Kertaustehtävien ratkaisut

Transkriptio

1 Rakaiuia Nämä Derivaaa -kurin kerauehävien ja -arjojen rakaiu peruuva oppikirjan ieoihin ja meneelmiin. Kuakin ehävää on yleenä vain yki rakaiu, mikä ei kuienkaan arkoia iä, eä rakaiu olii ainoa ai ede para mahdollinen. Valiu rakaiuapa on oivoavai kuienkin mahdolliimman uoraviivainen ja ymmärreävä. Rakaiu ova mallirakaiuja. Niiä rakaiun eeneminen on eiey niin arkai ja peruellen kuin hyvää rakaiua piää ehdä. Hyvään rakaiuun kuuluu rakaiua käyeyn meneelmän ja merkinöjen anallinen eliäminen. Monia ämän kurin ehäviä peruelu ehdään unkion kulkukaavion avulla. Tällöin kulkukaavion muodoaminen ja peruelu on oleellinen oa ehävän rakaiua. Monei rakaiujen hahmoamiea arviaan myö unkioiden kuvaajia. Kuvaaja on helppo piirää graaiella lakimella, joen kuvaaja kannaaa piirää, vaikka iä ei välämää vaadiaiikaan. Kuvaajan avulla on myö uein helppo arkiaa ehävän vaau. Rakaiuun kuuluu myö vaauken ilmoiaminen. Mieluimmin kannaaa kirjoiaa erillinen vaau, vaikka oheiia rakaiuia ei ilan ääämieki ole näin ehykään. Rakaiu on kuienkin laadiu ien, eä vaau on rakaiun lopua. Yleenä ehävien rakaiuia arviaan ekä analliia perueluja vaaivia välivaiheia eä mekaaniia lakuja, kuen yhälöiden rakaiemia ai kaavojen käyöä. Oheiia rakaiuia on anallie peruelu eiey vähinäänkin riiävällä arkkuudella. Myö rakaiuihin liiyvä kuvio on piirrey, ellei ehävää ole ollu kuvioa valmiina. Monimukaiemmia ehäviä on joiain mekaanien vaiheiden ykiyikohdia ollu joku pakko inkiä, joa rakaiujen elkey ei kärii. Eimerkiki oien aeen yhälön rakaiua rakaiukaavan avulla ei ole kirjoieu näkyviin, vaikka ämä äydellieen rakaiuun kuuluukin. Opikelijan piää kuienkin omia rakaiuiaan käyää riiäväi välivaiheia, koka ämä parhaien akaa virheeömän loppuuloken. Jukka Kangaaho ja Werner Söderröm Oakeyhiö 7

2 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä Kerauehävien rakaiu. Raionaaliunkio on määriely muualla paii nimiäjien nollakohdia. a Nimiäjien nollakohda: Määrielyjoukko on R \ {, }. b Nimiäjän nollakohda: ai Määrielyjoukko on R \ {, }. c Nimiäjä on aina poiiivinen, joen illä ei ole nollakohia. Määrielyjoukko on R. d Nimiäjän nollakohda: Määrielyjoukko on R \ {}.. a 9 b c d

3 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä. a b c Lauekkeen nimiäjä ei jakaudu ekijöihin, joen laueke ei upiu. 7. Funkio on määriely, kun nimiäjä ei ole nolla. ai Määrielyjoukko on R \ {, }. Supieu laueke:. Funkion määrielyjoukko on R \ {}. 8. a b c

4 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä 9. a b c d. a b : :. a b : : c :

5 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä 7. a, kun b, kun c Lauekkeen nimiäjä on kohdaa nolla, mua ooiaja ei ole. Sii laueke ei ole muooa, joen raja-arvoa ei ole.. a, kun b, kun. a, kun b, : kun c, kun

6 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä. Funkio on jakuva välillä [, ] ja ja 8. Luku on pääepiearvojen väliä, joen unkio aa joakin välin ], [ kohdaa arvon.. a Yhälön 8 juure ova unkion 8 nollakohda. Funkio on jakuva välillä [, ] ja < ja 8 9 >. Koka pääepiearvo ova erimerkkie, unkiolla on nollakoha välillä ], [. b Haarukoidaan: <, <, >, > Koka unkion arvo, ja, ova erimerkkie, unkiolla on nollakoha välillä ],;,[. Koka nollakoha välillä ],;,[, en ykideimaalinen likiarvo on,. 7. Funkio on jakuva kohdaa, jo lim. 9, kun 8 Sii piää olla. 8., kun eli kun, kun < eli kun Sii:, kun <, kun < Funkio on jakuva, illä e on jakuva muualla paii mahdolliei kohdaa. Koka, ja, kun riippumaa iiä kummala puolela läheyminen apahuu, unkio on jakuva myö kohdaa. 8

7 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä 9. a Funkion arvo kohdaa. b Derivaaa on angenin kulmakerroin. Kohaan piirrey angeni kulkee likimain pieiden, ja, kaua, joen. Kohaan piirrey angeni on -akelin uunainen, joen. Tangeni kulkee pieiden, ja, kaua. c >, kun kohaan piirrey angeni on noueva. Tangeni on noueva, kun <.. a Kavunopeu on angenin kulmakerroin.. viikon kohdalla kavunopeu on likimain cm cm/viikko. viikkoa 7. viikon kohdalla kavunopeu on cm, cm/viikko. viikkoa b Kavu on nopeina kohdaa, johon piirreyn angenin kulmakerroin on uurin. Koha on likimain, viikon kuluua, jolloin kavunopeu on noin cm/viikko.. Funkio ei ole derivoiuva kohdia ja, jolloin kuvaajaa on kärki. Muualla derivaaa on vaaavan uoran kulmakerroin: Kun <, niin. Kun < <, niin. Kun >, niin. 9

8 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä. Kuvion perueella. Välillä [, [ unkio on vakiounkio. Sii. 9. a Funkion 7 erouoamäärä kohdaa on kun, 9 7 Sii. b Funkion g erouoamäärä kohdaa on kun, : g g Sii. g y

9 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä a 998 b a D 8 D b D 7, illä 7 on vakio. c D D D. Pallon pinnan ala ekunnin kuluu on A π. Kavunopeu hekellä on derivaaa A 8π. a Kavunopeu viiden ekunnin kuluua on A 8π cm /. b Kavunopeu viidenoia ekunnin kuluua on A 8π 8 cm /.

10 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä 7. a Tangenin kulmakerroin on unkion 7 derivaaa kohdaa. Derivoidaan: Kulmakerroin on. 9 Sivuamipieen y-koordinaai on 7. Sivuamipie on,. Tangenin yhälö: y y y y b Normaali kulkee ivuamipieen, kaua. Normaalin kulmakerroin on. 9 Normaalin yhälö: y y y y 8. Kuvaajan pieeeen, piirrey kuvaajan angeni on uoran y uunainen, kun angenin kulmakerroin. Derivoidaan : Sii, kun: ± ± Koka vain yhdeä kohdaa, pieiä on vain yki.

11 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä 9. Huipun -koordinaai on unkion, derivaaaunkion nollakoha. y-koordinaai on,,. Sii huippu on ;,. 7. Huipun -koordinaai on unkion a derivaaaunkion nollakoha. Huippu on uoralla y, kun huipun y-koordinaai eli on. Sii: a a 7. Käyrä leikkaa -akelin kohdaa, joa eli. Koha on. Leikkaukulma on kohaan piirreyn angenin uunakulma α. Funkion derivaaaunkio on, joen kohaan piirreyn angenien kulmakerroin on. Sii: an α α 78,7 7. Kuvaajien leikkaukohda: Rakaiukaavalla. Sii kuvaajilla on yki yheinen pie, ja en -koordinaai on. Kohaan piirreyjen angenien kulmakeroime:, g, joen kulmakeroime ova ja g. Kulmakeroime kohdaa ova yhä uure, joen käyrä ivuava oiiaan yheieä pieeään.

12 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä 7. a Funkion g derivaaaunkio g on poiiiviilla luvuilla kerroujen parillien poenien umma, joen e on kaikkialla epänegaiivinen ja nolla vain kohdaa. Sii unkio g on kaikkialla aidoi kavava. b Funkion h derivaaaunkion h 9 kuvaaja on alapäin aukeava paraabeli. Rakaiukaavalla nähdään, eä derivaaalla on vain yki nollakoha. Sii derivaaa on kaikkialla negaiivinen yhä nollakohaa lukuun oamaa, joen unkio h on kaikkialla aidoi vähenevä. 7. Derivaaan kuvaaja on ylöpäin aukeava paraabeli, jonka nollakohda ova ja. Funkion kulkukaavio: Kulkukaavion perueella unkio on aidoi vähenevä välillä [, ]. Koka kohda ja kuuluva välille [, ] ja <, on >. 7. a Funkion kuvaaja on alapäin aukeava paraabeli. Paraabelin huippukoha on derivaaan nollakoha. Funkio on aidoi kavava välillä ], ] ja aidoi vähenevä välillä [, [. b Huippukoha on makimikoha. Makimiarvo on.

13 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä 7. Derivoidaan unkio Derivaaan nollakohda: 7 7 Kulkukaavio: ai Kulkukaavion perueella: : 7 ai Funkio on aidoi kavava välillä [, ] ja aidoi vähenevä väleillä ], ] ja [, [. 7 Funkiolla on minimikoha ja makimikoha. 7 <,, >,, > 7 < 77. Yhälön juure ova unkion 8 8 nollakohda. Tukiaan unkion kulkua. Derivoidaan: Derivaaan nollakohda: Kulkukaavio: Kulkukaavion perueella unkio on aidoi vähenevä välillä ], ] ja aidoi kavava välillä [, [. Sii unkiolla on korkeinaan yki nollakoha välillä ], ] ja korkeinaan yki nollakoha välillä [, [. Koka unkio on jakuva ja 8 > ja 7 <, unkiolla on nollakoha välillä ], [. Koka 7 >, unkiolla on nollakoha välillä ], [. Sii unkiolla on kaki nollakohaa, joen yhälöllä on kaki juura. 8 < >

14 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä 78. Tukiaan unkion 9 a kulkua. Derivaaan 8 kuvaaja on ylöpäin aukeava paraabeli, jonka nollakohda ova ja. Kulkukaavio: Kulkukaavion perueella: Funkiolla on makimi kohdaa ja minimi kohdaa. Makimiarvo on Koka makimiarvo on, on 7 a a. 9 a 7 a. Sii 9, joen minimiarvo on 9.

15 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä 79. Funkion kuvaaja on ylöpäin aukeava paraabeli. a Funkion arvo uureneva rajaa, kun uurenee ai pienenee rajaa, joen unkiolla ei ole uurina arvoa. b Pienin arvo on huipun y-koordinaain arvo. Huippukohdaa derivaaa, joen. Pienin arvo on. c Arvojoukko on [, [. 8. Funkion derivaaan nollakohda ova ja. Kulkukaavio: a Rajaaan kulkukaavio välille ], 8]. 8 Kulkukaavion perueella pienin arvo on. b Rajaaan kulkukaavio välille ], 9]. 9 Kulkukaavion perueella pienin arvo on joko ai 9. Koka ja 9 9, pienin arvo on. 7

16 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä 8. Polynomiunkiona unkio aa uurimman arvona uljeun välin [, ] pääepieeä ai välille kuuluvaa derivaaan nollakohdaa. Pääepiearvo: 8 8,7 Derivaaan nollakohda:,8 ai, 8 Nollakohda eivä kuulu välille [, ]. Sii unkion uurin arvo on ja pienin arvo Epäyhälö 8 on yhäpiävä epäyhälön 8 kana. Määrieään unkion Derivaaan ai 8 pienin arvo. nollakohda: Kulkukaavio: ai Rakaiukaavalla. 8 <,, > < > Kulkukaavion perueella unkio aa pienimmän arvona kohdaa ai. Lakeaan arvo:, Pienin arvo on, joen jokaiella :n arvolla, eli väie päee. 8

17 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä 8. Polynomiunkiona unkio 7 a aa uurimman arvona uljeulla välillä [9, 9] välin pääepieeä ai välille kuuluvaa derivaaan nollakohdaa. Pääepiearvo: 9 a, 9 a Derivaaan 7 nollakohda: 7 ai Molemma nollakohda kuuluva välille [9, 9]. a, a Suurin arvo välillä [9, 9] on a. Suurin arvo on. a a 8. Luvun neliö on ja kuuio. Näiden erou on. Erou on uurin illä :n arvolla, jolla unkio, > aa uurimman arvona. Derivoidaan: Derivaaan nollakohda: ai Rajaaan kulkukaavio välille >. Kulkukaavio: Kulkukaavion perueella unkio aa poiiiviilla muuujan arvoilla uurimman arvona kohdaa. Kyyy luku on. 9

18 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä 8. Merkiään kehikon pohjaärmän piuua ja kehikon korkeua cm. Tällöin 8 8 : 8. Levey voi olla eninään : 8, cm. a Tilavuu on 8 8. On määrieävä unkion 8 uurin arvo, kun,. Derivaaan nollakohda: Kulkukaavio: ai Välille, rajau kulkukaavio:, Tilavuu on uurin, kun kehikon pohjaärmä cm ja korkeu 8 cm. 8. Merkiään pohjaärmän piuua korkeua cm. Tällöin vaipan ja yläpohjan yheenlakeu pina-ala on A. Koka lankaa on käyeäviä cm, on 8. Sii A 7, miä. Funkion A 7 kuvaaja on alapäin aukeava paraabeli, joen e aa uurimman arvona derivaaan A nollakohdaa,. Tällöin korkeu 7,. Sii pohjaärmä on, cm ja korkeu 7, cm.

19 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä 87. Jo rakenneaan mökkiä liää, niin mökkien määrä on ja yhdeä mökiä aaava vuokraulo ova. Kokonaiulojen määrä on. Funkion kuvaaja on alapäin aukeava paraabeli, joen e aa uurimman arvona derivaaan nollakohdaa. Sii ulo on uurin, kun alueella on mökkiä, jolloin vuokraulo ova 9 euroa. 88. Merkiään poileikaavan neliön ivua cm. voi olla eninään puole levyn ivunpiuudea eli cm. Synyvän laaikon korkeu on ja pohjaneliön ivunpiuu on. Laaikon ilavuu on V 9 9,. Määrieään unkion V uurin arvo. Derivoidaan: V 9 Derivaaan nollakohda: 9 ± 9 ± ± ai Kulkukaavio: V V Välille rajau kulkukaavio: V V Kulkukaavion perueella unkio aa uurimman arvon kohdaa. Sii ilavuu on uurin, kun poileikaavan neliön ivu on cm.

20 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä 89. Merkiään lieriön pohjan ädeä r cm, jolloin pohjan halkaiija on r. Lieriön korkeu voi olla eninään r r. Säde r voi olla eninään 8, 7 cm. Laukun ilavuu on V r πr h πr r πr πr, r 8,7. Tilavuu aa uurimman arvon välille r 8,7 kuuluvaa derivaaan V r πr πr V π nollakohdaa 9,7. V π Suurimman lieriön pohjan halkaiija on r 9,7 8, cm. Korkeu on r 9,7 8, cm Olkoon poiiiviella -akelilla olevan ivun oien pääepieen -koordinaai. Suorakulmion ivujen piuude ova ja y. y y Suorakulmion pina-ala on A, miä. Funkio A aa välin pääepieiä arvon, joen e aa uurimman arvona derivaaan A 8 nollakohdaa. Pina-alan uurin arvo on A. 8

21 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä 9. a Tulon derivoiniäännöllä D uv u v uv aadaan: h D b h n n 9. Poenin derivoiniäännöllä D n aadaan: a D b D c D 9. a Tulon ja poenin derivoiniäännöillä aadaan: D D D 8 b Tulon nollaäännön perueella, kun ai ai 8.

22 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä 9. Oamäärän derivoinikaavalla D g g g g aadaan: a D Murounkion nollakohda ova ooiajan nollakohia, joen derivaaaunkiolla ei ole nollakohia. b D 8 Nollakohda: ai 9. a, joen D b, joen D c Sii: D.

23 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä 9. Poenin derivoiniäännöllä D n n n aadaan: a D D b D D c D D 97. Tangenin kulmakerroin on yhä uuri kuin uoran y kulmakerroin eli. Merkiään. Sivuamikohdaa on. Derivoidaan: D Sii: ai Sivuamipieiden y-koordinaai ova ja. Sii kyyy piee ova, ja,.

24 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä 98. a Yhälö on määriely, kun ja. Saau juuri kuuluu yhälön määrielyjoukkoon. b Yhälö on määriely, kun ja. ai Rakaiukaavalla. Saadu juure kuuluva yhälön määrielyjoukkoon.

25 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä a Yhälö on määriely, kun ja. määrielyjoukkoon. Kuuluu b Yhälö on määriely, kun ja. ai Rakaiukaavalla. Juuria kuuluu määrielyjoukkoon. c Yhälö on määriely, kun. ai Juure kuuluva määrielyjoukkoon.

26 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä. a Merkiään r. Kohda, joia r ei ole määriely: Nollakohda: Merkkikaavio: r > r < r > Funkion r arvo ova poiiiviia, kun < ai >. b Merkiään r. Kohda, joia r ei ole määriely: Nollakohda: Merkkikaavio: r > r < r > Funkion r arvo ova poiiiviia, kun < ai >. 8

27 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä. a > jo ja vain erou on poiiivinen. Merkiään r. Funkio r ei ole määriely kohdaa ja illä on nollakoha. Merkkikaavio: r > r < r, > Funkion r arvo ova poiiiviia, kun < ai >. b, < kun r <. Funkiolla r ei ole nollakohia ja e ei ole määriely, kun. Merkkikaavio: r > r < Funkion r arvo ova negaiiviia, kun >. c, r kun r. joen r ei ole määriely, kun ja en nollakohda ova ooiajan nollakohda ja. Merkkikaavio:, r, >, r,, <, r,, >, r, < Funkion r arvo ova epänegaiiviia, kun ai <. 9

28 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä. a Epäyhälö voidaan keroa lauekkeella, illä on epäyhälön määrielyjoukoa R \ {} poiiivinen, joen epäyhälön uuna ei keroea muuu. >, : < kun Sii epäyhälö oeuuu, kun < ai <. b Epäyhälö voidaan keroa lauekkeella, joka on kaikkialla poiiivinen. > Toien aeen epäyhälö oeuuu, kun ai.. Funkion derivaaaunkio on. Kulkukaavio: Derivaaan merkki voi vaihua nollakohdaa ja kohdaa, joa unkio ei ole määriely. Kulkukaavion perueella: Funkio on aidoi kavava välillä ], ] ja aidoi vähenevä väleillä ], [ ja [, [. Funkiolla on makimi kohdaa. Makimiarvo on. 8 < >, <

29 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä. Funkion derivaaaunkion nimiäjä on unkion koko määrielyjoukoa R \ {} poiiivinen, joen derivaaan merki määrää ooiaja. Ooiajan kuvaaja on ylöpäin aukeava paraabeli, jonka nollakohda ova ja. Kulkukaavio: Kulkukaavion perueella koha on makimikoha ja koha on minimikoha. Makimiarvo on. Minimiarvo on.

30 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä. Merkiään pohjaärmän piuua ja koelon korkeua dm. Koelon ilavuu on dm. Langan arve on 8 8, >. Määrieään unkion 8, > pienin arvo. Derivoidaan. 8 Derivaaan nollakohda: 8 8 Kulkukaavio:,7,7 <,, > Kulkukaavion perueella unkio aa pienimmän arvona, kun pohjaneliön ivu on dm,7 dm,7 cm. Tällöin koelon korkeu dm,9 dm 9, cm.

31 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Kerauehävä. Merkiään lieriön pohjan ädeä r ja korkeua h dm. Tölkin ilavuu on l dm. Sii h, joen h π r. πr Tarviavan pellin pina-ala on π r πrh πr πr πr πr. r Funkio r πr πr r, r > r aa pienimmän arvona derivaaan r 8πr r 8πr r π,. r nollakohdaa Tällöin pohjan halkaiija on r,8 dm 8, cm. Korkeu on h,7 dm 7, cm. πr 7. Merkiään arkin leveyä ja korkeua cm. Kirjoiuala on A. Arkin pina-ala on cm. Sijoieaan pina-alan lauekkeeeen. A, > Derivoidaan. A Derivaaan nollakohda ova ja. Kulkukaavion perueella ala aa uurimman arvon, kun. Tällöin. Sii kirjoiuala on uurin, kun arkin levey on cm ja korkeu cm., Kulkukaavio: A A, 97 <, >, cm, cm, cm A 99 >, A,8 <, cm

32 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Tehäväarja Sarja A. < jo ja vain erou on negaiivinen. Merkiään r. Funkio r ei ole määriely kohdaa. Funkion r nollakoha on. Merkkikaavio: r, > r < r > Funkion r arvo ova negaiiviia, kun < <.. Funkio 9 7 on polynomiunkiona jakuva ja unkion arvo,9, ja,97,8 ova erimerkkie. Sii unkiolla on nollakoha välillä ],9;,97[. Koka nollakoha on välillä ],9;,97[, nollakohdan kolmideimaalinen likiarvo on,97. Derivaaaunkio on kaikkialla epänegaiivinen ja nolla vain kohdaa, joen unkio on kaikkialla aidoi kavava. Sii unkiolla ei voi olla enempää kuin yki nollakoha, joen muia nollakohia ei ole.

33 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Tehäväarja. Merkiään vajan kaoken pääyneliön ivun piuua ja vajan piuua m. Vajan ilavuu on V. Pellin arve on m. Peliä on käyeäviä m, joen: Valiaan muuujaki. Muuujien arvojen piää olla poiiiviia, joen < <. Vajan ilavuu :n unkiona on V Derivoidaan:, miä < <. V Derivaaan nollakohda:,8 ai Kulkukaavio: Kulkukaavion perueella unkio V aa uurimman arvona, kun päädyn ivunpiuu Tällöin vajan piuu,8 m. V V, m.. Merkiään pääkauun rajoiuvan ivun piuua ja ivukauun rajoiuvan ivun piuua m. m Rakenamikelpoien alueen pina-ala on A. Tonin pina-ala on m, joen ja A, >. Derivoidaan: A Derivaaan poiiivinen nollakoha on,. Kulkukaavion perueella unkio A aa uurimman arvona derivaaan nollakohdaa. Sii pääkauun rajoiuva ivu on, m ja ivukauun rajoiuva ivu 9, m. A A m A,

34 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Tehäväarja. Funkio on määriely, kun en lauekkeen nimiäjällä g ei ole nollakohia. Tukiaan unkion g kulkua. Derivoidaan: g 9 Derivaaan nollakohda: 9 9 ai 9 ai Rakaiukaavalla. Kulkukaavio: g g g < g, > g < g > Kulkukaavion perueella unkio g aa pienimmän arvona joko kohdaa ai kohdaa. Koka g ja g, pienin arvo on. Funkion g pienin arvo on poiiivinen, joen unkiolla g ei ole nollakohia. Sii unkio on määriely kaikilla :n arvoilla.. Tangenin kulmakerroin kohdaa on derivaaa. Sii pieeeen a, a piirreyn angenin yhälö on y a a a eli y a a. Normaalin yhälö on y a a eli y a. a a a Tangeni leikkaa y-akelin pieeä, a ja normaali pieeä, a. a Kolmion pina-ala on y a a a a a a a a a a, kun a.

35 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Tehäväarja Sarja B. Koka, yhälö on määriely, kun ja. : Saau juuri kuuluu yhälön määrielyjoukkoon.,. Lenoradan yhälö on y,. Lakikorkeu on alapäin aukeavan paraabelin y, huipun y-koordinaai. Huipun -koordinaai on unkion, derivaaaunkion, 8 nollakoha. Huipun y-koordinaai on y,,. Sii höyhen käy merin korkeudella.. Paino liäänyy 8 kg/päivä, joen päivän kuluua määrä on 8 kg. Kilohina lakee, euroa /päivä, joen päivän kuluua hina on,, euroa. Myynniä aaava ulo päivän kuluua on 8,,,, 7. Funkion,, 7 kuvaaja on alapäin aukeava paraabeli, joen aa uurimman arvona paraabelin huippukohdaa eli derivaaan,, nollakohdaa 8. Myyniulo on uurin 8 päivän kuluua. Jo Mai haluaa uurimman mahdollien myyniulon, peruna kannaaa myydä 8 päivän kuluua. 7

36 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Tehäväarja. Kohdalle piirreyn angenin kulmakerroin on. Sivuamipieen y-koordinaai on. Pieeeen, piirreyn angenin yhälö on y y. Tangenin ja kuvaajan leikkaupiee: ai Rakaiukaavalla. Sii uora y leikkaa kuvaajan myö muuujan arvon kohdalla. Leikkaupieeeen piirreyn angenin kulmakerroin on, joen angeni on kohiuoraa uoraa y vaaan. Sii kohaan piirrey angeni y on amalla myö kohaan piirrey normaali.. Epäyhälö on yhäpiävä epäyhälön kana. Tukiaan unkion kulkua. Derivoidaan: Derivaaan nollakohda: 8 8 Kulkukaavio: Kulkukaavion peruella unkio aa pienimmän arvona kohdaa. Pienin arvo on. Koka unkion pienin arvo on, unkion kaikki arvo ova epänegaiiviia, joen epäyhälö päee kaikilla :n arvoilla., <,, > 8

37 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Tehäväarja. Koha on unkion nollakoha:. Funkion h derivaaan nollakohda ova ja. Kulkukaavio: h h Kulkukaavion perueella unkiolla h on makimi kohdaa. Makimiarvo on h, 8. Koka h ja makimiarvo on negaiivinen, on h <, kun <. Edelleen h on aidoi kavava, kun >, joen h >, kun >. Koka h on unkion derivaaaunkio, on unkion pienin arvo. Koka on poiiivinen, unkio on kaikkialla poiiivinen. Sii unkio on kaikkialla aidoi kavava, joen illä on eninään yki nollakoha. Toiaala unkio on parioman viidennen aeen polynomiunkio, joen e aa erimerkkiiä arvoja lukuuoran eri äärilaidoilla. Sii unkiolla on ii ainakin yki nollakoha. Edellien perueella unkiolla on aan yki nollakoha. 9

38 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Tehäväarja Sarja C. a Funkion kuvaaja on ylöpäin aukeava paraabeli, joen unkio aa pienimmän arvona paraabelin huippukohdaa eli derivaaan nollakohdaa. Pienin arvo on. b Koka unkion pienin arvo on poiiivinen, on poiiivinen kaikilla, joen aa uurimman arvona, kun aa pienimmän arvona. Suurin arvo on.. a Tukiaan unkion,, kulkua. Derivoidaan:,, 7 Derivaaan kuvaaja on alapäin aukeava paraabeli, jonka nollakohda ova ja. Funkion kulkukaavio: Kulkukaavion perueella unkio ja ii myö airauneiden proeniouu alkaa pienenyä. vuorokauden kohdalla. b Kulkukaavion perueella unkion uurin arvo on 7,8. Sii enimmillään airaana on 7 % väeöä. c Sairauneiden määrän muuo on derivaaa,, 7. Funkion kuvaaja on alapäin aukeava paraabeli, joen unkio aa uurimman arvona paraabelin huippukohdaa eli derivaaan,, 7 nollakohdaa. Sii kavu on uurina vuorokauden kuluua.

39 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Tehäväarja. Merkiään leikaun uorakulmion lyhyemmän ivun piuua cm. Tällöin on laaikon korkeu ja,. Laaikon pohjaärmä ova ja. Laaikon ilavuu on V 8 8 Määrieään koha, joa unkio V 8 aa uurimman arvona välillä [;,]. Pääepiearvo:, Derivoidaan: Derivaaan nollakohda:, 7 ja Rakaiukaavalla. Nollakohdia välille [;,] kuuluu. Arvo kohdaa : Sii ilavuu on uurin, kun lyhyempi ivu on cm.. Koka piee P, y ja Q, y ova paraabelilla y a, niin y a ja y a. Pieiden P ja Q kaua kulkevan uoran kulmakerroin on y y a a a a Tangeni on uoran uunainen, kun en kulmakerroin eli unkion a derivaaa a on yhä uuri kuin uoran kulmakerroin. Sii: a a : a.

40 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Tehäväarja. Jo a, niin unkion a a kuvaaja on paraabeli y, joen unkio ei ole aidoi monooninen. Oleeaan, eä a. Funkio on aidoi monooninen, jo en derivaaaunkion arvo ova mahdolliia erilliiä nollakohia lukuun oamaa amanmerkkie. Derivoidaan: a a Derivaaan kuvaaja on paraabeli, joen derivaaan kaikki arvo ova amanmerkkie mahdolliei yhä nollakohaa lukuun oamaa, kun derivaaalla on eninään yki nollakoha. Sii oien aeen yhälön a a dikriminanin D a a piää olla negaiivinen ai. Toien aeen epäyhälön a rakaiu on a ai a.. Merkiään. Tällöin. Käyrän y pieeeen a, a piirreyn angenin yhälö on y a a a eli y a a. a Tangeni leikkaa -akelin kohdaa a. a Leikkaupie on poiiiviella -akelilla, kun a >. Tangenin ja y-akelin leikkaupie, a on poiiiviella y-akelilla, kun < a <. Sii molemma piee ova poiiiviilla akeleilla, kun < a <. Kolmion pina-ala on Aa a a a a a. Derivaaan A a a nollakohda ja aadaan oien aeen yhälön rakaiukaavalla. 8 Koka A A, ja A >, unkion A uurin 7 8 arvo uljeulla välillä [, ] on. 7 8 Sii uurin pina-ala on. 7

41 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Tehäväarja Sarja D 9 9., 9 kun ja. Sii: lim lim lim lim. a Funkion kuvaajalla on -akelin uunainen angeni kohdaa, joa derivaaa on nolla. ai Sivuamipieiden y-koordinaai: ja Sii ivuamipiee ova, ja,, joen -akelin uunaie angeni ova y ja y b Normaali on y-akelin uunainen, kun vaaava angeni on -akelin uunainen. Sii normaali kulkeva a-kohdan pieiden, ja, kaua. Normaalien yhälö ova ja.

42 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Tehäväarja. Merkiään raian korkeua ja raian leveyä cm. Tällöin raian ilavuu on V. Levyn pidempi ivu on cm, joen: cm Sii: V, miä. Funkion V kuvaaja on alapäin aukeava paraabeli, joen unkio aa uurimman arvona paraabelin huippukohdaa eli derivaaan V nollakohdaa. Suurin ilavuu on V cm. cm. Merkiään alaan leveyä ja korkeua m. Tällöin alaan piuu on ja laaoieava ala A. Alaan ilavuu on m, joen ja A, miä >. Kaakelia kuluu vähien, kun ala A on pienin. Derivoidaan. A Derivaaan nollakohda: 9 9,8 Kulkukaavion perueella ala aa pienimmän arvon, kun 9. Tällöin alaan mia ova: levey,8 m, piuu 8,9 m, yvyy,99 m A A Kulkukaavio:,8 A <, A >

43 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Tehäväarja. Paraabelin yhälö on muooa y a b c. Merkiään a b c. Paraabeli kulkee pieiden, ja, kaua, joen c ja 9a b c. Koka kohaan piirrey angeni on uoran y uunainen, angenin kulmakerroin on eli. a b, joen a b. Sii: c, 9a b ja a b Yhälöparin 9a b a b rakaiu on a, b. 9 Sii paraabelin yhälö on y. 9. Merkiään a a. Yhälön juure ova unkion nollakohda. Funkion arvo välin [, ] pääepieiä:, a a a a Lauekkeen a a kuvaaja on ylöpäin aukeava paraabeli. Yhälön a a dikriminani D on negaiivinen, joen paraabelilla ei ole nollakohia. Sii on jokaiella a:n arvolla poiiivinen. Koka unkion pääepiearvo välillä [, ] ova erimerkkie, unkiolla on aina vähinään yki nollakoha välillä ], [. Funkion derivaaaunkio on a a. Derivaaan kuvaaja on ylöpäin aukeava paraabeli. Yhälön a a dikriminani on D a a a a 8a. Dikriminani on negaiivinen yhä kohaa a lukuun oamaa, joen derivaaa on aina epänegaiivinen ja nolla korkeinaan yhdeä kohdaa. Sii unkio on kaikkialla aidoi kavava, joen illä on eninään yki nollakoha. Edellien perueella unkiolla on aan yki nollakoha, joen yhälöllä on aan yki juuri.

44 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Tehäväarja Sarja E. Merkiään, jolloin Tangenin kulmakerroin on. Tangenin yhälö: y y Normaalin yhälö: y y Suora leikkaava y-akelin kohdia ja, joen kolmion kannan piuu on a. y Kolmion korkeu h on leikkaupieen -koordinaai. Kolmion pina-ala on A ah. a h. Merkiään ja g. Käyrien y ja y g leikkaukoha: Kerroaan riiin. Leikkaupieeeen piirreyjen angenien kulmakeroime ova unkioiden derivaaojen ja g arvo kohdaa. Leikkaupieeeen piirreyjen angenien kulmakeroime ova unkioiden derivaaojen ja g arvo kohdaa, ii ja g. Kulmakeroimien ulo on, joen leikkaupieeeen piirrey angeni ova kohiuoraa oiiaan vaaan. Sii käyrä leikkaava oiena kohiuorai.

45 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Tehäväarja. Merkiään kourun leveyä, korkeua ja piuua a m. Kourun einien ja pohjan yheenlakeu pina-ala on A a. Poikkileikkaupina-ala on m, joen. Valiaan muuujaki, jolloin ja A a, miä >. Koka a on poiiivinen vakio, niin pina-ala aa pienimmän arvona, kun unkio, >, aa pienimmän arvona. Derivoidaan: Derivaaan nollakohda: ai Derivaaan poiiivinen nollakoha on,. Kulkukaavio: <, > Kulkukavion perueella unkio ja ii myö poikkileikkaupina-ala on pienin, kun. Tällöin kourun levey on korkeu,7 m., m ja 7

46 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Tehäväarja. Funkion erouoamäärä kohdaa on Sii., kun. Tarkiu. Funkion poenin derivoinikaavalla aadaan: D joen.,. Merkiään, jolloin. Paraabelin y pieen Aa, a, miä a, kaua kulkevan angenin yhälö on y a a a eli y a a. Tangeni leikkaa y-akelin pieeä B, a. Janan AB kekipieen y-koordinaai on pääepieiden a a y-koordinaaien kekiarvo. Sii kekipie on uoralla y. 8

47 Derivaaa Kerauehävien rakaiu Tehäväarja. Merkiään lankun pakuua ja leveyä. Tällöin lankun kanokyky on k, miä k on poiiivinen verrannolliuukerroin. Lankun ympärymia on vakio. Merkiään ympärymiaa a, jolloin a ja kanokyky muuujan unkiona on k a ak k, miä < < a. Määrieään välin < < a koha, joa unkio aa uurimman arvona. Derivaaan ak k ka ai a Nollakoha ak k nollakohda: Kulkukaavio: a a a kuuluu välille ], a[. Kulkukaavion perueella unkio aa uurimman arvona kohdaa a. Sii keävimmän lankun pakuu on levey on a a. Tällöin pakuuden uhde leveyeen on a : a :. a, jolloin 9