1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Koko: px
Aloita esitys sivulta:

Download "1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6"

Transkriptio

1 . Polynomiunktio. a Suoran kulmakerroinn k = <, joten suora on laskeva. b Suoran kulmakerroinn k =, >, joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora. Suora ei siis ole nouseva eikä laskeva.. a - = - - = 5 b - = 5 c - = 6 - =. a -6 = -6 6 = Piste ei ole kuvaajalla. =

2 b -6 = -6 = 67 Pistee on kuvaajalla. = a -6 = : = -6 b = - = -9 = c 5 = 5 5 : : -

3 5. a Kuvaaja leikkaa y-akselin, kun =. Kuvaaja leikkaa y-akselin pisteessä, b Nollakohta saadaan yhtälöstä g =. 5 : : akseli: 8 : 6 leikkauspiste -8,

4 y-akseli: 6 6 y-akselin leikkauspiste, -6 Huom! Funktion lauseke siinä muodossa, että y-akselin leikkauspisteen näkee myös suoraan vakiotermistä. 7. -akselin leikkauspiste saadaan yhtälöstä = : 6 Kuvaaja leikkaa -akselin pisteessä 6,.

5 8. a Toisen asteen termin kerroin >, joten paraabeli aukeaa ylöspäin b Toisen asteen termin kerroin - <, joten paraabelin aukeaa alaspäin. c Toisen asteen termin kerroin >, joten paraabeli aukeaa ylöspäin. d Toisen asteen termin kerroin - <, joten paraabeli aukeaa alaspäin. 9. a = b = -6 = c = d =

6 . a g b g. a 6 h b h. a - + = : tai b = 69 = 7 tai = -6

7 . a + + = 5 5 = - tai = b + = c = Ei ratkaisua Funktiolla ei ole nollakohtia.

8 . a - + = : 5 b + = + 6 = = tai + 6 = = = -6 c = 7 = -7 :7 = - Ei ratkaisua Funktiolla ei ole nollakohtia. 5. a + 6 = : + = = 5 tai = -6

9 b + 9 = = tai + 9 = = - 9 : = - 6. a = - + = pisteessä, b = = - 5 = - 5 pisteessä, c = - = pisteessä, a -,, = -,5 -, + =,5,6 Piste ei ole kuvaajalla. = -,5 +

10 b -, = -, + -, + =, 6 Piste on kuvaajalla. - - = a g- = -- + = b h- = = -8 c r- = =

11 9. a + 5 = - = -5 = 5 b + = = - Ei ratkaisua Ei nollakohtia c + = = tai =. a -akseli: y-akseli: 5 5 : g leikkauspiste, 5 leikkauspiste 6,

12 b -akseli: y-akseli: 5 5 g = - 5 = = tai 5 = leikkauspiste:, = 5 leikkauspisteet:, ja 5,. Sievennetään ensin unktion lauseketta. Lasketaan unktion nollakohta: Ei ratkaisua Kuvaaja ei leikkaa -akselia.

13 . Polynomiunktion merkki. a Kuvaaja kulkee -akselilla tai sen yläpuolella, kun, joten, kun. b Kuvaaja kulkee akselilla tai sen yläpuolella, kun, joten, kun.. a Kuvaaja kulkee -akselin alapuolella, kun <, joten saa negatiivisia arvoja eli <, kun <. b Kuvaaja kulkee -akselin alapuolella, kun > -6, joten saa negatiivisia arvoja eli <, kun > -6. y. a Ratkaisuksi kelpaa mikä tahansa laskeva suora, joka leikkaa -akselin kohdassa = -. - b Ratkaisuksi kelpaa mikä tahansa nouseva suora, joka leikkaa -akselin kohdassa =. y

14 5. Tapa : kuvaajan avulla Ratkaistaan ensin nollakohdat: - 6 = = 6 : = Funktio saa negatiivisiaa arvoja, kun kuvaaja kulkee -akselin alapuolella, joten <, kun < Tapa : ilman kuvaajaaa 6 < < 6 < : 6. Ratkaistaan ensin nollakohdat: 8 Funktio saa positiivisia a arvoja, kun kuvaaja kulkee -akselin yläpuolella, joten >, kun > 8.

15 7. a : 8 6 b : 5 8. a : 5 b : 5 5

16 9. a : 8 b 5 :5 5. a Tosi, joten epäyhtälön ratkaisuna kaikki :n arvot. b Epätosi, joten epäyhtälöllä ei ole ratkaisua.

17 . a : b 8 :

18 . 9 9 : : 6

19 . a Merkitään kateetteja kirjaimilla ja y. Koska kateettien yhteispituus on, saadaan + y = y = - b Ehto : Ehto : : - Yhdistämällä ehdot saadaan: 5. a Olkoon korkeus y. y y : y y y y Suorakulmion korkeus on.

20 b Ehto : Ehto : : Ehdot yhdistämällä saadaan: 6. a : 5 b :

21 7. a, kun tai 8 b, kun -5

22 8. a g =, kunn = - Muulloin unktion arvot positiivisia, joten g, kunn = - b g kaikilla muuttujan arvoilla a

23 9. g <, kun < - tai < < 6. a Funktion nollakohdat = -, = ja =. b <, kun - < < tai >

24 . a Merkitään. Funktion nollakohdat: tai 5 5 :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli tai kun

25 b Merkitään 5,. Funktion nollakohdat: 5, 5, 5, 5,,6, tai 5 :n kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. -, kun, 5

26 . a 6 6 Merkitään 6. Nollakohdat: 6 6 : :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli kun

27 b Merkitään. Funktion nollakohdat: 9 5 tai :n kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli kun 5 tai

28 . a Merkitään 6. Nollakohdat: Koska juurrettava -8 <, yhtälöllä ei ole ratkaisuja eikä unktiolla siis nollakohtia. :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka ei leikkaa - akselia. kaikilla :n arvoilla.

29 b 8 Merkitään 8. Nollakohdat: 8 8 :n kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joka sivuaa - akselia kohdassa =. ei saa positiivisia arvoja millään :n arvolla eli epäyhtälöllä 8 ei ole ratkaisua.

30 . a Merkitään. Nollakohdat: :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka sivuaa - akselia kohdassa = -. - kun vain.

31 b 5 Merkitään 5. Nollakohdat: :n kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joka sivuaa - akselia kohdassa = 5. 5 saa negatiivisia arvoja muualla paitsi kohdassa = 5. Näin ollen 5 kun 5.

32 5. a Merkitään 6 9. Nollakohdat: Koska juurrettava -5 <, yhtälöllä ei ole ratkaisuja eikä unktiolla ole nollakohtia. Funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joka ei leikkaa -akselia. kaikilla :n arvoilla.

33 b 8 9 Merkitään 8 9. Nollakohdat: Koska juurrettava -8 <, yhtälöllä ei ole ratkaisuja eikä unktiolla nollakohtia. :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka ei leikkaa - akselia. saa vain positiivisia arvoja, joten epäyhtälöllä 8 9 ei ole ratkaisuja.

34 6. Merkitään. Nollakohdat: 69 tai :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli ½ - kun Koska epäyhtälön ratkaisuun hyväksytään vain :n positiivisia arvoja,.

35 7. Aitauksen ala A Aitauksen pinta-alan tulisi olla vähintään m, joten saadaan epäyhtälö: A Merkitään. Nollakohdat: 5 tai :n kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli , kun 5 Näin ollen ala on vähintään m, kun kohtisuoran sivun pituus kuuluu välille 5 m,m eli 5 metriä.

36 8. a Funktio saa negatiivisiaa arvoja eli g <, kunn <. b Funktio saa negatiivisiaa arvoja eli g <, kunn

37 9. a g, kun : b g Nollakohdat: tai - + = - = - : - = 5 g :n kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli g g, kun tai 5.

38 5. a + 5 < : b 5 < :7 5. a Merkitään 8 7. Nollakohdat: :8 :n kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli , kun tai

39 b 8 Merkitään 8 Nollakohdat: Koska juurrettava - <, yhtälöllä ei ole ratkaisuja eikä unktiolla ole nollakohtia. :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, joka ei leikkaa - akselia. saa vain positiivisia arvoja, joten epäyhtälöllä 8 ei ole ratkaisuja.

40 a Ehto : 5 5 7,5 Ehto : : : Ehto : Kun ehdot yhdistetään saadaan 7 cm b A 5 7

41 c Vaaditaan, että A 5 eli Merkitään 7 5. Nollakohdat: tai,5 5 :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. + +,5 5 -, kun,5 5

42 . Funktion muutosnopeus 5. a Kun lähdöstä on kulunut, h, Roosaa ei enää ollaan perillä. Etäisyys kotoa on 75 km. b Ensimmäisen puolenn tunnin aikana Roosa on liiku, joten ajanut 5 km. Keskinopeus on siis 5km,,5h km h c Roosa ei liiku, kunn, t,5, joten aikaaaa verotoimistossa kuluu,5h 5 min. d Paluumatka alkaa hetkellä t,5 ja päättyy, Aikaa kuluu siis,75h 5min. kun t,.

43 5. a,5 h = min min aikana juna on kulkenut 5 km matkan. 5km Junan keskinopeus v km/hh,5h b Tuppukylän asemallee pysähdytään, kun matkaa on taittunut 6 km. Isomäki sijaitsee 8 km:n päässä lähtöasemalta, joten Tuppukylästä on matkaa Isomäelle 8 km 6 km = km c Junamatka Tuppukyl lästä Isomäelle kestää 9 min 7 min = min = h h 6 6 Matkan pituus oli km, joten keskinop peus on km v 6 km/h h d Koko matkan pituus on 8 km ja matkaan kuluu aikaaa 9 min =,5 h. Keskinopeus on v 8km,5h 5,...km m/h 5 km/h

44 55. a Välillää [-, ] punaisell la piirretyn unktion muutosnopeus on suurempi, koska unktiolle keskimääräistä muutosnopeutta kuvaavan suoran kulmakerroin on suurempi suora nousee jyrkemmin b Välillää [-, ] unktioid den muutosnopeudet ovat yhtä suuret, koska keskimääräistä muutosnopeutta kuvaavat suorat ovat molemmat vaakasuoria.

45 56. a Keskimääräinen muutosnopeus välillä, saadaan laskemalla pisteiden, ja, kautta piirretyn suoran kulmakerroin:,5 b Pisteiden, ja 5, kautta piirretyn suoran kulmakerroin: 5 c Pisteiden, ja 5, kautta piirretyn suoran kulmakerroin: 5 5

46 57. a Suora kulkeee pisteiden, ja, kautta Keskimääräinen muutosnopeus b Suora kulkee pisteiden, - ja, kautta Keskimääräinen muutosnopeus c Suora kulkeee pisteiden, ja, - kautta Keskimääräinen muutosnopeus

47 58. a Laitteisto alkaa puhaltaa kylmää ilmaaa 6 asteen lämpötilassa, koska tällöin lämpötilaa kuvaava käyrää kääntyyy alaspäin. b Suora kulkee pisteiden 6, ja 8, 5 kautta. Lämpötilan keskimääräinen muutosn opeus onn 5,5 C / h 8 6 c Suora kulkee pisteiden 6, ja, kautta. Lämpötilan keskimääräinen muutosn opeus onn,666..., 7 C / h 6 6

48 59. unktioiden keskimääräiset muutosnopeudet välillää [, ]:,5,5 unktio :,, 5 unktio g: unktio h: a Suurin keskimääräinen muutosnopeuss välillä [, ] on unktiolla g b Pienin keskimääräinen muutosnopeuss välillä [, ] on unktiolla h d Suurin hetkellinen muutosnopeus kohdassa = on unktioilla g ja h. Molempien hetkelline en muutosnopeus on. Funktion hetkellinenn muutosnopeus on o -,5.

49 6. a Funktion hetkellinenn muutosnopeus kohdassa = - on b Piirretään ensin keskimääräistää muutosnopeutta kuvaava suora.. Siirretään suoraa ja etsitään kohdat, joissa suora on tangenttina. Hetkellinen muutosnopeus on sama kohdissa -, ja 6. a Hetkellinen muutosnopeus kohdassa = - onn. b Hetkellinen muutosnopeus kohdassa = saadaan kuvaan piirretyn tangenttisuoran avulla. Hetkellinen muutosnopeus on 6

50 6. a Hetkellinen muutosnopeus on sama kuin välillä [-, ] kohdassa - b Hetkellinen muutosnopeus on sama kuin välillä [-, ] kohdassa -,5

51 6. a Edla on kaupassa välillä, jolloin etäisyys kotoa ei kasva. Kauppa on siis km päässä. b Kaupassaoloaikaa kuvaava pätkä käyrää on noin yhden ruudun mittainen eli,5 h = 5 min. c Piirretään tangentti kohtaan t,,,5,5. Sen kulmakerroin on,,5 5 Edlan nopeus on noin 5 km. h Huomautus: Kuvaajas sta on vaikea lukea tarkkoja pisteitä. Myös tulos 6 km h onn täysin hyväksyt ttävä. d Edla saapuuu Millann luo, kun t,, jolloin etäisyys Edlan kotiin on km.

52 6. a Keskimääräinen muutosnopeus välillä [-, ]: : 5 5 b Keskimääräinen muutosnopeus välillä, : 5 c Keskimääräinen muutosnopeus välillä, : 5 5,75 d Hetkellinen muutosnopeus kohdassa = -: 5 5 Hetkellinen muutosnopeus kohdassa = -: 5 5

53 65. a Suoran s kulmakerroin k s b Etsitään suoraa siirtämällä sellainen kohta unktionn kuvaajalla, jossa tangentti on suoran s suuntainen. c Keskimääräinen muutosnopeuss välillä [, ] on 5 5 Keskimääräinen muutosnopeus on pienempi välillä [, ].

54 66. a Keskimääräinen muutosnopeus kolmen ensimmäisen tunnin t aikana on 6,666..., 7 C / h b Lämpötilan keskimääräinen muutosn opeus välillä [9, 8] on 6,..., C / h c Hetkellinen muutosnopeus klo 5. on C / h 8 5 d Hetkellinen muutosnopeus klo. on 8 6,666...,7 C / h

55 . Funktion derivaatta 67. a 6 b Lasketaan pisteeseenn, 6 piirretyn tangentin kulmakerroin: c d Lasketaan pisteeseenn, piirretyn tangentint n kulmakerroin: 68. a - b,5 c Lasketaan pisteeseenn -, piirretyn tangentin kulmakerroin: d Lasketaan pisteeseenn,5; piirretynn tangentin kulmakerroin:,5, 5 7,5,,5

56 69. a Lasketaan pisteeseenn -, piirretyn tangentin kulmakerroin: b Lasketaan pisteeseenn, piirretyn tangentint n kulmakerroin: 7. Piirretään unktion kuvaajalle tangentti kohtaan =.. Derivaatta kohdassa = saadaan tangenttisuorann kulmakertoimesta:

57 7. a Piirretään unktion kuvaajalle tangentti kohtaan =. ' b Piirretään unktion kuvaajalle tangentti kohtaan =. ' 7. a 5 tangentti -akselin suuntainen a b b 5,5

58 7. on huippupisteen y-koordinaatti eli. Pisteeseen, - piirretyn tangentinn kulmakerroin nolla eli

59 a Piirretään unktion kuvaajalle tangentti kohtaan = - b a ' b Etsitään tangenttia siirtämällää muut kohdat, k joissa tangentti yhdensuuntainen a-kohdan tilanteen kanssa. 7

60 77. a g = - g' c a b b -,5 c -8,5 ja Pisteeseen, piirretyn tangentin kulmakerroin: eli Käyrälle voidaan piirtäää samansuuntaisia tangentteja kohtiin pisteisiin -, - ja,. ja eli

61 79. a =, kun - =, kun -5tai b =, kun -,5 tai =, kun -, taii 8. b, c, e,, i

62 8. 8. Funktion nollakohdat:,,, 5, Kohtaan, piirretyn tangentin kulmakerk rroin:, eli,99,

63 8. a b ' 5 c - d ' 8. a g- - b g' 5 c Funktion nollakohdat: - ja d Derivaatan nollakoht ta: -

64 85. Piirretään ensinn kuvaajalle tangenttisuora kohtaan =. ' 86. a g5 - g' c a b b,5 ja -,5 c -

65 . Derivoimissääntöjä ja -kaavoja 87. a D-5 b, D-, c D 7 7 d D D 88. a b m c t t t g d 6 7, 7,6 r r r h 89. a D-5 = -5 D = -5 = -5 b D + = D D + D = + = 6 c D D D D

66 9. a b r r 9r c d t t t 9. a b c 5, d r 6r r 9. a D D D b D 5b D 5b D 5b 8 8 D D D D c 7 d D5 7,5 D5 D 7 D,5 7

67 9. a D b 7 D c D D d D 9. a = + 5 = + 5 = + b = 5 5 = = + 5 = c 6 9 = + = + d = + = - + = - +

68 95. a g g 8 b 6 6 g g 6 c t t t t t t t t g g 8 d r r r r r r r g r r g 96. a t t m t 6 t m b h 5 h c g g d r r r r r r r r r r

69 r r k r r k 7 k 96 k t t t m t t t m m 8 5 m

70 . 6 5 P P 6 5 P P. 6 P 5 6 P P

71 . a 5, 5 h b 9,, r r r r r n c t t t t t t t d 6. a D + = + b D = D + + = + c D[ ] = D + = D + = 8 d D + = D- + = a 5 5 D D b D 6

72 5. a b

73 . Derivaatan arvo 6. a Derivoidaan unktio: ' ' 9 b Ratkaistaan yhtälö: 6 : 7. a g5 = 5 5 = 55 b Ratkaistaan yhtälö: tai 6

74 8. t t t t t t t g t t t g kun 5 t g t t t t t t t 9. g g kun g :

75 . a Derivaatan nollakoht taan voidaan piirtäää vaakasuora tangentti. Derivaatan nollakohta. b Derivaatan nollakohd dissa derivaattaunktion kuvaaja leikkaaa -akselin. Derivaatan nollakohdatt - ja.. Funktion nollakohdissaa kuvaaja leikkaaa -akselin. Funktion nollakohdat: ja 6 Derivaatan nollakohdassa unktion kuvaajalle voidaan piirtäää vaakasuora tangentti. Derivaatan nollakohta:.

76 . Derivaatan nollakohdissa unktion kuvaajalle voidaan piirtäää vaakasuora tangentti. Derivaatan nollakohdat: - ja. Derivaatan nollakohdissa derivaattaunktion kuvaaja leikkaaa -akselin. Derivaatan nollakohdat: - ja 5.. P P P kun :

77 5. Funktion 7 tangentin kulmakerroin saa arvon 5 siinä pisteessä, missä derivaatta : Vastaavat y-koordinaatit saadaan laskemalla unktion arvot kohdissa = ja = Kysytyt pisteet ovat, -6 ja -, a kun :6

78 b 7 kun : 7. a 8 6 kun 6 6 : 6 6 b kun tai

79 8. a kun 8 6 tai b kun tai

80 9. a kun 8 8 : b kun 96 5 tai

81 . P P P kun tai 7. a kun 8 :

82 b kun tai 6 6. Paraabelin huippupisteen -koordinaatti on derivaatan nollakohta. ' Ratkaistaan derivaatan nollakohta: : Huipun y-koordinaatti: 6 Huippupiste on,.

83 . Paraabelin huippupisteen -koordinaatti on derivaatan nollakohta kun :6 a Huipun -koordinaatti on. b Huipun y-koordinaatti Derivoidaan unktio. Vakiota k käsitellään derivoinnissa lukuna. ' k 5 k 5 Koska ', saadaan yhtälö: k 5 k : k

84 5. Derivoidaan unktio. Vakiota a käsitellään derivoinnissa lukuna. g' 6 a a 6 a a Funktiolla on derivaatan nollakohta = -, joten saadaan yhtälö: g' 6 a a 6a 6a : 6 a 6. y,5, Käyrä on ylöspäin aukeava paraabeli, joten ojan suurin syvyys saadaan huipun y-koordinaatista. Huippu saadaan selville derivaatan avulla. y,, y kun,, = - kun, y,5,, 7 Ojan suurin syvyys on,7 m.

85 7. Funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten maakellarin suurin korkeus saadaan huipun y-koordinaatista. Derivoidaan unktio: h,5,5 Derivaatan nollakohta: h kun,5,5,5,5, :,5 = Huippukohdassa,. Huipun y-koordinaatti saadaan unktion arvosta: h,,5,,5,,,5 Kellarin suurin korkeus on,5 m.

86 8. Paraabelin huippu löytyy derivaatan nollakohdasta. Derivoidaan unktio käsitellään vakiota a derivoinnissa lukuna. g ' 8 Lasketaan derivaatan nollakohta: 8 8 :8 Huippu sijaitsee suoralla y = -, joten huipun y-koordinaatti on -. Saadaan yhtälö: g a a 6

87 9. a ' ' 56 b Ratkaistaan yhtälö: tai g g a g 8 kun 8 6 b g 9 kun 9 5 : 5

88 . a g ' b g ' : tai 6. Ylöspäin aukeavan paraabelin y 6 huippupisteessä derivaatta y. y 6 y kun 6 6 : Kun, y 6 5. Huippupiste on, 5.

89 . Paraabeli y,87, 6 aukeaa alaspäin, joten kaaren korkein kohta saadaan huipun y-koordinaatista. y,7,6 y kun,7,6,7,6,5... :,7 Kun,5..., =,5 y,87,5... 8,9... 8, m,6,5...

90 . Derivaatan merkki. a Derivaatta on positiivinen eli g >, kun > - Derivaatta on negatiivinen eli g <, kun < - g b Derivaatta on positiivinen eli g >, kun < - tai > Derivaatta on negatiivinen eli g <, kun - < < g Merkkikaavio: <, kun < - tai < < 6. a Merkkikaavio: Derivaatta positiivinen, kun < tai >.

91 b Merkkikaavio: + + Derivaatta positiivinen, kun. 7. Merkkikaavio: a Derivaatta positiivinen, kun -5 < < -. b Derivaatta negatiivinen, kun < -5 tai > a g 6 g 8 6 Derivaatan nollakohta: :8 Derivaatan kuvaaja: g kun < Huom! Tehtävän voi myös ratkaista epäyhtälön avulla: g kun :8

92 b g g Derivaatan nollakohta: Derivaatan kuvaaja: : g kun Huom! Tehtävän voi myös ratkaista epäyhtälön avulla: g kun :

93 kun 6 9 Derivaatan nollakohdat: tai 6 9 Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli kun tai

94 . Derivaatta: ' 6 6 Derivaatan nollakohdat: tai 7 6 Derivaatan kuvaaja: -6 Derivaatta positiivinen, kun < -6 tai >. a Derivaatta: g ' 8 Derivaatan nollakohta: 8 8 : 8 Derivaatan kuvaaja: g, kun - -

95 b Derivaatta: g' 8 Derivaatan nollakohdat: 8 8 tai : Derivaatan kuvaaja: g, kun tai 6 6. t t t t t Derivaatan nollakohdat: t t t t : Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli:

96 . 8 g g Derivaatan nollakohdat: tai Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. g / / kun g

97 . 5 5 Ehto : : 5 5 Ehto : 5 9 : Kun ehdot ja yhdistetään, saadaan 5 9

98 5. Derivoidaan unktio: g = Derivaatan nollakohdat: Derivaatalla yksi nollakohta eli derivaatan kuvaaja sivuaa - akselia kohdassa = 6. Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Derivaatta ei siis saa positiivisia arvoja millään muuttujaan arvoilla. 6 g

99 6. = + = + Derivoidaan unktio: = + Derivaatan nollakohdat: Ei ratkaisua : Derivaatalla ei ole nollakohtia. derivaatan kuvaaja ylöspäin aukeava paraabeli, joten derivaatta saa aina vain positiivisia arvoja eli > kaikilla muuttujan arvoilla. 7. Derivoidaan unktio. Käsitellään vakiota a derivoinnissa tavallisena lukuna. g = a + 5 = a + 5 Derivaatalla nollakohta = -, joten saadaan yhtälö: a 5 a 5 : 5 a

100 Derivaattaunktio on siis muotoa ' g Derivaatan kuvaaja nouseva suora, jonka nollakohta = -, joten g >, kun > h h a kun 5 h 7 : 7 5 b Derivaatan nollakohta: : Derivaatan kuvaaja: kun h < Huom! Tehtävän voi myös ratkaista epäyhtälön avulla. -

101 9. h = + = + = - Derivoidaan unktio: h = a Ratkaistaan yhtälö: 5 7 : 7 b Derivaatan nollakohdat: : Derivaatan kuvaaja nouseva suora, joten derivaatta on negatiivinen, kun < 5. a = Derivaatan nollakohta: :8 Derivaatan kuvaaja nouseva suora, joten <, kun

102 b = 8 Derivaatan nollakohdat: 8 8 tai : 8 9 Derivaatan kuvaaja alaspäin aukeava paraabeli, joten <, kun < tai 9 5. P 9 6 P 6 Derivaatan nollakohdat: 6 6 :

103 Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. P P kun 5. Funktion derivaatta: ' 7 Derivaatan nollakohdat: 7 Ei ratkaisua Derivaatalla ei ole nollakohtia. 7 Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten derivaatta saa negatiivisia arvoja kaikilla muuttujan arvoilla.

104 . Funktion kulku 5. Funktio on kasvava, kun ja vähenevä, kun. vähenevä kasvava 5. a, kun unktio on vähenevä eli kun,. 6, tai b, kun unktio on kasvava eli e kun, 6, tai vähenevä kasvavaa vähenevä kasvava

105 55. a Funktio on kasvava, kun -5 - tai 5 b Funktio on vähenevä ä, kun - kasvava vähenevää kasvava k 56. a Funktio on vähenevä ä, kun vähenevä b Funktio on vähenevä ä, kun derivaatta on negatiivin nen eli kun -. vähenevä

106 57. Derivaatan kuvaaja leikkaa nollakohdissa -akselin, joten nollakohdat ovat = -, = ja =. - - g g Funktio g on kasvava, kun - tai 58. a Funktio g on vähenevä, kun g g. Derivaatan nollakohdat: : - g + Funktio on vähenevä, kun. Huom! Tehtävän voi ratkaista myös epäyhtälön g, kun : avulla:

107 b g Derivaatan nollakohdat: 9 : Funktio on vähenevä, kun g eli, kun 9. Huom! Tehtävän voi ratkaista myös epäyhtälön avulla: kun g 9 : g - +

108 59. a on kasvava, kun. Derivaatan nollakohdat: : - + Funktio on kasvava, kun Huom! Tehtävän voi ratkaista myös epäyhtälön avulla: : b Derivaatan nollakohdat: : + - Funktio on kasvava, kun eli, kun. Huom! Tehtävän voi ratkaista myös epäyhtälön avulla.

109 6. 9 Derivaatan nollakohdat: tai Derivaatan merkki: 9 9 Merkkikaavio: on kasvava, kun eli kun tai Huom! Derivaatan merkin voi perustella myös seuraavasti: Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. kun tai.

110 6. Tarkastellaan g:n kulkua derivaatan g avulla. g 5 Derivaatan nollakohdat: tai 6 5 Derivaatan g kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. g Merkkikaavio: -6 7 g ' + + g g on kasvava, kun 6 tai 7 g on vähenevä, kun 6 7

111 6. a g = - 7 Derivaatan nollakohdat: 7 7 tai : Merkki- ja kulkukaavio: Tapa testipisteet g - = - g - = g = - Tapa derivaatan kuvaaja -9-9 g ' g g on kasvava, kun 9 g on vähenevä, kun -9 tai.

112 b g ' Derivaatan nollakohdat: 6 Merkki- ja kulkukaavio: Ei ratkaisua Derivaatalla ei ole nollakohtia Tapa testipisteet g = - Tapa derivaatan kuvaaja g ' - g g on vähenevä kaikilla muuttujan arvoilla

113 6. a b c

114 6. Derivaatan nollakohdat: tai 6 Derivaatan merkki: 7 Kulkukaavio: + + Funktio on kasvava, kun tai. Funktio on vähenevä, kun.

115 Lasketaan pisteitä kuvaajan piirtämiseksi ,

116

117 65. a Aloitushetkellä eli h 6 bakteeria b Bakteerikanta vähentyy, kun vähenee eli. 8 6 Derivaatan nollakohdat: tai, 67 Koska kuvaa aikaa, se ei voi saada negatiivisia arvoja. Derivaatan merkki:, 8, 6,, Merkkikaavio: + on vähenevä, kun. Bakteerien määrä alkaa vähentyä, kun aikaa on kulunut.

118 66. a Pinta-ala: A b A on kasvava, kun A. A Derivaatan nollakohta: : Pinta-alaunktio on kasvava, kun. A Huom! Tehtävän voi myös ratkaista epäyhtälön avulla: A kun : 67. Reitillä on ylämäkeä kohdissa, joissa h. h 6 h kun

119 Tulon nollasäännön mukaan tai ,8..., tai,69... Nollakohdista =,69 on juuri lenkin ulkopuolella. Derivaatan merkki: h,, 6,,,65 h 6,9 h + h h on kasvava, kun, eli kun vaakasuora etäisyys on yli m lenkin loppuun.

120 68. a Kun pallo osuu maahan, h,8 75,,8 75, tai -,8+75, =,8 75, 9 :,8 Lyönnin pituus on 9 m. b Pallo on laskevassa liikkeessä, kun unktio h vähenee, jolloin h. h,6 75, h Derivaatan nollakohta:,6 75, 7,6 75, :,6 7 Derivaatta negatiivinen, kun 7 eli kun etäisyys on yli 7 m. Huom! Tehtävän voi ratkaista myös epäyhtälön avulla: h, kun,6 75,,6 75, :,6 7

121 69. on kasvava, kun. 6 a kun : 6 6 a a a 7. on kasvava, kun. a Derivaatan nollakohdat: a 6 a a a

122 Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Jos vaaditaan, että se ei saa negatiivisia arvoja, on em. yhtälöllä oltava enintään yksi ratkaisu. Se on mahdollista, jos juuren alla oleva lauseke eli diskriminantti D : a a a : 7. Tarkasteltavat muuttujan arvot =, ja =, ovat derivaatan nollakohtaa = suurempia. Funktio on vähenevä, kun, joten muuttujan arvojen kasvaessa unktion arvon pienenevät. Mitä lähempänä muuttujan arvo on siis derivaatan nollakohtaa =, sitä suurempi unktion arvo on. Koska, <, eli, on lähempänä arvoa on g, suurempi.

123 7. Funktio on kasvava, kun eli kunn derivaatan kuvaaja kulkeee -akselilla tai sen yläpuolella. Funktio on vähenevä, kun eli kun derivaatan kuvaaja kulkeee -akselilla tai sen alapuolella. a Derivaatan nollakoh hta: = - Funktio on kasvava, kun - ja vähenevä, kun -. b Derivaatan nollakoh hdat: = tai = Funktio kasvava, kun tai ja vähenevä, kun. c Derivaatallaa ei ole nollakohtia. Koska derivaatan kuvaaja kulkee ainaa -akselin yläpuolella, on unktio kasvava kaikilla muuttujan arvoilla. d Derivaatan nollakoh hta: = Koska derivaatan kuvaaja kulkee ainaa jokoo -akselilla tai sen yläpuolella, onn unktio vähenevä kaikilla muuttujan arvoilla.

124 7. g Derivaatan nollakohta: g 6 : -6 a g on kasvava, kun g eli kun -6 b g on vähevenä, kun g eli kun. 7. h Derivaatan nollakohdat: tai Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Merkkikaavio: 9 h + + h h on kasvava, kun tai. 9

125 75. Derivaatan nollakohdat: 58 tai 7 Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli /7 - / Merkkikaavio: on kasvava, kun tai. 7 on vähenevä, kun. 7

126 Lasketaan unktion arvoja kuvaajan piirtämiseksi , ,7... 6

127 . Funktion ääriarvot 76. a minimikohta = minimiarvo = -5 b maksimikohta = - maksimiarvo - = minimikohta = minimiarvo = 77. a minimikohta = - b Derivaatallaa kaksi nollakohtaa = - ja =. Merkki- ja kulkukaavio: ma min maksimikohta = - minimikohta =

128 Derivaatan nollakohta: : 6 Derivaatan merkki: ma a Maksimikohta b Maksimiarvo a Derivaatan nollakohta: :

129 Derivaatan merkki: Merkkikaavio: + min Minimiarvo b 6 6 Derivaatan nollakohta: : 6 Derivaatan merkki: Merkkikaavio: - + Maksimiarvo: ma

130 8. 8 g Derivaatan nollakohdat: 8 tai Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Merkkikaavio: + + ma min Maksimiarvo: 7 5 g Minimiarvo: g

131 8. a g Derivaatan nollakohta: : Derivaatan merkki: g g Merkkikaavio: - g + g min Minimikohta: b g 8 Derivaatan nollakohdat: Yhtälöllä ei ole ratkaisuja, koska -68 <. Derivaatalla ei ole nollakohtia eikä unktiolla g näin ollen ääriarvokohtia

132 8. a h Derivaatan nollakohdat: tai : Derivaatan h kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. Merkkikaavio: h + h min ma Minimikohta: Maksimikohta:

133 b h,5, 7 Derivaatan nollakohta:,5,7,5,7, :,5 Derivaatan merkki: h,5,7,7 h,5,7, h h, + min Minimikohta:,

134 8. Funktiolla ei ole ääriarvoja, jos se on aina aidosti kasvava tai aidosti vähenevä. Tällöin derivaatalla ei ole nollakohtia. Derivaatan nollakohdat: Yhtälöllä ei ratkaisua, joten derivaatalla ei nollakohtia. Derivaatan merkki: kaikilla :n arvoilla, joten on aidosti kasvava eikä sillä ole ääriarvoja.

135 8. a b Derivaatan nollakohdat: tai

136 Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli ma min Minimikohta on 8 8 8,5 8 8 c 6 c 6 6 c a Bakteereja on elossa, kun niiden lukumäärä on suurempi kuin nolla eli ratkaistaan milloin FT >. Nollakohdat:

137 Bakteerin määrää kuvaavan unktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, joten unktio saa positiivisia arvoja, kun 5 < T < 5 b Tutkitaan, millä muuttujan arvolla unktio saa suurimman arvonsa. F T = -,65T + 6,5 Derivaatan nollakohta:,65t 6,5,65T 6,5 T 6 :,65 Koska määrää kuvaavan unktion F kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli, löytyy bakteerien määrän suurin arvo paraabelin huipusta eli derivaatan nollakohdasta. Bakteerien määrä on suurimmillaan, kun lämpötila on 6 C. c Bakteerin määrä F6 = -, ,5 6 =,5 bakteeria

138 87. Nuolen korkeus h t,9,5t,9t h t,5 9, 8t Derivaatan nollakohta:,5 9,8t 9,8t,5 t,5 Derivaatan merkki: h,5 9,8,5 h,5 9,8,9 Merkkikaavio:,5 h + h a Korkeus on suurin, kun on kulunut,5 s. b Korkeus hetkellä t, 5: Korkeus on m. h,5,9,5,5,9,5,55

139 88. t t t a t 8t Derivaatan nollakohdat: 8t 8t t,5 Derivaatan merkki: 8 8 Merkkikaavio:,5 +,5,5,5 5 Lääkkeen määrä oli suurimmillaan, kun lääkkeen antamisesta oli kulunut,5 tuntia. Lääkettä oli tällöin 5 mg.

140 b Leikkauksen aikana t t t t 6 6 Merkitään g t t t 6 g:n nollakohdat: t t 6 : t 5t 5 5 t 5 t t tai t g:n kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli g t g t kun t Leikkaus saattoi siis kestää enintään h.

141 89. a saa suurimman arvonsa derivaatan nollakohdassaa 7. b c saa pienimmän arvonsa a derivaatan nollakohdassaa. suurin arvo 7 pieninn arvo

142 9. a saaa pienimmän arvonsa derivaatan nollakohdassa. Pieninn arvo Koska ei ole määritelty suljetulla välillä, ei suurinta arvoaa ole. b saaa suurimman arvonsa välin, kaikissa kohdissa. Suurin arvo on. saa pienimmän arvonsa välin, kaikissa kohdissa. Pieninn arvo on -.

143 9. g Derivaatan nollakohta: : Derivaatan merkki: g g Merkkikaavio: - g + g ma Suurin arvo kohdassa. g 5

144 9. r 6 8 Derivaatan nollakohta: :6 Derivaatan merkki: r r Merkkikaavio: r + r min Pienin arvo kohdassa. r 8 5

145 9.,, Derivaatan nollakohta:,,,, :, a 5, Derivaatan merkki:,,,,,, ma min ma 5, 5,, Suurin arvo Pienin arvo -,6, 5,5,,5,6,,5,

146 b,6 Derivaatan nollakohta ei kuulu em. välille. Derivaatan merkki:, 6 + min ma 6,, 6,,5,5, 6,5, Suurin arvo, Pienin arvo -, Derivaatan nollakohta: :

147 Derivaatan merkki: min ma min Suurin arvo 8 Pienin arvo t 8 Derivaatan nollakohdat: tai 7

148 Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. t Merkkikaavio: - 5 t + t ma min ma t t t Suurin arvo 56 Pienin arvo g 6 6 Derivaatan nollakohdat: Derivaatalla ei ole nollakohtia

149 Derivaatan merkki välillä, : g g g ma min Suurin arvo g 8 9 Pienin arvo g = = Luku Luvun neliö Summa s s Derivaatan nollakohta: :

150 Derivaatan merkki: s s Merkkikaavio: s + s min Summan s pienin arvo on kohdassa Summa s. Kysytty luku on. Summa on.

151 98. Veden tilavuus V T,79T,66T,, T C V T,58T,66 Derivaatan nollakohta:,58t,66,58t T,66,96... Derivaatan merkki: V,58,66,66 V 5,585,66,7 Merkkikaavio:,9 V + V ma min ma V,79,66,, V,79,66,,7 Tilavuus on suurin, kun lämpötila on C.

152 99. Lämpötila t,t,6t,, t t,t,6 Derivaatan nollakohta:,t,6,t,6 t 5,5 Derivaatan merkki:,,6,6 6, 6,6, Merkkikaavio: 5,5 + min ma min,,6,,,,6, 7, Lämpötila oli suurin, kun t 5, 5 eli klo 5.5 Lämpötila oli matalin, kun t eli klo..

153 . Veden tilavuus V t 5 t 5 t t 5 t t t 5 t t 5t 8t 8 a Säiliö on tyhjä, kun 5t 8t 8 8 t t t eli minuutin kuluttua.

154 b V t t 8 q t V t t 8 8 t Funktion q suurin arvo: q t q q q saa suurimman arvonsa hetkellä t eli heti tyhjentymisen alkaessa.

155 . Funktio saa suurimman arvonsa derivaatan nollakohdassa. 5 Funktio saa pienimmän arvonsa välin päätepisteessä. 6. g Derivaatan nollakohdat: 6 tai

156 Derivaatan g kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. g + + -/ - Merkkikaavio: g + + g Maksimi g ma min Minimi g

157 . 5,, Derivaatan nollakohdat: 7 tai Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli / 7/ - Merkkikaavio: min ma min ma 5 Suurin arvo -. 5

158 . Olkoon kysytyt luvut ja y. y 5 y 5 Lukujen tulo t 5 5 t 5 Derivaatan nollakohta: : Derivaatan merkki: t 5 5 t 5 5 Merkkikaavio: 5 t + t ma Funktiolla t on suurin arvo kohdassa 5. Kysytyt luvut ovat siis 5 ja 5.

159 5. v,,5,,, 5 v, 8, Derivaatan nollakohta:, 8, 8,,,5 Derivaatan merkki: v,, 8,,, v,, 8,,,6 Merkkikaavio:,5,5 v + v min ma min Reaktion nopeus suurin, kun, 5 eli konsentraatio on mol,5. l

160 . Derivaatan geometrisia sovelluksia 6. y y y y 7 : Sivujen pituudet ovat positiivisia: ja 7 7 :,7 7 Ala A y 7 7 A 7 A kun 7 7 5

161 Derivaatan merkki: A 7 5 A 7 Merkkikaavio: 5 7 A + A ma Ala on suurin, kun 5. Sivut ovat tällöin 5 m ja 7 5 m 5 m. Ala A eli 5 m. 7. y y y y 8 8 9,5 : Sivujen pituudet ovat positiivisia: ja 9,5,6,5 9 :,5 6

162 Ala A y 9,5 9,5 A 9 A kun 9 9 Derivaatan merkki: A 9 6 A 9 Merkkikaavio: 6 A + A ma Ala on suurin, kun. 9,5 m 5. Sivut ovat tällöin m ja m

163 8. Lautaa käytettävissä, m = cm. y 8 y 8 y 6 y 58 : y Sivujen pituuksien oltava positiivisia: > ja 58 > - > -58 : - < 79,79 Hyllykkö täyttää seinältä pinta-alan, jonka suuruus on A y A = Derivaatan nollakohta: ,5 :

164 Derivaatan merkki: A 58 8 A Merkkikaavio: 9,5 79 A + A ma Ala on suurin, kun 9, 5. Mitat ovat tällöin: leveys 9,5 m ja korkeus58 9,5 m 7 m y 6 y 6 7 : y 9,75

165 Sivut ovat positiivisia: ja 9,75 ;5,...,75 9 5,... :,75 Tilavuus V y 9,75 9,75 V 8 5,5 V kun 8 5,5 8 5,5 tai 8 5,5 5,5 8,... Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli:, 5,.. V + V ma Tilavuus on suurin, kun,... Mitat ovat tällöin:, m,,m ja 9,75,... m, m

166 . Sivujen pituudet positiivisia: ja >, Tilavuus V V 576 9

167 V kun tai Vain kuuluu välille,. Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. V Merkkikaavio: V + V ma Tilavuus on suurin, kun. Poisleikattavan neliön sivun pituus täytyy olla, cm.

168 . 8 y 5 y 8 8 Sivujen pituudet positiivisia: ja 8 8 > 8 8 6,6 Tilavuus V y V 96

169 V kun tai 96 = 96 Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli: V Merkkikaavio: 6 V + V ma Tilavuus on suurin, kun. Neliön sivu on siis cm ja kehikon korkeus 8 8 cm 6. cm

170 . Sivujen pituudet positiivisia: ja 5 > 5 7,5 ;7,5 Tilavuus V 8 V 6 7 V kun ,75

171 Derivaatan merkki: V V Merkkikaavio: 8,75 7,5 V + V ma Tilavuus on suurin, kun 8, 75. Kourun mitat ovat: korkeus 8,75 cm 5 8,75 cm 7,5 pituus 8, cm leveys cm. Koska neliön ala on 9 cm, neliön sivu on cm.

172 Sivujen pituudet positiivisia: ja >,5 5 Tilavuus V V V kun ,9...,66... tai 8 6 6, Juurista vain jälkimmäinen kuuluu välille,5.

173 Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. V + + 6,... -, , 5 V + V ma Tilavuus on suurin, kun 6,9... Tällöin rikkalapion mitat ovat: 6,... cm,66...cm,7 cm 6,... cm 7,...cm 7,cm 6,9...cm 6, cm

174 . h h Sivujen pituudet positiivisia: ja >, Tilavuus V h V 6 V kun : tai 6 = 6 6 6,66...

175 Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli , V Merkkikaavio: 6 V + V ma Tilavuus on suurin, kun 6. 6 V 6 6 9, Tilavuus on 9, kun lieriön korkeus on 6 6, 7.

176 5. r h h r Pituudet positiivisia: r ja r m,8 r r, r Säde voi siis vaihdella m,8 m eli cm 8, cm Tilavuus r r r r h r r V r r r V

177 V r kun r r r r r tai r r r 6 r,5... Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. - +, V r 6 V + V ma Tilavuus on suurin, kun r m,5 m 5,cm. 6

178 6. y,-, 8, Yhdenmuotoisuuden perusteella y 8 y 8 y 8 Ala A y 8 6 Pituudet positiivisia: ja 8 > 8,

179 A 6 8 A kun Derivaatan merkki: A A Merkkikaavio: A + A ma Ala on suurin, kun. Suorakulmion mitat ovat siis: 8, cm 8, kanta cm korkeus, cm

180 7. y y y Sivujen pituudet positiivisia: ja >, Ala A y A A kun 6

181 Derivaatan merkki: A 5 5 A 5 7 Merkkikaavio: 6 A + A ma Ala on suurin, kun 6. Aitauksen mitat: 6 m korkeus 6 m kanta m Ala on 6m m 7m 8. 6 y y y 5 5 6,5 Sivujen pituudet positiivisia: ja,5 >,5 7,5 ;7,5

182 Ala A y,5,5 A =,5 6 A = kun,5 6 6,5,75 : 6 Derivaatan merkki: A,5 6 6,5 A,5 6,5 Merkkikaavio:,75 7,5 A + A ma Ala on suurin, kun, 75. Koska koko alueen leveys on,5,75 m,5 m.,5 m Yhden karsinan leveys,5 m ja korkeus,75 m. 5

183 9. y y 5 y 95 Sivujen pituudet positiivisia: ja 95 > 95 95,95 Tilavuus V y 95 9 V 9

184 V kun 9 9 7,5 Derivaatan merkki: V 9 86 V Merkkikaavio: 7,5 95 V + V ma Tilavuus on suurin, kun 7, 5. V 7,5 9 7,5 7, Laukun tilavuus on 5cm 5dm 5l

185 . Kehikon rakentamiseen käytössä, m = cm rautalankaa. r h h r h 5 r : h cv cv r Pituudet positiivisia: r > ja 5 - r > r r, : r,8... Tilavuus V r h r 5 r 5r r V ' r r V = kun r - r = r - r = r = tai - r = r : r,6...

186 Derivaatan merkki: V ' 8,55... V ' 9,75... Merkkikaavio:,6,8 V + V ma Tilavuus on suurin, kun säde r,6...cm cm. Kehikon korkeus tällöin h = 5 - r = 5 -,6 cm = 6,66 cm 7 cm

187 . Derivaatan sovelluksia talouselämästä., 8 kun 55 Derivaatan merkki: 6 6 Merkkikaavio: ma Verokertymä on suurin, kun veroaste on 55 %.

188 . Myynnistä saatavat tulot T = 5 55 = 5 55 T = 5 Derivaatan nollakohta: 5 5,7... : Derivaatan merkki kun on välillä [5,5; ]: T ' 5 T ' Merkkikaavio: 5,5,7 T ' + T min ma min a Myynnistä saatavat tulot olisivat mahdollisimman suuret, kun hinta =,77,7 b Myyntituloilla kaksi minimikohtaa = 5,5 ja =. T 5,5 5 5,5 55 5,5 556, T Pienimmät myyntitulot, kun myyntihinta on.

189 c Pienimmät myyntitulot 5 5 Suurimmat myyntitulot saadaan, kun =,7 : T,7... 5, ,7... Suurimmat myyntitulot noin 8 89,. Kävijämäärä q 5 Maksutulo m 5 5, m 65 m kun Derivaatan merkki: m m,5 65,5 5 m + m ma Maksutulo suurin, kun lipun hinta on,.

190 . Hinta /kpl Myynti/kk 7 8 Myyntitulo m 5, m 7 6 m kun Derivaatan merkki: m m Merkkikaavio: 5 m + m ma Myyntitulo on suurin, kun hinta on.

191 5. Myyntihinta /kg,,;,5 Myyntimäärä q = 5,9 Myyntitulot m = 5,9 = 5,9,;,5 Myynnin arvojen vaihtelu saadaan selville myynnin suurimman ja pienimmän arvon avulla. m =,8 Derivaatan nollakohta:,8,8,... :,8 Derivaatan merkki: m,8,6 m,5,8,5,5 Merkkikaavio:,,,5 m + m minimit: m,, 5,9,,88... m,5,5 5,9,5 8,... maksimi: m,...,... 5,9,... 8,7... Myyntitulot vaihtelivat välillä - 8.

192 6. Myyntihinta p Menekki q p 8 5p Myyntitulo p8 5 p Ostohinta 88 5 p Bruttovoitto b p 8 5p88 5p 8 p 5p 5p p p p ja 8 5p > 5p 8 p,... ;,... b p 7p b p kun 7 p 7 p p 6,...

193 Derivaatan merkki: b 7 76 b 7 87 Merkkikaavio: 6,, b + b ma Bruttovoitto on suurin, kun myyntihinta on 6, Sämpylän hinta Päivämyynti kpl,,,,,,,,, Kun hintaa nostettu, kertaa, myyntitulo m,, 8 8 8,,,, 6 - < < 6

194 m m kun Derivaatan merkki: m m Merkkikaavio: - 6 m + m ma Myyntitulo on suurin, kun.,,,5. Tällöin myyntihinta on

195 8. Alepäivä Hinta Myynti kpl Myyntitulo m Positiivisuusehdot: Koska lisäksi,, m 5. m kun 5 5 5

196 Derivaatan merkki: m 5 m Merkkikaavio: 5 m + m ma a Myyntitulo on suurin, kun 5. Tällöin on alennusmyynnin 5. päivä. b Suurin myyntitulo m Henkilöitä yrityksessä Tuotto/myyjä Kuukauden myyntitulo m

197 Positiivisuusehdot: 65 65,5, Lisäksi on kokonaisluku. m 7 m kun 7,5 Derivaatan merkki: m 7 7 m Merkkikaavio: -,5 m + m ma Myyntitulo on suurin, kun,5. a Yrityksen kannattaa siis pitää palkkalistoillaan 8 henkilöä. b Suurin myyntitulo m

198 . Hinta Myynti kpl,,,,,,,,, Voitto v,,, Positiivisuusehdot:,,,,, v 7 v kun 7 8,5

199 Derivaatan merkki: v 7 7 v 7 Merkkikaavio: - 8,5 v + v ma Suurimmat voitot saadaan, kun 8, 5.,, 8,5 Tällöin leivän hinta on,5. Hinta Myynti kpl Tulo mainoskustannusten jälkeen V 5 5, ,7 867,5 7,5, Positiivisuusehdot: 5 5 5,

200 V 9,7 V kun 9,7,85 Derivaatan merkki: V 5 5 9,7, V 9,7 9,7 Merkkikaavio: -5 -,85 5 v + v ma Voitto on suurin, kun, 85. 5,85,5. Tossujen hinta on tällöin

201 . Jos OVH-hintaa alennetaan: OVH Myynti kg,,,5,,5,,5,,5 Voitto v,,5 58 9,6 6,5,5,6 8 v,,6 v kun,,6,,6 Derivaatan merkki: v,,6,6 v,,6, v + v ma Voitto on suurin, kun. v,5,6 8 5,6

202 Jos OVH-hintaa korotetaan: Voitto k,, 58 6,,, k, 5,6 k kun, 5,6 5,6 8 Derivaatan merkki: k, 5,6, k 5, 5 5,6, k + k ma Voitto on suurin, kun. k, 5,6 8, Voittounktio k tuottaa suuremman arvon. Kun,,,6, kalan OVH-hinta on

203 . Kertausosa. a kun, 6 : b 6 kun, 6 tai 8 6

204 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa alaspäin.. Funktio leikkaa -akselin kohdassa =. a + 5 = - = -5 = 5 b + 6 = 5 8 tai 6 6 8

205 . a Sievennetäänn ensin unktion lauseketta. 6 Piste -, onn kuvaajalla, jos - =. Piste ei ole kuvaajalla

206 b g = g = Piste -, on kuvaajalla, jos - =. Piste on kuvaajalla.

207 5. a -akseli: 5 5 Pisteessä, 5 y-akseli: Pisteessä, b -akseli: : tai Pisteissä, ja, y-akseli: Pisteessä, -

208 6. a b -5 5 c >, d 7. a ],8[ b ] 6,] c [, [ 8. a, kun b, kun

209 9. a g <, kun < tai > 8 b g <, kun < - tai < < c g ei ole negatiivinen milläänn muuttujan arvolla.. d g <, kun -6

210 . a 6 : b

211 . Tarkastellaan unktiota. Nollakohdat: tai :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli: kun.

212 b 5 5 Tarkastellaan unktiota 5. Nollakohdat: 5 5 tai 5 = 5 5 :n kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli: - + /5 - kun 5

213 . Merkitään :n nollakohdat: tai = = :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli: eli, kun tai.

214 . a Kun lasketaan muutosnopeus välillä,, määritetään pisteiden, - ja, - kautta piirretyn suoran kulmakerroin: b Pisteiden,, - ja, kautta piirretyn suoran kulmakerroin: c b a c Pisteiden -, ja, kautta piirretyn suoran kulmakerroin:

215 . a Kohtaan piirretty tangentti kulkee pisteiden -, ja, 7 kautta. Tangentin kulmakerroin: 7 b Kohtaan piirretty tangentti kulkee pisteiden, - ja, 5 kautta. Tangentin kulmakerroin: a kohdassa b kohdassa =

216 6. Funktion kuvaaja kulkee pisteiden, - ja, -6 kautta. Näin ollen 6 Kohtaan piirrettyy tangentti kulkeee pisteiden, - ja -, kautta. Sen kulmakerroin on. Kohtaan piirrettyy tangentti on -akselin suuntainenn ja sen kulmakerroin on nolla. Niinpä. 7. a Kohtaan = - piirretyn tangentin kulmakerroin on: k ' b Yhdensuuntainen tangenttisuora löytyy kohdasta =, joen tässä kohdassa derivaatalla on sama s arvo. -, -,

217 8. Kohtaan piirretty tangentti kulkee pisteiden, ja 6, 9 kautta. Sen kulmakerroin on 9 7, 6 5 eli,. Huom! Piirrostarkkuudesta riippuen yhtä hyväksyttäviä tuloksia olisivat arvot välillä,. Kohtaan piirretty tangentti kulkee pisteiden, 8 ja, kautta. Koska sen kulmakerroin 8 5 on 5, 5.

218 9. a Nollakohdissa g:n kuvaaja leikkaa -akselin. g kun,5 tai 9, 5. b Derivaatan nollakohd dissa tangenttisuora on vaakasuora eli suorann kulmakerroin onn nolla. Derivaatan nollakohtia ovat:, ja 8. a D b D55 5 c D d D D D 7 e D D 6 D D 6 6

219 . a b t t t t t t t c Sievennetään ensin unktion lauseke: a a a a a a a a a 6 5 a a d 6 9 9

220 . Sievennetään ensin unktion lauseke: Q Derivaatta: Q 8 6 Q 6 8 Q. 5 ja 5 6 g 5 8 g 7 7 D D D g D D g g Näin ollen g g D D D unktioille ja g.

221 . a Derivoidaan ensin unktio. ' ' b Funktion derivaatta: ' 6 ' 5. a 5 kun, 5 :

222 b kun tai 6 6. t t Koska, t t t

223 7. Derivoidaan unktio ' Ratkaistaan yhtälö 6 tai ' 8. Funktion kuvaaja on paraabeli, jonka huippu löytyy derivaatan nollakohdasta. Derivoidaan unktio: ' Derivaatan nollakohta: 6 : Huippupisteen -koordinaatti on =. Huippupisteen y-koordinaatti 8 y Huippupiste -,.

224 9. a, kun tai tai 8 b, kun tai 8 c, kun tai 8. Derivoidaan unktio: g' Derivaatan nollakohta: g ' : Derivaattaunktion kuvaaja: g, kun 6

225 . g Derivaatta: g g kun tai = = Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. g g, kun. Derivaatta: ' Derivaatan nollakohdat: 6 Derivaatalla ei ole nollakohtia, joten derivaatan kuvaaja ei leikkaa -akselia. Koska derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, saa derivaatta aina positiivisia arvoja.

226 . a Derivaatta saa positiivisia arvoja tai arvon nolla, kun unktio on kasvava. Funktio g on kasvava, kun - tai. b Funktio saa positiivisia arvoja, kun kuvaaja kulkee -akselin yläpuolella. Funktion g on siis kasvava, kun - tai.. Hahmotellaan derivaata an kuvaaja t Derivaatan merkkikaavio ja unktion kulkukaavio: Funktio on kasvava, kun t - tai t.

227 5. g Derivoidaan unktio g 6 Derivaatan nollakohdat g, kun 6 6 tai 6 Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli: g Merkkikaavio ja kulkukaavio: -7 - g g

228 Lasketaan unktion arvoja kuvaajan piirtämiseksi. g -7 g 7 7 7,5-6 g 6-5 g 5,5 - g 6 - g,5 - g 8 - g,5 g g,,5 g 6

229 6.,5 5 Derivoidaan unktio: 5 Derivaatan nollakohdat: kun 5 5 Derivaatan merkki: Merkkikaavio ja kulkukaavio: Funktio kasvava, kun 5. Tällöin unktion arvot kasvavat, kun muuttujan arvot kasvavat. Koska,998, 999 niin,998,999.

230 7. Minimikohdat: Maksimikohta: : Minimiarvot: Maksimiarvo: 8. a g,5 g 6 6 g 6 6 kun : Derivaatan merkki: g 6 6 g 6

231 Merkki- ja kulkukaavio: g - + g Minimiarvo 6,5 g b g g kun g tai 5 min

232 Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli: g + + -/ - Merkki- ja kulkukaavio: g g ma min Maksimiarvo g 8 Minimiarvo g 7

233 9. 5 a a a, a a a a 5 joten Koska :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli, on minimikohta. Minimi: 5 6.,6,,,,6,, kun,,,,,5

234 Derivaatan merkki:,,,968,,, Merkki- ja kulkukaavio:,5 + - ma Heiton korkeuden maksimikohta on, 5. Tällöin,5,6,5 7,65 8 Heitto käy 8 m korkeudessa.,,5,

235 . a Suurin arvo on 6, joka saadaan kohdassa. b Välillä 7, suurin arvo on ja pienin p arvo on. c Välillä, suurin arvo saadaan kohdassa Pieninn arvo saadaan kohdassaa. d Funktio saaa arvon 6 kohdassa. Funktio saa arvon 5 esimerkiksi kohdassa. Niinpä välillä, tai, saa mainitut suurimman jaa pienimmän arvon.. 8, 5, kun :

236 Derivaatan merkki: 8 8,5,5 8 Merkki- ja kulkukaavio: ma min ma Lasketaan unktion ääriarvot: Vastaus: Suurin arvo 89, pienin arvo -9. a p ei voi saada negatiivisia arvoja eli,875t,7t p:n nollakohdat:,875t,7t t,875t,7 t tai,875t,7 t = 8 t,8. Funktio on määritelty, kun

237 b Derivoidaan unktio: p t,75t,7 Derivaatan nollakohta: p t kun,75t,7 t Derivaatan merkki: p,75,7,7 p 5,75 5,7,75 Merkki- ja kulkukaavio: 8 p + - p min ma min Suurin arvo saadaan, kun eli neljän tunnin kuluttua juomisen aloittamisesta. Suurin arvo on p,875,7, Veren alkoholipitoisuus on siis,.

238 . Merkitään aitauksen sivuja kirjaimilla ja y. y y y Sivun pituuden tulee olla positiivinen, joten: > ja y >, Muodostetaan pinta-alalle unktio A Derivoidaan: A Derivaatan nollakohta: 5,5 : Derivaatan merkki: A ' 8 A '6 6

239 Merkki- ja kulkukaavio: 5,5 A + - A ma Alan arvo suurin, kun 5, 5. Aitauksen mitat tällöin 5,5 m ja 5,5 m m 5. Merkitään pohjaneliön sivuja kirjaimella ja korkeutta kirjaimella y. 8 y 56 y 56 8 y : Sivujen pituudet positiivisia: > ja y > 7,7 Muodostetaan unktio tilavuudelle: V Derivoidaan: V 8 6

240 Derivaatan nollakohdat: = tai 8 6 = 8 6 Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. - +, V Merkki- ja kulkukaavio: V + - V ma 7 Tilavuus V on suurin, kun. V,6... Suurin tilavuus on cm.

241 6. mm mm mm:n paksuisia nauhoja saadaan leikattua mm kappaletta. mm Didon rajaaman alueen ympärysmitta on siis,5m 5m. Merkitään alueen sivujen pituuksia kirjaimilla ja y. y y y 5 5 Sivujen pituudet positiivisia: ja y > 5 5,5 Muodostetaan pinta-alaa kuvaava unktio: 5 5 A

242 Derivaatta: A 5 Derivaatan nollakohta: : Derivaatan merkki: A 5 A 5 5 Merkki- ja kulkukaavio: 65 A + - A ma 5 Ala on suurin, kun 65. Alueen mitat ovat tällöin 65 m ja 5 65 m 5 m Suurin ala on A m. eli n. 78 ha.

243 7. m 5, 8,6. Derivaatta: m Derivaatan nollakohta: Derivaatan merkki: m m Merkki- ja kulkukaavio: 8 m + - m ma 6 Myyntitulo on suurin, kun eli myyntihinta on. Myyntitulo on tällöin m 5 5 Suurin myyntitulo on siis 5.

244 8. Hinta Katsojamäärä kpl , , , , Myyntitulo m 8, Hinta ja katsojamäärä positiivisia: 8,5 65 5, , Derivaatta: m 5 75 Derivaatan nollakohta: ,5

245 Derivaatan merkki: m m Merkki- ja kulkukaavio: -6 -,5 m + - m ma Myyntitulo on suurin, kun, 5. Lipun hinta on tällöin 8,5,5 7,5.

246 . Harjoituskoe. a Toisen asteen termin kerroin positiivinen, joen paraabeli aukeaa ylöspäin. b = 5 5 g = : : 5 c y-akselin leikkauspisteessä =, pisteessä, - g, pisteessä, d sijoitetaan = - g 6

247 . Piste kuvaajalla, jos. Piste on kuvaajalla.

248 . Nollakohdat: tai, kun Huippu nollakohtien puolivälissä derivaatan nollakohdassa. Huipun -koordinaatti on. Huipun y-koordinaatti on 8 y Eli huippu pisteessä 8,.

249 . a Jos kolmion piiri on cm ja hypotenuusan pituus cm, on kateettien yhteenlaskettu pituus cm. Koska kolmio on tasakylkinen, ovat molemmat kateetit yhtä pitkät. Tällöin kummankin kateetin pituus on b Suorakulmaisen kolmion pinta-ala saadaan kateettien avulla. A

250 5. a b c Sievennetään ensin unktion lauseke. d t t g a g on kasvava, kun eli t g 6 6 t t t b g g:n kuvaaja kulkee pisteen -, 6 kautta. 6 6 g Pisteeseen -, -6 piirretyn tangentin kulmakerroin on -6.

251 7. g t t 6t g t 6t t g t kun 6t t 6t t 6t t tai t t Derivaatan g kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli: g t - g g ma min Funktiolla ei ole suurinta arvoa, mutta sillä on kaksi ääriarvoa: Maksimi: g 6 7 Minimi: g 6

252 8., 5, Derivaatan nollakohdat: tai = Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli. Nollakohdista = ei kuulu tarkasteltavalle välille 5, min ma min Lasketaan ääriarvot: Suurin arvo -, pienin arvo -79

253 . Harjoituskoe. a, b kun tai tai tai c kun tai tai tai tai d Pienin arvo - e Suurin arvo. a :

254 b Merkitään Funktion nollakohdat: 7 tai :n kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli: kun tai

255 . a 5 t t t t 5 9 t t t b 6 6 r r r g g r = -r c Sievennetään ensin unktion lauseke. h h

256 Derivaatan nollakohdat: 9 tai Derivaatan kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli: Ääriarvot: maksimi minimi Funktio on kasvava, kun tai. + + ma min

257 5. Paraabelin y a 8 huipussa derivaatta saa arvon nolla: y 8a y kun 8a 8a 8a Huipun -koordinaatti on, joten saadaan yhtälö: 8a a a 9 Kun a 9 ja, y 9 8.

258 6. Merkitään ympyräkartion pohjan sädettä kirjaimella r ja kartion korkeutta kirjaimella h. r h,5 6,5,5 h r h r Tilavuus 6,5 6,5 h h h h h r h V Derivaatta 6,5 h h V

259 Derivaatan nollakohdat 6,5 h 6,5 h h 6,5 h,8... h,... Näistä vain positiivinen arvo kelpaa. : Derivaatan V kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli. -, ,... - V h, V + - V Tilavuus V on suurin, kun korkeus h,..., m Tilavuus on tällöin V,... 6,5,...,... 6, , m

260 7. Merkitään aitauksen aidattuja osia kirjaimilla ja y. y y y Sivujen pituudet positiivisia: > ja y >, Muodostetaan unktio pinta-alalle A

261 Derivaatta A Derivaatan nollakohdat 5,5 Derivaatan merkki: A 9 A 6 6 Merkkikaavio: 5,5 A + A ma Ala on suurin, kun 5, 5. A 5,5 5,5 5,5,5 m

262 . Harjoituskoe. a b : kun

263 . a 8 6 Derivaatan nollakohdat: 6 : tai Derivaatan kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli: on kasvava, kun.

264 b kun + on vähenevä, kun. h 8 h h 8 kun tai 6

265 Derivaatan h kuvaaja on ylöspäin aukeava paraabeli: h + + -/ - h + + h h on vähenevä välillä,. Molemmat unktiot h ja ovat siis väheneviä, kun..,5, 875 a Lasketaan unktion nollakohdat:,5,875,5,5,5.5,75 tai,5,875

266 Funktion kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli: -,5 +,75 - Puron leveys on,75,5 m =,5 m. b Huippukohta on nollakohtien puolivälissä:,5,75,5 Huipun y-koordinaatti:,5,5,5,5,875,96...,9 Korkein kohta 9 cm päässä kun :8

267 a Derivaatan nollakohta kuuluu välille,. Derivaatan merkki: Merkkikaavio: + ma min ma Suurin arvo. Pienin arvo -. b Derivaatan nollakohta ei kuulu välille,. + min 8 Pienin arvo. Ei suurinta arvoa.

268 5. Merkitään peilin mittoja kirjaimilla ja y. y 6 95 y 8 95 y 75 y 7,5 Pituudet positiivisia: ja 7,5 > < 7,5 ;7,5 Peilin ala ilman kehyksiä: A y 7,5 7,5 A 7,5 A kun 7,5 7,5 8,75

269 Derivaatan merkki: A 7,5 5,5 A 7,5,5 Merkkikaavio: 8,75 7,5 A + A Ala on suurin, kun 8, 75. Peilin mitat ovat tällöin 8,75cm 9cm ja 7,5 8,75cm 8,75cm 9cm 6. Voittoa kuvaa unktio v 5 5, 5 5,, v, v kun, 6, 6 5 :,

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6

1.1 Polynomifunktio ( x ) = 2 x - 6 . Polynomifunktio. a Suoran kulmakerroinn k = , joten suora on nouseva. c Suoran kulmakerroinn k =, joten suora on -akselin suuntainen vaakasuora.

Lisätiedot

4. Kertausosa. 1. a) 12

4. Kertausosa. 1. a) 12 . Kertausosa. a kun, : b kun, tai 8 . Paraabeli y a bc c aukeaa ylöspäin, jos a alaspäin, jos a a Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle a. Se aukeaa ylöspäin. b Funktion g kuvaaja on paraabeli, jolle

Lisätiedot

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x

x = 6 x = : x = KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 229.a) Funktio f ( x) = 2x+ Nollakohta f x b) Funktio gx ( ) = x KERTAUSHARJOITUKSIA Funktion nollakohdat ja merkki 9.a) Funktio f ( ) = + 6 Nollakohta f bg= + 6= = 6 :( ) = 6 = y 5 6 y = + 6 b) Funktio g ( ) = 5 Nollakohta g bg= = 5 = : 5 5 5 5 = : = = = 5 5 5 9 9

Lisätiedot

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268.

KERTAUSHARJOITUKSIA. 1. Rationaalifunktio a) ( ) 2 ( ) Vastaus: a) = = 267. a) a b) a. Vastaus: a) a a a a 268. KERTAUSHARJOITUKSIA. Rationaalifunktio 66. a) b) + + + = + + = 9 9 5) ( ) ( ) 9 5 9 5 9 5 5 9 5 = = ( ) = 6 + 9 5 6 5 5 Vastaus: a) 67. a) b) a a) a 9 b) a+ a a = = a + a + a a + a a + a a ( a ) + = a

Lisätiedot

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia?

3. Laadi f unktioille f (x) = 2x + 6 ja g(x) = x 2 + 7x 10 merkkikaaviot. Millä muuttujan x arvolla f unktioiden arvot ovat positiivisia? Kertaustesti Nimi:. Onko väite tosi (T) vai epätosi (E)? a) Polynomin 4 3 + + asteluku on. b) F unktio f () = 8 saa positiivisia arvoja, kun > 4. c) F unktion f () = 3 4 kuvaaja on alaspäin aukeava paraabeli.

Lisätiedot

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Huippu 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8..08 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) Keskimääräinen muutosnopeus välillä [0, ] saadaan laskemalla kohtia x = 0 ja x = vastaavien kuvaajan

Lisätiedot

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0

Kertaus. x x x. K1. a) b) x 5 x 6 = x 5 6 = x 1 = 1 x, x 0. K2. a) a a a a, a > 0 Juuri 8 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 8.9.07 Kertaus K. a) 6 4 64 0, 0 0 0 0 b) 5 6 = 5 6 = =, 0 c) d) K. a) b) c) d) 4 4 4 7 4 ( ) 7 7 7 7 87 56 7 7 7 6 6 a a a, a > 0 6 6 a

Lisätiedot

4 Polynomifunktion kulku

4 Polynomifunktion kulku 4 Polynomifunktion kulku. a) Funktio on kasvava jollakin välillä, jos sen arvo kasvaa tällä välillä. Kuvaajan nousemisen ja laskemisen perusteella funktio on kasvava kohtien x,4 ja x 0, välissä. b) Funktion

Lisätiedot

5 Rationaalifunktion kulku

5 Rationaalifunktion kulku Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 5 Rationaalifunktion kulku. Funktion f määrittelyehto on. Muodostetaan symbolisen laskennan ohjelman avulla derivaattafunktio f ja

Lisätiedot

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332.

Laudatur 2 MAA2 ratkaisut kertausharjoituksiin. 1. Polynomit 332. Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin. Polynomit. Vakiotermi 8 Kolmannen asteen termin kerroin, 5 8 = 9, Neljännen asteen termi n kerroin, 8 9, = 7,6 Kysytty polynomi P(a) = 7,6a + 9,a +a + ya +

Lisätiedot

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti!

MAA7 Kurssikoe Jussi Tyni Tee B-osion konseptiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! Laske huolellisesti! A-osio: ilman laskinta. MAOLia saa käyttää. Laske kaikki tehtävistä 1-. 1. a) Derivoi funktio f(x) = x (4x x) b) Osoita välivaiheiden avulla, että seuraava raja-arvo -lauseke on tosi tai epätosi: x lim

Lisätiedot

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO

3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO 3 TOISEN ASTEEN POLYNOMIFUNKTIO POHDITTAVAA 1. Kuvasta voidaan arvioida, että frisbeegolfkiekko käy noin 9 metrin korkeudella ja se lentää noin 40 metrin päähän. Vastaus: Frisbeegolfkiekko käy n. 9 m:n

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 14..016 Kertaus K1. a) b) x 18 ( x 9) ( x ) ( x+ ) lim = lim = lim x+ x+ ( x + ) x x x = lim (x 6) = ( ) 6 = 1 x x + 6 ( ) + 6 0 lim = =

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Vastaus: Määrittelyehto on x 1 ja nollakohta x = 1. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4..6 Kokoavia tehtäviä ILMAN TEKNISIÄ APUVÄLINEITÄ. a) Funktion f( ) = määrittelyehto on +, eli. + Ratkaistaan funktion nollakohdat. f(

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA7 Derivaatta Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Derivaatta (MAA7) Pikatesti ja kertauskokeet Tehtävien ratkaisut Pikatesti

Lisätiedot

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät:

A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: MAB4 Koe Jussi Tyni 1..015 A-osio. Ilman laskinta. MAOL-taulukkokirja saa olla käytössä. Maksimissaan yksi tunti aikaa. Laske kaikki tehtävät: 1. a. Piirrä seuraava suora mahdollisimman tarkasti ruutupaperille:

Lisätiedot

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2

( ) < ( ) Lisätehtävät. Polynomifunktio. Epäyhtälöt 137. x < 2. d) 2 3 < 8+ < 1+ Vastaus: x < 3. Vastaus: x < 5 6. x x. x < Vastaus: x < 2 Lisätehtävät Polnomifunktio 7. Epähtälöt = + 8. a) < + < + < Vastaus: ) < < Vastaus: < 8 8 8 = 8 = + c) ( ) < + ( ) < + < + < : ( > ) < Vastaus: < d) ( )

Lisätiedot

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava

Laudatur 7. Opettajan aineisto. Derivaatta MAA 7. Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola. Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava Laudatur 7 Derivaatta MAA 7 Tarmo Hautajärvi Jukka Ottelin Leena Wallin-Jaakkola Opettajan aineisto Helsingissä Kustannusosakeyhtiö Otava SISÄLLYS Ratkaisut kirjan tehtäviin... Kokeita...57 Otavan asiakaspalvelu

Lisätiedot

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö

3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.8.016 3 Yleinen toisen asteen yhtälö ja epäyhtälö ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) x + x + 1 = 4 (x + 1) = 4 Luvun x + 1 tulee olla tai, jotta sen

Lisätiedot

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea.

B-OSA. 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. B-OSA 1. Valitse oikea vaihtoehto. Vaihtoehdoista vain yksi on oikea. 1.1 Mitä voidaan sanoa funktion f raja-arvosta, kun x a? I Raja-arvo on f(a), jos f on määritelty kohdassa a. II Raja-arvo on f(a),

Lisätiedot

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin.

määrittelyjoukko. log x piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä millä korkeudella tangentti leikkaa y-akselin. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 70 Jussi Tyni 5 a) Derivoi f ( ) e b) Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 c) Ratkaise yhtälö määrittelyjoukko log Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangeti pisteeseen, jossa käyrä

Lisätiedot

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.)

Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Derivaatan sovellukset (ääriarvotehtävät ym.) Tehtävät: 1. Tutki derivaatan avulla funktion f kulkua. a) f(x) = x 4x b) f(x) = x + 6x + 11 c) f(x) = x4 4 x3 + 4 d) f(x) = x 3 6x + 1x + 3. Määritä rationaalifunktion

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x = 6x 4 c) (x + 3)(x 4) = x 3 4x + 3x 1 = x 3 + 3x 4x 1 Vastaus: a) 4x +

Lisätiedot

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen.

1 Rationaalifunktio , a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.7.06 Rationaalifunktio. a) Sijoitetaan nopeus 50 km/h vaihtoaikaa kuvaavan funktion lausekkeeseen. f (50) 50 8 50 4 8 50 500 400 4 400

Lisätiedot

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus:

Vastaus: 10. Kertausharjoituksia. 1. Lukujonot lim = lim n + = = n n. Vastaus: suppenee raja-arvona Vastaus: . Koska F( ) on jokin funktion f ( ) integraalifunktio, niin a+ a f() t dt F( a+ t) F( a) ( a+ ) b( a b) Vastaus: Kertausharjoituksia. Lukujonot 87. + n + lim lim n n n n Vastaus: suppenee raja-arvona

Lisätiedot

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016

Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S2016 Äänekosken lukio Mab4 Matemaattinen analyysi S016 A-osa Vastaa kaikkiin A-osan tehtäviin. Vastaukset kirjoitetaan kysymyspaperiin! Taulukkokirjaa saa käyttää. Laskinta ei saa käyttää! A-osan ratkaisut

Lisätiedot

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö.

määrittelyjoukko. 8 piirretään tangentti pisteeseen, jossa käyrä leikkaa y-akselin. Määritä tangentin yhtälö. MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot 5.4.0 Jussi Tyni. a) Derivoi f ( ) 3e 5 Mikä on funktion f () = ln(5 ) 00 määrittelyjoukko. c) Derivoi g( t) 4ln( t t ). Käyrälle g( ) e 8 piirretään tangentti pisteeseen,

Lisätiedot

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 6 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. 3 Derivaatta. a) Vastaus: Merenpinta nousee aikavälillä 00:00-06:00 ja :30-7:30. Merenpinta laskee aikavälillä 06:00-:30 ja 7:30-3:00. b) Merenpinta nousi 0,35 cm ( 0,) cm = 0,55 cm tuona aikana. Merenpinta

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka K1 Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 a) 1 1 + 1 = 4 + 1 = 3 = 3 4 4 4 4 4 4 b) 1 1 1 = 4 6 3 = 5 = 5 3 4 1 1 1 1 1 K a) Koska 3 = 9 < 10, niin 3 10 < 0. 3 10 = (3 10 ) = 10 3 b) Koska π 3,14, niin π

Lisätiedot

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ

MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ MAA7 HARJOITUSTEHTÄVIÄ Selvitä, mitä -akselin väliä tarkoittavat merkinnät: a) < b) U(, ) c) 4 < 0 0 Ilmoita väli a) 4 < < b) ] 5, 765[ tavalla 7 tehtävän a)-kohdan mukaisella kana, kana 0 Palautetaan

Lisätiedot

2 Yhtälöitä ja funktioita

2 Yhtälöitä ja funktioita Yhtälöitä ja funktioita.1 Ensimmäisen asteen yhtälö 50. Sijoitetaan yhtälöön 7 ja tutkitaan, onko yhtälö tosi. a) x 18 3 x 7 7 18 3 7 14 18 3 7 4 4 Yhtälö on tosi, joten luku 7 on yhtälön ratkaisu. b)

Lisätiedot

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7.1 Koe Jussi Tyni 9.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 5 lim 5 10 b) lim 9 71. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). f ( ) derivaatta 1 b) Millä välillä funktio f ( ) 9 on kasvava? Perustele

Lisätiedot

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim.

MAA7 7.2 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! lim. MAA7 7. Koe Jussi Tyni 8.1.01 1. Laske raja-arvot: a) 9 lim 6 lim 1. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (). 1 f ( ) derivaatta 1 Onko funktio f ( ) 9 kaikkialla vähenevä? Perustele vastauksesi

Lisätiedot

Differentiaalilaskenta 1.

Differentiaalilaskenta 1. Differentiaalilaskenta. a) Mikä on tangentti? Mikä on sekantti? b) Määrittele funktion monotonisuuteen liittyvät käsitteet: kasvava, aidosti kasvava, vähenevä ja aidosti vähenevä. Anna esimerkit. c) Selitä,

Lisätiedot

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio

1 Ensimmäisen asteen polynomifunktio Ensimmäisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT. a) f(x) = x 4 b) Nollakohdassa funktio f saa arvon nolla eli kuvaaja kohtaa x-akselin. Kuvaajan perusteella funktion nollakohta on x,. c) Funktion f

Lisätiedot

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.

A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-6. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei. PITKÄ MATEMATIIKKA PRELIMINÄÄRIKOE 7..07 NIMI: A-osa. Ratkaise kaikki tämän osan tehtävät. Tehtävät arvostellaan pistein 0-. Taulukkokirjaa saa käyttää apuna, laskinta ei.. Valitse oikea vaihtoehto ja

Lisätiedot

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio

4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio 4 Yleinen potenssifunktio ja polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Tutkitaan yhtälöiden ratkaisuja piirtämällä funktioiden f(x) = x, f(x) = x 3, f(x) = x 4 ja f(x) = x 5 kuvaajat. Näin nähdään, monessako

Lisätiedot

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a)

Kertaus. Integraalifunktio ja integrointi. 2( x 1) 1 2x. 3( x 1) 1 (3x 1) KERTAUSTEHTÄVIÄ. K1. a) Juuri 9 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 5.5.6 Kertaus Integraalifunktio ja integrointi KERTAUSTEHTÄVIÄ K. a) ( )d C C b) c) d e e C cosd cosd sin C K. Funktiot F ja F ovat saman

Lisätiedot

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ

4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 4 TOISEN ASTEEN YHTÄLÖ POHDITTAVAA 1. Merkitään toisen neliön sivun pituutta kirjaimella x. Tällöin toisen neliön sivun pituus on

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011

PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9.2.2011 PRELIMINÄÄRIKOE PITKÄ MATEMATIIKKA 9..0 Kokeessa saa vastata enintään kymmeneen tehtävään.. Sievennä a) 9 x x 6x + 9, b) 5 9 009 a a, c) log 7 + lne 7. Muovailuvahasta tehty säännöllinen tetraedri muovataan

Lisätiedot

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

Juuri 5 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. Suora Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 9..07 Ennakkotehtävät. a) Kumpaankin hintaan sisältyy perusmaksu ja minuuttikohtainen maksu. Hintojen erotus on kokonaan minuuttikohtaista

Lisätiedot

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut

MAA2.3 Koontitehtävät 2/2, ratkaisut MAA.3 Koontitehtävät /, ratkaisut. (a) 3x 5x 4 = 0 x = ( 5) ± ( 5) 4 3 ( 4) 6 (b) (x 4) = (x 4)(x + 4) (x 4)(x 4) = (x 4)(x + 4) x 8x + 6 = x 6 x 6 8x = 3 : 8 x = 4 = 5 ± 73 6 (c) 4 x + x + = 0 4 x + 4x

Lisätiedot

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin

Laudatur 4 MAA4 ratkaisut kertausharjoituksiin Laudatur MAA ratkaisut kertausharjoituksiin Yhtälöparit ja yhtälöryhmät 6. a) x y = 7 eli,y+, sijoitetaan alempaan yhtälöön x+ 7y = (, y+, ) + 7y =,y =, y = Sijoitetaan y = yhtälöparin ylempään yhtälöön.,

Lisätiedot

2 Toisen asteen polynomifunktio

2 Toisen asteen polynomifunktio Juuri Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 4.5.017 Toisen asteen polynomifunktio ENNAKKOTEHTÄVÄT 1. a) Merkitään taulukon pisteet koordinaatistoon ja hahmotellaan niiden kautta kulkeva

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: 1 Funktio 1.1 Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet: 1 1. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä.

Lisätiedot

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin!

MAA7 7.3 Koe Jussi Tyni Valitse kuusi tehtävää! Tee vastauspaperiin pisteytysruudukko! Kaikkiin tehtäviin välivaiheet näkyviin! MAA7 7. Koe Jussi Tyni 1..01 1. Laske raja-arvot: a) 5 x lim x5 x 10 b) x 8x16 lim x x 9 x. a) Määritä erotusosamäärän avulla funktion f (5). b) Onko funktio f x vastauksesi lyhyesti 1 9 x ( ) x f ( x)

Lisätiedot

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0,

Kertausosa. 5. Merkitään sädettä kirjaimella r. Kaaren pituus on tällöin r a) sin = 0, , c) tan = 0, Kertausosa. a),6 60 576 Peruuttaessa pyörähdyssuunta on vastapäivään. Kulma on siis,4 60 864 a) 576 864 0,88m. a) α b 0,6769... 0,68 (rad) r,m 8cm β,90...,9 (rad) 4cm a) α 0,68 (rad) β,9 (rad). a) 5,0

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y.

Tekijä Pitkä matematiikka Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, 2) on ( x 0) Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Tekijä Pitkä matematiikka 5 7..017 37 Pisteen (x, y) etäisyys pisteestä (0, ) on ( x 0) + ( y ). Pisteen (x, y) etäisyys x-akselista, eli suorasta y = 0 on y. Merkitään etäisyydet yhtä suuriksi ja ratkaistaan

Lisätiedot

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6

y=-3x+2 y=2x-3 y=3x+2 x = = 6 MAA Koe, Arto Hekkanen ja Jussi Tyni 5.5.015 Loppukoe LASKE ILMAN LASKINTA. 1. Yhdistä kuvaaja ja sen yhtälö a) 3 b) 1 c) 5 d) Suoran yhtälö 1) y=3x ) 3x+y =0 3) x y 3=0 ) y= 3x 3 5) y= 3x 6) 3x y+=0 y=-3x+

Lisätiedot

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut:

MAB3 - Harjoitustehtävien ratkaisut: MAB - Harjoitustehtävien ratkaisut: Funktio. Piirretään koordinaatistoakselit ja sijoitetaan pisteet:. a) Funktioiden nollakohdat löydetään etsimällä kuvaajien ja - akselin leikkauspisteitä. Funktiolla

Lisätiedot

2 Pistejoukko koordinaatistossa

2 Pistejoukko koordinaatistossa Pistejoukko koordinaatistossa Ennakkotehtävät 1. a) Esimerkiksi: b) Pisteet sijaitsevat pystysuoralla suoralla, joka leikkaa x-akselin kohdassa x =. c) Yhtälö on x =. d) Sijoitetaan joitain ehdon toteuttavia

Lisätiedot

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4

KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + 2 ( 1) ( 1) 3 = = 4 Huippu Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 7.4.016 KERTAUS KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. P( 1) = 3 ( 1) + ( 1) + 3 ( 1) 3 = 3 + 3 = 4 K. a) x 3x + 7x 5x = 4x + 4x b) 5x 3 (1 x ) = 5x 3 1 + x

Lisätiedot

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2.

c) Määritä paraabelin yhtälö, kun tiedetään, että sen huippu on y-akselilla korkeudella 6 ja sen nollakohdat ovat x-akselin kohdissa x=-2 ja x=2. MAA4 Koe 5.5.01 Jussi Tyni Kaikkiin tehtäviin ratkaisujen välivaiheet näkyviin! Ota kokeesta poistuessasi tämä paperi mukaasi! Tee konseptiin pisteytysruudukko! Muista kirjata nimesi ja ryhmäsi. Valitse

Lisätiedot

Tekijä Pitkä matematiikka

Tekijä Pitkä matematiikka Tekijä Pitkä matematiikka 5..017 110 Valitaan suoralta kaksi pistettä ja piirretään apukolmio, josta koordinaattien muutokset voidaan lukea. Vaakasuoran suoran kulmakerroin on nolla. y Suoran a kulmakerroin

Lisätiedot

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty

Pyramidi 10 Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 298 Päivitetty Pyramidi Integraalilaskenta harjoituskokeiden ratkaisut sivu 98 Päivitetty.5. Pyramidi Harjoituskokeet 6.5.7 Ensimmäinen julkaistu versio..7.7 Korjattu ulkoasua ja painovirheitä..8.7 Täydennetty ratkaisuja

Lisätiedot

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö

3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö 3.3 Paraabeli toisen asteen polynomifunktion kuvaajana. Toisen asteen epäyhtälö Yhtälön (tai funktion) y = a + b + c, missä a 0, kuvaaja ei ole suora, mutta ei ole yhtälökään ensimmäistä astetta. Funktioiden

Lisätiedot

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot.

Matematiikan taito 9, RATKAISUT. , jolloin. . Vast. ]0,2] arvot. 7 Sovelluksia 90 a) Koska sin saa kaikki välillä [,] olevat arvot, niin funktion f ( ) = sin pienin arvo on = ja suurin arvo on ( ) = b) Koska sin saa kaikki välillä [0,] olevat arvot, niin funktion f

Lisätiedot

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA,

Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, Funktion suurin ja pienin arvo DERIVAATTA, MAA6 1. Suurin ja pienin arvo suljetulla välillä Lause, jatkuvan funktion ääriarvolause: Suljetulla välillä a, b jatkuva funktio f saa aina pienimmän ja suurimman

Lisätiedot

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A)

Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 2017 Insinöörivalinnan matematiikan koe , Ratkaisut (Sarja A) Diplomi-insinööri- ja arkkitehtikoulutuksen yhteisvalinta 017 Insinöörivalinnan matematiikan koe 30..017, Ratkaisut (Sarja A) 1. a) Lukujen 9, 0, 3 ja x keskiarvo on. Määritä x. (1 p.) b) Mitkä reaaliluvut

Lisätiedot

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua

x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4 1,35 < ln x + 1 = ln ln u 2 3u 4 = 0 (u 4)(u + 1) = 0 ei ratkaisua Mallivastaukset - Harjoituskoe E E a) x 7 3 4x x 7 4x 3 ( 7 4)x 3 : ( 7 4), 7 4,35 < 0 x 3 7 4 b) 0 / x + dx = 0 ln x + = ln + ln 0 + = ln 0 Vastaus: ln c) x 4 3x 4 = 0 Sijoitetaan x = u Tulon nollasääntö

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Pitkä Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Pitkä Matematiikka..5 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Tähdellä merkittyjen (*) tehtävien maksimipistemäärä on 9, muiden tehtävien maksimipistemäärä on 6.. a) Ratkaise epäyhtälö >.

Lisätiedot

Integrointi ja sovellukset

Integrointi ja sovellukset Integrointi ja sovellukset Tehtävät:. Muodosta ja laske yläsumma funktiolle fx) x 5 välillä [, 4], kun väli on jaettu neljään yhtä suureen osaan.. Määritä integraalin x + ) dx likiarvo laskemalla alasumma,

Lisätiedot

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen.

Mikäli funktio on koko ajan kasvava/vähenevä jollain välillä, on se tällä välillä monotoninen. 4.1 Polynomifunktion kulun tutkiminen s. 100 digijohdanto Funktio f on kasvava jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa ehto f(a) < f(b). Funktio f on vähenevä jollain välillä, jos ehdosta a < b seuraa

Lisätiedot

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77

Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty c) sin 50 = sin ( ) = sin 130 = 0,77 Juuri 7 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty.5.07 Kertaus K. a) sin 0 = 0,77 b) cos ( 0 ) = cos 0 = 0,6 c) sin 50 = sin (80 50 ) = sin 0 = 0,77 d) tan 0 = tan (0 80 ) = tan 0 =,9 e)

Lisätiedot

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5.

TEHTÄVIEN RATKAISUT. Luku a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. TEHTÄVIEN RATKAISUT Luku 4.1 183. a) Merkintä f (5) tarkoittaa lukua, jonka funktio tuottaa, kun siihen syötetään luku 5. Lasketaan funktioon syötetyn luvun neliö: 5 = 5. Saatuun arvoon lisätään luku 1:

Lisätiedot

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4

Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 2016 Sivu 1 / 4 Preliminäärikoe Tehtävät A-osio Pitkä matematiikka kevät 06 Sivu / Laske yhteensä enintään 0 tehtävää. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. Osiossa A EI SAA käyttää laskinta. Osiossa A

Lisätiedot

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3]

Lukuväleistä. MB 3 Funktio. -2 < x < 5 tai ]-2,5] x < 3 tai ]-,3] Lukuväleistä MB Funktio - < < tai ]-,] < tai ]-,] Yksikäsitteisyys Täytyy tuntea/arvata tyyppi T 0. (sivu ) f() = a) f () = = 9 = 4 T 0. (sivu ) T 0. (sivu ) f() = f() = b) f(k) = k c) f(t + ) = (t + )

Lisätiedot

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN

Lukion. Calculus. Juuri- ja logaritmifunktiot. Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Calculus Lukion MAA8 Juuri- ja logaritmifunktiot Paavo Jäppinen Alpo Kupiainen Matti Räsänen Otava PIKATESTIN JA KERTAUSKOKEIDEN TEHTÄVÄT RATKAISUINEEN Juuri- ja logaritmifunktiot (MAA8) Pikatesti ja kertauskokeet

Lisätiedot

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet

Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe 10.6.2013 klo 10-13 Ratkaisut ja pisteytysohjeet Helsingin, Itä-Suomen, Jyväskylän, Oulun, Tampereen ja Turun yliopisto Matematiikan valintakoe.6. klo - Ratkaisut ja pisteytysohjeet. Ratkaise seuraavat epäyhtälöt ja yhtälö: a) x+ x +9, b) log (x) 7,

Lisätiedot

Matematiikkaa kauppatieteilijöille

Matematiikkaa kauppatieteilijöille Matematiikkaa kauppatieteilijöille Harjoitus 7, syksy 2016 1. Funktio f(x) = x 2x 2 + 4 on jatkuva ja derivoituva kaikilla x R. Nyt funktio f(x) on aidosti alaspäin kupera kun f (x) > 0 ja aidosti ylöspäin

Lisätiedot

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta

Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö ESITIEDOT: reaalifunktiot, derivaatta Maksimit ja minimit 1/5 Sisältö Funktion kasvavuus ja vähenevyys; paikalliset ääriarvot Jos derivoituvan reaalifunktion f derivaatta tietyssä pisteessä on positiivinen, f (x 0 ) > 0, niin funktion tangentti

Lisätiedot

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to

Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to Matematiikan peruskurssi (MATY020) Harjoitus 7 to 5..2009 ratkaisut 1. (a) Määritä funktion f(x) = e x e x x + 1 derivaatan f (x) pienin mahdollinen arvo. Ratkaisu. (a) Funktio f ja sen derivaatat ovat

Lisätiedot

Koontitehtäviä luvuista 1 9

Koontitehtäviä luvuista 1 9 11 Koontitehtäviä luvuista 1 9 1. a) 3 + ( 8) + = 3 8 + = 3 b) x x 10 = 0 a =, b = 1, c = 10 ( 1) ( 1) 4 ( 10) 1 81 1 9 x 4 4 1 9 1 9 x,5 tai x 4 4 c) (5a) (a + 1) = 5a a 1 = 4a 1. a) Pythagoraan lause:

Lisätiedot

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio

Pyramidi 4 Analyyttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 352 Päivitetty Pyramidi 4 Luku Ensimmäinen julkaistu versio Pramidi 4 Analttinen geometria tehtävien ratkaisut sivu 5 Päivitett 9..7 Pramidi 4 Luku 8..6 Ensimmäinen julkaistu versio 7.5.6 Korjattu tehtävän 865 ratkaisua. 8..7 Korjattu tehtävässä 85 luku 5 luvuksi

Lisätiedot

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran

4.1 Kaksi pistettä määrää suoran 4.1 Kaksi pistettä määrää suoran Kerrataan aluksi kurssin MAA1 tietoja. Geometrisesti on selvää, että tason suora on täysin määrätty, kun tunnetaan sen kaksi pistettä. Joskus voi tulla vastaan tilanne,

Lisätiedot

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi

x = π 3 + nπ, x + 1 f (x) = 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 = 2x2 + 2x x 2 = x2 + 2x f ( 3) = ( 3)2 + 2 ( 3) ( 3) + 1 3 1 + 4 2 + 5 2 = 21 21 = 21 tosi Mallivastaukset - Harjoituskoe F F1 a) (a + b) 2 (a b) 2 a 2 + 2ab + b 2 (a 2 2ab + b 2 ) a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab b 2 4ab b) tan x 3 x π 3 + nπ, n Z c) f(x) x2 x + 1 f (x) 2x (x + 1) x2 1 (x + 1) 2 2x2

Lisätiedot

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT:

Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: MAA Koe 8.1.014 Arto Hekkanen ja Jussi Tyni Lue tehtävänannot huolella. Tee pisteytysruudukko 1. konseptin yläreunaan. ILMAN LASKINTA -OSIO! LASKE KAIKKI SEURAAVAT TEHTÄVÄT: 1. a) Laske polynomien x x

Lisätiedot

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin

Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 15.4.2011 HK1-1. Dsin3 x. 3cos3x. Dsinx. u( x) sinx ja u ( x) cosx. Dsin. Dsin Pyramidi 9 Trigonometriset funktiot ja lukujonot 5.4.0 HK- a) Dsin3 us ( ) cos3 3 us( ) s( ) 3cos3 s( ) 3 ja s( ) 3 u( ) sin ja u( ) cos b) Dsin 3 3 Dsin us ( ) s( ) sin ja s( ) cos 3 u( ) ja u( ) 3 3sin

Lisätiedot

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p

yleisessä muodossa x y ax by c 0. 6p MAA..0 Muista kirjoittaa jokaiseen paperiin nimesi! Tee vastauspaperin yläreunaan pisteytysruudukko! Valitse kuusi tehtävää! Perustele vastauksesi välivaiheilla! Jussi Tyni Ratkaise: a) x x b) xy x 6y

Lisätiedot

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015

PRELIMINÄÄRIKOE. Lyhyt Matematiikka 3.2.2015 PRELIMINÄÄRIKOE Lyhyt Matematiikka..015 Vastaa enintään kymmeneen tehtävään. Kaikki tehtävät arvostellaan asteikolla 0-6 pistettä. 1. a) Sievennä x( x ) ( x x). b) Ratkaise yhtälö 5( x 4) 5 ( x 4). 1 c)

Lisätiedot

3 Eksponentiaalinen malli

3 Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen malli Eksponentiaalinen kasvaminen ja väheneminen 6. Kulunut aika (h) Bakteerien määrä 0 80 0 60 0 0 7 7 0 0 0 6. 90 % 0,90 Pienennöksiä (kpl) Piirroksen korkeus (cm) 0,90 6,0, 0,90 6,0,06,

Lisätiedot

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a)

1. a) b) Nollakohdat: 20 = c) a b a b = + ( a b)( a + b) Derivaatan kuvaajan numero. 1 f x x x g x x x x. 3. a) Pitkä matematiikka YO-koe 9..04. a) b) 7( x ) + = x ( x ) x(5 8 x) > 0 7x + = x x + 8x + 5x > 0 7x = 0 Nollakohdat: 0 8x + 5x = 0 x = 7 x(8x 5) = 0 5 5 x = 0 tai x = Vastaus: 0 < x < 8 8 c) a+ b) a b)

Lisätiedot

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2

= 9 = 3 2 = 2( ) = = 2 Ratkaisut 1.1. (a) + 5 +5 5 4 5 15 15 (b) 5 5 5 5 15 16 15 (c) 100 99 5 100 99 5 4 5 5 4 (d) 100 99 5 100 ( ) 5 1 99 100 4 99 5 1.. (a) ( 100 99 5 ) ( ( 4 ( ) ) 4 1 ( ) ) 4 9 4 16 (b) 100 99 ( 5 ) 1 100

Lisätiedot

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5

massa vesi sokeri muu aine tuore luumu b 0,73 b 0,08 b = 0,28 a y kuivattu luumu a x 0,28 a y 0,08 = 0,28 0,08 = 3,5 A1. Tehdään taulukko luumun massoista ja pitoisuuksista ennen ja jälkeen kuivatuksen. Muistetaan, että kuivatuksessa haihtuu vain vettä. Näin ollen sokerin ja muun aineen massa on sama molemmilla riveillä.

Lisätiedot

Ratkaisut vuosien tehtäviin

Ratkaisut vuosien tehtäviin Ratkaisut vuosien 1978 1987 tehtäviin Kaikki tehtävät ovat pitkän matematiikan kokeista. Eräissä tehtävissä on kaksi alakohtaa; ne olivat kokelaalle vaihtoehtoisia. 1978 Osoita, ettei mikään käyrän y 2

Lisätiedot

origo III neljännes D

origo III neljännes D Sijoita pisteet A(1,4) ja B(4,5;5) sekä C(-3,4) ja D(-4,--5) y II neljännes C A I neljännes B x origo III neljännes D IV neljännes KOTIT. Sijoita ja nimeä koordinaatistoon pisteitä niin, että pisteet yhdistettäessä

Lisätiedot

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b)

x 5 15 x 25 10x 40 11x x y 36 y sijoitus jompaankumpaan yhtälöön : b) MAA4 ratkaisut. 5 a) Itseisarvon vastauksen pitää olla aina positiivinen, joten määritelty kun 5 0 5 5 tai ( ) 5 5 5 5 0 5 5 5 5 0 5 5 0 0 9 5 9 40 5 5 5 5 0 40 5 Jälkimmäinen vastaus ei toimi määrittelyjoukon

Lisätiedot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot

2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.1 Yhdenmuotoiset suorakulmaiset kolmiot 2.2 Kulman tangentti 2.3 Sivun pituus tangentin avulla 2.4 Kulman sini ja kosini 2.5 Trigonometristen funktioiden käyttöä 2.7 Avaruuskappaleita 2.8 Lieriö 2.9

Lisätiedot

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO

1.1. YHDISTETTY FUNKTIO 1.1. YHDISTETTY FUNKTIO (g o f) () = g(f()) Funktio g = yhdistetyn funktion g o f ulkofunktio Funktio f = yhdistetyn funktion g o f sisäfunktio E.2. Olkoon f() = 2 + 3 ja g() = 4-5. Muodosta funktio a)

Lisätiedot

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali

Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: määrätty integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen 1/6 Sisältö ESITIEDOT: Tasoalueen pinta-ala Jos funktio f saa välillä [a, b] vain ei-negatiivisia arvoja, so. f() 0, kun [a, b], voidaan kuvaajan y = f(), -akselin

Lisätiedot

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon.

MAA4 - HARJOITUKSIA. 1. Esitä lauseke 3 x + 2x 4 ilman itseisarvomerkkejä. 3. Ratkaise yhtälö 2 x 7 3 + 4x = 2 (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. MAA4 - HARJOITUKSIA 1. Esitä lauseke 3 + 4 ilman itseisarvomerkkejä.. Ratkaise yhtälö a ) 5 9 = 6 b) 6 9 = 0 c) 7 9 + 6 = 0 3. Ratkaise yhtälö 7 3 + 4 = (yksi ratkaisu, eräs neg. kokon. luku) 4. Ratkaise

Lisätiedot

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia

k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia 3.1.1. k-kantaisen eksponenttifunktion ominaisuuksia f() = k (k > 0, k 1) Määrittely- ja arvojoukko M f = R, A f = R + Jatkuvuus Funktio f on jatkuva Monotonisuus Funktio f aidosti kasvava, kun k > 1 Funktio

Lisätiedot

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen

3.1 Väliarvolause. Funktion kasvaminen ja väheneminen Väliarvolause Funktion kasvaminen ja väheneminen LAUSE VÄLIARVOLAUSE Oletus: Funktio f on jatkuva suljetulla välillä I: a < x < b f on derivoituva välillä a < x < b Väite: On olemassa ainakin yksi välille

Lisätiedot

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa.

MAY1 Tehtävien ratkaisut Kustannusosakeyhtiö Otava päivitetty 12.4.2016 Julkaiseminen sallittu vain koulun suljetussa verkossa. KERTAUS Lukujono KERTAUSTEHTÄVIÄ K1. Ratkaisussa annetaan esimerkit mahdollisista säännöistä. a) Jatketaan lukujonoa: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, Rekursiivinen sääntö on, että lukujonon ensimmäinen jäsen

Lisätiedot

Ratkaisuja, Tehtävät

Ratkaisuja, Tehtävät ja, Tehtävät 988-97 988 a) Osoita, että lausekkeiden x 2 + + x 4 + 2x 2 ja x 2 + - x 4 + 2x 2 arvot ovat toistensa käänteislukuja kaikilla x:n arvoilla. b) Auton jarrutusmatka on verrannollinen nopeuden

Lisätiedot

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1

Mapu 1. Laskuharjoitus 3, Tehtävä 1 Mapu. Laskuharjoitus 3, Tehtävä Lineaarisessa approksimaatiossa funktion arvoa lähtöpisteen x 0 ympäristössä arvioidaan liikkumalla lähtöpisteeseen sovitetun tangentin kulmakertoimen mukaisesti: f(x 0

Lisätiedot