3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

Transkriptio

1 Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. d) Lausekkeen + arvo on 3, kun = 3.. Ratkaise epäyhtälö. a) 8 + > 0 b) 6 8 < 3 3. Laadi f unktioille f () = + 6 ja g() = merkkikaaviot. Millä muuttujan arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Lyhyt matikka 4, WSOY Funktion merkin tutkiminen 8

2 Kertaustesti, vastaukset. E, T, E, T. a) Ratkaistaan funktion 8 + nollakohta. 8 + = 0 8 = : ( 8) = 4 Funktion kuvaaja on laskeva suora. Funktion merkkikaavio: Vastaus: Epäyhtälö toteutuu, kun < 4. b) Sievennetään epäyhtälöä 6 8 < < < 0 Ratkaistaan funktion 3 8 nollakohta. 3 8 = 0 3 = 8 : 3 = 6 Funktion merkkikaavio: Vastaus: Epäyhtälö toteutuu, kun < 6. Lyhyt matikka 4, WSOY Funktion merkin tutkiminen 9

3 3. Ratkaistaan funktion f () = + 6 nollakohta: + 6 = 0 = 6 : = 3. Funktion kuvaaja on nouseva suora. Funktio saa positiivisia arvoja, kun > Ratkaistaan funktion g() = nollakohdat: = 0 = 7 ± 7 4 ( ) ( 0) ( ) = tai = 5 = 7 ± 9 = 7 ± 3 Hahmotellaan funktion kuvaaja 5 Laaditaan merkkikaavio: 5 + Funktion arvot ovat positiivisia, kun < < 5. Vastaus: Funktio f () = + 6 saa positiivisia arvoja, kun > 3 ja funktio g() = saa positiivisia arvoja välillä < < 5. Lyhyt matikka 4, WSOY Funktion merkin tutkiminen 30

4 Kertaustesti Nimi:. Kuviossa on funktion f kuvaaja. Päättele kuvaajasta, missä kohdissa on a) g () = 0 b) g () < 0 c) g () > 0. y. a) Derivoi funktio f() = b) Määritä funktion g() = derivaatta kohdassa. 3. Missä pisteessä paraabelin y = huippu on? 4. Kun lasimuotoilija hinnoitteli lasikorun hinnaksi 5 euroa, viikoittainen myynti oli 40 korua. Hän arvioi, että jokainen euron korotus korun hinnassa vähentää viikkomyyntiä neljällä korulla. Kuinka suureksi korun hinta tulee valita, jotta viikkomyynnin arvo olisi mahdollisimman suuri? Lyhyt matikka 4, WSOY 69

5 Kertaustesti, vastaukset. a) g () = 0 kohdissa = ja = 3 b) g () < 0 välillä < < 3 c) g () > 0, kun < ja > 3. a) f () = = 6 4 b) g () = = + 3 g () = + 3 = 3. Paraabeli y = on toisen asteen polynomifunktion f () = kuvaaja. Paraabelin huipussa funktion f derivaatta on nolla. Derivoidaan funktio f. f () = 8 Derivaattafunktion nollakohta: 8 = 0 8 = =,5 Huipun -koordinaatti on,5 ja y-koordinaatti saadaan sijoittamalla -koordinaatti paraabelin yhtälöön y = y = 4 (,5),5 + 0 = =. Vastaus: Paraabelin huippu on pisteessä (,5; ). 4. Jos hintaa 5 euroa korotetaan euroa, korun hinnaksi tulee 5 + euroa. Jos korotuksen suuruus on euroa, myynti vähenee 40 4 korua. Myynnin arvo on myytyjen korujen lukumäärän ja korun hinnan tulo. Myynnin arvon ilmaisee funktio f () = (40 4)(5 + ) = = Funktion f() kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten funktio f saa suurimman arvonsa huipun kohdalla derivaattafunktion nollakohdassa. Derivoidaan funktio f. f () = Derivaattafunktion nollakohta = 0 8 = 0 : ( 8) =,5 Myynnin arvo on suurin, jos korun hintaa korotetaan,5 euroa. Myyntihinta on tällöin 7,5 euroa. Vastaus: Korun myyntihinnan tulisi olla 7,5 euroa Lyhyt matikka 4, WSOY 70

6 Kertustesti 3 Nimi:. Derivoi funktio. a) 6 + b) c) 8 4. a) Laadi funktion f () kuvaajasta derivaattafunktion merkkikaavio ja funktion kulkukaavio. b) Missä funktio f on kasvava ja missä vähenevä? y 3. Olkoon f () = Missä funktio f on kasvava ja missä vähenevä? Lyhyt matikka 4, WSOY Funktion kasvaminen ja väheneminen 86

7 Kertustesti 3, vastaukset. a) b) 8 8 c) 3. a) 3 f () + f () b) Funktio on kasvava, kun 3, ja funktio on vähenevä, kun 3 tai. 3. Laaditaan funktion f () = kulkukaavio. Derivoidaan. f () = 3 5 Ratkaistaan derivaattafunktion nollakohdat. 3 5 = 0 : = 0 4 ± ( 4) 4 ( 5) = = 5 tai = = 4 ± 36 = 4 ± 6 Derivaattafunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Laaditaan derivaattafunktion merkkikaavio ja täydennetään se funktion f kulkukaavioksi. f () = 3 5 f () Funktio f on kasvava, kun tai 5. Funktio f on vähenevä, kun 5. Vastaus: kasvava, kun tai 5, ja vähenevä, kun 5 Lyhyt matikka 4, WSOY Funktion kasvaminen ja väheneminen 87

8 Kertaustesti 4 Nimi:. Päättele funktion f kuvaajasta funktion y a) minimikohta b) minimiarvo c) maksimikohta d) maksimiarvo e) pienin arvo välillä 0 f) suurin arvo välillä 5.. Määritä funktion g () = ääriarvokohdat ja ääriarvot. 3. Määritä funktion f () = suurin arvo, kun a) 0 b) 0 5. Lyhyt matikka 4, WSOY Funktion suurin ja pienin arvo välillä 0

9 Kertaustesti 4, vastaukset. a) = 3 ja = 3 b) ja c) = d) 4 e) f) 4. Päätellään ääriarvokohdat funktion g() = kulkukaaviosta. g () = = 0 = 4 : ( ) = Derivaattafunktion kuvaaja on laskeva suora. Laaditaan derivaattafunktion merkkikaavio ja täydennetään se funktion g kulkukaavioksi. g () = g() Kulkukaviosta nähdään, että funktiolla g() = on maksimikohta =. Maksimiarvo on g() = = 0. Vastaus: maksimikohta ja maksimiarvo 0 3. Laaditaan funktion f () = kulkukaavio = 0 f ( ) = = 6 ± ( 45) 3 = 3 tai = 5 = 6 ± 576 = 6 ± Derivaattafunktion kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. 5 3 f () = f () a) Rajataan kulkukaavio välille 0. Funktio saa suurimman arvonsa kohdassa = 5. Suurin arvo on f ( 5) = ( 5) ( 5) 45 ( 5) + 6 = 8. b) Rajataan kulkukaavio välille 0 5. Funktio saa suurimman arvonsa jommassa - kummassa välin päätepisteistä 0 ja 5. f (0) = 6 ja f (5) = = 9 Arvoista suurempi on f (0) = 6. Vastaus: a) suurin arvo on 8 b) suurin arvo on 6 Lyhyt matikka 4, WSOY Funktion suurin ja pienin arvo välillä 0