DEE Sähkötekniikan perusteet

Transkriptio

1 DEE Sähkötekniikan perusteet Antti Stenvall Tasasähköpiirien systemaattinen ratkaisu: kerrostamismenetelmä, silmukkavirtamenetelmä, solmupistemenetelmä

2 Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet silmukkavirtamenetelmä kerrostamismenetelmä solmupistemenetelmä Tarkoitus on oppia Kirchhoffin laeista johdettuja helppokäyttöisiä menetelmiä verkon systeemaattiseen tarkasteluun.

3 Luennon keskeinen termistö ja tavoitteet kerrostamismenetelmä lineaarisuus tarkastellaan yhden lähteen vaikutus kysyttyyn suureeseen kerrallaan silmukkavirtamenetelmä muodostetaan yhtälöitä verkon silmukoille solmupistemenetelmä muodostetaan yhtälöitä verkon solmuille Tarkoitus on oppia Kirchhoffin laeista johdettuja helppokäyttöisiä menetelmiä verkon systeemaattiseen tarkasteluun.

4 Muistutus: resistiiviset tasasähköpiirit Piirielementtien sähkösuureet ajan suhteen vakioita. Energialähteet tasajänniteja tasavirtalähteitä. Jännite ja virta siis vakioita, joten

5 Muistutus: resistiiviset tasasähköpiirit Piirielementtien sähkösuureet ajan suhteen vakioita. Energialähteet tasajänniteja tasavirtalähteitä. Jännite ja virta siis vakioita, joten I C = C du dt = 0 ja U L = L di dt = 0

6 Resistiiviset tasasähköpiirit Kondensaattori vastaa äärettömän suurta resistanssia ja käämi nollaresistanssia. Stattisessa tapauksessa kondensaatori edustaa aukaistua ja käämi oikosuljettua verkon haaraa. Virtapiiriin jää ainoastaan vastuksia ja energialähteitä tarkasteltavaksi. Laskentamenetelmät eivät kuitenkaan ole riippuvaisia siitä, minkälaisiin virtapiireihin niitä sovelletaan, kuten myöhemmin vaihtosähköpiirien analyysissä huomataan.

7 Lineaarisuus Mitä se on?

8 Lineaarisuus Additiivisuus { u 1 y 1 u 2 y 2 u 1 +u 2 y 1 +y 2 Homogeensiuus u y αu αy

9 Lineaarisuus Additiivisuus { u 1 y 1 u 2 y 2 u 1 +u 2 y 1 +y 2 Homogeensiuus Jos verkossa on useita energialähteitä, voidaan jokaisen lähteen vaikutus laskea erikseen ja summata tulokset yhteen. u y αu αy

10 Kerrostamismenetelmä Lähteet, joiden vaikutusta ei kyseisellä kerralla tarkastella

11 Kerrostamismenetelmä Lähteet, joiden vaikutusta ei kyseisellä kerralla tarkastella Virtalähteet: avoin haara

12 Kerrostamismenetelmä Lähteet, joiden vaikutusta ei kyseisellä kerralla tarkastella Virtalähteet: avoin haara Jännitelähteet: oikosulku

13 Kerrostamismenetelmä Lähteet, joiden vaikutusta ei kyseisellä kerralla tarkastella Virtalähteet: avoin haara Jännitelähteet: oikosulku Määritä ohjeisen piirin virta I. I 7Ω 15Ω 2 A 3Ω 5Ω 3.5 V +

14 Kerrostamismenetelmä Lähteet, joiden vaikutusta ei kyseisellä kerralla tarkastella Virtalähteet: avoin haara Jännitelähteet: oikosulku Määritä ohjeisen piirin virta I. I 7Ω 15Ω 2 A 3Ω 5Ω 3.5 V + Milloin kerrostamismenetelmä ei voida käyttää?

15 Verkon systemaattinen ratkaisu Solmupisteiden lukumäärä n (node) Haarojen lukumäärä b (branch) I 6 1 I 4 2 I 5 3 I 1 I 2 I 3 4

16 Verkon systemaattinen ratkaisu Muodostetaan suljettuja silmukoita siten, että jokaisessa uudessa silmukassa on vähintään yksi uusi haara mukana ja että lopulta jokainen haara kuuluu vähintän yhteen silmukkaan. U 6 3 U 4 U 5 U 1 1 U 2 2 U 3

17 Silmukkavirtamenetelmä Valitaan silmukat (b n+1 = = 3) ja muuttujiksi kuvitellut kiertävät silmukkavirrat. b n+1 yhtälöä on riittävä ja välttämätön ehto tehtävän ratkaisemiseksi. Kaikkien haarojen virrat voidaan lausua edellä mainittujen silmukkavirtojen avulla, I 4 = I γ I α. Komponenttien yhtälöistä saa haarojen jännitteet täydellinen ratkaisu. I 6 I γ I 4 I 5 I 1 I 2 I 3 I α I β

18 Esimerkki Muodosta lineaarinen yhtälöryhmä oheisen kytkennän silmukkavirroille. Kiinnitä erityisesti huomiota yhtälöiden systemaattiseen muodostustapaan. Miten silmukkavirroista ratkaistaan kuvaan merkityt haaravirrat? Iα R 1 Iβ R 3 I 3 U 1 + R 2 I δ I 1 I 2 U U 3 R4 I γ

19 Silmukkavirtamenetelmä matriisiyhtälönä RI = U R ii silmukan i resistanssien summa, kaikki positiivisina R ij simulkoiden i ja j yhteisen haaran resistanssi positiivisena, jos silmukoiden kiertosuunnat kulkevat samaan suuntaan resistanssin kautta, muutoin negatiivisena. I i silmukan i virta U i silmukkaan i kuuluvien lähdejännitteiden summa, jokaisen lähteen etumerkit katsottuna siitä tuleeko silmukkavirta ulos + vai päästä.

20 Silmukkavirtamenetelmällä tehtävän ratkaiseminen Muunnetaan virtalähteet ekvivalenttisiksi jännitelähteiksi, jos mahdollista. Poistetaan ylimääräiset rinnankytkennät. Kiinnitetään silmukat. Kirjoitetaan lineaarinen yhtälöryhmä silmukkavirroille. Ratkaistaan tehtävä. 100Ω 50Ω 10Ω 10Ω 50 ma 100Ω 1Ω 2 V + 1 V + I

21 Solmupistemenetelmä Silmukkavirtamenetelmän yhtälöt johdettiin Kirchhoffin jännitelaista. Solmupistemenetelmän yhtälöt johdetaan Kirchhoffin virtalaista.

22 Solmupistemenetelmän periaate Valitaan referenssisolmu, jonka potentiaali voidaan valita. Valitaan se nollaksi. Valitaan muuttujiksi muiden solmujen potentiaalit (suhteessa referenssiin, eli nollaan). Tuntemattomia solmupotentiaaleja on tällöin n 1 kappaletta. Kaikkien haarojen jännitteet voidaan lausua solmupotentiaalien avulla. Haaravirrat voidaan laskea, kun tiedetään komponenttien yhtälöt täydellinen ratkaisu. I 6 1 I 4 2 I 5 3 I 1 I 2 I 3 4

23 Esimerkki Muodosta lineaarinen yhtälöryhmä oheisen kytkennän solmupotentiaaleille. Kiinnitä erityistä huomiota yhtälöiden systemaattiseen muodostustapaan. Miten solmupotentiaaleista ratkaistaan kuvaan merkityt haaravirrat? I b I a V 1 R I 2 V 2 2 I 3 R 3 R 1 I1 0 I c

24 Solmupistemenetelmä matriisiyhtälönä I = GU G on konduktanssimatriisi, resistanssimatriisin käänteismatriisi. G i i solmuun i liittyvien resistanssien käänteislukujen summa, kaikki positiivisina G i j solmujen i ja j välinen resistanssin käänteisluku negatiivisenä U i solmun i potentiaali referenssisolmuun nähden I i solmun i kuuluvien lähdevirtojen summa, positiivisena, jos lähdevirta solmuun päin, muutoin negatiivisena

25 Silmukkavirtamenetelmällä tehtävän ratkaiseminen Muunnetaan jännitelähteet ekvivalenttisiksi virtalähteiksi, jos mahdollista. Poistetaan ylimääräiset sarjakytkennät. Numeroidaan solmut ja valitaan referenssisolmu. Kirjoitetaan lineaarinen yhtälöryhmä solmupotentiaaleille. Ratkaistaan tehtävä. Esimerkki: Mitoita oheisessa piirissä lähdejännite U s.e. U 2Ω on 4 V. 1 A V 2 U 2Ω V 1 2Ω 4Ω 6 A 4Ω 4Ω 4Ω 0 U +

26 Silmukkavirta- vs solmupistemenetelmä Valitaan se menetelmä, jolla työmäärä minimoituu. Verkossa on b haaraa ja n solmua. Esimerkiksi silmukkavirtamenetelmä on edullisempi, mikäli b n+1 < n 1 n > b 2 +1 Usein jos piirissä on pääasiassa jännitelähteitä, on helpompi käyttää silmukkavirtamenetelmää, jos taas virtalähteitä, niin solmupistemenetelmää.

27 Yhteenveto kerrostamismenetelmä lineaariset piirit huomioidaan laskennassa yhden lähteen vaikutus kysyttyyn suureeseen kerrallaan, virtalähde pois avoimella piirillä, jännitelähde pois oikosulkemalla silmukkavirtamenetelmä muodostetaan yhtälöitä verkon silmukoille Kirchhoffin jännitelaki: suljetun silmukan jännitteiden summa on 0 solmupistemenetelmä muodostetaan yhtälöitä verkon solmuille Kirchhoffin virtalaki: solmuun tulevat virrat = solmusta lähtevät virrat