dy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )).
|
|
- Tiina Hämäläinen
- 8 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Harjoitus Tehtävä 5. d) Jakamalla annettu yhtälö puolittain xsin(y/x):llä saadaan Sijoitetaan taas jolloin saadaan dy dx = y x + 1 sin ( y). u = y/x, x dy dx = u+xdu dx, u+x du dx = u+ 1 sinu du dx = 1 1 sinux. Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: sinudu = dx dx x ; sinudu = x ; u = arccos(c ln x ); cosu = ln x C; y = xarccos(c ln x ). e) Yhtälö on yhtäpitävästi y = y x +e y x. Sijoitetaan edelleen u = y/x, y = u+xu, jolloin u+xu = u+e u ; u = e u1 x. Tällä yhtälöllä ei ole erikoisratkaisua, sillä e u > 0 aina. Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: du dx = e u x ; eu du = x dx; e u du = x dx Täten e u = ln x +C = ln(x )+C = ln(e C x ), C on vakio u = ln(ln(cx )), C = e C > 0 y = xln(ln(cx )). Tehtävä 6. c) Yhtälöstä saadaan Koska (x y)dx+(y 1)dy = 0 y = dy dx = x y y +1. = 0, 0 1 1
2 ja { x y = 0 tehdään sijoitus y +1 = 0 Tällöin saadaan homogeeniyhtälö dz dt Tehdään jälleen sijoitus jolloin saadaan x = y = 1, { t = x 1 z = y 1 ; dy dx = dz dt. = (t+1) (z +1) (z +1)+1 = t z z u = z t ; dz dt = u+tdu dt, = 1 z t z t u+t du dt = 1 u u du dt = +u u 1 u t ; du dt = 1 1+(u 1) u t. Tällä yhtälöllä ei ole erikoisratkaisuja. Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: u dt 1+(u 1) du = t [ ] 1 (u 1) 1+(u 1) + 1 dt du = 1+(u 1) t Tehtävä 7. 1 ln 1+(u 1) +arctan(u 1) = ln t + C, C on vakio ln(1+(u 1) )+arctan(u 1) = ln t +C = ln(t )+C ln(t +(tu t) )+arctan(u 1) = C ( z ) ln(t +(z t) )+arctan t 1 = C ( ) y 1 ln((x 1) +(y x) )+arctan x 1 1 = C ( ) y x ln((x 1) +(y x) )+arctan = C. x 1 b) Sijoitetaan y = x n z. Tällöin nx n 1 z +x ndz dx = xn z x(x n z). x+x x n z Sievennys tuottaa ( ) dz x n dx = z x n+1 z 1 nx n 1 z x+x n+ z x n = xn z x n+1 z nx n z nx n+1 z x n+1 +x n+ z = (1 n)xn z (1+n)x n+1 z x n+1 +x n+ z = z[(1 n) (1+n)xn+1 z]. x(1+x n+1 z).
3 Tämä on separoituva, kun 1 + n = 0 n = 1. Tällöin dz dx = z x(1+z). Erikoisratkaisu z = 0 y = 0. Muutoin ( ) 1+z 1 dz = z x dx; z +1 dz = Takaisin palaten, Tehtävä 8. b) Yhtälö on yhtäpitävästi Merkitään jolloin integroiva tekijä on ln xy +xy = ln x +c ln x +ln y +xy = c. dy dx x y = x. p(x) := x, dx; ln z +z = ln x +c x e P(x) = e p(x)dx = e x dx = e ln x = x = x. Saadaan x dy dx x 3 y = 1 d dx (x y) = 1. Integroimalla saadaan x y = ( 1)dx = x+c, C on vakio ja ratkaisu on y = x 3 +Cx. c) Ratkaistaan yhtälö y 1 +1 y = 1+e x integroivan tekijän menetelmällä. Merkitään p(x) := 1, jolloin integroiva tekijä on e P(x) = e p(x)dx = e x. Nyt kertomisen jälkeen ja integroimalla saadaan e x y = d dx (ex y) = ex 1+e x e x 1+(e x ) dx = arctan(ex )+C, C on vakio y = e x arctan(e x )+Ce x. 3
4 Tehtävä 9. a) Tarkasteltava yhtälö saadaan yhtäpitävään muotoon dy dx + 1 x y = x3 y 3. Nyt α = 3 > 0, joten yhtälöllämme on erikoisratkaisu y 0. Kertomalla yo. yhtälö termillä y α = y 3 saadaan y 3dy dx + 1 x y = x 3. Tehdään sijoitus z = y 1 α = y, jolloin dz dx = y 3dy dx y 3dy dx = 1 dz dx. Tällöin saadaan 1. kertaluvun täydellinen lineaarinen differentiaaliyhtälö 1 dz dx + 1 x z = x3 dz dx x z = x3. Tällä yhtälöllä on integroiva tekijä e P(x) = e p(x)dx = e ln x = x. Siis josta Yleiseksi ratkaisuksi saadaan josta Lisäksi on erikoisratkaisu y 0. d dx (x z) = x, z = x 4 +Cx, missä C on vakio. y = x 4 +Cx = x (C x ), 1 y = ± x C x. Harjoitus 3 Tehtävä 10. c) Yhtälö on yhtäpitävästi (xcosy +3x y)dx+(x 3 x siny y)dy = 0, 4
5 jonka voi helposti todeta olevan eksakti. Yhtälöllä on siten integraali g = g(x,y), jolle g(x,y) = (xcosy +3x y)dx = x cosy +x 3 y +h(y) ja Toisaalta joten ja g y = x3 x siny y. g y = x siny +x 3 +h (y), h (y) = y h(y) = y +c, c on vakio. Siis ratkaisu y toteuttaa yhtälön missä C on vakio. g(x,y) = x cosy +x 3 y y = C, Tehtävä 11. b) Tarkastellaan differentiaaliyhtälöä muodossa Merkitään Koska y(x+y +1)dx+x(x+3y +)dy = 0. (1) M(x,y) := y(x+y +1), N(x,y) := x(x+3y +). M y N x = x y 1 0, niin yhtälö ei ole eksakti. Sillä on kuitenkin y:stä riippuva integroiva tekijä. Merkitään M y g(y) := N x M = 1 y. Kerrotaan yhtälö (1) integroivalla tekijällä µ(y) = e g(y)dy dy = e y = e ln y = y. Kun y > 0, on µ(y) = y ja saadaan eksakti yhtälö (y x+y 3 +y )dx+(x y +3xy +xy)dy = 0. Järjestelemällä termejä saadaan (y xdx+x ydy)+(y 3 dx+3xy dy)+(y dx+xydy) = 0 5
6 tai ( y x+x y dy ) ( + y 3 +3xy dy ) ( + y +xy dy ) = 0 dx dx dx d dx ( ) y x + d dx (y3 x)+ d dx (y x) = 0 ( ) d y x +y 3 x+y x = 0. dx Tästä seuraa, että ratkaisut y toteuttavat yhtälön y x +y 3 x+y x = C, missä C on vakio. Kun y < 0, suoritetaan vastaava päättely. 6
7 Tehtävä 14. b) Tehdään yhtälössä sijoitus y = p, jolloin y = (y ) y x+ x y = p px+ x. Puolittain derivoimalla saadaan Yhtäpitävästi josta saadaan nollakohdat y = p = pp p x p+x. pp p x p+x = 0; (p x)(p 1) = 0, p = x ja p = 1. Ensimmäinen nollakohta antaa ratkaisun y = p px+ x = x 4. Jälkimmäisestä nollakohdasta saadaan p = 1dx = x+c, C on vakio ja edelleen y = p px+ x = x +Cx+C. Täten yhtälön ratkaisut ovat y = x 4 ja y = x +Cx+C. Tehtävä 15. b) Yhtälö voidaan kirjoittaa muodossa y = xy 1 3 (y ) 3. Sijoitetaan y = p, jolloin y = xp 1 3 p3, josta implisiittisesti derivoimalla saadaan y = p = p+xp p p. Siis p (x p ) = 0 7
8 p = 0 tai x p = 0. Jos p = 0, niin p = C (vakio) ja y = xp 1 3 p3 = Cx 1 3 C3. Jos x p = 0, niin p = ± x,x 0 ja y = xp 1 3 p3 = 3 x x tai y = 3 x x. Harjoitus 4 Tehtävä 16. b) Ympyräparven yhtälö on (x x 0 ) +y = x 0, () missä x 0 0 on vakio. Derivoimalla implisiittisesti saadaan tai (x x 0 )+yy = 0 x 0 = x+yy. Sijoittamalla yo. x 0 :n lauseke yhtälöön () saadaan ympyräparven differentiaaliyhtälöksi y (y ) +y = (x+yy ) x y +xyy = 0. Muodostetaan differentiaaliyhtälö kohtisuorille leikkaajille sijoituksella y 1 y : x y xy y = 0 Merkitään xydx+(x y )dy = 0. (3) M(x,y) := xy, N(x,y) := x y. Differentiaaliyhtälö (3) voidaan palauttaa eksaktiksi kertomalla se integroivalla tekijällä µ(x,y) = e g(y)dy, missä g(y) = M N y x M 8 = x x xy = y.
9 Nyt µ(x,y) = e y dy = e ln y = y = y ja saadaan eksakti differentiaaliyhtälö xy 1 dx+(x y 1)dy = 0. Yhtälön integraali g = g(x, y) on g(x,y) = (x y 1)dy = x y 1 y +h(x) ja g x = xy 1 +h (x) = xy 1, joten h (x) = 0 ja siis h(x) = c (vakio). Ratkaisut y toteuttavat yhtälön g(x,y) = x y 1 y = y 0, y 0 on vakio x +(y y 0 ) = y 0. Tämän yhtälön kuvaaja on ympyrä, jonka keskipiste on (0,y 0 ) ja säde y 0. 9
10 Tehtävä 18. Puolittain derivoimalla saadaan tai Siis x y xy yy +4y = 0 x y xy yy +y = 0. y = y x x y = x y x+y. Kohtisuoria leikkaajia varten (y 1/y ) ratkaistaan yhtälö Merkitään Tällöin 1 y = x y x+y y x+y = x y (x+y )dx+(x y)dy = 0. (4) M(x,y) = x+y, N(x,y) = x y. M y N x = 1 1 = 0 joten yhtälö (4) on eksakti. Sen integraali on g(x,y) = N(x,y)dy = xy y /+h(x), jolloin g x = y +h (x) = x+y h (x) = x h(x) = x / x. Siten kohtisuorat leikkaajat y toteuttavat yhtälön xy y /+x / x = C, missä C on vakio. Kyseessä on hyperb(parve)n yhtälö, kts. Kuva 1. Tehtävä 19. a) Koska yhtälö ei sisällä eksplisiittisesti x:ää, niin tehdään sijoitus y = p(y); y = p dp dy. Tällöin saadaan separoituva differentiaaliyhtälö yp dp dy = 1+p, jolla ei ole erikoisratkaisuja. Erottamalla muuttujat ja integroimalla saadaan p dy 1+p dp = y 10
11 Kuva 1: Tehtävänannon käyräparvi, kun d = 1,,3 (punainen katkoviiva) ja sen kohtisuorat leikkaajat, kun C = 1,, 3 (sininen viiva). Tästä saadaan differentiaaliyhtälöt 1 ln(1+p ) = ln y + C, C on vakio ( ) 1+p ln(1+p ) lny = ln = C y 1+p = e C =: c y 1 > 0 p = ± c 1y 1. dy dx = ± c 1y 1, joilla on erikoisratkaisut y = 1 c 1 ja y = 1 c 1. Erotetaan muuttujat ja integroidaan: dy c 1 y 1 = ± dx = ±x+c, C on vakio. Lasketaan vasemman puolen integraali sijoituksella y = z c 1 : dy c 1 y 1 = 1 c 1 dz z 1 = 1 ( ln z + ) z c 1 = 1 arcosh(z) 1 c 1 = 1 c 1 arcosh(c 1 y). Nyt 1 c 1 arcosh(c 1 y) = ±x+c 11
12 ja Tästä saadaan ratkaisut arcosh(c 1 y) = ±c 1 x+c c 1. y = 1 C 1 cosh(c 1 x+c ), C 1 ja C vakioita. Yllä saadut erikoisratkaisut y = ± 1 c 1 eivät toteuta alkuperäistä yhtälöä. Tehtävä 1. a) On ratkaistava tehtävä y = x(y ), y(0) = 1. Merkitsemällä y = p saadaan separoituva differentiaaliyhtälö p = xp. Sillä on erikoisratkaisu p = 0, jota vastaa y = 0 y C (vakio). Näistä ratkaisu y 1 toteuttaa tehtävän alkuehdon. Erotetaan muuttujat ja integroidaan: dp p = xdx p 1 = x C 1 = x C 1, C 1 on vakio dy dx = y (x) = C 1 x. Oletetaan ensin, että C 1 > 0 ja merkitään C 1 = a,a > 0. Nyt (a+x)(a x) dx = 1 ( 1 a a+x + 1 ) dx a x = 1 a (ln a+x ln a x )+C = 1 a ln a+x a x +C, missä C on vakio. Alkuehdosta y(0) = 1 seuraa, että 1 = y(0) = 1 a ln a+0 a 0 +C = 0+C = C ja siis Jos C 1 = 0, niin saadaan y = 1 a ln a+x a x +1. y = x dx = x +C, joka ei toteuta ehtoay(0) = 1 millään vakionc arvolla. Oletetaan seuraavaksi, että C 1 < 0 C 1 = a jollain a > 0. Nyt y = a +x dx = dx a 1+ ( ) x = ( x ) a arctan +C a a 1
13 ja ehto y(0) = 1 on voimassa vakion arvolla C = 1. Täten tehtävän ratkaisut ovat y 1, y = 1 a ln a+x a x +1 ja missä a > 0 on vakio. y = ( x ) a arctan +1, a Tehtävä. Tarkastellaan raketin liikettä polttoaineen loppumishetkestä t = 0 lähtien. Polttoaineen loppuessa raketti on korkeudella h maanpinnasta x(0) = R+h, missä R = maapallon säde. Tehtävänä on määrätä minimiarvo alkunopeudelle v 0 := x (0), jotta raketti ei putoaisi takaisin maahan. Tarkastellaan alkuarvotehtävää x = GM x, x(0) = R+h, x (0) = v 0. Yo. differentiaaliyhtälö ei sisällä eksplisiittisesti t:tä, joten se voidaan ratkaista sijoituksella x = p(x); x = p dp dx. Tällöin p dp dx = GM x, josta muuttujat erottamalla saadaan pdp = GM x dx p = GM x + C, C on vakio p = GM +C. (5) x Tässä p = p(x(t)) = x (t) =: v(t) on raketin nopeus hetkellä t. Alkuehdoista seuraa, että v0 = (p(0)) = GM GM +C = x(0) R+h +C C = v 0 GM R+h. 13
14 Siis (5) on muotoa v = GM x + ( v0 GM ). R+h Koska raketti ei saa pudota, on oltava v(t) > 0 kaikilla t ( GM + v0 GM ) > 0 x R+h aina kun x R+h. Koska GM x(t) > 0 kaikilla t 0 ja GM lim t + x(t) = 0, niin ehdoksi jää josta saadaan v 0 GM R+h > 0, v 0 > GM R+h. Harjoitus 5 Tehtävä 3. a) Kuten luennoissa, yrite y = e rx johtaa karakteristiseen yhtälöön r = 0. (KY) Yksikköympyrän avulla Yhtälön (KY) juuret ovat siis r 4 = 64 = 6 e (π+kπ)i, k Z,i = 1. r k = 3/ e (π/4+kπ/)i, k Z. ( r 0 = 3 π e 4 i = 3 cos π 4 +isin π ) = 1 ( 4 +i 1 ) = +i ( r 1 = 3 3π e 4 i = 3 cos 3π 4 +isin 3π ) = ( 1 +i 1 ) = +i 4 ( ) r = 3 5π e 4 i = 3 = ( 1 i 1 ) = i r 3 = 3 e 7π 4 i = 3 cos 5π 4 +isin 5π 4 ( cos 7π 4 +isin 7π 4 ) = 1 ( i 1 ) = i. Siis juuret ovat ±±i. Täten yhtälön yleinen ratkaisu on y(x) = e x (C 1 cosx+c sinx)+e x (C 3 cosx+c 4 sinx), missä C 1,C,C 3,C 4 ovat vakioita (i sisältyy vakioihin). 14
15 Tehtävä 4. b) Differentiaaliyhtälön karakteristinen yhtälö on r 6 +r 5 r 4 r 3 = 0 Yhtälön juuret ovat r 5 (r+1) r 3 (r+1) = 0 r 3 (r+1) (r 1) = 0. r 1 = r = r 3 = 0, r 4 = r 5 = 1, r 6 = 1. Koska juuri r = 0 on kolminkertainen, juuri r = 1 on kaksinkertainen ja juuri r = 1 on yksinkertainen, niin differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on y = C 1 +C x+c 3 x +(C 4 +C 5 x)e x +C 6 e x, missä C 1,C,C 3,C 4,C 5,C 6 ovat vakioita. 15
16 Tehtävä 6. b) Homogeenisen yhtälön karakteristinen yhtälö on jonka juuret ovat y (4) +4y = 0 r 4 +4 = 0, r 1 = 1+i, r = 1+i, r 3 = 1 i, r 4 = 1 i. Kaikki juuret ovat yksinkertaisia. Homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on siten y H (x) = e x (C 1 cosx+c sinx)+e x (C 3 cosx+c 4 sinx). Tehdään differentiaaliyhtälön ratkaisemiseksi yrite Tällöin saadaan y (4) +4y = 5e x y 1 (x) = Ae x. y (4) 1 +4y 1 = 5Ae x = 5e x, josta A = 1 ja y 1 (x) = e x. Vastaavasti tehdään differentiaaliyhtälölle y (4) +4y = 5sinx yrite y (x) = Bcosx+Csinx. Tällöin saadaan josta B = 0 ja C = 1 ja Täten funktio y (4) +4y = 5Bcosx+5Csinx = 5sinx, y (x) = sinx. y 1 (x)+y (x) = e x +sinx on alkuperäisen differentiaaliyhtälön eräs ratkaisu. Yleinen ratkaisu on y = (y 1 +y )+y H = e x +sinx+e x (C 1 cosx+c sinx)+e x (C 3 cosx+c 4 sinx), missä C 1,C,C 3,C 4 ovat vakioita. Tehtävä 7. a) Homogeenisen yhtälön y y = 0 yleinen ratkaisu on (kts. Tehtävä 5 a)) y H (x) = C 1 e x +C e x. Yksityisratkaisun löytämiseksi tehdään yrite y 1 (x) = A+Bx. Tällöin y 1 = 0 ja y 1 y 1 = y 1 = x 16
17 Yleinen ratkaisu on y 1 = x. y = y 1 +y H = x+c 1 e x +C e x. Reunaehdoista y(0) = 0 ja y(1) = 1 seuraa, että { 0 = y(0) = C 1 +C, josta saadaan 1 = y(1) = +C 1 e 1 +C e, Täten alkuarvotehtävän ratkaisu on C 1 = e e 1, C = e e 1. y = x+ e e 1 (ex e x ) = x+ ex e x sinhx = x+ e e 1 sinh1. Harjoitus 6 Tehtävä 30. b) Kirjoitetaan differentiaaliyhtälö muodossa y 4 ( ) 6 x y + x 1 y = 0. Käytetään sijoitusta y = ue 1 p(x)dx, missä p(x) = 4 x ja p(x)dx = 4ln x. Nyt y = ue ln x = x u; y = xu+x u ; y = u+4xu +x u ja yhtälö saa muodon u+4xu +x u 4 x (xu+x u )+ x u x u = 0 u u = 0, ( ) 6 x 1 x u = 0 joka on. kertaluvun vakiokertoiminen homogeeninen yhtälö. Sen yleinen ratkaisu on u = C 1 e x +C e x. Siis missä C 1,C ovat vakioita. y = x u = C 1 x e x +C x e x, 17
18 Tehtävä 31. a) Vastaavan homogeenisen yhtälön y +y = 0 yleinen ratkaisu on missä C 1 ja C ovat vakioita, y H = C 1 y 1 +C y ja y 1 (x) = cosx, y 1(x) = sinx y (x) = sinx, y (x) = cosx. Haetaan yksityisratkaisu täydelliselle yhtälölle vakioita varioimalla. Olkoon y 0 (x) = C 1 (x)y 1 (x)+c (x)y (x). Ratkaistaan funktiot C 1 ja C ehdoista { y 1 (x)c 1(x)+y (x)c (x) = 0, y 1(x)C 1(x)+y C (x) = tan x { cosxc 1(x)+sinxC (x) = 0, sinxc 1(x)+cosxC (x) = tan x. Kertomalla ensimmäinen yhtälö termillä sin x ja toinen yhtälö termillä cos x ja laskemalla saadut yhtälöt puolittain yhteen saadaan sin xc (x)+cos xc (x) = (sin x+cos x)c (x) = C (x) = tan xcosx, sillä sin x+cos x = 1. Tästä seuraa, että C 1(x) = sinx cosx C (x) = tan xsinx. Integroimalla saadaan sin C (x) = tan x 1 cos xcosxdx = cosx dx = x dx cosx ( ) 1 cosx = cosx cosx dx = cos x dx sinx cosx = (1 sinx)(1+sinx) dx sinx = 1 ( cosx 1 sinx + cosx ) dx sinx 1+sinx = 1 ln 1 sinx + 1 ln 1+sinx sinx = 1 ln 1+sinx 1 sinx sinx. 18
19 Vastaavasti, C 1 (x) = sinxtan xdx = sinx sin x cos x dx = sinx 1 cos x cos x dx = sinx = cos x dx cosx = 1 cosx cosx. Yksityisratkaisu on siis ( sinx cos x sinx ) dx y 0 (x) = C 1 (x)y 1 (x)+c (x)y (x) ( = 1 ) ( 1 cosx cosx cosx+ ln 1+sinx 1 sinx )sinx sinx = 1 cos x sin x+ 1 sinxln 1+sinx 1 sinx = + 1 sinxln (1+sinx) 1 sin x = + 1 sinxln (1+sinx) cos x = +sinxln 1+sinx cosx. Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on y = y 0 +y H = +sinxln 1+sinx cosx +C 1cosx+C sinx, missä C 1,C ovat vakioita. 19
20 Tehtävä 3. a) Differentiaaliyhtälö voidaan kirjoittaa muodossa ( ) y x +x x+ y + y = x. x x Vastaavan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on missä C 1 ja C ovat vakioita ja sekä y H = C 1 y 1 +C y, y 1 (x) = x, y 1(x) = 1 y (x) = xe x, y (x) = e x +xe x. Etsitään täydelliselle yhtälölle yksityisratkaisu vakioita varioimalla. Olkoon y 0 (x) = C 1 (x)y 1 (x)+c (x)y (x). Ratkaistaan funktiot C 1 ja C ehdoista { C 1(x)y 1 (x)+c (x)y (x) = 0, C 1(x)y 1(x)+C (x)y (x) = x { C 1(x)x+C (x)xe x = 0, Ensimmäisestä yhtälöstä saadaan C 1(x)+C (x)(1+x)e x = x. C 1(x) = C (x)e x. Sijoittamalla tämä jälkimmäiseen yhtälöön saadaan C (x)xe x = x Siis integroimalla C (x) = e x. C (x) = e x dx = e x ja C 1 (x) = C (x)e x dx = 1dx = x. Täten y 0 (x) = C 1 (x)y 1 (x)+c (x)y (x) = x x. Koska y = x on homogeenisen yhtälön ratkaisu, niin riittää valita ensimmäinen termi y 0 (x) = x. Tehtävä 33. 0
21 b) Olkoon ensin x > 0. Sijoitetaan x = e t t = lnx. Merkitään Tällöin, kuten a)-kohdassa, y(t) = y(e t ). dy dx = y x 1, d y dx = x (y y ). Yhtälö saa siten muodon 4x x (y y ) 4xx 1 y +3y = 0 4y 8y +3y = 0. Karakteristisen yhtälön 4r 8r +3 = 0 juuret ovat r = 1/ ja r = 3/. Jos x < 0, niin sijoitus x = e t johtaa samaan yhtälöön. Sen yleinen ratkaisu on Alkuperäisen yhtälön ratkaisu on siten kun x > 0 ja y(t) = C 1 e t/ +C e 3t/. y(x) = y(lnx) = C 1 e 1 lnx +C e 3 lnx = C 1 x 1/ +C x 3/ y(x) = y(ln( x)) = C 1 e 1 ln( x) +C e 3 ln( x) = C 1 ( x) 1/ +C ( x) 3/ kun x < 0. Yhdistäen, missä C 1,C ovat vakioita. y(x) = C 1 x 1/ +C x 3/ = C 1 x +C x x, Harjoitus 7 Tehtävä 36. a) Kirjoitetaan ryhmä muodossa { Dx+x = 3e t Dy +y = x 6e t. Kertomalla ensimmäinen yhtälö puolittain termillä e t saadaan e t Dx+e t x = 3e t Integroimalla, D(e t x) = 3e t. e t x = 3e t +C 1, 1
22 josta x(t) = C 1 e t + 3e t (toinen tapa HY:n ja yksityisratkaisun kautta). Sijoittamalla tämä alkuperäisen ryhmän toiseen yhtälöön saadaan Dy +y = (C 1 e t +3e t ) 6e t = C 1 e t 6(e t +e t ). Kertomalla puolittain termillä e t saadaan D(e t y) = C 1 6(e t +e 3t ). Integroiden, Siten e t y = C 1 t+6e t e 3t +C. y(t) = C 1 te t +6e t e t +C e t. Kirjataan vastaus muodossa { x(t) = C 1 e t +3e t missä C 1,C ovat vakioita. y(t) = (C C 1 t)e t +6e t e t, c) Tarkastellaan differentiaaliyhtälöryhmää muodossa { (D 3 D +3D)x+(D )(D+)y = 4 6t (D+)y = Dx+t. Sijoittamalla toinen yhtälö ensimmäiseen yhtälöön saadaan differentiaaliyhtälö funktiolle x: (D 3 D +3D)x+(D )(Dx+t) = 4 6t tai tai (D 3 D +3D)x+(D )Dx = t (D 3 D)x = D(D 1)(D+1)x = t. Homogeenisen yhtälön D(D 1)(D+1)x = 0 ratkaisu on x H = C 1 +C e t +C 3 e t, C 1,C,C 3 vakioita. Koska r = 0 on karakteristisen yhtälön 1-kertainen juuri, niin tehdään yksityisratkaisun löytämiseksi yrite x 1 (t) = t(at+b) = At +Bt. Tällöin ja Dx 1 = At+B, D 3 x 1 0 (D 3 D)x 1 = At B = t
23 jos ja vain jos A = 1 ja B = 0. Siis x 1 (t) = t. Yleiseksi ratkaisuksi saadaan x = x 1 +x H = t +C 1 +C e t +C 3 e t. Funktiota y koskeva differentiaaliyhtälö saadaan siten muotoon (D+)y = Dx+t = C e t +C 3 e t. Vastaavan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on y H = C 4 e t, C 4 vakio. Tehdään yrite Tällöin y 1 (t) = Ce t +De t. (D+)y 1 = Ce t +3De t = C e t +C 3 e t jos ja vain jos C = C ja D = C 3 3. Siis ja y 1 (t) = C e t + C 3 3 et y = y 1 +y H = C e t + C 3 3 et +C 4 e t, missä C,C 3,C 4 ovat vakioita. 3
24 Tehtävä 37. c) Kertomalla ensimmäinen yhtälö 3:lla ja laskemalla yhtälöt puolittain yhteen saadaan funktiolle y differentiaaliyhtälö Yleinen ratkaisu on missä C 1 ja C ovat vakioita ja (D +)y +6Dy = 0 (D+1)(D+)y = 0. y(t) = C 1 e t +C e t, Dy = C 1 e t C e t. Alkuehdoista seuraa, että { 1 = y(0) = C 1 +C 1 = y (0) = C 1 C C 1 = 1 ja C = 0 ja y(t) = e t. Ratkaistaan seuraavaksi differentiaaliyhtälö (D +1)x = Dy = e t. Vastaavan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on Yksityisratkaisua varten tehdään yrite Tällöin ja jos ja vain jos A = 1 Siis yleinen ratkaisu on ja x H (t) = C 3 cost+c 4 sint. x 1 (t) = Ae t. Dx 1 = Ae t, D x 1 = Ae t (D +1)x 1 = Ae t = e t x 1 (t) = e t. x(t) = x 1 (t)+x H (t) = e t +C 3 cost+c 4 sint Dx = e t C 3 sint+c 4 cost. On määrättävä alkuehdot toteuttava ratkaisu. Ehdosta { 1 = x(0) = 1+C 3 0 = x (0) = 1+C 4 saadaan, että C 3 = 0 ja C 4 = 1. Siis x(t) = e t +sint. 4
25 d) Aloitetaan keskimmäisestä yhtälöstä, joka sisältää vain y:tä. Homogeenisen yhtälön (D+1)y = 0 yleinen ratkaisu on y(t) = C 1 e t. Alkuehdon mukaan y(0) = C 1 = 0 y(t) 0. Siten alkuperäinen ryhmä sievenee muotoon { (D 1)x = z (D+)z = 0. Tästä todetaan heti z(t) = C e t. Alkuehdon nojalla z(0) = C = 3 z(t) = 3e t. Siis (D 1)x = z = 6e t. Termillä e t kertomalla saadaan vasemmalle puolelle tulon derivaatta Integroimalla, D(e t x) = 6e 3t. e t x = e 3t +C 3 x(t) = e t +C 3 e t. Alkuehdon nojalla x(0) = +C 3 = 3 C 3 = 1. Siten x(t) = e t e t. Kirjataan vastaus vielä näkyviin x(t) = e t e t y(t) = 0 z(t) = 3e t. Tehtävä 38. b) Otetaan tarkasteluun ensin ryhmän ensimmäinen ja viimeinen yhtälö { (D 1)x+z = cost x+dz = cost+sint. Derivoimalla ensimmäinen yhtälö saadaan { D(D 1)x+Dz = sint x+dz = cost+sint. Vähentämällä nämä puolittain toisistaan saadaan (D D )x = (D+1)(D )x = cost 3sint. Tätä vastaavan homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on x H (t) = C 1 e t +C e t, missä C 1 ja C ovat vakioita. Yksityisratkaisun määräämiseksi tehdään yrite x 1 (t) = Acost+Bsint. 5
26 Tällöin (D D )x 1 = Acost Bsint+Asint Bcost Acost Bsint = ( 3A B)cost+(A 3B)sint = cost 3sint, joten A = 0 ja B = 1. Siten x(t) = C 1 e t +C e t +sint. Alkuperäisen ryhmän ensimmäisen yhtälön perusteella z(t) = x(t) Dx+cost = C 1 e t +C e t +sint+c 1 e t C e t cost+cost = C 1 e t C e t +sint. Sijoittamalla tämä alkuperäisen ryhmän toiseen yhtälöön saadaan (D+1)y = z +sint = C 1 e t +C e t. Termillä e t kertomalla saadaan vasemmalle puolelle tulon derivaatta D(e t y) = C 1 +C e 3t integroimisen jälkeen e t y = C 1 t+ 1 3 C e 3t +C 3, missä C 3 on integroimisvakio. Siten y(t) = C 1 te t C e t +C 3 e t, missä C 1,C,C 3 ovat vakioita. Harjoitus 8 Tehtävä 39. a) Yhtälö on muotoa y +p(x)y +q(x)y = 0, missä p(x) = x ja q(x) = 1 ovat analyyttisiä koko reaaliakslla. Siten x = 0 on yhtälön säännöllinen piste. Tehdään yrite y = a k x k. Tällöin y = ka k x k 1, y = k=1 k= k(k 1)a k x k. Sijoittamalla nämä yhtälöön saadaan y xy y = k(k 1)a k x k x ka k x k 1 = = k= k=1 (n+)(n+1)a n+ x n n=0 a k x k (n+1)a n x n n=0 [(n+)(n+1)a n+ (n+1)a n ]x n = 0. n=0 6
27 Tästä saadaan palautuskaava (n+)a n+ a n = 0, n = 0,1,,... a n+ = a n n+, n = 0,1,,... Tässä a = a 0, a 4 = a 4 = a 0 4, a 6 = a 4 6 = a (todistus induktiolla) Vastaavasti a n = a 0 n n!, n = 0,1,,... a 3 = a 1 3, a 5 = a 3 5 = a 1 3 5, a 7 = a 5 7 = 4 6a 1 7! Siten ratkaisuksi saadaan y(x) = a k x k = a k x k + = = a 0 a n+1 = n n!a 1 (n+1)!, n = 0,1,,... a 0 k k! xk + 1 k! a k+1 x k+1 k k!a 1 (k +1)! xk+1 ( ) x k +a 1 k k! (k +1)! xk+1 = a 0 e x / +a 1 y, missä y on edellisessä vaiheessa esiintyvä sarja. Sille voidaan laskea toinen esitysmuoto kaavalla missä y (x) = y 1 (x) = e x / x 0 x 0 s= t = e x / on ns. virhefunktio. e p(s)ds x y 1 (s) ds = e / x e s / ds = e x / x/ 0 x 0 0 e s / e s ds e (s/ ) ds e t dt = e x / erf(s) = s e t dt π Tehtävä 41. Tässä tarkastellaan (Legendren) differentiaaliyhtälön (1 x )y xy +y = 0 ratkaisemista pisteen x = 0 ympäristössä. Koska 0 π erf(x/ ) = e / x π erf(x/ ), p(x) = x 1 x = x k+1, q(x) = 1 x = x k, x < 1 7
28 ovat analyyttisiä pisteessä x = 0, niin x = 0 on yhtälön säännöllinen piste. Sijoittamalla yrite y(x) = c k x k yhtälöön saadaan 0 = (1 x )y xy +y = (1 x ) k(k 1)c k x k x kc k x k 1 + c k x k = = k= k=1 x k [(k +)(k +1)c k+ (k(k 1)+k )c k ] (k +)x k [(k +1)c k+ (k 1)c k ]. Tämä johtaa palautuskaavaan Täten Vastaavasti c k+ = k 1 k +1 c k, k = 0,1,,... c = c 0, c 4 = 1 3 c = 1 3 c 0, c 6 = 3 5 c 4 = 1 5 c 0 c k = 1 k 1 c 0, k = 1,,3... c 3 = 0, c 5 = 0, c 7 = 0, c k+1 = 0,k = 1,,... Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on siten y(x) = c k x k + c k+1 x k+1 1 = c 0 k 1 c 0x k +c 1 x k=1 ) 1 = c 0 (1 x k 1 xk 1 +c 1 x. k=1 Lasketaan vielä ratkaisussa esiintyvä sarja. Koska niin Siten k=1 1 k 1 xk 1 = = k=1 x 0 x 0 x 0 1 s k ds = 1 k 1 xk 1, s k ds = x 0 ( 1 1+s s x s k 1 ds = k=1 0 1 s ds ) ds = 1 ln 1+x 1 x, x < 1. ( y(x) = c 0 1 x ) ln 1+x 1 x +c 1 x, x < 1 missä c 0 ja c 1 ovat vakioita. Merkitsemällä y 1 (x) = x saadaan ratkaisun perusjärjestelmän toinen funktio y (x) laskettua myös luennoissa annetulla kaavalla. 8
Matematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
y = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T
3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista
Dierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)
2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =
BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x
Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
Dierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Mat Matematiikan peruskurssi K2
Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,
y + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.
Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin
2. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä. y = 2xy, Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä käyristä on kyse?
2. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä 2.1. Ensimmäisen kertaluvun yhtälöt 30. Ratkaise alkuarvotehtävä y = 2xy, y(0)=1. Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d
Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia,. harjoitus, kevät 016 1. Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d dx ): (a) y + xy = xe x, (b) (1 + x ) y xy = (1 + x ), (c) y sin x y = 1 cos
Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön
3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo
Dierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, kevät 01 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi. harjoitus, viikko 1 R1 ke 1 16 D11 (..) R to 10 1 D11 (..) 1. Määritä funktion y(x) MacLaurinin sarjan kertoimet, kun y(0) = ja y (x) = (x
13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt
Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa
Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava
Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)
Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut
Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle
Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3
Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi
H5 Malliratkaisut - Tehtävä 1
H5 Malliratkaisut - Tehtävä Eelis Mielonen 30. syyskuuta 07 a) 3a (ax + b)3/ + C b) a cos(ax + b) + C a) Tässä tehtävässä päästään harjoittelemaan lukiosta tuttua integrointimenetelmää. Ensimmäisessä kohdassa
5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
Peruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia?
Peruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia? a) xy + 2y sinx + y = e x b) y + sin(x + y) = 0 c) y = xy y y
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
2 ENSIMMÄISEN KERTAUVUN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
2 ENSIMMÄISEN KERTAUVUN DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 1 2.1 Peruskäsitteitä ja esimerkkejä Funktion y = y(x) derivaattaa merk. y, y (x) tai dy/dx. Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt sisältävät ainoastaan
Matemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0
6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt
Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?
BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3
MS-A35 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3, I/27 Differentiaali- ja integraalilaskenta 3 Ratkaisut viikko 3 Tehtävä : Hahmottele seuraavat vektorikentät ja piirrä niiden kenttäviivat. a) F(x, y) =
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
MS-A Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko
MS-A0107 - Differentiaali- integraalilaskenta 1 (CHEM) Harjoitus 6 loppuviikko 1 Tehtävä Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut: Ratkaisu: a) y y 2y = 4x, b) y + 4y = sin 3x, c) y + 2y + 5y = e x
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2
Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100
800345A Differentiaaliyhtälöt I. Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas
800345A Differentiaaliyhtälöt I Seppo Heikkilä, Martti Kumpulainen, Janne Oinas 2. maaliskuuta 2009 Sisältö 1 Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt 2 1.1 Merkintöjä ja nimityksiä...........................
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.
Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)
Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d
Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) dx dx dx Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x))dx dx = df(x) dx g(x)dx + f(x)
Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt
3 x 1 < 2. 2 b) b) x 3 < x 2x. f (x) 0 c) f (x) x + 4 x 4. 8. Etsi käänteisfunktio (määrittely- ja arvojoukkoineen) kun.
Matematiikka KoTiA1 Demotehtäviä 1. Ratkaise epäyhtälöt x + 1 x 2 b) 3 x 1 < 2 x + 1 c) x 2 x 2 2. Ratkaise epäyhtälöt 2 x < 1 2 2 b) x 3 < x 2x 3. Olkoon f (x) kolmannen asteen polynomi jonka korkeimman
Matematiikan tukikurssi
Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 2 Lisää osamurtoja Tutkitaan jälleen rationaalifunktion P(x)/Q(x) integrointia. Aiemmin käsittelimme tapauksen, jossa nimittäjä voidaan esittää muodossa Q(x) = a(x x
Differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö
3 = Lisäksi z(4, 9) = = 21, joten kysytty lineaarinen approksimaatio on. L(x,y) =
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 6, Syksy 2016 1. (a) Olkoon z = z(x,y) = yx 1/2 + y 1/2. Muodosta z:lle lineaarinen approksimaatio L(x,y) siten että approksimaation ja z:n arvot
Osi*aisintegroin2. Osi*aisintegroin2: esimerkkejä. Osi*aisintegroin2tapauksia 1/29/13. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x) f(x)g'(x)dx. f'(x)g(x)dx=f(x)g(x)
/9/ Osi*aisintegroin Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) g(x) + f(x) Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x)) df(x) g(x) + f(x) dg(x) f(x) g(x)
12. Differentiaaliyhtälöt
1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)
Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut
Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d
Osi$aisintegroin, Palautetaan mieleen tulon derivoimissääntö: d df(x) dg(x) (f(x) g(x)) = g(x) + f(x) dx dx dx Integroidaan yhtälön molemmat puolet x:n suhteen: d (f(x) g(x))dx dx = df(x) dx g(x)dx + f(x)
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 2016
BM20A5810 Differentiaalilaskenta ja sovellukset Harjoitus 5, Syksy 2016 1. (a) Anna likiarvo lineaarisen approksimaation avulla sille mitä on T (100.5), kun T (100) = 45 ja T (100) = 10. (b) Käyttäen lineaarista
4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön
4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e
Luento 2: Liikkeen kuvausta
Luento 2: Liikkeen kuvausta Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Luennon sisältö Suoraviivainen liike integrointi Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa Liikkeen ratkaisu kiihtyvyydestä
Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 2
Matemaattiset apuneuvot II, harjoitus 2 K. Tuominen 9. marraskuuta 2017 Palauta ratkaisusi Moodlessa.pdf tiedostona maanantaina 13.11. kello 10:15 mennessä. Merkitse vastauspaperiin laskuharjoitusryhmäsi
x n e x dx = n( e x ) nx n 1 ( e x ) = x n e x + ni n 1 x 4 e x dx = x 4 e x +4( x 3 e x +3( x 2 e x +2( xe x e x ))) = e x
Osittaisintegrointia käyttäen osoita integraalille I n x n e x dx oikeaksi reduktiokaava I n x n e x + ni n ja laske sen avulla mitä on I 4 kun x. x n e x dx n( e x ) nx n ( e x ) x n e x + ni n x 4 e
(d) f (x,y,z) = x2 y. (d)
BM20A5840 Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 2, Kevät 2017 Tässä harjoituksessa ja tulevissakin merkitään punaisella tähdellä sellaisia tehtäviä joiden tyyppisten osaamattomuus tentissä/välikokeessa
MS-A0107 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (CHEM)
MS-A17 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 CHEM) Laskuharjoitus 4lv, kevät 16 1. Tehtävä: Laske cos x dx a) osittaisintegroinnilla, b) soveltamalla sopivaa trigonometrian kaavaa. Ratkaisu: a) Osittaisintegroinnin
10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen
, c) x = 0 tai x = 2. = x 3. 9 = 2 3, = eli kun x = 5 tai x = 1. Näistä
Pitkä matematiikka 8.9.0, ratkaisut:. a) ( x + x ) = ( + x + x ) 6x + 6x = + 6x + 6x x = x =. b) Jos x > 0, on x = + x x = + x. Tällä ei ole ratkaisua. Jos x 0, on x = + x x = + x x =. c) x = x ( x) =
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Pisteessä (1,2,0) osittaisderivaatoilla on arvot 4,1 ja 1. Täten f(1, 2, 0) = 4i + j + k. b) Mihin suuntaan pallo lähtee vierimään kohdasta
Laskukarnevaali Matematiikka B. fx, y, z) = x sin z + x y, etsi f,, ) Osittaisderivaatat ovat f f x = sin z + xy, y = x, f z = x cos z Pisteessä,,) osittaisderivaatoilla on arvot 4, ja. Täten f,, ) = 4i
Differentiaaliyhtälöt
Informaatiotieteiden yksikkö Differentiaaliyhtälöt Pentti Haukkanen Sisältö Differentiaaliyhtälön käsite 4 2 Joitakin. kertaluvun differentiaaliyhtälöitä 7 2. Separoituva yhtälö........................
Insinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
Muuttujan vaihto. Viikon aiheet. Muuttujan vaihto. Muuttujan vaihto. ) pitää muistaa lausua t:n avulla. Integroimisen työkalut: Kun integraali
Viikon aiheet Integroimisen työkalut: Rationaalifunktioiden jako osamurtoihin Rekursio integraaleissa CDH: Luku 4, Prujut206: Luvut 4-4.2.5, Prujut2008: s. 89-6 Kun integraali h(x) ei näytä alkeisfunktioiden
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, Ratkaise rekursioyhtälö
Johdatus diskreettiin matematiikkaan Harjoitus 5, 14.10.2015 1. Ratkaise rekursioyhtälö x n+4 2x n+2 + x n 16( 1) n, n N, alkuarvoilla x 1 2, x 2 14, x 3 18 ja x 4 42. Ratkaisu. Vastaavan homogeenisen
TAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
MAT-33500 Differentiaaliyhtälöt Kesä 00 Risto Silvennoinen TAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Peruskäsitteitä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on
Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon. + p(x)y = r(x) (28)
.5 Linaarist diffrntiaaliyhtälöt 10 Ensimmäisn krtaluvun diffrntiaaliyhtälö on linaarinn, jos s voidaan kirjoittaa muotoon + p(x)y = r(x) (8) Yhtälö on linaarinn y:n ja y:n suhtn, p ja r voivat olla mitä
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt
4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan
Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua.
6 Alkeisfunktiot Kaikkia alla olevia kohtia ei käsitellä luennoilla kokonaan, koska osa on ennestään lukiosta tuttua. 6. Funktion määrittely Funktio f : A B on sääntö, joka liittää jokaiseen joukon A alkioon
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt
Luento 3: Liikkeen kuvausta, differentiaaliyhtälöt Suoraviivainen liike integrointi Digress: vakio- vs. muuttuva kiihtyvyys käytännössä Kinematiikkaa yhdessä dimensiossa taustatietoa ELEC-A3110 Mekaniikka
[xk r k ] T Q[x k r k ] + u T k Ru k. }.
Mat-2.48 Dynaaminen optimointi Mitri Kitti/Ilkka Leppänen Mallivastaukset, kierros 3. Johdetaan lineaarisen aikainvariantin seurantatehtävän yleinen ratkaisu neliöllisellä kustannuksella. Systeemi: x k+
Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus
8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon
MATP153 Approbatur 1B Ohjaus 2 Keskiviikko torstai
MATP15 Approbatur 1B Ohjaus Keskiviikko 4.11. torstai 5.11.015 1. (Opiskeluteht. 6 s. 0.) Määritä sellainen vakio a, että polynomilla x + (a 1)x 4x a on juurena luku x = 1. Mitkä ovat tällöin muut juuret?.
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n
2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 =
TKK, Matematiikan laitos Pikkarainen/Tikanmäki Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 12, A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä 21. 25.4.2008, viikko
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio
MAT-13510 Laaja Matematiikka 1U. Hyviä tenttikysymyksiä T3 Matemaattinen induktio Olkoon a 1 = a 2 = 5 ja a n+1 = a n + 6a n 1 kun n 2. Todista induktiolla, että a n = 3 n ( 2) n, kun n on positiivinen
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ
MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 4.9.09 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alustavat hyvän vastauksen piirteet on suuntaa-antava kuvaus kokeen tehtäviin odotetuista vastauksista ja tarkoitettu ensisijaisesti
Matematiikan peruskurssi 2
Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat
Johdatus reaalifunktioihin P, 5op
Johdatus reaalifunktioihin 802161P, 5op Osa 2 Pekka Salmi 1. lokakuuta 2015 Pekka Salmi FUNK 1. lokakuuta 2015 1 / 55 Jatkuvuus ja raja-arvo Tavoitteet: ymmärtää raja-arvon ja jatkuvuuden määritelmät intuitiivisesti
3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali
50 3. Reaalifunktioiden määräämätön integraali Integraalifunktio Derivoinnin käänteistoimituksena on vastata kysymykseen "Mikä on se funktio, jonka derivaatta on f?" Koska vakion derivaatta 0, havaitaan