Luento 14: Periodinen liike, osa 2. Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi F t F r

Transkriptio

1 Luento 14: Periodinen liike, osa 2 Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi θ F µ F t F r m g 1 / 20

2 Luennon sisältö Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi 2 / 20

3 Vaimennettu värähtely Jos kappaleeseen vaikuttaa palauttavan voiman lisäksi häviöllinen voima, värähdysliikkeen energia pienenee ajan funktiona Matemaattisesti helpointa analysoida tapausta, jossa kitkavoima suoraan verrannollinen kappaleen nopeuteen F k = bv Kappaleen liikeyhtälö F = kx bv = ma = m d 2 x dt 2 + b dx dt + kx = 0 Merkitään γ = b/2m ja ω 2 = k/m d 2 x dt 2 dx + 2γ dt + ω2 x = 0 3 / 20

4 Ratkaisu DY:ssä funktio ja sen 1. ja 2. derivaatta lineaaritermeinä, joten ratkaisussa eksponenttifunktio Käytetään yritettä x = e λt Sijoitetaan tämä derivaattoineen liikeyhtälöön, jolloin saadaan karakteristinen yhtälö λ 2 + 2γλ + ω 2 = 0, josta edelleen λ 1,2 = γ ± γ 2 ω 2 4 / 20

5 Kolme ratkaisuvaihtoehtoa Termin (γ 2 ω 2 ) etumerkistä riippuen yhtälöllä on kolme erityyppistä ratkaisua Alivaimennus ω > γ: harmonisen värähtelijän liikeyhtälö x = e λt = ( A cos(ω t) + B sin(ω t) ) e γt = A cos(ω t + φ) e γt, missä ω 2 = ω 2 γ 2 Kriittinen vaimennus γ = ω : x = (A + Bt) e γt Ylivaimennus γ > ω : x = A e ω t +B e ω t

6 Vaimennustyypit

7 Alivaimennetun värähtelyn kulmataajuus A cos(ω t + φ) e γt, missä ω 2 = ω 2 γ 2 kuvaa värähtelijää, jolla kulmataajuus ω ja joka vaimenee eksponentiaalisesti aikavakiolla γ Vaimentamattomalla systeemillä ominais- tai luonnollinen kulmataajuus ω Vaimennetun värähtelijän kulmataajuus siis pienempi kuin vaimentamattoman 7 / 20

8 Luennon sisältö Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi 8 / 20

9 Pakkovärähtely Vaimennettu värähtelijä pysähtyy ajan kuluessa Jos värähtelijään kohdistetaan pakkovoima (driving force), se pysyy liikkeessä Liikettä kutsutaan pakkovärähtelyksi (forced/driven oscillation) Yksinkertaisimmassa tilanteessa pakkovoima sinimuotoinen F = F 0 cos ω d t Pakkovoiman taajuus ei tarvitse olla sama kuin systeemin ominaiskulmataajuus Mielivaltainen voima voidaan Fourier-analyysin avulla esittää eritaajuisten ja -amplitudisten sinimuotoisten värähtelyjen summana 9 / 20

10 Pakkovärähtelijän DY Liikeyhtälö d 2 x dt 2 dx + 2γ dt + ω2 x = F 0 m cos ω Dt = Epähomogeeninen DY Yhtälön ratkaisu on homogeenisen yhtälön d 2 x dt 2 dx + 2γ dt + ω2 x = 0 yleinen ratkaisu + epähomogeenisen yhtälön erityisratkaisu Erityisratkaisun yrite: ratkaisulla sama kulmataajuus kuin pakkovoimalla x = A cos ω D t + B sin ω D t

11 Ratkaisuyrite Sijoitetaan yritteen derivaatat pakkovärähtelyn DY:öön Kertoimet A ja B saadaan ratkaistua, koska sinin ja kosinin kertoimet täytyy hävitä erikseen Saadaan yhtälöpari ωd 2 A + 2γω d B + ω 2 A = F } 0 m ωd 2 B 2γω d A + ω 2 B = 0 = B = 2γω d ω 2 ωd 2 A A F o (ω 2 ωd 2 = m[ ) (ω2 ) ωd 2 2 ( ) ] 2 + 2γωd 11 / 20

12 Vaihe-ero Esitetään erityisratkaisu x = A cos ω d t + B sin ω d t muodossa x = A cos(ω d t φ) = A cos(φ) cos(ω d t) + A sin(φ) sin(ω d t) Tästä saadaan yhtälöt amplitudille A ja vaiheelle φ A = A cos φ A 2 = A 2 + B 2 B = A sin φ = tan φ = B A 12 / 20

13 Erityisratkaisun yhteenveto Pakkovärähtelyn erityisratkaisun amplitudi A = F 0 /m [(ω2 ) ωd 2 2 ( ) ] 2 + 2γωd Pakkovärähtelyn erityisratkaisun vaihe φ = arctan 2γω d ω 2 ωd 2 Pakkovärähtelyn kokonaislauseke siis vaimennetun värähtelyn yleinen lauseke + tämä erityisratkaisu Erityisratkaisu kuvaa systeemiä, homogeenisen yhtälön vaimenevien, ns. transienttiratkaisujen sammuttua

14 Erityisratkaisun käyttäytyminen Pieni taajuus Pienillä pakkovoiman kulmataajuuksilla (ω d ω) amplitudi ja vaihe supistuvat A = F 0/m = F 0 ω ( k ) 2γω d /ω 2 φ = arctan ( ) 2 1 ωd ω 0 kun ω d ω 0 Systeemi värähtelee vaimennusvakion suuruudesta riippumatta vakioamplitudilla samassa vaiheessa pakkovoiman kanssa 14 / 20

15 Erityisratkaisun käyttäytyminen Suuri taajuus Suurilla pakkovoiman taajuuksilla (ω d ω) A = F 0/m ω 2 d φ = arctan ( ) 2γ/ω d ) 2 π kun ω 0 ω 1 d ( ω ωd Systeemi värähtelee pakkovoimaan nähden vastakkaisessa vaiheessa ja amplitudi pienenee pakkotaajuuden kasvaessa Systeemi ei ehdi seurata pakkovoimaa 15 / 20

16 Erityisratkaisun käyttäytyminen Resonanssi Kun pakkovoiman kulmataajuus lähellä luonnollista kulmataajuutta (ω d ω) A = F 0/m 2γω d φ = arctan 2γω d ω 2 ωd 2 π 2 kun ω d ω Systeemi resonanssissa kun värähtelijän amplitudi maksimissaan Pakkovoimalla kulmataajuus resonanssikulmataajuus Resonanssissa energian siirto pakkovoimasta värähtelijään tehokkainta 16 / 20

17 Luennon sisältö Vaimennettu värähtely Pakkovärähtely Resonanssi 17 / 20

18 Resonanssista Pakkovärähtelijän amplitudi A ja värähtelyn vaihe (vrt. pakkovärähtelyn vaiheeseen) riippuvat voimakkaasti kulmataajuuksista ω ja ω d Resonanssi tarkalleen ottaen kun (laskettuna amplitudista vrt laskuharjoitus) ω 2 d = ω 2 2γ 2 Jos vaimennus γ pieni, värähtelyn amplitudi suuri Resonanssin leveys määräytyy γ:n arvosta Tehonsiirron puoliarvon leveys (FWHM full width at half maximum) ω = 2γ joten vaimennustermi γ tunnetaan myös nimellä resonanssin puoliarvon leveys Värähtelijän hyvyysarvo eli Q-arvo (quality) on resonanssikulmataajuuden ja kaistanleveyden osamäärä Q = ω 2γ

19 Tehon siirto Q-arvo kertoo värähtelijään tuodun ja kitkahäviöihin kuluneen energian suhteen (laskuharjoitus) Suuri Q-arvo kertoo resonanssin kapeudesta ja toisaalta pienistä häviöistä Suuri Q-arvo tarkoittaa että värähtelijä on hyvin herkkä pakkovoiman taajuudelle = resonanssissa pieni pakkovoiman amplitudi riittää ajamaan systeemin värähtelyyn korkean amplitudin (vrt. keinu), mutta systeemi ei juuri reagoi resonanssitaajuuden ulkopuolella olevaan pakkovoimaan Pieni Q-arvo tarkoittaa että systeemi on verrattain epäherkkä pakkovoiman taajuudelle, mutta resonanssissa häviöt ovat toisaalta suuret joten tehonsiirto on pientä Erityisesti tämä tulee vastaan RLC-piirien yhteydessä ja antenniteoriassa ja siltojen rakentamisessa

20 Resonanssista Galloping Gertie Salfordin yliopiston animaatioita värähdysliikkeestä