TAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "TAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT"

Transkriptio

1 MAT Differentiaaliyhtälöt Kesä 00 Risto Silvennoinen TAVALLISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT Peruskäsitteitä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö Se on yleisessä muodossaan yhtälö, jossa esiintyy tuntemattomia funktioita ja niiden derivaattoja Jos derivaatoissa on osittaisderivaattoja, kyseessä on osittaisdifferentiaaliyhtälö, jos vain tavallisia derivaattoja, tavallinen differentiaaliyhtälö Tällä kurssilla käsittelemme vain jälkimmäisiä Differentiaaliyhtälön kertaluku on siinä esiintyvän korkeimman derivaatan kertaluku n+ Jos D, F: D, niin yhtälö ( n) () F( x, y, y,, y ) = 0 määrittelee kertalukua n olevan implisiittisen differentiaaliyhtälön n+ Jos G, f : G, niin yhtälö ( n) ( n ) () y = f( x, y, y,, y ) on kertalukua n oleva eksplisiittinen differentiaaliyhtälö eli normaalimuotoinen differentiaaliyhtälö

2 Olkoon I on avoin väli Silloin n kertaa derivoituva funktio y: I on yhtälön () tai () eksplisiittinen ratkaisu välillä I, jos kaikille x I on voimassa ( n) ( n (3) ( xyx, ( ), y ( x),, y ( x)) Dja Fxyx (, ( ), y ( x),, y ) ( x) ) = 0 tai vastaavasti ( ) ( ) ( (4) ( xyx, ( ), y ( x),, y n ( x)) Gja y n = f( xyx, ( ), y ( x),, y n ) ( x) ) Olkoon B ja H : B jatkuvasti differentioituva funktio, joka määrittelee yhtälöllä H( xy, ) = 0 implisiittisesti välillä I funktion y Jos y on yhtälön () tai () eksplisiittinen ratkaisu, niin yhtälöä H ( xy, ) = 0 sanotaan silloin yhtälöiden () tai () implisiittiseksi ratkaisuksi Esim Yhtälö y = xy on eksplisiittinen kertaluvun yhtälö, jonka eräs eksplisiittinen ratkaisu on yx ( ) = + x 3 Esim Yhtälö ( yy ) + xy + lny = 0 on toisen kertaluvun implisiittinen yhtälö, jonka eräs eksplisiittinen ratkaisu välillä on yx= ( ) Esim 3 Implisiittisellä ensimmäisen kertaluvun yhtälöllä yy + x = 0 on mm implisiittinen ratkaisu x + y = Differentiaaliyhtälön yleiseen ratkaisuun sisältyy kertaluvun ilmoittama määrä toisistaan riippumattomia vakioita eli parametreja Jos parametreille annetaan jokin tietty arvo, saadaan yhtälön yksityisratkaisu eli partikulaarinen ratkaisu Sellainen ratkaisu, jota ei saada yleisestä ratkaisusta parametrien kiinnittämisellä, on erikoisratkaisu tai singulaarinen ratkaisu Jos yleinen ratkaisu sisältää kaikki yhtälön ratkaisut, se on täydellinen ratkaisu Usein ratkaisua haetaan jollakin avoimella välillä I Joskus pyritään siihen, että tämä väli on laajin mahdollinen

3 3 Esim 4 Eksplisiittisellä differentiaaliyhtälöllä y = y on välillä I = (, ) x yleinen ratkaisu yx ( ) = ce, joka eksponenttifunktion ominaisuuksien nojalla on täydellinen ratkaisu Esim 5 Implisiittisellä kertaluvun yhtälöllä ( y ) 4xy + 4y= 0 on yleinen ratkaisu yx ( ) = cx c, c, joka ei ole täydellinen, koska yhtälöllä on myös erikoisratkaisu yx ( ) = x Differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos tuntematon funktio ja sen yhtälössä esiintyvät derivaatat esiintyvät siinä lineaarisesti eli asteluvulla Jos silloin tuntemattoman funktion ja derivaattojen kertoimet ovat vakioita, kyseessä on vakiokertoiminen lineaarinen differentiaaliyhtälö Tuntematon funktio ja sen derivaatat laitetaan pääsääntöisesti yhtälön vasemmalle puolelle Jos silloin oikealle puolelle jää 0, kyseessä on homogeeninen yhtälö, muuten yhtälö on epähomogeeninen Esim 6 Tarkastellaan seuraavia differentiaaliyhtälöitä: a) y '''( x) + x y''( x) + y( x) = sin x (4) b) ( y ( x)) + y( x) = x c) x''( t) + x'( t) + 4 x( t) = 0 Näistä a ja c ovat lineaarisia, b on epälineaarinen Yhtälön a kertaluku on 3, yhtälön b kertaluku on 4 ja c on toisen kertaluvun vakiokertoiminen lineaarinen homogeeninen yhtälö Yhtälöt a ja b ovat epähomogeenisia Yhtälö b on lisäksi implisiittinen

4 4 Yleisen ratkaisun parametrit tai osa niistä voidaan kiinnittää alkuehdoilla tai reunaehdoilla, jolloin kyseessä on alkuarvoprobleema tai reunaarvoprobleema Koska yleisessä ratkaisussa on kertaluvun n ilmaisema määrä vakioita, tarvitaan kaikkien määrittämiseksi yleensä n ehtoa Alkuehdot annetaan aina yhdessä pisteessä, jos ehtopisteitä on kaksi tai useampia, kyseessä on reuna-arvoprobleema Kertaluvun n alkuarvoprobleema on siis muotoa (5) ( n) ( n ) y = f( x, y, y,, y ) ( n ) y( x0) = y0, y ( x0) = y,, y ( x0) = yn, ( x0, y0, y,, yn ) G Esim 7 Yhtälön y''( x) + y( x) = 0 yleinen ratkaisu on y( x) = csinx+ ccosx, missä c, c ovat parametreja Tämä ratkaisu on myös täydellinen Alkuarvoprobleeman y''( x) + y( x) = 0, y(0) = 0, y'(0) = ratkaisu (yksikäsitteinen) on yx ( ) = sinx Reuna-arvoprobleeman y''( x) + y( x) = 0, y(0) = 0, y( π ) = 0 ratkaisuja ovat kaikki funktiot yx ( ) = csin x, c Reuna-arvoprobleemalla y''( x) + y( x) = 0, y(0) = 0, y( π ) = taas ei ole ratkaisua lainkaan Kuten esimerkistä näkyy, differentiaaliyhtälöllä ei välttämättä tarvitse olla olemassa ratkaisua, ja jos sellaisia on, niiden ei tarvitse olla yksikäsitteisiä Käsittelemme tätä kysymystä seuraavassa luvussa ja tarkemmin sitten differentiaalisysteemien kohdalla Alkuarvoprobleemalla on lokaali ratkaisu, jos sillä on ratkaisu pisteen x 0 jossakin ympäristössä I = ( x0 ε, x0+ ε), ε > 0

5 5 Kun differentiaaliyhtälöitä sovelletaan käytäntöön ja lasketaan ratkaisujen arvoja, seuraava Hadamard'in vaatimuslista on hyödyksi: Alkuarvoprobleema on oikein asetettu (properly posed, sachmässig gestellt), jos ratkaisu on olemassa lokaalisti ratkaisu on yksikäsitteinen 3 ratkaisu riippuu alkuehdoista jatkuvasti Kolmas ehto takaa sen, että ratkaisu on stabiili, se muuttuu pienistä alkuarvon häiriöistä hallitun vähän

6 6 Ratkaisujen olemassaolo ja yksikäsitteisyys Tarkastelemme ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälön alkuarvoprobleemaa () y = f( xy, ), yx ( 0) = y0 Tällä ei välttämättä ole ratkaisua olemassa y Esim Yhtälön y = yleinen ratkaisu on x x yx ( ) =, kun x, c 0 cx c Siis jos alkuehdoksi asetetaan y (0) =, ratkaisua ei ole Toisaalta jos ratkaisuja on, niitä voi olla useampia, jopa äärettömän monta Esim Tarkastellaan alkuarvoprobleemaa /3 y ( x) = 3 y( x), y(0) = 0 Todetaan, että probleemalla on kaksi ratkaisua: vakiofunktio y ( x) 0, x ja 0, kun x < 0 derivoituva funktio y( x) = 3 x, kun x 0 Osoittautuu, että sopiva säännöllisyysominaisuus yhtälön (6) oikean puolen funktiolle yhtälön ratkaisujen olemassaolon ja yksikäsitteisyyden takaamiseksi on seuraava tavallista ankarampi jatkuvuuden muoto: n+ Funktio f : G, G, on Lipschitz-jatkuva muuttujan y suhteen joukossa G, jos f( x, y ) f( x, y ) L y y, kaikilla ( x, y),( x, y) G () Kerroin L epäyhtälössä (8) on Lipschitz-vakio Jatkossa oletamme usein ilman eri mainintaa, että Lipschitz-jatkuvuus on muuttujan y suhteen

7 7 Esim 3 Funktio f ( xy, ) = y on Lipschitz-jatkuva jokaisessa kompaktissa osajoukossa S, koska silloin f( x, y) f( x, y) = y+ y max y+ y = : L y y S Funktio ei ole kuitenkaan Lipschitz-jatkuva rajoittamattomassa kaistaleessa T = ( x, y) a x b, koska y+ y ei ole ylhäältä rajoitettu siellä { } :n Tavallisin tilanne, jossa Lipschitz-jatkuvuus on voimassa, on seuraava: Lause Oletetaan, että funktiolla f ( xy, ) on joukossa G olemassa f f osittaisderivaatta, joka on G:ssä rajoitettu: ( x, y) M ( x, y) G y x jollakin positiivisella vakiolla M Silloin f on G:ssä Lipschitz-jatkuva Todistus: Väliarvolauseen nojalla on jokaisella kiinteällä x olemassa sellainen η, että f f ( xy, ) f( xy, ) = ( x, η)( y y) My y y Lause (Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslause) n+ Olkoon f : G avoimessa joukossa G jatkuva ja muuttujan y suhteen Lipschitz-jatkuva ja ( x0, y0) G Silloin alkuarvoprobleemalla (3) y = f( xy, ), yx ( 0) = y0 on olemassa täsmälleen yksi lokaali ratkaisu Tämä lause todistetaan myöhemmin yleisemmässä muodossaan Esim 4 Yhtälöllä y = y on alkuarvon y(0) = y0, y0 > 0 toteuttava y0 yksikäsitteinen ratkaisu yx ( ) =, kun x < y x y 0 0

8 8 3 Ensimmäisen kertaluvun separoituvat yhtälöt Merkitsemme jatkossa usein tuntematonta funktiota x:llä ja muuttujaa t:llä Tällä ennakoimme differentiaalisysteemien teoriaa, jossa tuntemattomana on tilavektori x ( t) ja muuttujana aika t Tarkastellaan yhtälöä x = f( x, t), jossa oikealla puolella on erityisrakenne: () x'( t) = h( t) g( x( t)) Tämä on siis muoto, missä oikealla puolella muuttujat t ja x ovat "separoituneet" Silloin yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon (vasemmalle separoituneet x, oikealle pelkästään t:stä riippuvat) () x'( t) / g( x( t)) = h( t), josta puolittain integroituna (3) x'( t) / g( x( t)) dt = h( t) dt Tämä integrointi onnistuessaan antaa yhtälön yleisen ratkaisun (yleensä implisiittisen, mutta joskus eksplisiittisenkin) Esim x '( t) t x( t) = t (epälineaarinen, epähomogeeninen) x'( t) x'( t) x '( t) = t ( + x( t) ) = t dt = t dt + xt ( ) + xt ( ) Sijoitetaan vasempaan integraaliin u = x(), t du = x'() t dt, jolloin saadaan du 3 tdt arctan u 3 t c + u = = + 3 x( t) = tan( t + c) Siis yleinen ratkaisu on 3

9 9 Esim x '( t) = x( t)(- sin( t)) x'( t) x'( t) = sin( t) dt = ( sin( t)) dt xt () xt () puolille yhtälöä) (eli x ja t separoitiin eri ln xt ( ) t cos( t) d xt ( ) e ee xt () ce + t+ cos( t) + d d t+ cos( t) = + + = =, merk t cos( t) =, c on mielivaltainen vakio c d =± e : Klassinen merkintätapa yhtälölle () on dx (4) htgx () ( ) dt =, joka separoituna esitetään muodossa dx (5) htdt () gx ( ) = Tämä integroituna on dx (6) htdt () gx ( ) =, joka on sama kuin yhtälö (), missä vasemmanpuoleisessa integraalissa on tehty sijoitus x = xt ( ) Alkuehto x( t0) = x0 voidaan ottaa suoraan huomioon käyttämällä määrättyjä integraaleja: (7) x dx gx ( ) = x0 t0 t htdt ()

10 0 4 Eksaktit differentiaaliyhtälöt Olkoot P, Q alueessa G jatkuvia funktioita Silloin differentiaaliyhtälö () Pxy (, ) + Qxyy (, ) = 0 on eksakti, jos on olemassa sellainen jatkuvasti differentioituva funktio u, että u u () = Pxy (, ) ja = Qxy (, ) x y Tällöin yhtälöllä () on implisiittinen yleinen ratkaisu (3) uxy (, ) = c, mikä nähdään ketjusäännöllä: dc u u (4) 0= = + y = P ( x, y ) + Q ( x, y ) y dx x y Lause (Eksaktiustesti) Yhtälö () on eksakti täsmälleen silloin, kun (5) P Q = y x Todistus: Jos () on eksakti, niin ehtojen () nojalla saadaan P u u Q = = = y y x x y x Jos ehto (5) on voimassa, niin yhtälöllä x (6) uxy (, ) = Ptbdt (, ) + Qxsds (, ), ( ab, ) G a y määritelty funktio toteuttaa ehdot (): y u Q P = Pxb (, ) + ( xsds, ) = Pxb (, ) + ( xsds, ) x x y b b y Pxb (, ) + / b Pxs (, ) = Pxb (, ) + Pxy (, ) Pxb (, ) = Pxy (, ), u vastaavasti = Qxy (, ) y y b

11 Esim Yhtälö y y e + ( xe ) y = 0 on eksakti, koska y y ( e ) = ( xe ) y x Yleinen ratkaisu on siis uxy (, ) u y u y = e ja = xe x y Integroimalla ensimmäinen ehto saadaan y y u e = dx+ h( y) = e x+ h( y), joka derivoituna y:n suhteen antaa ehdon h:lle: u y y = xe + h ( y) = xe h ( y) = h( y) = y y Siis yhtälön yleinen implisiittinen ratkaisu on y uxy (, ) = xe + y= c = c, missä u määräytyy ehdoista Jos yhtälö () ei ole eksakti, se voidaan joissain tapauksissa muuntaa sellaiseksi kertomalla yhtälö integroivalla tekijällä μ ( x, y) : (7) μ( x, ypxy ) (, ) + μ( xyqxyy, ) (, ) = 0 Eksaktisuusehto (5) saa muodon (8) ( μp) ( μq) =, y x josta osittaisderivoimalla saadaan funktiota μ koskeva osittaisdifferentiaaliyhtälö (9) u u P Q ( Q = μ P ) y x x y Tämä on yleensä vaikeampi ratkaista kuin alkuperäinen yhtälö (), paitsi tietyissä erityistapauksissa

12 Lause (Integroivan tekijän menetelmä) P Q Jos funktio ϕ = riippuu vain muuttujasta x, niin funktio Q y x ( x) dx μ( x) = e ϕ on yhtälön () integroiva tekijä Vastaavasti, jos funktio P Q ψ = riippuu vain muuttujasta y, niin funktio P y x ( ydy ) e ψ μ( x) = on yhtälön () integroiva tekijä μ Todistus: Oletetaan, että μ riippuu vain muuttujasta x Silloin = 0, y Q P joten (9) saa muodon μ ( xq ) = μ( x) Siis μ on separoituvan x y differentiaaliyhtälön μ ( x) = μ( x) ϕ( x) ratkaisu, jolloin voidaan valita ( x) dx μ( x) = e ϕ Toinen tapaus menee vastaavasti Esim Differentiaaliyhtälö ( ) ( ) ( x+ y )cos x+ sin x + ysin x y = 0 ei ole eksakti: ( ( x + y ) cos x+ sin x) = 4 ycos x, ( ysin x) = ycos x, y x P Q cos = x Q y x = = ysinx sinx muuttujasta x Siis integroivaksi tekijäksi käy mutta ϕ ( 4ycosx ycosx) cos x ϕ ( x) dx dx sin x lnsin x μ( x) = e = e = e = sinx Saatu eksakti yhtälö on ( x+ y ) cos xsin x+ sin x + ysin x y = 0, ( ) ( ) riippuu vain Haettaessa ratkaisufunktiota u aloitetaan yhtälöstä u = y sin x, y joka on kahdesta mahdollisuudesta helpompi integroida Saadaan uxy (, ) = ysin x+ hx ( ), josta edelleen u = y sin xcos x+ h ( x) = ( x+ y )cos xsin x+ sin x x Tästä saadaan funktiolle h yhtälö h ( x) = xsin xcos x+ sin x,

13 3 joka integroituna antaa hx ( ) = xsin x Siis yhtälön implisiittinen ratkaisu on ( ) x y sin x c + =

14 4 5 Ensimmäisen kertaluvun lineaariset yhtälöt Käymme seuraavassa läpi yksinkertaisimmat mahdolliset differentiaaliyhtälöt, eli lineaariset ensimmäisen kertaluvun yhtälöt Osoittautuu, että ne voidaan aina ratkaista, kun hyväksytään, että ratkaisuun voi jäädä integraaleja, joita ei voida suljetussa muodossa pitemmälle integroida Todetaan ensin lineaarisuuden seurauksena homogeenisen ja epähomogeenisen yhtälön ratkaisujen yhteys: Olkoon Lx= b epähomogeeninen yhtälö ja Lx = 0 vastaava homogeeninen yhtälö, missä L on lineaarinen differentiaalioperaattori Jos x h on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu ja xp epähomogeenisen jokin yksityisratkaisu, niin xh + xp on epähomogeenisen yhtälön yksityisratkaisu Silloin nimittäin lineaarisuuden ansiosta L( xh+ xp) = Lxh+ Lxp = 0 + b = b Jos xp, x p ovat kaksi epähomogeenisen yhtälön yksityisratkaisua, niin niiden erotus toteuttaa homogeenisen yhtälön: L( xp x p) = Lxp Lx p = b b = 0, joten erotus saadaan homogeenisen yhtälön yleisestä ratkaisusta joillakin kertoimien arvoilla Kohdissa 5-53 lineaarisena operaattorina on Lx= x ax

15 5 5 Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen homogeeninen vakiokertoiminen yhtälö: () x'( t) ax( t) = 0 eli x'( t) = ax( t), joka voidaan esittää separoituna muodossa ( x( t) 0 ) () x'( t) = a xt () Kun tämä integroidaan puolittain, saadaan ln x( t) = at + d, missä d on integroimisvakio Ottamalla tästä edelleen eksponenttifunktio exp puolittain tullaan muotoon at d at d x( t) = exp( at+ d) = e + = e e Koska jokainen nollasta eroava luku c on esitettävissä lausekkeena ±e d jollakin d, saadaan itseisarvomerkit poistettua Koska funktio x( t) 0 selvästi on myös yhtälön () ratkaisu, on yleinen ratkaisu at (3) x( t) = e c missä c on mielivaltainen vakio Alkuehdon x(0)=x 0 toteuttavassa ratkaisussa on silloin c=x 0 : (4) x() t = e at x0

16 6 5 Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen epähomogeeninen vakiokertoiminen yhtälö: (5) x'( t) ax( t) = b( t) eli x'( t) = ax( t) + b( t) Yhtälön x'(t)=ax(t) eli homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu on edellisen nojalla (6) x h (t)=e at c Epähomogeenisen yhtälön x'(t)=ax(t)+b(t) yksityisratkaisu saadaan ns vakion varioinnilla eli etsimällä ratkaisua muodossa (7) x(t)=e at c(t) Silloin saadaan derivoimalla ja sijoittamalla epähomogeeniseen yhtälöön: josta sievenee yhtälö ae at c(t)+e at c'(t)=ae at c(t) + b(t) c'(t)=e -at b(t), eli eräs yksityisratkaisu on at at (8) x () t = e e b() t dt p Silloin yleinen ratkaisu epähomogeeniselle yhtälölle on homogeenisen yhtälön yleinen ratkaisu plus epähomogeenisen yksityisratkaisu: at at at (9) x() t = e c+ e e b() t dt at Todetaan, että ratkaisussa esiintyvä määräämätön integraali e b( t) dt voidaan esittää myös määrättynä integraalina ratkaisu voidaan kirjoittaa muotoon t t0 e as b() s ds Silloin (0) t t0 e at ( s) at x() t = e c + b() s ds, ( t 0 mielivaltainen)

17 7 Alkuehdon x(0)=x 0 toteuttava ratkaisu on silloin () x(t)=e at at ( s) x 0 + e b() s ds t 0

18 8 53 Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen homogeeninen yhtälö: () x'( t) a( t) x( t) = 0 eli x'( t) = a( t) x( t) Kyseessä on separoituva yhtälö Siis kuten kohdassa 5, yhtälö voidaan esittää muodossa ( ( ) 0 x t ) (3) x'( t) = at () xt () Kun tämä integroidaan puolittain, saadaan ln x( t) = a( t) dt + d, missä d on integroimisvakio Ottamalla tästä edelleen eksponenttifunktio exp puolittain tullaan muotoon ( ) exp( ( ) ) + d a() t dt a() t dt x t = a t dt+ d = e = e e Tästä saadaan yleinen ratkaisu atdt () (4) x() t = e c missä c on mielivaltainen vakio Alkuehdon x(0)=x 0 toteuttavassa ratkaisussa on silloin c=x 0 : t asds () xt () e x (5) = 0 0 d

19 9 54 Ensimmäisen kertaluvun lineaarinen epähomogeeninen yhtälö: (6) x'( t) a( t) x( t) = b( t) eli x'( t) = a( t) x( t) + b( t) Ratkaisun johto menee vakioiden varioinnilla lähes samalla tavalla, kuin kohdassa 5, kun termi at korvataan integraalilla atdt () Mutta johdetaan ratkaisu vaihteeksi toisella tavalla, integroivan tekijän menetelmällä Kun yhtälö (6) kirjoitetaan muotoon atx () bt () + x = 0, (7) ( ) nähdään, ettei yhtälö ole eksakti: x () () = (), = 0 t ( atx bt) at ( ) Funktio ϕ = ( at () 0 ) = at () on pelkästään t:n funktio, joten atdt () integroivaksi tekijäksi käy μ() t = e Kun tällä kerrotaan yhtälö (7), saadaan siis eksakti differentiaaliyhtälö atdt () atdt () atx () bt () e + e x = 0 (8) ( ) Haetaan funktiota utx (, ), jolle u atdt u = ( at ( ) bt ( )) e, = e t x Jälkimmäisestä yhtälöstä saadaan atdt () e utx (, ) = x, josta edelleen osittaisderivoimalla () atdt () u t e atdt () atdt () x( a( t)) h( t) = ( a( t) b( t)) e = + atdt () Siis h () t = b() t e, joten ratkaisu on ht () = bte () atdt () dt Implisiittinen

20 0 atdt () atdt () x = utx (, ) = e bte () dt c, josta ratkaisemalla x saadaan yleiseksi ratkaisuksi (9) atdt () atdt () atdt () x() t = e c+ e e b() t dt Tälle saadaan ekvivalentti esitysmuoto määrättyinä integraaleina t t s asds ( ) asds ( ) t audu ( ) t0 t0 to (0) x() t = e c+ e e b() s ds t0 Silloin alkuarvon x( t0) = x0 toteuttava ratkaisu saadaan vakion arvolla c= x 0 π π Esim 3 x '( t) + (tan t) x( t) = cos t, < t < sin t Koska atdt ( ) = ( tan tdt ) = dt= ln(cos t) cost kaavan (9) mukainen yleinen ratkaisu on, niin e a() t dt = cost, joten x( t) = (cos t) c+ cost cos tdt = (cos t) c+ costsin t cost Jos tehtävä ratkaistaan suoraan integroivan tekijän menetelmällä (nojautumatta kaavaan (9)), todetaan, että integroiva tekijä on sin t atdt () ( tan t) dt dt cost ln cost e = e = e = e = /cost Siis eksakti differentiaaliyhtälö on sin t cost x x 0 cos t) + = cost Haettavana on funktio utx (, ), jolle u sin t u = x cos t, = t cos t x cost x Ensimmäisestä ehdosta saadaan utx (, ) = + sin t+ hx ( ), josta osittaisderivoinnilla cost u = + h ( x) = ja edelleen hx ( ) = c Siis implisiittinen ratkaisu on x cost cost x utx (, ) = sint= c, josta x( t) = ccos t+ cos tsin t cost

21 6 Separoituvaksi palautuvia differentiaaliyhtälöitä Laajennamme vähitellen käsiteltävien differentiaaliyhtälöiden kokoelmaa Ensiksi käsittelemme sellaisia, jotka sopivalla muunnoksella saadaan separoituviksi 6 Yhtälöt muotoa y = f( ax+ by+ c) Tekemällä sijoitus vx ( ) = ax+ byx ( ) + csaadaan derivoimalla v = a+ by, josta sijoittamalla y seuraa separoituva yhtälö v:lle v = a+ bf( v) Jos tästä saadaan v, niin yx ( ) = ( vx ( ) ax c), kun b 0 b Esim Tarkastellaan yhtälöä y = ( x+ y+ 3) Valitsemalla v = x+ y+ 3 ja dv v = + y, saadaan yhtälö = + v Se on separoituna dx dv = dx + v, josta x = arctan v+ c, joten v = tan( x c) Siis y = tan( x c) x 3

22 6 Homogeenit yhtälöt Jos yhtälön y = f( x, y) oikean puolen funktio riippuu vain suhteesta y, yhtälöä sanotaan homogeeniksi (Termiä ei pidä sekoittaa lineaaristen x yhtälöiden yhteydessä esiintyviin homogeenisiin yhtälöihin Ly = 0) Yhtälö voidaan silloin kirjoittaa muotoon y () y = F( ) x Homogeenit yhtälöt voidaan palauttaa separoituviksi seuraavasti: yx ( ) Sijoitetaan zx ( ) =, jolloin yx ( ) = xzx ( ) Yhtälö () muuntuu silloin x muotoon () zx ( ) + xz ( x) = Fzx ( ( )) eli (3) z = ( F( z) z), x joka on separoituva y + x + y Esim Yhtälö y = on homogeeni, koska se on muotoa y = x x y y x y + z + z Sijoituksella z = saadaan uusi yhtälö z = z = x, joka x z x z separoituna antaa z dz dx = + z eli arctan( z) ln( + z ) + ln c = ln x x Tästä saadaan yhtälön implisiittinen ratkaisu arctan y ln x y = x c+

23 3 7 Lineaarisiin palautuvia kertaluvun yhtälöitä Joitakin epälineaarisia ensimmäisen kertaluvun yhtälöitä voidaan sopivalla sijoituksella muuntaa lineaarisiksi Tarkastelemme ohessa paria klassista tapausta 7 Bernoullin differentiaaliyhtälö () y + P( x) y= Q( x) y r Oletetaan, että r, r 0, r (Tapauksissa r = 0 tai r = yhtälö on r lineaarinen) Valitsemalla uudeksi muuttujaksi v= y saadaan v r y=, josta r y = v rv r Kun tämä sijoitetaan yhtälöön (), saadaan r r v v + P ( x ) v r r r r = Qxv ( ) josta edelleen sieventämällä v + ( r) P( x) v= rqx () ( ) ( ), joka on lineaarinen, 4 Esim Tehdään yhtälöön xy + 6y = 3xy sijoitus jolloin yhtälö muuttuu muotoon v v = x Tämän ratkaisu on dx dx dx x x x vx ( ) = e c+ e e ( ) dx= cx + x yx ( ) = 3 ( x + cx ) v y, y v, y 3v v = = =,, josta saadaan lopulta

24 4 7 Riccatin yhtälö (3) y = A( x) + B( x) y+ C( x) y Jos yhtälön (3) jokin yksityisratkaisu y 0 tunnetaan, niin yhtälö saadaan ensin palautettua Bernoullin yhtälöksi ja sitä kautta lineaariseksi Tarvittava sijoitus on y= y0 + z, jolloin y = y 0 + z ja yhtälö (3) saa muodon y 0 + z = A( x) + B( x)( y0+ z) + C( x)( y0 + y0z+ z ) Koska y 0 on yhtälön (3) yksityisratkaisu, tämä sievenee muotoon z = B( x) z+ C( x) y0z+ C( x) z, joka on Bernoullin yhtälö

25 5 8 Ensimmäisen kertaluvun yhtälöiden geometriaa ja grafiikkaa Joukko C on (taso)käyrä, jos on olemassa sellainen jatkuva funktio u : I, että C = u ( I), jollakin välillä I Funktio u on silloin käyrän parametriesitys Jos u on differentioituva ja x () t () u = 0, y () t niin u ( t) on käyrän tangentti Käyrä C on säännöllinen, jos parametriesityksen määrittelyväli I on avoin, parametriesitys on jatkuvasti differentioituva ja u () t 0, t I Funktiota u sanotaan silloin säännölliseksi parametriesitykseksi Esimerkkinä käyrästä on reaalifunktion kuvaaja Olkoon g: I reaaliarvoinen reaalimuuttujan jatkuvasti derivoituva funktio avoimella välillä I Silloin sen kuvaaja () C = {( x, g( x)) x I} on säännöllinen käyrä, jonka parametriesitys on (3) u: I, u( x) = ( x, g( x)) Tangenttivektori on silloin (4) u ( x) = g ( x) ja pisteen ( x, gx ( )) kautta kulkevan tangenttisuoran kulmakerroin on siis g ( x), kuten derivaatan määritelmästä jo tiedetään

26 6 Käyrä voidaan määritellä myös implisiittisesti, esimerkiksi funktion tasaarvokäyränä: hxy (, ) = a, missä a on vakio Tällöin pisteessä ( x, y ) oleva normaalivektori on hx( x, y) hxy (, ) =, hy( x, y) mikäli h on differentioituva Tangenttivektori on tälle kohtisuorassa, joten hy( x, y) sen suunta on hx( x, y) Tarkastellaan nyt eksplisiittistä differentiaaliyhtälöä (5) y = f( x, y) ja oletetaan, että Luvun Olemassaolo- ja yksikäsitteisyyslauseen oletukset ovat voimassa Silloin kun funktio ϕ on yhtälön (5) jokin ratkaisufunktio välillä I, sanotaan käyrää C = {( x, ϕ( x)) x I} yhtälön (erääksi) integraalikäyräksi eli ratkaisukäyräksi Tällöin käyrän C pisteessä ( x, y), y= ϕ( x), käyrän tangenttivektori on ja tangenttisuoran kulmakerroin f ( xy, ) f ( xy, ) Pisteeseen ( x, y ) piirretty lyhyt vektorin suuntainen jana on f ( xy, ) suuntaelementti (viivaelementti) ja niistä syntyy funktion f määrittelyalueeseen suuntaelementtikenttä (suuntakenttä, slope field) Kun samansuuntaiset suuntaelementit yhdistetään, saadaan isokliini Isokliinit ovat siis käyriä f ( xy, ) = keli funktion f tasa-arvokäyriä, joiden kaikissa pisteissä suuntaelementit ovat vektorin suuntaisia k Kun suuntaelementtikenttä on visualisoitu, integraalikäyrät saadaan sovittamalla ne suuntaelementtien väliin niin, että suuntaelementtijanat ovat käyrien tangentteja (Tämä ole ennen tietokoneiden aikaa käytetty graafinen ratkaisukeino)

27 7 Differentiaaliyhtälöä (5) voidaan ajatella myös systeeminä, jolloin tuntematonta tilaa merkitään tavallisesti x( t ) :llä, missä t on aika Silloin yhtälö (5) kirjoitetaan muotoon (6) x = f( t, x) Systeemin tasapainopisteitä ovat ne tilat, joissa x ( t) 0 Jos systeemi on autonominen eli muotoa (7) x = f( x), niin tasapainopisteet löytyvät yhtälön (8) f ( x ) = 0 ratkaisuista Tilat x( t ) ovat faasiavaruuden pisteitä Systeemi (6) on yksiulotteinen, joten faasiavaruus on yksiulotteinen faasisuora Graafisessa esityksessä faasikuvaan merkitään tasapainopisteet lihavoituina pisteinä, ja nuolet kuvaavat systeemin etenemistä tasapainopisteeseen päin tai siitä pois Oheisessa kuvassa on ylempänä differentiaaliyhtälön y = x y suuntaelementtikenttä ja alkuarvon y( 4) = 4 toteuttavan yksityisratkaisun integraalikäyrä Alempana on systeemin x = x( x) suuntaelementtikenttä, sitten 8 yksityisratkaisun integraalikäyrät ja viimeisenä faasikuva

28

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa

Lisätiedot

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä

4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä 1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.

Lisätiedot

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3

BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.

2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre. 2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.

Lisätiedot

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto

Matematiikka B3 - Avoin yliopisto 2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli

Lisätiedot

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).

Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). 6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja

Lisätiedot

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava

Kompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että

Lisätiedot

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt

MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista

Lisätiedot

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )

13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y ) MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y

Lisätiedot

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T

3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T 3 TOISEN KERTALUVUN LINEAARISET DY:T Huomautus epälineaarisista. kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Epälineaarisen DY:n ratkaisemiseen ei ole yleismenetelmää. Seuraavat erikoistapaukset voidaan ratkaista

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset

6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin

Lisätiedot

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista

9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista 29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 17. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................

Lisätiedot

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt

1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT

SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen

Lisätiedot

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

10. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 37. Toisen kertaluvun lineaariset differentiaalihtälöt Tarkastelemme muotoa () ( x) + a( x) ( x) + a( x) ( x) = b( x) olevia htälöitä, missä kerroinfunktiot ja oikea puoli ovat välillä I jatkuvia. Edellisen

Lisätiedot

5 Differentiaaliyhtälöryhmät

5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33

Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33 Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen

Lisätiedot

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.

Luku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia. 1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa

Lisätiedot

Dierentiaaliyhtälöistä

Dierentiaaliyhtälöistä Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 14. helmikuuta 2011 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun olemassaolosta ja yksikäsitteisyydestä...........

Lisätiedot

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa

Normaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu

Lisätiedot

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.

2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2. 2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 5.4.06 5. laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut. Etsitään homogeenisen vakiokertoimisen lineaarisen differentiaaliyhtälön kaikki ratkaisut (reaalisessa muodossa). y (5) +4y (4)

Lisätiedot

dy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )).

dy dx = y x + 1 dy dx = u+xdu dx, u = y/x, u+x du dx = u+ 1 sinu eli du dx = 1 1 Erotetaan muuttujat ja integroidaan puolittain: y = xln(ln(cx 2 )). Harjoitus Tehtävä 5. d) Jakamalla annettu yhtälö puolittain xsin(y/x):llä saadaan Sijoitetaan taas jolloin saadaan dy dx = y x + 1 sin ( y). u = y/x, x dy dx = u+xdu dx, u+x du dx = u+ 1 sinu du dx = 1

Lisätiedot

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus

Vektoriarvoiset funktiot Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 8. Vektoriarvoiset funktiot 8.1. Vektoriarvoisen funktion jatkuvuus ja derivoituvuus 320. Olkoon u reaalimuuttujan vektoriarvoinen funktio R R n ja lim t a u(t) = b. Todista: lim t a u(t) = b. 321. Olkoon

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3

Differentiaaliyhtälöt I, kevät 2017 Harjoitus 3 Differentiaaliyhtälöt I, kevät 07 Harjoitus 3 Heikki Korpela. helmikuuta 07 Tehtävä. Ratkaise alkuarvo-ongelmat a) y + 4y e x = 0, y0) = 4 3 b) Vastaus: xy + y = x 3, y) =.. a) Valitaan integroivaksi tekijäksi

Lisätiedot

Tutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3

Tutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa: x 2 + y 2, d) y 2. x + y, c) x 3 2. Reaaliarvoiset funktiot 2.1. Jatkuvuus 23. Tutki funktion f (x,y) = xy x 2 + y 2 raja-arvoa, kun piste (x,y) lähestyy origoa pitkin seuraavia xy-tason käyriä: a) y = ax, b) y = ax 2, c) y 2 = ax. Onko

Lisätiedot

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3.

a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. 8 3 + 4 2 0 = 16 3 = 3 1 3. Integraalilaskenta. a) Mikä on integraalifunktio ja miten derivaatta liittyy siihen? Anna esimerkki. b) Mitä määrätty integraali tietyllä välillä x tarkoittaa? Vihje: * Integraali * Määrätyn integraalin

Lisätiedot

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4 Korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 4.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Homogeeninen yhtälö on muotoa F(x, y,, y (n) ) = 0. (1) Yhtälö on lineaarinen, jos se voidaan

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 6. viikolle / 16. 18.5. Lineaariset differentiaaliyhtälöt, homogeeniset differentiaaliyhtälöt Tehtävä 1: a) Määritä differentiaaliyhtälön y 3y = 14e 4x

Lisätiedot

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön

Osoita, että eksponenttifunktio ja logaritmifunktio ovat differentiaaliyhtälön 3. Lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1. Lineaariyhtälöiden teoriaa 99. Onko differentiaaliyhtälö y + x(y y )=y + 1 a) lineaarinen, b) homogeeninen? 100. Olkoot funktiot f (x) ja g(x) jatkuvasti derivoituvia

Lisätiedot

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä

Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä 1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 29 Vakiokertoiminen lineaarinen normaaliryhmä Todetaan ensin ilman todistuksia (tulos on syvällinen) ratkaisujen

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT

5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi A. Lepistö alepisto@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2016 M. Hirvensalo V. Junnila A. Lepistö

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, 009-010 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 7 harjoitus 1 Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemissäteet a) k k x 5)k b) k=1 k x 5)k = k k 1) k ) 1) Suppenemissäteen R käänteisarvo

Lisätiedot

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13

Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13 4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt

Lisätiedot

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt

Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Osa 11. Differen-aaliyhtälöt Differen-aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk-on derivaa

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 1: Parametrisoidut käyrät ja kaarenpituus Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1 / 18

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.

6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. 1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun

Lisätiedot

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x

y (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0

a 1 y 1 (x) + a 2 y 2 (x) = 0 vain jos a 1 = a 2 = 0 6. Lineaariset toisen kertaluvun yhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt ovat tuntuvasti hankalampia ratkaista kuin ensimmäinen. Käsittelemmekin tässä vain tärkeintä erikoistapausta, toisen kertaluvun

Lisätiedot

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi

MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi MS-A0202 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (SCI) Luento 4: Ketjusäännöt ja lineaarinen approksimointi Antti Rasila Aalto-yliopisto Syksy 2015 Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0202 Syksy 2015 1

Lisätiedot

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa

Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Luento 9: Yhtälörajoitukset optimoinnissa Lagrangen kerroin Oletetaan aluksi, että f, g : R R. Merkitään (x 1, x ) := (x, y) ja johdetaan Lagrangen kerroin λ tehtävälle min f(x, y) s.t. g(x, y) = 0 Olkoon

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 9 1 Implisiittinen derivointi Tarkastellaan nyt yhtälöä F(x, y) = c, jossa x ja y ovat muuttujia ja c on vakio Esimerkki tällaisesta yhtälöstä on x 2 y 5 + 5xy = 14

Lisätiedot

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa

12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa 179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on

Oletetaan, että funktio f on määritelty jollakin välillä ]x 0 δ, x 0 + δ[. Sen derivaatta pisteessä x 0 on Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: geometrinen (käyrän tangentti sekanttien raja-asentona) fysikaalinen (ajasta riippuvan funktion hetkellinen muutosnopeus) 1 / 19 Derivaatan määritelmä Määritelmä

Lisätiedot

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:

Harjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien

Lisätiedot

Mat Matematiikan peruskurssi K2

Mat Matematiikan peruskurssi K2 Mat-.3 Matematiikan peruskurssi K Heikkinen/Tikanmäki Kolmas välikoe 6.5. Kokeessa saa käyttää ylioppilaskirjoituksiin hyväksyttyä laskinta. Sivun kääntöpuolelta löytyy integrointikaavoja.. Olkoon F(x,

Lisätiedot

2. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä. y = 2xy, Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä käyristä on kyse?

2. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä. y = 2xy, Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä käyristä on kyse? 2. Tavallisen differentiaaliyhtälön yleisiä ratkaisumenetelmiä 2.1. Ensimmäisen kertaluvun yhtälöt 30. Ratkaise alkuarvotehtävä y = 2xy, y(0)=1. Piirrä muutama yleisen ratkaisun kuvaaja. Minkä nimisistä

Lisätiedot

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä?

läheisyydessä. Piirrä funktio f ja nämä approksimaatiot samaan kuvaan. Näyttääkö järkeenkäyvältä? BM20A5840 - Usean muuttujan funktiot ja sarjat Harjoitus 1, Kevät 2017 1. Tunnemme vektorit a = [ 1 2 3 ] ja b = [ 2 1 2 ]. Laske (i) kummankin vektorin pituus (eli itseisarvo, eli normi); (ii) vektorien

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio.

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Riikka Korte Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto

Lisätiedot

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1

y x1 σ t 1 = c y x 1 σ t 1 = y x 2 σ t 2 y x 2 x 1 y = σ(t 2 t 1 ) x 2 x 1 y t 2 t 1 1. Tarkastellaan funktiota missä σ C ja y (y 1,..., y n ) R n. u : R n R C, u(x, t) e i(y x σt), (a) Miksi funktiota u(x, t) voidaan kutsua tasoaalloksi, jonka aaltorintama on kohtisuorassa vektorin y

Lisätiedot

Matematiikka B1 - TUDI

Matematiikka B1 - TUDI Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Matematiikka B1 - TUDI Miika Tolonen 3. syyskuuta 2012 Miika Tolonen Matematiikka B2 - TUDI 1 Osittaisderivointi Osittaisderivaatan sovellukset Kurssin

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt

Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöksi (lyh. DY) sanotaan yhtälöä, jossa on tuntemattomana jokin funktio y(x) ja jossa esiintyy sen derivaattoja y, y, y, y (4),... Esimerkiksi y + y = x, y y + y

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt

3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3 Toisen kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt 3.1 Homogeeniset lineaariset differentiaaliyhtälöt Toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö on lineaarinen, jos se voidaan kirjoittaa muotoon Jos r(x)

Lisätiedot

Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d

Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia, 2. harjoitus, kevät Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d Differentiaaliyhtälöt I Ratkaisuehdotuksia,. harjoitus, kevät 016 1. Etsi seuraavien yhtälöiden yleiset ratkaisut (Tässä = d dx ): (a) y + xy = xe x, (b) (1 + x ) y xy = (1 + x ), (c) y sin x y = 1 cos

Lisätiedot

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause

3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause 3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1

Lisätiedot

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö

Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y

Lisätiedot

12. Differentiaaliyhtälöt

12. Differentiaaliyhtälöt 1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen

Lisätiedot

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2

Derivaatat lasketaan komponenteittain, esimerkiksi E 1 E 2 MS-C50 Osittaisdifferentiaaliyhtälöt Harjoitukset syksy 07. Oletetaan että vektorikenttä E E E E : R R on kaksi kertaa jatkuvasti derivoituva E C R. Näytä että E E. Derivaatat lasketaan komponenteittain

Lisätiedot

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön

4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Tentti ja välikokeiden uusinta 8..206 Gripenberg, Nieminen, Ojanen, Tiilikainen, Weckman Kirjoita jokaiseen koepaperiin nimesi, opiskelijanumerosi

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja

Lisätiedot

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta

MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta MS-A0205/MS-A0206 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 Luento 3: Osittaisderivaatta Jarmo Malinen Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 1 Aalto-yliopisto Kevät 2016 1 Perustuu Antti Rasilan luentomonisteeseen

Lisätiedot

Matematiikka B1 - avoin yliopisto

Matematiikka B1 - avoin yliopisto 28. elokuuta 2012 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Nettitehtävät Kurssin sisältö 1/2 Osittaisderivointi Usean muuttujan funktiot Raja-arvot Osittaisderivaatta Pinnan

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

Peruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia?

Peruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia? Peruskäsitteet 1. Mitkä ovat seuraavien funktiota y = y(x) koskevien differentiaaliyhtälöiden kertaluvut? Ovatko yhtälöt normaalimuotoisia? a) xy + 2y sinx + y = e x b) y + sin(x + y) = 0 c) y = xy y y

Lisätiedot

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16

Antti Rasila. Kevät Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto. Antti Rasila (Aalto-yliopisto) MS-A0204 Kevät / 16 MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 5: Gradientti ja suunnattu derivaatta. Vektoriarvoiset funktiot. Taylor-approksimaatio. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x

Selvästi. F (a) F (y) < r x d aina, kun a y < δ. Kolmioepäyhtälön nojalla x F (y) x F (a) + F (a) F (y) < d + r x d = r x Seuraavaksi tarkastellaan C 1 -sileiden pintojen eräitä ominaisuuksia. Lemma 2.7.1. Olkoon S R m sellainen C 1 -sileä pinta, että S on C 1 -funktion F : R m R eräs tasa-arvojoukko. Tällöin S on avaruuden

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Derivaatta 1.1 Derivaatta Erilaisia lähestymistapoja: I geometrinen

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 5. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) 5 + 5 +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c)

Lisätiedot

Luento 8: Epälineaarinen optimointi

Luento 8: Epälineaarinen optimointi Luento 8: Epälineaarinen optimointi Vektoriavaruus R n R n on kaikkien n-jonojen x := (x,..., x n ) joukko. Siis R n := Määritellään nollavektori 0 = (0,..., 0). Reaalisten m n-matriisien joukkoa merkitään

Lisätiedot

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1.

w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Kotitehtävät, tammikuu 2011 Vaikeampi sarja 1. Ratkaise yhtälöryhmä w + x + y + z =4, wx + wy + wz + xy + xz + yz =2, wxy + wxz + wyz + xyz = 4, wxyz = 1. Ratkaisu. Yhtälöryhmän ratkaisut (w, x, y, z)

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D

Insinöörimatematiikka D Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot

Lisätiedot

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja

l 1 2l + 1, c) 100 l=0 AB 3AC ja AB AC sekä vektoreiden AB ja MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 7. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + 5 + +, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + + 5 + + 99, b) 5 + 4 65 + + n 5 n, c) +

Lisätiedot

BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi

BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Jouni Sampo 30. maaliskuuta 2015 Sisältö 1 Johdanto 2 1.1 Peruskäsitteitä.................................... 2 1.2 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisuista.........................

Lisätiedot

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y =

2 dy dx 1. x = y2 e x2 2 1 y 2 dy = e x2 xdx. 2 y 1 1. = ex2 2 +C 2 1. y = BM20A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 2, Kevät 207 Päivityksiä: Tehtävän 4b tehtävänanto korjattu ja vastauksia lisätty.. Ratkaise y, kun 2y x = y 2 e x2. Jos y () = 0 niin mikä on ratkaisu

Lisätiedot

2 Johdanto Tassa esityksessa funktiot ovat - ellei muuta sanota - yhden tai useamman reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita. Funktion kasitteen tas

2 Johdanto Tassa esityksessa funktiot ovat - ellei muuta sanota - yhden tai useamman reaalimuuttujan reaaliarvoisia funktioita. Funktion kasitteen tas Dierentiaaliyhtalot/217 I. Ensimmaisen kertaluvun DY I.1. Lineaarinen DY I.2. Separoituva DY I.3. Eksakti DY I.4. Muita DY:ita I.5. Ratkaisun olemassaolo II. Toisen kertaluvun lineaarinen DY II.1. Perusjarjestelma

Lisätiedot

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1

Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio. TKK (c) Ilkka Mellin (2005) 1 Johdatus todennäköisyyslaskentaan Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio TKK (c) Ilkka Mellin (5) 1 Momenttiemäfunktio ja karakteristinen funktio Momenttiemäfunktio Diskreettien jakaumien momenttiemäfunktioita

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I Usean muuttujan funktiot MS-A7 Differentiaali- ja integraalilaskenta (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto Raja-arvot 3 Jatkuvat funktiot 4 Osittaisderivaatat 5 Derivaatta eli gradientti.

Lisätiedot

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2

min x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2 TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2,

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy Millä reaaliluvun x arvoilla. 3 4 x 2, MATEMATIIKAN PERUSKURSSI I Harjoitustehtäviä syksy 6. Millä reaaliluvun arvoilla a) 9 =, b) + + + 4, e) 5?. Kirjoita Σ-merkkiä käyttäen summat 4, a) + 4 + 6 + +, b) 8 + 4 6 + + n n, c) + + +

Lisätiedot

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta

MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 4: Derivaatta Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos 21.9.2016 Pekka Alestalo, Jarmo

Lisätiedot

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (Chem) Esimerkkejä ym., osa I G. Gripenberg Aalto-yliopisto 21. tammikuuta 2016 G. Gripenberg (Aalto-yliopisto) MS-A0207 Differentiaali- ja integraalilaskenta

Lisätiedot

Derivointiesimerkkejä 2

Derivointiesimerkkejä 2 Derivointiesimerkkejä 2 (2.10.2008 versio 2.0) Parametrimuotoisen funktion erivointi Esimerkki 1 Kappale kulkee pitkin rataa { x(t) = sin 2 t y(t) = cos t. Määritetään raan suuntakulma positiiviseen x-akseliin

Lisätiedot

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut

Insinöörimatematiikka D, laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Insinöörimatematiikka D, 406 6 laskuharjoituksien esimerkkiratkaisut Ratkaistaan differentiaaliyhtälö y = y () Tässä = d dy eli kyseessä on lineaarinen kertaluvun differentiaaliyhtälö: Yhtälön () homogenisoidulle

Lisätiedot

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon

Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä Olkoot γ : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon Polkuintegraali yleistyy helposti paloitain C 1 -poluille. Määritelmä 4.1.3. Olkoot : [a, b] R m paloittain C 1 -polku välin [a, b] jaon P = {a = t 1 < < t k = b} ja joukko D R m sellainen, että ([a, b])

Lisätiedot