Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "Perustehtäviä. Sarjateorian tehtävät 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 24"

Transkriptio

1 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Perustehtäviä. Muunna sarja telesooppimuotoon ja osoita, että se suppenee. Lase myös sarjan summa. ( + ) = Osoita suoraan määritelmään perustuen, että seuraava sarja hajaantuu ( ) = Osoita, että geometrinen sarja aq = a + aq + aq =0 suppenee jos ja vain jos q <. Määritä myös sarjan summa. 4. Lase sarjan summa. ( ) Suppeneeo sarja ( + 2 ) 6. Osoita Cauchyn riteerin avulla, että sarja 7. Osoita, että jos 2 suppenee. a on suppeneva positiiviterminen sarja ja m = inf{m R n a M aiilla n Z + } niin m on sarjan summa. Kävisiö minimi suurimman ylärajan paialle? 8. Osoita, että sarja suppenee jos ja vain jos s >. s 9. Todista vertailuperiaate. 0. Tuti suppeneovato sarjat a, missä

2 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 2 / 24. a = 2. a = ( ) e 3. a = (+) 2 4. a = a = ln 6. a = ( ) + ( a), a > 7. a = a = + 9. a = 3! + ln 0. a = ( ). a = + 2. a = sin( ) 2. Oloon a sarja, jossa a 2 = 3 ja a 2 = 2 3 Tarastelee sarjaa molemmilla suhdetesteillä. 2. Oloon a sarja, jossa a 2 = 2 2 ja a 2 = 3 2 Tarastelee sarjaa molemmilla juuritesteillä. 3. Missä seuraavassa päättelyssä on virhe? Kosa a = > 0 ja a + a = + = + < aiilla Z +, niin suhdetestin nojalla harmoninen sarja suppenee. 2

3 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 3 / Tuti suppenevato sarjat itseisesti. ( ) ( ) + cos Ehdollisesti suppeneva sarja voidaan järjestellä suppenemaan mitä tahansa reaaliluua ohti. Voidaano ehdollisesti suppenevan sarjan termit järjestellä uudelleen siten, että uudelleenjärjestetty sarja suppenee itseisesti? 6. Tiedetään, että ln 2 = Miten voidaan lasea luvulle ln liiarvo, jona virhe on pienempi uin 0,0. 7. Osoita, että alternoiva sarja n + n 2... hajaantuu. Misi Leibnitzin lausetta ei voi äyttää tämän sarjan suppenemistarasteluun, vaia lim a = 0? 8. Lase sarjojen ( 2 3 ) ja ( 3 (+) 3 ) Cauchyn tulosarjan viides termi. Suppeneeo Cauchyn tulosarja ja jos suppenee, niin miä sen summa on? 9. Lase summa x, un x <. Lase sitten sarjaehitelmä funtiolle ( x) 2. =0 20. Määritellään ahden itseisesti suppenevan sarjan a ja b tulosarjan c :s termi c = a b. Antaao tämä määrittely saman tulosarjan uin Cauchyn tulosarja? Missä mielessä tämä tulosarjan määrittely on huonompi uin Cauchyn tulosarjan määrittely? 2. Ovato seuraavat väittämät totta?. Jos sarjat a ja b hajaantuvat, niin niiden summasarja hajaantuu. n 2. Jos lim a = L <, niin sarja suppenee. n (a + b ) 3

4 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 4 / Jos a c > 0 aiilla Z +, niin sarja 4. Jos sarja 5. Jos sarja 6. Jos sarja a hajaantuu. a suppenee ja a > 0, niin sarja a suppenee ja a > 0, niin sarja a 2 suppenee. a suppenee. a suppenee, a > 0 ja jono (b ) on rajoitettu, niin sarja (a b ) suppenee itseisesti. 7. Jos sarja a hajaantuu ja a > 0, niin sarja 8. Jos sarja a suppenee ja a > 0, niin sarja a a suppenee. hajaantuu. 4

5 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 5 / 24 Vaativampia tehtäviä 22. Osoita, että sarja (a a + ) suppenee jos ja vain jos jono (a ) suppenee. Miä on telesooppisarjan summa? 23. Osoita indutiolla, että s 2 n = 2 n + n 2 Miten tämän avulla voidaan päätellä, että harmoninen sarja hajaantuu? 24. Osoita, että jos b on suppenevan positiivitermisen sarjan a uudelleenjärjestely, niin se suppenee. 25. Osoita edellisen tehtävän avulla, että suppenevan positiivitermisen sarjan termien uudelleenjärjesteleminen ei vaiuta sarjan summaan. 26. Todista integraalitesti. 27. Todista edellisen tehtävän avulla, että Riemannin zeta-funtion ζ :], [ R ζ(p) = arvoille saadaan arvio p 28. Voidaano sarja p ζ(p) + p a, missä a 2 = ja a 2 = 2 saada termien järjestelemisellä suppenemaan ohti mielivaltaista reaaliluua? 29. Lase arvio sille, että uina monta termiä täytyy harmonisesta sarjasta ottaa, että osasumman arvo on suurempi uin Todista, että ahden itseisesti suppenevan sarjan tulosarja suppenee itseisesti. 5

6 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 6 / Osoita, että osa e = =0!, niin e2 = =0 2. (Muista, että 0! = )! 32. Eulerin todistus aluluujen äärettömälle luumäärälle. Tee vastaoletus, että jouo {p, p 2,..., p n } sisältäisi aii aluluvut. Lase summat s i = p =0 i missä i =, 2,..., n. Lase sen jäleen tulo n s i = s s 2 s n i= 33. Tiedetään, että alternoivan harmonisen sarjan ( ) + summa on ln 2. Lase sen termien uudelleenjärjestelyn summa

7 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 7 / 24 Vihjeitä perustehtäviin Tehtävä. Osoita ensin, että saadulle telesooppisarjalle. =. Lase sitten n:s osasumma (+) + Tehtävä 2. Tarastele n:ttä osasumma parillisilla ja parittomilla n:n arvoilla. Tehtävä 3. Kerro n:s osasumma s n = a + aq aq n q:lla ja vähennä ne puolittain. Tehtävä 4. Käytä edellistä tehtävää. Tehtävä 5. Muista, että e = lim ( + ). Tehtävä 6. Todista arvio 2 ja äytä sitä. Tehtävä 7. Oletusen perusteella sarjalla on summa s. Osoita, että väitteet m > s ja m < s ovat epätosia. Tehtävä 8. Käytä integraalitestiä, un p > ja p =. Arvioi tapausia p < majorantti- ja minoranttiperiaatteella. a Tehtävä 9. Oletusten perusteella raja-arvo lim b muodosta sopivat majorantti- ja minoranttisarjat. = c. Valitse ɛ sopivasti ja Tehtävä Käytä Leibnizin lausetta. 3. Koeile juuritestillä. 4. Käytä suhdetestiä.. Koeile minoranttisarjana harmonista sarjaa. 5. Todista osittaisintegroinnin avulla, että ln x x dx = 2 (ln x)2. 6. Leibnizin lause ja arvio lim a =. 7. Arvioi majoranttiperiaatteella. 8. Muista, että neliöjuuri on aidosti asvava funtio ja äytä )- ohtaa. 9. Käytä suhdetestiä. 0. Käytä Leibnizin lausetta.. Lavenna termiä, niin että pääset eroon neliöjuurista osoittajassa. 2. Todista ja äytä arviota x > sin x, un x > 0. 7

8 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 8 / 24 Tehtävä. Tarastele termien suhteen raja-arvon olemassaoloa. Tehtävä 2. Tarastele juuren raja-arvon olemassaoloa. Tehtävä 3. Mieti täyttyvätö aii suhdetestin oletuset. Tehtävä 4.. Arvioi majoranttiperiaatteen avulla. 2. Tuti termien raja-arvoa. 3. Muista, että cos x. Tehtävä 5. Tee vastaoletus tai äytä teorian lausetta: sarja suppenee itseisesti jos ja vain jos sen positiivisten termien sarja ja negatiivisten termien sarja suppenevat. Tehtävä 6. Käytä Leibnizin lauseen seurausta s s n < a n+. Tehtävä 7. Tuti voio sarja supeta itseisesti tai ehdollisesti. Tätä varten tarastele positiivisten termien sarjaa ja negatiivisten termien sarjaa. Tehtävä 8. Muista, että Cauchyn tulosarjan :s termi on c = a b + a 2 b a b. Suppenemistarastelua varten lase sarjojen summat. Tehtävä 9. Sarja on geometrinen sarja, joten sen summan voi lasea tehtävä 3 menetelmällä. Lase sitten Cauchyn tulosarja, un sarja errotaan itsellään. Tehtävä 20. Lase tulosarjojen arvot. Tehtävä 2.. Ota mielivaltainen hajaantuva sarja ja mieti että ono sen ja mielivaltaisen hajaantuvan sarjan summa aina hajaantuva sarja. 2. Mieti, mitä väite oiein sanoo ja esi vastaesimeri. 3. Tuti sarjan termien jonon raja-arvoa. 4. Kosa sarja suppenee, niin on olemassa sellainen termi, josta lähtien aii termit ovat luua pienempiä. Sovella tähän majoranttiperiaatetta. 5. Mieti tilannetta harmonisen sarjan annalta. 6. Huomaa, että sarja a suppenee itseisesti. 7. Kesi vastaesimeri. 8. Mieti miten uuden sarjan termien jonon raja-arvo äyttäytyy. 8

9 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 9 / 24 Vihjeitä vaativampiin tehtäviin Tehtävä 22. Johda aava sarjan n:lle osasummalle. n Tehtävä 23. Käytä arviota a > (n n 0 + ) a =n 0 }{{} i, un a }{{} > a i termien luumäärä pienin termi aiilla = n 0, n 0 +,..., n. Tehtävä 24. Mieti miten uudelleenjärjestellyn sarjan osasummaa voidaan rajoittaa ylhäältä aluperäisen sarjan osasummilla. Tehtävä 25. Osoita, että molempien sarjojen raja-arvon täytyy olla sama luu äyttämällä edellistä tehtävää ja tehtävää 7. Tehtävä 26. Tulitse integraali ja sarjan termit pinta-aloisi ja tee arvio tällä tavoin osasummien jonon arvoja. Tehtävä 27. Käytä edellisen tehtävän johdossa äytettyä arviota n a ja lase epäoleellinen integraali. n+ n+ f(x) dx Tehtävä 28. Lase edellisen tehtävän avulla arvio sarjan positiivisten termien sarjan summalle. Tuti sitten aluperäisen sarjan uudelleenjärjestelyn osasumman äyttäytymistä. Voio se saada mielivaltaisia negatiivisia arvoja? Tehtävä 29. Käytä integraalitestissä johdettua arviota. Tehtävä 30. Huomaa, että jos sarja a suppenee itseisesti, niin myös sarja a suppenee itseisesti. =2 Tehtävä 3. Muista Newtonin binomiaava (a + b) n = n a =0 ( n ) a n b. Tehtävä 32. Muista, että joainen luonnollinen luu n > voidaan esittää ysiäsitteisesti aluluujen tulona. Muodosta siten termeistä harmoninen sarja. Tehtävä 33. Tuti mielivaltaista osasumman arvoa suluttamalla summa uudelleen. Pyri täten muodostamaan alternoivan harmonisen sarjan osasumma errottuna vaiolla 2. 9

10 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 0 / 24 Rataisut perustehtäviin Tehtävä. Kosa niin s n = n ( + ) = + ( + ) = + ( + ) ( + ) = + ( + ) = n Täten lim n s n = 0 =. ( + ) = ( 2 )+( 2 3 )+...+( n n + ) = n + Tehtävä 2. Jos n on parillinen, niin s n = n ( ) = 0. Jos taasen n pariton, niin s n = hajaantuu, joten sarja ei suppene. n ( ) =. Täten osajonojen summa (s n ) Tehtävä 3. Selvästi sarja hajaantuu, un q = tai q =, osa lim n aq n 0. Oletetaan siis, että q ±. Kerrotaan geometrisen sarjan n:s osasumma s n = a + aq + aq aq n suhteella q ja saadaan qs n = aq + aq 2 + aq aq n+ Vähennetään nämä toisistaan ( q)s n = a aq n+ Kun q, niin ( q) 0 ja sillä voidaan jaaa. s n = a qn+ q Täten sarjan osasummien jonon suppeneminen riippuu täysin termin q n+ suppenemisesta. Kun q <, niin q n+ q n+ ±. Siis geometrinen sarja suppenee ohti summaa 0, un n. Kun q >, niin 0 a, un q <. q

11 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu / 24 Tehtävä 4. Kyseessä on geometrinen sarja, osa ( ) + 4 = ( 4 ). ja suhdeluu q =. Edellisen tehtävän nojalla sarja suppenee ja 4 ( ) + = ( 4 4 ) = 4 ( ) = 5. 4 Tehtävä 5. Nyt sarjan :s termi a = ( + 2 ) = ( + )2 2 2 = (( + 2 )2 ) 2 e 2 0 un. Siis sarja hajaantuu. Vaihtoehtoisesti voidaan vain huomioida, että a aiilla Z +, joten lim a 0. Tehtävä 6. Kun >, niin Täten un n, p > s n+p s n = 0 < < 2 ( ) = + ( ) n+p 2 =n+ n+p < ( ) =n+ = ( ) ( ) = = ( n n + ) + ( n + n + 2 ) ( n + p n + p ) = n n + p < n 0 un n. Siis Cauchyn riteeri täyttyy ja sarja suppenee. Tehtävä 7. Kosa sarja suppeni, niin meritään, että s n s. Sarja oli positiiviterminen, joten osasummien jono (s n ) on aidosti asvava eli s n < s n+ < s aiilla n Z +. Täten osasummien jonon ylärajojen jouo on alhaalta rajoitettu ja m on olemassa. Väite m > s on selvästi epätosi, osa s on ysi osasummien jonon yläraja. Jos m < s, niin raja-arvon määritelmän muaan on olemassa n 0 Z + siten, että m < s n0, miä on ristiriidassa m:n määritelmän anssa. Täten m = s. Myös minimi äy suurimman alarajan tilalle, sillä edellisen perusteella s M, n missä M {M R a M aiilla n Z + }.

12 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 2 / 24 Tehtävä 8. Kun p niin funtiot f p (x) = x p täyttävät integraalitestin oletuset (jatuva, vähenevä, positiivinen, un x ) ja f() = p, joten integraalitestiä voidaan äyttään. Kun p >, niin Täten sarjat c lim dx = lim c xp c Kun p =, niin p suppenevat, un p >. c/ c lim c x ( p)x = 0 p p = p dx = lim c c/ ln x Nyt ln c, un c, joten harmoninen sarja p < ja >, niin < p (p < ) hajaantuvat. hajaantuu. Nyt jos, joten minoranttiperiaatteen nojalla sarjat p Tehtävä 9. Kosa an b n c > 0, niin raja-arvon määritelmän perusteella on olemassa n 0 Z + siten, että aiilla n > n 0 a n c b n < c 2 Täten ja osa b n > 0, niin un n > n 0. Täten sarja 3c 2 c 2 < a n < 3c b n 2 c 2 b n < a n < 3c 2 b n b on sarjan a majorantti ja sarja c 2 = 0 = 0 = 0 b on sarjan a minorantti (c oli vaio). Nyt majorantti- ja minoranttiperiaatetta = 0 soveltamalla saadaan väite. Tehtävä 0.. Kosa, un, niin, niin minoranttiperiaatteen nojalla sarja hajaantuu. 2

13 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 3 / Leibnizin lauseen ehdot täyttyvät ja lim e = 0, joten sarja suppenee 3. Nyt (+) = + = + 0 <, joten juuritestin nojalla sarja suppenee. 4. Kosa a + a nojalla sarja suppenee. = (+) = = Osittaisintegoinnilla saadaan, että ln x a ln x x x 0 <, niin suhdetestin dx = 2 (ln x)2 Siis dx = 2 ((ln a)2 (ln) 2 ) = 2 (ln a)2 un a. Muutin integraalitestin oletuset pätevät, joten sen nojalla sarja hajaantuu. ln 6. Kosa a 0, un ja muutin niin Leibnizin lauseen ehdot täyttyvät (totea tarasti), niin sarja suppenee. 7. Kun > 0, niin voidaan arvioida, että majoranttiperiaatteen nojalla. 8. Kosa neliöjuuri on aidosti asvava funtio, niin arvio 2 + < 2. Täten sarja suppenee + > = on voimassa. Ensimmäisessä ohdassa todistettiin minoranttisarjan hajaantuminen, joten tarasteltavain sarja hajaantuu. 9. Nyt (+)3! (+)! 3 = (+)2 3 nojalla sarja suppenee. 0. Kosa ln = = <, niin suhdetestin 0, un ja muutin Leibnizin lauseen oletuset täyttyvät, un, joten sarjaa suppenee.. Nyt 0 < + = + ( ++ ) majoranttiperiaatteen nojalla. < (2 ) =, joten sarja suppenee Meritään f(x) = x sin x. Siten f (x) = cos x 0 eli f asvava ja erityisesti aidosti asvava, un x n2π, n Z. Toisinsanoen x > sin x, un x > 0. Täten myös 2 > sin( 2 ) > 0, un Z + joten sarja suppenee majoranttiperiaatteen nojalla. Tehtävä. Jos = 2p, niin a 2p a 2p = 2 3 p 3 p = 3p 2 3 p = 2 3

14 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 4 / 24 Jos = 2p, niin a 2p a 2p 2 = 3 p = 2 3p = p 3 p 2 3 <, joten Suhdetesti nojalla sarja suppenee. Kuitenaan raja- Täten a + a a arvoa lim + a misesta. Tehtävä 2. Jos = 2p, niin ei ole olemassa, joten Suhdetesti 2 ei anna tietoa sarjan suppene- 2p 3 = 2p 2p 3 = 2p 3 Jos = 2p, niin 2p 2 = 2p 2p 2 = 2p 2 Täten a 2 <, joten Juuritesti nojalla sarja suppenee. Kuitenin rajaarvoa lim a ei ole olemassa, joten Juuritesti 2 ei anna tietoa sarjan suppenemisesta. Tehtävä 3. Nyt a + lim a joten suhdetestiä ei voi äyttää. = lim + = lim + = Tehtävä 4.. Kosa ja sarja 3 4 suppenee geometrisena sarjana, niin aluperäinen sarja suppenee itseisesti majoranttiperiaatteen nojalla. 2. Nyt lim a = lim =, joten termin raja-arvo ei suppene ohti 2 2 nollaa. Täten sarja ei voi supeta lainaan. cos 3 3. Voidaan arvioida, että 2 + <. Täten sarja suppenee majo ranttiperiaatteen nojalla itseisesti. Tehtävä 5. Ensimmäinen tapa. Oletetaan, että a suppenee ehdollisesti. Oloon θ : Z + Z + bijetio. Miäli uudelleenjärjestely 4 a θ() suppenee

15 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 5 / 24 itseisesti, niin sen aii uudelleenjärjestelyt suppenevat myös itseisesti. Kosa funtio θ on bijetio, niin sillä on äänteisfuntio θ : Z + Z +. Siten sarja a θ θ() = a on sarjan a θ() uudelleenjärjestely ja siten se suppenee itseisesti, miä on ristiriita oletusen anssa. Toinen tapa. Jos sarja a suppenee ehdollisesti, niin sarjat a ja a >0 a a <0 hajaantuvat. Täten sen uudelleenjärjestelyt eivät voi supeta itseisesti, osa sarja suppenee itseisesti jos ja vain jos sen positiivisten termien sarja ja negatiivisten termien sarjat suppenevat. Tehtävä 6. Leibnizin lauseen seurausena saatiin arvio s s n < a n+. Rataistaan yhtälö Täten saadaan arvio 00 n + < 00 ( ) + jona epätaruus on pienempi uin 0,0. 00 < n + n > 99. = ln 2, Tehtävä 7. Sarjan negatiiviset termit muodostavat sarjan = joa hajaantuu. Sarja suppenee itseisesti jos ja vain jos positiivisten termien muodostama sarja ja negatiivisten termien sarja suppenevat. Täten aluperäinen sarja ei voi supeta itseisesti. Sarjan positiiviset termit muodostavat sarjan = joa suppenee. Täten aluperäinen sarja ei voi supeta ehdollisesti. Nimittäin, jos se suppenisi ehdollisesti, niin teorian perusteella sen positiivisten termien sarja ja negatiivisten termien sarja hajaantuvat. Kosa sarja ei suppene itseisesti eiä ehdollisesti, niin sen täytyy hajaantua. 2 5

16 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 6 / 24 Leibnizin lausetta ei voi äyttää tämän sarjan suppenemistarasteluun, osa termien jono ei ole vähenevä. Tehtävä 8. Suoraan Cauchyn tulosarjan termien määritelmien muaan saadaan c = a b = 2 3 ( 3 ( + ) ) = c 2 = a b 2 + a 2 b = 2 3 ( 2 3 (2 + ) ) + (2 3 3 )2 ( 3 ( + ) ) = c 3 = a b 3 + a 2 b 2 + a 3 b = 2 3 ( 3 3 (3 + ) ) + (2 3 3 )2 ( 2 3 (2 + ) ) + (2 3 3 )3 ( 3 ( + ) ) 3 = = Geometrisen sarjan summan aavasta saadaan ( 2 3 ) = 2. Telesooppisarjalle voidaan lasea tehtävän 22 menetelmällä, että ( 3 (+) 3 ) =. Kosa molemmissa sarjoissa on vain positiivisia termejä, niin ne suppeneminen on itseistä. Täten niiden Caucyn tulosarja suppenee (jopa itseisesti) ja sen summa on 2 = 2. Tehtävä 9. Suoraan tehtävän 3 menetelmällä saadaan lasettua, että x x =, un x <. Selvästi sarja suppenee itseisesti. Lasemalla Cauchyn tulosarja sarjan tulolle itsensä anssa saadaan, että ( x) = f 2 (x) =0 Suoraan Cauchyn tulosarjan termin määrittelyn nojalla =0 Siis ( x) 2 f (x) = x o x + x x x x 0 }{{} + pl = x + x x }{{} + pl = ( + )x = ( + )x, un x <. =0 6

17 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 7 / 24 Tehtävä 20. Kosa sarjat suppenevat itseisesti, niin voidaan meritä a = a ja b = b. Täten teorian perusteella Cauchyn tulosarjan summa on ab. Nyt n c = a b + a 2 b a n b = a b + a 2 b a n b = (a + a a n )b ab un n. Täten sarjat ovat samat. Tämän uuden määrittelyn ongelma on se, että sitä ei voida laajentaa äsittämään hajaantuvia sarjoja. Jos sarja b hajaantuu, niin uuden tulosarjan termit eivät ole lasettavissa. Cauchyn tulosarjan mielivaltainen termi on aina lasettavissa, vaia sarja hajaantuisiin. Myös ertomisjärjestysellä on väliä. Esimerisi jos sarja b hajaantuu, niin ( b )( 0) = b 0 + b = 0 mutta sarjan ( 0)( b ) termejä ei ole määritelty. a mielivaltainen hajaan- Tehtävä 2.. Väittämä ei ole totta. Oloon tuva sarja. Tällöin summasarja a + ( a ) = (a a ) = 0 suppenee, vaia onin ahden hajaantuvan sarjan summasarja. 2. Väite on valetta. Se sanoo, että osasummien itseisarvojen jonon suppenemisesta seuraisi sarjan suppeneminen. Vastaesimerisi äy sarja

18 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 8 / 24 Tällöin osasumma s n supeta. = ± aiilla n Z +, mutta selvästi sarja ei voi 3. Väite on totta. Kosa a c > 0 aiilla Z +, niin lim a 0, miäli raja-arvo on edes olemassa. Täten sarja ei voi supeta. 4. Jos sarja a, missä a > 0 aiilla Z +, suppenee, niin lim a = 0. Siis on olemassa sellainen luu 0 Z +, että 0 < a < aina, un 0. Siis a 2 < a aiilla 0. Täten sarja = 0 a 2 < = 0 a suppenee majoranttiperiaatteen nojalla. Kosa äärellinen määrä sarjan alun termejä ei vaiuta suppenemiseen, niin täten myös sarja a 2 suppenee. Väite on siis totta. 5. Väite ei ole totta. Sarja 2 sarja, joa tunnetusti hajaantuu. suppenee, mutta sarja 2 on harmoninen 6. Kosa jono (b n ) on rajoitettu, niin on olemassa sellainen luu M > 0, että b < M aiilla Z +. Kosa sarja a suppenee ja sen aii termit ovat positiivisia, niin se suppenee itseisesti. Nyt sarja a b = a b < M a = M( a ) = M suppenee majoranttiperiaatteen nojalla, osa sarja M( a ) suppenee. Väite on siis tosi. 7. Väite ei pidä paiaansa. Sarja hajaantuu, uten teee myös sarja Kosa sarja a suppenee, niin lim a = 0. Täten a, un. Kosa raja-arvo ei ole nolla, niin sarja on siis tosi. 8 a a hajaantuu. Väite

19 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 9 / 24 Rataisut vaativampiin tehtäviin Tehtävä 22. Tarastellaan osasummaa n s n = (a a + ) = (a a 2 ) + (a 2 a 3 ) (a n a n+ ) = a a n+. Jos a n a, niin s n a a. Jos s n s, niin a n a s. Tehtävä 23. Perusasel: s 2 = + 2 = 2. Indutio-oletus: s 2 n = 2n Indutio-väitteen todistus: s 2 n+ = 2 n+ Rittää siis osoittaa, että + n 2. 2n = 2 2 n =2 n + ja pienin termi on 2 2 n, joten Täten s 2 n + n n =2 n + 2 2n + =2 n + + n 2 2n 2 + =2 n Tässä summassa on aina 2 2n 2 n termiä (2 2n 2 n ) 2 2 = 2n n 2 2 = n 2, un n asvaa rajatta. Harmoninen sarjan osasummien jono on aidosti asvava ja äseisen todistusen muaan sen osasummien jonolla on rajatta asvava osajono (s 2 n). Täten harmoninen sarja hajaantuu. Tehtävä 24. Kosa a on positiiviterminen suppeneva sarja, niin sen summa s = a rajoittaa sen osasummien jonoa ylhäältä. Täten n a < s aiilla n Z +. Kosa b on uudelleenjärjestely, niin on olemassa bijetio θ : Z + Z + siten, että a θ() = b. Nyt oloon m n = max{θ() n}, joten {b, b 2,... b n } {a, a 2,..., a mn }. Täten n m n b a < s. 9

20 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 20 / 24 Siis osasummien jono n b on ylhäältä rajoitettu. Myös sarja b on positiiviterminen, joten se suppenee. Tehtävä 25. Käytetään edellisen tehtävän merintöjä ja lisäsi meritään a ja a = b = b. Määrittely b = b on järevä, osa edellisen tehtävän muaan sarja suppeni ja lisäsi n b < a. Tehtävän 7 muaan b a, osa suppenevan positiivitermisen sarjan summa oli sarjan osasummien jonon pienin yläraja. Mutta vastaavasti sarja a saadaan sarjasta b uudelleenjärjestelyn avulla, joten a b. Siis a = b. Tehtävä 26. Oletuset: a positiiviterminen sarja, f(x) on positiivinen, jatuva ja vähenevä funtio aiilla x 0 Z + ja f() = a aiilla 0. Oletetaan jatossa, että 0. Tulitaan sarjan termin arvo x-aselista lähteväsi pylvään pinta-alasi, jona oreus on a ja leveys. Tulinta on järevä, osa sarja oli positiiviterminen. Määrätty integraali voidaan tulita funtion f ja x-aselin väliin jääväsi pinta-alasi (funtio f oli jatuva, joten se on myös integroituva). Kosa f oli vähenevä saadaan arvio a = f() f( + ) = a +. Täten Summataan 0 :sta n:ään a a n 0 + a + 0 f(x) dx n Jos epäolellinen integraali a + a a 0 + n+ = 0 + = 0 a n+ 0 f(x) dx a + n+ n f(x) dx f(x) dx a a n+ n+ = f(x) dx suppenee, niin osasummien jono s n+ = a on asvava ja ylhäältä rajoitettu, joten se suppenee. Kasvavuus seuraa termien positiivisuudesta. Huomaa, että alun termejä a +a a 0 on äärellinen määrä, joten ne eivät vaiuta suppenemiseen. 20 a

21 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 2 / 24 Jos epäolellinen integraali f(x) dx hajaantuu, niin osasummien jono s n = a + 0 n a a 0 + a asvaa rajatta, joten sarjain hajaantuu. = 0 Tehtävä 27. Kun p >, niin Lisäsi sarja p dx = lim xp c c/ ( p)x = 0 p p = p suppenee. Siten integraalitestiä todistettaessa saatu arvio n n+ p x dx n+ p =2 p saadaan muotoon p x dx p =2 = p p, un n. Siten + Yhdistämällä tuloset saadaan väite x dx p p p ζ(p) + p Tehtävä 28. Edellisestä tehtävästä saadaan arvio 2 2. Oloon (s n ) aluperäisen sarjan mielivaltaisella bijetiolla θ : Z + Z + saadun uudelleenjärjestelyn n:s osasumma. Täten 2 s n aiilla n Z +, joten uudelleenjärjestely ei voi supeta ohti luua x < 2. Itseasiassa voidaan arvioida, että missä p = n 2 p 2 s n θ(2 ) }{{} positiiviset termit osasummassa s n n+, un n parillinen ja p =, un n pariton. Epäyhtälön vasem- 2 malle puolelle saadaan harmoninen sarja, un n, joten uudelleenjärjestely hajaantuu. 2

22 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 22 / 24 Tehtävä 29. Tehtävän 26 menettelyllä saadaan arvio n n+ dx = ln(n + ) ln = ln(n + ). x Nyt täten luu n saadaan rataistua epäyhtälöstä ln(n + ) 0 eli n e 0. Pienin luu n Z +, joa toteuttaa tämän ehdon on n 0 = Siis ainain näin monella termillä harmonisen sarjan osasumma saadaan suuremmasi uin luu 0. Tämä ei ole välttämättä pienin määrä termejä, mutta parempaan arvioon tarvittaisiin hienostuneempia menetelmiä. Tehtävä 30. Teoria-osiossa todistettiin, että jos b a suppenee itseisesti ja jos suppenee, niin niiden Cauchyn tulosarja suppenee. Jos nyt lisäsi sarja b suppenee itseisesti, niin sarjat ja niiden Cauchyn tulosarja c = a b a }{{} b }{{} 0 0 Tehtävä 3. Kosa e = n=0 a ja b suppenevat myös itseisesti c suppenee. Se suppenee myös itseisesti, osa = c. n! suppenee itseisesti, niin sen Cauchyn tulosarja itsensä anssa suppenee itseisesti. Tulosarjan e 2 = c n n:s termi n=0 c n = n! 0! + (n )!! + (n 2)! 2! ! n! = n! + (n )! + 2 (n 2)! (n)! = n! + n n! + n(n ) ( n! n! n ( n ( n ( n 0) ) 2) n) = n! + n! + n! Sijoittamalla a = ja b = Newtonin binomiaavaan (a + b) n = saadaan, että 2 n yhtälöön saadaan väite. n! n =0 ( n ) a n b = ( n 0) + ( n ) + ( n 2) ( n n). Sijoittamalla tämä edelliseen 22

23 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 23 / 24 Tehtävä 32. Kosa 2 on pienin aluluu, niin sarja s i = suppenee geometrisenä sarjana ( p i =0 p i < ) ohti summaa. Kosa summa on äärellinen ja p i aluluuja oli oletusen perusteella äärellinen määrä, niin tulo n s i = i= n p i= =0 i = n i= p i = n i= p i p i on olemassa äärellisenä. Algebrassa on todistettu tulos, että joaisella luonnollisella luvulla > on ysiäsitteinen esitys aluluujen tulona. Sisipä edellinen yhtälö summaa aiien positiivisten oonaisluujen äänteisluvut. Kosa tarasteltava sarja suppeneni ja siinä on vain positiivisiä termejä, niin sen täytyy supeta itseisesti. Täten sen termien järjestystä voidaan vapaasti vaihtaa. Uudelleenjärjestelyllä harmoniselle sarjalle saadaan esitys n = p i= =0 i = n i= p i p i Täten harmoninen sarja suppenisi, miä johtaain ristiriitaan. Täten oletus on väärä ja aluluuja on ääretön määrä. Tehtävä 33. Oloon s n tarasteltavan sarjan n:s osasumma ja oloon Z + suurin sellainen, että 3 n. Tällöin n = 3 + r, missä r {0,, 2}. Osasummaa s n voidaan siis approsimoida osasummalla s 3. Siis s n = s 3 r i= 3 + i. Nyt s 3 = = ( 2 ) 4 + ( 3 6 ) 8 + ( 5 0 ) ( 2 ) 2 = = 2 ( ). 23

24 Sarjateorian tehtävät 0. syysuuta 2005 sivu 24 / 24 Siis s 3 ( ( ) + ) = ln 2, un. 2 2 Jos r =, niin s n = s 3 ln 2 0, un. Jos r = 2, niin 3+ 2 s n = s 3 ln 2 0, un Täten tämä alternoivan harmonisen sarjan uudelleenjärjestely suppenee ohti luua ln

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1.

Tehtävä 3. Määrää seuraavien jonojen raja-arvot 1. Jonotehtävät, 0/9/005, sivu / 5 Perustehtävät Tehtävä. Muotoile matemaattiset vastineet seuraavien väitteiden negaatioille (ts. vastaohdat).. Jono (a n ) suppenee ohti luua a.. Jono (a n ) on asvava. 3.

Lisätiedot

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x ,

III. SARJATEORIAN ALKEITA. III.1. Sarjan suppeneminen. x k = x 1 + x 2 + x , III. SARJATEORIAN ALKEITA Sarja on formaali summa III.. Sarjan suppeneminen = x + x 2 + x 3 +..., missä R aiilla N (merintä ei välttämättä taroita mitään reaaliluua). Luvut x, x 2,... ovat sarjan yhteenlasettavat

Lisätiedot

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17

Sisältö. Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sarjat 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 17 Sisältö 1 Peruskäsitteistöä 2 1.1 Määritelmiä 2 1.2 Perustuloksia 4 2 Suppenemistestejä positiivitermisille sarjoille 5 3 Itseinen ja ehdollinen suppeneminen 8 4 Alternoivat

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiian tuiurssi Kurssierta 5 Sarjojen suppeneminen Kiinnostusen ohteena on edelleen sarja a n = a + a 2 + a 3 + a 4 + n= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan että sarja

Lisätiedot

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s.

termit on luontevaa kirjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme lukusarjojen teoriaan: a k = s. SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 7 3. Luusarjat Josus luujonon (b ) termit on luontevairjoittaa summamuodossa. Tällöin päädymme luusarjojen teoriaan: Määritelmä 3.. Oloon ( ), R luujono. Symboli (3.)

Lisätiedot

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle /

Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Ratkaisut 1. viikolle / MS-A8 Differentiaali- ja integraalilasenta, V/27 Differentiaali- ja integraalilasenta Rataisut. viiolle /. 3.4. Luujonot Tehtävä : Mitä ovat luujonon viisi ensimmäistä termiä, un luujono on a) (a n ) n=,

Lisätiedot

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k

funktiojono. Funktiosarja f k a k (x x 0 ) k SARJAT JA DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 2003 3 4. Funtiosarjat Tässä luvussa esitettävissä funtiosarjojen tulosissa yhdistämme luujen 3 teoriaa. Esimeri 4.. Geometrinen sarja x suppenee aiilla x ], [ ja hajaantuu

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 6 Sarjojen suppeneminen Kiinnostuksen kohteena on edelleen sarja a k = a + a 2 + a 3 + a 4 +... k= Tämä summa on mahdollisesti äärellisenä olemassa, jolloin sanotaan

Lisätiedot

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,...,

Sarja. Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., Sarja Lukujonosta (a k ) k N voi muodostaa sen osasummien jonon (s n ): Määritelmä 1 s 1 = a 1, s 2 = a 1 + a 2, s 3 = a 1 + a 2 + a 3,..., n s n = a k. Jos osasummien jonolla (s n ) on raja-arvo s R,

Lisätiedot

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT

JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT JOHDATUS LUKUTEORIAAN (sysy 2017) HARJOITUS 1, MALLIRATKAISUT Tehtävä 1. (i) Etsi luvun 111312 aii teijät. (ii) Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja joilla a b ja b a. Osoita, että silloin a = b. Rataisu

Lisätiedot

Sarjojen suppenemisesta

Sarjojen suppenemisesta TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Terhi Mattila Sarjojen suppenemisesta Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Huhtikuu 008 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen laitos

Lisätiedot

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat

MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat MS-A010{3,4,5} (ELEC*, ENG*) Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Luento 2: Sarjat Pekka Alestalo, Jarmo Malinen Aalto-yliopisto, Matematiikan ja systeemianalyysin laitos September 13, 2017 Pekka Alestalo,

Lisätiedot

Matemaattinen Analyysi

Matemaattinen Analyysi Vaasan yliopisto, evät 05 / ORMS00 Matemaattinen Analyysi 6. harjoitus. Approsimoi toisen asteen polynomilla P(x) = b 0 +b x+b x oheisen tauluon muaisia havaintoja. (Teorian löydät opetusmonisteen sivuilta

Lisätiedot

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut

Joulukuun vaativammat valmennustehtävät ratkaisut Jouluuun vaativammat valmennustehtävät rataisut. Tapa. Pätee z = x + y, joten z = (x + y = x + y, josta sieventämällä seuraa xy 4x 4y + 4 = 0. Siispä (x (y =. Tästä yhtälöstä saadaan suoraan x =, y = 4

Lisätiedot

2 Taylor-polynomit ja -sarjat

2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2 Taylor-polynomit ja -sarjat 2. Taylor-polynomi Taylor-polynomi P n (x; x 0 ) funtion paras n-asteinen polynomiapprosimaatio (derivoinnin annalta) pisteen x 0 lähellä. Maclaurin-polynomi: tapaus x 0 0.

Lisätiedot

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n

IV. TASAINEN SUPPENEMINEN. f(x) = lim. jokaista ε > 0 ja x A kohti n ε,x N s.e. n n IV. TASAINEN SUPPENEMINEN IV.. Funktiojonon tasainen suppeneminen Olkoon A R joukko ja f n : A R funktio, n =, 2, 3,..., jolloin jokaisella x A muodostuu lukujono f x, f 2 x,.... Jos tämä jono suppenee

Lisätiedot

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1

Tehtävä 2 Todista luennoilla annettu kaava: jos lukujen n ja m alkulukuesitykset. ja m = k=1 Luuteoria Harjoitus 1 evät 2011 Alesis Kosi 1 Tehtävä 1 Näytä: jos a ja b ovat positiivisia oonaisluuja joille (a, b) = 1 ja a c, seä lisäsi b c, niin silloin ab c. Vastaus Kosa a c, niin jaollisuuden

Lisätiedot

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä

Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 2005, sivu 1 / 13. Tehtäviä Sekalaiset tehtävät, 11. syyskuuta 005, sivu 1 / 13 Tehtäviä Tehtävä 1. Johda toiseen asteen yhtälön ax + bx + c = 0, a 0 ratkaisukaava. Tehtävä. Määrittele joukon A R pienin yläraja sup A ja suurin alaraja

Lisätiedot

Tenttiin valmentavia harjoituksia

Tenttiin valmentavia harjoituksia Tenttiin valmentavia harjoituksia Alla olevissa harjoituksissa suluissa oleva sivunumero viittaa Juha Partasen kurssimonisteen siihen sivuun, jolta löytyy apua tehtävän ratkaisuun. Funktiot Harjoitus.

Lisätiedot

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen.

nyky-ymmärryksemme mukaan hajaantuvaan sarjaan luvun 1 2 kun n > N Huom! Määritelmä on aivan sama C:ssä ja R:ssä. (Kuva vain on erilainen. Sarjaoppia Käsitellään kompleksi- ja reaalisarjat yhdessä. Reaalilukujen ominaisuuksista (kuten järjestys) riippuvat asiat tulevat lisämausteena mukaan. Kirjallisuutta: 1. [KRE] Kreyszig: Advanced Engineering

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet Esimerkkejä ym., osa I MS-A00 Disreetin matematiian perusteet Esimerejä ym., osa I G. Gripenberg Jouo-oppi ja logiia Todistuset logiiassa Indutioperiaate Relaatiot ja funtiot Funtiot Aalto-yliopisto. maalisuuta 0 Kombinatoriia

Lisätiedot

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon

M 2 M = sup E M 2 t. E X t = lim. niin martingaalikonvergenssilauseen oletukset ovat voimassa, eli löydämme satunnaismuuttujan M, joka toteuttaa ehdon Matematiian ja tilastotieteen laitos Stoastiset differentiaaliyhtälöt Rataisuehdotelma Harjoituseen 7 1. Näytä, että uvaus M M M 2, un M 2 M = sup E M 2 t 2 t 0 on normi jouossa M 2 = { M : M on martingaali

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 5 1 Jonoista Matematiikassa jono (x n ) on yksinkertaisesti järjestetty, päättymätön sarja numeroita Esimerkiksi (1,, 3, 4, 5 ) on jono Jonon i:ttä jäsentä merkitään

Lisätiedot

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma

Johdatus lukuteoriaan Harjoitus 1 syksy 2008 Eemeli Blåsten. Ratkaisuehdotelma Johdatus luuteoriaan Harjoitus 1 ss 008 Eemeli Blåsten Rataisuehdotelma Tehtävä 1 Oloot a ja b positiivisia oonaisluuja. Osoita, että on olemassa siäsitteinen luu h ('luujen a ja b pienin hteinen jaettava',

Lisätiedot

Matemaattisen analyysin tukikurssi

Matemaattisen analyysin tukikurssi Matemaattisen analyysin tukikurssi 5. Kurssikerta Petrus Mikkola 10.10.2016 Tämän kerran asiat Raja-arvo ja toispuolinen raja-arvo Funktion suurin ja pienin arvo Lukujono Lukujonon suppeneminen Kasvava

Lisätiedot

1 Reaaliset lukujonot

1 Reaaliset lukujonot Jonot 10. syyskuuta 2005 sivu 1 / 5 1 Reaaliset lukujonot Reaaliset lukujonot ovat funktioita f : Z + R. Lukujonosta käytetään merkintää (a k ) k=1 tai lyhyemmin vain (a k). missä a k = f(k). Täten lukujonot

Lisätiedot

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet

MS-A0402 Diskreetin matematiikan perusteet MS-A0402 Disreetin matematiian perusteet Osa 3: Kombinatoriia Riia Kangaslampi 2017 Matematiian ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopisto Kombinatoriia Summaperiaate Esimeri 1 Opetusohjelmaomiteaan valitaan

Lisätiedot

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1

Analyysi III. Jari Taskinen. 28. syyskuuta Luku 1 Analyysi III Jari Taskinen 28. syyskuuta 2002 Luku Sisältö Sarjat 2. Lukujonoista........................... 2.2 Rekursiivisesti määritellyt lukujonot.............. 8.3 Sarja ja sen suppenminen....................

Lisätiedot

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen

Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn välikokeeseen Vastausehdotukset analyysin sivuainekurssin syksyn 015 1. välikokeeseen Heikki Korpela November 1, 015 1. Tehtävä: funktio f : R R toteuttaa ehdot ax, kun x 1 f(x) x + 1, kun x < 1 Tutki, millä vakion

Lisätiedot

Konvergenssilauseita

Konvergenssilauseita LUKU 4 Konvergenssilauseita Lause 4.1 (Monotonisen konvergenssin lause). Olkoon (f n ) kasvava jono Lebesgueintegroituvia funktioita. Asetetaan f(x) := f n (x). Jos f n

Lisätiedot

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2

ANALYYSI 2. Camilla Hollanti. Tampereen yliopisto 2010. x 3. a x 1. x 4 x 11. x 2 ANALYYSI 2 Camilla Hollanti _ M M a x x 2 x 3 x 4 x b Tampereen yliopisto 200 Sisältö. Preliminäärejä 3 2. Riemann-integraali 5 2.. Pinta-alat ja porrasfunktiot....................... 5 2... Pinta-ala

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Nollakohdan olemassaolo. Kaikki tuntevat

Lisätiedot

Luku kahden alkuluvun summana

Luku kahden alkuluvun summana Luu ahden aluluvun summana Juho Salmensuu Lahden Lyseon luio Matematiia 008 Tiivistelmä Tutielmassa tarastellaan ysymystä; uina monella eri tavalla annettu parillinen oonaisluu voidaan esittää ahden aluluvun

Lisätiedot

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa

8 Potenssisarjoista. 8.1 Määritelmä. Olkoot a 0, a 1, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.1. Muotoa 8 Potenssisarjoista 8. Määritelmä Olkoot a 0, a, a 2,... reaalisia vakioita ja c R. Määritelmä 8.. Muotoa a 0 + a (x c) + a 2 (x c) 2 + olevaa sarjaa sanotaan c-keskiseksi potenssisarjaksi. Selvästi jokainen

Lisätiedot

5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89.

5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. 85. 86. 87. 88. 89. 5. Potenssisarjat 5.1. Määritelmä ja suppeneminen 84. Määritä seuraavien potenssisarjojen suppenemisympyrät: a) ( ) z + 3, b) 2 [ z 2 + ( 1) ], c) a) Koo omplesitaso; b) z =, R = 1; c) z = i, R = 4. 85.

Lisätiedot

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8

Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Diskreetin matematiikan perusteet Laskuharjoitus 1 / vko 8 Tuntitehtävät 1-2 lasketaan alkuviikon harjoituksissa ja tuntitehtävät 5- loppuviikon harjoituksissa. Kotitehtävät 3-4 tarkastetaan loppuviikon

Lisätiedot

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n =

MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 2018 Ratkaisut 1. välikokeen preppaustehtäviin. 1. a) Muodostetaan osasummien jono. S n = MATEMATIIKAN PERUSKURSSI II kevät 208 Ratkaisut. välikokeen preppaustehtäviin. a) Muodostetaan osasummien jono S n = n ( k k) k= josta saadaan = ( 0 ) + ( 2) + ( 2 3) + ( n 2 n ) + ( n n) = n, n =, 2,...,

Lisätiedot

1 sup- ja inf-esimerkkejä

1 sup- ja inf-esimerkkejä Alla olevat kohdat (erityisesti todistukset) ovat lähinnä oheislukemista reaaliluvuista, mutta joihinkin niistä palataan myöhemmin kurssilla. 1 sup- ja inf-esimerkkejä Kaarenpituus. Olkoon r: [a, b] R

Lisätiedot

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b.

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle a n pätee lima n = a ja lima n = b, niin a = b. 2 Lukujonot 21 Lukujonon määritelmä 16 Fibonacci n luvut määritellään ehdoilla Osoita: 17 a 1 = a 2 = 1; a n+2 = a n+1 + a n, n N a n = 1 [( 1 + ) n ( 2 1 ) n ] 2 Olkoon a 1 = 3, a 2 = 6, a n+1 = 1 n (na

Lisätiedot

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu.

Analyysi 1. Harjoituksia lukuihin 1 3 / Syksy Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko A = x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. Analyysi Harjoituksia lukuihin 3 / Syksy 204. Osoita täsmällisesti perustellen, että joukko { 2x A = x ]4, [. x 4 ei ole ylhäältä rajoitettu. 2. Anna jokin ylä- ja alaraja joukoille { x( x) A = x ], [,

Lisätiedot

ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN

ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN ANALYYSI 3 HELI TUOMINEN Alkusanat Tässä on muistiinpanot syksyllä 202 luennoimastani kurssista Analyysi 3. Kurssin pohana on Tero Kilpeläisen luentomoniste samannimiselle kurssille. Tässä monisteessa

Lisätiedot

Sattuman matematiikkaa III

Sattuman matematiikkaa III Sattuman matematiiaa III Kolmogorovin asioomat ja frevenssitulinta Tommi Sottinen Tutija Matematiian ja tilastotieteen laitos, Helsingin yliopisto Laboratoire de Probabilités et Modèles Aléatoires, Université

Lisätiedot

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R.

(b) = x cos x 1 ( cos x)dx. = x cos x + cos xdx. = sin x x cos x + C, C R. Calculus Kurssikoe..7. Laske (a) x sin x, (b) x x + x. (a) Merkitään u(x) = x ja v (x) = sin x, jolloin u (x) =, v(x) = cos x ja osittaisintegroimalla saadaan x sin x = u(x)v (x) = u(x)v(x) u (x)v(x) =

Lisätiedot

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden

Ylioppilastutkintolautakunta S tudentexamensnämnden Ylioppilastutintolautaunta S tudenteamensnämnden MATEMATIIKAN KOE, PITKÄ OPPIMÄÄRÄ 0..0 HYVÄN VASTAUKSEN PIIRTEITÄ Alla oleva vastausten piirteiden ja sisältöjen luonnehdinta ei sido ylioppilastutintolautaunnan

Lisätiedot

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS

DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1. Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS DIFFERENTIAALI- JA INTEGRAALILASKENTA I.1 Ritva Hurri-Syrjänen/Syksy 1999/Luennot 6. FUNKTION JATKUVUUS Huomautus. Analyysin yksi keskeisimmistä käsitteistä on jatkuvuus! Olkoon A R mielivaltainen joukko

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 5

Kompleksianalyysi, viikko 5 Kompleksianalyysi, viikko 5 Jukka Kemppainen Mathematics Division Kompleksiset jonot Aloitetaan jonon suppenemisesta. Määr. 1 Kompleksiluvuista z 1,z 2,...,z n,... koostuva jono suppenee kohti raja-arvoa

Lisätiedot

(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7.

(c) Määrää/Determine välillä/in the interval [1000, 10000] olevien 7. jaollisten kokonaislukujen lukumäärä/ number of integers divisible by 7. Luuteorian perusteet Exercises/Harjoitusia 2016 1. Show by induction/osoita indutiolla, that/että Osoita, että a n 1 = (a 1)(a n 1 + a n 2 + + a + 1). a n + 1 = (a + 1)(a n 1 a n 2 + a + 1) jos 2 n. (c)

Lisätiedot

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1

MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 MS-A0102 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 Riikka Korte (Pekka Alestalon kalvojen pohjalta) Aalto-yliopisto 24.10.2016 Sisältö Käytännön asiat Jonot Sarjat 1.1 Opettajat luennoitsija Riikka Korte

Lisätiedot

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = =

(iv) Ratkaisu 1. Sovelletaan Eukleideen algoritmia osoittajaan ja nimittäjään. (i) 7 = , 7 6 = = = JOHDATUS LUKUTEORIAAN (syksy 07) HARJOITUS 7, MALLIRATKAISUT Tehtävä Etsi seuraavien rationaalilukujen ketjumurtokehitelmät: (i) 7 6 (ii) 4 7 (iii) 65 74 (iv) 63 74 Ratkaisu Sovelletaan Eukleideen algoritmia

Lisätiedot

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3:

Hanoin tornit. Merkitään a n :llä pienintä tarvittavaa määrää siirtoja n:lle kiekolle. Tietysti a 1 = 1. Helposti nähdään myös, että a 2 = 3: Hanoin tornit Oloot n ieoa asetettu olmeen tanoon uvan osoittamalla tavalla (uvassa n = 7). Siirtämällä yhtä ieoa errallaan, ieot on asetettava toiseen tanoon samaan järjestyseen. Isompaa ieoa ei missään

Lisätiedot

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista

Matematiikan johdantokurssi, syksy 2016 Harjoitus 11, ratkaisuista Matematiikan johdantokurssi, syksy 06 Harjoitus, ratkaisuista. Valitse seuraaville säännöille mahdollisimman laajat lähtöjoukot ja sopivat maalijoukot niin, että syntyy kahden muuttujan funktiot (ks. monisteen

Lisätiedot

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε.

Outoja funktioita. 0 < x x 0 < δ ε f(x) a < ε. Outoja funktioita Differentiaalilaskentaa harjoitettiin miltei 200 vuotta ennen kuin sen perustana olevat reaaliluvut sekä funktio ja sen raja-arvo määriteltiin täsmällisesti turvautumatta geometriseen

Lisätiedot

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista

TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma. Hannu Pajula. Stirlingin luvuista TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutielma Hannu Pajula Stirlingin luvuista Informaatiotieteiden ysiö Matematiia Maalisuu 2014 Tampereen yliopisto Informaatiotieteiden ysiö PAJULA, HANNU: Stirlingin luvuista

Lisätiedot

7. Tasaisen rajoituksen periaate

7. Tasaisen rajoituksen periaate 18 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA

VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA VALIKOITUJA KOHTIA LUKUTEORIASTA ARI LEHTONEN 1. Laajennettu Euleideen algoritmi 1.1. Jaoyhtälö. Oloot r 0, r 1 Z, r 0 r 1 > 0. Tällöin on olemassa ysiäsitteiset luvut q 1 ja r 2 Z siten, että r 0 = q

Lisätiedot

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen

DEE Lineaariset järjestelmät Harjoitus 2, ratkaisuehdotukset. Johdanto differenssiyhtälöiden ratkaisemiseen D-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Johdanto differenssiyhtälöiden rataisemiseen Differenssiyhtälöillä uvataan disreettiaiaisten järjestelmien toimintaa. Disreettiaiainen taroittaa

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kertausluento 2. välikokeeseen Toisessa välikokeessa on syytä osata ainakin seuraavat asiat:. Potenssisarjojen suppenemissäde, suppenemisväli ja suppenemisjoukko. 2. Derivaatan

Lisätiedot

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO

802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II. Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO 802328A LUKUTEORIAN PERUSTEET OSA II BASICS OF NUMBER THEORY PART II Tapani Matala-aho MATEMATIIKKA/LUTK/OULUN YLIOPISTO SYKSY 2016 Sisältö 1 KERTOMAT, BINOMIKERTOIMET 2 1.0.1 Kertoma/Factorial......................

Lisätiedot

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1.

Perustehtävät. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10. Tehtävä 1. Sievennä 1. Kompleksitehtävät, 10/9/2005, sivu 1 / 10 Perustehtävät Tehtävä 1. Sievennä 1. 2 5i 1+2i 2. ( 2 i 2) 150 Tehtävä 2. Olkoon P mielivaltainen reaalikertoiminen polynomi. Osoita, että jos luku z C toteuttaa

Lisätiedot

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio.

Sinin jatkuvuus. Lemma. Seuraus. Seuraus. Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Sini on jatkuva funktio. Sinin jatkuvuus Lemma Kaikilla x, y R, sin x sin y x y. Seuraus Sini on jatkuva funktio. Seuraus Kosini, tangentti ja kotangentti ovat jatkuvia funktioita. Pekka Salmi FUNK 19. syyskuuta 2016 22 / 53 Yhdistetyn

Lisätiedot

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö

Eksponentti- ja logaritmiyhtälö Esponentti- ja logaritmiyhtälö Esponenttifuntio Oloon a 1 positiivinen reaaliluu. Reaalifuntiota f() = a nimitetään esponenttifuntiosi ja luua a sen antaluvusi. Jos a > 1, niin esponenttifuntio f : R R,

Lisätiedot

9 Lukumäärien laskemisesta

9 Lukumäärien laskemisesta 9 Luumäärie lasemisesta 9 Biomiertoimet ja osajouoje luumäärä Määritelmä 9 Oletetaa, että, N Biomierroi ilmaisee, uia mota -alioista osajouoa o sellaisella jouolla, jossa o aliota Meritä luetaa yli Lasimesta

Lisätiedot

Kompleksianalyysi, viikko 6

Kompleksianalyysi, viikko 6 Kompleksianalyysi, viikko 6 Jukka Kemppainen Mathematics Division Funktion erikoispisteet Määr. 1 Jos f on analyyttinen pisteen z 0 aidossa ympäristössä 0 < z z 0 < r jollakin r > 0, niin sanotaan, että

Lisätiedot

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä

Ennen kuin mennään varsinaisesti tämän harjoituksen asioihin, otetaan aluksi yksi merkintätekninen juttu. Tarkastellaan differenssiyhtälöä DEE-00 Lineaariset järjestelmät Harjoitus, rataisuehdotuset Ennen uin mennään varsinaisesti tämän harjoitusen asioihin, otetaan alusi ysi merintäteninen juttu Tarastellaan differenssiyhtälöä y y y 0 Vaihtoehtoinen

Lisätiedot

q =, r = a b a = bq + r, b/2 <r b/2.

q =, r = a b a = bq + r, b/2 <r b/2. Luuteoria I Harjoitusia 2009 1 Osoita, että (a x = x x R, (b x x< x +1 x R, (c x + = x + x R, Z, (d x + y x + y x, y R, (e x y xy x, y R 0 2 Oloot a, b, q, r Z ja a = qb + r, 0 r< b Näytä, että a a q =,

Lisätiedot

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat

Olkoot X ja Y riippumattomia satunnaismuuttujia, joiden odotusarvot, varianssit ja kovarianssi ovat Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset Mat-.3 Koesuunnittelu ja tilastolliset mallit. harjoituset / Rataisut Aiheet: Avainsanat: Satunnaismuuttujat ja todennäöisyysjaaumat Kertymäfuntio

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus

3. Markovin prosessit ja vahva Markovin ominaisuus 30 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 3. Marovin prosessit ja vahva Marovin ominaisuus Aloitamme nyt edellisen appaleen päättäneen esimerin yleistämisen Brownin liieelle. Käymme ysitellen läpi esimerin

Lisätiedot

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1

Seuraava topologisluonteinen lause on nk. Bairen lause tai Bairen kategorialause, n=1 FUNKTIONAALIANALYYSIN PERUSKURSSI 115 7. Tasaisen rajoituksen periaate Täydellisyydestä puristetaan maksimaalinen hyöty seuraavan Bairen lauseen avulla. Bairen lause on keskeinen todistettaessa kahta funktionaalianalyysin

Lisätiedot

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen

Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat Funktiojono ja funktioterminen sarja Pisteittäinen ja tasainen suppeneminen 4. Funktiojonot ja funktiotermiset sarjat 4.1. Funktiojono ja funktioterminen sarja 60. Tutki, millä muuttujan R arvoilla funktiojono f k suppenee, kun Mikä on rajafunktio? a) f k () = 2k 2k + 1, b) f

Lisätiedot

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13

Reaaliluvut. tapauksessa metrisen avaruuden täydellisyyden kohdalla. 1 fi.wikipedia.org/wiki/reaaliluku 1 / 13 Reaaliluvut Reaalilukujen joukko R. Täsmällinen konstruointi palautuu rationaalilukuihin, jossa eri mahdollisuuksia: - Dedekindin leikkaukset - rationaaliset Cauchy-jonot - desimaaliapproksimaatiot. Reaalilukujen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi

Matematiikan tukikurssi Matematiikan tukikurssi Kurssikerta 4 Jatkuvuus Jatkuvan funktion määritelmä Tarkastellaan funktiota f x) jossakin tietyssä pisteessä x 0. Tämä funktio on tässä pisteessä joko jatkuva tai epäjatkuva. Jatkuvuuden

Lisätiedot

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7

STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 STOKASTISET DIFFERENTIAALIYHTÄLÖT 7 1. Todennäöisyyslasennasta ja merinnöistä Palautamme seuraavassa lyhyesti mieleen todennäöisyyslasennan äsitteitä ja esittelemme myös muutamia urssilla äytettäviä merintätapoja.

Lisätiedot

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B.

1. Osoita, että joukon X osajoukoille A ja B on voimassa toinen ns. de Morganin laki (A B) = A B. HY / Avoin yliopisto Johdatus yliopistomatematiikkaan, kesä 2015 Harjoitus 3 Ratkaisuehdotuksia Tehtäväsarja I Seuraavissa tehtävissä harjoitellaan muun muassa kahden joukon osoittamista samaksi sekä joukon

Lisätiedot

Johdatus matemaattiseen päättelyyn

Johdatus matemaattiseen päättelyyn Johdatus matemaattiseen päättelyyn Maarit Järvenpää Oulun yliopisto Matemaattisten tieteiden laitos Syyslukukausi 2015 1 Merkintöjä Luonnollisten lukujen joukko N on joukko N = {1, 2, 3,...} ja kokonaislukujen

Lisätiedot

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen

ANALYYSI 3. Tero Kilpeläinen ANALYYSI 3 Tero Kilpeläinen Luentomuistiinpanoja syksyltä 2005 14. helmikuuta 2014 Sisältö 1. Esitietoja 2 1.1. Riemann-integraali............................ 2 1.2. Derivaatta.................................

Lisätiedot

Sarjat ja integraalit

Sarjat ja integraalit Sarjat ja integraalit Peter Hästö 11. maaliskuuta 2015 Matemaattisten tieteiden laitos Eteneminen pvm luku v 11 2.1, 2.2 v 12 2.3, 2.4 v 13 3.1 v 14 3.2 v 15 4 v 16 5.1 v 17 5.2 v 18 6.1 v 19 6.2 Peter

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Funktiojonon tasainen suppeneminen

Funktiojonon tasainen suppeneminen TAMPEREEN YLIOPISTO Pro gradu -tutkielma Taina Saari Funktiojonon tasainen suppeneminen Matematiikan ja tilastotieteen laitos Matematiikka Elokuu 2009 Tampereen yliopisto Matematiikan ja tilastotieteen

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi 2

Matematiikan peruskurssi 2 Matematiikan peruskurssi Tentti, 9..06 Tentin kesto: h. Sallitut apuvälineet: kaavakokoelma ja laskin, joka ei kykene graaseen/symboliseen laskentaan Vastaa seuraavista viidestä tehtävästä neljään. Saat

Lisätiedot

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat

Derivaattaluvut ja Dini derivaatat Derivaattaluvut Dini derivaatat LuK-tutkielma Helmi Glumo 2434483 Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto Syksy 2016 Sisältö Johdanto 2 1 Taustaa 2 2 Määritelmät 4 3 Esimerkkejä lauseita 7 Lähdeluettelo

Lisätiedot

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA

(1 + i) + JA. t=1. t=1. (1 + i) n (1 + i) n. = H + k (1 + i)n 1 i(1 + i) n + JA Investoinnin annattavuuden mittareita Opetusmonisteessa on asi sivua, joilla on hyvin lyhyesti uvattu jouo mittareita. Seuraavassa on muutama lisäommentti ja aavan-johto. Tarastelemme projetia, jona perusinvestointi

Lisätiedot

811120P Diskreetit rakenteet

811120P Diskreetit rakenteet 811120P Diskreetit rakenteet 2016-2017 ari.vesanen (at) oulu.fi 5. Rekursio ja induktio Rekursio tarkoittaa jonkin asian määrittelyä itseensä viittaamalla Tietojenkäsittelyssä algoritmin määrittely niin,

Lisätiedot

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista

Reaalifunktioista 1 / 17. Reaalifunktioista säilyy 1 / 17 säilyy Jos A, B R, niin funktiota f : A B sanotaan (yhden muuttujan) reaalifunktioksi. Tällöin karteesinen tulo A B on (aiempia esimerkkejä luonnollisemmalla tavalla) xy-tason osajoukko,

Lisätiedot

Kompleksitermiset jonot ja sarjat

Kompleksitermiset jonot ja sarjat Kompleksitermiset jonot ja sarjat Aalto MS-C300, 205, v., Kari Eloranta Tutkitaan kompleksitermisten jonojen ja sarjojen ominaisuuksia. Päätavoite on kompleksifunktioiden sarjakehitelmien ymmärrys. Määritelmä

Lisätiedot

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg)

Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus Malliratkaisut (Sauli Lindberg) Matematiikan ja tilastotieteen laitos Reaalianalyysi I Harjoitus 4 9.4.-23.4.200 Malliratkaisut (Sauli Lindberg). Näytä, että Lusinin lauseessa voidaan luopua oletuksesta m(a)

Lisätiedot

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6

J1 (II.6.9) J2 (X.5.5) MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 MATRIISILASKENTA(TFM) MALLIT AV 6 J (II.6.9) Päättele, että avaruusvetorit a, b ja c ovat lineaarisesti riippuvat täsmälleen un vetoreiden virittämän suuntaissärmiön tilavuus =. Tuti tällä riteerillä ovato

Lisätiedot

Luvun π irrationaalisuus. Ilari Vallivaara

Luvun π irrationaalisuus. Ilari Vallivaara Luvun π irrationaalisuus Ilari Vallivaara 27. marraskuuta 24 Sisältö 1 Esipuhe 2 2 Todistuksen pääpiirteinen kulku 3 3 Todistus 4 Lähdeluettelo 9 1 1 Esipuhe Luvun π irrationaalisuus seuraa suoraan sen

Lisätiedot

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3

Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 Matematiikan tukikurssi, kurssikerta 3 1 Epäyhtälöitä Aivan aluksi lienee syytä esittää luvun itseisarvon määritelmä: { x kun x 0 x = x kun x < 0 Siispä esimerkiksi 10 = 10 ja 10 = 10. Seuraavaksi listaus

Lisätiedot

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5.

Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. 3.4 Kvanttorit Todistamisessa on tärkeää erottaa tapaukset, kun sääntö pätee joillakin tai kun sääntö pätee kaikilla. Esim. On olemassa reaaliluku x, jolle x = 5. Kaikilla reaaliluvuilla x pätee x+1 >

Lisätiedot

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste,

reaalifunktioiden ominaisuutta, joiden perusteleminen on muita perustuloksia hankalampaa. Kalvoja täydentää erillinen moniste, Reaaliluvuista Pekka Alestalo Matematiikan ja systeemianalyysin laitos Aalto-yliopiston perustieteiden korkeakoulu Nämä kalvot sisältävät tiivistelmän reaaliluvuista ja niihin liittyvistä käsitteistä.

Lisätiedot

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y.

x > y : y < x x y : x < y tai x = y x y : x > y tai x = y. ANALYYSIN TEORIA A Kaikki lauseet eivät ole muotoiltu samalla tavalla kuin luennolla. Ilmoita virheistä yms osoitteeseen mikko.kangasmaki@uta. (jos et ole varma, onko kyseessä virhe, niin ilmoita mieluummin).

Lisätiedot

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2)

MS-A0104 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ELEC2) MS-A0106 Differentiaali- ja integraalilaskenta 1 (ENG2) MS-A4 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ELEC2) MS-A6 Differentiaali- ja integraalilaskenta (ENG2) Harjoitukset 3L, syksy 27 Tehtävä. a) Määritä luvun π likiarvo käyttämällä Newtonin menetelmää yhtälölle

Lisätiedot

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton.

Jokaisen parittoman kokonaisluvun toinen potenssi on pariton. 3 Todistustekniikkaa 3.1 Väitteen kumoaminen vastaesimerkillä Monissa tilanteissa kohdataan väitteitä, jotka koskevat esimerkiksi kaikkia kokonaislukuja, kaikkia reaalilukuja tai kaikkia joukkoja. Esimerkkejä

Lisätiedot

1 Määrittelyjä ja aputuloksia

1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1 Määrittelyjä ja aputuloksia 1.1 Supremum ja infimum Aluksi kerrataan pienimmän ylärajan (supremum) ja suurimman alarajan (infimum) perusominaisuuksia ja esitetään muutamia myöhemmissä todistuksissa tarvittavia

Lisätiedot

Raja-arvot ja jatkuvuus

Raja-arvot ja jatkuvuus Raja-arvot ja jatkuvuus 30. lokakuuta 2014 10:11 Suoraa jatkoa kurssille Johdatus reaalifunktioihin (MATP311) (JRF). Oheislukemista: Kilpeläinen: Analyysi 1, luvut 3-6, Spivak: Calculus, luvut 5-8, 22,

Lisätiedot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot

Funktion raja-arvo ja jatkuvuus Reaali- ja kompleksifunktiot 3. Funktion raja-arvo ja jatkuvuus 3.1. Reaali- ja kompleksifunktiot 43. Olkoon f monotoninen ja rajoitettu välillä ]a,b[. Todista, että raja-arvot lim + f (x) ja lim x b f (x) ovat olemassa. Todista myös,

Lisätiedot

Iteratiiviset ratkaisumenetelmät

Iteratiiviset ratkaisumenetelmät Iteratiiviset ratkaisumenetelmät Keijo Ruotsalainen Division of Mathematics Yleinen iteraatio Lineaarisen yhtälöryhmän iteratiivinen ratkaisumenetelmä voidaan esittää muodossa: Anna alkuarvaus: x 0 R n

Lisätiedot

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta

Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Esimerkki kaikkialla jatkuvasta muttei missään derivoituvasta funktiosta Seminaariaine Miikka Rytty Matemaattisten tieteiden laitos Oulun yliopisto 2004 Matemaattista ja historiallista taustaa Tämän kappaleen

Lisätiedot

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4)

C (4) 1 x + C (4) 2 x 2 + C (4) http://matematiialehtisolmu.fi/ Kombiaatio-oppia Kuia mota erilaista lottoriviä ja poeriättä o olemassa? Lotossa arvotaa 7 palloa 39 pallo jouosta. Poeriäsi o viide orti osajouo 52 orttia äsittävästä paasta.

Lisätiedot