Numeeriset menetelmät
|
|
- Tero Pesonen
- 5 vuotta sitten
- Katselukertoja:
Transkriptio
1 Numeeriset menetelmät Luento 12 To Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 1/38 p. 1/38
2 Tavalliset differentiaaliyhtälöt Yhtälöissä tuntematon funktio Tavalliset = yhtälöissä derivaattoja, mutta ei osittaisderivaattoja Kertaluku = yhtälöissä esiintyvän korkeimman derivaatan kertaluku Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 2/38 p. 2/38
3 Tavalliset differentiaaliyhtälöt t R riippumaton muuttuja y : R R tuntematon funktio f : R 2 R annettu oikean puolen funktio Ensimmäisen kertaluvun tavallinen differentiaaliyhtälö: y (t) = f(t, y(t)) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 3/38 p. 3/38
4 Tavalliset differentiaaliyhtälöt Yleensä yhtälöllä on ääretön määrä ratkaisuja Yksikäsitteinen ratkaisu kiinnitetään alkuehdolla y(a) = ŷ 0 ŷ 0 y(t) a t Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 4/38 p. 4/38
5 Differentiaaliyhtälöryhmät Yleisemmin: t R riippumaton muuttuja y 1, y 2,..., y m : R R tuntemattomat funktiot f 1, f 2,..., f m : R m+1 R annetut oikean puolen funktiot Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 5/38 p. 5/38
6 Differentiaaliyhtälöryhmät y 1(t) = f 1 (t, y 1 (t), y 2 (t),..., y m (t)) y 2(t) = f 2 (t, y 1 (t), y 2 (t),..., y m (t)). y m(t) = f m (t, y 1 (t), y 2 (t),..., y m (t)) y 1 (a) = ŷ1 0 y 2 (a) = ŷ2 0. y m (a) = ŷ 0 m Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 6/38 p. 6/38
7 Differentiaaliyhtälöryhmät y = (y 1, y 2,..., y m ) f = (f 1, f 2,..., f m ) ŷ 0 = (ŷ1, 0 ŷ2, 0..., ŷm) 0 { y (t) = f(t,y(t)) y(a) = ŷ 0 Ei oleellista eroa tapausten m = 1 ja m > 1 välillä Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 7/38 p. 7/38
8 Alkuarvotehtävän ratkaisu { y (t) = f(t, y(t)) y(a) = ŷ 0 Lause: Oletetaan, että alueessa D R m+1 funktio f on jatkuva ja f(t, y) f(t,ȳ) L y ȳ, L 0 Olkoon (a, ŷ 0 ) D annettu Alkuarvotehtävällä on yksikäsitteinen, jatkuvasti differentioituva ratkaisu Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 8/38 p. 8/38
9 Korkeampi kertaluku Korkeamman kertaluvun tavalliset differentiaaliyhtälöt voidaan aina muuntaa ensimmäisen kertaluvun yhtälöryhmiksi Esimerkiksi m:nnen kertaluvun yhtälö y (m) (t) = f(t, y(t), y (t), y (t),..., y (m 1) (t)) Sijoitetaan y 1 = y, y 2 = y,..., y m = y (m 1) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 9/38 p. 9/38
10 Korkeampi kertaluku y 1(t) = y 2 (t) = f 1 y 2(t) = y 3 (t) = f 2. y m 1(t) = y m (t) = f m 1 y m(t) = f(t, y 1 (t), y 2 (t),..., y m (t)) = f m (Alkuehdot vastaavasti) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 10/38 p. 10/38
11 Numeerinen ratkaiseminen Pisteistö: t j = a + jh, j = 0, 1, 2,..., missä h sopiva askelpituus Merkitään: y j = y(t j ) ja f j = f(t j, y j ) Määrätään y:n likiarvot y j Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 11/38 p. 11/38
12 Rungen ja Kuttan menetelmät Tunnetaan y n, lasketaan y n+1 : y n+1 = y n + r i=1 w i k i k 1 = hf(t n, y n ) k i = hf(t n + c i h, y n + i 1 j=1 a ij k j ), 1 < i r missä r, w i, c i ja a ij ovat tunnettuja vakioita Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 12/38 p. 12/38
13 Menetelmän kertaluku Vakiot valitaan siten, että yhden askeleen paikallinen menetelmävirhe on O(h p+1 ) Pisteestä t 0 = a pisteeseen t N = b tarvitaan N = (b a)/h askelta Kokonaisvirhe välillä [a, b] : (b a) h Ch p+1 = (a b)c h p Menetelmän kertaluku on p Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 13/38 p. 13/38
14 Rungen ja Kuttan menetelmät Plussaa Yksinkertaisia ja helppoja ohjelmoida Yksiaskelmenetelmiä: riittää yksi alkuarvo y 0 = y(a) Miinusta Funktion f arvoja joudutaan laskemaan myös pisteiden t j välissä Funktion arvojen laskuja tarvitaan paljon Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 14/38 p. 14/38
15 Neljännen kertaluvun menetelmä Klassinen neljännen kertaluvun Rungen ja Kuttan menetelmä: k 1 = hf(t n, y n ) k 2 = hf(t n + h/2, y n + k 1 /2) k 3 = hf(t n + h/2, y n + k 2 /2) k 4 = hf(t n + h, y n + k 3 ) y n+1 = y n + k k k k 4 6 Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 15/38 p. 15/38
16 Askelpituuden säätäminen y(t) a b y tasainen voidaan käyttää pitkää h:ta y ei tasainen tarvitaan lyhyt h Askelpituus kannattaa valita adaptiivisesti Arvioidaan paikallista menetelmävirhettä Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 16/38 p. 16/38
17 Paikallinen menetelmävirhe Yhden askeleen virhe: T(t, h) Ch p+1 Oletetaan, että y n on tarkka Lasketaan y n+1 = y (h) n+1 askelpituudella h : y(t n+1 ) y (h) n+1 Chp+1 Lasketaan y n+1 = y (h/2) n+1 suorittamalla kaksi askelta askelpituudella h/2 : ( y(t n+1 ) y (h/2) h ) p+1 n+1 2C 1 = 2 2 pchp+1 Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 17/38 p. 17/38
18 Paikallinen menetelmävirhe y(t n+1 ) y (h) n+1 Chp+1 y(t n+1 ) y (h/2) n pchp+1 Vähennetään toisistaan y (h/2) n+1 y(h) n+1 (1 1 2 p)chp+1 T(t n, h) Ch p+1 y(h/2) n+1 y(h) n p Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 18/38 p. 18/38
19 Paikallinen menetelmävirhe Pisteestä t n pisteeseen t = b tarvitaan (b t n )/h askelta Kokonaisvirhe ε, jos T(t n, h) h b t n ε Pidennetään tai lyhennetään askelpituutta sen mukaan, miten hyvin ehto toteutuu Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 19/38 p. 19/38
20 Lineaariset moniaskelmenetelmät Menetelmän askelluku k Tunnetaan y n, y n+1,..., y n+k 1 Lasketaan y n+k ratkaisemalla se yhtälöstä k j=0 α j y n+j + h k j=0 β j f n+j = 0 Skaalataan siten, että α k = 1 Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 20/38 p. 20/38
21 Lineaariset moniaskelmenetelmät Eksplisiittiset menetelmät: β k = 0 y n+k = k 1 α j y n+j + h k 1 β j f n+j j=0 j=0 y n+k voidaan laskea suoraan Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 21/38 p. 21/38
22 Lineaariset moniaskelmenetelmät Implisiittiset menetelmät: β k 0 y n+k = k 1 α j y n+j + h k 1 β j f n+j + hβ k f(t n+k, y n+k ) j=0 j=0 y n+k täytyy ratkaista epälineaarisesta yhtälöstä Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 22/38 p. 22/38
23 Lineaariset moniaskelmenetelmät Plussaa Funktion f arvoja tarvitaan vain pisteissä t j Funktion arvojen laskuja vähemmän kuin esim. Rungen ja Kuttan menetelmissä Miinusta Alkuarvon y 0 = y(a) lisäksi tarvitaan k 1 muuta arvoa y 1, y 2,..., y k 1 Täytyy käynnistää, eli laskea em. arvot jollain muulla menetelmällä (esim. Rungen ja Kuttan menetelmällä) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 23/38 p. 23/38
24 Moniaskelmenetelmien johto Numeeriset integrointikaavat: Avoimet Newtonin ja Cotesin kaavat eksplisiittisiä menetelmiä Suljetut Newtonin ja Cotesin kaavat implisiittisiä menetelmiä Interpolointikaavat: Interpolointivälistä riippuen joko eksplisiittisiä tai implisiittisiä menetelmiä Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 24/38 p. 24/38
25 Moniaskelmenetelmien johto Esimerkki: Avoin Newtonin ja Cotesin kaava: b a u(x)dx 4h 3 (2u 0 u 1 + 2u 2 ) missä h = (b a)/4, x j = a + (j + 1)h, u j = u(x j ) Valitaan [a, b] = [t n, t n+4 ] ja u = f tn+4 t n f(t, y(t))dt 4h 3 (2f n+1 f n+2 + 2f n+3 ) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 25/38 p. 25/38
26 Moniaskelmenetelmien johto y (t) = f(t, y(t)) tn+4 t n f(t, y(t))dt = tn+4 t n y (t)dt = y n+4 y n Eksplisiittinen moniaskelmenetelmä (k = 4) y n+4 = y n + 4h 3 (2f n+1 f n+2 + 2f n+3 ) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 26/38 p. 26/38
27 Moniaskelmenetelmien johto Esimerkki: Suljettu Newtonin ja Cotesin kaava (Simpsonin kaava): b a u(x)dx h 3 (u 0 + 4u 1 + u 2 ) missä h = (b a)/2, x j = a + jh, u j = u(x j ) Valitaan [a, b] = [t n, t n+2 ] ja u = f tn+2 t n f(t, y(t))dt h 3 (f n + 4f n+1 + f n+2 ) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 27/38 p. 27/38
28 Moniaskelmenetelmien johto y (t) = f(t, y(t)) tn+2 t n f(t, y(t))dt = tn+2 t n y (t)dt = y n+2 y n Implisiittinen moniaskelmenetelmä (k = 2) y n+2 = y n + h 3 (f n + 4f n+1 + f n+2 ) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 28/38 p. 28/38
29 Moniaskelmenetelmien johto Interpolointikaavojen käyttö: Muodostetaan pisteisiin (t j, f j ) interpolaatiopolynomi Integroidaan interpolaatiopolynomi sopivalla välillä Muodostetaan interpolaatiopolynomin lauseke takenevien differenssien avulla (Takenevia differenssejä ei käsitelty) (Mutta: Interpolaatiopolynomi on yksikäsitteinen) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 29/38 p. 29/38
30 Moniaskelmenetelmien johto Esimerkki: Sovelletaan välille [t n, t n+k 1 ]... Adamsin ja Bashforthin kaavat (eksplisiittisiä) Nyströmin kaavat (eksplisiittisiä) Esimerkki: Sovelletaan välille [t n+1, t n+k ]... Adamsin ja Moultonin kaavat (implisiittisiä) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 30/38 p. 30/38
31 Adamsin ja Bashforthin kaavoja k = 1: (Eulerin menetelmä) y n+1 = y n + hf n k = 2: k = 3: y n+2 = y n+1 + h 2 (3f n+1 f n ) y n+3 = y n+2 + h 12 (23f n+2 16f n+1 + 5f n ) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 31/38 p. 31/38
32 Nyströmin kaavoja k = 2: y n+2 = y n + 2hf n+1 k = 3: y n+3 = y n+1 + h 3 (7f n+2 2f n+1 + f n ) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 32/38 p. 32/38
33 Adamsin ja Moultonin kaavoja k = 1: (implisiittinen Eulerin menetelmä) y n+1 = y n + hf n+1 k = 2: (Crankin ja Nicholsonin menetelmä) k = 3: y n+2 = y n+1 + h 2 (f n+2 + f n+1 ) y n+3 = y n+2 + h 12 (5f n+3 + 8f n+2 5f n+1 ) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 33/38 p. 33/38
34 Implisiittisten kaavojen iterointi Eksplisiittiset menetelmät helpompia kuin implisiittiset menetelmät Mutta: Implisiittiset käyttökelpoisempia (paremmat stabiliteettiominaisuudet) Implisiittisissä menetelmissä esiintyvä epälineaarinen yhtälö voidaan ratkaista iteroimalla Iteraation alkuarvauksena voidaan käyttää eksplisiittisen menetelmän antamaa arvoa Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 34/38 p. 34/38
35 Implisiittisten kaavojen iterointi y n+k = k 1 j=0 α j y n+j + h k 1 j=0 β j f n+j } {{ } = ψ n+k +hβ k f(t n+k, y n+k ) y n+k + hβ k f(t n+k, y n+k ) + ψ n+k = 0 Ratkaistaan yhtälö F(y) = 0, missä F(y) = y + hβ k f(t n+k, y) + ψ n+k Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 35/38 p. 35/38
36 Kiintopisteiteraatio Kiintopisteiteraatio yhtälölle F(y) = 0 y = hβ k f(t n+k, y) + ψ n+k y [0] n+k = jokin eksplisiittinen kaava y [j+1] n+k = hβ kf(t n+k, y [j] n+k ) + ψ n+k, j = 0, 1,... Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 36/38 p. 36/38
37 Ennustus-korjaus-menetelmät Iteroidaan ennalta annettu lukumäärä iteraatioita Ennustus-korjaus-menetelmät Esimerkiksi yksi iteraatio: Ennustusaskel: Korjausaskel: ȳ n+k = eksplisiittinen kaava y n+k = hβ k f(t n+k, ȳ n+k ) + ψ n+k Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 37/38 p. 37/38
38 Ennustus-korjaus-menetelmät Esimerkki: Adamsin ja Bashforthin kaava (k = 3), Adamsin ja Moultonin kaava (k = 3): Ennustusaskel: ȳ n+3 = y n+2 + h 12 (23f n+2 16f n+1 + 5f n ) Laske: f n+3 = f(t n+3, ȳ n+3 ) Korjausaskel: y n+3 = y n+2 + h 12 (5 f n+3 + 8f n+2 5f n+1 ) Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 12 To p. 38/38 p. 38/38
Numeeriset menetelmät TIEA381. Luento 12. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 12 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 12 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 12 () Numeeriset menetelmät 25.4.2013 1 / 33 Luennon 2 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Rungen
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 13. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 13 () Numeeriset menetelmät / 42
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 13 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 13 () Numeeriset menetelmät 8.5.2013 1 / 42 Luennon 13 sisältö Tavallisten differentiaaliyhtälöiden numeriikasta Moniaskelmenetelmien
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 11 Ti 11.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 11 Ti 11.10.2011 p. 1/34 p. 1/34 Automaattiset integrointialgoritmit Numeerisen integroinnin tarkkuuteen
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 11. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 11 () Numeeriset menetelmät / 37
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 11 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 11 () Numeeriset menetelmät 24.4.2013 1 / 37 Luennon 11 sisältö Numeerisesta integroinnista ja derivoinnista Adaptiiviset
Lisätiedot2v 1 = v 2, 2v 1 + 3v 2 = 4v 2.. Vastaavasti ominaisarvoa λ 2 = 4 vastaavat ominaisvektorit toteuttavat. v 2 =
TKK, Matematiikan laitos Pikkarainen/Tikanmäki Mat-1.1320 Matematiikan peruskurssi K2 Harjoitus 12, A=alku-, L=loppuviikko, T= taulutehtävä, P= palautettava tehtävä, W= verkkotehtävä 21. 25.4.2008, viikko
LisätiedotMS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt
MS-C1340 Lineaarialgebra ja differentiaaliyhtälöt Differentiaaliyhtälöt, osa 1 Riikka Kangaslampi Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto 2015 1 / 20 R. Kangaslampi Matriisihajotelmista
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 14 To 20.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 14 To 20.10.2011 p. 1/39 p. 1/39 Nopeat Fourier-muunnokset Diskreetti Fourier-muunnos ˆf k = 1 N 1 N
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaiseminen
Differentiaaliyhtälöiden numeerinen ratkaiseminen Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Alkuarvotehtävä Tavallisen differentiaaliyhtälön alkuarvotehtävä: Määrää reaaliarvoinen funktio y C 1 (I) siten,
Lisätiedot13. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: = 1 + y x + ( y ) 2 (y )
MATEMATIIKAN JA TILASTOTIETEEN LAITOS Differentiaaliyhtälöt, kesä 00 Tehtävät 3-8 / Ratkaisuehdotuksia (RT).6.00 3. Ratkaisu. Kirjoitetaan tehtävän DY hieman eri muodossa: y = + y + y = + y + ( y ) (y
Lisätiedot[4A] DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 1. Alkuarvotehtävät
[4A] DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 1. Alkuarvotehtävät Numeerisen integroinnin yhteydessä ratkoimme jo tavallisia ensimmäisen kertaluvun alkuarvotehtäviä integroimalla eli t y (t) =f(t, y(t)) y(t) =y(t a )+ f(t,
LisätiedotBM20A0900, Matematiikka KoTiB3
BM20A0900, Matematiikka KoTiB3 Luennot: Matti Alatalo Oppikirja: Kreyszig, E.: Advanced Engineering Mathematics, 8th Edition, John Wiley & Sons, 1999, luvut 1 4. 1 Sisältö Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöt
LisätiedotEnsimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 MAT-1345 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 9 Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 6 To 22.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 6 To 22.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Ominaisarvotehtävät Monet sovellukset johtavat ominaisarvotehtäviin Yksi
Lisätiedot1 Perusteita lineaarisista differentiaaliyhtälöistä
1 Perusteita lineaarisista differentiaaliyhtälöistä Johdetaan lineaarisen aikavariantin systeemin ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), x(t 0 ) = x 0 yleinen ratkaisu. Tarkastellaan ensin homogeenistä yhtälöä. Lause
LisätiedotNormaaliryhmä. Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa
Normaaliryhmä Toisen kertaluvun normaaliryhmä on yleistä muotoa x = u(t,x,y), y t I, = v(t,x,y), Funktiot u = u(t,x,y), t I ja v = v(t,x,y), t I ovat tunnettuja Toisen kertaluvun normaaliryhmän ratkaisu
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 6. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 6 () Numeeriset menetelmät / 33
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 6 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 6 () Numeeriset menetelmät 4.4.2013 1 / 33 Luennon 6 sisältö Interpolointi ja approksimointi Polynomi-interpolaatio: Vandermonden
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 5 Ti 20.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 5 Ti 20.9.2011 p. 1/40 p. 1/40 Choleskyn menetelmä Positiivisesti definiiteillä matriiseilla kolmiohajotelma
Lisätiedot5 Differentiaaliyhtälöryhmät
5 Differentiaaliyhtälöryhmät 5.1 Taustaa ja teoriaa Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Toinen motivaatio yhtälöryhmien käytölle: Korkeamman asteen differentiaaliyhtälöt y (n) =
LisätiedotEsimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva).
6 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖISTÄ Esimerkki: Tarkastellaan korkeudella h ht () putoavaa kappaletta, jonka massa on m (ks. kuva). Newtonin II:n lain (ma missä Yhtälö dh dt m dh dt F) mukaan mg, on kiihtyvyys ja
Lisätiedot8 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta
8 Differentiaaliyhtälöiden ratkaisemisesta 8.1 Johdanto Tavalliset diffirentiaaliyhtälöt (TDY) ovat usein käytetty matemaattinen malli fysikaalisia ilmiöitä tutkittaessa. Tässä luvussa käsitellään Cauchy
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 5. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 5 () Numeeriset menetelmät / 28
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 5 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 5 () Numeeriset menetelmät 3.4.2013 1 / 28 Luennon 5 sisältö Luku 4: Ominaisarvotehtävistä Potenssiinkorotusmenetelmä QR-menetelmä
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 7 Ti 27.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 7 Ti 27.9.2011 p. 1/39 p. 1/39 Interpolointi Ei tunneta funktion f : R R lauseketta, mutta tiedetään funktion
LisätiedotFYSA2031 Potentiaalikuoppa
FYSA2031 Potentiaalikuoppa Työselostus Laura Laulumaa JYFL YK216 laura.e.laulumaa@student.jyu.fi 16.10-2.11. 2017 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely ( 30 min) Harjoitellaan ohjelman käyttöä Harmoninen potentiaali
Lisätiedot6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa.
1 MAT-13450 LAAJA MATEMATIIKKA 5 Tampereen teknillinen yliopisto Risto Silvennoinen Kevät 2010 6. Differentiaaliyhtälösysteemien laadullista teoriaa. Olemme keskittyneet tässä kurssissa ensimmäisen kertaluvun
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 2 To 8.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 2 To 8.9.2011 p. 1/33 p. 1/33 Lukujen tallennus Kiintoluvut (integer) tarkka esitys aritmeettiset operaatiot
LisätiedotMS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4} (ELEC*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
Lisätiedot1 Peruskäsitteet. Dierentiaaliyhtälöt
Teknillinen korkeakoulu Matematiikka Dierentiaaliyhtälöt Alestalo Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin dierentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Esimerkkejä luennoilla
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 3 Ti 13.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 3 Ti 13.9.2011 p. 1/37 p. 1/37 Epälineaariset yhtälöt Newtonin menetelmä: x n+1 = x n f(x n) f (x n ) Sekanttimenetelmä:
LisätiedotYhtälöryhmät 1/6 Sisältö ESITIEDOT: yhtälöt
Yhtälöryhmät 1/6 Sisältö Yhtälöryhmä Yhtälöryhmässä on useita yhtälöitä ja yleensä myös useita tuntemattomia. Tavoitteena on löytää tuntemattomille sellaiset arvot, että kaikki yhtälöt toteutuvat samanaikaisesti.
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 9 Ti 4.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 9 Ti 4.10.2011 p. 1/44 p. 1/44 Funktion approksimointi Etsitään p siten, että p f, mutta ei vaadita, että
Lisätiedot4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä
1 Laaja matematiikka 5 Kevät 010 4. Ensimmäisen ja toisen kertaluvun differentiaaliyhtälöistä Yksi tavallisimmista luonnontieteissä ja tekniikassa esiintyvistä matemaattisista malleista on differentiaaliyhtälö.
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöryhmä
Differentiaaliyhtälöryhmä Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmä vaikkapa korkeamman kertaluvun yhtälöä vastaava normaaliryhmä voidaan ratkaista numeerisesti täsmälleen samanlaisilla kaavoilla
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 10: Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 4. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 4 () Numeeriset menetelmät / 44
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 4 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 4 () Numeeriset menetelmät 21.3.2013 1 / 44 Luennon 4 sisältö Lineaarisen yhtälöryhmän ratkaisemisesta: Choleskyn menetelmä
LisätiedotInsinöörimatematiikka D
Insinöörimatematiikka D M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Matematiikan ja tilastotieteen laitos Turun yliopisto 2015 M. Hirvensalo mikhirve@utu.fi V. Junnila viljun@utu.fi Luentokalvot
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 16. lokakuuta 2013 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
Lisätiedotf[x i ] = f i, f[x i,..., x j ] = f[x i+1,..., x j ] f[x i,..., x j 1 ] x j x i T n+1 (x) = 2xT n (x) T n 1 (x), T 0 (x) = 1, T 1 (x) = x.
Kaavakokoelma f[x i ] = f i, f[x i,..., x j ] = f[x i+,..., x j ] f[x i,..., x j ] x j x i T n+ (x) = 2xT n (x) T n (x), T (x) =, T (x) = x. n I,n = h f(t i + h 2 ), E,n = h2 (b a) f (2) (ξ). 24 i= I,n
LisätiedotFYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö
FYSA234 Potentiaalikuoppa, selkkarityö Jari Partanen, Jani Komppula JYFL FL246, S118 japapepa@jyu.fi, jani.komppula@jyu.fi 13. lokakuuta 2014 Ohjaus Työn ja ohjelman esittely (15-30 min) Harjoitellaan
LisätiedotMatematiikka B3 - Avoin yliopisto
2. heinäkuuta 2009 Opetusjärjestelyt Luennot 9:15-11:30 Harjoitukset 12:30-15:00 Tentti Lisäharjoitustehtävä Kurssin sisältö (1/2) 1. asteen Differentiaali yhtälöt (1.DY) Separoituva Ratkaisukaava Bernoyulli
LisätiedotDifferentiaaliyhtälöryhmän numeerinen ratkaiseminen
numryh.nb Differentiaaliyhtälöryhmän numeerinen ratkaiseminen Ensimmäisen kertaluvun differentiaaliyhtälöryhmä vaikkapa korkeamman kertaluvun yhtälöä vastaava normaaliryhmä voidaan ratkaista numeerisesti
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 8. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 8 () Numeeriset menetelmät / 35
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 8 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 8 () Numeeriset menetelmät 11.4.2013 1 / 35 Luennon 8 sisältö Interpolointi ja approksimointi Funktion approksimointi Tasainen
LisätiedotYhden muuttujan funktion minimointi
Yhden muuttujan funktion minimointi Aloitetaan yhden muuttujan tapauksesta Tarpeellinen myös useamman muuttujan tapauksessa Tehtävä on muotoa min kun f(x) x S R 1 Sallittu alue on muotoa S = [a, b] tai
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 7. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 7 () Numeeriset menetelmät / 43
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 7 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 7 () Numeeriset menetelmät 10.4.2013 1 / 43 Luennon 7 sisältö Interpolointi ja approksimointi Interpolaatiovirheestä Paloittainen
Lisätiedot4 Korkeamman kertaluvun differentiaaliyhtälöt
Differentiaaliyhtälöt c Pekka Alestalo 2015 Tässä monisteessa käydään läpi tavallisiin differentiaaliyhtälöihin liittyviä peruskäsitteitä ja ratkaisuperiaatteita. Luennolla lasketaan esimerkkitehtäviä
Lisätiedotk=0 saanto jokaisen kolmannen asteen polynomin. Tukipisteet on talloin valittu
LIS AYKSI A kirjaan Reaalimuuttujan analyysi 1.6. Numeerinen integrointi: Gaussin kaavat Edella kasitellyt numeerisen integroinnin kaavat eli kvadratuurikaavat Riemannin summa, puolisuunnikassaanto ja
LisätiedotEnsimmäisen kertaluvun yhtälön numeerinen ratkaiseminen
nummen.nb 1 Ensimmäisen kertaluvun yhtälön numeerinen ratkaiseminen Eulerin menetelmä alkaurvoprobleeman y' = f Hx, yl, yhx 0 L = y 0 ratkaisemiseksi voidaan ohjelmoida Mathematicalle euler-nimiseksi funktioksi
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 8 To 29.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 8 To 29.9.2011 p. 1/36 p. 1/36 Interpolointi kuutiosplinillä Osavälit: I i = [t i 1,t i ], i = 1,2,...,n
LisätiedotLineaarinen toisen kertaluvun yhtälö
Lineaarinen toisen kertaluvun yhtälö Keijo Ruotsalainen Mathematics Division Lineaarinen toisen kertaluvun differentiaaliyhtälö Toisen kertaluvun täydellinen lineaarinen yhtälö muotoa p 2 (x)y + p 1 (x)y
LisätiedotNumeerinen integrointi ja derivointi
Numeerinen integrointi ja derivointi Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Interpolaatiokaavat Approksimoitava integraali I = b a f(x)dx. Tasavälinen hila: x i = a+ (b a)i n, i = 0,...,n Funktion
Lisätiedotn. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa.
MAA 12 kertaus Funktion kuvaaja n. asteen polynomilla on enintään n nollakohtaa ja enintään n - 1 ääriarvokohtaa. Funktion nollakohta on piste, jossa f () = 0, eli kuvaaja leikkaa -akselin. Kuvaajan avulla
LisätiedotBM20A1501 Numeeriset menetelmät 1 - AIMO
6. marraskuuta 2014 Opetusjärjestelyt Luennot + Harjoitukset pe 7.11.2014 10-14 2310, 14-17 7337 la 8.11.2014 9-12 2310, 12-16 7337 pe 14.11.2014 10-14 2310, 14-17 6216 la 15.11.2014 9-12 2310, 12-16 7337
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 10 To 6.10.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 10 To 6.10.2011 p. 1/35 p. 1/35 Numeerinen integrointi Puolisuunnikassääntö b a f(x)dx = h 2 (f 0 + f
LisätiedotMS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä.
MS-A0204 Differentiaali- ja integraalilaskenta 2 (ELEC2) Luento 7: Pienimmän neliösumman menetelmä ja Newtonin menetelmä. Antti Rasila Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kevät 2016
LisätiedotKompleksiluvun logaritmi: Jos nyt z = re iθ = re iθ e in2π, missä n Z, niin saadaan. ja siihen vaikuttava
Kompleksiluvun logaritmi: ln z = w z = e w Jos nyt z = re iθ = re iθ e inπ, missä n Z, niin saadaan w = ln z = ln r + iθ + inπ, n Z Logaritmi on siis äärettömän moniarvoinen funktio. Helposti nähdään että
Lisätiedot2. Viikko. CDH: luvut (s ). Matematiikka on fysiikan kieli ja differentiaaliyhtälöt sen yleisin murre.
2. Viikko Keskeiset asiat ja tavoitteet: 1. Peruskäsitteet: kertaluku, lineaarisuus, homogeenisuus. 2. Separoituvan diff. yhtälön ratkaisu, 3. Lineaarisen 1. kl yhtälön ratkaisu, CDH: luvut 19.1.-19.4.
LisätiedotNumeerinen integrointi
Numeerinen integrointi Analyyttisesti derivointi triviaalia, integrointi vaikeaa. Numeerisesti laskettaessa tilanne on päinvastainen. Integrointi on yhteenlaskua, joka on tasoittava operaatio: lähtötietojen
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 14. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 14 () Numeeriset menetelmät / 55
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 14 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 14 () Numeeriset menetelmät 15.5.2013 1 / 55 Luennon 14 sisältö Nopeat Fourier-muunnokset (FFT) Yleinen algoritmi 2-kantainen
Lisätiedotx j x k Tällöin L j (x k ) = 0, kun k j, ja L j (x j ) = 1. Alkuperäiselle interpolaatio-ongelmalle saadaan nyt ratkaisu
2 Interpolointi Olkoon annettuna n+1 eri pistettä x 0, x 1, x n R ja n+1 lukua y 0, y 1,, y n Interpoloinnissa etsitään funktiota P, joka annetuissa pisteissä x 0,, x n saa annetut arvot y 0,, y n, (21)
Lisätiedot12. Differentiaaliyhtälöt
1. Differentiaaliyhtälöt 1.1 Johdanto Differentiaaliyhtälöitä voidaan käyttää monilla alueilla esimerkiksi tarkasteltaessa jonkin kohteen lämpötilan vaihtelua, eksponentiaalista kasvua, sähkölatauksen
LisätiedotTehtävä 4.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla.
Tehtävä.7 Tarkastellaan hiukkasta, joka on pakotettu liikkumaan toruksen pinnalla. x = (a + b cos(θ)) cos(ψ) y = (a + b cos(θ)) sin(ψ) = b sin(θ), a > b, θ π, ψ π Figure. Toruksen hajoituskuva Oletetaan,
Lisätiedot3 Tilayhtälöiden numeerinen integrointi
3 Tlayhtälöden numeernen ntegront Alkuarvotehtävässä halutaan ratkasta lopputla xt f ) sten, että tlayhtälöt ẋ = fx,u, t) toteutuvat, kun alkutla x 0 on annettu Tlayhtälöden numeernen ntegront vodaan suorttaa
Lisätiedoty = 3x2 y 2 + sin(2x). x = ex y + e y2 y = ex y + 2xye y2
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 2 mallit Kevät 219 Tehtävä 1. Laske osittaisderivaatat f x = f/x ja f y = f/, kun f = f(x, y) on funktio a) x 2 y 3 + y sin(2x),
LisätiedotHarjoitus Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia:
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 216 Harjoitus 2 1. Etsi seuraavien autonomisten yhtälöiden kriittiset pisteet ja tutki niiden stabiliteettia: (a) y = (2 y) 3, (b) y = (y 1) 2, (c) y = 2y y 2. 2. Etsi seuraavien
LisätiedotEpälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
LisätiedotLuku 4. Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia.
1 MAT-1343 Laaja matematiikka 3 TTY 1 Risto Silvennoinen Luku 4 Derivoituvien funktioiden ominaisuuksia Derivaatan olemassaolosta seuraa funktioille eräitä säännöllisyyksiä Näistä on jo edellisessä luvussa
LisätiedotOsa IX. Z muunnos. Johdanto Diskreetit funktiot
Osa IX Z muunnos A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 298 / 322 A.Rasila, J.v.Pfaler () Mat-.33 Matematiikan peruskurssi KP3-i 9. lokakuuta 2007 299 / 322 Johdanto
Lisätiedotmin x x2 2 x 1 + x 2 1 = 0 (1) 2x1 1, h = f = 4x 2 2x1 + v = 0 4x 2 + v = 0 min x x3 2 x1 = ± v/3 = ±a x 2 = ± v/3 = ±a, a > 0 0 6x 2
TEKNILLINEN KORKEAKOULU Systeemianalyysin laboratorio Mat-39 Optimointioppi Kimmo Berg 6 harjoitus - ratkaisut min x + x x + x = () x f = 4x, h = x 4x + v = { { x + v = 4x + v = x = v/ x = v/4 () v/ v/4
LisätiedotMatemaattinen Analyysi
Vaasan yliopisto, syksy 2016 / ORMS1010 Matemaattinen Analyysi 8. harjoitus, viikko 49 R1 to 12 14 F453 (8.12.) R2 to 14 16 F345 (8.12.) R3 ke 8 10 F345 (7.11.) 1. Määritä funktion f (x) = 1 Taylorin sarja
Lisätiedot13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista. Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle
13. Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista 13.1. Taylorin polynomi 552. Muodosta funktion f (x) = x 4 + 3x 3 + x 2 + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T k (x, 2), k = 0,1,2,... (jolloin siis potenssien
LisätiedotDierentiaaliyhtälöistä
Dierentiaaliyhtälöistä Markus Kettunen 4. maaliskuuta 2009 1 SISÄLTÖ 1 Sisältö 1 Dierentiaaliyhtälöistä 2 1.1 Johdanto................................. 2 1.2 Ratkaisun yksikäsitteisyydestä.....................
Lisätiedot1 Di erentiaaliyhtälöt
Taloustieteen mat.menetelmät syksy 2017 materiaali II-5 1 Di erentiaaliyhtälöt 1.1 Skalaariyhtälöt Määritelmä: ensimmäisen kertaluvun di erentiaaliyhtälö on muotoa _y = F (y; t) oleva yhtälö, missä _y
Lisätiedot6 Variaatiolaskennan perusteet
6 Variaatiolaskennan perusteet Sivut ss. 22 26 pääosin lähteen [Kirk, Ch. 4, ss. 107 127] pohjalta Variaatiolaskenta keskittyy lokaaliin analyysiin eli funktion lokaalin minimin vastineisiin funktionaaleilla.
LisätiedotHarjoitus Tarkastellaan luentojen Esimerkin mukaista työttömyysmallinnusta. Merkitään. p(t) = hintaindeksi, π(t) = odotettu inflaatio,
Differentiaaliyhtälöt, Kesä 06 Harjoitus 3 Kaikissa tehtävissä, joissa pitää tarkastella kriittisten pisteiden stabiliteettia, jos kyseessä on satulapiste, ilmoita myös satulauraratkaisun (tai kriittisessä
LisätiedotLuoki?elua: tavallinen vs osi?ais. Osa 11. Differen0aaliyhtälöt. Luoki?elua: kertaluku. Luoki?elua: lineaarisuus 4/13/13
4/3/3 Osa. Differen0aaliyhtälöt Differen0aaliyhtälö = yhtälö jossa esiintyy jonkin funk0on derivaa?a. Esim: dx = x2 f x + f xy 2 2m d 2 ψ = Eψ dx 2 Luoki?elua: tavallinen vs osi?ais Differen0aaliyhtälöt
Lisätiedot6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 51 6. Toisen ja korkeamman kertaluvun lineaariset differentiaaliyhtälöt Määritelmä 6.1. Olkoon I R avoin väli. Olkoot p i : I R, i = 0, 1, 2,..., n, ja q : I R jatkuvia
LisätiedotMS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)
MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle
LisätiedotMS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö
MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 11: Lineaarinen differentiaaliyhtälö Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos
LisätiedotKanta ja Kannan-vaihto
ja Kannan-vaihto 1 Olkoon L vektoriavaruus. Äärellinen joukko L:n vektoreita V = { v 1, v 2,..., v n } on kanta, jos (1) Jokainen L:n vektori voidaan lausua v-vektoreiden lineaarikombinaationa. (Ts. Span(V
Lisätiedoty + 4y = 0 (1) λ = 0
Matematiikan ja tilastotieteen osasto/hy Differentiaaliyhtälöt I Laskuharjoitus 6 mallit Kevät 2019 Tehtävä 1. Ratkaise yhtälöt a) y + 4y = x 2, b) y + 4y = 3e x. Ratkaisu: a) Differentiaaliyhtälön yleinen
Lisätiedoty (0) = 0 y h (x) = C 1 e 2x +C 2 e x e10x e 3 e8x dx + e x 1 3 e9x dx = e 2x 1 3 e8x 1 8 = 1 24 e10x 1 27 e10x = e 10x e10x
BM0A5830 Differentiaaliyhtälöiden peruskurssi Harjoitus 4, Kevät 017 Päivityksiä: 1. Ratkaise differentiaaliyhtälöt 3y + 4y = 0 ja 3y + 4y = e x.. Ratkaise DY (a) 3y 9y + 6y = e 10x (b) Mikä on edellisen
LisätiedotHarjoitus 5 -- Ratkaisut
Harjoitus -- Ratkaisut 1 Ei kommenttia. Tutkittava funktio oskilloi äärettömän tiheään nollan lähellä. PlotPoints-asetus määrää, kuinka tiheästi Plot-funktio ottaa piirrettävästä funktiosta "näytteitä"
LisätiedotInversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2
Inversio-ongelmien laskennallinen peruskurssi Luento 2 Kevät 2012 1 Lineaarinen inversio-ongelma Määritelmä 1.1. Yleinen (reaaliarvoinen) lineaarinen inversio-ongelma voidaan esittää muodossa m = Ax +
LisätiedotDifferentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 5. viikolle /
MS-A8 Differentiaali- ja integraalilaskenta, V/7 Differentiaali- ja integraalilaskenta Ratkaisut 5. viikolle / 9..5. Integroimismenetelmät Tehtävä : Laske osittaisintegroinnin avulla a) π x sin(x) dx,
Lisätiedot4. Differentiaaliyhtälöryhmät 4.1. Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön
4 Differentiaaliyhtälöryhmät 41 Ryhmän palauttaminen yhteen yhtälöön 176 Ratkaise differentiaaliyhtälöryhmät a) dt = y +t, b) = y z + sinx x 2 dt = x +t, c) + z = x2 = y + z + cosx + 2y = x a)x = C 1 e
Lisätiedot(0 desimaalia, 2 merkitsevää numeroa).
NUMEERISET MENETELMÄT DEMOVASTAUKSET SYKSY 20.. (a) Absoluuttinen virhe: ε x x ˆx /7 0.4 /7 4/00 /700 0.004286. Suhteellinen virhe: ρ x x ˆx x /700 /7 /00 0.00 0.%. (b) Kahden desimaalin tarkkuus x ˆx
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 9. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 9 () Numeeriset menetelmät / 29
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 9 Kirsi Vljus Jyväskylän yliopisto Luento 9 () Numeeriset menetelmät 17.4.2013 1 / 29 Luennon 9 sisältö Numeerisest integroinnist Newtonin j Cotesin kvt Luento 9 ()
Lisätiedot3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause
3.4 Käänteiskuvauslause ja implisiittifunktiolause Tässä luvussa käsitellään kahta keskeistä vektorianalyysin lausetta. Esitellään aluksi kyseiset lauseet ja tutustutaan niiden käyttötapoihin. Lause 3.4.1
Lisätiedotr > y x z x = z y + y x z y + y x = r y x + y x = r
HY / Matematiikan ja tilastotieteen laitos Vektorianalyysi I, syksy 018 Harjoitus Ratkaisuehdotukset Tehtävä 1. Osoita, että avoin kuula on avoin joukko ja suljettu kuula on suljettu joukko. Ratkaisu.
LisätiedotLaplace-muunnos: määritelmä
Laplace-muunnos: määritelmä Olkoon f : [, [ R funktio. Funktion f Laplacen muunnos määritellään yhtälöllä F(s) = L(f) := f(t)e st dt edellyttäen, että integraali f(t)e st dt suppenee. Riittävä ehto integraalin
Lisätiedot5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT
5 DIFFERENTIAALIYHTÄLÖRYHMÄT 5. Ensimmäisen kl:n DY-ryhmät Differentiaaliyhtälöryhmiä tarvitaan useissa sovelluksissa. Useimmat voidaan mallintaa ensimmäisen kertaluvun DY-ryhmien avulla. Ensimmäisen kl:n
Lisätiedot1 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause
Taloustieteen matemaattiset menetelmät 27 materiaali 4 Komparatiivinen statiikka ja implisiittifunktiolause. Johdanto Jo opiskeltu antaa nyt valmiu tutkia taloudellisia malleja Kiinnostava malli voi olla
Lisätiedot2. kl:n DY:t. Lause. Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.
2. kl:n DY:t Yleisesti yhtälöllä ẍ = f(ẋ, x, t) on (sopivin oletuksin) aina olemassa 1-käs. ratkaisu. (ẋ dx/dt, ẍ d 2 x/dt 2.) Lause Olkoon f(x 2, x 1, t) funktio, ja oletetaan, että f, f/ x 1 ja f/ x
LisätiedotLuento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja
Luento 10: Optimointitehtävien numeerinen ratkaiseminen; optimointi ilman rajoitusehtoja Seuraavassa esitetään optimointitehtävien numeerisia ratkaisumenetelmiä, eli optimointialgoritmeja, keittokirjamaisesti.
Lisätiedot9. Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista
29 9 Lineaaristen differentiaaliyhtälöiden ratkaisuavaruuksista Tarkastelemme kertalukua n olevia lineaarisia differentiaaliyhtälöitä y ( x) + a ( x) y ( x) + + a ( x) y( x) + a ( x) y= b( x) ( n) ( n
LisätiedotNumeeriset menetelmät
Numeeriset menetelmät Luento 4 To 15.9.2011 Timo Männikkö Numeeriset menetelmät Syksy 2011 Luento 4 To 15.9.2011 p. 1/38 p. 1/38 Lineaarinen yhtälöryhmä Lineaarinen yhtälöryhmä matriisimuodossa Ax = b
LisätiedotEpälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät
Epälineaaristen yhtälöiden ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Perusoletus Lause 3.1 Olkoon f : [a, b] R jatkuva funktio siten, että f(a)f(b) < 0. Tällöin funktiolla on ainakin
LisätiedotNumeeriset menetelmät TIEA381. Luento 3. Kirsi Valjus. Jyväskylän yliopisto. Luento 3 () Numeeriset menetelmät / 45
Numeeriset menetelmät TIEA381 Luento 3 Kirsi Valjus Jyväskylän yliopisto Luento 3 () Numeeriset menetelmät 20.3.2013 1 / 45 Luennon 3 sisältö Luku 2: Epälineaarisen yhtälön ratkaiseminen Polynomin reaaliset
Lisätiedot12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa
179 12. Hessen matriisi. Ääriarvoteoriaa Tarkastelemme tässä luvussa useamman muuttujan (eli vektorimuuttujan) n reaaliarvoisia unktioita : R R. Edellisessä luvussa todettiin, että riittävän säännöllisellä
LisätiedotVärähtelevä jousisysteemi
Mathematican version 8 mukainen. (5.10.01 SKK) Värähtelevä jousisysteemi Jousen puristumista ja venymistä voidaan kuvata varsin yksinkertaisella matemaattisella mallilla m d x k x, d t missä x on jousen
LisätiedotSARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT
SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 43 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3 0.2 0.1 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0.2 0.4 0.6 0.8 1 Kuva 12. Esimerkin 4.26(c kuvauksen
Lisätiedot