Konformigeometriaa. 5. maaliskuuta 2006

Transkriptio

1 Konformigeometriaa 5. maaliskuuta 006 1

2 Sisältö 1 Konformigeometria 1.1 Viivan esitys stereograasena projektiona Euklidisen avaruuden konformaalinen malli Konformikuvaukset 4.1 Translaatio Rotaatio Inversio Dilataatio Konformigeometria Projektiivisessa geometriassa on eräitä hankaluuksia. Ensinnäkin Euklidiset ominaisuudet kuten kulmat ja etäisyydet eivät sisälly teoriaan. Toisaalta Euklidisten perusrakenteiden, kuten pallojen ja ympyröiden esittäminen on kömpelöä. Näihin ongelmiin elegantin vastauksen antaa konformigeometria. Konformaalisen geometrian idea on yksinkertaisuudessaan seuraava. Esitettävä avaruus V(p, q) esitetään avaruuden V(p + 1, q + 1) nollavektorien avulla. Merkintä (p, q) tarkoittaa avaruuden signatuuria, ts. kantavektoreille pätee: e 1 =... = e p = 1 ja e p+1 =... = e p+q = 1. Merkitään avaruuden V(p, q) vektorin x konformaalista vastinetta X:llä. Vektoriavaruuden V(p, q) generoivat geometrisen algebran G(p, q). Lisätään generoivien vektorien joukkoon näiden kanssa ortonromaalit vektorit {e, ē} siten, että näin saatu vektorijoukko generoi geometrisen algebran G(p + 1, q + 1). Ennen kuin konstruoidaan yleisen Euklidisen avaruuden konformaalinen malli, tarkastellaan erästä tutuhkoa esimerkkiä. ortonormaalit kantavektorit {e i } p+q i=1 1.1 Viivan esitys stereograasena projektiona Viiva on 1-dimensoinen geometrian objekti. Viiva mallinnetaan stereograasessa projektiossa tason yksikkövektoreina. Asetaan viiva kulkemaan yksikköympyrän x-akselia pitkin. Olkoon viivansuuntainen yksikkökantavektori e 1 ja viivaa vastaan kohtisuorassa oleva yksikkökantavektori e. Yksikköympyrän pisteet voidaan antaa muodossa ˆr = cos(θ)e 1 + sin(θ)e. Merkitään yksikköympyrän pistettä, joka vastaa kulman θ arvoa 3π/ symbolilla N. Piirretään pisteiden N ja ˆr kautta kulkeva suora. Pistettä, missä

3 piirretty viiva leikkaa suoran merkitään x. Jokaiselle x on siis löydettävissä kulman θ arvo. Sanomme, että pisteen x esitys stereogaasena projektiona on ˆr. Viivan pisteellä ja sitä vastavalla kulmalla θ on yhteys Vastaavasti löydetään yhteydet cos(θ) = x = cos(θ) 1 + sin(θ). x 1 + x ja sin(θ) = 1 x 1 + x. Olkoon ē vektori, joka on kantavektoreita e 1 ja e vastaan kohtisuorassa. Lisäksi ē = 1. Olkoon vektori X määritelty kaavalla Koska X = ˆr + ē = x 1 + x e x 1 + x e + ē. X = }{{} ˆr + }{{} ē + }{{} ˆrē + }{{} ēˆr = 0, =1 = 1 niin X on nollavektori. Koska myös λx on nollavektori, niin vektorit X ja λx esittävät samaa pistettä. Voidaan siis merkitä X = xe 1 + (1 x )e + (1 + x )ē. (1) Korvataan vektori e vektorilla e, joten saamme e = 1, ē = 1 ja e ē = 0. Vektorit e ja ē ovat siis vektorit, joiden avulla laajennetaan vektoriavaruus V(1, 0) vektoriavaruudeksi V(1+1, 0+1) = V(, 1). Määritellään nollavektorit Vektoreille pätee n = e + ē ja n = e ē. n = n = 0 ja n n =. Kun sijoitetaan e = 1(n + n) ja ē = 1 (n n) esitykseen (1), saadaan X = xe 1 (1 x )e + (1 + x )ē = xe 1 (1 x ) n + n + (1 + x ) n n = xe 1 + x n n. Vektoria X sanotaan pisteen x konformaaliseksi esitykseksi. 3

4 1. Euklidisen avaruuden konformaalinen malli Olkoon x avaruuden V(p, q) alkio. Otetaan jälleen käyttöön ortonormaalit vektorit {e, ē} ja määritellään kuten edellä n = e+ē ja n = e ē. Määritellään pistettä x vastaava konformaalinen vastine asettamalla F (x) = X = x + x n n, joka on nollavektori avaruudessa V(p + 1, q + 1). Esitys on invariantti skalaarilla kertomisen suhteen, eli X ja λx esittävät sama pistettä. Olkoot X ja Y Euklidisen avaruuden pisteiden x ja y konfomaalinen esitys. Lasketaan pisteiden sisätulo X Y = (x + x n n) (y + y n n) = x y + 4x y = (x y). Tämä tulos on perustavaalaatua oleva tulos konformaalisessa geometriassa, sillä konformaalisen sisätulon vastine Euklidisessa geometriassa on etäisyys. Tästä seuraa, että sisätulon invarianttina säilyttävä muunnos avaruudessa V(p+1, q+1) vastaa kulmat ja etäisyydet säilyttävää muunnosta avaruudessa V(p, q). Konformikuvaukset Funktio f : V(p, q) V(p, q) on konformikuvaus, jos F (a) F (b) = λa b, kun F (a) = a f( ), a, b V(p, q) ja λ R. Konformikuvaukset muodostavat konformaalisen ryhmän, merkitään ryhmää M p,q. Tutustutaan seuraavaksi neljään tärkeään konformikuvaukseen: translaatioon (siirto), rotaatioon (kierto), inversioon ja dilataation (venytys)..1 Translaatio Translaatio ei ole lineaarikuvaus avaruudessa V(p, q). Konformaalisessa mallissa translaatio voidaan esittää roottorien avulla, eli konformaalisessa mallissa translaatio on lineaarikuvaus. Olkoon siis roottori R = T a = e na/, 4

5 kun a V(p, q). Jos F (x) on pisteen x konformaalinen esitys, translaatio on muotoa T a F (x) T a. Todistetaan tämä. Roottorissa argumenttina nollavektori n, joka on ortogonaalinen avaruuden V(p, q) vektorien kanssa, eli a n = 0 ja (an) = 0. Kehitetään roottori eksponenttifunktion määritelmän mukaan, eli Merkitään Tällöin T a = (na/) k k k! = 1 + na + {}}{ (na/)! T a = T a = 1 na = 1 + na. T a n T a = (1 + na na )n(1 ) = n + 1 nan + 1 nan + 1 nanan = n. 4 Vastaavasti T a n T a = n a a n. Operoidaan vektoriin x vastaavalla tavalla, saadaan T a x T a = (1 + na na )x(1 ) = x + na x xna nana }{{ 4 } ( ax + xa ) = x + n = x + n(a x). Kun sovelletaan edellä laskettuja tuloksia, saadaan T a F (x) T a = (1 + na )(x + x n n)(1 na ) = x n + (x + a xn) ( n a a n) = (x + a) n + (x + a) n = F (x + a). Operaatio T a F (x) T a esittää siis translaatiota x x + a konformaalisessa mallissa. 5

6 . Rotaatio Olkoon x V(p, q). Euklidisessa mallissa vektoria x voidaan kiertää origon ympäri roottorin R G(p, q) avulla x x = Rx R. Kun kierretään vektoria lähtöavaruudessa origon ympäri kieryy myös vektorin konformaalinen vastine, siis F (x ) = F (Rx R) = Rx R + (Rx R) n n }{{} =Rx R = R(x + x n n) R = RF (x) R, () sillä roottori R G(p, q) kommutoi vektorien n ja n kanssa. Jos halutaan kiertää vektoria x pisteen a ympäri pitää tehdä seuraavasti. Tehdään kierto heti konformaaliselle vektorille X, siis (i) siirretään vektori a origoon, eli X T a X T a, (ii) kierretään vektoria origon ympäri, eli X RT a X T a R, (iii) siirretään a takaisin, eli X T a RT a X T a R Ta, mikä lopullinen kierron lauseke. Merkitään R (a) = T a RT a = (1 + na )R(1 + an ), joten kierto pisteen a ympäri on esitettävissä lyhyesti muodossa X R (a)x R (a). Konformaalinen malli ei aseta origo mitenkään erityiseen asemaan, vaan käsittelee sitä kuten muitakin pisteitä. Rotaatio voidaan suorittaa samalla tavalla kaikkien pisteiden ympäri..3 Inversio Rotaatio ja translaatio ovat kuvauksia, jotka säilyttävät pisteiden väliset etäisyyden invarianttina. Kuvaukset ovat osajoukko suurempaa ryhmää, joka säilyttää kulmat invarianttina. Konformaalinen ryhmä M p,q sisältää vielä 6

7 kaksi kulmat säilyttävää kuvausta, joista tässä tutustutaan inversioon. Euklidisessa avaruudessa inversio määritellään kuvauksena x x 1 = x x. Inversion kuvan konformaalinen vastine on F (x 1 ) = x 1 + x n n = 1 (x + n x n). x Koska konformaaliset pisteet ovat invariantteja skalaarilla kertomisen suhtaan, voidaan kerroin 1 unohtaa. Inversio voidaan esittää siis kuvausena, x missä n n ja n n. Todistetaan pari jatkossa tarvittavaa identiteetti, eli ja Huomataan, että ene = e(e + ē)e = eee + eēe = e ē = n (3) e ne = e(e ē)e = eee eēe = e + ē = n. (4) ef (x)e = e(x + x n n)e = xe + x }{{} ene }{{} e ne = n =n = x + x n n = F (x 1 ). Euklidisen mallin inversio on konformaalisessa mallissa peilaus!!!.4 Dilataatio Euklidisessa avaruudessa dilataatio määritellään kuvauksena x e α x, missä α R. Selvästi nähdään, että kuvaus venyttää vektoria x, eli se säilyttää kulmat, joten dilataatio on konformikuvaus. Kuvavektorin konformaalinen vastine on F (e α x) = e α (x + x e α n e α n), 7

8 mistä voidaan jälleen kerroin e α unohtaa. Konformaalisen mallin dilataatiossa tapahtuu siis kuvakset n e α n ja n e α n. Koska edelleen (e α n) e α n = n n =, ei kuvaus muuta sisätuloa. Kuvaus voidaan siis esittää roottorin avulla. Merkitään N = eē = 1 4 (n + n)(n n) = 1 4 ( }{{} n +n n nn + }{{} n ) = 1 n n. Bivektorilla N on ominaisuudet: vastaavasti Nn = 1 n nn = 1 (n n n n }{{})n = = 1 (n nn n) = 1 ( n }{{} n n) = n, nn = n, N n = n = nn ja N = 1. Viimeisestä tuloksesta seuraa, että N = N 3 = N 5 =... ja 1 = N = N 4 = N 6 =... Määritellään roottori asettamalla D α = e Nα/ (αn/) k = k! k = k,,4... (α/) k k! + k=1,3,5... = cosh(α/) + sinh(α/)n. (α/) k N k! 8

9 Tällöin D α n D α =(cosh(α/) + sinh(α/)n)n(cosh(α/) sinh(α/)n) =(cosh(α/)n + sinh(α/) }{{} N n )(cosh(α/) sinh(α/)n) = n = cosh (α/)n sinh(α/) cosh(α/)n cosh(α/) sinh(α/) }{{} nn =n cosh(α/) sinh(α/) }{{} nn + sinh (α/) }{{} nn =n =n ( ) = (cosh(α/) sinh(α/)) cosh(α/) + (cosh(α/) sinh(α/))( sinh(α/)) n =(cosh(α/) sinh(α/))(cosh(α/) sinh(α/))n }{{}}{{} e α/ e α/ =e α n. Vastaavalla väännöllä saadaan D α n D α = e α n. Konformaalisen kuvapisteen dilataatio esitettynä roottorin avulla on D α F (x) D α = D α (x + x n n) D α = D α x D α + x D α n D }{{ α D } α n D }{{ α} e α n e α n = x + x e α n e α n = F (e α x). 9