Kompleksianalyysi, viikko 4

Transkriptio

1 Kompleksianalyysi, viikko 4 Jukka Kemppainen Mathematics Division

2 Reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraali Aloitetaan reaalimuuttujan kompleksiarvoisen funktion integraalin määrittelyllä, palauttamalla se kahden reaalisen integraalin määritelmään. Määr. 1 Olkoon f(t) = u(t) + iv(t) jatkuva funktio välillä [a, b]. Funktion f määrätty integraali yli välin [a, b] määritellään asettamalla (1) b a f(t)dt = b a b u(t)dt + i a v(t)dt. Tällä tavalla määriteltynä integraalilla on reaalianalyysistä tuttuja ominaisuuksia. 2 / 28

3 Ominaisuuksia Lause 1 Määritelmän 1 integraalilla on ominaisuudet a (αf +βg)dt = α b a f(t)dt +β b g(t)dt kaikilla α,β a (lineaarisuus). b Jos a < c < b, niin b a f(t)dt = c a f(t)dt + b c f(t)dt. b a f(t)dt b a f(t) dt. Jos t = g(τ), missä g : [c, d] [a, b] on jatkuvasti derivoituva, niin (muuttujanvaihto) b a f(t)dt = d c f(g(τ))g (τ)dτ. Jos F (t) = f(t) kaikilla a t b, niin b f(t)dt = F(b) F(a). a Jos G(t) = t a f(τ)dτ, 0 τ t, niin G (t) = f(t), a t b. 3 / 28

4 Ominaisuuksia Määritelmän 1 integraalilla ei kuitenkaan ole kaikkia reaalisen integraalin tärkeitä ominaisuuksia. Esim. 1 Osoita, että Määritelmän 1 integraali ei toteuta integraalilaskennan väliarvolausetta b a f(t)dt = f(c)(b a) jollekin c (a,b) valitsemalla a = 0, b = 2π ja f(t) = e it. 4 / 28

5 Kompleksinen käyräintegraali Jatkossa oletetaan, että käyrä, jolla on parametriesitys : z(t) = x(t)+iy(t), a t b, on paloittain säännöllinen, eli z on jatkuva välillä [a, b] ja derivaatta z (t) = x (t)+iy (t) on jatkuva ja 0 väleillä (t k 1,t k ), a = t 0 < t 1 < < t n = b. Määritellään kompleksifunktion integraali käyrän (tai polun) yli. 5 / 28

6 Kompleksinen käyräintegraali Määr. 2 (Kompleksinen käyräintegaali) Olkoon f jatkuva käyrällä : z(t), a t b. Funktion f integraali käyrän yli on f(z)dz = b a f(z(t))z (t)dt merk. = f (1) (f :n integraali pitkin käyrää ) 6 / 28

7 Esimerkkejä Esim. 2 Olkoon z = x + iy. Laske funktion f(z) = y x 3x 2 i integraali pitkin oheisen kuvan polkua a) OAB, b) OB. y A B 1 1+i O 1 x 7 / 28

8 Esimerkkejä Esim. 3 Laske integraali zdz mitä tahansa paloittain säännöllistä käyrää : z(t), a t b, pitkin. Käytä Lausetta 1. 8 / 28

9 Ominaisuuksia Luonnollisesti Lauseen 1 ominaisuudet pätevät myös Määritelmän 2 käyräintegraalille. On huomattava, että yleisesti käyräintegraali ei riippu parametriesityksen valinnasta (Lauseen 1 muuttujanvaihto) riippuu päätepisteistä ja integrointitiestä (vertaa Esimerkki 2). Erityisesti f = f, 1 missä 1 : z(b + a t), a t b, on :n vastapolku (so. polku vastakkaiseen suuntaan suunnistettuna). 9 / 28

10 Integraalifunktio Tarkastellaan vielä erikseen Lauseen 1 viimeistä edellistä kohtaa Määritelmän 2 integraalille, sillä kyseessä on merkittävä ominaisuus. Olkoon G avoin ja : z(t) = x(t)+jy(t), a t b, G:n paloittain säännöllinen käyrä. F on funktion f : G integraalifunktio, jos F (z) = f(z), z G. Kompleksiselle käyräintegraalille pätee reaalianalyysistä tuttu Lause 2 (Analyysin peruslause) Olkoon f : G jatkuva ja F funktion f integraalifunktio. Tällöin f(z)dz = F(z(b)) F(z(a)). 10 / 28

11 Käyräintegraalin arvo Seuraus 1 Jos jatkuvalla funktiolla f on integraalifunktio, niin 1. käyräintegraalin arvo riippuu vain päätepisteistä. 2. f(z)dz = 0, kun on sulkeutuva (umpinainen) käyrä. 11 / 28

12 Esimerkkejä Esim. 4 Laske z2 dz pitkin paraabelin kaarta : z(t) = t it 2, 0 t 1, käyttämällä a) parametriesitystä :lle. b) Lausetta 2. Esim. 5 Laske integraali I = za 1 dz positiivisesti suunnistetun ympyränkaaren : z(t) = Re it, π t π, yli, kun ei-kokonaislukuarvoilla a käytetään pääarvoa z a 1 = e (a 1)Log z, z > 0, π < Arg z π. Totea, että I = 0 ainoastaan, kun a Z\{0}. 12 / 28

13 1:n integraalifunktio z Esimerkin 5 ja Lauseen 2 mukaan funktiolla f(z) = 1 z ei ole integraalifunktiota koko määrittelyjoukossaan \{0}. Mutta sillä on integraalifunktio pienemmässä joukossa G 1 = {z = re iϕ : r > 0, π < ϕ < π}, missä on poistettu haaranvalinnasta johtuva kompleksitason leikkaava negatiivinen reaaliakseli. Integraalifunktio on logaritmifunktio F 1 (z) = log z = ln z +i arg z = ln r + iϕ. 13 / 28

14 1:n integraalifunktio z Funktiolla f(z) = 1 z on integraalifunktio myös (missä tahansa muussakin) haarassa G 2 = {z = re iϕ : r > 0, 0 < ϕ < 2π}, missä kompleksitaso on leikattu auki positiivista reaaliakselia pitkin. Tässäkin haarassa integraalifunktio on logaritmifunktio F 2 (z) = log z. Huomaa kuitenkin, että haaran valinnasta johtuen esimerkiksi F 2 ( i) = i 3π 2 iπ 2 = F 1( i). 14 / 28

15 Jordan-käyrä Sulkeutuva Jordan-käyrä : t z(t), on sulkeutuva käyrä, joka ei leikkaa itseään eli z(t) z(t ) paitsi päätepisteissä t = a,t = b. Jordan käyrä Ei Jordan 15 / 28

16 Greenin apulause on paloittain säännöllinen sulkeutuva Jordan-käyrä avoimessa joukossa G. Käyrän suunnistus tehdään siten, että kiertää sisäalueen positiiviseen suuntaan eli vastapäivään ja oletetaan, että :n sisäalue A myös sisältyy G:hen ts G:llä ei ole reikiä :n sisällä Lemma 1 (Green) Jos g 1 ja g 2 ovat jatkuvasti derivoituvia niin g 1 dx + g 2 dy = missä A on :n määräämä sisäalue. A ( g2 x g 1 y ) dx dy 16 / 28

17 auchyn lause Lause 3 (auchy) Jos f = u + iv on analyyttinen alueessa G ja kuten edellä, niin f(z)dz = 0. Todistus: Oletetaan, että osittaisderivaatat u x,u y,v x,v y ovat jatkuvia. f(z)dz = udx vdy + i udy + vdx = }{{} Green A ( v x u y ) dx dy + i }{{} =0, R A (u x v y ) dx dy = 0 }{{} =0, R 17 / 28

18 Johdattelua auchyn kaavaan auchyn kaavan (ks. Lause 4) avulla voidaan analyyttisen funktion arvo pisteessä z A lausua käyräintegraalin avulla. Johdattelua siihen: Merkitään S r = {u : u z = r} A auchyn lause f(w) w z dw = f(w) w z dw (ks. seuraava perustelu) S r 18 / 28

19 Edellisen perustelu 2 6 * w S r *Z Vasemmat integraalit ovat auchyn lauseen nojalla nollia, koska napa z f(w) ei ole niiden integroimisteiden sisällä (eli w z on analyyttinen) = 0 = = 0 = lasketaan puolitt. yhteen = = = S r 19 / 28

20 auchyn kaava Lause 4 (auchyn kaava) Olkoot,G,A ja f kuten edellä. Tällöin f(z 0 ) = 1 f(z) dz, z 0 A. 2πi z z 0 z * S r A * z o u * 20 / 28

21 auchyn kaavan todistus Edellä olevan mukaan (ks. kuva) f(z) dz = lim z z 0 r 0 = lim r 0 S r 2π = lim r 0 i 0 0 2π 0 f(u) u z 0 du f(z 0 + re iϕ ) re iϕ ire iϕ dϕ f(z 0 + }{{} re iϕ )dϕ 0 2π = i f(z 0 ) dϕ = i2πf(z 0 ). }{{} vakio f(z) z z 0 dz = 2πi f(z 0 ). 21 / 28

22 auchyn kaava Huomautus 1 Ulkopuolisille pisteille z 0 A, z 0 on f(z) dz = 0 z z 0 auchyn lauseen 3 nojalla, koska integroitava on analyyttinen A :ssä. 22 / 28

23 Esimerkkejä Esim. 6 Laske integraali e 2z I = z dz, : z 1 = eit, 0 t 2π. Esim. 7 Laske integraali 1 z 2 1 dz, missä on mikä tahansa positiivisesti suunnistettu paloittain säännöllinen Jordan-käyrä, joka sulkee sisäänsä pisteet z = 1 ja z = / 28

24 Gaussin keskiarvolause Valitsemalla auchyn kaavassa = { z z 0 = r} saadaan Gaussin keskiarvolause, jonka mukaan analyyttisen funktion arvo ympyrän keskipisteessä on sen arvojen aritmeettinen keskiarvo ympyrällä. Seuraus 2 (Gaussin keskiarvolause) Jos f on analyyttinen kiekossa U(z 0,ρ) = {z : z z 0 < ρ} ja r < ρ, niin f(z 0 ) = 1 2π 2π 0 f(z 0 + re iϕ )dϕ. 24 / 28

25 Keskiarvolauseen todistus Laskemalla kuten auchyn kaavan todistuksessa saadaan f(z 0 ) = 1 f(z) dz 2πi z z 0 = 1 2πi = 1 2π z z 0 =r 2π 0 2π 0 f(z 0 + re iϕ ) re iϕ ire iϕ dϕ f(z 0 + re iϕ )dϕ. 25 / 28

26 Harmonisen funktion keskiarvolause Jos ympyrän = { z z 0 = r} sisältävässä alueessa ei ole reikiä, niin edellisen luentoviikon Lauseen 5 mukaan jokaista harmonista funktiota u vastaa analyyttinen funktio f, jolle Re f = u. Ottamalla Gaussin keskiarvolauseessa puolittain reaaliosat saadaan Seuraus 3 (Harmonisen funktion keskiarvolause) Jos u(x,y) on harmoninen alueessa, joka sisältää ympyrän z z 0 = r, z 0 = x 0 + iy 0, ja sen sisäalueen, niin u(x 0,y 0 ) = 1 2π 2π 0 u(x 0 + r cosϕ,y 0 + r sinϕ)dϕ. 26 / 28

27 auchyn kaava derivaatalle Derivoimalla auchyn kaavaa puolittain toistuvasti z 0 :n suhteen (minkä voidaan osoittaa olevan luvallista) saadaan Lause 5 Lauseen 4 oletuksilla f (n) (z 0 ) = n! 2πi f(z) (z z 0 ) n+1dz, z 0 A. 27 / 28

28 Esimerkki Esim. 8 Laske integraali I = sinz (z π) 4dz, missä on 4-säteinen origokeskinen ympyrä positiivisesti suunnistettuna. 28 / 28