n ) suppeneva osajono, kun x n = + ( ) n, (b) x n = n + n n ( )n 2n +, (c) x n = sin nπ 2, (d) x n = n + n + 2 ( sin 2πn 2πn + cos 3 3 )
9 35 Luvun e määrittely Osoita, että 2 < e < 3 2 Määritä ( + n) 2n (, (b) + 5n+4 (, (c) + n) 7n+3 n) 3 Määritä ( n + n ) 3n+2 (, (b) ) n ( ) n n + 2, (c) n 2 n + 4 Olkoon k Z + Osoita, että ( + k n = e n) k Vihje: Totea, että + 2 = ( ( ) + n n) + n+, ja yleistä tulos tapaukseen + k n 5 Osoita, että ( n) n < e n Z + 6 Määritä tai osoita, että lukujono hajaantuu ( + n ) n Määritä ( ) 2n ( ) n 2n 2n, (b) 2n 2n 8 Osoita, että kaikilla n Z + n n e n < n!, (b) n! e n > (n + ) n 9 Osoita, että kaikilla n Z + (n + )! < e n k=0 i! < 2 (n + )! 0 Osoita tehtävän 9 epäyhtälöiden avulla, että e ei ole rationaaliluku Vihje: Tee vastaoletus, että e on rationaaliluku Tällöin n!e on kokonaisluku, kun n on riittävän suuri Kerro sitten epäyhtälöt puolittain n! :lla
10 36 Cauchyn jonoista Olkoon x n = n + (n Z + ) Osoita suoraan Cauchyn jonon määritelmään nojautuen, että jono (x n ) on Cauchyn jono 2 Olkoon x n = n + (n Z + ) n Tutki suoraan Cauchyn jonon määritelmään nojautuen, onko lukujono (x n ) Cauchyn jono 3 Olkoon x n = + ( ) n n + (n Z + ) n Tutki suoraan Cauchyn jonon määritelmään nojautuen, onko lukujono (x n ) Cauchyn jono 4 Osoita Cauchyn suppenemisehtoa käyttäen, että raja-arvo n k=0 k! on olemassa 5 Olkoon (x n ) sellainen lukujono, että x n+ x n < 2 n n Z + Osoita Cauchyn suppenemisehtoa käyttäen, että lukujono (x n ) suppenee 6 Olkoon (x n ) sellainen lukujono, että x =, x 2 = 2 ja x n = x n + x n 2 2 n 3 Osoita Cauchyn suppenemisehtoa käyttäen, että lukujono (x n ) suppenee 7 Oletetaan, että lukujono (x n ) toteuttaa ehdon ε > 0: p Z + : N Z + : n N : x n+p x n < ε Onko (x n ) välttämättä Cauchyn jono?
11 8 Oletetaan, että (x n ) ja (y n ) ovat Cauchyn jonoja ja c R Todista suoraan Cauchyn jonon määritelmään nojautuen, että myös jono (cx n + y n ) on Cauchyn jono 9 Oletetaan, että (x n ) on Cauchyn jono Todista suoraan Cauchyn jonon määritelmään nojautuen, että myös lukujono (x 2 n ) on Cauchyn jono 0 Oletetaan, että (x n ) ja (y n ) ovat Cauchyn jonoja Todista suoraan Cauchyn jonon määritelmään nojautuen, että myös jono (x n y n ) on Cauchyn jono 37 Raja-arvokäsitteen laajentaminen Osoita suoraan raja-arvon määrittelyyn perustuen, että n 2 2n =, (b) n 4 4 n 3 + 2n =, (c) n 3 + 5n 3n 2 2 =, (d) n 6 5 n 5 + 2n = 2 Osoita suoraan raja-arvon määrittelyyn perustuen, että n 2 + 2n =, (b) 2n 3 5n 2 3 = 3 Anna esimerkki sellaisista lukujonoista (x n ) ja (y n ), että x n, y n ja x n + y n 3, (b) x n, y n 0 ja x n y n 2 Huom Riittää määrittää kyseiset raja-arvot Suppenemistuloksia ei tarvitse perustella nojautumalla suoraan määritelmään 4 Anna esimerkki sellaisista lukujonoista (x n ) ja (y n ), että x n, y n 0 ja x n y n, (b) x n y n 4, (c) x n y n 0 Huom Riittää määrittää vaadittavat raja-arvot Suppenemistuloksia ei tarvitse perustella nojautumalla suoraan määritelmään 5 Anna esimerkki sellaisista lukujonoista (x n ) ja (y n ), että x n, y n ja x n /y n, (b) x n /y n 2, (c) x n /y n 0 Huom Riittää määrittää vaadittavat raja-arvot Suppenemistuloksia ei tarvitse perustella nojautumalla suoraan määritelmään
12 6 Olkoon x n = an n k (a >, k Z + ) Osoita täsmällisesti perustellen, että x n = x Vihje: Tarkastele esimerkiksi raja-arvoa n+ x n 7 Osoita täsmällisesti perustellen, että jos niin x n =, x n = 0 Onko käänteinen väite tosi eli onko x n = aina, kun x n = 0? 8 Oletetaan, että x n y n < n kaikilla n Z + ja x n, kun n Onko mahdollista, että jono (y n ) suppenee? 9 Onko mahdollista, että lukujono (x n ) on kasvava ja x n, kun n? 0 Määritä (c) 2 n2 n! ( ) n 2n 3, (b) n + ( ) 2n+ 3n, 2n + (, (d) + ) n 2 2n Osoita suoraan raja-arvon määrittelyyn perustuen, että jos x n = ja y n =, niin x ny n = 2 Osoita suoraan raja-arvon määrittelyyn perustuen, että jos x n = ja y n =, niin x ny n =
3 Lukujonon raja-arvo
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 3 Lukujonon raja-arvo 3 Määritelmä Osoita, että 6n + 2n + 3 3 < 4 n ja määritä jokin sellainen n 0 Z +, että 6n + 2n + 3 3 < 0 87 aina, kun n > n 0 2 Olkoon x n
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.
Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 209 4 Funktion raja-arvo 4. Määritelmä. Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: f) A < ε aina, kun 0 < a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
LisätiedotTodista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.
2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na
Lisätiedotsaadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla ehto Tarkoittaako tämä ehto mitään järkevää ja jos, niin mitä?
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 208 4 Funktion raja-arvo 4 Määritelmä Funktion raja-arvon määritelmän ehdosta ε > 0: δ > 0: fx) A < ε aina, kun 0 < x a < δ, saadaan kvanttorien järjestystä vaihtamalla
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
Lisätiedot5 Funktion jatkuvuus ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Määritelmä ja perustuloksia. 1. Tarkastellaan väitettä
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 5 Funktion jatkuvuus 5.1 Määritelmä ja perustuloksia 1. Tarkastellaan väitettä a > 0: b > 0: c > 0: d U c (a): f(d) / U b (f(a)), missä a, b, c, d R. Mitä funktion
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2018 2 Funktion derivaatta 1. Määritä derivaatan määritelmää käyttäen f (), kun (a), (b) 1 ( > 0). 2. Tutki, onko funktio sin(2) sin 1, kun 0, 2 0, kun = 0, derivoituva
LisätiedotTäydellisyysaksiooman kertaus
Täydellisyysaksiooman kertaus Luku M R on joukon A R yläraja, jos a M kaikille a A. Luku M R on joukon A R alaraja, jos a M kaikille a A. A on ylhäältä (vast. alhaalta) rajoitettu, jos sillä on jokin yläraja
Lisätiedot2 Funktion derivaatta
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 2 Funktion derivaatta 2.1 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 1. Määritä suoraan derivaatan määritelmää käyttäen f (0), kun (a) + 1, (b) (2 + ) sin(3). 2. Olkoon
LisätiedotAnalyysi 1. Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy Tutki funktion f(x) = x 2 + x 2 jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.
Analyysi 1 Harjoituksia lukuihin 4 7 / Syksy 014 1. Tutki funktion x + x jatkuvuutta pisteissä x = 0 ja x = 1.. Määritä vakiot a ja b siten, että funktio a x cos x + b x + b sin x, kun x 0, x 4, kun x
LisätiedotReaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13
Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen
Lisätiedot1 Reaaliset lukujonot
Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot
LisätiedotKonvergenssilauseita
LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n
LisätiedotSarjojen suppenemisesta
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos
LisätiedotAnalyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1
Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................
Lisätiedotreaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,
Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.
LisätiedotLukujoukot. Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }.
Lukujoukot Luonnollisten lukujen joukko N = {1, 2, 3,... }. N 0 = {0, 1, 2, 3,... } = N {0}. Kokonaislukujen joukko Z = {0, 1, 1, 2, 2,... }. Rationaalilukujen joukko Q = {p/q p Z, q N}. Reaalilukujen
Lisätiedotx > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.
ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).
LisätiedotTehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.
Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.
LisätiedotAnalyysi 1. Pertti Koivisto
Analyysi Pertti Koivisto Syksy 204 Alkusanat Tämä moniste on tarkoitettu oheislukemistoksi Tampereen yliopistossa pidettävälle kurssille Analyysi. Monisteen tavoitteena on tukea luentojen seuraamista,
LisätiedotRaja-arvot ja jatkuvuus
Raja-arvot ja jatkuvuus 30. lokakuuta 2014 10:11 Suoraa jatkoa kurssille Johdatus reaalifunktioihin (MATP311) (JRF). Oheislukemista: Kilpeläinen: Analyysi 1, luvut 3-6, Spivak: Calculus, luvut 5-8, 22,
LisätiedotSekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä
Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja
LisätiedotIV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n
IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee
LisätiedotAnalyysi A. Harjoitustehtäviä lukuun 1 / kevät 2018
Aalyysi A Harjoitustehtäviä lukuu / kevät 208 Ellei toisi maiita, tehtävissä esiityvät muuttujat ja vakiot ovat mielivaltaisia reaalilukuja.. Aa joki ylä- ja alaraja joukoille { x R x 2 + x 6 ja B = {
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus 3, ratkaisut Maanantai 6..5. (Teht. 5 ja s. 4.) Olkoot z = + y i ja z = + y i. Osoita, että (a) z + z = z +z, (b) z z = z z, (c) z z = z ja (d) z = z z, kun z. (a) z + z =
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat
LisätiedotJonot. Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään. (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ).
Jonot Lukujonolla tarkoitetaan ääretöntä jonoa reaalilukuja a n R, kun indeksi n N. Merkitään (a n ) n N = (a n ) n=1 = (a 1, a 2, a 3,... ). Lukujonon täsmällinen tulkinta on funktio f : N R, jolle f
LisätiedotKuinka määritellään 2 3?
Kuinka määritellään 2 3? y Nyt 3 = 1,7320508.... Luvut 3 2 x x 3 2 x 2 1 = 2, 2 1,7 3,2490, 2 1,73 3,3173, 2 1,732 3,3219,... ovat hyvin määriteltyjä koska näihin tarvitaan vain rationaalilukupotenssin
LisätiedotFunktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen
4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f
Lisätiedot1 Supremum ja infimum
Pekka Alestalo, 2018 Tämä moniste täydentää reaalilukuja ja jatkuvia reaalifunktioita koskevaa kalvosarjaa lähinnä perustelujen ja todistusten osalta. Suurin osa määritelmistä jms. on esitetty jo kalvoissa,
Lisätiedot1 sup- ja inf-esimerkkejä
Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko
Lisätiedot3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 2019 3 Derivoituvan funktion ominaisuuksia 31 l Hospitalin sääntö 1 Määritä 2 5 4 2 + 2 7 12 + 11, e 1 2, (c) tan sin 2 Määritä 2012 3 704 + 2 6 30 13 10 + 7, 3 2017
Lisätiedot1 Määrittelyjä ja aputuloksia
1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia
LisätiedotLuku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 21 Risto Silvennoinen Luku 2. Jatkuvien funktioiden ominaisuuksia. Jatkossa väli I tarkoittaa jotakin seuraavista reaalilukuväleistä: ( ab, ) = { x a< x< b} = { x a
Lisätiedot6 Eksponentti- ja logaritmifunktio
ANALYYSI A, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 019 6 Eksponentti- ja logaritmifunktio 6.1 Eksponenttifunktio 1. Määritä (a) e 3 e + 5, (b) e, (c) + 3e e cos.. Tutki, onko funktiolla f() = 1 e tan + 1 ( π + nπ, n
LisätiedotFunktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot
3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,
LisätiedotDerivaattaluvut ja Dini derivaatat
Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo
LisätiedotMiten osoitetaan joukot samoiksi?
Miten osoitetaan joukot samoiksi? Määritelmä 1 Joukot A ja B ovat samat, jos A B ja B A. Tällöin merkitään A = B. Kun todistetaan, että A = B, on päättelyssä kaksi vaihetta: (i) osoitetaan, että A B, ts.
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,
LisätiedotDIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 1. ALUKSI. Joukko-oppia
DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 1. ALUKSI Joukko-oppia Lyhenteitä ja merkintöjä. A = B A:sta seuraa B. Implikaatio. A B A ja B yhtäpitävät. Ekvivalenssi.
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 14.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo Malinen
LisätiedotMS-A010{2,3,4,5} (SCI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat
M-A010{2,3,4,5} (CI, ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: arjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos eptember 12, 2018 Pekka
Lisätiedot7. Tasaisen rajoituksen periaate
18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
LisätiedotAnalyysi I (mat & til) Demonstraatio IX
Analyysi I (mat & til) Demonstraatio IX 16.11. 2018 II välikoe 19.11. klo 9 salissa IX. Ilmoittaudu NettiOpsussa 12.11. mennessä. Koealue: Funktion raja-arvo, jatkuvuus ja Bolzanon lause, ts. kirjan luku
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 3: Jatkuvuus Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 19.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo
LisätiedotMS-C1540 Euklidiset avaruudet
MS-C1540 Euklidiset avaruudet MS-C1540 Euklidiset avaruudet III-periodi, kevät 2016 Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu 1 / 30 Euklidiset
LisätiedotOutoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.
Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen
LisätiedotMatemaattisen analyysin tukikurssi
Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava
LisätiedotReaalilukujonoista ja niiden merkityksestä kouluopetuksessa
TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Anna-Kaisa Torvinen Reaalilukujonoista ja niiden merkityksestä kouluopetuksessa Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Syyskuu 2010 Tampereen yliopisto
LisätiedotJohdatus matemaattisen analyysin teoriaan
Kirjan Johdatus matemaattisen analyysin teoriaan harjoitustehtävien ratkaisuja 18. maaliskuuta 2005 Ratkaisut ovat laatineet Jukka Ilmonen ja Ismo Korkee. Ratkaisuissa olevista mahdollisista virheistä
LisätiedotVastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen
Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion
LisätiedotSarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,
Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,
LisätiedotOminaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus
Ominaisvektoreiden lineaarinen riippumattomuus Lause 17 Oletetaan, että A on n n -matriisi. Oletetaan, että λ 1,..., λ m ovat matriisin A eri ominaisarvoja, ja oletetaan, että v 1,..., v m ovat jotkin
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 6 Maanantai
. (Teht. s. 93.) Määrää raja-arvo MATP53 Approbatur B Harjoitus 6 Maanantai 7..5 cos x x. Ratkaisu. Suora sijoitus antaa epämääräisen muodon (ei auta). Laventamalla päädytään muotoon ja päästään käyttämään
Lisätiedot(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =
JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia
Lisätiedot5 Riemann-integraali ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT Ala- ja yläintegraali
ANALYYSI B, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, KEVÄT 9 5 Riemnn-integrli 5. Al- j yläintegrli Voit olett tunnetuksi ll esitetyt supremumin j infimumin ominisuudet (joukot A j B ovt rjoitettuj sekä epätyhjiä j λ R). Jos
LisätiedotSarjoja ja analyyttisiä funktioita
3B Sarjoja ja analyyttisiä funktioita 3B a Etsi funktiolle z z 5 potenssisarjaesitys kiekossa B0, 5. b Etsi funktiolle z z potenssisarjaesitys kiekossa, jonka keskipiste on z 0 4. Mikä on tämän potenssisarjan
LisätiedotTopologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus
Topologia I Harjoitus 6, kevät 2010 Ratkaisuehdotus 1. (5:7) Olkoon E normiavaruus, I = [0, 1] ja f, g : I E jatkuvia. Osoita, että yhtälön h(s, t) = (1 t)f(s) + tg(s) määrittelemä kuvaus h : I 2 E on
Lisätiedota k+1 = 2a k + 1 = 2(2 k 1) + 1 = 2 k+1 1. xxxxxx xxxxxx xxxxxx xxxxxx
x x x x x x x x Matematiikan johdantokurssi, syksy 08 Harjoitus, ratkaisuista Hanoin tornit -ongelma: Tarkastellaan kolmea pylvästä A, B ja C, joihin voidaan pinota erikokoisia renkaita Lähtötilanteessa
LisätiedotAnalyysi A. Raja-arvo ja jatkuvuus. Pertti Koivisto
Analyysi A Raja-arvo ja jatkuvuus Pertti Koivisto Kevät 207 Alkusanat Tämä moniste on tarkoitettu oheislukemistoksi Tampereen yliopistossa pidettävälle kurssille Analyysi A. Monisteen tavoitteena on tukea
LisätiedotTenttiin valmentavia harjoituksia
Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
Lisätiedot8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa
8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen
LisätiedotFunktiot. funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina.
Funktiot Tässä luvussa käsitellään reaaliakselin osajoukoissa määriteltyjä funktioita f : A R. Yleensä funktion määrittelyjoukko M f = A on jokin väli, muttei aina. Avoin väli: ]a, b[ tai ]a, [ tai ],
LisätiedotKOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012
KOMPLEKSIANALYYSI I KURSSI SYKSY 2012 RITVA HURRI-SYRJÄNEN 8. Integraalilauseiden sovelluksia 1. Analyyttisen funktion sarjaesitys. (eli jokainen analyyttinen funktio on lokaalisti suppenevan potenssisarjan
LisätiedotV. POTENSSISARJAT. V.1. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli. a k (x x 0 ) k M
V. POTENSSISARJAT Funtioterminen sarja V.. Abelin lause ja potenssisarjan suppenemisväli P a x x, missä a, a, a 2,... R ja x R ovat vaioita, on potenssisarja, jona ertoimet ovat luvut a, a,... ja ehitysesus
LisätiedotMatematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)
Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotVastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:
. Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 2. viikolle /
MS-A008 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/207 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 2. viikolle / 8. 2.4. Jatkuvuus ja raja-arvo Tehtävä : Määritä raja-arvot a) 3 + x, x Vihje: c)-kohdassa
LisätiedotSisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17
Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat
Lisätiedot4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit
STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 45 4. Martingaalit ja lokaalit martingaalit Lähestymme nyt jo kovaa vauhtia hetkeä, jolloin voimme aloittaa stokastisen integroinnin. Ennen sitä käymme vielä läpi yhtä
Lisätiedotmissä on myös käytetty monisteen kaavaa 12. Pistä perustelut kohdilleen!
Matematiikan johdantokurssi Kertausharjoitustehtävien ratkaisuja/vastauksia/vihjeitä. Osoita todeksi logiikan lauseille seuraava: P Q (P Q). Ratkaisuohje. Väite tarkoittaa, että johdetut lauseet P Q ja
LisätiedotSeuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1
FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin
Lisätiedot1. Olkoon f :, Ratkaisu. Funktion f kuvaaja välillä [ 1, 3]. (b) Olkoonε>0. Valitaanδ=ε. Kun x 1 <δ, niin. = x+3 2 = x+1, 1< x<1+δ
Matematiikan tilastotieteen laitos Differentiaalilaskenta, syksy 2015 Lisätehtävät 1 Ratkaisut 1. Olkoon f :, x+1, x 1, f (x)= x+3, x>1 Piirrä funktion kuvaa välillä [ 1, 3]. (a) Tutki ra-arvon (ε, δ)-määritelmän
Lisätiedot3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen
Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille
LisätiedotFunktiot ja raja-arvo. Pekka Salmi
Funktiot ja raja-arvo Pekka Salmi Versio 0.3 13. lokakuuta 2017 Johdanto Tämä moniste on keskeneräinen... 1 1 Reaaliluvut 1.1 Lukujoukot Lukujoukoista käytettään seuraavia merkintöjä: N = {0, 1, 2, 3,...}
LisätiedotMatematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan
Lisätiedotnyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.
Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotToispuoleiset raja-arvot
Toispuoleiset raja-arvot Määritelmä Funktiolla f on oikeanpuoleinen raja-arvo a R pisteessä x 0 mikäli kaikilla ɛ > 0 löytyy sellainen δ > 0 että f (x) a < ɛ aina kun x 0 < x < x 0 + δ; ja vasemmanpuoleinen
LisätiedotIII. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,
III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat
LisätiedotTopologia Syksy 2010 Harjoitus 11
Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle
LisätiedotYHDEN REAALIMUUTTUJAN ANALYYSIN PERUSTEET. Tero Kilpeläinen
YHDEN REAALIMUUTTUJAN ANALYYSIN PERUSTEET Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja keväältä 2014 5. maaliskuuta 2015 Sisältö 1. Johdanto 1 2. Reaalilukujen jatkumo 2 2.1. Merkintöjä.................................
Lisätiedotd ) m d (I n ) = 2 d n d. Koska tämä pätee kaikilla
MAT21007 Mitta ja integraali Harjoitus 2 viikko 25.3-29.3 2019) Palauta mieleen: monisteen luku 0; Topologia I) avaruuden d euklidinen etäisyys, avoimet kuulat ja joukot. Ohjausta laskuharjoitusten tekoon:
Lisätiedotfunktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu
LisätiedotMatematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Demonstraatiot III, 4.5..06. Mikä on funktion f suurin mahdollinen määrittelyjoukko, kun f(x) x? Mikä on silloin f:n arvojoukko? Etsi f:n käänteisfunktio f ja tarkista, että löytämäsi
LisätiedotYhtäpitävyys. Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite).
Yhtäpitävyys Aikaisemmin osoitettiin, että n on parillinen (oletus) n 2 on parillinen (väite). Toisaalta ollaan osoitettu, että n 2 on parillinen (oletus) n on parillinen (väite). Nämä kaksi väitelausetta
LisätiedotMATP153 Approbatur 1B Harjoitus 4 Maanantai
MATP53 Approbatur B Harjoitus 4 Maanantai 3..05. Halutaan määritellä funktio f siten, että f() =. Missä pisteissä + funktio voidaan määritellä tällä lausekkeella? Missä pisteissä funktio on näin määriteltynä
LisätiedotRiemannin sarjateoreema
Riemannin sarjateoreema LuK-tutielma Sami Määttä 2368326 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Sysy 206 Sisältö Johdanto 2 Luujonot 3 2 Sarjat 4 2. Vuorottelevat sarjat........................
Lisätiedot2 Epäoleellinen integraali
ANALYYSI C, HARJOITUSTEHTÄVIÄ, SYKSY 8 Epäoleellinen integrli Integrointivihje: Hyödynnä yhdistetyn funktion integrointisääntöä.. Määritä 9 9 (c) ( ). Tutki, millä vkion p rvoill epäoleellinen integrli
Lisätiedot(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.
HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt
LisätiedotMatematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista
Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen
LisätiedotEsimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta
Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen
Lisätiedot=p(x) + p(y), joten ehto (N1) on voimassa. Jos lisäksi λ on skalaari, niin
FUNKTIONAALIANALYYSI, RATKAISUT 1 KEVÄT 211, (AP) 1. Ovatko seuraavat reaaliarvoiset funktiot p : R 3 R normeja? Ovatko ne seminormeja? ( x = (x 1, x 2, x 3 ) R 3 ) a) p(x) := x 2 1 + x 2 2 + x 2 3, b)
LisätiedotDiskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9
Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 2 / vko 9 Tuntitehtävät 9-10 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 13-14 loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 11-12 tarkastetaan loppuviikon
LisätiedotSarjat ja integraalit
Sarjat ja integraalit Peter Hästö 1. huhtikuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos Eteneminen pvm luku v 11 2.1, 2.2 v 12 2.3, 2.4 v 13 3.0, 3.1 v 14 3.2 v 15 4 v 16 5.1 v 17 5.2 v 18 6.1 v 19 6.2 Peter
Lisätiedot