= r, s. Jokaisella diedriryhmällä on vastaavanlainen esitys ryhmän O(2) < GL 2 (R) aliryhmänä. r 2 (C) r 2 (B) r 2 (A) s s

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "= r, s. Jokaisella diedriryhmällä on vastaavanlainen esitys ryhmän O(2) < GL 2 (R) aliryhmänä. r 2 (C) r 2 (B) r 2 (A) s s"

Transkriptio

1 6. Symmetinen yhmä Ääellien n alkiota kootuvan joukon { 2...n} pemutaatioyhmää kututaan ymmetieki yhmäki S n.hajoitutehtävän5nojallaminkätahanan alkion joukon pemutaatioyhmä on iomofinen yhmän S n kana. Kaikkia näitä pemutaatioyhmiä voidaankin iki kutua yhmäki S n vataavalla tavalla kuin voidaan puhua abtakteita ykliitä yhmitä C n ja C.Symmetietyhmätovat yllättävän täkeitä yhmiä matematiikan ei aloilla eimekiki Galoi n teoiaa joka käittelee muun muaa polynomien algeballita atkeavuutta amoin ne tulevat vataan geometiaa takateltaea eimekiki äännölliten monikulmioiden ja monitahokkaiden ymmetiayhmiä. Tätä aamme hieman eimakua Eimekiä 6.6. Popoitio 6.. () Symmetien yhmän S n ketaluku on n!. (2) Jo n 3 niins n ei ole kommutatiivinen. Toditu. () Hajoitutehtävä. (2) Takatellaan enin tapau n =3.Olkoonσ S 3 σ() = 2 σ(2) = σ(3) = 3 ja olkoon τ S 3 τ() = τ(2) = 3 τ(3) = 2. Tällöinτ σ() = τ(2) = 3 ja σ τ() = σ() = 2 jotenσ τ τ σ. Edellä määitellyt pemutaatiot on helppo laajentaa n alkion pemutaatioiki määittelemällä kaikille n 4 pemutaatiot σ τ S n joille σ {23} = σ τ {23} = τ ja σ(k) =k = τ(k) kaikille 4 k n. Näillepemutaatioillepätee σ τ τ σ kuten tapaukea n =3. Pemutaatioilla opeointia voi havainnollitaa monilla ei tavoilla. Popoition 6. toditukea käyttämämme tapa antaa pemutaatio luettelemalla kaikkien alkioiden kuvautuminen ei ole kovin kätevää. Eimekiki euaavat kaaviot havainnollitavat Popoition 6. toditukea eiintyvien pemutaatioiden σ ja τ yhditettyjä kuvaukia τ σ ja σ τ: Ykinketaitamita vaten otamme joillekin pemutaatioille käyttöön tiiviimmän mekinnän: Määitelmä 6.2. Olkoon {a a 2...a m } { 2...n} m alkion oajoukko m 2. Sykli (a a 2 a m ) on pemutaatio joka kuvaa alkion a i alkioki a i+ kaikilla i { 2...m } alkiona m alkioki a ja on identtinen kuvau oajoukon {a a 2...a m } komplementia. Syklin (a a 2 a m ) pituu on m. Joyklinpituu on m e on m-ykli. Jo yklin pituu on 2 niin itä kututaan vaihdoki eli tanpoitioki. Sanomme 2-ykliä(i i+)alkeivaihdoki eli alkeitanpoitioki. Syklien yhditettyä kuvauta mekitään ilman -mekkiä: Jo σ =(a a 2 a m ) ja τ =(b b 2 b k )niin σ τ =(a a 2 a m )(b b 2 b k ). Syklien yhditettyä kuvauta anotaan niiden tuloki. Syklit (a a 2 a m ) ja (b b 2 b k ) ovat eilliet jo {a a 2...a m } {b b 2...b k } =. 35

2 Popoitioa 6. ooitimme että yhmä S n ei ole kommutatiivinen kun n 3. Vaikka yhmä G ei oliikaan kommutatiivinen niin joillekin alkioille g h G pätee gh = hg. Tällöinanotaanettäg ja h kommutoivat. Lemma 6.3. Eilliet yklit kommutoivat. Toditu. Jo σ ja σ ovat eilliiä ne ovat kahden toiiaan leikkaamattoman oajoukon pemutaatioita joten väite pätee elväti. Jo f : X X on kuvau ja x X niinpiteenx ata (kuvaukella f) on O(x) = n N{f n (x)}. Lemma 6.4. Jokaien m-yklin ketaluku on m. Toditu. Olkoon σ =(a a 2 a m ).Piteena ata O(a )={a σ(a )=a 2 σ 2 (a )=a 3...σ m (a )=a m σ(a m )=a...} = {a σ(a )=a 2 σ 2 (a )=a 3...σ m (a )=a m } kootuu m piteetä ja ama pätee kaikille muillekin piteille a 2...a m.siikuvauket σ k k {2 3...m } eivätoleidenttiiäkuvaukiajaσ m = id. Väiteeuaa tätä. Eimekki 6.5. () Kaikki Popoition 6. toditukea eintyvät kuvauket ovat yklejä: σ =(2) τ =(23) τ σ =(23)(2)=(32)ja σ τ =(23)(2)=(23). Loput pemutaatioyhmän S 3 alkiot ovat vaihto (3) ja identtinen kuvau. (2) Kaikki yklin identtietä kuvauketa poikkeavat potenit eivät välttämättä ole yklejä. Eimekiki (234)(234) = (3)(24). Eimekki 6.6. Olkoon P n on äännöllinen n-kulmio euklidiea taoa jonka koodinaatit on valittu iten että monikulmion P n kekipite on 0. Monikulmion P n ymmetiayhmä kootuu otogonaalikuvaukita k O(2) joillepäteek(p n )= P n.tämäyhmäondiediyhmä D n jaenviittävätkietokulman2π/n vean kekipiteen ympäi ja heijatu valitun ymmetia-akelin uhteen. B A C Kuvauken k D n ajoittuma monikulmion P n käkien joukkoon V n määää ymmetien yhmän S n alkion. Rajoittumakuvau k k Vn on homomofimi yhmätä D n yhmään S n.seoniteaiaainjektiivinenkokaidenttinenkuvauonainoa taon lineaaikuvau joka kiinnittää kaki lineaaieti iippumatontavektoia.sii 36

3 D n on iomofinen yhmän S n jonkin aliyhmän kana. Rajoittumakuvau ei ole iomofimi kun n 4 kokadiediyhmääd n on 2n alkiota ja ymmetieä yhmää S n on n! alkiota. Takatelemme kahta eikoitapauta taaivuita kolmiota ja neliötä. Olkoon P 3 taaivuinen kolmio jonka käjet ovat A B ja C. KolmiollaP 3 on kuui ymmetiaa: identtinen kuvau id kieto vatapäivään kulman 2π/3 vean 2 jokaonkieto kulman 4π/3 vean amaan uuntaan ja peilauket kunkin käjen kautta kulkevien kulmanpuolittajauoien uhteen. Jo kolmio P 3 ajatellaan kolmiulotteiea avauudea R 3 kakipuoliena levynä joka iältyy taoon R 2 {0} niinkuvauketid ja 2 kuvaavat kolmion yläpuolen yläpuoleki ja muut kuvaavat yläpuolen alapuoleki. Jo on peilau käjen A kautta kulkevan ja vatakkaita ivua vataan kohtiuoan uoan uhteen on melko helppo nähdä että muut peilauket ovat ja. B (A) 2 (C) A (C) 2 (B) C (B) 2 (A) (C) (A) 2 (B) (A) (B) 2 (C) (B) (C) 2 (A) Ryhmä D 3 on iomofinen pemutaatioyhmän S 3 kana: Kun ajoitetaan ymmetiakuvauket kolmion P 3 käkiin on 3-ykli (ABC) 2 on 3-ykli (ABC) 2 = (ACB) on vaihto (BC) on vaihto (AB) ja on vaihto (AC). Diediyhmä D 4 on iomofinen yhmän (234) (4)(23) <S 4 kana. Neliön P 4 = {x R 2 : x x 2 } ymmetiat ovat lineaaikuvaukia ja ne voidaan eittää eaaliten 2 2-otogonaalimatiiien avulla: ( ) ( ) 0 0 D 4 = =. 0 0 Jokaiella diediyhmällä on vataavanlainen eity yhmän O(2) < GL 2 (R) aliyhmänä. 37

4 B A 2 C D Yleitämme Eimekiä 6.6 tehdyn havainnon ja ooitamme että kaikki yhmät voi halutea ajatella pemutaatioyhmien aliyhminä ääettömät yhmät tietenkin ääettömien joukkojen pemutaatioyhmien. Tätä vaten määitellään yhmän G bijektio vaen iito l g : G G alkiolla g G aettamalla l g (x) =gx kaikilla x G. Lemma 6.7. Vaen iito on bijektio. Toditu. Olkoon g G. Kuvaul g : G G on ujektio koka l g (g z)=z kaikilla z G ja upituäännön nojalla e on injektio: Jo l g (x) =l g (y) niingx = gy joten upituäännön nojalla x = y. Popoitio 6.8. Ryhmä G on iomofinen yhmän Pem(G) jonkin aliyhmän kana. Toditu. Lemman 6.7 nojalla voidaan määitellä kuvau ρ: G Pem(G) ρ(g) = l g.kuvauρ on homomofimi illä kaikille x G pätee ρ(gh)(x) =l gh (x) =(gh)x = g(hx) =l g l h (x) =ρ(g) ρ(h)(x). Supituäännötä euaa myö että ρ on injektio joten ρ: G ρ(g) < Pem(G) on iomofimi. Popoitio 6.9. Olkoon G ääellinen yhmä jonka ketaluku on n. Symmetiellä yhmällä S n on aliyhmä joka on iomofinen yhmän G kana. Toditu. Ryhmät S n ja Pem(G) ovat iomofiia joten voimme käitellä yhmää Pem(G) ja väite euaa Popoitiota 6.8 Takatelemme euaavaki ymmetien yhmän S n akennetta. Popoitio 6.0. Jokainen ykli on vaihtojen tulo. Toditu. Induktiolla on helppo ooittaa että (a a 2 a m )=(a a m )(a a m )...(a a 2 ). Todituken idea iältyy euaavaan kaavioon:

5 Ykityikohdat hajoitutehtävää 74. Popoitio 6.. Jokainen vaihto on alkeivaihtojen paiton tulo. Toditu. Koka hajoitutehtävää 73 ooitetaan että (km) =(k)(m)(k) kaikilla k m { 2...n} k m iittääooittaaettä(k) on alkeivaihtojen paiton tulo kaikilla k {2 3...n}. Vaihto(2) on alkeellinen. Oletetaan että ( k ) on alkeivaihtojen paiton tulo. Koka (k) =(k )(k k)( k ) väite euaa. Popoitio 6.2. Jokainen identtietä kuvauketa poikkeava pemutaatio voidaan eittää eilliten yklien tulona. Toditu. Jo pemutaatio τ kiinnittää piteet a a 2...a k { 2...n} iittää toditaa väite pemutaation τ ajoittumalle joukkoon { 2...n} {a a 2...a k }. Riittää ii takatella pemutaatioita jotka eivät kiinnitä yhtään pitettä. Selväti väite pätee kun n =2.OletetaanettäepäteekaikillaS k kunk n. Olkoon τ S n.joτ on ykli ei ole mitään toditettavaa joten voimme olettaa että τ ei ole ykli. Piteen ata on O() = {τ()τ 2 ()...τ k ()...}. Koka {...n} on ääellinen joukko niin täytyy olla τ q () = τ () joillain luonnolliilla luvuilla q <.Valitaan minimaaliet luvut q ja. Koka τ on bijektio täytyy olla q =0 τ () =. Tätänähdäänettä τ O() =(τ() τ 2 () τ ()). Induktio-oletuketa euaa että pemutaation τ ajoittuma pienempään joukkoon { 2...n} O() on yklien tulo joten väite on toditettu. Popoitioita ja 6.2 aadaan Laue 6.3. (Alkei)vaihdot viittävät ymmetien yhmän S n. Jokaieen pemutaatioon liittyvä täkeä invaiantti on pemutaation mekki: Määitelmä 6.4. Pemutaatio σ S n on paillinen joeontulopaillieta määätä vaihtoja ja paiton joeontulopaittomatamääätävaihtoja.pemu- taation σ mekki on { jo σ on paiton ɛ(σ) = jo σ on paillinen. Seuaavaa tulokea ooitetaan muun muaa että pemutaation mekki on hyvin määitelty kuvau. Apuna käytetään antiymmetiiä kuvaukia: Olkoon X epätyhjä joukko ja olkoon (V+) additiivinen yhmä. Kuvau f : X n V on antiymmetinen jokaikillealkeivaihdoilleτ S n pätee f(x τ() x τ(2)...x τ(n) )= f(x). Popoitio 6.5. Olkoon f : X n V antiymmetinen kuvau. Tällöin jo σ on alkeivaihdon tulo. f(x σ() x σ(2)...x σ(n) )=( ) f(x) Toditu. Väite pätee elväti kun =.Oletetaanettäepäteekunσ on alkeivaihdon tulo. Olkoon σ = τ ω pemutaatio joka on alkeivaihdon tulo iten että ω on alkeivaihdon tulo ja τ on alkeivaihto. Nyt oveltamalla 39

6 antiymmetiyyden määitelmää alkeivaihdolla τ ja piteellä (x σ() x σ(2)...x σ(n) ) aadaan f(x σ() x σ(2)...x σ(n) )=f(x τ(ω() x τ(ω(2))...x τ(ω(n)) ) Popoition 6. avulla aadaan välittömäti = f(x ω() x ω(2)...x ω(n) )=( ) f(x). Seuau 6.6. Jo f on antiymmetinen niin kaikille vaihdoille τ S n pätee f(x τ() x τ(2)...x τ(n) )= f(x). Popoitio 6.7. Pemutaation mekki on hyvin määitelty. Toditu. Kuvau f : Z n Z f(x) = i<j n (x i x j ) on antiymmetinen (Hajoitutehtävä 76). Liäki kun muuttujan x komponentit ovat ei kokonailukuja f(x) 0. Jopemutaatioσ voidaan eittää vaihdon tulona ja toiaalta vaihdon tulona aadaan Popoition 6.5 nojalla ( ) =( ) joten mod 2. Laue 6.8. Mekki ɛ: S n { } on ainoa homomofimi pemutaatioyhmätä S n multiplikatiivieen yhmään { } jokaaavaihdoillaavon. Toditu. Hajoitutehtävää 77 ooitetaan että ɛ on homomofimi. Määitelmän mukaan ɛ(τ) = kaikille vaihdoille joten mekki on halutunlainen homomofimi. Toiaalta Laueen 6.3 nojalla alkeivaihdot viittävät koko pemutaatioyhmän joten Popoition 5.4 nojalla homomofimin ɛ avot kiinnittyvät kaikille pemutaatioille. Sii ɛ on ainoa homomofimi jolla on haluttu ominaiuu. Pemutaatioiden mekkihomomofimin ɛ: S n { } ydin on altenoiva yhmä A n jokakootuupailliitapemutaatioita. Eimekki 6.9. (a) A 3 = (23) <S 3 A 3 = C3. (b) A 4 = (23) (24) (34) (234) (2)(34) (3)(24) (4)(23) <S 4. (c) Pemutaatiot eiintyvät lineaaialgebaa deteminanttien yhteydeä: Neliömatiiin A =(a ij ) n i= deteminantti on det A = σ S n ɛ(σ)a σ() a σ(2)2 a σ(n)n. Jo neliömatiiien vektoiavauu M n amatetaan avauudeki (R n ) n eittämällä matiii A M n aakkeidena tai ivienä avulla muodoa w A = ( ) v v n =. w n niin deteminantti on antiymmetinen kuvau det: (R n ) n R: w σ() w det(v σ() v σ(2) v σ(n) )=det σ(2). = ɛ(σ)deta. w σ(n) 40

7 Hajoitutehtäviä. Tehtävä 69. Ooita että pemutaatioyhmän S n ketaluku on n!. Tehtävä 70. Kijoita pemutaatio (23)(24) yklinä. Tehtävä 7. Kijoita kaavioita vataavat pemutaatiot eilliten yklien tuloina. Tehtävä 72. Kijoita pemutaatio (234)(235) eilliten yklien tulona. Tehtävä 73. Ooita että (km) =(k)(m)(k). Tehtävä 74. Täydennä Popoition 6.0 toditu induktiotoditukeki. Tehtävä 75. Ooita että S 3 = (2) (23) Tehtävä 76. Ooita että kuvau f : Z n Z f(x) = (x i x j ) on antiymmetinen. i<j n Tehtävä 77. Ooita että pemutaation mekki ɛ: S n { } on homomofimi. Olkoon euaavia tehtäviä { ( ) ( ) ( ) B = 0 0 ( ) 0 ( ) 0 ( ) } 0. Tehtävä 78. Ooita ettäjoukko B vautettuna matiiien ketolakulla on yhmän GL 2 (Q) aliyhmä. Onko B yhmän SL 2 (Z) aliyhmä? Tehtävä 79. Onko yhmä B kommutatiivinen? Onko e yklinen? Luettele kaikki yhmän B aliyhmät. Tehtävä 80. Ooita että yhmä B on iomofinen pemutaatioyhmän S 3 kana. 80 Vihje: Homomofimi φ: S 3 B määäytyy ( avoita ) φ((2)) ja φ((23)). Koka(2)(2) = 0 (23)(23) = id täytyyollaφ((2)) 2 = φ((23)) 2 =. 0 4

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Tehtäväsarja I

HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Tilastollinen päättely II, kevät 2017 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia. Tehtäväsarja I HY / Matematiikan ja tilatotieteen laito Tilatollinen päättely II, kevät 207 Harjoitu 4 Ratkaiuehdotukia Tehtäväarja I. (Kvantiili-kvantiili kuvion [engl. q q plot] idea.) Olkoon atunnaimuuttujalla X ellainen

Lisätiedot

Kahdeksansolmuinen levyelementti

Kahdeksansolmuinen levyelementti Levy8 ja RS hm.. Kahdekanolminen levyelementti akatellaan kvan kahdekanolmita levyelementtiä. q 6 y (,y q 8 ( 8,y 8 8 q 7 q 6 (,y q 5 q q q 7 q q ( 7,y 7 v ( 6,y 6 P 5 ( 5,y 5 q 9 6 q 5 (,y q (,y q q q

Lisätiedot

Kahdeksansolmuinen levyelementti

Kahdeksansolmuinen levyelementti Levy8 ja RS hm 7.. Kahdekanolminen levyelementti akatellaan kvan kahdekanolmita levyelementtiä. q 6 y (,y q 8 ( 8,y 8 8 q 7 q 6 (,y q 5 q q q 7 q q ( 7,y 7 v ( 6,y 6 P 5 ( 5,y 5 q 9 6 q 5 (,y q (,y q q

Lisätiedot

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla.

Kurssikoe on maanantaina Muista ilmoittautua kokeeseen viimeistään 10 päivää ennen koetta! Ilmoittautumisohjeet löytyvät kurssin kotisivuilla. HY / Avoin ylioisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 05 Harjoitus 6 Ratkaisut palautettava viimeistään tiistaina.6.05 klo 6.5. Huom! Luennot ovat salissa CK maanantaista 5.6. lähtien. Kurssikoe on

Lisätiedot

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen

Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen Mikäli huomaat virheen tai on kysyttävää liittyen malleihin, lähetä viesti osoitteeseen anton.mallasto@aalto.fi. 1. 2. Muista. Ryhmän G aliryhmä H on normaali aliryhmä, jos ah = Ha kaikilla a G. Toisin

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 8,

Algebra I, harjoitus 8, Algebra I, harjoitus 8, 4.-5.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H sen normaali aliryhmä. Todista, että tällöin G/H on ryhmä, kun määritellään laskutoimitus joukossa G/H asettamalla aina, kun x, y G (lauseen

Lisätiedot

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut

Approbatur 3, demo 5, ratkaisut Approbatur 3, demo 5, ratkaisut 51 Tehtävänä on luetella kaikki joukon S 4 alkiot eli neljän alkion permutaatiot Tämä tarkoittaa kaikkia eri tapoja kuvata joukko {1, 2, 3, 4} bijektiivisesti itselleen

Lisätiedot

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja

{I n } < { I n,i n } < GL n (Q) < GL n (R) < GL n (C) kaikilla n 2 ja 5. Aliryhmät Luvun 4 esimerkeissä esiintyy usein ryhmä (G, ) ja jokin vakaa osajoukko B G siten, että (B, B ) on ryhmä. Määrittelemme seuraavassa käsitteitä, jotka auttavat tällaisten tilanteiden käsittelyssä.

Lisätiedot

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät

Esko Turunen Luku 3. Ryhmät 3. Ryhmät Monoidia rikkaampi algebrallinen struktuuri on ryhmä: Määritelmä (3.1) Olkoon joukon G laskutoimitus. Joukko G varustettuna tällä laskutoimituksella on ryhmä, jos laskutoimitus on assosiatiivinen,

Lisätiedot

ei ole muita välikuntia.

ei ole muita välikuntia. ALGEBRA II 41 Lause 4.15. F q m on polynomin x qm x hajoamiskunta kunnan F q suhteen. Todistus. Olkoon α kunnan F q m primitiivialkio. Nyt F qm =< α > muodostuu täsmälleen polynomin x qm 1 1nollakohdistajatäten

Lisätiedot

Laplace-muunnoksesta ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta sen avulla

Laplace-muunnoksesta ja differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta sen avulla TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Jui Talja Laplace-muunnoketa ja differentiaaliyhtälöiden ratkaiemieta en avulla Informaatiotieteiden ykikkö Matematiikka Huhtikuu 2 Tampereen yliopito Informaatiotieteiden

Lisätiedot

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä.

HN = {hn h H, n N} on G:n aliryhmä. Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8, 23.27.3.2009 5 sivua Rami Luisto 1. Osoita, että kullakin n N + lukujen n 5 ja n viimeiset numerot kymmenkantaisessa

Lisätiedot

H = H(12) = {id, (12)},

H = H(12) = {id, (12)}, 7. Normaali aliryhmä ja tekijäryhmä Tarkastelemme luvun aluksi ryhmän ja sen aliryhmien suhdetta. Olkoon G ryhmä ja olkoon H G. Alkiong G vasen sivuluokka (aliryhmän H suhteen) on gh = {gh : h H} ja sen

Lisätiedot

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö

10 Suoran vektorimuotoinen yhtälö 10 Suran vektrimutinen htälö J aluki tarkatellaan -tan kuuluvaa, rign kautta kulkevaa uraa, niin ura n täin määrätt, mikäli tunnetaan en uunta. Tavallieti tämä annetaan uuntakulman tangentin = kulmakertimen

Lisätiedot

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät.

Tekijäryhmiä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. 3 Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa osiin. Ideana on, että voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin kokonaisuuksina, ja jättää

Lisätiedot

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista

Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista Diskreetti matematiikka, syksy 2010 Harjoitus 7, ratkaisuista 1. Olkoot (E, ) ja (F, ) epätyhjiä järjestettyjä joukkoja. Määritellään joukossa E F relaatio L seuraavasti: [ (x, y)l(x, y ) ] [ (x < x )

Lisätiedot

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita?

Onko kuvaukset injektioita? Ovatko ne surjektioita? Bijektioita? Matematiikkaa kaikille, kesä 2017 Avoin yliopisto Luentojen 2,4 ja 6 tehtäviä Päivittyy kurssin aikana 1. Olkoon A = {0, 1, 2}, B = {1, 2, 3} ja C = {2, 3, 4}. Luettele joukkojen A B, A B, A B ja (A B)

Lisätiedot

Esko Turunen MAT Algebra1(s)

Esko Turunen MAT Algebra1(s) Määritelmä (4.1) Olkoon G ryhmä. Olkoon H G, H. Jos joukko H varustettuna indusoidulla laskutoimituksella on ryhmä, se on ryhmän G aliryhmä. Jos H G on ryhmän G aliryhmä, merkitään usein H G, ja jos H

Lisätiedot

5.6 Yhdistetty kuvaus

5.6 Yhdistetty kuvaus 5.6 Yhdistetty kuvaus Määritelmä 5.6.1. Oletetaan, että f : æ Y ja g : Y æ Z ovat kuvauksia. Yhdistetty kuvaus g f : æ Z määritellään asettamalla kaikilla x œ. (g f)(x) =g(f(x)) Huomaa, että yhdistetty

Lisätiedot

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013

Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Dihedraalinen ryhmä Pro gradu Elisa Sonntag Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2013 Sisältö Johdanto 2 1 Ryhmä 3 2 Symmetrinen ryhmä 6 3 Symmetriaryhmä 10 4 Dihedraalinen ryhmä 19 Lähdeluettelo

Lisätiedot

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara

Kuvauksista ja relaatioista. Jonna Makkonen Ilari Vallivaara Kuvauksista ja relaatioista Jonna Makkonen Ilari Vallivaara 20. lokakuuta 2004 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Kuvauksista 3 3 Relaatioista 8 Lähdeluettelo 12 1 1 Esipuhe Joukot ja relaatiot ovat periaatteessa äärimmäisen

Lisätiedot

Algebra I, harjoitus 5,

Algebra I, harjoitus 5, Algebra I, harjoitus 5, 7.-8.10.2014. 1. 2 Osoita väitteet oikeiksi tai vääriksi. a) (R, ) on ryhmä, kun asetetaan a b = 2(a + b) aina, kun a, b R. (Tässä + on reaalilukujen tavallinen yhteenlasku.) b)

Lisätiedot

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta

Ryhmäteoriaa. 2. Ryhmän toiminta Ryhmäteoriaa 2. Ryhmän toiminta Permutaatiot kuvaavat jonkin perusjoukon alkioita toisikseen. Eräät permutaatiot jättävät joitain alkioita paikalleen, toiset liikuttavat kaikkia joukon alkioita. Kaikki

Lisätiedot

Tehtävä 5 : 1. Tehtävä 5 : 2

Tehtävä 5 : 1. Tehtävä 5 : 2 Tehtävä 5 : 1 Merkitään kirjaimella H kuvan punaisten solmujen virittämää verkon G yhtenäistä aliverkkoa, jossa on yhteensä kolme särmää. Aliverkosta H voidaan kahdella tavalla valita kahden solmun joukko

Lisätiedot

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia

HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 5 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan väitteiden todistamista tai kumoamista vastaesimerkin

Lisätiedot

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria.

Kertausosa. 2. Kuvaan merkityt kulmat ovat samankohtaisia kulmia. Koska suorat s ja t ovat yhdensuuntaisia, kulmat ovat yhtä suuria. 5. Veitoken tilavuu on V,00 m 1,00 m,00 m 6,00 m. Pienoimallin tilavuu on 1 V malli 6,00 m 0,06m. 100 Mittakaava k aadaan tälötä. 0,06 1 k 6,00 100 1 k 0,1544... 100 Mitat ovat. 1,00m 0,408...m 100 0,41

Lisätiedot

Ympyrä sekä kehä-, keskus- ja tangenttikulmat

Ympyrä sekä kehä-, keskus- ja tangenttikulmat 31.1.017 Ympyä sekä kehä-, keskus- ja tangenttikulmat GEMETRI M3 Ympyä: Ympyä on niiden tason pisteiden joukko, jotka ovat säteen etäisyydellä keskipisteestä. Sanotaan, että ympyä on tällaisten pisteiden

Lisätiedot

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k

X 2 = k 21X 1 + U 2 s + k 02 + k 12. (s + k 02 + k 12 )U 1 + k 12 U 2. s 2 + (k 01 + k 21 + k 02 + k 12 ) s + k Aalto-yliopiton Perutieteiden korkeakoulu Matematiikan ja yteemianalyyin laito Mat-49 Syteemien Identifiointi 0 harjoituken ratkaiut äytetään enin iirtofunktiomalli Tehdään Laplace-muunno: ẋ k 0 k x +

Lisätiedot

π πρ = ρ, π πρ 3 = ρ 3, πρ 2 πρ = ρ 3 πρ 2 πρ 3 = ρ.

π πρ = ρ, π πρ 3 = ρ 3, πρ 2 πρ = ρ 3 πρ 2 πρ 3 = ρ. Rhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 4, ratkaisuehdotus (5 sivua) 26.11.2012 Tehtävä 1. Etsi neliön smmetriarhmän D 8 kaikki alirhmät. Mitkä niistä ovat normaaleja? Ratkaisu. Rhmää D 8

Lisätiedot

Tekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}.

Tekijäryhmän määrittelemistä varten määritellään aluksi sivuluokat ja normaalit aliryhmät. gh = {gh h H}. Tekijäryhmät Tekijäryhmän käsitteen avulla voidaan monimutkainen ryhmä jakaa suuriin, helpommin käsiteltäviin osiin. Tämän jälkeen voidaan erikseen tarkastella, miten laskutoimitus vaikuttaa näihin osiin

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos Algebra I - Kesä 2009 Ratkaisuehdoituksia harjoituksiin 8 -Tehtävät 3-6 4 sivua Heikki Koivupalo ja Rami Luisto 3. Oletetaan, että kunnan K karakteristika on 3. Tutki,

Lisätiedot

4 Konjugointi. 4.1 Konjugoinnin määritelmä

4 Konjugointi. 4.1 Konjugoinnin määritelmä 4 Konjugointi 4.1 Konjugoinnin määritelmä Usein ryhmän alkiot kuvaavat operaatioita jossain joukossa. Ryhmäteoriassa tätä kutsutaan ryhmän toiminnaksi. Permutaatiot ovat hyvä esimerkki ryhmän toiminnasta.

Lisätiedot

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen

MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen MAT-41150 Algebra I (s) periodilla IV 2012 Esko Turunen Tehtävä 1. Onko joukon X potenssijoukon P(X) laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen suhteen? Onko laskutoimitus distributiivinen laskutoimituksen

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy /197 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy 2014 1/197 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä

jonka laskutoimitus on matriisien kertolasku. Vastaavasti saadaan K-kertoiminen erityinen lineaarinen ryhmä 4. Ryhmät Tässä luvussa tarkastelemme laskutoimituksella varustettuja joukkoja, joiden laskutoimitukselta oletamme muutamia yksinkertaisia ominaisuuksia: Määritelmä 4.1. Laskutoimituksella varustettu joukko

Lisätiedot

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon.

(a) Kyllä. Jokainen lähtöjoukon alkio kuvautuu täsmälleen yhteen maalijoukon alkioon. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 015 Harjoitus 4 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavat tehtävät liittyvät kuvauksiin. 1. Merkitään X = {1,,, 4}. Ovatko seuraavat säännöt

Lisätiedot

X k+1 X k X k+1 X k 1 1

X k+1 X k X k+1 X k 1 1 Matematiikan ja tilastotieteen laitos Stokastiset differentiaaliyhtälöt Ratkaisuehdotelma Harjoitukseen 4 1. Oletetaan, että X n toteuttaa toisen kertaluvun differenssiyhtälön X k+2 2X k+1 + 2X k = ξ k,

Lisätiedot

S Piirianalyysi 2 2. välikoe

S Piirianalyysi 2 2. välikoe S-55.22 Piirianalyyi 2 2. välikoe 6.5.23 Lake tehtävät 2 eri paperille kuin tehtävät 3 5. Muita kirjoittaa jokaieen paperiin elväti nimi, opikelijanumero, kurin nimi ja koodi. Epäelvät vataupaperit voidaan

Lisätiedot

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja

kaikille a R. 1 (R, +) on kommutatiivinen ryhmä, 2 a(b + c) = ab + ac ja (b + c)a = ba + ca kaikilla a, b, c R, ja Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi binääristä assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme muuten samat ominaisuudet kuin kokonaisluvuilta,

Lisätiedot

S if b then S else S S s. (b) Muodosta (a)-kohdan kieliopin kanssa ekvivalentti, so. saman kielen tuottava yksiselitteinen.

S if b then S else S S s. (b) Muodosta (a)-kohdan kieliopin kanssa ekvivalentti, so. saman kielen tuottava yksiselitteinen. T-79.148 yky 2003 Tietojenkäittelyteorian peruteet Harjoitu 7 Demontraatiotehtävien ratkaiut 4. Tehtävä: Ooita, että yhteydettömien kielten luokka on uljettu yhdite-, katenaatioja ulkeumaoperaatioiden

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b.

H = : a, b C M. joten jokainen A H {0} on kääntyvä matriisi. Itse asiassa kaikki nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, koska. a b. 10. Kunnat ja kokonaisalueet Määritelmä 10.1. Olkoon K rengas, jossa on ainakin kaksi alkiota. Jos kaikki renkaan K nollasta poikkeavat alkiot ovat yksiköitä, niin K on jakorengas. Kommutatiivinen jakorengas

Lisätiedot

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160

Kuvaus. Määritelmä. LM2, Kesä /160 Kuvaus Määritelmä Oletetaan, että X ja Y ovat joukkoja. Kuvaus eli funktio joukosta X joukkoon Y on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon X alkioon täsmälleen yhden alkion, joka kuuluu joukkoon Y. Merkintä

Lisätiedot

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11

Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 Topologia Syksy 2010 Harjoitus 11 (1) Tarkastellaan tason (a, )-topologiaa. (Tässä topologiassa A R 2 on avoin jos ja vain jos A =, A = R 2 tai A = {(x, y) R 2 x > a ja y > b} joillekin a, b R.) Jokaiselle

Lisätiedot

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto

KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoski, professori. Lappeenrannan teknillinen yliopisto KUINKA PALJON VAROISTA OSAKKEISIIN? Mika Vaihekoki, proeori Lappeenrannan teknillinen yliopito Näin uuden vuoden alkaea ueat meitä miettivät ijoitualkkuna kootumuta. Yki kekeiitä kyymykitä on päätö eri

Lisätiedot

Äärellisten mallien teoria

Äärellisten mallien teoria Äärellisten mallien teoria Harjoituksen 2 ratkaisut Tehtävä 1 Olkoon X = {a, b, c} kolmen alkion joukko. a) Mikä on joukon X eri laskutoimitusten lukumäärä? b) Kuinka moni näistä laskutoimituksista on

Lisätiedot

σ = σ = ( ).

σ = σ = ( ). APPROBATUR 3 (MATP170) Harjoitus 6, Ratkaisut 1. Kirjoita permutaatio perinteisessä kaksirivisessä esitysmuodossa. σ = ( 1 3 6 2 )( 4 5 6 1 )( 2 3 4 5 ) Ratkaisu. Katsotaan alkioden 1, 2, 3, 4, 5, 6 kuvautuminen

Lisätiedot

7. Pyörivät sähkökoneet

7. Pyörivät sähkökoneet Pyörivät ähkökoneet 7-1 7. Pyörivät ähkökoneet Mekaanien energian muuntamieen ähköenergiaki ekä ähköenergian muuntamieen takaiin mekaanieki energiaki käytetään ähkökoneita. Koneita, jotka muuntavat mekaanien

Lisätiedot

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia

Algebra 1, harjoitus 9, h = xkx 1 xhx 1. a) Käytetään molemmissa tapauksissa isomorfialausetta. Tarkastellaan kuvauksia Algebra 1, harjoitus 9, 11.-12.11.2014. 1. Olkoon G ryhmä ja H G normaali aliryhmä. Tiedetään, että tällöin xhx 1 H kaikilla x G. Osoita, että itse asiassa xhx 1 = H kaikilla x G. Ratkaisu: Yritetään osoittaa,

Lisätiedot

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla

Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 2, 23.9.2015 1. Osoita että A on hyvin määritelty. Tee tämä osoittamalla a) että ei ole olemassa surjektiota f : {1,, n} {1,, m}, kun n < m. b) että a) kohdasta

Lisätiedot

3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2

3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2 3 Ryhmäteorian peruskäsitteet ja pienet ryhmät, C 2 Olen valinnut kunkin luvun teemaksi yhden ryhmän. Ensimmäisen luvun teema on pienin epätriviaali ryhmä, eli ryhmä, jossa on kaksi alkiota. Merkitsen

Lisätiedot

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21

Karteesinen tulo. Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla 1 / 21 säilyy Olkoot A = {1, 2, 3, 5} ja B = {a, b, c}. Näiden karteesista tuloa A B voidaan havainnollistaa kuvalla c b a 1 2 3 5 1 / 21 säilyy Esimerkkirelaatio R = {(1, b), (3, a), (5, a), (5, c)} c b a 1

Lisätiedot

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät

Oletetaan sitten, että γ(i) = η(j). Koska γ ja η ovat Jordan-polku, ne ovat jatkuvia injektiivisiä kuvauksia kompaktilta joukolta, ja määrittävät HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 18 Harjoitus 6 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että sileille Jordan-poluille on voimassa : I R n ja : J R n (I) = (J) jos ja vain

Lisätiedot

gallup gallup potentiaali ja voima potentiaali ja voima potentiaali ja voima potentiaali ja voima

gallup gallup potentiaali ja voima potentiaali ja voima potentiaali ja voima potentiaali ja voima aup Kuinka pajon käytät kurikirjaa (tai jotain muuta oppikirjaa)? a) Tututun aiheeeen ennen uentoja b) Luen kirjaa uentojen jäkeen c) Luen oppikirjaa ähinnä akareita tehdeä d) n koke oppikirjaan aup Kappae

Lisätiedot

x gxg 1 Esimerkin 3-sykli saatiin siis konjugoimalla siirretyksi toimimaan lukujen 1, 2 ja 3 sijasta luvuilla 5, 8 ja 6.

x gxg 1 Esimerkin 3-sykli saatiin siis konjugoimalla siirretyksi toimimaan lukujen 1, 2 ja 3 sijasta luvuilla 5, 8 ja 6. 4 Konjugointi 4.1 Konjugoinnin määritelmä Usein ryhmän alkiot kuvaavat operaatioita jossain joukossa. Permutaatiot ovat tästä hyvä esimerkki. Tällaisessa tapauksessa voidaan konjugoinnilla siirtää jossain

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 3 Joukko-oppia 4 Funktioista Funktio eli kuvaus on matematiikan

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä 2 Todistamisesta 2 3 Joukko-oppia Tässä luvussa tarkastellaan joukko-opin

Lisätiedot

1 Algebralliset perusteet

1 Algebralliset perusteet 1 Algebralliset perusteet 1.1 Renkaat Tämän luvun jälkeen opiskelijoiden odotetaan muistavan, mitä ovat renkaat, vaihdannaiset renkaat, alirenkaat, homomorfismit, ideaalit, tekijärenkaat, maksimaaliset

Lisätiedot

Alternoivat multilineaarimuodot

Alternoivat multilineaarimuodot LUKU 1 Alternoivat multilineaarimuodot Vektoriavaruudesta R n käytetään seuraavassa merkintää V. Sen k-kertainen karteesinen tulo on tällöin V V = V k. Määritelmä 1.1. Kuvaus T : V k R on multilineaarinen,

Lisätiedot

PD-säädin PID PID-säädin

PD-säädin PID PID-säädin -äädin - äätö on ykinkertainen äätömuoto, jota voidaan kutua myö uhteuttavaki äädöki. Sinä lähtöignaali on uoraa uhteea tuloignaalin. -äätimen uhdealue kertoo kuinka paljon mittauuure aa muuttua ennen

Lisätiedot

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa

Seurauksia. Seuraus. Seuraus. Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa Seurauksia Seuraus Jos asteen n polynomilla P on n erisuurta nollakohtaa x 1, x 2,..., x n, niin P on muotoa P(x) = a n (x x 1 )(x x 2 )... (x x n ). Seuraus Astetta n olevalla polynomilla voi olla enintään

Lisätiedot

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle

1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle Matematiikan laitos Johdatus Diskrettiin Matematiikkaan Harjoitus 4 24.11.2011 Ratkaisuehdotuksia Aleksandr Pasharin 1. Esitä rekursiivinen määritelmä lukujonolle (a) f(n) = (2 0, 2 1, 2 2, 2 3, 2 4,...)

Lisätiedot

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko

[a] ={b 2 A : a b}. Ekvivalenssiluokkien joukko 3. Tekijälaskutoimitus, kokonaisluvut ja rationaaliluvut Tässä luvussa tutustumme kolmanteen tapaan muodostaa laskutoimitus joukkoon tunnettujen laskutoimitusten avulla. Tätä varten määrittelemme ensin

Lisätiedot

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta.

g : R R, g(a) = g i a i. Alkio g(a) R on polynomin arvo pisteessä a. Jos g(a) = 0, niin a on polynomin g(x) nollakohta. ALGEBRA II 27 on homomorfismi. Ensinnäkin G(a + b) a + b G(a)+G(b) (f), G(ab) ab G(a)G(b) G(a) G(b) (f), ja koska kongruenssien vasempien ja oikeiden puolten asteet ovat pienempiä kuin f:n aste, niin homomorfiaehdot

Lisätiedot

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3)

Tehtävä 4 : 2. b a+1 (mod 3) Tehtävä 4 : 1 Olkoon G sellainen verkko, jonka solmujoukkona on {1,..., 9} ja jonka särmät määräytyvät oheisen kuvan mukaisesti. Merkitään lisäksi kirjaimella A verkon G kaikkien automorfismien joukkoa,

Lisätiedot

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0401 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi Syksy 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ryhmät ja permutaatiot Väritysongelma Jos

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Osa 5: Ryhmät ja permutaatiot Riikka Kangaslampi 2017 Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Ryhmät ja permutaatiot Väritysongelma Jos meillä

Lisätiedot

2 Permutaatioryhmät. 2.1 Permutaation olemus. 2.2 Permutaatioilla laskeminen

2 Permutaatioryhmät. 2.1 Permutaation olemus. 2.2 Permutaatioilla laskeminen 2 Permutaatioryhmät Rubikin kuution siirrot ovat tietynlaisia permutaatioita Permutaatiot muodostavat ryhmiä, ja tällä tavoin ryhmäteorian työkaluja päästään käyttämään kuutio-ongelman selvittämiseen Tässä

Lisätiedot

Äärellisistä ryhmistä, transversaaleista ja luupeista

Äärellisistä ryhmistä, transversaaleista ja luupeista Äärellisistä ryhmistä, transversaaleista ja luupeista Pro Gradu - tutkielma Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Oulun yliopisto Tiedekunta/osasto/laitos Matemaattisten tieteiden

Lisätiedot

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle.

Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. Kombinatoriikka, kesä 2010 Harjoitus 1 Ratkaisuehdotuksia (RT (5 sivua Kaikki kurssin laskuharjoitukset pidetään Exactumin salissa C123. Malliratkaisut tulevat nettiin kurssisivulle. 1. Osoita, että vuoden

Lisätiedot

15. Laajennosten väliset homomorfismit

15. Laajennosten väliset homomorfismit 15. Laajennosten väliset homomorfismit Rakenteiden väliset homomorfismit auttavat selvittämään rakenteiden suhteita toisiinsa. Rakenteen sisäiset isomorfismit niin sanotut automorfismit auttavat vastaavasti

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot

2 Permutaatioryhmät. 2.1 Permutaation olemus

2 Permutaatioryhmät. 2.1 Permutaation olemus 2 Permutaatioryhmät Rubikin kuution siirrot ovat tietynlaisia permutaatioita Permutaatiot muodostavat ryhmiä, ja tällä tavoin ryhmäteorian työkaluja päästään käyttämään kuutioongelman selvittämisessä Tässä

Lisätiedot

Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua)

Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) Ryhmäteoreettinen näkökulma Rubikin kuutioon Harjoitus 6, ratkaisuehdotus (5 sivua) 10.12.2012 Tehtävä 1. Osoita, että tuloryhmän R np R sp indeksi Rubikin paikkaryhmässä R p on täsmälleen kaksi. (Tarkkaan

Lisätiedot

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14)

Tilastotieteen jatkokurssi 8. laskuharjoitusten ratkaisuehdotukset (viikot 13 ja 14) Tilatotietee jatkokuri 8. lakuharjoitute ratkaiuehdotuket (viikot 13 ja 14) 1) Perujoukko o aluee A aukkaat ja tutkittavaa omiaiuutea ovat tulot, Tiedämme, että perujouko tulot oudattaa ormaalijakaumaa,

Lisätiedot

Luotettavuusteknisten menetelmien soveltaminen urheiluhallin poistumisturvallisuuden laskentaan

Luotettavuusteknisten menetelmien soveltaminen urheiluhallin poistumisturvallisuuden laskentaan ESPOO 00 VTT TIEDOTTEITA 8 Tuoma Palopoki, Jukka Myllymäki & Heny Weckman Luotettavuutekniten menetelmien oveltaminen uheiluhallin poitumituvalliuuden lakentaan VTT TIEDOTTEITA RESEARCH NOTES 8 Luotettavuutekniten

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}.

Esimerkki A1. Jaetaan ryhmä G = Z 17 H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4 4 = 16 = 1}. Jaetaan ryhmä G = Z 17 n H = 4 sivuluokkiin. Ratkaisu: Koska 17 on alkuluku, #G = 16, alkiona jäännösluokat a, a = 1, 2,..., 16. Määrätään ensin n H alkiot: H = 4 = {1, 4, 4 2 = 16 = 1, 4 3 = 4 = 13, 4

Lisätiedot

Funktioista. Esimerkki 1

Funktioista. Esimerkki 1 Funktio eli kuvaus on matematiikan keskeisimpiä käsitteitä. Seuraavaksi tarkastellaan funktioita ja todistetaan niiden ominaisuuksia. Määritelmä 1 Olkoot A ja B. Kuvaus eli funktio f : A B on sääntö, joka

Lisätiedot

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta:

Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa 1. Lähdetään sieventämään epäyhtälön vasenta puolta: MATP00 Johdatus matematiikkaan Ylimääräisten tehtävien ratkaisuehdotuksia. Osoita, että 00 002 < 000 000. Esitetään tehtävälle kaksi hieman erilaista ratkaisua. Ratkaisutapa. Lähdetään sieventämään epäyhtälön

Lisätiedot

4.3 Liikemäärän säilyminen

4.3 Liikemäärän säilyminen Tämän kappaleen aihe liikemäärän äilyminen törmäykiä. Törmäy on uora ja kekeinen, jo törmäävät kappaleet liikkuvat maakekipiteitten kautta kulkevaa uoraa pitkin ja jo törmäykohta on tällä amalla uoralla.

Lisätiedot

Johdatus matematiikkaan

Johdatus matematiikkaan Johdatus matematiikkaan Luento 7 Mikko Salo 11.9.2017 Sisältö 1. Funktioista 2. Joukkojen mahtavuus Funktioista Lukiomatematiikassa on käsitelty reaalimuuttujan funktioita (polynomi / trigonometriset /

Lisätiedot

Transversaalit ja hajoamisaliryhmät

Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Transversaalit ja hajoamisaliryhmät Graduseminaariesitelmä Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2006 Motivointi Esimerkki 1 (Ryhmäteorian kurssin harjoitustehtävä). Jos G on ryhmä,

Lisätiedot

Alternoivien ryhmien ominaisuuksista

Alternoivien ryhmien ominaisuuksista Alternoivien ryhmien ominaisuuksista Pro gradu -tutkielma Anssi Aska 2257068 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2017 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Peruskäsitteitä 3 2.1 Ryhmä ja aliryhmä........................

Lisätiedot

Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa

Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi II, syksy 2018 Harjoitus 2 Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Näytä, että tason avoimessa yksikköpallossa määritelty kuvaus B(0, 1) := x R 2 : x

Lisätiedot

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI

6. OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 0 6 OMINAISARVOT JA DIAGONALISOINTI 6 Ominaisarvot ja ominaisvektorit Olkoon V äärellisulotteinen vektoriavaruus, dim(v ) = n ja L : V V lineaarikuvaus Määritelmä 6 Skalaari λ R on L:n ominaisarvo, jos

Lisätiedot

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde.

Relaatioista. 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Relaatioista 1. Relaatiot. Alustava määritelmä: Relaatio on kahden (tai useamman, saman tai eri) joukon alkioiden välinen ominaisuus tai suhde. Esimerkkejä Kokonaisluvut x ja y voivat olla keskenään mm.

Lisätiedot

Koodausteoria, Kesä 2014

Koodausteoria, Kesä 2014 Koodausteoria, Kesä 2014 Topi Törmä Matemaattisten tieteiden laitos 5.6 Alternanttikoodin dekoodaus, kun esiintyy pyyhkiytymiä ja virheitä Joissakin tilanteissa vastaanotetun sanan kirjainta ei saa tulkittua

Lisätiedot

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori

Jarkko Peltomäki. Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Jarkko Peltomäki Aliryhmän sentralisaattori ja normalisaattori Matematiikan aine Turun yliopisto Syyskuu 2009 Sisältö 1 Johdanto 2 2 Määritelmiä ja perusominaisuuksia 3 2.1 Aliryhmän sentralisaattori ja

Lisätiedot

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195

Johdatus yliopistomatematiikkaan. JYM, Syksy2015 1/195 Johdatus yliopistomatematiikkaan JYM, Syksy2015 1/195 Joukko ja alkio Määritelmä Joukko tarkoittaa kokoelmaa olioita, joita sanotaan joukon alkioiksi. Lisäksi vaaditaan, että jokaisesta oliosta on voitava

Lisätiedot

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x

renkaissa. 0 R x + x =(0 R +1 R )x =1 R x = x 8. Renkaat Tarkastelemme seuraavaksi rakenteita, joissa on määritelty kaksi assosiatiivista laskutoimitusta, joista toinen on kommutatiivinen. Vaadimme näiltä kahdella laskutoimituksella varustetuilta

Lisätiedot

Viivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli

Viivakuormituksen potentiaalienergia saadaan summaamalla viivan pituuden yli hum.9. oiman potentiaalienergia Potentiaalienergiata puhutaan, kun kappaleeeen vaikuttaa jokin konervatiivinen voima. oima on konervatiivinen, jo en tekemä tö vaikutupieen iirteä tiettä paikata toieen

Lisätiedot

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI

POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI S-108110 OPTIIKKA 1/6 POSITIIVISEN LINSSIN POLTTOVÄLI Laboratoriotyö S-108110 OPTIIKKA /6 SISÄLLYSLUETTELO 1 Poitiivien linin polttoväli 3 11 Teoria 3 1 Mittauken uoritu 5 LIITE 1 6 Mittaupöytäkirja 6

Lisätiedot

a ord 13 (a)

a ord 13 (a) JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 4, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. Etsi asteet ord p (a) luvuille a 1, 2,..., p 1 kun p = 13 ja kun p = 17. (ii) Mitkä jäännösluokat ovat primitiivisiä juuria (mod

Lisätiedot

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö

Intensiteettitaso ja Doplerin ilmiö Inteniteettitao ja Doplerin ilmiö Tehtävä Erkki työkentelee airaalaa. Sairaalalta 6,0 km päää on tapahtunut tieliikenneonnettomuu ja onnettomuupaikalta lähteneen ambulanin ireenin ääni kuuluu Erkille 60,0

Lisätiedot

5 Platonin kappaleet ja niiden symmetriaryhmät

5 Platonin kappaleet ja niiden symmetriaryhmät 5 Platonin kappaleet ja niiden symmetriaryhmät Ensimmäisissä luvussa käsittelimme ryhmäteorian peruskonsepteja niin kuin ne on 1800- ja 1900-luvuilla määritelty. Nyt palaamme ajassa taaksepäin, ja tutkimme,

Lisätiedot

0. 10. 017 a b c d 1. + +. + +. + + 4. + + + 5. + 6. + P1. Lehtipuiden lukumäärä olkoon aluksi n, jolloin havupuiden määrä on 1,4n. Hakkuiden jälkeen lehtipuiden määrä putoaa lukuun n 0,1n = 0,88n ja havupuiden

Lisätiedot

Viikkotehtävät IV, ratkaisut

Viikkotehtävät IV, ratkaisut Viikkotehtävät IV, ratkaiut. 7,40 V (pariton napajännite) I 7 ma (lampun A ähkövirta rinnankytkennää) I 5 ma (lampun B ähkövirta rinnankytkennää) a) eitani on, joten lamppujen reitanit voidaan lakea tehtävää

Lisätiedot

Tarkastellaan aluksi permutaatioryhmiin liittyvää esimerkkiä.

Tarkastellaan aluksi permutaatioryhmiin liittyvää esimerkkiä. 5 Tuloryhmät Jotkin ryhmät voidaan jakaa toisistaan riippumattomiin osiin niin, että jokainen ryhmän alkio saadaan tulona eri osista valituista alkioista. Tällöin ryhmää voidaan käsitellä osiensa tulona

Lisätiedot

Luku 16 Markkinatasapaino

Luku 16 Markkinatasapaino 68 Luku 16 Markkinataaaino 16.1 Markkinataaainon määrity Tarkatelemme kilailulliia markkinoita kaikki talouenitäjät hinnanottajia kaikki määrittävät arhaat ratkaiuna uhteea makimihintoihin talouenitäjien

Lisätiedot